Unidad III Teoría Básica de Estadística Inferenc · PDF file 2011. 11....

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  • Antología de Probabilidad y Estadística II

    Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 26

    Unidad III

    Teoría Básica de Estadística Inferencial

    Última revisión: 20-Octubre-2009

  • Antología de Probabilidad y Estadística II

    Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 27

    III.1 Conceptos fundamentales de la inferencia

    La inferencia estadística o estadística inferencial es una parte de la Estadística que comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra). La estadística inferencial, es el proceso por el cual se deducen (infieren) propiedades o características de una población a partir de una muestra significativa. Uno de los aspectos principales de la inferencia es la estimación de parámetros estadísticos. Por ejemplo, para averiguar la media, µ, de las estaturas de todos los soldados de un reemplazo, se extrae una muestra y se obtiene su media.

    La inferencia siempre se realiza en términos aproximados y declarando un cierto nivel de confianza. Por ejemplo, si en una muestra de n = 500 soldados se obtiene una estatura media = 172 cm, se puede llegar a una conclusión del siguiente tipo: la estatura media, µ, de todos los soldados del reemplazo está comprendida entre 171 cm y 173 cm, y esta afirmación se realiza con un nivel de confianza de un 90%. (Esto quiere decir que se acertará en el 90% de los estudios realizados en las mismas condiciones que éste y en el 10% restante se cometerá error.)

    La bondad de estas deducciones se mide en términos probabilísticos, es decir, toda inferencia se acompaña de su probabilidad de acierto.

    La estadística inferencial comprende:

     La Teoría de muestras.  La estimación de parámetros.  El Contraste de hipótesis.  El Diseño experimental.  La Inferencia bayesiana.  Los métodos no paramétricos

    III.2 Distribuciones muestrales

    El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.

    El muestreo puede hacerse con o sin reposición (con o sin reeemplazo, también aparece en la literatura), y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición.

  • Antología de Probabilidad y Estadística II

    Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 28

    Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción, etc…) que variará de una a otra. Debemos aclarar que un “estadístico” es cualquier combinación lineal de los datos muestrales. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.

    Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica (estándar), también denominada error estándar. Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muestrales son (aproximadamente) normales (para fines prácticos) y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.

    Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral Es un método de distribución que se calcula por medio de la media, desviación típica, proporción… variando de una a otra. El valor es aleatorio porque depende de los elementos elegidos en la muestra seleccionada por los cuales obtenemos una distribución de probabilidad. A partir de las muestras seleccionadas de una población pueden construirse variables aleatorias alternativas, de cuyo análisis se desprenden interesantes propiedades estadísticas. Las dos formas más comunes de estas variables corresponden a las distribuciones muestrales de las medias y de las proporciones.

    III.3 Intervalos de confianza

    El tema a desarrollar es intervalos de confianza y haciendo referencia a Richard I. Levin & David S. Rubin, en su libro de “Estadística para Administradores”, establecen el concepto de Intervalo de Confianza de la siguiente forma:

    “Intervalo de valores que tiene designada una probabilidad que incluya el valor real del parámetro de población”

    Para entender más claramente este concepto, es necesario comentar de inicio otros que al estar relacionados con el, facilitan su comprensión.

    Algunos de estos conceptos a revisar son:

     Estimación.  Estimación de intervalo.  Limites de confianza

     Estimación Puntual.  Nivel de confianza.

  • Antología de Probabilidad y Estadística II

    Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 29

    Estimación

    (Del lat. aestimatĭo, -ōnis). f. Aprecio y valor que se da y en que se tasa y considera algo. || 2. Der. La que se realiza en ciertos tributos para determinar el valor de la base imponible.

    Este es el concepto que podemos encontrar en un diccionario. Pero es además un concepto que en nuestra vida diaria aplicamos de forma recurrente.

    Todo el mundo hace estimaciones. Para cruzar una calle, y vemos venir un auto, estimamos la velocidad de este y la distancia que hay entre nosotros y el automóvil a fin de decidir si esperamos a cruzar o echaremos a correr para cruzar la calle.

    Implícito está en este ejemplo una de las razones para hacer estimaciones como administradores, jefes o lideres de equipo: Tomar decisiones en base a un cálculo, una estimación.

    Los administradores deben hacer estimaciones rápidas, el resultado de estas incide en la organización por medio de la decisión tomada a partir de la estimación. Se hacen estimaciones en:

     Una universidad para determinar el nivel de inscripciones año con año.

     En un buró de crédito, a fin de determinar si un cliente puede terminar de pagar su deuda en un determinado tiempo, a partir de sus hábitos de crédito previos, lo que vendría a ser el historial.

     Para fijar presupuestos, con base a información del pasado.

    En cada uno de estos casos se está tratando de inferir, saber algo de una población a partir de una muestra, como tomadores de decisiones, nos veremos muchas veces forzados a tomar decisiones confiando en nuestro instinto, en nuestros presentimientos, pero lo ideal cada uno en su posición, seria que estas decisiones estuvieran tomadas a partir de la disposición de información y aplicar conocimientos de estadística para desempeñarnos mejor.

    Concluimos de inicio para el Concepto de Estimación que las razones para su aplicación son las siguientes:

    1. Con el fin de tomar decisiones racionales.

    2. Inferir algo, a partir de la información de la muestra, a partir de métodos con precisión razonable. Todo este proceso debe ser capaz de proveer de información para desempeñarnos de la mejor manera en la toma de decisiones.

  • Antología de Probabilidad y Estadística II

    Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 30

    Existen dos tipos de estimación, en lo que se refiere a una población.

     Estimación Puntual.

     Estimación de Intervalo.

    Este último concepto nos ayudara a entender el concepto objetivo de nuestra exposición que es Intervalo de Confianza.

    III.3.1 La estimación

    Estimación Puntual

    Una estimación puntual es un solo número que se utiliza para estimar un parámetro (dato) de población desconocido.

    Ejemplo: El jefe de una Universidad estaría haciendo una estimación puntual al afirmar: “Para el siguiente año escolar por nuestros datos actuales se indica que en la materia de Filosofía y letras tendremos 350 estudiantes”.

    La afirmación es similar a lanzar una moneda al aire: o es cierta o es falsa, solo tiene dos opciones. Por lo tanto una estimación puntual resulta a menudo insuficiente, debido a que solo tiene dos opciones: es correcta o está equivocada. Además si se nos dice que el jefe de departamento está equivocado en su estimación, se generará la siguiente pregunta. ¿Qué tan distante esta la estimación de la real? Es decir que estimación de error posee. No es lo mismo decir que la estimación esta errada por 10 estudiantes que por 90, la diferencia lo establece un concepto: CONFIABILIDAD.

    Ejemplo de Estimación Puntual: La media de la muestra es un estimador de la media de la población confiable, sobre todo cuando la muestra es lo suficientemente grande. Pero es una estimación puntual pues solo arroja un resultado.

    Para explicarlo, aun cuando ya es un tema visto, haremos revisión de la formula:

    𝑥 = 𝑥

    𝑛

    Donde: ∑x, es la sumatoria de todos los elementos de la muestra.

    n, es el número de elementos.

    Observemos el ejemplo de una compañía de