Unidad II. Modelado de Sistemas Físicos

7/23/2019 Unidad II. Modelado de Sistemas Físicos

http://slidepdf.com/reader/full/unidad-ii-modelado-de-sistemas-fisicos 1/21

INGENIERÍA ELECTRÓNICA CONTROL I UNIDAD II

[email protected] Instituto Tecnológico de Hermosillo 25

UNIDAD II. MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS

2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.

La mayoría de los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos,aunque algunos sistemas también tienen elementos neumáticos e hidráulicos. Dese un punto devista matemático, la descripción de elementos mecánicos y eléctricos son análogos, de hecho sepuede demostrar que dado un dispositivo eléctrico, normalmente tiene su contraparte matemáticamecánica análoga y viceversa.

Resumen de conceptos de electricidad y magnetismo

• Electrostática es la ciencia que estudia las cargas eléctricas en reposo.

• Primera ley de la electrostática: las cargas del mismo signo se repelen y las cargas de signocontrario se atraen.

• Ley de Coulomb: la fuerza de atracción o de repulsión entre dos cargas puntuales esdirectamente proporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia que las separa: = .

• Un coulomb es la carga transferida en un segundo a través de cualquier sección transversalde un conductor, mediante una corriente constante de un ampere.

=. .

• La carga del electrón es: =−. .

• Campo eléctrico. El espacio que rodea a un objeto cargado se altera en presencia de unacarga, entonces se puede postular la existencia de un campo eléctrico en este espacio: se dice

que existe un campo eléctrico en una región de espacio en la que una carga eléctricaexperimenta una fuerza eléctrica. La dirección de la intensidad del campo eléctrico en unpunto en el espacio es la misma que la dirección en la cual una carga positiva se movería sise colocara en ese punto. La magnitud de la intensidad del campo eléctrico está dada por:

= !

• Líneas de campo eléctrico son líneas imaginarias trazadas de tal manera que su direcciónen cualquier punto es la misma que la dirección del campo eléctrico en ese punto. El campoen la vecindad de una carga positiva se dirige radialmente hacia afuera y en la carga negativaestá dirigido hacia adentro.

• Ley de Gauss: el número total de líneas de fuerza eléctricas que cruzan cualquier superficiecerrada en una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la carga total neta contenidadentro de esa superficie.

• La energía potencial del sistema es igual al trabajo realizado contra las fuerzas eléctricas

para llevar la carga "# desde el infinito hasta ese punto. Siempre que una carga positiva semueve en contra del campo eléctrico, la energía potencial aumenta; y siempre que una carganegativa se mueve en contra del campo eléctrico, la energía potencial disminuye.





• Potencia eléctrico. El potencial $ en un punto situado a una distancia % de una carga & esigual al trabajo por unidad de carga realizado contra las fuerzas eléctricas para transportar una

carga positiva "# desde el infinito hasta dicho punto.• La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo por unidad de carga positiva querealizan fuerzas eléctricas para mover una pequeña carga de prueba desde el punto de mayor

potencial al punto de menor potencial: ' ( − '). La diferencia de potencial entre dos placascon carga opuesta es igual al producto de la intensidad de campo por la separación de las

placas: ' = *. El campo eléctrico está expresado en $+ y se conoce como gradiente depotencial.

• El electrón volt es una unidad de energía equivalente a la energía adquirida por un electrónque es acelerado a través de una diferencia de potencial de un volt.

• La capacitancia es la capacidad de un conductor para almacenar carga. La razón de la

cantidad de carga & al potencial $ producido será constante para un conductor dado: = ,'.

• El farad () es la unidad de capacitancia en -/0. Si un conductor tiene lacapacitancia de un farad, la transferencia de carga al conductor elevará su potencial en unvolt.

• Un capacitor está formado por dos conductores muy cercanos entre sí, que transportancargas iguales y opuestas.

• La capacitancia entre dos conductores que tienen cargas iguales y opuestas es la razón dela magnitud de la carga sobre cualquier conductor a la diferencia de potencial resultante entrelos dos conductores.

• La rigidez dieléctrica de cierto material es la intensidad del campo eléctrico para la cual elmaterial deje de ser un aislador y se convierte en un conductor. La capacitancia para uncapacitor que contiene un dieléctrico es:

= 1 (* 2 3 = 4 352 6 78 9%+:6:;:<8< <7 <:7>?%:>@

• La constante dieléctrica A para un material particular se define como la razón de la

capacitancia de u n capacitor de acuerdo con el material que hay entre sus placas y la

capacitancia en el vacío.

• La energía potencial de un capacitor cargado se puede calcular con:

B = ,' = ' = ,

• La electrodinámica es la ciencia que estudia las cargas eléctricas en movimiento.• Energía eléctrica. Al aplicar una diferencia de potencial entre dos puntos se genera una

energía eléctrica capaz de establecer una corriente eléctrica entre estos puntos.

• La intensidad de corriente eléctrica C, es la rapidez del flujo de carga que pasa por un punto

dado en un conductor eléctrico. Un ampere ( () representa un flujo de carga con la rapidez de

un coulomb por segundo, al pasar por cualquier punto: C = , .





• La dirección de la corriente convencional siempre es la misma que la dirección en la quese moverían las cargas positivas, incluso si la corriente real consiste en un flujo de electrones.

• Una fuente de fuerza electromotriz (

D) es un dispositivo que convierte la energía química,

mecánica u otras formas en la energía eléctrica necesaria para mantener un flujo continuo de

carga eléctrica. Una fuente de E+ de 1 Volt realizará F G@H7 de trabajo sobre cada Coulombde carga que pasa a través de ella, es decir, se dice que dos puntos en un sistema (ejemplo

a, b), tiene una diferencia de potencial de F $@7?, si se necesita F G@H7 de energía para mover

una carga de F !@H7@+I de un punto al otro, ' = J--/.

• La resistencia eléctrica (K) se define como la oposición a que fluya carga eléctrica.

• Ley de Ohm: la corriente que circula por un conductor dado es directamente proporcional a ladiferencia de potencial entre sus puntos extremos. Cuanto mayor sea la resistencia, tantomenor será la corriente para un voltaje dado. Una resistencia de un ohm permitirá una corriente

de un ampere cuando se aplica a sus terminales una diferencia de potencial de un volt, K = 'C .

• Ley de Watt: B = ' C = CK = 'K .

• Leyes de Kirchhoff. Una red eléctrica es un circuito complejo que cosiste de trayectoriascerradas o mallas por donde circula la corriente. Es complicado aplicar la Ley de Ohm cuando

se trata de redes complejas que incluyan varias mallas y varias fuentes de E+. El científicoalemán Gustav Kirchhoff desarrolló un procedimiento más directo para analizar circuitos deeste tipo en el siglo XIX. Su método se apoya en dos leyes:- Primera Ley de Kirchhoff: la suma de las corrientes que llegan a una unión (nodo) es

igual a la suma de las corrientes que salen de esa unión (nodo):L CM*M = L CMN*M

- Segunda Ley de Kirchhoff: la suma de las E+6 alrededor de cualquier malla cerrada de

corriente es igual a la suma de todas las caídas OP alrededor de dicha malla:

L Q = L CK

• Ley de la fuerza magnética: polos magnéticos iguales se repelen y polos magnéticosdiferentes se atraen.

• La densidad de flujo magnético en una región de un campo magnético es el número delíneas de flujo que pasan a través de una unidad de área perpendicular en esa región.

) = R SD-TU ( SVMU

La unidad de flujo magnético en el SI es el I% (I), la unidad de densidad de flujo debeser entonces I+W, que se redefine como el ?678 (X); una unidad antigua que todavía se

usa hoy es el Y8H66 (Z): FX = [\]^_ = F`aZ.





• Hans Christian Oersted, físico y químico danés que descubrió la acción magnética de lascorrientes eléctricas (Experimento de Oersted en 1820).

• Ley de Ampere: la ley empírica del electromagnetismo que describe matemáticamente lafuerza magnética existente entre dos conductores con corriente eléctrica.

• Campo magnético de un conductor. El experimento de Oersted demostró que una cargaeléctrica es movimiento, o una corriente, origina un campo magnético en el espacio que larodea.

• Campo magnético en una espira. Si un alambre se curva para darle la forma de una espiray sus extremos se conectan a una fuente de corriente, se establece un campo magnético

semejante al de un imán de barra. Si el alambre forma parte de una bobina con vueltas (

es el número de espiras), la inducción magnética en el centro de la bobina circular de radio %

que transporta una corriente O se calcula con la expresión: ) = bcC

.

La constante de proporcionalidad d es la permeabilidad del medio a través del cual pasan laslíneas de flujo.

• Un solenoide consiste en un devanado de muchas vueltas de alambre, enrolladas en formahelicoidal, el campo magnético producido es similar al de un imán en forma de barra. La

inducción magnética en el interior de un solenoide con longitud e en metros, se expresa

mediante: ) = bcCf .

Un toroide (anillo de Rowland) es un caso particular de un solenoide, empleado a menudopara estudiar efectos magnéticos, consta de una bobina de alambre en forma de rosca,devanado en forma muy compacta.

• Histéresis es el retraso de la magnetización con respecto a la intensidad magnética.• Un motor eléctrico es un dispositivo que transforma la energía eléctrica en energía mecánica.

El motor de corriente continua, como la bobina móvil de un galvanómetro, consiste de unabobina por la que fluye corriente colocada dentro de un campo magnético. Sin embargo, elmovimiento de la bobina en el motor no está restringido por resortes, es decir, que el diseñopermite que la bobina gire continuamente bajo la influencia de un momento de torsiónmagnético.

• Ley de Faraday (Ley de inducción electromagnética): establece que el voltaje inducido en uncircuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujomagnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde. Basándose en

los experimentos de Oersted, Michael Faraday logró desarrollar el primer motor eléctrico.Realizó investigaciones sobre fenómenos de inducción electromagnética, observó que un imánen movimiento a través de una bobina induce en ella una corriente eléctrica.

• Un inductor consiste en una espira o bobina continua de alambre. Cuando la corriente que

circula por un inductor aumenta o disminuye, aparece una fuerza electromotriz ( E+)

autoinducida en el circuito que se opone al cambio. Esta E+ inducida en la bobina como

resultado de los cambios en su propia corriente, se calcula por: Q = − c gRg .

La E+ autoinducida es directamente proporcional al número de espiras en la bobina y a larapidez con la cual cambia el flujo.





• La fuerza contraelectromotriz inducida generada por un inductor es la respuesta a loscambios de corriente. Puesto que la geometría del inductor es la misma, la rapidez de cambio

en el flujo

hih?, o fem inducida, es proporcional a la rapidez de cambio en la corriente:

h:h?,

expresada por la ecuación: f = − QgNg.

• La unidad de inductancia es el Henry (H). Un inductor determinado tiene una inductancia de

un Henry (H) si una E+ de un volt se induce por medio de una corriente que cambia con una

rapidez de un ampere por segundo. Fj=F$.6k.

Unidades eléctricas en el SI

Cantidad Unidad AbreviaturaCorriente Ampere AVoltaje Volt V

Resistencia Ohm Ω Capacitancia Faradio FInductancia Henry H

Energía Joule JPotencia Watt W

Frecuencia Hertz HzCarga Coulomb C

Flujo magnético Weber WbDensidad de flujo magnético Webers/m2 Wb/m2

• Resistencia eléctrica





• Capacitores o condensadores

• Inductores o bobinas

Modelado de sistemas eléctricos (Resistores, capacitores e inductores)

- Análisis de las relaciones ; − : para los tres elementos eléctricos básicos: resistor, inductor ycapacitor.

- Ejemplo 6. Modelado de sistemas eléctricos: circuitos RC, RL y RLC serie.





Modelado de sistemas electrónicos analógicos con amplificadores operacionalesEl amplificador operacional en lazo abierto En un primer análisis, es conveniente considerar que el amplificador operacional tiene ciertascaracterísticas ideales, de este modo se considera al amplificador operacional como un bloquecon terminales de entrada y salida sin importar los dispositivos internos. El nombre deamplificador operacional deriva de su uso original, realizar operaciones matemáticas en lasprimeras computadoras analógicas. El amplificador operacional con entrada diferencial y salidano balanceada constituye el tipo más usado comúnmente; un amplificador con entrada diferencialpermite una mayor flexibilidad en la elección del tipo de retroalimentación, lo cual no sucede conun amplificador de entrada simple, no balanceada.

El amplificador operacional ideal en lazo abierto es un dispositivo acoplado directamente yresponde solo a la diferencia de voltaje entre las dos terminales de entrada (entradas en mododiferencial) y no al potencial común de éstas (entradas en modo común), es decir, con respectoa tierra. Entonces, la salida del amplificador ideal con entrada diferencial sólo depende de ladiferencia de los voltajes aplicados a las terminales de entrada. Cualquier voltaje común que

puedan tener las dos entradas con respecto a tierra, se denomina voltaje de entrada en modocomún. La salida del amplificador operacional ideal no debería afectarse por algún voltaje demodo común de entrada. Es importante aclarar que siempre se usarán las dos entradas, y laforma de utilizarlas depende del tipo de aplicación:

0 = S (lfUS0N*U Características en lazo abierto:• Está acoplado directamente, con entrada diferencial y salida simple.• Responde solamente a diferencias de voltaje (modo diferencial) en las entradas y no a voltajes

iguales (modo común).

• Una señal positiva en la entrada inversora produce una señal negativa en la salida.• Una señal positiva en la entrada no inversora produce una señal positiva en la salida.• Ambas terminales de entrada deberán ser utilizadas siempre.• La señal de salida está siempre referida a tierra.





El circuito equivalente ideal del amplificador operacional presenta las siguientes características:

Las características ideales del amplificador operacional:• Ganancia en lazo abierto infinita (ganancia diferencial infinita y ganancia común nula).• Ancho de banda infinito.

• Impedancia de entrada infinita, mN = n (No hay flujo de corriente en las terminales deentrada).

• Impedancia de salida nula (cero), el amplificador operacional no se afecte por la carga.• Voltajes y corrientes de compensación (offset ) nulos. Asegura que cuando el voltaje de

entrada es nulo, el voltaje de salida también lo es, independientemente de la resistencia delgenerador o fuente de señal de entrada.

• La Razón de Rechazo en Modo Común (CMRR) es infinita.

De estas características ideales, en especial si la ganancia en lazo abierto es infinita, (loque implica que cualquier señal de salida será el resultado de una señal infinitesimalmentepequeña a la entrada), se concluyen dos propiedades importantes del amplificador operacional:

1. 0N* = con retroalimentación, es decir: 0o = 0. Para retroalimentación el voltaje de entradadiferencial es cero (existe un cortocircuito virtual entre las terminales de entrada). No aplica encomparadores.

2. No circula corriente por las terminales de entrada (resistencia de entrada infinita).

Estas dos propiedades pueden considerarse como un axioma, y se usarán constantemente

durante todo el análisis y diseño de circuitos con amplificadores operacionales, cuando éstos seconsideren como dispositivos ideales, lo cual no está muy lejos de la realidad.

Ejemplo 7: Resolver circuitos con amplificadores operacionales en lazo abierto.





El amplificador operacional en lazo cerrado (configuraciones básicas)

1. El amplificador inversor

:pS?U = ;pS?U − ;Pp

= ;pS?UPp

:qS?U = ; − ;rS?UPs

= − ;tS?UPs

:pS?U = :qS?U

;pS?UPp= − ;tS?UPs

Por lo tanto:

0SU = − uKKN

v 0NSU

Es decir, la ganancia inversora en lazo cerrado del amplificador operacional es:

(f = −K

KN También se puede representar como la función de transferencia en lazo cerrado con

retroalimentación negativa:

0SU0NSU = − K

KN





2. El amplificador no inversor

Aplicando un divisor de voltaje:

;pS?U = ;tS?UPpPp " Ps

Por lo tanto:

0SU = u " KKN

v 0NSU

La ganancia no inversora en lazo cerrado del amplificador operacional es:

(f = " KKN

La función de transferencia en lazo cerrado con retroalimentación negativa es:

0SU0NSU = " K

KN

3. Seguidor de voltaje o de ganancia unitaria





4. El amplificador no inversor con divisor de voltaje

5. Circuito restador con amplificador operacional





6. Circuito sumador inversor

7. Circuito sumador no inversor

El voltaje de salida del sumador es:

$t = uF " PsPp

v $w

' = u " K

KN

v SKKKxU u'

K

" '

K

" 'x

Kx

v

Si P[ = PW = Py = P:

$t = uF " PsPp

v uFzv S$[ " $W " $yU

Si Ps = Pp:' = ' " ' " 'x

En general, aplicado estas dos condiciones:

$t = L $|

O[ " OW " Oy = ` $[ − $w

P[" $W − $w

PW" $y − $w

Py= `

$[P[ " $WPW " $yPy = $w u FP[ " FPW " FPyv

$w = SP[PWPyU $[ " $W " $y

$w Oy

OW

O[





8. Circuito promediador inversorAplicando las siguientes condiciones en el circuito sumador inversor, se obtiene un circuitopromediador inversor con amplificador operacional:

P[ = PW = Py = P

Ps = Pz

' = − x S' " ' " 'xU

9. Circuito promediador no inversorAplicando las siguientes condiciones en el circuito sumador no inversor, se obtiene un circuito

promediador no inversor con amplificador operacional:

P[ = PW = Py = P Pp = n

Es decir, el circuito sumador no inversor como seguidor de voltaje es un promediador no inversor:

' = uxv S' " ' " 'xU

10. Circuito integrador con amplificador operacional

:pS?U = ;pS?U − ;P = ;pS?U

P

:qS?U = −:S?U = −! <;tS?U<?

:pS?U = :qS?U

;pS?UP = −! <;tS?U

<?

+

0NSU +

0SU NNSU

N DSU





Integrando en ambos lados de la igualdad:

~

;pS?U

P = − ~ !

<;tS?U

<?

0SU = − K ~ 0NSU* = −

K ~ 0NSU

* " 0

K es la constante de integración

La función de transferencia para el circuito integrador es:

'SU'NSU = −

K uv

6 7 E8>?@% :?Y%87 @ 8>>:• :?Y%87 SH 9@7@ 7 @%:YU

11. Circuito derivador con amplificador operacional

:pS?U = :S?U

:qS?U = ; − ;tS?UP = − ;tS?U

P

:S?U = :qS?U

! <;pS?U<? = − ;tS?U

P

0SU =−K *0NSU*

K es la constante de derivación

La función de transferencia para el circuito derivador es:

'SU'NSU = −SKU

26 7 E8>?@% <%:;8?:;@ @ 8>>:• <%:;8?:;8 SH >%@ 7 @%:YU

Ejemplo 8: Resolver circuitos con amplificadores operacionales en lazo cerrado.

+

0NSU +

0SU

NNSU

N DSU





2.2. Modelado de sistemas mecánicos de traslación y rotación

Sistemas mecánicos de traslación (masa-resorte-amortiguador)

Los sistemas mecánicos lineales están definidos como aquellos sistemas que realizan unmovimiento mecánico en línea recta. La forma común de describir su dinámica se basa en laSegunda Ley de Newton.

Leyes de Newton

• Primera Ley de Newton (Ley de la inercia): todo cuerpo permanece en su estado de reposoo de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.

• Segunda Ley de Newton (Principio fundamental de la dinámica): la fuerza que actúa sobreun cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.

= M 0 = ** = *€SU* = € M = *0* = *

€SU* = € ‚ • Tercera Ley de Newton (Principio de acción-reacción): cuando un cuerpo ejerce una fuerza

sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Ley de Hooke (Elasticidad). La ley de Hooke da cuenta de la relación que existe entre la fuerzaque se aplica a un cuerpo y la deformación que en él se produce: La cantidad de estiramiento ode compresión (cambio de longitud) es directamente proporcional a la fuerza aplicada

= = €

Esta ley es válida cuando las deformaciones son pequeñas, deformaciones elásticas, de formaque una vez que se deja de aplicar la fuerza deformadora el cuerpo vuelve a su estado original.

Variables, coeficientes símbolos y unidades del sistema mecánico de traslación(Sistema masa-resorte-amortiguador)

Símbolos Variables y coeficientesUnidades

Sistema Inglés SistemaInternacional

€ Distancia(desplazamiento) 9:6 • E? + 0 Velocidad 9:66Y • E?6Y +6Y M Aceleración 9:66YW +6YW

D Fuerza 7I Masa 67HY 4Y ƒ Coeficiente de amortiguamiento 7ISE?6YU S+6YU Constante del resorte (rigidez) 7I9:6 +

Factores de conversión1 Nw 0.2248 lb

2.54 cm 1 in0.3048 m 1 ft14.59 Kg 1 slug0.454 Kg 1 lb1609 m 1 milla





El movimiento de elementos mecánicos se puede describir en varias dimensiones como detraslación, de rotación o sus combinaciones. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento desistemas mecánicos están formuladas directa o indirectamente mediante la ley del movimientode Newton. Las variables que se utilizan para definir el movimiento de traslación son laaceleración, velocidad y desplazamiento. La ley del movimiento de Newton establece que la

suma algebraica de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en una dirección dada

es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma dirección:

L = M

Elementos involucrados en el movimiento de traslación:

• Masa: propiedad de un elemento para almacenar la energía cinética del movimiento detraslación. La masa es análoga a la inductancia de los circuitos eléctricos. „ = ….• Resorte lineal: un elemento que almacena energía potencial. El resorte lineal es análogo a

un capacitor en un circuito eléctrico. Todos los resortes en la vida real, son de alguna manera,no lineales. Sin embargo, si la deformación del resorte es pequeña, su comportamiento sepuede aproximar por la relación lineal: DSU =€SU.

• Fricción viscosa. Cuando exista un movimiento o tendencia de movimiento entre doselementos físicos, se presentarán fuerzas de fricción. Las fuerzas de fricción que seencuentran en los sistemas físicos son, normalmente, de naturaleza no lineal. La fricciónviscosa representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad.

A menudo, el esquema del elemento de fricción viscosa se representa como un amortiguador: DSU = ƒ *€SU* .

Elementos básicos para el modelado de sistemas mecánicos lineales





Ejemplo 9: Modelado de sistemas mecánicos de traslación

1. Considere el siguiente sistema mecánico de traslación lineal masa-resorte-amortiguador. La

entrada HS?U es aplicada directamente a la masa, la salida de interés es el desplazamiento †S?U que tiene la masa a partir del reposo.

a. Demuestre que se trata de un sistema de segundo orden, determinando la ecuacióndiferencial que describe su comportamiento en el tiempo.

b. Dado que es un sistema de segundo orden, se tienen dos condiciones iniciales, la posicióninicial de la masa2†S`U, y la segunda corresponde a la velocidad de la masa, †‡S`U.Considere condiciones iniciales nulas y obtenga la F.T.

c. Si la constante del resorte es ˆ = F + y el coeficiente de amortiguamiento (fricciónviscosa) es ‰ = `.Š S+6YU. Demuestre que la amplitud del pico máximo en la salidaes †^‹Œ = F. + aproximadamente, cuando se aplica un escalón unitario a una masa de+ = F` Y.

2. Analice el siguiente sistema mecánico de traslación con dos masas:

a. Dibuje el diagrama de cuerpo libre para cada masa.b. Obtenga las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento dinámico del sistema.c. Obtenga la función de transferencia:

w_SŽU

sSŽU.





Sistemas mecánicos de rotaciónEl movimiento de rotación de un cuerpo se puede definir como el movimiento alrededor de un ejefijo. La extensión de la Ley de Newton para el movimiento de rotación establece que la sumaalgebraica de los momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia porla aceleración angular alrededor del eje.

L = J

Las variables que se usan generalmente para definir el movimiento de rotación: Inercia J,aceleración angularα αα α , el par , la velocidad angular ‘ y el desplazamiento angular ’.

Los elementos involucrados en el movimiento de rotación son:

• Inercia

J: se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del

movimiento de rotación. La inercia de un elemento depende de la composición geométricaalrededor del eje de rotación y de su densidad. Por ejemplo, la inercia de un disco circular o

eje alrededor de su eje geométrico está dada por: J = “.

Sistema par-inercia

Cuando un Par es aplicado a un cuerpo con inercia G, laecuación del par se escribe como:

• Resorte torsional. Como con el resorte lineal para el movimiento de traslación, la constantedel resorte torsional A, en par por unidad de desplazamiento angular, puede representar lacompliancia de una varilla o un eje cuando está sujeto a un par aplicado.

Sistema par-resorte torsionalEl sistema par-resorte torsional se representa por laecuación:

SU =A’SU

• Fricción para el movimiento de rotación. La fricción viscosa utilizada en el movimiento detraslación, también puede utilizarse en el movimiento de rotación, representado por laecuación:

SU = ) *’SU* = )’

Los sistemas mecánicos de traslación y rotación son muy semejantes, salvo que se consideranvariables de rotación.

SU = J SU = J *‘SU* = J *’SU

* = J’ ‚





Variables, coeficientes símbolos y unidades del sistema mecánico de rotación(Sistema par-inercia-resorte torsional)

Símbolos Variables y coeficientesUnidades

Sistema InglésSistema

Internacional’ Desplazamiento angular %8< %8< ‘ Velocidad angular %8<6Y %8<6Y

Aceleración angular %8<6YW %8<6YW • ” Torque 7I−9: − +

J Momento de inercia 67HY−9:W 4 Y − +W ) Coeficiente de amortiguamiento 7I−E?S%8<6YU −+S%8<6YU

A Constante de torsión

7I−9:6%8<

−+%8<

Factores de conversión:

%8< = F`–

F %9+ = —` %8<6Y

F %9+ = —–6Y

Tren de engranes recurrentes simples: poseen un engrane por eje

(Sin considerar la inercia y la fricción)Un tren de engranes, una palanca o una banda sobre una polea son dispositivos mecánicos quetransmiten energía desde una parte del sistema a otro en una forma tal que se alteran la fuerza,el par, la velocidad y el desplazamiento. Estos dispositivos también se pueden ver comodispositivos de acoplamiento empleados para lograr la máxima transferencia de potencia.

• El número de dientes sobre la superficie de los engraneses proporcional a los radios: c = c.

• La distancia sobre la superficie que viaja cada engranees la misma:’ = ’.

• El trabajo realizado por un engrane es igual al que realizael otro engrane, ya que se supone que no hay pérdidas: ’ = ’

• La velocidad angular: ‘ = ‘. • Entonces:

’’

= cc

= cc





Analogías electromecánicas de traslación y rotaciónDesde un punto de vista matemático, los conjuntos de ecuaciones diferenciales eintegrodiferenciales tienen, respectivamente, la misma solución matemática; la diferencia estribaen la interpretación física, que obviamente es distinta en cada caso. La semejanza entreecuaciones permite establecer analogías, las cuales se muestran en la siguiente tabla:

Sistema eléctricoSistema mecánico de

traslaciónSistema mecánico de

rotaciónVoltaje (V) Fuerza (F) Torque (T)

Corriente (I) Velocidad (V) Velocidad angular (ω)

Carga (Q) Desplazamiento (Y) Desplazamiento angular (θ)

Resistencia (R) Amortiguamiento (β) Amortiguamiento (B)

Inductancia (L) Masa (M) Momento de inercia (J)

Capacitancia (C) Constante del resorte (K-1) Torsión (K-1)

Ejemplo 10: Modelado de sistemas mecánicos de rotación

1. El siguiente sistema mecánico masa-amortiguador es sometido a un escalón unitario.

J = . …. ) = . c„. SM*…U

a. Determine la velocidad en estado estable.b. ¿Cuánto tiempo tarda el sistema en alcanzar el estado estable?

c. Obtenga el modelo eléctrico equivalente, y compruebe el valor de ττττ.d. Comprobar los valores calculados, utilizando MATLAB y MULTISIM.

2. Demuestre que la función de transferencia para el siguiente sistema mecánico motor-engrane-carga es equivalente a la obtenida en el modelo anterior, solo que los momentos de inercia y

los dos amortiguamientos por fricción se relacionan por su equivalente afectado por el tren deengranes.





3. Obtenga la función de transferencia para el siguiente modelo de un motor controlado porinducido:

˜S6U™S6U =š

]S?U = 4] <˜S?U<?

XS?U = 4›:pS?U

4. Determine la función de transferencia para encontrar la relación entre el desplazamientoangular de la antena y el voltaje aplicado en la armadura del motor controlado porinducido.

5. Determine el modelo eléctrico análogo de los sistemas mecánicos de traslaciónanalizados en el ejemplo 9.

FUENTE DE INFORMACIÓN:

1. Sistemas de control automático, Benjamín C. Kuo. 7ª edición, Ed. PRENTICE HALL.2. Introducción a los sistemas de control, Ricardo Hernández Gaviño, Editorial PEARSON.3. Física de Tippens

Unidad II. Modelado de Sistemas Físicos

Documents

Transcript of Unidad II. Modelado de Sistemas Físicos