Unidad I Sistemas Numericos

Alejandro cardenas

MATEMTICAS DISCRETAS.

Competencias especficas:

Conocer y comprender los conceptos bsicos de sistemas numricos, lgica matemtica,

relaciones, algebra booleana, grafos y rboles para aplicarlos a modelos que resuelvan

problemas de computacin.

UNIDAD I. SISTEMAS NUMRICOS.

Competencia especfica a desarrollar.

Sistematizar la conversin entre sistemas numricos posicionales, as como las operaciones

bsicas de suma, resta, multiplicacin y divisin.

Sistemas numricos.

Un sistema numrico son un conjunto de smbolos y reglas que se utilizan para representar

datos numricos o cantidades. Se caracterizan por su base que indican el nmero de

smbolos distinto que utiliza y adems es el coeficiente que determina cual es el valor de

cada smbolo dependiendo de la posicin que ocupe. Estas cantidades se caracterizan por

tener dgitos enteros y fraccionarios.

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1.1 Sistemas numricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal).

Base de un sistema numrico.

La base de un sistema numrico es el nmero de dgitos diferentes usados en ese sistema.

A continuacin se ejemplifican estas definiciones con los sistemas numricos ms

comnmente usados que son:

Sistemas numricos posicionales en bases 2, 8,10 y 16.

SISTEMA DECIMAL.

En el sistema de numeracin decimal se utilizan diez smbolos, del 0 al 9 para representar

una determinada cantidad. Los diez smbolos no se limitan a expresar solamente diez

cantidades diferentes, ya que se utilizan varios dgitos en las posiciones adecuadas dentro

de un nmero para indicar la magnitud de la cantidad.

Base: 10

Smbolos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9

Alejandro cardenas

SISTEMA BINARIO.

Es el sistema que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales, se basa en

la representacin de cantidades utilizando los dgitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (nmero

de dgitos del sistema). Cada dgito de un nmero en este sistema se denomina bit

(contraccin de binary digit).

SISTEMA OCTAL.

El sistema numrico octal utiliza ocho smbolos o dgitos para representar cantidades y cifras

numricas. Los dgitos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; la base de ste es ocho (8).

SISTEMA HEXADECIMAL.

El sistema numrico hexadecimal utiliza diecisis dgitos y letras para representar cantidades

y cifras numricas. Los smbolos son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; la base del

sistema es diecisis (16).

Alejandro cardenas

1.2 Conversiones entre sistemas numricos.

Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

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Decimal a binario.

Alejandro cardenas

Decimal a octal.

Se realiza del mismo modo que de decimal a binario, dividiendo la parte entera de forma

sucesiva por la base B=8, y multiplicando la parte fraccionaria por la base.

Ejemplo:

Expresar el nmero decimal 1036,3 510 en octal.

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Alejandro cardenas

Decimal a hexadecimal.

Procederemos del mismo modo que en la conversin decimal-binario, considerando

B=16. Dividiremos la parte entera sucesivamente por la base, y la parte fraccionaria la

multiplicaremos por la base.

Ejemplo:

Hllese el equivalente hexadecimal del nmero 4573,7910.

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Alejandro cardenas

Binario a decimal.

0.1010 = 1/21 + 0/22 + 1/23 + 0/24

Binario a octal.

Se realiza a la inversa, comenzando desde la coma decimal hacia la izquierda para la

parte entera, rellenando con 0s a la izquierda si fuera necesario; y desde la coma

decimal hacia la derecha para la parte fraccionaria, rellenando con 0s a la derecha si

fuera necesario.

Ejemplo: Convertir 11111101,1000102 a octal.

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Binario a hexadecimal.

Octal a decimal.

Otro metodo.

Ejemplo: 32108

3 x 8 = 24 + 2 = 26 x 8 = 208 + 1 = 209 x 8 = 167210.

3 x 83 = 1536

2 x 82 = 128 1536 + 128 + 8 = 167210

1 x 81 = 8

0 x 80

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Octal a binario.

Para convertir un nmero expresado en base 8 a base 2, simplemente sustituimos cada

una de las cifras que lo forman por sus tres cifras binarias equivalentes.

Ejemplo: Convertir a Binario el nmero 375,4 28

Octal a hexadecimal.

No hay mtodo directo pasar a otro sistema como binario y despus hacer la conversin.

Alejandro cardenas

Hexadecimal a decimal.

244E16 = 929410

2 x 16 = 32 + 4 = 36 x 16 = 576 + 4 = 580 x 16 = 9280 + D = 929410.

Hexadecimal a binario.

Basta con sustituir cada smbolo hexadecimal por su equivalente en binario, segn se

indica en la tabla siguiente:

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Hexadecimal a octal.

No hay mtodo directo pasar a otro sistema como binario y despus hacer la conversin.

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1.3 Operaciones bsicas (Suma, Resta, Multiplicacin, Divisin).

OPERACIONES ARITMTICAS DE LOS DISTINTOS SISTEMAS.

Al igual que en el sistema decimal, tambin en otros sistemas de numeracin, se pueden

realizar operaciones aritmticas, tales como: suma, resta, multiplicacin y divisin tomando

como referencia la base del sistema dado.

OPERACIONES ARITMTICAS EN SISTEMA BINARIO.

SUMA BINARIA.

La tabla de adicin siguiente nos muestra las 4 reglas bsicas para sumar dgitos binarios:

0 + 0 = 0 Suma = 0 Acarreo = 0

0 + 1 = 1 Suma = 1 Acarreo = 0

1 + 0 = 1 Suma = 1 Acarreo = 0

1 + 1 = 10 Suma = 0 Acarreo = 1

1 + 1 + 1 = 11 Suma = 1 Acarreo = 1

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RESTA BINARIA.

0 - 0 = 0

1 - 1 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = 1 con acarreo negativo (prstamo) de 1

0 1 0 1

0 0 1 0

_______

0 0 1 1

MULTIPLICACIN BINARIA.

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

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DIVISIN BINARIA.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

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Operaciones aritmticas en sistema octal.

Tabla de la suma en base 8:

1 1 1 1 1

1 7 4 0 6 8 4 6 1 3 . 5 2 4 8

6 3 0 5 4 8 2 6 1 . 3 7 8

-------------------- ---------------------------

1 0 2 5 6 0 8 5 0 7 5 . 1 1 4 8

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Tabla de la multiplicacin en base 8:

14

25

427 8

* 56 8 ----------

3212

2563 ------------

31042

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Operaciones aritmticas en sistema hexadecimal.

Tabla de la suma en base 16:

F 3 B C

+ 9 D D 0

_________

1 9 1 8 C

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Tabla de la multiplicacin en base 16:

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Resta en hexadecimal.

Tcnica complemento C15.

Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo.

A4FC9

- DE8

????

Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad

de nmeros. Para ello, aadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.

A4FC9

- 00DE8

????

Despus, crearemos un nuevo nmero con la misma cantidad de nmeros que el nuevo

sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor nmero que tenemos es el 15,

que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como nmeros

tiene el sustraendo.

FFFFF

- 00DE8

FF217

La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta comn. La diferencia

obtenida se denomina el complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a cada

letra al operar.

Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en

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sistema hexadecimal, mencionada anteriormente.

A4FC9

+ FF217

1A41E0

Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrs

dado cuenta que este nuevo nmero tiene ms cifras que los nmeros iniciales que

tenamos que restar. Tenemos que quitar el nmero de la izquierda (en este caso, el 1) y

sumarlo.

A41E0

+1

A41E1

La respuesta es A41E1.

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REPRESENTACIN DE NMEROS CON SIGNO.

Los sistemas digitales deben ser capaces de manejar nmeros positivos y negativos. Un

nmero binario con signo queda determinado por su magnitud (valor) y su signo

(positivo/negativo). El smbolo - del sistema decimal no se puede representar en binario.

Debido a esto, existen 3 formatos de representacin de nmeros con signo:

Signo y magnitud:

Complemento a uno

Complemento a dos

En todos ellos, el signo del nmero viene representado por un bit adicional, el Bit de

signo, que se coloca en el extremo izquierdo del nmero binario con signo. Se utiliza el

siguiente convenio: 0: signo positivo 1: signo negativo.

Representacin signo y magnitud.

En el sistema de signo y magnitud, un nmero se compone de una magnitud y un

smbolo que indica si la magnitud es positiva o negativa. Normalmente el bit del extremo

izquierdo (MSB) como bit de signo, y los restantes representan el valor numrico del

nmero en formato binario (magnitud). Con n bits se podrn representar nmeros que

van desde (2 n1 1) hasta + (2 n1 -1) y existen dos representaciones posibles del cero.

Esta representacin presenta ciertos inconvenientes:

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Pues para cualquier operacin aritmtica debemos comprobar primero el signo, para

despus sumar o restar en funcin del mismo.

El diseo de circuitos lgicos que realicen operaciones aritmticas con nmeros

binarios en signo-magnitud no es fcil.

Tenemos dos representaciones para el nmero 0:

Complemento a uno.

Como se dijo anteriormente, en notacin complemento a 1 los nmeros positivos se

representan igual que en signo y magnitud. Los nmeros negativos se obtienen

cambiando todos los 0s por 1s y viceversa.

El rango de valores representables para un nmero de n bits va desde:

(2 n1 1) hasta +(2 n1 1)

Ejemplo:

010101012 = 8510

101010102 = 8510

Complemento a dos.

Los nmeros positivos se expresan igual que en signo y magnitud y en complemento a

uno. Los nmeros negativos se obtienen aplicando el complemento a 1 y sumndole 1.

01010101 Numero

10101010 + Complemento a 1

1

10101011 Complemento a 2

Alejandro cardenas

El rango de valores posibles representables para un nmero de n bits va desde:

(2 n) hasta + (2 n 1).

Ejemplo:

010101012 = 8510

101010112 = 8510

De los tres sistemas explicados para representar nmeros con signo se prefiere el de

complemento a 2 puesto que la circuitera relacionada a las operaciones aritmticas se

hace ms sencilla.

En la tabla siguiente se muestran las diferentes representaciones para un nmero de 4

bits.

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OPERACIONES EN COMPLEMENTO A 2.

- Ambos nmeros son positivos:

00000111 7

+ 00000100 + 4

____________

00001011 11

- El nmero positivo es mayor que el nmero negativo en valor absoluto:

00001111 15

+ 11111010 - 6

_______________

1 00001001 9

El nmero negativo es mayor que el nmero positivo en valor absoluto:

00010000 16

+ 11101000 + - 24

____________

11111000 -8

El bit de acarreo final no se tiene en cuenta. La suma es positiva

y, por tanto es un nmero binario real (no complementado).

La suma es positiva y, por tanto, es un nmero binario real (no

complementado).

La suma es negativa y, por tanto, est en complemento a 2.

Alejandro cardenas

1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicacin y divisin en binario.

Algoritmo de Booth.

El algoritmo de Booth es un mtodo rpido y sencillo para obtener el producto de dos

nmeros binarios con signo en notacin complemento a dos.

Algoritmo de Booth.

Puntos a recordar.

Cuando se utiliza el algoritmo de Booth:

o Usted necesitar el doble de bits en su producto como el que tiene en su original de

dos operandos.

o El bit ms a la izquierda de sus operandos (tanto multiplicando y multiplicador) es un

bit de signo, y no puede ser utilizado como parte del valor.

Para empezar

Decida qu operando ser el multiplicador y cual ser el multiplicando.

Convertir ambos operandos en complemento a dos la representacin utilizando bits X.

o X debe ser al menos un poco ms de lo necesario para la representacin binaria

del operando numricamente ms grande.

Comience con un producto que consiste en el multiplicador con una X adicional cero

bits.

Ejemplo.

Un ejemplo de multiplicacin de -5 x 2.

El operando numricamente mayor (5) se requieren 3 bits para representar en binario

(101). As que debemos utilizar al menos 4 bits para representar los operandos, para

permitir el bit de signo.

Vamos a usar 5-bit complemento a 2:

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o -5 es 11011 (multiplicador).

o 2 es 00010 (multiplicando).

A partir de productos.

El multiplicador es:

11011

Aadir 5 ceros a la izquierda para el multiplicador para obtener el producto de

principio:

00000 11011

Paso 1 para cada paso.

Utilice el LSB (bit menos significativo) y el LSB anterior para determinar la accin de

la aritmtica.

o Si es el primer paso, utilice 0 como el LSB anterior.

Aritmtica de las acciones posibles:

o 00 ninguna operacin aritmtica.

o 01aadir multiplicando a la mitad izquierda del producto.

o 10 restar multiplicando de la mitad izquierda del producto.

o 11 ninguna operacin aritmtica.

Paso 2 para cada paso.

Realizar un cambio aritmtico a la derecha (ASR) en todo el producto.

NOTA: Para operandos X-bit, algoritmo de Booth requiere X pasa.

Ejemplo.

Vamos a continuar con nuestro ejemplo de la multiplicacin de -5 x 2

Recuerde:

o -5 es 11011 (multiplicador).

o 2 es 00010 (multiplicando).

Y hemos aadido 5 ceros a la izquierda para el multiplicador para obtener el

producto de principio:

00000 11011

Ejemplo continuacin.

Producto inicial y de las anteriores LSB.

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00000 110110

(Nota: Ya que este es el primer paso, se utiliza 0 para el LSB anterior).

Paso 1, Paso 1: Examine los ltimos 2 bits.

00000 110110

Los dos ltimos son de 10 bits, por lo que necesitamos:

restar el multiplicando de la mitad izquierda del producto.

Ejemplo: Paso 1 continuacin.

Paso 1, Paso 1: Aritmtica de accin.

(1) 00000 (a la izquierda de la mitad de los productos).

+ 11110 (Multiplicando).

11 110 Numero -2 en complemento a 2.

Lugar resultado en la mitad izquierda del producto.

1111011011 0


Paso 1, Paso 2: ASR(desplazamiento a la derecha aritmtica).

o Antes de ASR

11110 11011 0

o Despus de ASR

11111 01101 1

(a la izquierda-la mayora fue de 1 bit, de modo que un 1 se desplaz en a la

izquierda)

Paso 1 est completo.

Ejemplo: Paso 2.

De productos actuales y anteriores LSB.

11111 011011


11111 011011

Los dos ltimos son de 11 bits, por lo que NO es necesario realizar una accin aritmtica.

simplemente vaya al paso 2.

Alejandro cardenas


Paso 2, Paso 2: ASR (desplazamiento a la derecha aritmtica).

o Antes de ASR

11111 01101 1

o Despus de ASR

11111 10110 1


izquierda)

Paso 2 est completo.

Ejemplo: Paso 3.

De productos actuales y anteriores LSB

11111 101101

Paso 3, Paso 1: Examine los ltimos 2 bits

11111 101101

Los dos ltimos bits son 01 por lo que necesitamos:

Aadir el multiplicando a la mitad izquierda del producto.


Paso 3, Paso 1: Aritmtica de accin.


+ 00 010 (multiplicando).

00 001 (Resultado de la suma).


0000110110 1



o Antes de ASR

00001 10110 1

o Despus de ASR

00000 11011 0

(a la izquierda-la mayora poco fue de 0, por lo que se desplaz a 0 en el de la

izquierda).

Alejandro cardenas

Paso 3 est completa.

Ejemplo: Paso 4


00000 110110


00000 110110

Los dos ltimos son de10 bits, por lo que necesitamos:

restar el multiplicando de la mitad izquierda del producto


Paso 4, Paso 1: Aritmtica de accin


+ 11110 (Multiplicando).

11 110 (Numero -2 en complemento a 2).


1111011011 0



o Antes de ASR

11110 11011 0

o Despus de ASR

11111 01101 1


izquierda)

Paso 4 es completo.

Ejemplo: Pase 5.


11111 011011

Pase 5, Paso 1: Examine los ltimos 2 bits.

11111 011011

Alejandro cardenas

Los dos ltimos son de 11 bits, por lo que NO es necesario realizar una accin aritmtica

simplemente vaya al paso 2.

Ejemplo: Pase 5 continu.

Pase 5, Paso 2: ASR (desplazamiento a la derecha aritmtica).

o Antes de ASR

11111 01101 1

o Despus de ASR

11111 10110 1


izquierda).

Paso 5 es completo.

Producto Final.

Hemos completado 5 pases de la 5- operandos, as que hemos terminado.

La eliminacin de la LSB anterior, el producto final resultante es:

11111 10110

Verificacin.

Para confirmar que tenemos la respuesta correcta, convertir el complemento a 2

producto final de nuevo a decimal.

Producto final: 11111 10110

Decimal Valor:-10

que es el producto correcto de: -5 X 2

Alejandro cardenas

1.5 Aplicacin de los sistemas numricos en la computacin.

El sistema binario se utiliza a nivel de hardware, en ese nivel todo se reduce a pulsos

elctricos en los cuales solo se entiende "encendido" o "apagado" es decir unos y ceros a

estos impulsos se les llama bits.

El octal se usa al momento de "empaquetar" los bits en grupos de 8 mejor conocidos como

octetos o bytes y son tiles para saber el ancho de banda de algn bus o perifrico, es decir

cuanta informacin puede mandarse a travs de tal dispositivo en un solo ciclo de reloj.

El hexadecimal se utiliza para "indexar" las direcciones de memoria ya que al tener mas

dgitos es un sistema de numeracin que permite representar nmeros mas grandes con

menos informacin.

El decimal solo se usa al momento de comunicarse con el usuario.

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