Unidad parabola shared

Capítulo II La Parábola

8 MSc. Jorge Wilson Leiva Gonzales: Docente de: UCV. UNASAM-PERU

LA PARÁBOLA

Al finalizar el estudio de este capítulo, el lector

será capa

Definir la c nica como lugares geom t

z de:

1) ó é

2) Recono

ricos del

c

plano.

er la forma de la pará

OBJETIVOS

2 2

bola.

3) ó ó

;

4) Hacer uso del So

Identificar la c nica repre

ftware Libre GEOGEBRA

5) A

sentada por la ecuaci n:

Ax Cy Dx Ey F 0 Ax Cy Dx

plicarlas para resolver situaciones de l

Ey F

a vida real.

0

LA

S C

ÓN

ICA

S Y

SU

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CIO

NE

S C

ON

SO

FT

WA

RE

LIB

RE

GE

OG

EB

RA

CAPÍTULO

II



Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la

intersección de un cono circular con un plano que no contenga al

vértice del cono.

Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del

plano respecto del eje del cono.

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de

revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. α = β

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su

vértice y llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la

generatriz del mismo y, llamamos β al ángulo que forma el plano

con el eje del cono.

Según la relación entre es tos ángulos, ambas superficies se cortarán

en:

una circunferencia si β = 90º

una elipse si α < β < 90º •

una parábola si α = β

las dos ramas de una hipérbola si α > β

Al término de esta secuencia, podrás adquirir la competencia en:



Conocimiento

- Identificar los ejes de coordenadas y comprender los métodos para

resolver ecuaciones de primer y segundo grado. -Interpretar situaciones reales con ecuaciones cuadráticas

incompletas y completas, partiendo del conocimiento de

planteamiento de problemas a través de modelos matemáticos, así

como el empleo de tablas, gráficas, diagramas y textos que apoyen

la toma de decisiones.

-Identificar los tipos de solución que pueden presentarse al resolver

una ecuación cuadrática aplicada a la parábola

- Hacer uso del software libre GEOGEBRA.

Habilidades -Identificar elementos de la parábola ecuaciones a partir de éstas.

- Desarrollar las distintas ecuaciones de la parábola. - Expresar los elementos en las ecuaciones algebraicas

- Representar gráficamente estos elementos y viceversa.

-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos para probar su

validez.

-plantear y resolver problemas de la vida utilizando las diversas

ecuaciones de la parábola.

Actitudes -Tomar decisiones como consecuencia de la valoración de los

elementos que se presenten en el mal uso de las tecnologías.

-Apreciar la utilidad de expresar matemáticamente regularidades y

patrones.



TEMARIO



1.1 Introducción.

En este segundo capítulo se encargan de definir con claridad los

conceptos básicos de la parábola asociados con las graficas en

GEOGEBRA junto con algunas de sus aplicaciones más

elementales.

Para el lector que se encuentra por primera vez en un curso de geometría Analítica en particular es secciones cónicas resulta un

tanto confusa la idea de esta clase de cónicas. Es muy probable

que haya escuchado algunas cosas acerca de las aplicaciones

cónicas, como por ejemplo, que son muy importantes, que

aparecen en muchas aplicaciones de ciencia e ingeniería, o que

son algo tan difícil de resolver como la cuadratura del círculo,

pero sólo la experiencia de primera mano nos puede mostrar

cuáles de las cosas que hemos oído son ciertas y cuáles son

simplemente fama inmerecida.

En mi experiencia de poder haber dictado el curso más de 5 años

en la universidad pública y privada, es aquí de damos estos conceptos en forma más didáctica y sencilla de resolverlos y

además de graficarlos usando uno de los software libres,

representan una herramienta muy valiosa e insustituible para

entender el mundo geométrico y físico, pues ellas llevan en sí

algo que no es fácil de manejar o incluso definir por ningún otro

medio: el cambio. No hablamos aquí de algo intangible o

imaginario que desearíamos que ocurriera en la vida de una

persona o de la sociedad, sino de algo que es posible definir y

manejar, y que nos servirá para determinar de qué manera una

variable (la dependiente) está en función de otra (la

independiente) en casos en que esta dependencia sea demasiado

complicada.

1.2 Definición de la Parábola

Una parábola es el conjunto p(x,y) de todos los puntos en el

plano 2

que equidistan de una recta fija DD' , llamada

directriz, y de un punto fijo, denominado foco, que no pertenece

a la recta. Se denota:

2P: p / d( p , F ) d ( p,DD' )

Además se cumple:



p P PF d ( p, L );A P AF d (A, L)

B P BF d (B, L );V P VF d (V, L )

1.3 Análisis de los elementos de la parábola

Elementos de la Parábola

a. V: Vértice de la parábola Punto medio entre el foco y la

directriz

b. F: Foco de la parábola es el punto fijo, situado sobre el eje de

simetría a p unidades del vértice.

c. 1L : Eje de simetría. Recta perpendicular a la directriz L y

que pasa por el vértice y el foco

d. DD' L : Directriz: Recta fija perpendicular al eje de

simetría e. CE : Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos

cualesquiera de la parábola.

f. p: Parámetro (longitud) del vértice al foco

g. AB Cuerda focal. Segmento de recta que une dos puntos de la

parábola pasando por el foco.

h. LR : Longitud del lado recto. Recta que une dos puntos de la

parábola y pasa por el foco en forma perpendicular

i. PF: Radio vector. Segmento de recta que une el foco con un

punto de la parábola.

Formas cartesianas de la Ecuación de la Parábola:



Primera Forma (Canónica). Consideremos que el vértice de la

parábola es V(0,0) y que su eje de simetría sea el eje x (y = 0), es

decir parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “x”

positivo. Llamemos p a la distancia dirigida desde el vértice hasta

la directriz o al foco. Veamos su grafica

Ecuación: 2P: y 4px ; Vértice : V(0, 0) ; Q(-p,0)

p QV VF ; Foco: F(p, 0) ; Longitud del lado recto :

LR 4p ;

Ecuación de la directriz L : x = - p; Ramas abren hacia la derecha

Segunda Forma (Canónica). Consideremos ahora una parábola

con vértice en el origen, tal que su eje de simetría coincida con el

eje y

Cuando la parábola abre sobre el eje “x” positivo la

ecuación es: y2= 4px y cuando es negativa únicamente

cambia el signo por estar en el lado contrario



Ecuación: 2P: x 4py ; Vértice : V(0, 0) ; Q(0,- p)

p QV VF ; Foco: F(0, p) ; Longitud del lado recto :

LR 4p ; Ecuación de la directriz L: y = - p; Ramas abren hacia

arriba

Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la parábola con longitud del

lado recto = 8, ramas abren hacia la derecha y vértice en el origen,

determine su foco y la ecuación de la directriz. Realice su grafica.

Solución.

Según datos la ecuación es: 2P: y 4px , para calcular “p”

Cuando la parábola abre sobre el eje “x” positivo la ecuación

es: y2= 4px y cuando es negativa únicamente cambia el signo

por estar en el lado contrario



LR 4p 8 p 2;como el foco es F(p,0)

Entonces el foco es: F(2,0)

La directriz L : es x = - p , entonces: la directriz L : es x = - 2

Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen

Tercera Forma (Ordinaria). Parábola con vértice fuera del origen,

eje focal paralelo al eje “x” y ramas hacia la derecha y tiene por

ecuación:

2

P : y k 4p(x h) ; Vértice : V (h, k); Foco : F (h + p, k)

Longitud del lado recto L : LR 4p

Ecuación de la directriz L : x = h – p ; Ramas abren hacia la

derecha; p = distancia del punto al vértice

Ecuación del eje L1 : y = k; Coordenadas de los extremos del lado

Recto: L( h p,k 2p ); R( h p,k 2p )

Observa que para calcular el valor de “p” se despeja 4p del lado

recto, que es la distancia que hay del foco al vértice y del vértice

a la directriz



Ejemplo2. Encuentra el vértice, el foco, LR y la ecuación de la

directriz de la parábola 2

P : y 2 8(x 4) . Haga la grafica de

la parábola.

Solución.

Empezamos escribiendo la ecuación a la que corresponde

Ecuación: 2 2

P : y k 4p(x h) y 2 8(x 4)



Determinar los elementos correspondientes: h 4 h 4,para k 2 k 2

8 8

4p 8 p p p 24 4

Foco: f (h p,k) f ( 4 2,2) f ( 2,2)

Vértice: V(h,k) , entonces: V( 4,2)

La directriz L: x h p x 4 2 x 6

El lado recto: LR 4p 4(2) 8

Cuarta Forma. Parábola con vértice fuera del origen, eje focal

paralelo al eje “y” y ramas hacia arriba.

Ecuación: 2

P : x h 4p(y k) ; Vértice: V (h, k)

Foco: F (h , k + p); Longitud del lado recto: LR 4p

Ecuación de la directriz L: y = k - p ; Ramas abren hacia arriba

p = distancia del punto al vértice; Ecuación del eje L1: x = h

Coordenadas de los extremos del lado Recto:

L( h 2p ,k p ); R( h 2p ,k p )

Se demuestra de la siguiente forma:

Teorema: La forma canónica de la ecuación de una parábola

con vértice V h;k y directriz y k p es

2

P : x h 4p y k Donde foco F está a p unidades

(orientadas) del vértice

Demostración.



Sean P(x,y) punto cualquiera, F(h,k p) su foco,

Q(x,k p) punto en la recta directriz L:y k p ,

FP PQ

222 2

x h y k p x x y k p

222

x h y k p 0 y k p

222

x h y k p y k p

222

x h y k p y k p

22 2 2 2x h y k 2p y k p y 2y k p k p

22 2 2 2 2 2x h y 2ky k 2py 2pk p y 2ky 2py k 2kp p

2 2

x h 4py 4kp P : x h 4p y k

Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el

punto (3. 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la

ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Realiza su

gráfica.

Solución.

Como el vértice V y el foco F de la parábola están paralelos al eje

“y” como es este caso el foco está debajo del vértice, entonces es una parábola con vértice fuera del origen y ramas hacia abajo.

Ecuación foco Vértice

2

P : x h 4p(y k) ; f ( h, k – p) ; v( h, k )

2

x 3 4(2)(y 4) ; f (3, 2) ; v(3, 4)

2

x 3 8(y 4) k – p = 2 h = 3



4 – p = 2 k = 4

4p = 8 – p = 2 – 4

LR 4p – p = – 2

LR 8 p =

2

Directriz L : y = k + a, entonces: y = 4 + 2 = 6

III. Ecuación general de la parábola

A) Eje focal paralelo al eje “x” y2 + Dy + Ex + F = 0

B) Eje focal paralelo al eje “y” x2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo 4. Encuentra la ecuación general de la parábola con focos

en (0,-2) y directriz la recta: x – 5 = 0.

Solución.

p = 2.5 2P: (y k) 4p(x h) 2 2(y 2) 4(2.5)[x 2.5] y 4y 4 10x 25

ECUACIÓN: 2P: y 10x 4y 21 0



Ejemplo 5. Un arco parabólico tiene una altura de 20m y 20m de

ancho. ¿Cuál es la altura del arco a 5m del centro?

Solución.

2P: (x h) 4p(y k) ; V ( h, k ), entonces: V(0,20),como

P(x,y), entonces P(10, 0) reemplazando 100 = -4p (-20),

entonces:100 = 80 p luego el valor de p = 1.25

Sustituimos: x2 = -4 (1.25) (y-20) entonces x2 = -5 (y-20)

Sí x = 5 : 25 = -5y + 100 luego 5y = 100 – 15 = 75

ALTURA: y = 15 m



1.4 Ejercicios Resueltos.

1. Un puente colgante de 120m. de longitud tiene la trayectoria

parabólica sostenida por torres de igual altura si la directriz se

encuentra en la superficie terrestre y el punto más bajo de cada cable

esta a 15m. de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres.

Solución.

Primero hacemos una representación gráfica (01) de la

información proporcionada, trabajando en el plano cartesiano, es

mejor poner el vértice en el origen:

Gráfica (01)

Usaremos la ecuación de la parábola forma : 2P: x 4py

La ecuación de la trayectoria seria : 2 2x 4(15)y x 60y

Utilizando la ecuación de la trayectoria determinamos “y” :

h y p h 60 15 h 75m. Por tanto la altura de las torres

sería: h y p h 60 15 h 75m.

2. Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica,

cuando el nivel AB del agua alcanza una altura de 6m, su longitud



AB mide 24m; cuando el nivel del agua desciende 4m, se pide

calcular la longitud de RT del nivel del agua.

Solución.

Consideremos la gráfica (02) siguiente:

Usaremos la ecuación de la parábola en forma canoníca y es la

ecuación de la sección transversal: 2P: x 4py

Los extremos del nivel AB son: A(-12,6) y B(12,6)

2 2

2

Como B(12,6) P (12) 4p(6), de donde p 6 x 24y

Ahora para T T(x,2) P x 48 x 4 3

Por lotanto: ST 2x 8 3 metros

Gráfica (02)

3. Según la gráfica (03) , hallar la altura de un cable sobre el piso

de una distancia de 300 metros de la base de la torre de amarre. Se

supone que el cable que resiste una carga de igual peso en distancias

horizontales iguales



Gráfica (03)

Solución.

Traza los ejes cartesianos tal que el origen coincida con el punto de

contacto del cable con el piso. Nota que el cable forma una parábola vertical hacia arriba con

vértices en el origen. Luego es de la forma:

2P: x 4py. Como el punto (500,100) pertenece a la parábola,

satisface su ecuación, reemplazando: 2

2

2

(500)(500) 4p(100) 4p 2,500

(100)

Entonces la ecuación es: x 2,500y

Observa que deben ser 300 metros desde la base de la torre de

amarre y como del origen a la altura que se busca hay x= 500 -300 = 200. Sustituyendo x = 200 metros, en la ecuación anterior se

obtiene: 2

2 (200)(200) 2,500y y y 16 metros

(2,500)

4. De las distintas formas de puentes son en forma de arco usados

en construcciones, uno tiene la forma de arco parabólico,

como lo muestra la gráfica (04). Determina la ecuación del arco

parabólico cuya altura es 6 metros y su claro o luz 12 metros.



gráfica (04 - a)

Solución

Haces coincidir el vértice del arco parabólico con el origen. La

ecuación del arco parabólico es de la forma:

2P: x 4py

gráfica (04 - b)

En la gráfica puedes observar que A(- 6,- 6) pertenece a la parábola

por lo que satisface su ecuación:

Y



32( 6) 4p( 6) 36 24p p2

32 2Luego la ecuación del arco es: (x) 4( )y P : x 6y2

5. La gráfica muestra la trayectoria de un proyectil, en el cual

describe una parábola de eje vertical, el proyectil alcanza su máxima

altura V(800,1000) e impacta en la ladera de la colina OBC en el

punto A. Hallar la ecuación de la trayectoria y las coordenadas del

punto de impacto , si B(1600,1400)

gráfica (05)

Solución.

Según los datos consideremos la ecuación de la parábola:

2P: (x h) 4p(y k) , además el vértice

2V 800,1000 P (x 800) 4p(y 1000) . Además el

origen (0,0) pertenece a la trayectoria, entonces:

2(0 800) 4p(0 1000) p 160 , luego la ecuación de la

trayectoria es:

2 2P: (x 800) 640(y 1000) ó P: x 1600x+640y 0.....(1)

Por otro lado, la ecuación del lado OB es: 7

y x8

x

0

y

C

A

V(800,100) B



De donde se obtiene: x 1040 ó y 910 . Por tanto el punto de

impacto es: A(1040,910)

6. Un arco del Templo del Señor de la Soledad es de forma

parabólico tiene aproximadamente 18 metros de altura y 24 metros

de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola,

¿A qué altura sobre la base tiene la parábola un ancho de 16 metros?

Solución

Hagamos una representación grafica:

gráfica (06)

Sea V = (0, 18) el vértice de la parábola con eje y Luego la ecuación

de la parábola es: 2 (x h) 4p(y k)

El vértice V(0,18) pertenece a la parábola y reemplazando,

obtenemos: 2 2 (x 0) 4p(y 18) x 4p(y 18)

El punto (12, 0) se halla en la parábola y sustituyendo las

coordenadas en la ecuación, calculamos 4p:

21442 (12) 4p( 18) 4p 4p 8 P : x 8(y 18)18

Como la parábola es simétrica, la altura buscada es la ordenada del punto (8, y) de la parábola, remplazando en la parábola se obtiene:



2 (8) 8(y 18) 64 8y 144 y 10 metros.

Por tanto su altura a 16metros es de 10metros.

7. El agua que fluye de un grifo horizontal que esta a 25metros

del piso describe una curva parabólica con vértice en el grifo. Si a

21metros del piso, el flujo del gua se ha alejado 10 metros de la recta

vertical que pasa por el grifo. ¿a qué distancia de esta recta vertical

tocará el agua el suelo?

Solución

Hacemos el siguiente bosquejo con los datos del problema:

gráfica (07)

Sea V = (0, 25) el vértice de la parábola con eje y Luego la ecuación

de la parábola es: 2 (x h) 4p(y k)

El vértice V(0,25) pertenece a la parábola y reemplazando,

obtenemos:

2 (x 0) 4p(y 25).....(1)

Como P(10,21) pertenece a la parábola entonces:

252(10) 4p(21 25) p4



Sustituyendo en (1) se tiene

252 2 x 4( )(y 25) x 25(y 25).....(2)4

Para calcular la distancia “d” basta sustituir las coordenadas del

punto (d , 0) en la ecuación (2)

2 d 25(0 25) d 25

Lo que nos indica que el agua tocara el suelo a 25 metros de la recta

vertical.

8. Cada uno de los cables que sostienen el arco principal del puente

Golden Gate según la gráfica (08), forman una grafica de una

parábola. Si las torres que los sostienen están a 146 metros arriba

del punto medio del cable y la distancia entre dicho punto y una de

las torres es de 1260 metros, entonces ¿Cuál es la ecuación descrita

por uno de los cables?

gráfica (08 - a)

Solución.

Con los datos haciendo una grafica:



gráfica (08 - b)

De la gráfica (08 - b) se observa que la parábola es vertical con

vértice en el origen del plano y con abertura hacia arriba, por lo

tanto la ecuación a utilizar es: P: x2 = 4py.

Uno de los puntos de un cable es P(1260,146) que se sustituye en la

ecuación: (1260)2 = 4p(146)

Se despeja el parámetro “p” de la ecuación y se obtiene su valor: 2(1260)

p4(146)

198450

p73

Se sustituye el valor de “p” en la ecuación establecida al principio

de la solución del problema.

2 198450

x 4 y73

Se simplifica la expresión y se obtiene la ecuación ordinaria

descrita por uno de los cables.

2 793800P: x y

73

Se iguala la expresión a cero y se obtiene la ecuación general

descrita por uno de los cables: 73x2 – 793800 y = 0

9. Un cable sostenido por dos torres eléctricas tiene forma

parabólica y su punto medio se ubica a 20 metros sobre la carretera.

Si la altura de cada torre es de 50 metros y la distancia entre ambas



es de 300 metros, entonces ¿cuál es la ecuación que describe la

forma del cable?

Solución.

Haciendo una gráfica con los datos:

gráfica (09)

De la gráfica (09) se observa que la parábola es vertical con vértice

V(0,20) y con abertura hacia arriba, por lo tanto la ecuación a

utilizar es de forma parabólica y se denota P: (x – h)2 = 4p(y – k)

Uno de los puntos del cable es P(150,50) el cual se sustituye en la

ecuación junto con las coordenadas del vértice:

(150)2 = 4p(50 – 20)

Se despeja el parámetro “p” de la ecuación y se obtiene su valor: 2(150)

p4(30)

375

p2

Se sustituye el valor de “p” y las coordenadas del vértice en la

ecuación establecida al principio de la solución del problema.

2 375

x 4 (y 20)2

Se simplifica la expresión y se obtiene la ecuación ordinaria

descrita por la forma del cable.

2P: x 750 (y 20)

Se iguala la expresión a cero y se obtiene la ecuación general

descrita por la forma del cable y es de forma parabólica.

P: x2 – 750y + 15000 = 0



10. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12cm. en el

centro y un diámetro en la parte superior de 32 cm.. Hallar la

distancia del vértice al foco.

Solución.

Con los datos hacemos una gráfica usando el GEOGEBRA:

gráfica (10)

Los ejes coordenados se eligen de modo que la parábola tenga su

vértice en el origen y su eje a lo largo del eje y: además, se abre

hacia arriba. Por lo tanto, la ecuación de la parábola es de la forma:

2P: x 4py

Donde “p” centímetros es la distancia del vértice al foco. Como el

punto (16,12) está en la parábola, sus coordenadas han de

satisfacer la ecuación y se tiene así:

162 (16) 4p(12) p3

. Por tanto la distancia del vértice al

foco es 16

p cm.3

11. Una pelota describe una curva parabólica alrededor de un foco

F, siendo este foco de la parábola. Cuando la pelota esta a 10metros

de F, el segmento de recta de F a la pelota hace un ángulo de 600

con el eje de la parábola.

a. Hallar la ecuación de la parábola.

b. ¿Qué tan cerca de F pasa la pelota?

Solución.

Con los datos hacemos una grafica usando el GEOGEBRA:



gráfica (11)

Consideremos:

El vértice V(0,0) de la parábola, con foco F(p,0) y directriz:

L: x p .Ahora calculemos el valor de p.

Por definición de la parábola se tiene para el punto Q.

La distancia de: QF QL 10 QL . Por otra parte de la figura

se tiene: 0QL V R F V T F p p+10cos(60 )

Luego:

1 510 2p 10( ) p ( )

2 2 . Por tanto la ecuación buscada es:

52P: y 10(x )2

.

Finalmente la menor distancia de

5QF a la menor distancia de QL p ( ) metros.

2

12. Un arco del túnel de entrada llamada punta olímpica en Ancash

es de forma parabólica tiene 7.50 metros de ancho y 6.50 metros de

altura. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola, ¿A

qué altura de la parte rayada sobre la base tiene la parábola un ancho

de 3 metros a partir del centro? Veamos la grafica.



gráfica (12-a)

Solución

Hagamos una representación su gráfica (12- b ) usando los datos del

problema y usando el software libre GEOGEBRA:

gráfica (12-b)

Sea V = (0, 6.50) el vértice de la parábola con eje y Luego la

ecuación de la parábola es: 2 P: (x h) 4p(y k)

El vértice V(0,6.50) pertenece a la parábola y reemplazando,

obtenemos: 2 2 (x 0) 4p(y 6.50) x 4p(y 6.50)



El punto P (3.75, 0) se halla en la parábola y sustituyendo las

coordenadas en la ecuación, calculamos 4p:

2(3.75) 2252 (3.75) 4p( 6.50) 4p 4p 2.16346.50 104

Siendo su ecuación: 2252P: x (y 6.50) 104

Como la parábola es simétrica, la altura buscada es la ordenada del

punto A (3, y) de la parábola, remplazando en la parábola se

obtiene:

2252 (3) (y 6.50) 9(104) 225y 1462.5104

936 1462.5 225y y 2.34 metros

Por tanto su altura es de 2.34 metros

13. Es necesario encerrar un campo rectangular con una cerca de

120metros de longitud. Determinar la relación existente entre el área

“y” del campo, cuando uno de los lados es “x”, ¿Para qué valor de

x el área es máxima? Solución.

Si “y” es el área del rectángulo entonces: y L.x , donde

L: largo y x: ancho.

De donde:

2x 2L 120 L 60 x , luego el área “y” del campo

rectangular cercado es:

2y (60 x).x o (x 30) (y 900) , de

donde el valor de “x” que maximiza el área (la ordenada) es x = 30

metros; por tanto el área máxima es 900 metros cuadrados ,veamos

la gráfica (13)



gráfica (13)

14. Se tiene un estante de forma parabólica según gráfica (14 - a)

y se desea colocara un librero de forma rectangular, se desea saber

la altura máxima a colocar dicho librero (en metros).

gráfica (14 - a)

Solución.

Según los datos hacemos su gráfica (14 - b), debemos hallar el valor

de y, además colocando el vértice de la parábola sobre el eje y, la

base sobre el eje x.



Así es una parábola vertical se abre hacia abajo con vértice en

V(0,2.5), por lo tanto su ecuación es: 2P: (x h) 4p(y k)

gráfica (14 - b)

Luego reemplazando el vértice

2 2 V(0,2.5) (x 0) 4p(y 2.5) x 4p(y 2.5)..(1)

Como el punto (1,0) pertenece a la parábola, lo sustituimos en (1) y

hallamos el valor de 4p. Así.

12(1) 4p(0 2.5) 4p 4p 0.42.5

. Por tanto sustituimos

4p en (1) y obtiene el ancho del librero:

22x 0.4(y 2.5) y 2.5 2.5x ....(2)

Al observara el grafico; si dividimos el ancho del librero entre dos,

es decir: 1.2

0.62

, obtenemos el valor de x, para el cual la ordenada

del punto (x , y) de la parábola nos da la altura . Sustituimos el valor

de x = 0.6 en la ecuación (2) y se comprueba que y = 1.6. Así, la

altura máxima que puede tener el librero es de 1.6 metros.

15. Se desea diseñar un reflector parabólico con una fuente de luz

en su foco, que está a 9

cm.4

del vértice. Si el reflector debe tener 10

cm. de profundidad, ¿Cuál debe ser el ancho de su boca y a qué

distancia esta el borde de la fuente de luz ? .Ver gráfica (15 - a)



gráfica (15 - a)

Solución.

Representemos un corte longitudinal del reflector, mostrando el vértice de la sección longitudinal en el origen y el foco a

9 unidades 4

del vértice sobre el eje x, entonces, el foco es 9

F( ,0)4

, como se muestra en la gráfica (15 - b):

gráfica (15 - b)

Según su gráfica (15 - b) se tiene por ecuación de la parábola

2P: y 4px

Como 9

p4

, entonces: 2 29y =4( )x y 9x

4 .Por tanto la

ecuación del reflector es: 2P: y 9x



Como el reflector debe tener 10 cm. de profundidad, en punto de la

parábola es P(10, k), que representa el borde exterior del reflector.

Sustituyendo el valor de x = 10 e y = k en la ecuación, 2k 9(10) k 90 cm.El ancho total es: 2 90 cm.

Por definición de parábola, el radio focal de cualquier punto de la curva es igual a la distancia de dicho punto a la directriz.

Luego: 9 49

FP x p 10 cm.4 4

. Por tanto el borde esta a

49cm. de la fuente de luz

4

16. Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de

revolución según gráfica (16 - a) . Las señales que emanan desde

un satélite llegan a la superficie de la antena y son reflejadas a un

solo punto, donde está colocado el receptor. Si el disco de la antena mide 8 pies de diámetro en su abertura y 3 pies de profundidad en

su centro,

¿en qué posición debe estar colocado el receptor ?

Solución.

Con los datos del problema, hagamos una representación gráfica (16

- a) usando el Software Libre GEOGEBRA

gráfica (16 - a)



Ahora en el sistema rectangular dibujemos la parábola usada para

construir el disco, de modo que el vértice de la parábola este en el

origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la gráfica (16 -

b) y la forma de la parábola es: 2P: x 4py

gráfica (16 - b)

Y su foco esta en (0,p), como (4,3) es un punto en la gráfica

(16 - b), tenemos : 42(4) 4p(3) p3

. El receptor debe

colocarse en forma precisa a:

11 pies de la base del disco, a lo largo del eje de simetria

3

17. Una nave espacial en el espacio exterior es avisada desde la

tierra moviéndose en una ruta parabólica, cuyo foco es nuestro

planeta. Cuando la recta que va de la tierra a la nave espacial forma

un ángulo de 900 con el eje de la parábola, la nave se encuentra a 40 millones de millas.



a. ¿Qué tan cerca pasa de la tierra la nave espacial ? Considere a

la tierra como un foco

b. ¿ Que tan cerca pasará si el ángulo de la recta entre la tierra y

la nave con el eje de la parábola es de 75 0 ?

Solución.

a) ¿Qué tan cerca pasa de la tierra la nave espacial ? Considere a

la tierra como un foco

Representado es su gráfica (17 – a), el ejercicio

gráfica (17 – a)

Cuando la recta entra en la nave y la tierra tiene un ángulo de 900

Con el eje de la parábola, esta recta pasa por el foco, por el mismo

lugar donde se ubica el Lado Recto (LR) de la parábola. Si la tierra

es el foco, entonces podemos decir que la distancia entre la tierra ya

la nave espacial es de LR

2, o sea que:

LR 2(40) millones de millas LR 80 millones de millas

Por definición,

LR 80 millonesLR 4p,donde p DF VF p

4 4

Luego: p 20 millones de millas



Como el vértice es el lugar más cercano al foco entonces VF será la

menor distancia entre la tierra y la nave espacial

p VF 20 millones de millas

b) ¿ Que tan cerca pasará si el ángulo de la recta entre la tierra y la

nave con el eje de la parábola es de 75 0 ? Representamos en forma su gráfica (17 – b) al ejercicio:

gráfica (17 – b)

Por definición sabemos que PF PD'

Si tomamos el segmento PF y su proyección sobre el eje de la

parábola podemos determinar qué: 0 0PD' DF PFcos(75 ) DF PD' PFcos(75 )

0DF 40 millones 40 millones cos(75 )

DF 29.64 millones de millas

Por definición

DF 29.64 millones de millasDF 2p p p

2 2

p 14.82 millones de millas

18. Un ingeniero civil plantea reconstruir la iglesia de San

Francisco y propone que debe ser de forma parabólica, con eje



vertical y cuyos puntos de apoyo están separados por una distancia

de 30 metros. Si el foco de la parábola debe estar a 8 metros de

altura, ¿Cuál es la altura que debe tener dicho arco ?

Solución.

Consideremos la ecuación del arco parabólico:

2P: (x h) 4p(y k) ,sea la gráfica (18):

gráfica (18)

Como: F(0,8) F(h,k p) k p 8 p 8 k . Luego,

2 2(15,0) P (15) 4(8 k)(0 k) 4k 32k 225 0

25 9Resolviendo: k k

2 2

Por tanto , la altura del arco de la iglesia es : k = 12.5 metros.

19. La parte superior de la catedral de Otuzco la Libertad según

gráfica (19 - a), tiene la forma de parábola de 9metros de alto y 12

metros de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya

base es paralela al piso y mide 8metros Cuál es la altura máxima de

la ventana?



gráfica (19 - a)

Solución.

Con los datos del problema la ecuación del arco es parabólico:

2P: (x h) 4p(y k) , haciendo su gráfica (19 - b), con los

datos del problema:

gráfica (19 - b)

Entonces

2V(0,9) P x 4p(y 9),ademas V(6,0) P

2 2entonces (6) 4p(y 9) p 1 P: x 4(y 9)



Como el púnto 2(4,y) P (4) 4(y 9) y 5

Luego la altura de la ventana es: h 9 5 4metros.

20. Encontrar la mayor altura de un vagón de ferrocarril de techo

plano, con un ancho de 10 metros que puede pasar por debajo de un

arco parabólico cuya altura y anchura máximas son de 20 metros.

Solución.

Consideremos la ecuación : 2P: x 4py , según los datos

hacemos su gráfica (20), debemos hallar el valor de y, además

colocando el vértice de la parábola sobre el eje y, la base sobre el

eje x, abierto hacia abajo.

gráfica (20)

Como el punto (10,-20) pertenece a la parábola, reemplazando:

52 2(10) 4p( 20) p P: x 5y4

Reemplazando el punto P (5 , y) en la parábola:

P: 25 5y y 5 metros. .Por tanto su altura máxima es :

h = 5 metros.

21. Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los

cables que soportan un puente colgante cuando el claro de luz es de

150 metros y la depresión 20 metros.

Solución.



Con los datos hacemos su gráfica (21) , usando el software libre

GEOGEBRA:

Considérenos el vértice en el origen de coordenadas V(0,0)

CD AB 150 metros (claro de luz)

AC OB BD 20 metros (depresión),de donde D(75,20)

gráfica (21)

Reemplazando en la parábola: 2P: x 4py , se tiene

21125 11252P: (75) 4p(20) 4p P: x y4 4

22. Si la ecuación de una parábola es: 2y 40x 0 , hallar el área

de la región triangular cuya base es el lado recto de dicha parábola y por vértice opuesto al origen de coordenadas.

Solución.

Con los datos hagamos su gráfica (22):

Considérenos la ecuación de la parábola: 2P: y 4px

De 2 2 2y 40x 0 y 40x y 4( 10)x p 10

Por la distancia del recto: LR 4p LR 4( 10) LR 40u.



gráfica (22)

Por el grafico OF p 10 , por formula de área de un triangulo:

2 2bxh (40)x( 10)A 200u A 200u

2 2

23. Siendo la ecuación de la parábola 2P: x 16y 0 . Hallar el

área de la región triangular que tiene por base el lado recto de dicha parábola y por vértice opuesto al origen de coordenadas.

Solución.

Con los datos hagamos su grafica (23):

gráfica (23)



Considérenos la ecuación de la parábola: 2P: x 4py

De 2 2 2x 16y 0 x 16y x 4( 4)y p 4

Por la distancia del recto: LR 4p LR 4( 4) LR 16u.

Por el grafico OF p 4 , entonces el F(0,-4) y por fórmula de

área de un triangulo se tiene:

2 2bxh (16)x( 4)A 32u A 32u

2 2

24. El túnel de la punta olímpica de Huaraz tiene la forma de un

arco parabólico, que tiene 5metros de ancho y 4 metros de altura.

¿Cuál es la altura máxima que debe tener un vehículo de la mina de

3 metros de ancho, para poder pasar por dicho túnel?

Solución. Hagamos una ilustración con los datos del problema:

gráfica (24)

La ecuación de esta parábola tiene la forma: 2P: x 4py

Como los puntos A y B pertenecen a la parábola, entonces estos

puntos satisfacen la ecuación de la parábola, reemplazando:

2 2A(2.5,4) P (2.5) 4p(4) p 0.39 P:(x) 1.56y



2B(1.5, h) P (1.5) 1.56( h) h 1.44 metros

Por tanto la altura máxima del vehículo de la mina es:

4 h 4 1.44 2.56 metros.

25. Un faro guía de barcos del puerto Salaverry tiene la forma de

un paraboloide de de revolución . Si la fuente de luz está colocado

a 2 pies de la base en el eje de simetría y la abertura es de 5 pies de

diámetro, ¿Qué profundidad tiene dicho faro guía de barcos?

Solución.

Hagamos una ilustración con los datos del problema:

gráfica (25 - a)


construir el modelo, de modo que el vértice de la parábola este en el

origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la gráfica (25 -




gráfica (25 - b)

Y su foco esta en (0,p), entonces: F (0,2) , p = 2 pies, es un punto en

la grafica, tenemos : 2 2x 4(2)y P : x 8y .

Como 6.252A(2.5,y) (2.5) 8y y y 0.7812(8

P . Por

tanto su profundidad debe estar a 0.7812pies

26. Un faro para un automóvil tiene forma de paraboloide de revolución el bulbo, que está colocado en el foco, esta a una pulgada

del vértice . Si la profundidad es de dos pulgadas, ¿Cuál es el

diámetro del faro en su abertura?

Solución.




gráfica (26)

Consideremos la forma de la parábola : 2P: x 4py . Como su

foco esta en (0,p), entonces: F (0,1) , p = 1 pulgada, es un punto en

la grafica, tenemos : 2 2x 4(1)y P : x 4y .

Como 2P(x,2) P (x) 4(2) x 8 x 2 2 pulgadas .

Por tanto como nos piden su diámetros D = 2x , entonces:

D 2(2 2) D 4 2 pulgadas .

27. Un espejo en forma de paraboloide de revolución será usado

para concentrar los rayos del sol en su foco, creando una fuente

calorífica. Si el espejo es de 20 pies de diámetro en su abertura y de

6 pies de profundidad, ¿dónde concentrara la fuente de calor?

Solución.




gráfica (27)

Consideremos la forma de la parábola : 2P: x 4py . Como el

punto: 2P(10,6) P (10) 4p(6) 100 24p p 4.1666

Entonces p = 4.1666 pies y su foco es F(0,4.7).Por tanto se

concentrara la fuente de calor en dicho foco.

28. Los cables del vano central del puente colgante Baluarte entre los estados de Durango y Sinaloa ver grafica, tienen la forma de una

parábola. Si las torres tienen una separación de 520 metros y los

cables están atados a ellos 169 metros arriba del piso del puente,

¿Qué longitud debe tener el puntal que está a 60 metros de la torre?



gráfica (28 - a)

Solución.


gráfica (28 - b)

Consideremos la forma de la parábola : 2P: x 4py . Como las

coordenadas de la altura pertenece a la parábola, entonces:

2P(260,169) P (260) 4p(169) 67600 676p p 100

Entonces p = 100 metros, luego su parábola es:

2P: x 400y

Ahora hallando su altura y, en la parábola reemplazando:

2P(200,y) P (200) 4(100)y y 100 metros.

Por tanto la altura del puntal que está a 60 metros de la torre es de

10 metros.



29. Un puente de la ciudad de Huaraz está construido en forma de

arco parabólico. El puente tiene una extensión aproximada de 120

metros y una altura máxima de 25 metros. Véase la ilustración.

a. Hallar su ecuación que representa.

b. Seleccione un sistema de coordenadas rectangulares adecuado y

encuentre la altura del arco a las distancias de 10 metros,30 metros y 50 metros desde el centro.

gráfica (29 - a)

Solución.

En la ilustración ubiquemos los datos correspondientes del

problema:

La ecuación de esta parábola tiene la forma: 2P: x 4py



gráfica (29 - b)

Como el punto P pertenece a la parábola, reemplazando satisface la

ecuación de la parábola

2 2P(60, 25) P (60) 4p( 25) 4p 144 P:(x) 144y

Su ecuación representa a una parábola: 2P:(x) 144y

a) Ahora analizando la altura del arco a las distancias de 10 metros, 30metros y 50 metros desde el centro:

◊ Para la distancia de x = 10 metros, halando su altura y = ?

2A(10, y) P (10) 144( y) y 0.694 metros

Entonces h 25 0.69 24.31 metros

Por tanto la altura es 24.31 metros.


2 A(30, y) P (30) 144( y) y 6.25 metros




2A(50, y) P (50) 144( y) y 17.3611 metros



30. Los estudiantes de Ingeniería civil proponen hacer un recolector

o panel de energía solar para calentar agua se construye con una



hoja de acero inoxidable en forma de una parábola (ver ilustración

). El agua fluye a través de un tubo situado en el foco de la parábola.

Hallar su ecuación y ¿ A qué distancia del foco se encuentra dicho

tubo?

gráfica (30 - a)

Solución.

En la ilustración ubiquemos los datos correspondientes del

problema:

gráfica (30 - b)





origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la grafica (30 -



ecuación de la parábola, es decir:

92 2P(3,1) P (3) 4p(1) p P: (x) 9y4

.Por tanto

su ecuación es: 2P: (x) 9y ,como el foco es 9

F(0,p) F(0, )4

Entonces la distancia del tubo es 9

d metros 2.25 metros.4

31. Un tablón de madera tiene 16 metros de longitud y soporta el

peso de una persona que se encuentra en el centro (ver su

ilustración). Dicho tablón se logra deformar en la parte central 3

centímetros. Suponer que al deformarse adquiere la forma de una

parábola.

a. Encontrar una ecuación de la parábola (suponer que el origen

está en el centro de la parábola) b. ¿A qué distancia del centro del tablón es de 1 centímetro la

deformación producida?

gráfica (31 - a)

Solución.

Según la ilustración ubiquemos los datos correspondientes del

problema:



gráfica (31 - b)



origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la grafica (31 -

b) y es de forma de una parábola: 2P: x 4py

a. Como el punto P pertenece a la parábola, reemplazando

satisface la ecuación de la parábola, es decir:

64m. 6400cm.2P(8,3) P (8) 4p(3) p3cm. 3cm.

64002Entonces su ecuación es: P: (x) y3

.Por tanto

su ecuación es 64002: P: (x) y

3

b. Hallemos su altura y = h, cuando x = 1, según la grafica

(31 - b)

6400 32P(1,y) P (1) (y) y y 0.00046875cm.3 6400

Entonces la distancia del centro del tablón es de 1 centímetro la

deformación producida es y h 0.00046875 centímetros



32. Cerca al nevado Huascarán se desea ubicar líneas de transmisión

de radio y televisión y se a idealizado con la siguiente ecuación, en

el que la grafica de la parábola 2y x x , representa una colina, en

el punto (-1,1), se localiza un transmisor, y al otro lado de la colina,

en el punto 0(x ,0) , se encuentra un receptor ¿Qué tan cerca del

nevado puede ubicarse el receptor para que la señal no se obstruya?

y en qué punto se debe ubicar el campo base.

Solución.

Con los datos correspondientes del problema resolvamos:


construir el modelo de la ecuación dada: 2P: y x x , hallando

su vértice

b b b 1 1 b 12V ( ,f( )). en P: y x x ;f( )2a 2a 2a 2( 1) 2 2a 4

1 1V ( , )

2 4 ,y pasa por los puntos la grafica usando el intercepto con

el eje x, haciendo y = 0, entonces

20 x x x(1 x) 0 x 0 x 1,pasa por (0,0) y (1.0)

.Hagamos su grafica usando el software libre GEOGEBRA:

gráfica (32)

Como se desea hallar el punto 0(x ,0) más cercano al transmisor,

pues dicho punto es B(0,0) y el punto del campo base es P (1,0)



33. Cuando se lanza un balón, la trayectoria que escribe el mismo es

una parábola. El tipo de parábola depende del ángulo con el que se

golpea el balón y de la velocidad inicial con que se lanza el mismo.

Un jugador A ha golpeado un balón hacia su compañero B y ha

conseguido las siguientes distancias.

◊ Altura máxima alcanzada por el balón: 2.75metros.

◊ Distancia hasta el punto donde el balón ha votado: 12.5 metros. Con estos datos:

A. Escriba la ecuación de la trayectoria tomando una referencia

adecuada.

B. Indica las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de

la directriz.

C. Si el jugador B se encuentra a 5 metros del A, ¿a qué altura

pasa el balón por su vertical?

Solución.

Con los datos correspondientes del problema hagamos una

ilustración y resolvamos icho problema

gráfica (33)

Tomando como origen el punto A y la ecuación ordinaria de la

parábola es : 2P: (x h) 4p(y k) , hallando el valor de p.

Como el punto 2(6.25,2.75) P (x 6.25) 4p(y 2.75)

Además como pasa por el origen de coordenadas, tiene:



2 2P:(0 6.25) 4p(0 2.75) (6.25) 2p p 7.1 metros.

A. Su ecuación es: 2P: (x 6.25) 14.2(y 2.75)

B. Hallando las coordenadas del foco y del vértice: Según la grafica

su vértice es: V(6.25,2.75) y el foco es: F(6.25, 0.8) y la

directriz es: d y 6.3

C. Su altura a 5 metros, se halla reemplazando el punto :

2(5,0) P (5 6.25) 14.2(y 2.75) y 2.64 metros

34. Un arco forma una parábola con el eje vertical. Su punto más

alto es 18 metros sobre la base, cuya longitud es 36 metros Hallar la

longitud de una cuerda horizontal que pasa a través del arco a 8

metros sobre la base.

Solución.

Con los datos correspondientes del problema grafiquemos y

resolvamos

gráfica (34)



origen y su foco en el eje positivo del eje y, veamos la grafica y la

forma de la parábola es: 2P: x 4py

Como el punto A pertenece a la parábola, reemplazando satisface

la ecuación de la parábola, es decir:



2 2A(18,18) P (18) 4p(18) 4p 18 P: (x) 18y .Por

tanto su ecuación es: 2P:(x) 18y ,como el P pertenece también

a la parábola, reemplazando: 2P(x,8) P (x) 18(8) x 12,por ser distancia x 12metros.

Por tanto x es la distancia de la cuerda BP x 12metros

35. Una liebre corre en forma parabólica cuya ecuación es : 2y 2x 8 , sale a su encuentro un zorro que recorre según la

ecuación y x 1 , determinar el punto de encuentro en el primer

cuadrante. Si existe.

Solución.

Con los datos correspondientes realicemos su grafica del problema

gráfica (35)

Primero grafiquemos las ecuaciones: 2y 2x 8 , es una parábola de vértice V(0,8) y sus interceptos

con el eje x es: 20 2x 8 x 2 A( 2,0) y A(2,0)



y x 1 , es una línea recta que pasa por:

y x 1 R(0,1) y S( 1,0)

Para hallar el punto de encuentro debemos resolver el sistema de

ecuaciones, es decir el valor de CP(x,y) I

2y 2x 8....(1)

y x 1..........(2)

, igualando las y:

2 2 22x 8 x 1 2x x 7 0 2x x 7 0

Usando la formula general obtenemos los valores de x:

1 1

1 1 4(2)( 7)x x 2.14

4

2 2

1 1 4(2)( 7)x x 1.64

4

. Por tanto resolviendo el

sistema:

Por tanto el punto de encuentro es:

P(x,y) P(1.6374,2.6374)

36. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del

mar siguiendo la ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia

al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.

a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a

sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros.



b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

c. ¿Cuál es su altura máxima que alcanza dicho delfín?

Solución.

De la ecuación notamos que representa a una ecuación de parábola

a. Como y es la distancia al fondo del mar, en la ecuación

reemplazar el valor de y: y 20 8 0 2 2 2

x 6x 12 x 6x 12 x 6x

,resolviendo 8 0 2seg. 4seg. 2x 6x x x Por lo

tanto el tiempo al salir del agua es de 2 segundos. y al sumergirse

es de 4 segundos.

b. Para hallar en qué momento inicia su ascenso, debemos hacer

x 0,en la ecuación; 0 (0) 12 y y 12 metros 26

c. ¿Cuál es su altura máxima que alcanza dicho delfín?

Debemos hallar su vértice de dicha parábola:

b by V( ,f ( )); a 1; b 6, reemplazando:

2a 2a

2

x 6x 12

2b (6) 63 f (3) (3) 6(3) 12 21 V(3,21)

2a 2( 1) 2

El vèrtice es:V(3,21)

Por tanto su altura máxima que alcanza dicho delfín es en el

tiempo de 3 segundos con una altura de y = 12 metros. Veamos

su grafica:

gráfica (36)



37. El puente RAIMONDI de la ciudad de Huaraz está construido

su arco en forma parabólica. El puente tiene una extensión de 90

metros y una altura máxima de 18 metros desde el centro y a partir

de su base. Véase la ilustración. a) Hallar su ecuación que representa dicho arco.

b) Seleccione un sistema de coordenadas rectangulares adecuado y encuentre la altura del arco a las distancias de 10 metros y 30

metros desde el centro.

gráfica (37- a)

Solución.

En la gráfica (37 - b) ubiquemos los datos correspondientes del

problema:

gráfica (37- b)



a) Hallando su ecuación de esta parábola tiene la forma: 2P: x 4py


ecuación de la parábola

2 2P(45, 18) P (45) 4p( 18) 4p 112.5 P:(x) 112.5y

Su ecuación representa a una parábola: 2P:(x) 112.5y

b) Ahora analizando la altura del arco a las distancias de 10 metros, 30metros desde el centro:


2A(10, y) P (10) 112.5( y) y 0.88 h 18 0.88 17.11



2 A(30, y) P (30) 112.5( y) y 8 h 18 8 10

Por tanto la altura es 10 metros.

38. El puente CALICANDO o SAN GERÓNIMO de la ciudad

de Huaraz está construido en forma de arco parabólico. El puente

tiene una extensión de 16.70 metros de largo y una altura máxima

de 8 metros. Véase la ilustración.

A) Hallar su ecuación que representa.

B) Seleccione un sistema de coordenadas rectangulares adecuado

y encuentre la altura del arco a las distancias de 2 metros desde el

centro.



gráfica (38 - a)

Solución.

A) Hallado su ecuación que representa. Hacemos coincidir el

vértice del arco parabólico con el origen. La ecuación del arco

parabólico es de la forma:

2P: x 4py

Como el punto P pertenece a la parábola, reemplazando satisface la ecuación de la parábola

8 82 2P(4, 6) P (4) 4p( 6) 4p P:(x) y3 3

Su ecuación representa a una parábola: 82P:(x) y

3

Y



gráfica (38 - b)

B) Ahora analizando la altura del arco a las distancias de 2

metros, halando su altura y = ?

8 (4) (3)2 A(2, y) P (2) ( y) y y 1.5m. 1.5 m.3 8

x

Por tanto la altura es 6-1.5 = 4.5 metros.

39. La puerta de entrada de la iglesia de Marcará tiene la forma

parabólica (véase la ilustración) de 4.86 metros de alto y 3.30

metros de base. Toda la parte superior es una división en alto

relieve cuya imagen representa la crucifixión de Cristo y cuya base

es paralelo al piso y mide 2 metros. ¿Cuál es la altura máxima de

dicha división de alto relieve?



gráfica (39 - a)

Solución.


Ahora en el sistema rectangular dibujemos la grafica (39 - b)

gráfica (39 - b)

parábola usada para construir el modelo de la ecuación dada:

2P: (x h) 4p(y k) ,como

2V(0,4.86) P P:(x) 4p(y 4.86)...(1),ademas (1.65,0) P

2Entonces : (1.65) 4p ( 0 4.86 ) 4p 0.5601

hallando su altura y, entonces:



2P(1,y) P P:(1) 0.560(y 4.86) 1 0.560y 2.7216

Entonces el valor de y 3.074 metros

Luego, la altura máxima de dicha división de alto relieve es dada

por h = 4.86 – 3.074 0 = 1.786 metros. Veamos la grafica (39- c)

gráfica (39 - c)

40. La fachada de una iglesia tiene la forma parabólica (véase la

ilustración 40-a ) de 9 metros de alto y 12 metros de base. Toda la

parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralelo al piso

y mide 8 metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división de

vidrio?



gráfica (40 - a)

Solución.



gráfica (40 - b)

Es una parábola abierta hacia abajo y para construir el modelo de



la ecuación es dada por : 2P: (x h) 4p(y k) ,como

2V(0,9) P P:(x) 4p(y 9)...........................(1)

2Ademas (6,0) P (6) 4p(0 9) p 1

2Remplazando en (1) tenemos: P:(x) 4(y 9)


2P(4,y) P P:(4) 4(y 9) 16 4y 36

Entonces el valor de y 5 metros

Luego, la altura máxima de dicha división es dada por:

H = 9 – 5 = 4 metros.

41. Una figura de los interiores de la catedral de Lima (véase el

grafico (41- a )) es de forma parabólica y tiene aproximadamente 6

metros de alto y 4 metros de base. Toda la parte superior es una

división de forma de una parábola y cuya base es paralelo al piso y

mide 2 metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división ?

gráfica (41 - a)

Solución.





gráfica (41 - b)

Dicha grafica representa a una parábola y usamos para construir el

modelo de la ecuación es dada por : 2P: (x h) 4p(y k) ,co

2V(0,6) P P:(x) 4p(y 6)...........................(1)

2Ademas (2,0) P (2) 4p(0 6) 4p 0.666...

2Reemplazando en (1) tenemos: P:(x) 0.666(y 6)


2P(1,y) P P:(1) 0.66(y 6) 1 0.66y 3.96


Luego, la altura máxima de dicha división es dada por:

H = 6 – 4.484 = 1.515 metros.

42. Se quiere estudiar el arco parabólico superior de la réplica de

la iglesia de Yungay destruida en el terremoto y aluvión de 1970,

tiene una altura aproximada de 4 metros y de base 6 metros. Halla la ecuación ordinaria, general y la altura de los puntos del arco

situados 2 metros del centro. (veamos la grafica 42 - a)



gráfica (42 - a)

Solución.


Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (42 - b)

gráfica (42 - b)



Dicha grafica representa a una parábola y usamos para construir el

modelo de la ecuación es dada por : 2P: (x h) 4p(y k)

2V(0,4) P P : (x) 4 p ( y 4 )...........................(1)

2Ademas ( 3 , 0 ) P (3) 4 p ( 0 4 ) p 0.5625

2Reemplazando en (1) tenemos : P : (x) 2.25( y 4 )


2P ( 2 , y ) P P : (2) 2.25 ( y 4 ) 4 2.25y 9


Luego, la altura máxima a 2 metros es: H = 2.22 metros.

Hallando su ecuación : 2P: x 2.25(y 4)

Su ecuación general es: 2P: x 2.25y 8.88 0

43. Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación 2y 0.0241x x 5.5 donde “x” es la distancia recorrida (en

pies) y “y ”es la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el

tiro? y ¿ determinar su punto máximo de altura que alcanzo ?

Solución.


Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (43)

gráfica (43)



El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa

posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0, es decir: 2 2y 0.0241x x 5.5 0 0.0241x x 5.5

Usando la forma cuadrática para resolver dicha ecuación 2

22

1 2

0.0241x x 5.5 0 a 0.0241; b 1; c 5.5

1 ( 1) 4(0.0241)( 5.5)b b 4acx

2a 2(0.0241)

1 1 0.5302 1 1.5302 1 1.2370x

0.0482 0.0482 0.0482

2.237 0.237Entonces:x 46.4 x 4.9

0.0482 0.0482

¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función

cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó

sobre parte de esa curva.

Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es

un número negativo

La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento

Por tanto el recorrido es aproximadamente 46.4 pies

44. Luis se encuentra parado en la parte superior de un edificio, y

lanza una pelota hacia arriba desde una altura de 60 pies, con una

velocidad inicial de 30 pies por segundo. Utilice la fórmula

2

0 0

1h gt v t h

2 para responder las siguientes preguntas:

a) A partir de su lanzamiento, ¿Cuánto tiempo tardara la pelota

en estar a 25 pies respecto del piso? Responda la respuesta a la

décima más cercana.

b) A partir de su lanzamiento, ¿Cuánto tiempo tardara la pelota

en golpear el suelo?

Solución.


Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (44)



gráfica (44)

a) Según la gráfica, usaremos aquí 0 0g 32;v 30 y h 60 .Se

nos pide determinar el tiempo t, que tarda la pelota en alcanzar una

altura, h, de 25 pies respecto del nivel del piso.

Sustituimos estos valores en la fórmula y después despejamos t.

2 2

0 0

1 1h gt v t h 25 ( 32)t 30t 60

2 2

Ahora escribimos la ecuación cuadrática en forma general y

después despejamos t mediante la fórmula cuadrática 2

22

1 2

16t 30t 35 0 a 16; b 30; c 35

30 ( 30) 4( 16)(35)b b 4act

2a 2( 16)

30 3140t

32

30 3140 30 3140Entonces:t 0.8 t 2.7

32 32

Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable

es 2.7 segundos. Por lo tanto, alrededor de 2.7 segundos después de

su lanzamiento, la pelota estar a 25 pies del piso.

b) Nos piden determinar el momento en que la pelota golpeará el

piso. En ese instante, la distancia entre la pelota y el piso es 0. Por tanto, sustituimos h = 0 en la formula y despejamos t.



2 2

0 0

1 1h gt v t h ( 32)t 30t 60 0

2 2

2

22

1 2

16t 30t 60 0 a 16; b 30; c 60

30 ( 30) 4( 16)(60)b b 4act

2a 2( 16)

30 4740t

32

30 4740 30 4740Entonces:t 1.2 t 3.1

32 32

Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable

es 3.1 segundos. Por lo tanto, la pelota golpea al piso alrededor de

3.1 segundos después de su lanzamiento.

45. Un jugador de béisbol batea de hit hacia el jardín (vea la gráfica 45- a ) ; el contacto entre su bate y la bola se da a 3 pies del

suelo. Para este hit en particular , la altura de la bola respecto al

suelo, f (t), en pies, en el instante t , en segundos, puede calcularse

mediante la fórmula: 2f (t) 16t 52t 3

a. Determine la altura máxima que alcanza la bola de béisbol.

b. Determine el tiempo que tarda la bola en alcanzar su máxima

altura.

c. Determine el tiempo que tarda la bola en chocar contra el suelo.

gráfica (45- a)

Solución.




Ahora en el sistema rectangular dibujemos la gráfica (45- b)

gráfica (45- b)

a. La bola de béisbol sigue la trayectoria de una parábola que abre

hacia abajo (a < 0); a consecuencia de la gravedad, la bola se

eleva hasta una altura máxima para luego caer hacia el suelo.

Para determinar la altura máxima que alcanza la bola, usamos la

formula 24ac b

y4a

, de la función cuadrática dada se identifica

24( 16)(3) (52)a 16; b 52; c 3 y

4( 16)

192 2704 2896y 45.25

64 64

.Por tanto la bola de béisbol

alcanza una altura máxima de 45.25 pies.

b. La bola de béisbol llega a su altura máxima en

b 52 52 13 5t 1 1.625 segundos.

2a 2( 16) 32 8 8

c.Cuando la bola de béisbol choca contra el suelo, su altura, y,

respecto de este es cero. Por tanto, para determinar cuándo

golpea el suelo, resolvemos la ecuación cuadrática: 2 2f (t) 16t 52t 3 0 16t 52t 3;a 16;b 52;c 3



22

1

2

52 (52) 4( 16)(3)b b 4act

2a 2( 16)

52 2896 52 2896t ,entonces:t 0.06 segundos

32 32

52 2896t 3.31 segundos

32

El único valor aceptable es 3.31 segundos. La bola de béisbol

choca contra el suelo después de aproximadamente 3.31 segundos.

Observe que en la parte (b) el tiempo que tarda la bola en alcanzar

su altura máxima, 1.625, no es exactamente la mitad del tiempo

total que está en el aire, 3.31 segundos. La razón es que fue

golpeada a una altura de 3 pies, y no al nivel del suelo.

Ejercicios Propuestos



1. Los cables que sostienen un puente colgante adquiere forma

parabólica, como se muestra en la figura. Las torres que sostienen

los cables que están separados 600 pies y son de 80 pies de altura.

Si los cables tocan la superficie de la carretera a la mitad de la

distancia entre las torres. ¿Cuál es la altura del cable en un punto

situado a 150 pies desde el punto medio?

2. Un arco parabólico tiene una altura de 30 metros y una luz

(ancho) de 45 metros. Halla la altura del punto del arco situado a

8 metros del centro. Sol. 26.20m

3. Un arco parabólico tiene una altura de 9 metros y de base 12

metros. Halla la ecuación y la altura de los puntos del arco situados

4 metros del centro.

Sol. 2x 4(y 9) , y=5m

4. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma

de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 25m y están separados una distancia de 200m, quedando

el punto más bajo del cable a una altura de 5m sobre la

calzada del puente usando el piso del puente como el eje “x” y

como eje “y” el de simetría de la parábola. Halle la ecuación de

esta. Calcula la altura de un punto situado a 50m del centro del

puente? Sol.- y= 10m

5. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma

de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una

altura de 30 metros y están separados una distancia de 100 metros,

quedando el punto más bajo del cable sobre la calzada del puente. Halle la ecuación de esta. Calcula la altura de un

punto situado a 25 metros del centro del puente.

Sol.- y=7.5m

150pies

80pies

600pies

?



6. La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante

es de 100 metros y la flecha del cable es de 15 metros. Obtén la

altura del cable a 30 metros del centro del mismo.

Sol.- y= 5.4m

7. Identifica la gráfica que corresponda a cada una de las

siguientes ecuaciones.

a) y = x2 + 1 b) y = - x2 – 1 c) y = x2

8. Se lanza un proyectil que describe una trayectoria parabólica de

ecuación 2x

y x400

. Encuentre el punto de impacto y las

coordenadas del punto más alto.

9. Un cable suspendido por soportes a la misma altura, que distan

240 metros entre sí, cuelga en el centro 30 metros. Si el cable tiene

forma de parábola, encuentre su ecuación colocando el origen en



el punto más bajo. Encuentre la amplitud del cable a una altura de

15 metros sobre el punto más bajo.

10. Un cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma

de un arco de parábola, los pilares que lo soportan tienen una altura

de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros,

quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. Tomando como eje x la horizontal que

define el puente, y como eje y el de simetría de la parábola, hallar

la ecuación general de ésta. Calcular la altura de un punto situado

a 80 metros del centro del puente.

11. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del

mar siguiendo la ecuación y = -x2 + 6x + 12 donde y es la distancia

al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos. a. Calcula cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 100

metros.

b. ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

12. Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en Km) y los

kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 Km del lugar de lanzamiento se encuentra una

montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6.

Halla el punto de la montaña donde se producirá el

impacto.(veamos la grafica )



13. Una figura de los interiores de una catedral (véase el grafico

es de forma parabólica y tiene aproximadamente 10 metros de alto

y 8 metros de base. Toda la parte superior es una división de

forma de una parábola y cuya base es paralelo al piso y mide 4

metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división ? y determinar su ecuación parabólica.

14. Una figura de los interiores de la catedral de Lima (véase el

grafico) es de forma parabólica y tiene aproximadamente 12

metros de alto y 14 metros de base. Toda la parte superior es una

división de forma de una parábola y cuya base es paralelo al piso

y mide 8 metros. ¿Cuál es la altura máxima de dicha división ?



15. Un arco del túnel de entrada llamada punta olímpica en Ancash

es de forma parabólica tiene 7.50 metros de ancho y 6.50 metros

de altura. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola,

¿Cuál es la altura máxima que debe tener un vehículo de la mina de 4 metros de ancho, para poder pasar por dicho túnel?. Veamos

la grafica.

16. El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San

Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una

distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes



cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de

90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel

del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el

centro del puente. Determinar la altura de los cables a una

distancia de 1000 pies del centro del puente. Ver gráfica.

17. La fórmula d(t) = 50-5t2 describe la caída de una piedra desde

un edificio de 50 metros de altura, describir fórmula que permita

calcular la distancia de la piedra hasta el suelo después de t segundos. Veamos cómo utilizar la fórmula para responder

algunas preguntas: A. ¿A qué altura se encuentra la piedra después de 2

segundos?

B. ¿En qué instante la piedra toca el suelo?

18. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, esta sube hasta

cierto punto y luego empieza a caer. La relación entre el tiempo t

(en segundos) que la piedra esta en el aire y la altura s (en metros),

se expresa por la formula: 2s(t) 5t 20t 10 ¿Cuando la piedra

alcanza el punto más alto y cuál es esa altura?

19. Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación

2y 0.05x x 2.5 donde “x” es la distancia recorrida (en pies)

y “y ”es la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?



20. Cuando una gota de agua (u otro objeto) desde la parte superior

de la catarata de Honcopampa – Carhuaz- Ancash (Está ubicado a

35 km. de Huaraz a una altura de 3,450 m.s.n.m ), cae a la fosa en

la parte inferior, la altura, h, en pies, con respecto del agua en la

fosa, puede determinarse mediante la ecuación 2h 16t 308 .

En la ecuación, t es el tiempo, en segundos, a partir de que la gota

cae a la cascada. Determine el tiempo que tarda la gota en llegar

a la parte inferior de la cascada, en la fosa ( cuando h = 0).

Sugerencia usar ( 2

0 0

1h gt v t h

2 )

21. Cuando una gota de agua (u otro objeto) desde la parte superior

de la catarata del Niágara cae a la fosa en la parte inferior, la altura,

h, en pies, con respecto del agua en la fosa, puede determinarse

mediante la ecuación 2h 16t 176 . En la ecuación, t es el

tiempo, en segundos, a partir de que la gota cae a la cascada.

Determine el tiempo que tarda la gota en llegar a la parte inferior

de la cascada, en la fosa ( cuando h = 0)

Sugerencia usar ( 2

0 0

1h gt v t h

2 )

22. Una herradura se lanza hacia arriba dese una altura inicial de 80

pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo ¿Cuánto

tiempo después de que se lanza hacia arriba

a. Estará a 20 pies del suelo?



b. Dara contra el suelo?

23. La gravedad en la luna equivale a más o menos a un sexto de la

terrestre. Suponga que Neil Armstrong (primer ser humano en

pisar la Luna el 21 de julio de 1969, en la misión Apolo 11.) se encuentra en la luna, parado sobre una colina de 60 pies de altura.

Si salta hacia arriba con una velocidad de 40 pies por segundo,

¿Cuánto tardara en tocar el suelo que esta al pie de la colina? .Ver

grafica

24. La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante es de 200 metros y la flecha del cable es de 30metros. Obtén la altura

del cable a 60 metros del centro del mismo.

25. Si un tanque de guerra dispara desde una altura de 9.8 metros por

arriba suelo, a cierto ángulo, la altura del misil respecto del suelo, h

en metros en el instante t, en segundos, se determina por medio de

la ecuación:

2h(t) 4.9t 24.5t 9.8

a. Determine la altura máxima que alcanza el misil del cañón

http://es.wikipedia.org/wiki/Luna

http://es.wikipedia.org/wiki/21_de_julio

http://es.wikipedia.org/wiki/1969

http://es.wikipedia.org/wiki/Apolo_11



b. Determine el tiempo que tarda el misil para llegar a su altura

máxima.

c. Determine el tiempo que tarda el misil en chocar contra el

suelo.

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