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C O P Y

Unidad Temática III. Dinámica de la partícula

Física - ISI Página 1 de 28

Unidad Temática IIIDinámica de la partícula

CONTENIDOS

Principios fundamentales de la Dinámica. Concepto de masa. Concepto de densidad.Concepto de fuerza. Ley de gravitación universal. Concepto de Peso. Masa inercial ymasa gravitatoria. Peso específico. Fuerza centrípeta. Impulso y cantidad demovimiento. Teorema de la cantidad de movimiento. Trabajo. Potencia. Energíapotencial. Campos y fuerzas conservativas. Campo gravitatorio. Fuerzas disipativas.Rozamiento. Energía cinética. Teorema de las fuerzas vivas. Conservación de laenergía mecánica.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Que el alumno logre:

• Analizar situaciones problemáticas concretas utilizando los principios de laDinámica.

• Interpretar la relación existente entre fuerza y masa.• Identificar pares de fuerzas de acción y reacción.• Analizar el efecto de las fuerzas de rozamiento sobre los sistemas físicos.• Calcular el trabajo realizado por fuerzas constantes• Diferenciar fuerzas conservativas y no conservativas.• Reconocer y relacionar las formas de energía mecánica con las fuerzas

actuantes.• Distinguir entre sistemas conservativos y no conservativos.

Bibliografía utilizada para el desarrollo de las clases teóricas:

Física Clásica y Moderna. Gettys, Keller y Skove. Curso de Física. COU. Peña Sainz y Garzo Pérez.

Introducción

La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las causas que provocanel movimiento.

Hay muchos movimientos para los cuales es relativamente sencillo dar unaexplicación de las causas que los provocan: un bote avanza porque es impulsadopor la fuerza de los remos, el tren debido a la fuerza motriz de la locomotora, unvelero debido a la fuerza del viento sobre las velas, etc. Esto es evidente y en todoslos casos existe una fuerza que los provoca, pero si el remero deja de remar, elbote sigue avanzando un cierto tiempo, ¿porqué?, esto ya no es tan sencillo deexplicar. Lo mismo sucede para el tren si la locomotora deja de funcionar, o si cesael viento para el velero. El movimiento sigue aunque no actúe ninguna fuerza. Elobjeto de la Dinámica es obtener leyes y principios que expliquen estosmovimientos. Por sencillez en esta unidad nos restringiremos a obtenerlas para un

cuerpo considerado como un punto material, es decir no tendremos en cuenta laforma y el tamaño de los cuerpos, y consideraremos a los mismos como puntuales.Recordemos que la física es una ciencia fáctica experimental, por lo que sus leyesfundamentales son empíricas, es decir se obtienen a partir de la experiencia.



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Primera ley de Newton – Principio de Inercia

Si observamos un cuerpo en reposo, vemos que permanece en dicho estadoindefinidamente, a menos que alguna causa externa que actúe sobre el provoque

su movimiento. De la experiencia (Laboratorio) podemos concluir que:

1. Si un cuerpo está en reposo, permanece en dicha condición a menos que unainfluencia externa (fuerza) provoque su movimiento.

Esta conclusión es podríamos decir obvia. ¿Qué sucede si provocamos sumovimiento y luego retiramos la causa? La experiencia nos dice que el cuerpocontinúa moviéndose durante un intervalo de tiempo, en forma cada vez más lentahasta detenerse. ¿Actúa alguna causa (fuerza) que provoque esta detención?. Larespuesta es SI, las denominadas fuerzas de rozamiento, que estudiaremos másadelante. Si repetimos la experiencia minimizando cada vez más la acción de dichas

fuerzas, por ejemplo puliendo las superficies en contacto y utilizando lubricantes,encontramos que el movimiento se mantiene cada vez más tiempo. Si pudiéramoseliminarlas totalmente el móvil se mantendría en movimiento sin cambio en suvelocidad indefinidamente. La conclusión es:

2. Si un cuerpo está en movimiento, y no existe rozamiento, no se necesitaninguna influencia externa (fuerza) para mantener dicho movimiento, y suvelocidad (vector) permanece invariada en módulo, dirección y sentido.

De ambas experiencias podemos concluir que:

Los estados naturales de un cuerpo son el reposo y el MRU. Todo cuerpo tiende a conservar dichos estados mientras no actúen

sobre el influencias (fuerzas) externas. Esta tendencia se denominainercia.

El movimiento de un cuerpo se debe a la interacción entre el y los quelos rodean. A la interacción entre dos cuerpos la denominamos fuerza.

Para vencer la inercia se deben aplicar fuerzas.

En base a estas conclusiones podemos enunciar el Primer Principio o Primeraley de Newton:

⇒ Fuerza: Es toda causa capaz de vencer la inercia de los cuerpos

Otro enunciado equivalente del primer principio:

1ra

Ley de Newton: Todo cuerpo tiende a conservar su estado de reposo ode movimiento rectilíneo uniforme mientras no se ejerza sobre el una fuerza.

1ra Ley de Newton: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o actúan

varias que se anulan entre si , el cuerpo, o bien está en reposo o tienemovimiento rectilíneo uniforme .



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Masa. Una primera definición cualitativa.

Definimos a la masa de un cuerpo como la cantidad de materia que este posee.

Esta primera definición nos servirá para enunciar el segundo principio. Luegovolveremos sobre el concepto de masa y daremos definiciones de tipo cuantitativo,es decir que nos permitan medirla.

Segunda ley de Newton – Principio de Masa

Vencer la inercia de un cuerpo implica aplicarle una fuerza que provoque un cambiode su velocidad, o sea imprimirle una aceleración. Toda fuerza no equilibradaproduce una aceleración. La relación entre la fuerza aplicada y la aceleración queadquiere el cuerpo como consecuencia de ello esta contenida en el Segundo

Principio o Segunda Ley de Newton, que deduciremos mediante las siguientesexperiencias de pizarrón.

1) Consideremos dos cuerpos de masas 1m y 2m , con 21 mm < , a los que

aplicamos una misma fuerza constante→

F . Si medimos las aceleraciones→

1a y→

2a

que esta fuerza les comunica, encontramos que→→

> 21 aa , es decir:

maaamm

12121 ∝⇒>⇒<

→→

La aceleración es inversamente proporcional a la masa. Parauna misma fuerza, a mayor masa menor aceleración

2) Consideremos ahora dos cuerpos de igual masa m a los que aplicamos las

fuerzas→

1F y→

2F , con→→

< 21 F F . Si medimos las aceleraciones que estas fuerzas

comunican a la masa m , encontramos que→→

< 21 aa ,

→→→→→→∝⇒<⇒< F aaaF F 2121

La aceleración es directamente proporcional a la fuerza.Para una misma masa, a mayor fuerza mayoraceleración.

De estas experiencias concluimos que

mF a

→

→ = 2º ley de Newton



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Esta es la expresión matemática de la segunda ley, cuyo enunciado es:

Otra manera de deducir experimentalmente la segunda ley es aplicar sobre unmismo cuerpo de masa m inicialmente en reposo, distintas fuerzas constantes de

módulos ,...,F ,F ,F 321 etc., durante un cierto tiempo ,...,t ,t ,t 321 respectivamente,

y medir los espacios recorridos ,..., x , x , x 321 tenemos fuerzas, tiempos y espacios

recorridos diferentes. A partir de estos datos podemos calcular las respectivasaceleraciones. Las ecuaciones que nos dan los espacios recorridos, con la masainicialmente en reposo, son:

=

=

⇒

=

=

22

22

21

11

2222

2111

2

2

2

1

2

1

t

x a

t

x a

t a x

t a x

Aceleraciones

Si hacemos los cocientes …,a

F ,

a

F

2

2

1

1 , encontramos que los mismos son iguales, es

decir Ctek aF

aF

aF ===== …

2

2

1

1 .

Lo único que ha permanecido constante en la experiencia ha sido el cuerpo, luegola constante es una característica del mismo, y recibe el nombre de masa inerte m .La masa inerte es la expresión cuantitativa de la inercia: cuanto mayor sea lamasa, mayor será la resistencia del cuerpo a cambiar su estado dinámico.Escribimos entonces

→→=⇒=⇒= amF amF m

a

F

Como es una ecuación vectorial, se verifica para las componentes cartesianas:

===

===

===

2

2

2

2

2

2

dt

z d mdt

dv mamF

dt

y d m

dt

dv mamF

dt

x d m

dt

dv mamF

z z z

y y y

x x x

2 da

Ley de Newton: Si sobre un cuerpo de masa m actúa una fuerza→F , la

aceleración que esta le comunica es directamente proporcional a la fuerza e

inversamente ro orcional a su masa.



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En general, si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas simultáneamente

→→=∑ amF

La expresión matemática de la segunda ley es la ecuación fundamental de ladinámica.

Masa inerte y masa gravitatoria

Hemos definido a la masa inerte (inercial) como

→

→

=a

F m .

Podemos medirla experimentalmente realizando la experiencia antesdescripta.

El peso de un cuerpo es un caso particular de fuerza, y dado que todo cuerpoque cae bajo la acción de su propio peso, lo hace con una aceleración constante g,podemos definir a la masa gravitatoria como el cociente entre el peso del cuerpo yla aceleración de la gravedad.

→

→

=

g

P m Masa gravitatoria

La masa gravitatoria se mide con una balanza de brazos iguales.Ambas masas tienen las mismas propiedades y son equivalentes, por lo que

de ahora en más solo nos referiremos a la masa m. Ambas expresiones de la masapueden expresarse escalarmente como el cociente de los módulos de los vectoresfuerza y aceleración, dado que los mismos son colineales.

Unidades de masa y de fuerza

[ ] [ ] [ ]amF amF =⇒=

→→

La unidad de masa es una unidad fundamental en el Sistema Internacional yla de fuerza es una unidad derivada, igual al producto de la unidad de masa por launidad de aceleración.

Magnitud c g s S I TécnicoMasa (m) gramo - g Kilogramo - kg Unidad técnica de masa

UTM [ kgr /(m / s2 ) ]Fuerza (F ) Dina – din

[ g*cm / s2 ]

Newton – N

[ kg*m / s2 ] Kilogramo fuerza -

→

kg - kgr

Para diferenciar el kilogramo masa del kilogramo fuerza, para la masa



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se utiliza kg, y para la fuerza kgf , kgr o→kg .

Un cuerpo cuyo peso es de 1 kgr en el sistema Técnico tiene una masa de 1kg en el Sistema Internacional. De acuerdo con la 2da ley

N ,s

m,kg kg 898911

2 =⋅=

→

No confundir masa con peso

• La masa es un escalar, y es una magnitud intrínseca del cuerpo. Su valores constante

• El peso es una magnitud vectorial, es extrínseco y su valor depende dellugar en donde se lo mide.

El primer principio puede deducirse del segundo. Veámoslo:

→≠=

→=⇒

=⇒=⇒==

→

→

→→→→→

∑∑

MRU tienecuerpoel Ctev

reposoenestácuerpoel v

Ctev aF si amF

0

0

00,

Concluimos: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o actúan varias que

se anulan entre sí, el cuerpo está en reposo ( 0=

→

v ) o tiene MRU ( Ctev =

→

).

Tercera ley de Newton - Principio de Acción y Reacción

El movimiento de los cuerpos se debe a la interacción con otros mediantefuerzas. Esto se expresa en el tercer principio que dice:

Las fuerzas actúan de a pares. Esimportante resaltar que acción y reacción no pueden anularse mutuamente pues actúansobre diferentes cuerpos.

Ejemplo: Consideremos la tierra y un objetosobre su superficie.

Sobre este sistema actúan dos pares defuerzas.

1) Par de acción y reacción debido a la interacción gravitatoria entre el cuerpo y la

tierra se atraen mutuamente, formado por→

P y→

' P .→

P es el peso del cuerpo.

3ra

Ley de Newton. Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, esteejerce sobre el primero una fuerza de igual intensidad y dirección, pero de sentido opuesto.



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2) El cuerpo transmite por contacto la fuerza→

P a la tierra, que

representamos como→

' ' P , y la Tierra reacciona y aplica al cuerpo una fuerza de

igual intensidad y dirección, pero de sentido contrario, que es la normal

→

N . Elsegundo par esta formado por

→

' ' P y→

N .

Si analizamos la fuerza neta que actúa sobre cada cuerpo, vemos que es nula, ylo mismo para el sistema como un todo, pero las fuerzas que se anulan noconforman un par.

Fuerzas de rozamiento

Si lanzamos un cuerpo de manera que se deslice sobre una superficie horizontal,luego de un cierto tiempo se detiene. Esto indica que ha actuado una fuerza. Estafuerza se denomina fuerza de rozamiento. Hay varios tipos de rozamiento: derodadura entre una rueda y el suelo, rozamiento de los fluidos (barco en el agua,avión en el aire), y de deslizamiento, que tiene lugar entre dos superficies cuandouna desliza sobre la otra.

Solo estudiaremos el rozamiento por deslizamiento, que es el más sencillo, yque aparece en el movimiento de los cuerpos que se observa en la vida diaria enforma más evidente.

Las características más destacables del rozamiento por deslizamiento son:

Se debe a la adherencia entre las superficies en contacto y al

encajamiento de sus rugosidades.

Siempre se opone al movimiento. Tiene la misma dirección que elmovimiento, pero sentido contrario.

Aunque no haya movimiento, puede existir rozamiento entre dossuperficies.

Para analizar como actúan las fuerzas de rozamiento, imaginemos lasiguiente experiencia de pizarrón. Consideremos el sistema cuerpo-polea-platillo dela figura y:

a) Colocamos en el platillo un pequeño peso

→

' P .El cuerpo no desliza, sigue en reposo. Luego:

⇒=−=∑ →→→

0Fr T F →→

= Fr T

b) Si aumentamos un poco→

' P , el bloque sigue

inmóvil, lo mismo que el platillo. La tensión→

T

aumenta pues aumentó→

' P , por lo que→→

= T Fr

también aumenta, aún cuando no haydeslizamiento.



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c) Si seguimos aumentando lentamente→'P , en determinado momento el bloque

comienza a moverse con movimiento rectilíneo uniformemente variado(acelerado). Si queremos que lo haga con movimiento rectilíneo uniforme

debemos quitar algo de peso en el platillo, de manera que nuevamente 0=

∑

→

F ,

y el cuerpo se mueve por inercia.

De esta experiencia deducimos que:

La fuerza de rozamiento entre dos cuerpos puede tomar cualquier valorentre cero y un valor máximo.

Una vez iniciado el movimiento, se necesita una fuerza menor que max Fr →

para mantenerlo. max Fr →

es la fuerza máxima de rozamiento estático. La

fuerza necesaria para mantener el movimiento se denomina fuerza derozamiento cinemática.

Si repetimos la experiencia con el mismo bloque apoyado sobre su cara máspequeña, obtenemos los mismos resultados, pero si empleamos dos bloquesiguales, uno encima del otro, la fuerza de rozamiento se duplica, al igual que la

reacción del plano de apoyo (Normal N )

La fuerza de rozamiento es independiente de la extensión de lassuperficies en contacto, y es proporcional al módulo N de la fuerza

normal.

Si las superficies son horizontales, el módulo de la normal coincide con el delpeso del cuerpo.

Matemáticamente podemos expresar estas conclusiones como sigue:

N Fr eµ< si→

Fr no toma el valor máximo

N Fr eµ= si→

Fr toma el valor máximo

La constante de proporcionalidad eµ se denomina coeficiente estático de

rozamiento, y por definición es adimensional.El módulo de la fuerza de rozamiento cinética (dinámica) es

N Fr d µ=

donde d µ es el coeficiente dinámico de rozamiento. Se cumple que ed µ<µ .

Ley de Gravitación Universal

El porqué los cuerpos caen y la Luna se mantiene en órbita sin precipitarsehacia la Tierra son fenómenos que tiene una explicación común: la fuerza



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gravitatoria. La ley de gravitación universal fue enunciada por Isaac Newton,eminente físico inglés en el año 1666.

Ley de gravitación universal: "Todos los cuerpos del universo se atraen entre

si de a pares con una fuerza que es directamente proporcional al producto de susmasas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa."

Matemáticamente se expresa como:

1 2

2

m m F G

d =

G es la constante de gravitación universal, y su valor en el S.I. es

2

2

1110670,6kg

m N G −=

La ecuación anterior nos da el módulo de la fuerza gravitatoria. Las fuerzasgravitatorias se dan de a pares (3er Principio), como se observa en la figura.

r d

mmGF

221

12 =→

r es un versor unitario

→→ −= 2112 F F

Si uno de los cuerpos es la Tierra, y el otro un cuerpo cualquiera sobre susuperficie, tenemos

m R

M G

R

m M G F

T

T

T

T

==

22

La fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra es el peso P del cuerpo, y

podemos escribir

=

2T

T

R

M Gm P

De acuerdo con la segunda ley de Newton, el término entre paréntesis es laaceleración que la fuerza P comunica al cuerpo, que es la aceleración de lagravedad g.

Tarea propuesta: Busque los valores de la masa y el radio medio de la tierra

y calcule el valor de g.



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Si el cuerpo no está en la superficie sino a una altura h, la distancia al centrode la Tierra es (RT + h), y

( ) ⇒

+=

2h R

M G g

T

T g depende de la altura

En general h << RT , por lo que podemos despreciarla y considerar gconstante.

Impulso y cantidad de movimiento

Consideremos un cuerpode masa m que en el instante t 0

tiene velocidad 0

→

v , y sobre el

cual actúa una fuerza→ F durante

un cierto tiempo t , al cabo del cual adquiere una velocidad→v .

Si consideramos un intervalo de tiempo infinitesimal dt , definimos al impulsoelemental como:

Definición: Denominamos impulso elemental→I d de la fuerza

→ F que actúa un

intervalo de tiempo dt al producto dt F →

.

Si consideramos el intervalo 0t t t −=∆ , el impulso comunicado por la fuerza

al cuerpo se obtiene integrando el impulso elemental dt F dI →→

= en dicho intervalo

∫ →→

=t

t dt F I

0

Si la fuerza Cte F =→

podemos sacarla de la integral y tenemos

t F t t F dt F I

t

t ∆=−==

→→→→

∫ )( 00

El impulso de una fuerza constante es un vector cuyo módulo es igual alproducto del módulo de la fuerza por el intervalo de tiempo durante el cual dichafuerza actúa. Tiene la misma dirección y sentido que la fuerza.

Definición: Se llama cantidad de movimiento o momento lineal de una

partícula de masa m y velocidad→v , al vector que resulta de multiplicar la masa de

la partícula por su velocidad.

→→ = v m p



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Recordando quedt

r d v

→→

= y que k z j y i x r

++=→

, tenemos

k p j pi p

k v m j v mi v mk dt

dz

m j dt

dy

mi dt

dx

mdt

r d

m p

z y x

z y x

++=

++=++==

→→

=

=

=

z z

y y

x x

v m p

v m p

v m p

componentes cartesianas de la cantidad de movimiento

Relación entre el impulso y el momento lineal

Recordando quedt

v d mamF

→→→

== , reemplazando en la definición de

impulso, tenemos

0 0 0 0 0

t t t v p

t t t v p

d v I F dt m a dt m dt m d v d p

dt

→→ → → → →

= = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

00

p

p I d p p p p → → → → →

= = − = ∆∫ donde dp m dv → →

=

El impulso de una fuerza que actúa sobre una partícula produce una variaciónen la cantidad de movimiento de la misma.

Podemos expresar la segunda ley en función del momento lineal

⇒====

→→→→→

dt

pd

dt

v md

dt

v d mamF

)(

dt pd F

→

→ =

Si consideramos un sistema de fuerzas aplicado al cuerpo

dt

pd F

→→

=∑

"La rapidez de la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo es

directamente proporcional a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre el mismo"



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Principio de conservación de la cantidad de movimiento

De la segunda ley expresada en la forma previa, se deduce que solo las

fuerzas pueden modificar la cantidad de movimiento de un cuerpo, por tanto, si noactúa ninguna fuerza, la cantidad de movimiento del cuerpo permaneceráconstante.

dt

pd F

→→

=∑ ; si ⇒=⇒=

→→

∑ 00dt

pd F Cte p =

→

"Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o actúan varias que se anulanentre sí, la cantidad de movimiento del mismo permanece constante"

Podemos enunciar el principio de conservación de la cantidad de movimientocomo sigue:

"Si la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es nula,la cantidad de movimiento permanece constante"

Si varios cuerpos conforman un sistema aislado, es decir que no actúan sobreel fuerzas externas, y las únicas fuerzas que actúan sobre los cuerpos son lasinteracciones mutuas, entonces la cantidad de movimiento total del sistemapermanece constante.

Cte p pP Total =++=→→→

...11

Momento cinético de una partícula

Para definir el momento cinético →L de una partículaes conveniente que recordemos previamente la definición demomento de una fuerza con respecto a un punto.

Definición: Se define al momento→

τ de una fuerza→

F con respecto a un punto O, como el producto vectorial del

vector posición→

r del punto de aplicación de la fuerza con

respecto al punto O, por la fuerza→

F .

→→→

×=τ F r ⇒ el módulo es )sen( F r θ=τ



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Consideremos una partícula de masa m , con vector posición→

r y velocidad→

v . Su cantidad de movimiento es→→

= v m p .

Definición: Se define al momento cinético

→

L de la partícula como el vectormomento de su cantidad de movimiento.

Si O es el origen del sistema de coordenadas de referencia:

z y x p p p

z y x

k j i

v mr pr L

=×=×=→→→→→

→

L es un vector cuyo módulo vale )( sen pr L θ= , y su dirección es perpendicular al

plano determinado por→

r y→

v , y su sentido estadado por la regla del tirabuzón. θ es el ángulo

que forman→

r y→

v .

Las componentes de→L son

−=

−=

−=

x y z

z x y

y z x

py p x L

p x pz L

pz py L

Unidades

Magnitud S.I. (M.K.S.) c.g.s.Cantidad de movimiento

[ ] [ ][ ]v m p = s

mkg

s

cmg

Momento cinético[ ] [ ][ ] pr L = s

mkg 2

s

cmg 2

Trabajo.

En general, en la vida cotidiana asociamos el trabajo con el empleo, o con unesfuerzo mental o muscular: me cuesta trabajo entender la segunda ley de Newton,me cuesta trabajo empujar el auto. En física el concepto de trabajo es másrestringido. Como veremos si esta asociado a los esfuerzos musculares, y a fuerzasen general sin importar su origen.



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Trabajo realizado por una fuerza constante.

Consideremos el cuerpo de la

figura, al que aplicamos una fuerza→

F constante en módulo y dirección, y quecomo resultado de ello el cuerpo tiene

un desplazamiento→

l . θ es el ángulo

entre→

F y→

l . Aunque existen otras fuerzas actuando sobre el cuerpo, centraremos

nuestra atención en→

F .

Definimos al trabajo W realizado por la fuerza

→

F sobre el cuerpo durante su

desplazamiento→→

=∆ l r como

)cos( l F l F r F W θ =⋅=∆⋅=→→→→

W es una magnitud escalar . El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo.Veámoslo a través de ejemplos:

a) Un hombre sostiene una valija de pie, sin desplazarse. Si la valija espesada, diremos que luego de unos minutos, le cuesta "trabajo"mantenerla levantada. Sin embargo no realiza trabajo físico, pues eldesplazamiento es nulo.

b) El hombre que sostiene la valija se desplaza caminando (horizontalmente)una cierta distancia. En este caso el desplazamiento no es nulo, pero eltrabajo si lo es, dado que º 90=θ , y 090 = )º cos( .

c) Un hombre empuja un carrito con valijas, desplazándolo una ciertadistancia d . La fuerza aplicada y el desplazamiento son colineales y delmismo sentido, por tanto 0θ = , 1= )cos( θ y

d F )cos( d F d F W ==⋅=→→

θ , el trabajo es positivo



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d) Si el carrito tiene MRU y el hombre trata de detenerlo aplicándole unafuerza, dicha fuerza y el desplazamiento son colineales, pero de sentidoscontrarios, por lo que º 180=θ y 1−= )cos( θ .

Luego d F )cos( d F d F W −==⋅=→→

θ , es negativo.

Unidades

Magnitud S.I. (M.K.S.) c.g.s.

Trabajo

[ ] [ ][ ]LF W =

N x m = Julio (J )2

21 1 1

m J N m kg

s = =

din x cm = Ergio ( erg )2

21 1 1

cm erg din cm g

s = =

Conversión de unidades

=→

===→− J erg J erg

erg cmdinmN J erg J

7

725

101

10101011

Trabajo realizado por una fuerza variable

Consideremos ahora una fuerza→F variable en módulo y dirección a lo largo

del desplazamiento, y que la trayectoria sea una recta que hacemos coincidir con el

eje x, entre una posición inicial i x y otra final f x , y calculemos el trabajo realizado

por dicha fuerza. Aproximaremos el trabajo realizado sumando los trabajos de ungran numero de pequeños desplazamientos x ∆ , de manera que en ellos el cambiode la fuerza tanto en módulo como en dirección sea despreciable y podamosconsiderarla constante mientras x cambia en x ∆ . Aproximamos el trabajo

W ∆ correspondiente al desplazamiento i x l

∆=∆→

tomando la componente ) x ( F x en

el punto medio x del intervalo, es decir

( ) ( ) x ) x ( F i x i ) x ( F l F W x x ∆=∆⋅=∆⋅≈∆

→→



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Este trabajo elemental es igual al área sombreada de la figura de laizquierda. Si consideramos n intervalos, la suma de estas contribuciones nos dará

en forma aproximada el trabajo total efectuado por la fuerza desde i x a f x .

( )∑ ∆≈ n x x x F W

Si aumentamos el número n de intervalos, x∆ se hace más pequeño y el

resultado será más aproximado al valor exacto. Si ∞→n entonces 0→∆ x y elresultado es exacto. Este proceso de límite convierte a la suma en una integralsobre x ahora continua, por lo que el trabajo total se expresa como

∫=f

i

x

x x dx ) x ( F W

que es igual al área bajo la curva (figura de la derecha).Consideremos ahora que la trayectoria es curvilínea, entre la posición inicial

)z ,y , x ( P i 000 y la posición final dada por )z ,y , x ( P f 111 . Nuevamente dividimos la

trayectoria en desplazamientos infinitesimales→

dr , lo suficientemente pequeñospara considerarlos rectilíneos, y que en ellos la fuerza se mantiene constante.

El trabajo elemental de la fuerza→

F realizado en el desplazamiento elemental→

dr es

)cos( dl F )cos( dr F dr F dW θ=θ=⋅= →→

donde θ es el ángulo entre→

F y la tangente a la trayectoria, en cualquier punto deesta.

El trabajo total realizado desde A hasta B, en función de la longitud de latrayectoria esta dado por

∫∫ =θ=B

At

B

A

dl F dl )cos( F W

donde t F es la componente de la fuerza en la dirección tangencial a la trayectoria.

Si expresamos→

F y→dr en función de sus componentes

dz F dy F dx F dr F z y x ++=⋅→→

el trabajo total es



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( )∫∫∫ ++=⋅==→→ )z ,y , x ( B

)z ,y , x ( Az y x

B

A

B

A

dz F dy F dx F dr F dW W 111

000

Si

=

==

)z ( F F

)y ( F F

) x ( F F

z

y

x

podemos descomponer la integral y obtenemos

∫∫∫ ++=1

0

1

0

1

0

z

z z

y

y y

x

x x dz F dy F dx F W

Fuerza recuperadora elástica. Ley de Hooke.

La fuerza recuperadora de un resorte está dada por la Ley de Hooke cuyoenunciado es:

"El módulo de la fuerza recuperadora de un resorte es directamenteproporcional a la elongación del mismo".

Matemáticamente se expresa como

x k F −= Ley de Hooke

El signo negativo se debe a que el sentido de la fuerza es contrario al delalargamiento del resorte. k es la constante elástica, y sus dimensiones son

Longitud

Fuerza.

Si el estiramiento es nulo, la fuerza recuperadora es nula, y cuanto mayorsea el estiramiento, mayor será la fuerza. Esto por supuesto es válido dentro loslimites en los cuales el resorte conserva sus propiedades (no se deformapermanentemente o se rompe).

Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para alargar un resorte 15 cm,sabiendo que su constante recuperadora elástica vale m / N k 200= .

La fuerza motriz que realiza el trabajo debe ser igual en módulo a la fuerza

recuperadora, pero de signo contrario, es decir x k F x = , donde tomamos el



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estiramiento en la dirección x. x F es una fuerza variable que depende de la

posición, y realiza un trabajo pues se desplaza desde x=0 a x=15 cm.

( ) ( )0,0,0,0,00 dx dr y x k F

F F

x k F

z

y

x

==⇒

==

=→→

Como el origen esta en A,

)0,0,1(

)0,0,0(

x B

A con x1 = 15 cm = 0,15 m.

21

1

0

1

0

2

2

1

2

1 x k x k dx x k W

x x

==⋅= ∫

( ) J mN mm

N W 25,225,215,0200

2

1 22 ===

El trabajo realizado por la fuerza recuperadora elástica será el mismo, pero

negativo. Si estiramos el resorte desde 1 x hasta 2 x , el trabajo realizado por la

fuerza recuperadora será:

)(2

1 21

22 x x k W −−=

Potencia

Si nos preguntamos sobre la eficacia de una fuerza para realizar determinadotrabajo, diremos que cuanto menor sea el tiempo empleado en realizarlo, máseficaz será la fuerza. La magnitud física que relaciona el trabajo realizado y eltiempo empleado en ello se denomina Potencia, y se define como el trabajorealizado en la unidad de tiempo.

Potencia media

Es el cociente entre el trabajo total realizado y el tiempo empleado en

realizarlo

mediamedia v F t

r F

t

W P P

→→→→

⋅=∆

∆⋅=

∆∆

==

dondet

r v media

∆∆

=

→→

es la velocidad media. La potencia es una magnitud

escalar.

Unidades



C O P Y



Magnitud c g s S IPotencia (P) [ erg / s ]

[din cm / s ][ J / s ] = vatio

(W)[ N m / s ]

Equivalencias:s

erg sJ W 71011 == y W

serg 7101 −=

Frecuentemente se utiliza el kilovatio, W kW 10001 = .

Otras unidades de potencia son el hp (horse power - caballo de potencia) y elcv (caballo de vapor):

kW ,W hp 74607461 ==

kW ,W ,cv 7355057351 ==

Una nueva unidad de trabajo

De la formula de la potencia podemos despejar ][][][ t P W t P W =⇒∆=∆

Si expresamos la potencia en kw y el tiempo en horas, tenemos

kwhhkw ] W [ =⋅= (kilovatio hora).

ss

J ..sw kwh 0006003360010001 =⋅=

J ..kwh 00060031 =

Un kwh es el trabajo realizado por un agente (motor) que tiene una potenciade 1000 w (1 kw) en una hora.

Potencia instantánea

Si el trabajo realizado varía con el tiempo, definimos la potencia instantáneaP como el límite del valor que toma la potencia media cuando 0→∆t

→→

→∆→∆

⋅==

∆

∆== v F

dt

dW

t

W LimP LimP

t

media

t 00

La potencia P nos da la rapidez con que se realiza el trabajo.→

v es la velocidad instantánea.

Ejemplo: Sobre una partícula de masa m = 4 kg actúa una fuerza F = 2 t N.Si la partícula parte del reposo, calcular el trabajo realizado por la fuerza al cabo de4 segundos. Calcule la potencia en ese instante.

∫ ⋅=⋅=⇒== dt v F W dt v F dW v F

dt

dW P



C O P Y



Conocemos la fuerza en función del tiempo, para calcular la integral debemosconocer la expresión de la velocidad en función del tiempo:

dt av dt av d

dt

v d a

∫=⇒=⇒= pero

m

F a = , por tanto

m

t dt t

mdt F

mv

t t 2

00

211

=== ∫∫ , reemplazando en la expresión del

trabajo

m

t dt t

mdt

m

t t W

t t

2

22

4

0

3

0

2

==⋅= ∫∫

La unidad es J. Si t = 4 s, es W = 32 J

m

t

m

t t v F )t ( P

32

22 =⋅=⋅= , la unidad es w

P(4 s) = 32 w

Energía.

Vamos a definir una nueva magnitud física, la energía. ¿Qué es Energía?.

¿Qué quieren decir los físicos cuando hablan de la energía?

La mayoría de las veces la asociamos a cuerpos móviles. El aire enmovimiento, como en un tornado, tiene gran cantidad de energía, puede levantarobjetos pesados y llevarlos a grandes distancias. Una corriente de agua enmovimiento tiene energía, que puede llevarse la tierra o hacer girar la rueda oturbina de un generador eléctrico. De lo dicho, vemos que una de las característicasde la energía es que puede usarse para realizar trabajo. La corriente de agua ejerceuna fuerza sobre las paletas de la turbina. Esta fuerza actúa a lo largo de unadistancia al girar la rueda, por lo que ejecuta un trabajo sobre ésta.

Una definición de energía que en general está en los textos es:

La energía es la capacidad para realizar un trabajo.

Otra característica útil de la energía es que puede pasar de un cuerpo a otro.El agua que hace girar la turbina de un generador pierde energía y es retardada ensu movimiento. La rueda se pone en marcha y, consecuentemente, gana energía.

En la vida diaria mencionamos diferentes tipos de energía, según el origen dela misma: energía eléctrica, energía solar, energía eólica, energía nuclear, energíahidroeléctrica, energía química, energía electromagnética, etc. En mecánica, la

clasificamos en energía cinética y energía potencial.

La energía que posee un cuerpo móvil debido a su movimiento —la de unacorriente de agua, por ejemplo— se llama energía cinética (Ec).



C O P Y



Con frecuencia, la energía no se gasta, pero, potencialmente, es capaz derealizar un trabajo cuando se libera. Esta energía almacenada se llama energía potencial (Ep) y puede proceder del lugar que ocupa o de la condición del cuerpo.

Un ejemplo de energía potencial de posición es el del agua en una presa. Elagua no está en movimiento; no tiene energía cinética, pero posee potencialmentela capacidad de moverse y de efectuar trabajo y tiene así energía potencial.

Una cinta de caucho estirada tiene energía potencial de condición. Si la cintaes parte de una gomera y se suelta, la energía se traslada al proyectil, queadquiere entonces, energía cinética. Un cuerpo puede poseer simultáneamenteambos tipos de energía, y a la energía total, suma de la energía cinética más laenergía potencial, se la denomina energía mecánica.

Una forma de energía puede convertirse en otra.

El agua corriente en un río tiene energía mecánica cinética. El agua en unanube puede no moverse, pero tiene la capacidad de hacerlo. Su energía mecánicaes potencial. Al caer la lluvia, esta energía potencial se transforma en energíamecánica cinética. El calor es también una forma de energía. La radiación del Solcalienta la superficie de la Tierra, dando lugar a la evaporación del agua de losocéanos y de otros lugares. El calor es la energía que suministra el trabajo paraelevar el agua, gran parte de la cual formará las nubes.

Una característica de la energía es que puede ser transformada de una formaa otra. La energía térmica o calorífica que evapora el agua del océano se convierteen energía mecánica del agua de la nube. El generador eléctrico que gira debido ala corriente de agua, cambia la energía mecánica en energía eléctrica. Una lámparatransforma la energía eléctrica en energía térmica y luminosa. Un aparato de radioconvierte la energía eléctrica en energía sonora. Un televisor cambia la energíaeléctrica en energía sonora y luminosa. Cualquier forma de energía puede sertransformada en otra si se usa el dispositivo apropiado.

Al estudiar las diversas formas de energía, los científicos descubren que noson tan diferentes entre sí, como puede creerse a primera vista. Se sabe ahora quela energía térmica y la sonora incluyen movimientos de las diminutas partículascomponentes de la materia y la energía eléctrica también se relaciona con eldesplazamiento de pequeños corpúsculos. La energía luminosa se origina por elmovimiento de partículas dentro de los átomos. El conocimiento de la energíamecánica es fundamental para comprender las otras clases de energía, sean cualesfueren.

La energía puede almacenarse.

La energía puede almacenarse de varios modos. Por ejemplo, una plantaverde usa energía solar para fabricar los materiales que la integran; de este modo,las plantas verdes almacenan algo de la energía radiada por el Sol. Elalmacenamiento implica un cambio químico, por lo que la energía acumulada en elinterior de las plantas es energía química. Cuando se quema la madera de los

árboles, la energía almacenada en la madera se libera como calor y luz. Este estambién un cambio químico. Cuando comemos alimentos vegetales, la energía al-



C O P Y



macenada en los alimentos es liberada en nuestro cuerpo como calor y energíamecánica. De nuevo, la liberación de energía acompaña a un cambio químico.

La energía mecánica puede también almacenarse. Se necesita energíamecánica para comprimir un resorte o levantar una roca. Esta energía es

acumulada en el resorte o en la roca. Al soltarlos, se mueven al mismo tiempo quela energía es liberada.

La energía de una central nuclear proviene del núcleo de los átomos. A la vezque tiene lugar la reacción, algo de la masa del núcleo desaparece y surgenentonces calor, luz, sonido y energía mecánica. La propia materia es una forma deenergía almacenada.

La energía siempre se conserva.

¿La energía se convierte por completo de una forma en otra? Por ejemplo,

cuando una corriente de agua hace girar las turbinas de un generador, el aguapierde energía y el generador la gana. Estas dos cantidades de energía, ¿soniguales o ha desaparecido algo de ellas? Cuando la energía eléctrica producida porun generador se utiliza para hacer funcionar un motor en una fábrica lejana, ¿es laenergía del motor exactamente igual o menor que la energía eléctrica enviada a lafábrica por el generador?

Estas dos preguntas no son fáciles de responder, porque se necesitanmedidas muy precisas. En el caso del motor, por ejemplo, la energía eléctrica nosólo se convierte en energía mecánica, sino también en energía térmica y sonora.

Medidas muy cuidadosas, que se han hecho por un periodo de más de cienaños, indican que la energía es una cantidad que no cambia. Los científicos dicenque se conserva.

La ley de la consevación de la energía es la siguiente:

La energía no puede ser creada ni destruida, pero puede sertransformada de una forma en otra.

Cuando un rápido automóvil choca contra una pared de ladrillos, el vehículotermina en reposo y también, al fin, los ladrillos de la pared. ¿En qué se haconvertido la energía del automóvil? Si se fuera capaz de investigar la situación por

completo, encontraríamos que la mayoría de la energía mecánica del automóvil seha convertido en energía térmica, de modo que el metal del auto, el caucho de lasllantas, el suelo y los ladrillos de la pared, están ahora un poco más calientes queantes. Al tocar un clavo que se ha estado martillando, percibimos un aumento de sutemperatura, lo que demuestra que la energía mecánica se ha transformado enenergía térmica. En la mayoría de los casos, donde parece que ha desaparecidoenergía, se puede encontrar que la energía perdida se ha convertido en calor y,como se dijo anteriormente, ese calor es otra forma de la energía, por tanto, laenergía se conserva.

Enfocaremos ahora el análisis en los dos diferentes tipos de energíamecánica, y obtendremos expresiones que nos permitirán relacionarlas con eltrabajo, medirlas y calcularlas.



C O P Y



Energía cinética. Teorema de la energía cinética o de las fuerzasvivas

El teorema de la energía cinética relaciona el trabajo realizado por una fuerza(resultante) sobre un cuerpo, y lo que denominaremos energía cinética. Es un

poderoso método que permite relacionar la posición del cuerpo con el cuadrado dela velocidad.

Supongamos que tenemos una serie de fuerzas ∑→

F que actúan sobre una

partícula. De acuerdo con el segundo principio→→

=∑ amF . Si como resultado de

la acción de dichas fuerzas el cuerpo sufre un desplazamiento infinitesimal→

dr , eltrabajo infinitesimal realizado por las mismas es

)dz ady adx a( mdr amdr F dW z y x ++=⋅=⋅=→→→→

∑

reemplazandodt

dv a;

dt

dv a;

dt

dv a z

z

y

y x

x === , tenemos:

)dv v dv v dv v ( m )dz dt

dv dy

dt

dv dx

dt

dv ( mdW z z y y x x

z y x ++=++=

Si i es la posición inicial con velocidad→

i v y f la posición final con velocidad

→

f v , el trabajo total realizado por las fuerzas que actúan sobre la partícula se

obtiene integrando dW a lo largo de la trayectoria desde i hasta f

2 2 21( ) ( )

2

f

i

f v f

T x x y y z z x y z i i v W dW m v dv v dv v dv m v v v = = + + = + +∫ ∫

Si

=

=→

→

)v ,v ,v ( v

)v ,v ,v ( v

f z f y f x f

i z i y i x i

componentes

++=

++=

⇒ 2222

2222

f z f y f x f

i z i y i x i

v v v v

v v v v

22

2

1

2

1i f T v mv mW −= Teorema de la Energía cinética

Definimos a la energía cinética como

2

2

1v mEc = Energía cinética



C O P Y



La energía cinética depende en forma directa de la masa del cuerpo y del

cuadrado de su velocidad. Si 0=→

v es 0=Ec . La energía cinética es siempre

positiva.

Podemos escribir el teorema como:

Ec Ec Ec W i f T ∆=−= Teorema de la Energía cinética

o también

f i T Ec Ec W = +

donde T W involucra a todas las fuerzas que realizan trabajo sobre el cuerpo.

Como [ ] [ ] ⇒= W Ec las unidades de trabajo y de energía cinética son

las mismas, y las conversiones entre sistemas son que ya vimos para las detrabajo.

Unidades

Magnitud S.I. (M.K.S.) c.g.s.

Energía

[ ] [ ][ ]2v mEc =

Julio (J )2

21 1 1

m J N m kg

s = =

Ergio ( erg )2

21 1 1

cm erg din cm g

s = =

Conservación de la energía. Sistemas conservativos.

La ley de conservación de la energía es una de las leyes fundamentales de laFísica. Que algo se conserva, implica en física que mantiene el mismo valor en eltiempo.

Comenzaremos analizando sistemas unidimensionales, y luegogeneralizaremos conceptos a 3D.

Las fuerzas que actúan sobre una partícula pueden clasificarse enconservativas y no conservativas.

Fuerza conservativa: Son aquellas que cuando actúan sobre un cuerpoque realiza una trayectoria cerrada, su trabajo es nulo.



C O P Y



La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa.

Ejemplo: Pelota que se mueve haciaarriba y luego retorna al punto de partida.

En el ascenso el trabajo es negativopues fuerza y desplazamiento tienen sentidosopuestos. Cuando cae el trabajo es positivopues sus sentidos coinciden. Como la fuerzaaplicada es la misma y el módulo deldesplazamiento también, el trabajo totalrealizado por la fuerza peso (gravitatoria) enel ascenso y descenso es nulo

En una dimensión, una fuerza es conservativa cuando solo depende de lacoordenada del objeto sobre el cual es aplicada. La fuerza restauradora elástica

(Ley de Hooke) x k F −= es un ejemplo de ello. Vimos que el trabajo realizado

por un resorte es

( )22

2

1i f x x k W −−=

Si la trayectoria es cerrada, es f i x x = , y por tanto 0=W .

Un ejemplo de fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento, cuyotrabajo es negativo en todo momento.

Si en un sistema, todas las fuerzas que realizan trabajo son conservativas, sedice que el sistema es conservativo.

En los sistemas conservativos existe una relación sencilla entre el trabajorealizado por las fuerzas y la conservación de la energía.

Consideremos un sistema formado por la Tierra y un cuerpo que cae

libremente desde i y hasta f y . Si el sentido vertical positivo es hacia arriba, el

trabajo total será (suponemos que no existe rozamiento):

∫∫ −=⋅=→→ f

i

f

i

y

y

y

y T dy )g m( dl F W

)y y ( g mW i f T −−=

Pero de acuerdo con el teorema de la energía

cinética, si i v es la velocidad en i y , y f v la velocidad

en f y :

22

2

1

2

1i f T v mv mEc W −=∆=



C O P Y



igualando ambas expresiones tenemos

)y y ( g mv mv m i f i f −−=−

22

2

1

2

1

f f i i y g mv my g mv m +=+ 22

2

1

2

1

Al termino y g mEp = lo denominamos Energía potencial gravitatoria , y a

la suma de la energía cinética más la energía potencial gravitatoria se la denominaEnergía mecánica.

EpEc E +=

Si especificamos a la coordenada y como la altura h, podemos escribir

hg mEp = .

La igualdad recuadrada anterior nos dice que la energía mecánica de un

sistema conservativo en el instante i t es igual a la energía mecánica en el instante

f t . Dado que i t y f t son arbitrarios concluimos que en los sistemas

conservativos la energía mecánica se conserva.

CteEpEc E =+= Para sistemas conservativos

Energía Potencial y conservación de la Energía Mecánica.

En el caso de la energía potencial gravitatoria, el cambio de Ep es igual al

trabajo negativo realizado por la fuerza gravitatoria. En los sistemas conservativos,

un cambio de la energía cinética es compensado por un cambio de igual magnitud ysigno opuesto de la energía potencial, de modo que la energía mecánicapermanezca invariada.

Sea ) x ( F x una fuerza conservativa (unidimensional), el trabajo que realiza

la misma esta dado por:

∫=f

i

x

x x dx ) x ( F W

Definimos el cambio de energía potencial i f EpEp − debido a una fuerza

conservativa como el valor negativo del trabajo realizado por la fuerza



C O P Y



∫−=−=∆f

i

x

x x i f dx ) x ( F EpEpEp

Al usar el signo negativo, un aumento de la Ep se corresponde con una

disminución de la Ec .

Energía Potencial Gravitatoria

Si movemos un objeto desde una posición i y hasta otra f y , el cambio de

energía potencial es

i f i f y g my g mEpEpEp −=−=∆

que es el valor negativo del trabajo realizado por la fuerza peso.

Si elegimos como punto de referencia 0=y , y referimos la energía

potencial con respecto a el, tenemos

y g mEp = Energía potencial

Energía Potencial Elástica

Vimos que el trabajo realizado por la fuerza recuperadora elástica era

) x x ( k W i f

22

2

1

−−=

por tanto

2222

2

1

2

1

2

1i f i f i f x k x k ) x x ( k EpEpEp −=−=−=∆

Si elegimos como punto de referencia 0= x

2

2

1 x k Ep = Energía Potencial Elástica

En general: el cambio de la energía potencial es el valor negativo del trabajorealizado por la fuerza conservativa.

Fuerzas conservativas en tres dimensiones

En tres dimensiones, una trayectoria cerrada es cualquiera que se cierresobre si misma. Si la fuerza es conservativa, el trabajo realizado a lo largo de unatrayectoria de este tipo será nulo, es decir

0=⋅∫ →→ dr F Si →F es conservativa.



C O P Y


Consideremos ahora una trayectoria abierta que va desde i hasta f , y luego

otra diferente que va desde f hasta i , de modo que ambas en conjunto

constituyen una trayectoria cerrada, si F →

es una fuerza conservativa se cumple:

021 =⋅+⋅ ∫∫ →→→→ i

f

)(

f

i

)( dr F dr F

∫∫∫ →→→→→→

⋅=⋅−=⋅f

i

)(

i

f

)(

f

i

)( dr F dr F dr F 221

Esta igualdad nos dice que si la fuerza es conservativa, el trabajo realizadoentre dos puntos cualesquiera no depende de la trayectoria seguida. Podemosenunciar una nueva definición de fuerza conservativa:

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza entre dos puntosarbitrarios es independiente de la trayectoria que se emplea para unirlos

Fuerzas no conservativas

Si una fuerza no conservativa realiza trabajo sobre un sistema, la energíamecánica no se conserva y cambia durante el movimiento.

El teorema de la energía cinética es válido para cualquier tipo de fuerzas,conservativas y no conservativas. Si actúan ambos tipos de fuerzas, el trabajo totalserá la suma del trabajo de las fuerzas conservativas más el trabajo de la fuerzasno conservativas, es decir:

T cons no cons f i W W W Ec Ec Ec = + = − = ∆

Por otra parte el trabajo realizado por las fuerzas conservativas es

( )cons f i W Ep Ep Ep = − − = − ∆

remplazando en la ecuación anterior

( ) i f consnoi f Ec Ec W EpEp −=+−−

i f i i f f consno E E )EpEc ( EpEc W −=+−+=

E E E W i f consno ∆=−=

El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación dela energía mecánica.

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