Unidad III: Ecuaciones de VariaciónUnidad III: Ecuaciones de Variación

Prof. Pedro José Tineo Figueroa Prof. Pedro José Tineo Figueroa

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los

conceptos englobados en las Ecuaciones de Variación de masa y

cantidad de movimiento de los fluidos.

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los

conceptos englobados en las Ecuaciones de Variación de masa y

cantidad de movimiento de los fluidos.

Interpretar la ecuación de continuidad y movimiento.Interpretar la ecuación de continuidad y movimiento.

Identificar las distintas ecuaciones diferenciales de continuidad y movimiento en coordenadas rectangulares y cilíndricas

Identificar las distintas ecuaciones diferenciales de continuidad y movimiento en coordenadas rectangulares y cilíndricasAplicar la ecuación de continuidad y movimiento en la obtención del perfil de velocidades, velocidad media y velocidad máxima de flujo

Aplicar la ecuación de continuidad y movimiento en la obtención del perfil de velocidades, velocidad media y velocidad máxima de flujo

Comparar el principio de la ecuación de continuidad y movimiento con el principio de balance de cantidad de movimiento

Comparar el principio de la ecuación de continuidad y movimiento con el principio de balance de cantidad de movimiento

Evaluar los métodos para el cálculo del perfil de velocidades.Evaluar los métodos para el cálculo del perfil de velocidades.

1. Ecuación de Continuidad1. Ecuación de Continuidad

2. Ecuación de Movimiento2. Ecuación de Movimiento

3. Ecuación de Navier-Stokes3. Ecuación de Navier-Stokes

4. Aplicaciones a modelos matemáticos sencillos.4. Aplicaciones a modelos matemáticos sencillos.

Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Bibliografía:• Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987.• Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill

2002.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Ecuaciones de Variación:Ecuaciones de Variación:

b) Ecuaciones de conservación de la cantidad de Movimiento

1. Fluidos isotérmicos

2. Sistemas Rectangulares

3. Sistemas Curvilíneos:Cilíndricos y Esféricos

a) Ecuación de conservación de la Materia

Ecuación de Continuidad: Se deduce aplicando un Balance de Materia a un elemento estacionario de volumen xyz, a través del que está circulando el fluido.

Ecuación de Continuidad: Se deduce aplicando un Balance de Materia a un elemento estacionario de volumen xyz, a través del que está circulando el fluido.

(vx)|x(vx)|x+x

x

z

y

(x, y, z)

(x+x, y+y, z+z)

x

y

z

Balance de Materiales:Balance de Materiales:Velocidadde Acumulación VelocidaddeEntrada VelocidaddeSalida

deMateria deMateria deMateria

Escribiendo los términos considerando flujo en todas las direcciones se obtiene:

Escribiendo los términos considerando flujo en todas las direcciones se obtiene:

x x y yx x x y y y

z zz z z

dx y z y z v v x z v v

dt

x y v v

Dividiendo por xyz y tomando el límite cuando tienden a cero se obtiene la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas

Dividiendo por xyz y tomando el límite cuando tienden a cero se obtiene la ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas

x y zv v vt x y z

Una simplificación importante se obtiene al asumir que el fluido es incompresible (=Ctte), en cuyo caso /t = 0:

Una simplificación importante se obtiene al asumir que el fluido es incompresible (=Ctte), en cuyo caso /t = 0:

Haciendo los cambios de variables apropiados se pueden obtener ecuaciones análogas para coordenadas cilíndricas y esféricas:

Haciendo los cambios de variables apropiados se pueden obtener ecuaciones análogas para coordenadas cilíndricas y esféricas:

x y z

x y x

v v v 0x y z

En forma vectorial :

ˆ ˆ ˆ0 con v v v

v v i j k

r z

1 1rv v v 0 Cilíndricas

t r r r z

2r2

1 1 1r v v sen v 0 Esféricas

t r r r sen r sen

Ecuación de Movimiento: Para un elemento de volumen similar al anterior se puede aplicar un balance de cantidad de movimiento

Ecuación de Movimiento: Para un elemento de volumen similar al anterior se puede aplicar un balance de cantidad de movimiento

xx|x

x

z

y

(x, y, z)

xx|x+x

xy|y

yx|y+y

zx|z+z

zx|z+z

En esta figura solo se señala la componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies

En esta figura solo se señala la componente x de la cantidad de movimiento a través de las superficies

Dado que el esfuerzo cortante tiene tres componentes para el flujo en cada dirección se escribe un balance de cantidad de movimiento para cada componente en estado no estacionario:

Dado que el esfuerzo cortante tiene tres componentes para el flujo en cada dirección se escribe un balance de cantidad de movimiento para cada componente en estado no estacionario:

Velocidadde Velocidadde Velocidadde Sumadelas

Acumulación Entradade Salidade Fuerzasque

deCantidad Cantidadde Cantidadde ActúanSobre

deMovimiento Movimiento Movimiento el

Sistema

Para la componente x (las otras se obtienen por analogía) se tiene:

Entrada y salida de Cantidad de Movimiento

Para la componente x (las otras se obtienen por analogía) se tiene:

Entrada y salida de Cantidad de Movimiento

x x x x y x y xx x x y y y

z x z xz z z

C y z v vonvección : v v x z v v v v

x y v v v v

xx xx yx yxx x x y y y

zx zxz z z

y z xEfecto Viscoso : z

x y

FuerzasFuerzas

x

x x x

Gravedad :

Pr esión :

g x y z

y z p p

Velocidad de AcumulaciónVelocidad de Acumulación

xx y z vt

Sustituyendo en el balance y dividiendo por xyz cuando éstos tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento:

Sustituyendo en el balance y dividiendo por xyz cuando éstos tienden a cero, se obtiene la componente x de la ecuación de movimiento:

x x x y x z x xx yx zx x

pv v v v v v v g

t x y z x y z x

Por analogía se obtienen las componentes y y z respectivamente:

Por analogía se obtienen las componentes y y z respectivamente:

y x y y y z y xy yy zy y

pv v v v v v v g

t x y z x y z y

z x z y z z z xz yz zz z

pv v v v v v v g

t x y z x y z z

Para determinar el perfil de velocidades a partir de estas ecuaciones es necesario sustituir las componentes del esfuerzo cortante, que en el caso de fluidos Newtonianos son:

Para determinar el perfil de velocidades a partir de estas ecuaciones es necesario sustituir las componentes del esfuerzo cortante, que en el caso de fluidos Newtonianos son:

xxx

yyy

zzz

yxxy yx

y zyz zy

z xzx xz

v 22

x 3v 2

2y 3

v 22

z 3vv

y x

v v

z y

v v

x z

v

v

v

El resultado de sustituir las expresiones newtonianas del esfuerzo, además de considerar que las propiedades permanecen constantes, se conoce como las Ecuaciones de Navier-Stokes:

El resultado de sustituir las expresiones newtonianas del esfuerzo, además de considerar que las propiedades permanecen constantes, se conoce como las Ecuaciones de Navier-Stokes:

2 2 2x x x x x x x

x y z x2 2 2

2 2 2y y y y y y y

x y z y2 2 2

z z zx y z

v v v v v v vpComp x : v v v g

t x y z x x y z

v v v v v v vpComp y : v v v g

t x y z y x y z

v v vComp z : v v v

t x y

2 2 2z z z z

z2 2 2

v v v vpg

z z x y z

Al igual que la ecuación de continuidad, existen ecuaciones análogas para las coordenadas curvilíneas, cuya deducción se puede hacer a partir de la ecuación en coordenadas cartesianas haciendo los cambios de variables necesarios, éstas se resumen a continuación:

Al igual que la ecuación de continuidad, existen ecuaciones análogas para las coordenadas curvilíneas, cuya deducción se puede hacer a partir de la ecuación en coordenadas cartesianas haciendo los cambios de variables necesarios, éstas se resumen a continuación:

2r r r r

r z

r rzrr r

rr z

2r2

v vv v v v pComp r : v v

t r r r z r

1 1r g

r r r r z

v v v v v v v 1 pComp : v v

t

Coordenadas Cilíndricas :

En función d

r r r z r

1r

r r

e :

z

zz z z z zzx y z rz z

1g

r z

v v v v p 1 1Comp z : v v v r g

t x y z z r r r z

2

2r r r r

r z

2 2r r

r r2 2 2

r

v vv v v v pComp r : v

Coordenadas Cilíndricas :

En función del gradiente de Velocidad con y cons tantes

vt r r r z r

vv v1 1 2rv g

r r r r r z

v vCo

:

mp : vt

2

rz

2 2r

2 2 2

2 2z z z z z z z

x y z z2 2 2

v v v v v 1 pv

r r r z r

v vv1 1 2rv g

r r r r r z

v v v v v v vp 1 1Comp z : v v v r g

t x y z z r r r r z

2 22r r r r

r

r2rr r r2

r

v v

Co

v vv v v v pComp r : v

t r r rsen r r

1 1 1r sen g

r r rsen rsen r

vv v v v vComp : v

t r r

ordenadas Esféricas

rse

:

En función d :

n

e

2

r

2 rr2

rr

2r2

v cotv v 1 p

r r r

1 1 1 cotr sen g

r r rsen rsen r r

v v v v v v v v vv 1 pComp : v cot

t r r rsen r r rsen

1 1 1r

r r r r

r 2cot

gsen r r

2 22r r r r

r

2r r r2 2 2 2

v vv vv v v v pComp r : v

t

Coordenadas Cilíndric

r r rse

as :

En función del gradiente de Veloci

n r r

vv2 2 2 2v v v cot g

r r r r sen

Com

dad con y cons tantes :

p :

2

rr

2 r2 2 2 2 2

rr

2

v v cotv v v v v v v 1 pv

t r r rsen r r r

vvv2 2cosv g

r r sen r sen

v v v v v v v v vv 1 pComp : v cot

t r r rsen r r rsen

v

r2 2 2 2 2 2

v vv2 2cosg

r sen r sen r sen

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1r sen

r r r r se

En estas ecua

n r sen

ciones :

rrr

r

zrr

rr r

zz z

v 22

r 3

v v 2

Componentes del Tensor Esfuerzo

enCoor

2r 3

v 22

z 3

v v1r

r

denadas Cilínd

r r

v v

ri

1

r

as :

z

c

v

v

v

z rzr rz

zr

v v

r z

v v1 1rv

r r r z

v

rrr

r

r

rr r

v 22

r

Componentes del Tensor Esfue

3

v v 22

r 3

v v cotv1 22

rzo

en Coordenadas Esféri

r

c

sen r r 3

v v1r

r

s

r

a :

r

v

v

v

rr r

2r2

v vsen 1

r sen rsen

vv1r

rsen r r

v1 1 1r v v sen

r r rsen rsen

v

rrr

r

r

rr r

v 22

r

Componentes del Tensor Esfue

3

v v 22

r 3

v v cotv1 22

rzo

en Coordenadas Esféri

r

c

sen r r 3

v v1r

r

s

r

a :

r

v

v

v

rr r

2r2

v vsen 1

r sen rsen

vv1r

rsen r r

v1 1 1r v v sen

r r rsen rsen

v

En el uso de estas Ecuaciones para la resolución de problemas de flujo Isotérmico las siguientes recomendaciones deben tomarse en cuenta:

En el uso de estas Ecuaciones para la resolución de problemas de flujo Isotérmico las siguientes recomendaciones deben tomarse en cuenta:

Verificar que las propiedades sean o no constantes.

Verificar que las propiedades sean o no constantes.Definir las condiciones límites.Definir las condiciones límites.

Analizar intuitivamente el tipo de flujo, distribución de la presión, dirección de flujo, componentes del tensor esfuerzo, para reconocer los términos que son cero (ó muy próximos) y descartarlos.

Analizar intuitivamente el tipo de flujo, distribución de la presión, dirección de flujo, componentes del tensor esfuerzo, para reconocer los términos que son cero (ó muy próximos) y descartarlos.

Finalmente se resuelve la ecuación o ecuaciones diferencial resultantes de este proceso.

Finalmente se resuelve la ecuación o ecuaciones diferencial resultantes de este proceso.

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

AnónimoAnónimo