UNIDAD I.- INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DINAMICOS

1.1.- CONCEPTO DE SISTEMA Y MODELO MATEMATICO..

1.1.- Sistema.Un sistema es una combinación de componentes que actúan en conjunto para alcanzar un objetivo específico.

Componente.- Es una unidad particular en su función en un sistema.

Dinámica de sistemas.- Trata del modelado matemático y el análisis de la respuesta de los sistemas dinámicos.

Modelo matemático.Es la descripción matemática de las características dinámicas de un sistema.

Como los sistemas considerados son de naturaleza dinámica, las ecuaciones descriptivas son generalmente ecuaciones diferenciales o ecuaciones integro-diferenciales.

Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan de utilidad se describen en términos de “ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo”.

Una “ecuación diferencial lineal invariante en el tiempo” es aquella en la cual la variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales. A este tipo de ecuaciones también se les conoce como “ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes”.

Por ejemplo:

------------------ (Ecuación diferencial lineal)

---------- (Ecuación diferencial no lineal)

1.2.- Clasificación de los sistemas y modelos.Los sistemas y modelos se pueden clasificar de acuerdo con las características de los componentes que lo forman en:

a).- Estáticos y dinámicos.b).- Lineales y no lineales.c).- Continuos y discretosd).- Parámetros concentrados y distribuidose).- Variantes e invariantes en el tiempo

1.2.1.- Sistemas estáticos y dinámicos.

Sistema estático.

Un sistema se llama estático si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso. La salida de un sistema estático permanece constante si la entrada no cambia y cambia solo cuando la entrada cambia.

Sistema dinámicoUn sistema se llama dinámico si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. La salida en un sistema dinámico cambia con el tiempo cuando no está en su estado de equilibrio.

Ejemplos de sistemas dinámicos:

Sistema de amortiguación de un automóvil-

Recipientes. .

Circuito reductor de tensión.

Motor de cc con eje flexible.

.

Sistema de generación hidroeléctrica.

Sistema de generación solar.

1.2.2.- Sistemas lineales y no lineales.Para sistemas lineales, las ecuaciones que constituyen el modelo son lineales. En caso contrario, los sistemas son no lineales.

La propiedad más importante de un sistema lineal consiste en que se les puede aplicar el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de excitaciones diferentes o entradas, es la suma de dos respuestas individuales; esto es si y son las respuestas del sistema a las entradas y , respectivamente, entonces el sistema será lineal si y solo si se cumplen las siguientes igualdades

y

donde , y es un número real.

En los sistemas no lineales el principio de superposición no es aplicable.

1.2.3.- Sistemas continuos y discretos.En este curso los términos continuos y discretos se utilizarán para referirse a la calidad de la variable independiente en el tiempo. De esta manera, en un sistema de evolución continua las variables de interés asumen algún valor en cada instante, mientras que en sistemas discretos los valores de las variables cambian tan solo en ciertos instantes.

1.2.4.- Parámetros concentrados y distribuidos.Un modelo de parámetros concentrados considera que las propiedades en un proceso asumen valores que son independientes de su ubicación espacial, ya sea porque se considera

homogénea o porque se define una característica representativa de ella. Por el contrario, un modelo distribuido pone en evidencia explícita la dependencia espacial de estas propiedades. Los primeros se rigen, ya sea por ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales ordinarias; los segundos por ecuaciones diferenciales parciales.

La solución de modelos de parámetros concentrados es bastante más simple que aquellas usadas en la solución de modelos de parámetros distribuidos. En algunos casos, la solución de éstros se logra luego de resolver un conjunto de aproximaciones a modelos de parámetros concentrados.

Ejemplo.- Considere un intercambiador de calor como se muestra en la figura siguiente:

La ecuación que describe el comportamiento del sistema en función de la longitud del intercambiador esta dada por la ecuación diferencial en derivadas parciales

en donde: = velocidad media del fluido = densidad = temperatura del vapor saturado = coeficiente de transferencia entre el vapor y el tubo = diámetro interno del intercambiador = área transversal del inercambiador = calor específico del líquido

En caso de parámetros concentrados, la ecuación que resulta es

1.2.5.- Sistemas variantes e invariantes en el tiempo.Todo proceso real, con mayor o menor rapidez, sufre modificaciones en sus características, en particular en sus parámetros. Sin embargo, si estos cambios son lo suficientemente lentos respecto a las características que se desean estudiar mediante el análisis, los procesos pueden ser considerados constantes con el fin de obtener un modelo de este proceso. Estos modelos, cuyos parámetros no son dependientes del tiempo son llamados invariantes en el tiempo. Si por

el contrario, el modelo desarrollado considera en forma explícita la dependencia temporal de los elementos, se les llama variantes en el tiempo.

1.3.- Procedimiento para modelar sistemas dinámicos.El procedimiento para la obtención de un modelo matemático se resume como sigue:

1. Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables.

2. Utilizando leyes físicas, escribir ecuaciones para cada componente, combinándolos de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener un modelo matemático.

3. Para verificar la validez del modelo, la predicción acerca del funcionamiento obtenida al resolver las ecuaciones del modelo, se compara con resultados experimentales. Si los resultados experimentales se alejan de la predicción en forma considerable, deberá modificarse el modelo. Este proceso se repite hasta obtener una concordancia satisfactoria entre la predicción y los resultados experimentales.

1.4.- Representaciones gráficas de sistemas dinámicosUn sistema puede estar formado por varios componentes. Con el objeto de mostrar las funciones realizadas por cada componente, se utilizan con frecuencia unos diagramas en el análisis y diseño de los sistemas, llamados diagramas de bloques y diagramas de flujos de señal.

Diagramas de bloques.Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de señales. Tal diagrama describe las interrelaciones que existen entre los diferentes componentes. A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar de manera más realista, los flujos de la señal del sistema real.

En un diagrama de bloques todas las variables del sistema están concatenadas unas con otras a través de bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo de la operación matemática sobre la señal de entrada en el bloque que produce la salida. . La siguiente figura muestra un elemento de un diagrama de bloques. La cabeza de la flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada, y la cabeza de la flecha que sale del bloque representa la salida.

Elemento de un diagrama de bloquesPunto suma. En relación con la figura que se muestra a continuación, el símbolo que indica una operación de suma es un círculo con una cruz. El signo más o menos en cada punta de flecha indican si la señal va a ser sumada o restada.

Diagrama de bloques de un sistema de malla cerrada (sistemas retroalimentados).- La siguiente figura es un ejemplo de un diagrama de bloques de un sistema de malla cerrada.

La salida se realimenta al punto suma, en donde se le compara con la entrada . La salida del bloque se obtiene en este caso multiplicando la función de transferencia por la entrada del bloque ; esto es

Cuando la salida se realimenta por un punto suma para compararla con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada. Esta conversión se logra mediante el elemento de realimentación cuya función de transferencia es . Uno de los papeles del elemento de realimentación es el de modificar la salida antes de que se le compare con la entrada.

De acuerdo con la figura, la señal de realimentación que se alimenta por el punto suma para compararla con la entrada es,

Función de transferencia de malla abierta y función de transferencia realimentada.- La relación de la señal realimentada con respecto a la señal de error se llama “función de transferencia de malla abierta”. De acuerdo con la figura anterior se tiene que:

Demostración:

De acuerdo con la figura se tiene que:

-------- (a)--------- (b)

Sustituyendo (a) en (b) se obtiene:

La relación de salida con respecto a la señal de error actuante se llama “función de transferencia prealimentada”, y se determina por:

Si la función de transferencia de la realimentación es unitaria, entonces la función de transferencia de malla abierta y la función de transferencia prealimentada son una misma.

Función de transferencia de malla cerrada.- De la figura anterior se obtienen las relaciones siguientes:

--------- (a)--------- (b)

----- (c)

Sustituyendo de (c) y de (b) en (a) se obtiene:

Los sistemas retroalimentados o realimentados tienen gran aplicación en la teoría de control, ya que permite controlar una salida deseada y mejorar la precisión. Por ejemplo el sistema de dirección del automóvil que se describe a continuación:

El diagrama de bloques es:

El diagrama anterior es equivalente al diagrama siguiente:

En la siguiente figura se muestra un sistema de control manual para regular el nivel de líquido en un depósito mediante el ajuste de la válvula de salida. El operador observa el nivel del líquido a través de una mirilla lateral del depósito.

Transformaciones de diagramas de bloques.

Transformación Diagrama original Diagrama equivalente1.- Combinación de bloques en cascada

2.- Movimiento de un punto de suma anterior a un bloque

3.- Movimiento de un punto de separación posterior a un bloque

4.- Movimiento de un punto de separación anterior a un bloque

5.- Movimiento de un punto de suma posterior a un bloque

6.- Eliminación de un lazo de realimentación.

7.- Movimiento de suma.

Diagramas de bloques con entradas múltiples.Para encontrar la respuesta en función de las entradas, deberá llevarse a cabo el siguiente procedimiento:

1.- Igualar todas las entradas con cero excepto una.2.- Transformar el diagrama de bloques de acuerdo con las reglas preestablecidas.3.- Calcular la respuesta de acuerdo con la entrada seleccionada.4.- Repetir los pasos 1,2 y 3 para cada una de las entradas restantes.5.- La salida total del sistema es la suma de todas las respuestas (salidas) determinadas en los pasos anteriores.

Ejemplo.- Determinar la salida del sistema que se muestra en el siguiente diagrama:

1.- 2.- De acuerdo con la señal cancelada, el diagrama se transforma en:

3.- La respuesta en función de la entrada seleccionada es:

4.-

El diagrama transformado es como sigue:

La respuesta en este caso es:

La respuesta total es

1.4.2.- Grafos de flujos de señales.Los diagramas de bloques son adecuados para la representación de las interrelaciones entre las variables controladas y las variables de entrada. Sin embargo, para un sistema de interrelaciones

razonablemente complejas el proceso de reducción en el diagrama de bloques es engorroso y con frecuencia difícil de completar.

Mason ha desarrollado un método alternativo para determinar la relación entre variables del sistema que se basa en la representación del sistema por segmentos de recta. Este método se conoce como “Diagramas de flujos de señales”.

Un “diagrama de flujo de señal” es un diagrama formado por nodos que se conectan mediante algunas ramas dirigidas y es una representación gráfica de un conjunto de relaciones lineales. El elemento básico de un diagrama de flujo de señal es un segmento de trayectoria unidireccional denominado “rama” que relaciona la dependencia de una variable de entrada con una variable de salida de forma equivalente a un bloque de un diagrama de bloques.

Diagrama de bloques. Diagrama de flujo de señal

Términos utilizados:

Nudo.Es un punto que representa una variable o señal.

Transmitancia. Es una ganancia entre dos nudos.

Rama.Es un segmento de línea con dirección y sentido que une dos nudos. La ganancia de una rama es una transmitancia.

Nudo de entrada o fuente.Es un nudo que solo tiene ramas que salen. Corresponde a una variable independiente. Nudo de salida o sumidero.Es un nudo que solo tiene ramas de entrada. Corresponde a una variable dependiente.

Nudo mixto.Es un nudo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen.

Camino o trayecto.Es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas.

Lazo.Es un camino o trayectoria cerrada en la cual no se encuentra un nodo más de una vez por recorrido.

Ganancia de lazo.Es el producto de las transmitancias de las ramas de un lazo.

Lazos disjuntos.Son lazos que no poseen ningún nudo común.

Trayecto directo.Es el trayecto de un nudo de entrada (fuente) a un nudo de salida (sumidero) que no cruza ningún nudo más de una vez.

Ganancia de trayecto directo.Es el producto de las transmitancias de las ramas de un trayecto directo.

Los conceptos anteriores se pueden observar en el siguiente diagrama de flujo de señal:

En general, la dependencia lineal entre la variable independiente (variable de entrada) y

una variable está dada por la fórmula de la ganancia el flujo de señal de Mason

donde

La ganancia de la trayectoria o transmitancia se define como la sucesión continua de ramas que se recorren en la dirección de las flechas y que no encuentran ningún nodo más de una vez.

es el determinante de la gráfica del flujo de señal, y se determina por

donde: = transmitancia del -ésimo lazo

= Suma de todas las diferentes ganancias de los lazos

= Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de 2

lazos que no se tocan

= Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de 3

lazos que no se tocan

Cofactor de una trayectoria.- Es el determinante de la gráfica del flujo de señal formado por la supresión de todos los ciclos que tocan la trayectoria.

Ejemplo.- Determinar la función de transferencia en lazo cerrado para el sistema mostrado en la figura siguiente:

Solución:

Trayectorias que conectan la entrada y la salida:

Lazos propios:

Gráficos de flujo de señal y simplificacionesa).-

b),.

c).-

d).-

e).-