Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

54
Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites

Transcript of Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Page 1: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Unidad IV:

Variables Multidimensionales

y Teoremas Límites

Page 2: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Transformaciones de variables

Variables aleatorias multidimensionales

Sumas de variables aleatorias

Variables

bidimensionales

Esperanzas y momentos

Covarianza

Coeficiente de Correlación

Indepen. y Condicionalidad

Page 3: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.1 Variables bidimensionales

Cuando se está interesado no sólo en el estudio de una variable aleatoria individual sino que también en la relación entre dos o más variables aleatorias, aparecen las variables bidimensionales o n- dimensionales.

Dado un experimento, el par (X, Y) se llama variable aleatoria bidimensional si cada Xi, i = 1,2

es una variable aleatoria.

Page 4: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

El par (X1, X2 ) es conjuntamente continuo si cada Xi,i=1,2 es una variable aleatoria continua y es conjuntamente discreto si cada Xi, es una variable aleatoria discreta.

Si una variable es discreta y la otra es continua, entonces (X1, X2) es un vector aleatorio mixto.

Page 5: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Si el par (X1, X2) es discreto, entonces su función

de probabilidades es de la forma:

22122112121 ),(),(),( xxxXxXPxxp xx ,

1),()

),(0),()

)2,1(2121

2212121

xx

xx

xx

xxpii

xxxxpi

Axx

xx xxpAP)2,1(

2121 ),()(

Si A Rx1x2 entonces la probabilidad del evento A es:

Page 6: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Las funciones de probabilidades individuales de las variables X1 y X2 se llaman probabilidades

marginales X1 y X2, respectivamente.

2 21212 22111111 ),(),()()( x xxxx xxpxXxXPxXPxp

- Distribución marginal de X1:

1 21211 22112222 ),(),()()( x xxxx xxpxXxXPxXPxp

- Distribución marginal de X2:

Page 7: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Si el par (X1, X2) es continuo, entonces su función

de densidad de probabilidad debe satisfacer las siguientes condiciones:

1),()

),(0),()

212121

2212121

- -

dxdxxxfii

xxxxfi

xx

xx

Si A = {(x1, x2): a1 < x1 < b1 , a2 < x2 < b2},

entonces: 1

122 122121222111 ),(),()(

ba

ba xxxx ddxxfbXabXaPAP

para todo a1 , a2 , b1 , b2

Page 8: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Densidades marginales para X1 y X2

2212111 ),()( dxxxfxf xxx

- Densidad marginal para X1:

- Densidad marginal de X2:

1212122 ),()( dxxxfxf xxx

Las función de distribución, F(t1 ,t2), para una

variable aleatoria bidimensional (X1 , X2) está dada

por:2

21221121 ),(),(),( tttXtXPttF ,

Page 9: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Si la función de distribución es continua y la segunda derivada parcial de F(x1 ,x2) existe, la función de densidad

bivariante de (X1, X2) es:

),(),( 2121

2

21 xxFxx

xxf

1 2122121 ),(),(

x xdtdtttfxxF

Page 10: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo: Consideremos las v.a. bidimensional (X, Y) con función de probabilidad conjunta

X\Y -3 2 4 1 0.1 0.2 0.2 3 0.3 0.1 0.1

1.- Calcule la probabilidad conjunta de que:

a) Y no supere a 2 y X supere a 1.

b) Y no supere a X.

2.- Las distribuciones marginales de X e Y.

3.- Las Esperanzas y Varianzas de las v.a. X e Y.

Page 11: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Solución

4.03,32,3

3,32,32,1

pp

YXPYXPYXP1a)

5.02,33,33,1

0

ppp

YXPYXP1b)

x 1 3 p(x) 0.5 0.5

y -3 2 4

P(y) 0.4 0.3 0.3

2)

24.9)(;6.0y 1;2 YVYEXVXE3)

Page 12: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo: Supongamos que la f.d. conjunta de X e Y está dada por

0,0,2, 2 yxeeyxf yx

Determine las marginales.

0

22

0

2

0,22

0,2

yedxeeyf

xedyeexf

yyx

xyx

Page 13: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Calcular las siguientes probabilidades:

a

ayx

a

aa

xa

e

dydxeedydxyxf

edxedxxfaXP

1

2),(

1)(

0 0

2

0 0

00

YXPy 1,1; YXPaXP

Page 14: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

21

1

0

211

0 1

2

1

221,1

ee

dyeedydxeeYXP yyx

3132122

122

0

3

0

2

0

2

0 0

2

dyedye

dyeedxdyeeYXP

yy

yyy

yx

Page 15: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ej.: Consideremos las v.a. X e Y, con f.d. conjunta

caso otrocualquier en 0

10,10 ,

yxyxyxf

Determine la función de distribución de (X,Y)

Obviamente si

0, entonces ,0y 0 yxFyx

Page 16: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

yxxy

dsdttsyxFyxy x

21

,10 ,10

0 0

yxy

dsdttsyxFyxy

21

,10 ,1

0

1

0

Page 17: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

yxx

dsdttsyxFyxx

21

,1,101

0 0

1,1,11

0

1

0

dsdttsyxFyx

Page 18: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

11 1

1,10 21

10,1 21

10,10 2

0y ó 0 0

,

,yx

yxxx

yxyy

xxyxxy

x

yxF

Page 19: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.2 Esperanzas y momentos

Definición: Sea YXg , una función real valuada de las variables aleatorias X e Y. Entonces la Esperanza de YXg , , que denotaremos por YXgE , , se define como

dxdyYXfYXgYXgE

YXpYXgYXgE

,,,

,,,

Page 20: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Sea g(X, Y) = Xj Yk, j, k ≥ 0, tenemos E[Xj Yk] llamado momento conjunto (j, k) de la variable aleatoria bidimensional (X, Y):

0,;][ kjYXEm kjjk

Los momentos conjuntos centrales de X e Y se pueden definir como:

])()[( kY

jXjk YXEn

Utilizando

kY

jX YXYXg )()(),(

Page 21: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

La Covarianza entre las variables X e Y

)])([(),( YXXY YXEYXCov

La Correlación o Coeficiente de Correlación entre las variables X e Y

XX

XYXY

Se puede probar que es invariante por traslaciones de ejes; esto es,

XY

XYdcYbaX ),( 1XY

Page 22: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

X\Y -3 2 4 1 0.1 0.2 0.2 3 0.3 0.1 0.1

24.9)(;6.0

1;2

YVYE

XVXE

01.0431.0233.033

2.0412.0211.031

,

yxxypXYE

2.1),( YXXYEYXCov

394.004.312.1,

YXXY

YXCov

Page 23: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.3 Independencia y Condicionalidad

Dada una variable aleatoria bidimensional (X1, X2) con función de

distribución F(x1, x2) y marginales Fx1(x1) y Fx2(x2), diremos que X1 y

X2 son independientes si:

)()(),( 221121 xFxFxxF xx

)()(),( 221121 xfxfxxf xxy

Teorema 4.3 Sean X1 y X2 variables aleatorias

independientes. Si Y1=G(X1) e Y2=H(X2) son funciones

monótonas de X1 y X2, respectivamente, entonces Y1 e Y2 son

variables aleatorias independientes.

Page 24: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Teorema 4.4 Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes. Si

G(X1) y H(X2) son sólo funciones de X1 y X2, respectivamente,

entonces:

)]([)]([)]()([ 2121 XHEXGEXHXGE

Teorema 4.5 Si X1 y X2 son variables independientes, entonces

02121 XXXX

Page 25: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Sea (X1, X2) una variable aleatoria bidimensional. Entonces:

a) Si (X1 ,X2) es conjuntamente discreta, definimos la función de

probabilidad condicional de X2 dada X1=x1

0)()(

),()/()/( 11

11

2112121/2 xp

xp

xxpxxpxxp x

xxx si ;

y es cero en otro caso

b) Si (X1 ,X2) es una variable aleatoria continua, definimos la función

de densidad condicional de X2 dada X1=x1

0)()(

),()/()/( 11

11

2112121/2 xf

xf

xxfxxfxxf x

xxx si ;

y es cero en otro caso

Análogamente, se pueden definir las distribuciones condicionales de X1 dada X2=x2.

Page 26: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

• Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes

)(]/[ 1221 XExXXE

cuando la esperanza de X1 existe.

La media y varianza condicional para una variable bidimensional continua (X1, X2).

211211

22112 ])/[()/()/( xXXExXXExXXVar

212112 )(2]/[ dxxxfxxXXE

Page 27: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

caso otrocualquier en 0

2,1,1,2 si 41 111

xxpX

Ejemplo: Consideremos la v.a.d. X1 con f.de p.

es y de conjunta p. f.de la Entonces . 21212 XXXX Y definamos

caso otrocualquier en 0

4,2,1,1,1,1,4,2, si 41, 21

21xx

xxp

048

41

41

48

21 XXE

es.dependient claramente

son y variableslas embargo,Sin .0luegoy 0, entonces ,0 comoy

2121X

211XX

XXCovXE

X

Page 28: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.4 Transformaciones de variables

Considerando una variable aleatoria bidimensional (X1, X2) con

densidad fx1x2 (x1, x2) y sea:

)),(),,((),( 21221121 XXGXXGYY

una transformación continua y biunívoca.

Suponiendo que G1 y G2 admiten derivadas parciales continuas y

considerando una región A del plano x1x2 tal que el Jacobiano de la

transformación es distinto de cero, entonces, en todos los puntos de A existe la transformación inversa de (Y1,Y2)

)),(),,((),( 21221121 YYHYYHXX

la cual es continua y uniforme en una región B del plano y1y2.

Page 29: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo Consideremos las variables aleatorias X1 y X2 con función de densidad conjunta f(x1,x2) = e-(x1+x2) , x1 > 0, x2 > 0.

Determinemos la función de densidad de Y = X1/(X1+X2).

1

211 )/(

xz

xxxy

0)/(),(

),( 2211

21

xxxxx

zyJ

La transformación inversa está dada por:

yyzzx

zx

/)(2

1

siendo el valor absoluto del Jacobiano de la inversa es: |J1| = |z/y2|

Definimos la siguiente transformación:

Page 30: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

- La función densidad conjunta de Y y Z es:

10,0,)/(/)/)(,(),( /2221, yzeyzyzyyzzzfzyg yz

XXZY

0 0

/2, )/(),()( dzeyzdzzygyg yzZYY

- La marginal de Y es:

Haciendo el cambio de variable u = z/y se tiene que

0

10,1)2()( yduueyg uY

es decir, Y tiene distribución uniforme en (0,1).

Page 31: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes, cada una con distribución uniforme sobre el intervalo (0,1). Determinemos la función de densidad de Y = X1+X2.

10,101)()(),( 21221121 xxxfxfxxf XX si ;

Considerando la transformación uno a uno

2

21

xz

xxy

- La transformación inversa está dada por:

zx

zyx

2

1

siendo su Jacobiano J1 = 1

Como X1 y X2 son variables aleatorias independientes, entonces la densidad conjunta de X1 y X2 es el producto de las marginales correspondientes; esto es,

Page 32: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

- La función densidad conjunta de Y y Z es:

1,10,1),(),(21, zyzzzzyfzyg XXZY

casos otros en

si

0

1),1,0(1),(,

zyzzzyg ZY

o bien

Para obtener la densidad marginal de Y integramos separadamente en: y ≤ 0 ; 0 <y < 1 ; 1 <y < 2 e y ≥ 2.

20

212

10

00

)(1

1

0

y

yydz

yydz

y

yg

y

y

Y

si

si

si

si

Page 33: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo

Supongamos que X1, X2 y X3 son variables aleatorias independientes, cada una con distribución exponencial de parámetro = 1. Calculemos la función de densidad de Y = (X1+X2+X3)/3.

Considerando la siguiente transformación uno a uno

33

22

3211 3/)(

xy

xy

xxxy

0,0,0),,( 321)321(

321 xxxexxxf xxx ,

Como las variables son independientes, la densidad conjunta está dada por:

Page 34: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

- La transformación inversa está dada por:

33

22

3211 3

yx

yx

yyyx

siendo su Jacobiano J1 = 3

- La densidad conjunta de Y1, Y2 e Y3 es:

0,0,033),,( 323211

321 yyyyyeyyyf y ;

0,2

273)( 1

31

21

13

0

213

023

1311

yeydydyeyf yy yy yY

y la densidad marginal de Y1 = (X1 + X2 + X3)/3

Page 35: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes, cada una con distribución Poisson con parámetro común . Queremos determinar la función de probabilidades de Y = X1+X2.

Definiendo la siguiente transformación uno a uno:

22

211

XY

XXY

Cuya transformación inversa es

22

211

YX

YYX

Como X1 y X2 son independientes, entonces la función de probabilidad conjunta es

,...1,0,...;1,0,!!

,...1,0,...;1,0),()(),(

212

2

1

1

21221121

xx

x

e

x

e

xxxpxpxxp

xx

XX

Page 36: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

La función de probabilidad conjunta de Y1 e Y2 es

2121221

12

221212121),(

!)!(),(),( YY

y

XXYY Ryyyyy

eyyypyyp

}0:),{( 122121yyyyR YY

donde

La función de probabilidad de Y1 = X1+X2

,...1,0!

)2(

!)!()( 1

1

121

02 221

12

11

yy

e

yyy

eyp

yy

y

y

Y ,

Por lo tanto, Y1 = X1+X2 es una variable aleatoria con distribución Poisson de parámetro 2.

Page 37: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.5 Variables aleatorias multidimensionales

X = (X1,… Xn) es un vector aleatorio continuo si cada

una de sus componentes Xi, i = 1,…,n es una variable

aleatoria continua. Análogamente, diremos que X es discreto si cada Xi, i = 1,….,n, es una variable aleatoria

discreta. En cada caso y según corresponda, podemos asociar a X una función de probabilidades o una función de densidad de probabilidades, respectivamente.

Si X es discreta, la función de probabilidad asociada es

nnnnX xxxXxXPxp ),...,(),,...,()( 111

Page 38: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

La función de probabilidades para la variable n-dimensional debe satisfacer las reglas análogas al caso unidimensional:

1)()

),...,(,0)() 1

xpii

xxxxpi

X

nnX

Dada pX(x), podemos calcular las marginales, haciendo

},1;:{),()( 1 njijxRxpxp jiR XiiX donde

},1;:{,)(),(1

nkijkxRxpxxp kR XjijXiX con

También se puede determinar la función de probabilidades conjuntas de dos o más componentes, a partir de pX(x).

Page 39: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Las variables aleatorias Xi, i=1,…,n, son idénticamente distribuidas si cada una de ellas tiene la misma distribución de probabilidades.

Las variables aleatorias Xi, i=1,…,n son independientes si y sólo si

discreta nteconjuntame es cuando

continua nteconjuntame es cuando

Xxxpxp

Xxxfxf

nn

iiiXX

nn

iiiXX

,)()(

,)()(

1

1

Page 40: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Teorema 4.5 Si X1,…,Xn son variables aleatorias

independientes y si Y1=G1(X1),…,Yn=Gn(Xn), son funciones

de X1,…,Xn, respectivamente, entonces Y1,…,Yn son

variables aleatorias independientes.

Teorema 4.6 Si X1,X2,…,Xn son variables aleatorias

independientes y si Y1=G1(X1,…,Xr), Y2=G2(Xr+1,…,Xp),…,

Ym=Gm(Xk+1,…,Xn), donde Yj, j=1,…,m son funciones de

subconjuntos mutuamente excluyentes de X1,X2,…,Xn.

Entonces Y1,Y2,…,Ym son variables aleatorias

independientes.

Page 41: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.6 Distribución X2 , t y F

La distribución X2 es un caso especial de la distribución Gamma. Si consideramos la variable aleatoria Z con distribución normal estándar, entonces la función de distribución de U = Z2, para todo t ≥ 0 está dada por:

1)(21)(2)()()( 2 ttFtZtPtZPtF ZU

y su función de densidad

0,)2()()()( 2/2/12/1 tettfttFdt

dtf t

ZUU

Page 42: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Teorema 4.7 Si Z1,…,Zn son variables aleatorias normales

estándar, independientes, entonces:

2)(

2niZU óndistribuci tiene

Ejemplo Supongamos que X es una variable aleatoria con función de densidad

0,4

1)( 2/ xxexf x

X

entonces la función de densidad de X corresponde a la de una Chi-cuadrado con 4 grados de libertad.

2/4

2/12/42/

2)2/4(4

1)(

xx

Xex

xexf

Page 43: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Teorema 4.8 Si X1,…,Xn son variables aleatorias

independientes, cada una con distribución X2 con v1,…,vn

grados de libertad, respectivamente, entonces:

libertad. de grados con cuadrado-Chi óndistribuci tiene ii vXY

Teorema 4.9 Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes.

2121

221

211 ,~~ vvvv XvvXXX distribuye se entonces, y Si

Page 44: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

La Distribución t-Student: Sea Z una variable aleatoria normal estándar, y X una variable que se distribuye Chi-cuadrado con v grados de libertad. Si Z y X son independientes, entonces la variable aleatoria T definida por

vX

ZT

/

tiene distribución t-Student con v grados de libertad. La notación usual es Y ~ tv.

Siendo su función de densidad

tvtvv

vtf

vT ,)]/(1[

1

)2/(

)2/)1(()(

2/)1(2

Page 45: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

La Distribución F de Snedecor: Sean X1 y X2, variables

aleatorias Chi-cuadrado con v1 y v2 grados de libertad,

respectivamente. Si X1 y X2 son independientes, la variable

aleatoria

12

21

22

11

/

/

v

v

X

X

vX

vXF

Siendo su función de densidad

0,)1(

22

2)(

2/)21(

2

121

121

2

1

2

121

tt

vvvv

tvvvv

tfvv

vv

v

F

Page 46: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

El valor esperado de F es:

2][

2

2

v

vFE

La varianza de F es:

)4()2(

]2

1[2][

22

2

1

222

vv

vv

vFVar

Page 47: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.7 Sumas de variables aleatorias Si X1,… Xn son variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas, diremos que ellas conforman una muestra aleatoria.

Teorema 4.10 Sean X1,…,Xn variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas, con funciones generadoras de momentos MX1(t),…,MXn(t), respectivamente.

Si definimos:

n

iiXY

1

Entonces la función generadora de momentos de Y es:

nXY tMtM )]([)(

Page 48: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo

tenemos que

Supongamos que X1,…,Xn son variables aleatorias Bernoulli

independientes, idénticamente distribuidas, cada una con parámetro p. Entonces Mxi(t)=q + pet, i=1,…,n.

Si definimos:

n

iiXY

1

ntnXY peqtMtM )()]([)(

Page 49: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo Supongamos que X1,…,Xn son variables aleatorias normales

independientes, con medias 1,…,n y varianzas 12,…,n

2

respectivamente. Entonces

)2/exp()( 22iiiX tttM

Si definimos

sarbitraria constantes con i

n

iii aXaY ,

1

Entonces tenemos que

)2/exp()()( 222

1iiii

n

iiiXY atattaMtM

Page 50: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Entonces

ji

jiji

n

iiiY

n

iiiY XXCovaaaa ),(2,

1

222

1

Teorema 4.11 Sean X1,…,Xn variables aleatorias con

medias 1,…,n y varianzas 12,…,n

2 respectivamente.

Definiendosarbitraria constantes con i

n

iii aXaY ,

1

Teorema 4.12 Sean X1,…,Xn variables aleatorias no

correlacionadas. Si

n

iiiY

n

iiiY

n

iii aaXaY

1

222

11

, y entonces

Page 51: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Teorema 4.13 Sean X1,…,Xn variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas, cada una con media y varianza 2 . Si

22

1

, nnXY YY

n

ii

y entonces

Page 52: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

4.8 Máximos y mínimos

Sean X1,…,Xn, n variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas con función de distribución FX(x). Si

ordenamos las variables aleatorias en forma ascendente de acuerdo a su magnitud, podemos definir dos funciones de interés primordial en estadística. Ellas son el máximo y el mínimo, denotadas por:

}

}

n

nn

XXMínimoX

XXMáximoX

,,{

,,{

1]1[

1][

- La función de distribución acumulada del máximo de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas es:

nX tFtG ))(()(

Page 53: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

• Si las variables son continuas, podemos obtener la función de densidad del máximo.

)())(()(

)( 1 tftFndt

tdGtg X

nX

- La función de distribución acumulada del Mínimo de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas es:

nX tFtH )](1[1)(

• Si las variables son continuas, la función de densidad del mínimo es:

)())](1[()(

)( 1 tftFndt

tdHth X

nX

Page 54: Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

Ejemplo

Supongamos que X1,…,Xn son n variables aleatorias

independientes, cada una con distribución exponencial de parámetro >0. La función de densidad del máximo y mínimo respectivamente son:

y

0,)1()( 1 teentg tnt si

0,)]1(1[()( 1 teneenth tntnt si