Unidad Limites y Contuinuidad

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  • 7/26/2019 Unidad Limites y Contuinuidad

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    Ricardo Briones BucareyIngeniero Comercial

    Universidad Tecnolgica de Chile, Inacap

    Clculo I

    Unidad II

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    Limites y continuidad de funciones

    El limite de una funcin f(x) se obtendr cuando x se acerque a x 0,

    siempre y cuando el valor obtenido del limite, , sea igual si x seacerca a x 0 por izquierda o por derecha.

    Ejemplo: Dada la funcin X2 podemos calcular su limite en el punto 2,

    tanto por izquierda y por derecha

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    Limites y continuidad de funciones

    Ejemplos: Que sucede cuando x se aproxima a x 0 por izquierda y por

    derecha?:

    = 3, 3

    =( 4)

    ( 2) 2 = 2

    x y x y

    1 3 3 5

    1,5 3,5 2,5 4,51,9 3,9 2,1 4,1

    1,99 3,99 2,01 4,01

    1,999 3,999 2,001 4,001

    x y x y

    2 7 4 19

    2,5 9,25 3,5 15,25

    2,9 11,41 3,1 12,61

    2,99 11,9401 3,01 12,0601

    2,999 11,994001 3,001 12,006001

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    Indeterminaciones de limites

    Cuando un limite se obtenga, al evaluar la funcin, en el valor hacia el

    cual tiende x 0, diremos que es un lmite determinado. En casocontrario cuando existan indeterminaciones, se debern realizar operaciones previas para evitar aquella indeterminacin.

    Indeterminacin

    en funciones racionales , cuando esto sucede seprocede a descomponer numerador y denominador a fin de eliminar trminos semejantes.

    lim64

    4 =( 4)( 4 16)

    ( 4) = 4 16 = 48

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    Propiedades de los limites

    1) lim

    ( ) = ,

    2) lim

    = ,

    3) lim

    =

    4) lim

    ( ( ) = lim

    lim

    , siempre que no

    aparezca una indeterminacin -

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    Propiedades de los limites

    5) lim

    ( ( ) = lim

    lim

    siempre que no exista

    la indeterminacin 0*

    6) lim

    = ( )

    ( )

    siempre y cuando no aparezcan 0/0 o /

    7) lim

    = lim

    ( ) , 0

    8) lim ( ) = ( lim ( )) 0

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    Indeterminaciones de limites

    Indeterminacin en funciones irracionales , cuando esto sucede

    se procede a multiplicar numerador y denominador por el radicalconjugado o por un uno conveniente.

    lim 1 1

    1 1

    1 1=

    11 1

    = 1 1

    = 1 1 = 2

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    Indeterminaciones de limites

    Ejercicios:

    a) lim

    =

    b) lim

    =

    c) lim

    =

    d) lim

    + +5

    = 7

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    Indeterminaciones de limites

    Indeterminacin - en funciones racionales: se debe efectuar

    las operaciones indicadas hasta evitar que la expresin sea 0/0

    lim

    ( 2 1)( 3)( 1)

    =( 1)( 1)( 3)( 1)

    =20

    =

    en este caso, a pesar de efectuar las operaciones necesarias, eldenominador sigue siendo 0. Por lo tanto calculamos los limiteslaterales evaluando en nmeros cercanos a 3 por izquierda y derecha.

    Al realizar esta operacin se obtiene el signo de la fraccin, y si

    ambos signos son iguales determinarn si el lmite es - , en casode ser signos distintos no existir el lmite en ese punto.

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    Limites y continuidad de funciones

    Para poder decir que una funcin tiene limite en un punto dado, solo

    nos interesa que sus limites laterales sean iguales, independientesque la funcin no este definida en ese punto.

    En este caso, podemos decir que la funcin f(x) tiene como limite 4cuando tiende a 2, a pesar que dicha funcin no se encuentra definidaen el punto 2, pero basta con que sus limites laterales sean iguales.

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    Limites y continuidad de funciones

    As mismo la definicin de una funcin en el punto donde queremos

    evaluar el lmite, no asegura la existencia de este, tal cual se muestraen el siguiente ejemplo:

    En este caso, si queremos estudiar el limite de la funcin en el punto0, tendremos la funcin definida para aquel punto, pero sus limiteslaterales sern distintos por izquierda y por derecha, es decir, el limitede la funcin cuando esta tiende a 0 no existe.

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    Limites que tienden a

    Cuando una funcin tienda a infinito, se debe dividir todos los trminos

    por la incgnita elevada al exponente mas alto de la funcin.

    lim

    =

    =

    =

    =

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    Limites que tienden a

    Ejercicios:

    a) lim

    +

    =

    b) lim

    +

    +5

    =

    c) lim

    + +

    + += =

    d) lim

    5 + 5

    = 5 = 0

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    Continuidad de funciones

    Diremos que una funcin es continua en x=x 0 un punto si y solo si:

    i. y=f(x) existe para x = x 0

    ii. Existe lim

    ( )

    iii. lim = ( )

    Teorema: si y = f(x) es continua en x=x 0 , existe ( )

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    Continuidad de funciones

    Definicin 1: y = f(x) ser continua en el intervalo ]a,b[ si es continua en cada

    uno de los puntos del intervalo ]a,b[

    Definicin 2: y = f(x) ser continua por la derecha en x = a si:lim

    = ( )

    y = f(x) ser continua por la izquierda en x = b si:lim

    = ( )

    Definicin 3: y = f(x) ser continua en el intervalo [a,b] si: y = f(x) es continua en ]a,b[ y = f(x) es continua por derecha en x=a y = f(x) es continua por izquierda en x=b

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    Continuidad de funciones

    En trminos sencillos, podemos decir que una funcin ser continua,

    si al dibujarla en el plano cartesiano no necesitamos levantar el lpizpara trazar la curva.

    i) f(2) = 4

    lim

    = lim

    =

    lim

    = =

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    Continuidad de funciones

    En funciones definidas a trozos, podremos decir que son continuas, si

    en cada uno de sus tramos no existe discontinuidad y adems soncontinuas en los puntos de divisin, de sus intervalos de definicin.

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    Continuidad de funciones

    Ejemplos:

    1) = 2 3 , ser continua

    2) = 3 , ser continua

    3) =

    +, ser continua

    4) =

    9, ser continua {3, 3}

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    Tipos de discontinuidad

    Una funcin ser discontinua toda vez que no cumpla con al menos

    una de las condiciones detalladas anteriormente.

    Discontinuidad evitable: se producir cuando lim

    ( ) , existe pero

    no coincide con ( ) , en este caso se puede redefinir el punto paratransformar la funcin en continua.

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    Tipos de discontinuidad

    Discontinuidad de salto: esto ocurre cuando el lmite de la funcin

    por izquierda y por derecha son finitos, pero no coinciden.

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    Tipos de discontinuidad

    Discontinuidad asinttica: esta se produce cuando algunos de los

    lmites laterales, o ambos, no es finito. Una funcin puede ser discontinua asinttica por izquierda, derecha o por ambas.

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    Redefiniendo una funcin

    Cuando se trate de una funcin discontinua del tipo evitable, esta

    puede ser redefinida, de tal modo, que se convierta en una funcincontinua.

    Por ejemplo: para la funcin = < 24 > 2

    , determine si es

    continua, si no lo es determine el tipo de continuidad y re-definala deser posible, para que sea continua en

    = < 24 2

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