Unidad i Desigualdades

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. UNIDAD I. NUMEROS REALES.

UNIDAD I: NÚMEROS REALES.

OBJETIVO: El alumno empleará las propiedades de los números reales en la resolución de desigualdades así también será capaz de expresar la solución de las desigualdades en términos de intervalos.

1.1 Introducción a los Números Reales. 1.2 Números Naturales. Principio de Inducción Matemática. 1.3 Enteros, Racionales e Irracionales. 1.4 Campo de los Números Reales. 1.5 Valor Absoluto de un Número Real. Propiedades. 1.6 Ley de Tricotomía. 1.7 Definición de Intervalos en los Números Reales.

1.8 Solución de Desigualdades de primer y segundo grados en una y dos variables.

1.1 INTRODUCCIÓN A LOS NUMEROS REALES. El número es el concepto matemático más importante. El concepto de número natural se refiere a la sociedad primitiva y fue acondicionado

a la necesidad de calcular la actividad práctica del hombre. Al inicio, el concepto

abstracto no existía, solo se usaban expresiones verbales para designar los distintos

números de los objetos. El concepto como tal surgió junto con la aparición de la

lengua escrita y la introducción para la designación de números, de determinados

símbolos.

La aparición de los números fraccionarios (positivos racionales) fue acondicionada a

la necesidad de efectuar mediciones, es decir procesos, en los cuales, un valor se

compara con otro del mismo género, elegido como unidad de referencia (unidad de

medición). Pero como la unidad de medición no siempre estaba contenida un número

entero de veces en la magnitud que medían, surgió la necesidad práctica de

introducir números más pequeños que los naturales. Esto sirvió de base para el

surgimiento de las fracciones más simples, tales como la mitad, un tercio, un cuarto,

etc.

PROFESORA: ALEJANDRA CRUZ REYES. 1


La introducción de los números negativos fue provocada por el desarrollo del

álgebra, como ciencia que da los procedimientos generales de solución de los

problemas aritméticos, independientemente de su contenido concreto y de sus datos

iniciales.

El conjunto de los números racionales es suficiente para satisfacer la mayoría de las

necesidades prácticas; mediante los números racionales se pueden realizar

mediciones con cualquier grado de precisión.

La definición de número fue dada por I. Newton, uno de los fundadores del análisis

matemático, en “La aritmética universal”: “Por número entendemos no tanto un conjunto de unidades, sino la relación abstracta entre una magnitud cualquiera y otra del mismo género tomada por nosotros como unidad”. Esta formulación da una definición única del número real, tanto racional como irracional. El conjunto de todos los números reales se obtiene al complementar el conjunto de números racionales con el de números irracionales. El conjunto de los Números Reales , simbolizado por R , comprende a los Números Racionales Q e Irracionales Q′ ; por lo tanto comprende a los

Números Positivos +R , −R , el cero 0 , Enteros Z , Fraccionarios Z′y Naturales

N .



Propiedades de los números reales.

I. Propiedad de ordenación. Para dos números cualesquiera a y b está definida la relación de orden: ba = ba < ab < Si ba < y cb < entonces ca < I. Propiedades de la operación de adición. 1).- Para cualquier par de números a y b

abba +=+ Ley conmutativa de la adición.

2).- Para cualquier terna ,a ,b c )()( cbacba ++=++ Ley asociativa de la adición. 3).- Existe el número llamado cero, tal que para cualquier número a : aa =+ 0 Existencia del elemento neutro o identidad aditiva 0 . 4).- Para cualquier número a existe un número que se designa a− , tal que: 0)( =−+ aa El número a− se llama opuesto aditivo de a . 5).- Si ba < entonces para cualquier número c : cbca +<+ Para cualquier par ordenado de números );( ba ,el número )( ba −+ se llama diferencia de los números a y b y se designa ba − . )( baba −+=− II. Propiedades de la operación de multiplicación. 1).- Para cualquier terna de números cba ,, )..()..( cbacba = Ley asociativa del producto. 2).- Para cualquier par de números ba, abba .. = Ley conmutativa del producto. 3).- Existe el número que se designa con el símbolo 1 y se llama unidad, identidad ó neutro multiplicativo aa =1. Existencia del neutro multiplicativo 1. 4).- Para cualquier número a , distinto del cero, existe un número que se designa

a1 tal que



11. =a

a Existencia del inverso multiplicativo a1

III. Conexión de las operaciones de adición y multiplicación. Para cualquier terna de números cba ,, cbcacba ..).( +=+ Ley distributiva del producto respecto a la suma. IV. Para todo número a se cumple una y sólo una de las siguientes

condiciones.

000

<=>

aaa

Ley de Tricotomía.

V. Propiedad de clausura de la suma.

00,0 >+⇒>> baba

VII.-Propiedad de la clausura de la multiplicación. 0.0,0 >⇒>> baba

1.2 NÚMEROS NATURALES. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA. Al grupo de números enteros no negativos, (ni cero), se le llama conjunto de números naturales. Se representa con la letra N

{ },.....3,2,1=N N es un conjunto ordenado, es decir, para dos números naturales cualesquiera m y n tiene lugar una de las relaciones siguientes: nm = ó nm > ó nm < El número más pequeño es la unidad 1. Axiomas de los números naturales (Axiomas de Peano). I. N∈1 II. Para cada número natural n existe otro número natural llamado sucesor que se designa )(nS . III. Siempre 1)( ≠nS IV. De la igualdad )()( mSnS = se deduce que mn = y que ambos son sucesores del mismo antecesor.



V. Principio de inducción completa. El conjunto de números naturales, que contiene al 1 y para cada uno de n elementos, el elemento sucesivo )(nS , contiene todos los números naturales. Es idéntico a N .

La propiedad más importante de los números naturales N , es el Principio de inducción matemática: Si con cada entero positivo n se relaciona un enunciado nP , entonces todos los enunciados nP son verdaderos siempre que se satisfagan las siguientes dos condiciones: 1) 1P sea verdad. 2) Siempre que k sea un entero positivo tal que kP sea verdad, también lo es 1+kP . Pasos para aplicar el principio de inducción matemática:

1. Demostrar que 1P es verdadero. 2. Asumir que kP es verdadero y luego demostrar que 1+kP también es verdadero.

Ejemplo: Demostrar por inducción matemática que para todo entero positivo n , la suma de los primeros n enteros positivos es

2

)1( +nn

Solución: Si n es cualquier entero positivo, denotemos con nP el enunciado

2

)1(...321 +=++++

nnn

Podemos demostrar primeramente casos especiales de nP : Si 1=n , entonces 1P es

2

)11(11 += , es decir, 11 =

Si 2=n , entonces 2P es

2

)12(221 +=+ , esto es 33 =

Si 3=n , entonces 3P es

2

)13(3321 +=++ , o sea, 66 =

Lo anterior en realidad no es necesario, basta aplicar los dos pasos del método y entonces se procede del siguiente modo.



Paso 1.- Si sustituimos 1=n en nP , entonces el lado izquierdo contiene solo el

número 1 y el lado derecho es 2

)11(1 + , que también es igual a 1; por lo tanto, 1P es

verdadero. Paso 2.- Supongamos que kP es verdadero. Así, la hipótesis de inducción es

2

)1(...321 +=++++

kkk

Nuestra meta es demostrar que 1+kP es verdadero, es decir, que

[ ]2

1)1()1()1(...321 +++=++++++

kkkk

podemos demostrar que la última fórmula es verdadera si volvemos a escribir el lado izquierdo y usamos la hipótesis de inducción de esta forma:

)1()...321()1(...321 ++++++=++++++ kkkk agrupar los primeros k términos.

)1(2

)1(++

+= kkk hipótesis de inducción

2

)1(2)1( +++=

kkk sumar términos

2

)2)(1( ++=

kk se factoriza 1+k

[ ]2

1)1()1( +++=

kk se cambia la forma de 2+k

Lo anterior demuestra que 1+kP es verdadero y por lo tanto, la prueba por inducción matemática está completa. Ejercicio 1: Demostrar que para cada entero positivo n

3)12)(12()12(...31 222 +−

=−+++nnnn



TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES. Los principales teoremas de los Números Reales, son los siguientes:

T1 Si: bacbca =⇒+=+ T2 Si: bacbcac =⇒≠= 0, T3 abxbxa −=⇒=+ T4 00 =⋅a T5 aa )1(−=− T6 baabba )()()( −=−=− T7 aa =−− )( T8 ))(()( baab −−= T9 acabcba −=− )(

T10 abxabax =⇒≠= 0,

T11 111)( −−− = baab T12 aaa 2=+

T13 000 ==⇒= bóaab T14 2. aaa =

T15 0,,10 ≠= aa

T16 nn

aa 1

=−

T17 nmnm aaa +=))(( T18 mnnm aa =)(

1.3. NÚMEROS ENTEROS. RACIONALES E IRRACIONALES. El conjunto Z (del alemán “Zahl”, número) de los números enteros, se obtiene como resultado de la adición al conjunto de todos los números naturales, del número cero y de los negativos n− tales que 0)( =−+ nn . { },...,...,4,3,2,1,0,1,2,3,4,...,..., nnZ −−−−−= Fracciones racionales. Un par ordenado de números enteros ),( nm , donde el número n se distingue de cero, se llama fracción racional y se designa por medio de

nm . El número m se llama numerador de la fracción, y el número n se llama

denominador de la misma.

Dos fracciones racionales 1

1

nm y

2

2

nm son equivalentes si: 2121 mnnm = y se escribe

2

2

1

1

nm

nm

≈

Número racional. El conjunto de todas las fracciones racionales equivalentes entre sí se llama número racional. En vigor de la definición del número racional, las fracciones distintas equivalentes entre sí, son solo distintas expresiones de un mismo número. Ejemplo:

96,

64,

32

−−

los números racionales son finitos o tienen decimales periódicos infinitos. Ejemplo:

6.6,45,

54 , etc.



Número irracional. Es aquel que no puede representarse en forma nm , donde m y

n son enteros y 0≠n . Un número real, cuya inscripción decimal es una fracción decimal aperiódica infinita, se llama número irracional. Así 3 5,,,2 eπ son ejemplos de números irracionales. 1.4. CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES. Se le llama campo de los números reales al conjunto de los números reales que denotamos con R , contiene más de un elemento y tiene dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, que cumple con los axiomas también llamados propiedades de campo del sistema de los números reales y con las propiedades de densidad y completez.

Propiedad de densidad del orden. Dados dos números racionales distintos, βα < , siempre existe otro número racional γ tal que βγα << .

Para ello, si ba

=α

dc

=β

con b y d positivos, basta con tomar dbca

++

=γ

Ejercicio: probar que efectivamente βγα << (por ejemplo, entre 3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)

Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos.

Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos así 3/5 < … < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3, por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

Axioma del Supremo o propiedad de completez. Sea S un conjunto no vacío de números reales. a) Si S tiene una cota superior, entonces existe la menor cota superior de S b) Si S tiene una cota inferior, entonces existe la mayor cota inferior de S .

Ejemplo: Sea .57,

21,

92,0,3,

34

−−=S Cualquier número real u tal que 3≥u es una

cota superior de S . Y cualquier número l , tal que 34

−≤l es una cota inferior de S .

Los números reales R , se representan gráficamente como puntos de una recta, llamada RECTA NUMÉRICA REAL. La asociación de puntos a números reales es



Biunívoca. (A un punto corresponde un número y a cada número corresponde un punto). En una escala adecuada se representan los Números Reales, así los que están a la derecha del cero son los positivos +R a la izquierda los negativos −R (El cero no es positivo ni negativo. Para poder localizar a los irracionales, se hace uso de la geometría. Ejemplo: Localizar en la recta numérica real, el número 2 . Se construye primeramente un cuadrado sobre la recta de lado igual a 1. la diagonal de dicho cuadrado siguiendo el teorema de Pitágoras, es 211 22 =+ . Si trazamos una circunferencia, tomando como centro el origen de nuestra recta,, estaremos trazando una circunferencia de radio 2 , y el punto donde nuestra circunferencia toca la recta numérica es en donde se encuentra dicho valor. Ejercicio para resolver.

1. Localizar en la recta numérica los números: 21+ , 221+ , 3

1.5 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL. PROPIEDADES. El Valor Absoluto de un Número Real, también llamado módulo de x , se denota y define del siguiente modo:

−

==

0

00

0

xsix

xsi

xsix

x

Es importante mencionar que el efecto del Valor Absoluto es el de convertir a todo número real en Positivo.

TEOREMAS DEL VALOR ABSOLUTO

De acuerdo a la definición del valor absoluto, se cumplen los siguientes teoremas:



T1 baba +≤+ T2 baba −≥+ T3 baba −≥− T4 baba +≤− T5 baba =⋅

T6 ba

ba=

T7 nn aa =

T8 abba −=−

T9 paresnyasiana

aan 0,

2

=

+=

T10 axaax <<−⇒<

T11 ∞<<−<<−∞⇒> xayaxax

1.6 LEY DE TRICOTOMÍA. La ley de tricotomía ya vista en propiedades de los números reales, la veremos ahora específicamente para los enteros positivos (números naturales), para los números enteros y para los números racionales. Ley de Tricotomía para los números enteros no negativos. Si m y n son dos números enteros no negativos, una y solamente una de las siguientes propiedades se cumple.

1) nm = 2) nm

3) nm Ley de Tricotomía para los números enteros. Si m y n son dos números enteros, una y solamente una de las siguientes proposiciones se cumple:

1) nm = 2) nm

3) nm Ley de la Tricotomía para los números racionales. Suponiendo que la letra r representa un número racional, una y solo una de las siguientes proposiciones es cierta:

1) 0r 2) 0=r

3) 0r Si r y s son dos números racionales, entonces se cumple la siguiente propiedad de orden: sr sí 0rs −



1.7 DEFINICIÓN DE INTERVALOS EN LOS NÚMEROS REALES. Para hablar de intervalos, abordaremos primeramente los conceptos básicos sobre desigualdades. Desigualdad.- Es la expresión algebraica de dos cantidades reales; de las cuales se afirma que una es mayor o que es menor que otra. Ejemplo: .,016,,1718 2 etcxxba +−−− Símbolos de desigualdades.- Son: mayor que > y menor que < . Otros símbolos en que se añade la igualdad o negación son: diferente de ≠ , mayor o igual ≥ , menor o igual ≤ , no mayor que , no menor que . Las desigualdades son estrictas y no estrictas. Desigualdades estrictas.- Las que se forman con los símbolos < y > . Desigualdades no estrictas.- Las que se forman con los símbolos ≤ y ≥ . También se clasifican en absolutas y condicionales. Desigualdades absolutas.- Siempre se cumplen, sea cual sea el valor del número real que sustituya a la literal. Ejemplos: .),1(5,0)2( 42 etcaa −−≥+ Desigualdades condicionales.- Llamadas también inecuaciones, sólo se cumplen para ciertos valores de la literal. Ejemplos: .,303,102 etcxx

INTERVALOS.

Un intervalo es un conjunto de puntos ó segmento limitado de la recta numérica. El conjunto de puntos: x de la recta real, tales como bxa ≤≤ , se llama intervalo cerrado (incluye los extremos: ba, ); se escribe como: [ ]ba, . El conjunto de puntos: x de la recta real, tales como bxa , se llama intervalo abierto (no incluye los extremos: ba, ); se escribe como: ( )ba, . Pueden presentarse también intervalos semiabiertos o semicerrados si es que incluyen a uno de sus extremos. El conjunto de puntos: x de la recta real, tales como bxa ≤ , se llama intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda (no incluye el extremo: b ; se escribe como: [ )ba, . El conjunto de puntos: x de la recta real, tales como bxa ≤ , se llama intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha (no incluye el extremo: a ; se escribe como: ( ]ba, .



INTERVALOS INFINITOS. El valor infinito ∞ tanto positivo como negativo hace que el intervalo sea abierto cuando adquiere ese valor. Dichos intervalos infinitos son los siguientes: Cerrado a la izquierda y abierto infinito a la derecha; es el conjunto [ )∞;a Abierto a la izquierda y abierto infinito a la derecha; está definido por el conjunto ( )∞;a . Cerrado a la derecha y abierto infinito a la izquierda; es el conjunto ( ]b;∞− Abierto a la derecha y abierto infinito a la izquierda; es el conjunto: ( )b;∞− Abierto infinito por la izquierda y por la derecha; se trata del conjunto: ( )∞∞− ; . Para graficar intervalos se usan los puntos llenos •ó corchetes y los puntos vacíos ó paréntesis, para representar respectivamente la inclusión o no de sus extremos. Ejemplos: Graficar y expresar en notación de intervalos las siguientes desigualdades: 1). 52 ≤≤− x 2). 61 ≤x

3). 230 ≤x

4). 3≥x

OPERACIONES ENTRE INTERVALOS

Dado que los intervalos son conjuntos, entre ellos se definen las operaciones de: unión, intersección, diferencia y complemento. Unión: se simboliza con ∪ entre los dos conjuntos, y se define como sigue: { }BxAxxABBA ∈∨∈=∪=∪ .

El elemento x , pertenece por lo menos a uno de los conjuntos; y puede pertenecer a los dos. Intersección: Se simboliza con ∩ y se define como:



{ }BxAxxABBA ∈∧∈=∩=∩ El elemento x debe pertenecer a A y a B .

Diferencia: Simbolizada con (-); la diferencia entre dos conjuntos se define, así:

{ }BxAxxBA ∉∧∈=−

{ }AxBxxAB ∉∧∈=−

U es conjunto universo. Complemento: El conjunto complemento de A lo forman los elementos del universo que no pertenecen a A.

Conjunto Complemento A′

1.8 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADOS EN UNA Y DOS VARIABLES.

Para operar con los signos de desigualdad (mayor que , menor que ), es preciso

definir lo siguiente:

1. Si +∈−− Rbababa )(,0,

2. Si −∈−− Rbababa )(,0,

3. Si baobaba =≥ ,

4. Si baobaba =≤ ,

TEOREMAS SOBRE DESIGUALDADES.



Las propiedades de los números reales, (ley de tricotomía, de la clausura de la suma y de la clausura de la multiplicación) permiten demostrar los teoremas sobre desigualdades, de los cuales los principales son: T1. Si: bababaRba ,,, =⇒∈ T2. Si: cacbba ⇒, T3. Si: cbcaba ++⇒ T4. Si: 00 2 aa ⇒ T5. 01,1 R∈ T6. Si: baba −−⇒

T7.Si: 0,0

,0,00

baóbaab ⇒

T8. Si bcaccbabcaccba

⇒⇒

0,0,

T9. Si: dbcadcba ++⇒ , T10. Si: 220 baba ⇒ T11. Si: bdacdcba ⇒≤≤ 0,0 T12. Si babasibab −⇒≥ ,0 2 T13.Si: babsibab −⇒ 20 T14. 1−a tiene el mismo signo que a T15. Si: a y b tienen el mismo signo y 11 −−⇒ baba

T16. Si: 0a y 0≥b baba ⇔∴ 22

DESIGUALDADES (INECUACIONES) DE UNA VARIABLE.

El procedimiento de solución de inecuaciones, en forma general, sigue los mismos pasos de las ecuaciones. Resolver una inecuación es obtener los valores que hagan VERDADERA a la expresión. La solución de una inecuación es uno o más intervalos de números reales. Las inecuaciones pueden clasificarse de acuerdo al grado de la incógnita.

INECUACIONES LINEALES. Son inecuaciones que poseen incógnitas lineales (de grado 1). Para resolver inecuaciones lineales, se aplican reglas equivalentes a las de las ecuaciones lineales. Sin embargo se debe tomar en cuenta que al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por una cantidad negativa, la desigualdad se invierte. Resolver los siguientes ejercicios:



INECUACIONES CUADRÁTICAS Y DE GRADO MAYOR.

Son inecuaciones cuadráticas que poseen incógnitas de grado dos. Son de grado mayor o superior las que poseen incógnitas de grado mayor que dos.

Son inecuaciones cuadráticas: 06193

7102

2

≥+−

+

xxxx

Son inecuaciones de grado mayor: 28489

0652224

23

−+−

≤+−−

xxxxxx

Las inecuaciones cuadráticas y de grado superior, pueden resolverse por los siguientes métodos: REGLA DE LOS SIGNOS Y ANÁLISIS DE POSIBILIDADES. REGLA DE LOS SIGNOS. Consiste en:



1. Comparar la inecuación con cero. 2. Se factoriza la inecuación, hallando así sus raíces (valores de x que hacen que la expresión sea igual a cero). 3. Se toma un valor cualquiera, interior a un intervalo, para reemplazar en la inecuación, de acuerdo a la proposición así obtenida, el intervalo será o no de solución. La Regla de los signos, dice que a un intervalo de solución le antecede y sigue otros de no solución y así alternadamente, puesto que toda expresión al acercarse a cero por su raíz cambia de signo. Resolver los siguientes ejercicios:

DESIGUALDADES RACIONALES. Son de la forma:

0)()(>

xQxP , 0

)()(<

xQxP , 0

)()(≥

xQxP , 0

)()(≤

xQxP

Donde )(xP y )(xQ son polinomios.



Para resolver este tipo de inecuaciones, lo más sencillo es buscar las raíces del numerador y también las del denominador; se ubican todas sobre una misma recta numérica, dividiéndola así en intervalos. Se procede después como en el paso 3 de la regla de los signos.

Ejemplo: resolver la inecuación: 42

12<

−x

INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO.

Son inecuaciones en valor absoluto las que contienen a la incógnita valor absoluto. Para resolver estas inecuaciones, es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas 10 y 11(de la página 11), para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Teorema 10:



axPaaxPSi )()(: −⇒ Teorema 11:

∞−∞−⇒ )(,)()(: xPaaxPaxPSi

Ejemplos: resolver 1) 1552 <+− xx 2) 420102 >+− xx Solución de desigualdades de primer y segundo grados en una y dos variables.

Las inecuaciones de dos variables son expresiones que llevan dos variables

conectadas mediante algún símbolo de desigualdad. Por ejemplo 8−− yx



Se pueden denotar en forma general, como 0,( yxP ; 0),( ≥yxP ;

0),( yxP ; 0),( ≤yxP . Se trata de expresiones que contienen dos variables.

INECUACIONES DE DOS VARIABLES DE PRIMER ORDEN.

Si ),( yxP es del tipo CByAx ++ en donde A y B no son cero

simultáneamente, la inecuación será de primer orden o grado; y la gráfica de la

desigualdad será el conjunto de todos los puntos ),( yx que hagan verdadera la

proposición expresada por la inecuación. Recuerde que la expresión

0=++ CByAx )0,( ≠BA es una recta: bmxy += .

Una desigualdad de dos variables después de realizada las transformaciones

necesarias, quedará en uno de los siguientes tipos, dependiendo del símbolo de

desigualdad que se esté trabajando y de si A o B vale cero (solamente una de

las dos). Supongamos que m y b son positivas.



EJERCICIO: Dibujar la gráfica de solución de la inecuación 0824 ≥−+ yx



SISTEMAS DE INECUACIONES DE DOS VARIABLES. La solución de un sistema de inecuaciones de dos variables, es el conjunto de puntos que hacen verdaderas las dos proposiciones. En la gráfica son los puntos de la intersección de las dos regiones que representan a sus correspondientes inecuaciones. Ejemplo: representar la región de solución de los siguientes sistemas:

a) 5

22

+−

+

xy

xy

INECUACIONES DE DOS VARIABLES DE GRADO SUPERIOR AL PRIMERO. Se resuelven de manera similar a las inecuaciones de primer grado. Ejemplo

02 xy − , despejamos y dejamos a y en función de x , por lo que 2xy . Graficamos y sombreamos la región de solución. La función cuadrática queda definida como:



SISTEMAS DE INECUACIONES DE DOS VARIABLES DE GRADO SUPERIOR A UNO.

Los sistemas de inecuaciones de grado diferente a uno se resuelven de manera similar a los sistemas de grado uno. La solución de un sistema de inecuaciones de dos variables, es el conjunto de puntos que hacen verdaderas las dos proposiciones. En la gráfica son los puntos de la intersección de las dos regiones que representan a sus correspondientes inecuaciones. Ejemplo: resolver gráficamente el siguiente sistema:

yxxyxx

496

2

2

+−

+−

EJERCICIOS PARA RESOLVER

Resolver las siguientes inecuaciones lineales. Para obtener la respuesta comprobada utilice algún software, puede ser el Scientific Work Place.

EJERCICIOS RESPUESTA CALCULADA

RESPUESTA COMPROBADA

1) 712 <+x 2) 69 <− x 3) xx 3725 −>− 4) xx −≤− 234 5) 9323 <−< x 6) 5291 <−< x 7) 2238 <+< x 8) 423 ≥−x 9) 238 ≤− x 10) 5431 −>+ xx 11) 3562 −≥+ xx 12) 8235 ≤+≤ x 13) 5381 <−<− x 14) ∞<+< 459 x



Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas. Las de grado superior son sólo para los alumnos que por su propia iniciativa deseen resolverlas. 1) 0452 <+− xx 2) 542 <−x 3) 01032 <−− xx 4) 0132 2 <+− xx 5) 0442 ≥+− xx 6) 092 <+x 7) 4)1()1( 22 <−−+ xx 8) 040183 23 <+−− xxx 9) 010178 23 >−+− xxx 10) 08126 23 <−+− xxx 11) 045 35 >+− xxx 12) 0412136 234 <+−+− xxxx 13) 024503510 234 <+−+− xxxx 14) 0652 >+− xx 15) 34 2 <− x 16) 0122 >−+ xx 17) 0273 2 <+− xx 18) 0122 <+− xx 19) 014 <−x 20) 2222 )1()1( −<+ xx 21) 03613 24 <+− xx 22) 01617 24 ≤+− xx 23) 024 >− xx 24) 012 ≥+x 25) 03 <− xx 26) 02568 >−x

Resolver las siguientes inecuaciones racionales:

1) 13>

x

2) 14<

x

3) 12

3>

−x



4) 11

1>

−x

5) 121<

−−

xx

6) 153>

−−

xx

7) 2413<

−−

xx

8) 3115<

−−

xx

9) 23234>

−−

xx

10) 28218>

−+

xx

11) 2

2−

<−

xx

xx

12) 23

41

−−

<−−

xx

xx

13) 22

9−>

−x

x

14) 21

22

1>

−+

− xx

15) 023

1272

2

<+−+−

xxxx

16) 123

1272

2

<+−+−

xxxx

Resolver las siguientes Inecuaciones en Valor Absoluto: 1) 45 <−x

2) 26 >−x

3) 23

6<

−x

4) 326<

−−

xx

5) 5452<

−−

xx

6) 175>

−−

xx



7) 035 <−−− xx

8) 026 <−−− xx

9) 042 <−−− xx

10) 6102 <−x

11) 132 <−x

12) 572 >−x

13) 43

8>

−x

14) 135<

−−

xx

19) 26273<

−−

xx

20) 28273>

−−

xx

En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre el conjunto de soluciones y dibújese la gráfica de la desigualdad dada.

En cada uno de los ejercicios 11-24, dibuje la gráfica del sistema dado.


Unidad i Desigualdades

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