Unidad N 3: Medidas de Tendencia Central

Unidad N 3: Medidas de Tendencia CentralAsignatura: Estadstica I (MAT-31214)Elaborado por: Lcdo. Ely Rosas

UNIDAD N 3: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

3.1. CONCEPTO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las Medidas de Tendencia Central o de posicin tambin conocidas como promedios de una variable, son utilizadas para describir la tendencia de un valor hacia un punto central o centro de la distribucin de un conjunto de observaciones.

Principalmente es de vital importancia saber que estas medidas describen un conjunto de elementos por la forma en que se comporta el centro de su distribucin.

3.2. TIPOS DE PROMEDIOS

Un promedio se define como un valor representativo y predominante dentro de un conjunto de datos. Pertenecen a los denominados indicadores de centralizacin ya que sus resultados tienden a concentrarse hacia el centro de las distribuciones, es decir, un promedio es generalmente un valor central y no extremo, el cual permite sintetizar la informacin de una gran masa de datos por uno solo.

Los promedios se clasifican en: promedios matemticos y promedios no matemticos.

Los promedios matemticos son aquellos que se prestan a operaciones del lgebra. Entre ellos se encuentran: la media o promedio aritmtico , la media o promedio geomtrico (G) y la media o promedio armnico (H).

Los promedios no matemticos no son susceptibles de operaciones algebraicas. Entre ellos se encuentran: la mediana ( y la moda ().

3.3. CLCULO Y APLICACIN DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL1. LA MEDIA ATIMTICA

La media aritmtica o promedio aritmtico se define como la divisin de la suma de todos los valores entre el nmero de valores. Esta medida se puede calcular tanto en una poblacin como en una muestra.

1.1. Media Aritmtica Poblacional: Al estudiar todas las unidades elementales de una poblacin en una investigacin, los valores obtenidos de los clculos de dicha poblacin se denominan parmetros. Uno de estos parmetros es la media aritmtica. Esta media se denota por y su valor se calcula con la siguiente expresin:

Donde, : son cada uno de los valores o mediciones que se tienen en la poblacin.: es el nmero de individuos o elementos de la poblacin.

1.2. Media Aritmtica Muestral: Al estudiar una parte de las unidades elementales de una poblacin en una investigacin, los valores obtenidos de dichos clculos se denominan Estadsticos. Uno de ellos es la media aritmtica muestral que se simboliza por ; sta se calcula al medir una variable cuantitativa de inters, en un elemento perteneciente a una muestra de tamao n en un estudio o en una investigacin. El clculo de dicha media para la muestra se hace a travs de la siguiente expresin:

Donde: : son cada uno de los valores o mediciones que se tienen en la muestra.: es el nmero de individuos o elementos de la muestra.

Ejemplo:Tabla N 2: Nmero total de vehculos alquilados en un fin de semana, para una muestra de 15 agencias de alquiler de vehculos que funcionan en la Isla de Margarita.6082151245

2538254562

3245325612

Fuente: Datos suministrados por la Corporacin de Turismo del Estado Nueva Esparta

Para estos datos calcule la media aritmtica muestral.

Media Aritmtica Ponderada: la media ponderada o promedio ponderado es una media aritmtica, en la cual se considera a cada uno de los valores de acuerdo con su importancia en el grupo. En algunos casos de investigacin, se presenta que cada uno de los n valores, , ,, , presenta una importancia o peso relativo con respecto a cada uno de los elementos. Estos pesos vienen denotados por , ,, . Puede calcularse con la siguiente expresin:

Donde: : es el valor de la variable a estudiar.: es el peso o factor de ponderacin para cada uno de los datos. Ejemplo: El hotel Puertas del Sol ubicado en Porlamar, paga a sus empleados 120 Bs.f, 150 Bs.f, y 110 Bs.f, por horas nocturnas trabajadas. Este hotel debe pagarles a 17 empleados 150 Bs.f, a 12 empleados 120 Bs.f, y a 21 empleados 110 Bs.f por haber trabajado el pasado mes en horas nocturnas. Se pregunta: Cul es el salario promedio por horas nocturnas que se les debe cancelar a los empleados de ese hotel?

1.3. Media Aritmtica para Datos Agrupados en una Distribucin de Frecuencias.

En la mayora de los casos, las medidas de tendencia central se calculan a partir de valores de datos individuales. Sin embargo, a veces slo cuenta con datos en forma agrupada o en forma de distribucin de frecuencias. En este caso se utiliza la siguiente expresin para calcular la media aritmtica para datos agrupados:

Donde: : es el punto medio o marca de clase en la distribucin.: es el valor de la frecuencia en cada una de las clases.

Ejemplo: Tabla N 3: Distribucin de Frecuencias para Gastos en Dlares de 50 turistas que visitaron la Laguna de la Restinga en la Pennsula de Macanao, Isla de Margarita.Clases (k)DlaresfiXiFi

153 552542

256 585577

359 6196016

462 64156331

565 67126643

668 7056948

771 7327250

Totales50

Fuente: Datos suministrados por la Corporacin de Turismo del Estado Nueva Esparta

Para esta distribucin de frecuencias calcule la media aritmtica.

Propiedades de la Media Aritmtica.

Debido al uso frecuente de este promedio es necesario considerar sus propiedades ms importantes. Dichas propiedades son las siguientes: La suma de las desviaciones respecto a la media aritmtica es igual a cero.

La media aritmtica de una constante, es igual a la constante.

La media del producto de una constante por una variable, es igual a multiplicar a la constante por la media de la variable.

La media aritmtica de una variable ms (o menos) una constante, ser igual a la media de la variable ms (o menos) la constante.

2. MEDIA GEOMTRICA: Este promedio se obtiene se utiliza cuando se quiere dar importancia a valores pequeos de la variable. Su empleo es muy restringido y su utilidad se limita a la obtencin de promedios sobre el crecimiento en una variable. La media geomtrica se simboliza por G y se define como la raz n-sima del producto de los n valores de la variable.

Donde: : son cada uno de los valores o mediciones que tiene la variable. : es el nmero total de elementos o mediciones que tiene la variable.

Ejemplo: Calcule la media geomtrica para los datos de la Tabla No 2.2.1. Media Geomtrica para Datos Agrupados: Para calcular la media geomtrica en una distribucin de frecuencia se utiliza la siguiente expresin:

Donde: : es el punto medio o marca de clase. : es el valor de la frecuencia en cada una de las clases. : es el nmero de clases.

Ejemplo: Calcule la media geomtrica para los datos de la Tabla No 3.

3. MEDIA ARMNICA: Esta media se simboliza con la letra H y se define como el inverso de la media aritmtica de los inversos multiplicativos de los valores dados; esto es:

Donde: : son cada uno de los valores o mediciones que tiene la variable. : es el nmero total de elementos o mediciones que tiene la variable.

Ejemplo: Calcule la media armnica para los datos de la Tabla No 2.

3.1. Media Armnica para Datos Agrupados.

Donde: : es el punto medio o marca de clase. : es el valor de la frecuencia en cada una de las clases. : es el nmero de clases.

Ejemplo: Calcule la media armnica para los datos de la Tabla No 3.

4. MEDIANA: Se define como el valor central de los datos cuando estos se encuentran ordenados por orden de magnitud. Es decir, si se tiene una sucesin de datos o valores , ,, , la mediana para estos datos se ubica de la siguiente manera:

(*)

Para un grupo par de elementos, se supone que la mediana se encuentra a la mitad entre los dos valores adyacentes al centro. Cuando el conjunto de datos contiene un nmero grande de valores, resulta til la frmula (*) para determinar la posicin de la mediana en el conjunto ordenado.

Ejemplos:

a) Ejemplo para calcular la mediana con datos impares.

Calcule la mediana para los datos de la Tabla No 2.

b) Ejemplo para calcular la mediana con datos pares.

Calcule el valor de la mediana para la Tabla No 4.

Tabla N 4: Nmero total de vehculos alquilados en un fin de semana, para una muestra de 10 agencias de alquiler de vehculos que funcionan en la Isla de Margarita.3245251215

1238452532

Fuente: Datos suministrados por la Corporacin de Turismo del Estado Nueva Esparta

4.1. Mediana para Datos Agrupados.

Para datos agrupados, en primer lugar es necesario determinar la clase que contiene el valor de la mediana, para despus determinar la posicin de la mediana dentro de la clase mediante interpolacin. La clase que contiene la mediana es la primera cuya frecuencia acumulada iguala o excede la mitad del total de observaciones. Una vez que se identifica esta clase, se determina el valor especfico mediante la siguiente expresin: Donde:: es el lmite exacto inferior de la clase medianal.: es la ubicacin de la clase medianal.: es la frecuencia acumulada anterior a la clase medianal.: es la frecuencia simple absoluta de la clase medianal. : es el tamao del intervalo de clase.

Ejemplo: Calcule la mediana para los datos de la Tabla No 3.

5. MODA: Esta medida de tendencia central, se define como el valor que ms se repite o que se encuentra con una mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo: Calcule la moda para los datos de la Tabla No 2.

5.1. Moda para Datos Agrupados.

Para datos agrupados en una distribucin de frecuencias con intervalos de clase iguales, primero se identifica la clase que contiene la moda determinando cul de ellas tiene el mayor nmero de observaciones. Algunos profesionales de la estadstica consideran que la moda es el punto medio de la clase modal. Sin embargo, la mayora de ellos interpolan dentro de la clase modal, de acuerdo con la siguiente frmula:

Donde: : es el lmite exacto inferior de la clase en la cual se ubica la moda.: es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior.: es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase posterior o siguiente.: es el tamao del intervalo de clase.

Ejemplo: Calcule la moda para los datos de la Tabla No 3.

RELACIN ENTRE LOS DIFERENTES PROMEDIOS

Al tener un conjunto de datos, en una investigacin estadstica, se tiene que la relacin entre la media aritmtica, geomtrica y armnica es la siguiente:

1. La media aritmtica de un mismo conjunto de datos es mayor que la media geomtrica y a su vez la media geomtrica es mayor a la armnica.

2. La media geomtrica se puede calcular como la raz cuadrada del producto de la media aritmtica y la armnica, es decir:

6. MEDIDAS DE POSICIN: CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

Los cuartiles, deciles y percentiles se parecen mucho a la media porque tambin subdividen una distribucin de mediciones de acuerdo con la proporcin de frecuencias observadas. Mientras la mediana divide a la distribucin en dos mitades, los cuartiles la dividen en cuatro cuartos, los deciles en diez dcimos y los puntos percentiles la dividen en cien partes.

EXPRESIONES DE CLCULO

CUARTILES

Cuando n es par,

Cuando n es impar,

El primer cuartil separa al 25% que abarca a los valores ms pequeos, del 75% restante, constituido por los que son mayores. El segundo cuartil es la mediana: 50% de sus valores son menores que la mediana y 50% son mayores. El tercer cuartil separa al 25% que abarca a los valores ms grandes del 75% restante constituido por los que son menores.

DECILES

Cuando n es par,

Cuando n es impar,

PERCENTILES

Cuando n es par,

Cuando n es impar,

Nota:

REGLAS PARA EL CLCULO DE CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES:1. Si el resultado es un nmero entero, entonces el cuartil, decil o percentil es igual al valor clasificado.2. Si el resultado es una fraccin de mitad (2,5; 4,5; entre otros), entonces el cuartil, decil o percentil es igual al promedio de los valores clasificados correspondientes.3. Si el resultado no es un nmero entero ni una fraccin de mitad, se redondea al entero ms cercano y se selecciona ese valor clasificado.

Ejemplo: En determinado mes, 8 vendedores de artculos electrnicos vendieron los siguientes nmeros de aparatos: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. Encuentre la posicin de: el tercer cuartil, el quinto decil y el percentil 70 para esta distribucin.

6.1.1. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS

Para datos agrupados, las expresiones para el clculo de cuartiles, deciles y percentiles son las siguientes:

Al utilizar estas frmulas, en primer lugar se determina la clase que contiene el punto de inters, de acuerdo con las frecuencias acumuladas, y despus se lleva a cabo la interpolacin como se hizo antes. Ejemplo: Calcule el primer cuartil, el sexto decil y el percentil 80 para los datos de la Tabla No 3.

1