Universidad Autónoma De Querétaro

Escuela De Bachilleres

UNIDAD I

CUADERNILLO DE TRAZOS

Matemáticas III:

Geometría Euclidiana Y Trigonometría

Profesora: Mariana Lujambio Chávez

Elaboró: Dulce Gabriela Rivera Sánchez

Estudiante: ______________________________________Grupo: _______

Querétaro, Querétaro, junio 2019

ii

Contenido

Presentación ........................................................................................................................................................ iv

Conceptos intuitivos: Punto, recta y plano. ........................................................................................................... 1

Actividad 1. Biografía de Euclides. .............................................................................................................. 2

Actividad 2. Punto y recta. ........................................................................................................................... 3

Actividad 3. Postulados de Euclides. ........................................................................................................... 4

Rectas paralelas y perpendiculares. ..................................................................................................................... 5

Actividad 4. Cuadro de conceptos: Rectas. .................................................................................................. 5

Actividad 5. Rectas perpendiculares. .......................................................................................................... 6

Actividad 6. Rectas paralelas. ...................................................................................................................... 8

Segmentos, semirrectas y ángulos. ......................................................................................................................10

Actividad 7. Cuadro de conceptos: segmentos. ..........................................................................................10

Actividad 8. Copiar un segmento. .............................................................................................................. 11

Actividad 9. Punto medio y mediatriz. ....................................................................................................... 12

Actividad 10. División de un segmento en 2n partes iguales. ....................................................................... 14

Actividad 11. División de un segmento en m partes iguales. ....................................................................... 15

Actividad 12. Razones y proporciones.......................................................................................................... 16

Actividad 13. Cuadro de conceptos: semirrectas y ángulos. ........................................................................ 18

Actividad 14. Clasificación de los ángulos según su medida. ....................................................................... 19

Actividad 15. Copiar un ángulo dado .......................................................................................................... 20

Actividad 16. Bisectriz de un ángulo. ........................................................................................................... 21

Actividad 17. Estrella................................................................................................................................... 22

Actividad 18. Operaciones con segmentos. ................................................................................................. 23

Isometrías ........................................................................................................................................................... 25

Actividad 19. Tipos de isometrías. .............................................................................................................. 25

Actividad 20. Traslación de una figura. ....................................................................................................... 26

Actividad 21. Rotación de una figura. ......................................................................................................... 27

Actividad 22. Simetría central de una figura. .............................................................................................. 29

Actividad 23. Simetría axial de una figura. ................................................................................................. 30

Triángulos ............................................................................................................................................................ 31

Actividad 24. Concepto y clasificación de los triángulos. ............................................................................. 31

Actividad 25. Congruencia de triángulos. ................................................................................................... 32

Actividad 26. Puntos y rectas notables en los triángulos. ........................................................................... 34

Actividad 27. Alturas y ortocentro. .............................................................................................................. 35

Actividad 28. Mediatrices y circuncentro. ................................................................................................... 36

iii

Actividad 29. Bisectrices e incentro............................................................................................................. 37

Actividad 30. Medianas y baricentro. .......................................................................................................... 38

Actividad 31. Recta de Euler. ...................................................................................................................... 39

Actividad 32. Circunferencia de los nueve puntos. ..................................................................................... 40

Actividad 33. Triángulo de Napoleón ........................................................................................................... 41

Circunferencia .................................................................................................................................................... 42

Actividad 34. Puntos y rectas notables en una circunferencia. ................................................................... 42

Actividad 35. Construcción de circunferencias. .......................................................................................... 43

Polígonos ............................................................................................................................................................ 44

Actividad 36. Nomenclatura de los polígonos. ............................................................................................ 44

Actividad 37. Construcción de polígonos regulares. ................................................................................... 47

Actividad 38. Clasificación de los cuadriláteros. ......................................................................................... 48

Actividad 39. Teorema de Varignon ............................................................................................................ 49

Referencias ......................................................................................................................................................... 50

Bibliografía adicional sugerida ........................................................................................................................... 50

Recursos .............................................................................................................................................................. 50

iv

Presentación

La geometría es una de las ciencias más antiguas, en un principio tenía una utilidad únicamente práctica, como la medición de parcelas y la construcción de edificios. Los babilonios, además, utilizaron la geometría para resolver problemas para los que hoy utilizamos álgebra, como la solución de ecuaciones de segundo grado.

Es bastante conocida la historia de cómo Thales de Mileto midió la altura de la pirámide de Keops utilizando la semejanza de triángulos, aprovechando la sombra que proyecta la pirámide, o de cómo Eratóstenes además de tener argumentos suficientes para afirmar que la tierra no era plana, se aproximó a la medida de su radio, utilizando la posición del sol y la distancia entre ciudades.

Fueron los griegos los que le dieron menos peso a la utilidad práctica de la geometría y la estudiaron por la belleza que escondía entre sus patrones y principios. La razón áurea es el ejemplo más claro de esta belleza, presente en plantas, obras de arte, en nuestro cuerpo y en el espacio exterior.

Los Elementos de geometría de Euclides es el libro más conocido e importante de esta rama de las matemáticas, en él se pone énfasis en la lógica y la demostración.

Euclides aportó dos grandes innovaciones. La primera es el concepto de demostración, Euclides se niega a aceptar que un enunciado matemático sea verdadero a menos que esté apoyado por una secuencia de pasos lógicos que lo deducen de enunciados que ya se sabe que son ciertos. La segunda innovación reconoce que el proceso de demostración debe empezar en algún lugar, y que estos enunciados de partida no pueden ser demostrados, a los que llamamos postulados.

La geometría además ha tenido una importante implicación en el desarrollo del cálculo, un ejemplo es el método exhaustivo utilizado por Arquímedes para calcular el área bajo una curva; y en la física, donde la trigonometría juega un rol primordial.

Este material ha sido creado con mucho cariño y entusiasmo para que los estudiantes de bachilleres adquieran los conceptos principales de geometría euclidiana, a través de trazos a regla y compás. Disfrutemos juntos del curso y aprendamos mucho de esta bella asignatura.

1

Conceptos intuitivos: Punto, recta y plano.

La definición de un concepto coloca a éste dentro de una categoría, lo distingue de otros y es reversible (el concepto lleva a la definición y a partir de la definición se puede llegar al concepto). En Geometría Euclidiana, consideramos tres conceptos intuitivos que no pueden definirse, sino describirse. Sin embargo, a partir de estos, se definen todos los demás términos geométricos.

Concepto Descripción Ejemplos de

representación Notación matemática

Punto

La marca más pequeña que pueda trazarse. Se considera que carece de dimensiones, pero posee ubicación.

Letras mayúsculas.

Recta

Es un objeto unidimensional, no posee espesor, se extiende infinitamente en dos direcciones, por lo que no es posible medir su longitud.

Las rectas se nombran por dos puntos que pertenezcan a ella. Para una recta que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵

puede utilizarse 𝐴𝐵 ⃡ o simplemente recta AB.

Plano

Es un objeto bidimensional sin espesor, se extiende infinitamente a lo largo y ancho por lo que no se pueden medir sus dimensiones.

Letra mayúscula o letra griega.

También pueden ser nombrados con tres puntos contenidos en él. Así, el plano del ejemplo puede llamarse: plano 𝛼 o plano ABC.

a) ¿Qué significa que dos puntos sean colineales?

b) ¿Qué significa que dos puntos sean coplanares?

2

Actividad 1. Biografía de Euclides.

Fecha: ______________

I. ¿Quién fue Euclides y cuáles fueron sus aportaciones? Investiga y escribe en el espacio la biografía de Euclides y agrega su foto .

3

Actividad 2. Punto y recta.

Fecha: ______________

1. Traza una recta que pase por el punto:

2. Traza 5 rectas que pasen por el punto:

3. Traza una recta que pase por ambos puntos.

4. Traza 5 rectas que pasen por ambos puntos.

I. Observa los trazos de tus compañeros y responde:

a) ¿Todos trazaron la recta de la misma manera que tú en el recuadro 1? ________ b) ¿Todos trazaron las rectas de la misma manera que tú en el recuadro 2? ________ c) Redacta una regla respecto a trazar una o más rectas en un punto dado:

d) ¿Todos trazaron la recta de la misma manera que tú en el recuadro 3? _________ e) ¿Fue posible realizar la instrucción del recuadro 4? ________ f) Redacta una regla respecto a trazar una recta que pase por dos puntos dados:

4

Actividad 3. Postulados de Euclides.

Fecha: ______________

I. Investiga y escribe en el espacio los postulados de Euclides, agrega imágenes representativas.

5

Rectas paralelas y perpendiculares.

Actividad 4. Cuadro de conceptos: Rectas.

Fecha: ______________

I. Investiga los conceptos y completa el cuadro.

Concepto Definición Ejemplos de

representación Notación

matemática

Recta paralela

Recta perpendicular

Rectas oblicuas

6

Actividad 5. Rectas perpendiculares.

Fecha: ______________

I. Anota con tus propias palabras el procedimiento para realizar el trazo que se pide.

1. Construye una recta perpendicular a 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ que pase por A.

Procedimiento

2. Construye una recta perpendicular a 𝑃𝑄 ⃡ que pase por el punto R.

Procedimiento

7

II. Traza una recta perpendicular al lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ que pase por el vértice 𝐴.

8

Actividad 6. Rectas paralelas.

Fecha: ______________

I. Anota con tus propias palabras el procedimiento para realizar el trazo que se pide.

1. Traza tres rectas paralelas a la recta 𝐴𝐵 ⃡ .

Procedimiento

2. Traza una recta paralela a la recta 𝑋𝑌 ⃡ que pase por el punto 𝑍.

Procedimiento

9

II. Traza una recta paralela al lado 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ del triángulo que pase por A.

10

Segmentos, semirrectas y ángulos.

Actividad 7. Cuadro de conceptos: segmentos.

Fecha: ______________

I. Investiga los conceptos y completa el cuadro con lo que se pide.

Concepto Definición Ejemplos de

representación Notación

matemática

Segmento

Punto medio

Mediatriz

11

Actividad 8. Copiar un segmento.

Fecha: ______________

1. Copia el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

2. Copia el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ tal que uno de los extremos sea el punto marcado.

3. Copia el segmento 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ sobre la recta r.

4. Descompón la figura y copia cada uno de sus segmentos de manera separada, ordenándolos de menor a mayor tamaño.

12

Actividad 9. Punto medio y mediatriz.

Fecha: ______________

I. Traza el punto medio de los segmentos, con un color diferente, traza la mediatriz.

II. Traza el punto medio del segmento, la mediatriz y marca tres puntos distintos que equidisten de los puntos 𝐴 y 𝐵.

a) ¿Qué puedes concluir con lo realizado en l recuadro II?

13

III. Traza todos los puntos medios de las figuras y une los que sean adyacentes.

b) ¿Qué figura se forma al unir los puntos adyacentes? _________________________ c) Investiga y escribe lo que dice el Teorema de Varignon de Geometría:

IV. Indica dos maneras de comprobar que el punto C no pertenece a la mediatriz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

14

Actividad 10. División de un segmento en 2n partes iguales.

Fecha: ______________

I. Anota con tus propias palabras el procedimiento para realizar el trazo que se pide.

1. Divide el segmento en cuatro partes iguales.

2. Divide el segmento en 8 partes iguales.

15

Actividad 11. División de un segmento en m partes iguales.

Fecha: ______________

Anota con tus propias palabras el procedimiento para realizar el trazo que se pide.

1. Divide el segmento en tres partes iguales.

2. Divide el segmento en 5 partes iguales.

16

Actividad 12. Razones y proporciones.

Fecha: ______________

a) ¿Qué es una razón?

b) ¿Qué es una proporción?

c) ¿Qué significa dividir un segmento a una razón dada?

1. Prolonga la línea que contiene al segmento 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y traza un segmento 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ tal que: 𝐸𝐹̅̅ ̅̅

𝐹𝐺=

1

3 .

2. Marca un punto P que divida el segmento en una razón 2:5

17

II. Observa las figuras, escribe las razones que comparan los lados correspondientes y posteriormente comprueba si las figuras son proporcionales o si no es posible determinar la proporcionalidad.

18

Actividad 13. Cuadro de conceptos: semirrectas y ángulos.

Fecha: ______________

Concepto Definición Ejemplos de

representación Notación

matemática

Semirrecta

Ángulo

Vértice

Bisectriz

19

Actividad 14. Clasificación de los ángulos según su medida.

Fecha: ______________

III. Investiga la clasificación de los ángulos según su medida, escribe su definición y representa con ejemplos.

Agudo Recto Obtuso

Convexo Llano Cóncavo

Nulo Completo Coterminales

20

Actividad 15. Copiar un ángulo dado

Fecha: ______________

1. Copia el ángulo ∠𝐵𝐶𝐷.

2. Copia el ángulo 𝛼

3. Descompón la figura, copia los ángulos y trázalos por separado.

21

Actividad 16. Bisectriz de un ángulo.

Fecha: ______________

1. Traza la bisectriz del ángulo ∠𝐵𝐶𝐴. Anota con tus propias palabras el procedimiento que seguiste.

2. Copia el ángulo y traza su bisectriz.

3. Traza una semirrecta 𝑋𝑊 tal que ∠𝑌𝑋𝑊

∠𝑊𝑋𝑍=

1

3

22

Actividad 17. Estrella

Fecha: ______________

I. Realiza los pasos cuidadosamente:

1. Traza las bisectrices de los 5 ángulos. 2. Obtén el punto medio M del segmento 𝐹𝐷̅̅ ̅̅ . 3. Traza suavemente la circunferencia ⨀𝐹 con radio 𝐹𝑀̅̅̅̅̅. 4. Marca todos los puntos de intersección de la circunferencia ⨀𝐹 con las bisectrices. 5. Une los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ^𝐸, con los puntos adyacentes que marcaste en el paso 4.

23

Actividad 18. Operaciones con segmentos.

Fecha: ______________

1. Construye un segmento de longitud 4𝐶𝐷̅̅ ̅̅ −1

2𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Resáltalo con un color.

2. Construye un segmento de longitud 2

3𝐸𝐹̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ −

1

2𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Resáltalo con un color.

3. Construye un segmento de longitud 5𝐼�̅� +2

3𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .

24

II. Dados los segmentos, calcula lo que se pide. Resalta el segmento resultante con un color.

25

Isometrías

Actividad 19. Tipos de isometrías.

Fecha: ______________

a) ¿Qué es una isometría?

I. Investiga de qué se trata cada una de las isometrías y completa el cuadro:

Tipo de isometría Descripción Ejemplo

Traslación

Rotación

Simetría central

Simetría axial

26

Actividad 20. Traslación de una figura.

Fecha: ______________

1. Traslada el cuadrilátero tal que el punto F esté sobre el punto 𝐺.

2. Traslada el triángulo tal que el punto B, esté sobre el punto 𝐷.

27

Actividad 21. Rotación de una figura.

Fecha: ______________

1. Rota la figura tal que el lado 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ quede sobre la semirrecta mostrada.

28

2. Rota la figura respecto al punto A, tal que el lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ quede sobre la semirrecta mostrada.

29

Actividad 22. Simetría central de una figura.

Fecha: ______________

1. Traza la figura simétrica respecto al centro 𝐸.

30

Actividad 23. Simetría axial de una figura.

Fecha: ______________

1. Traza la figura simétrica respecto a la recta mostrada.

31

Triángulos

Actividad 24. Concepto y clasificación de los triángulos.

Fecha: ______________

I. Realiza un mapa conceptual que incluya la definición y clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos y de sus lados.

32

Actividad 25. Congruencia de triángulos.

Fecha: ______________

a) ¿Qué significa que dos triángulos sean congruentes?

1. Construye un triángulo cuyos lados tienen las medidas de los segmentos dados.

2. Construye un triángulo tal que el ángulo E se encuentre entre los lados a y b.

3. Construye un triángulo tal que el lado 𝐶 se encuentre entre los ángulos 𝐴 y B.

33

I. Compara tus trazos con los de tus compañeros y responde:

b) ¿Es posible trazar triángulos diferentes con las condiciones dadas? _________________ c) ¿Por qué crees que sucede esto?

d) ¿Cuántos elementos geométricos (ángulos o segmentos) se han proporcionado en cada caso? ________

e) ¿Crees que si solamente se conocen dos elementos se pueden trazar triángulos únicos y congruentes entre sí? ____ ¿Por qué?

II. Redacta una regla para todos los triángulos que sean congruentes por la primera condición dada:

III. Redacta una regla para todos los triángulos que sean congruentes por la segunda condición dada:

IV. Redacta una regla para todos los triángulos que sean congruentes por la tercera condición dada:

V. ¿Qué es congruencia?

34

Actividad 26. Puntos y rectas notables en los triángulos.

Fecha: ______________

I. Investiga los puntos y rectas notables en los triángulos. Escríbelos y represéntalos con figuras.

35

Actividad 27. Alturas y ortocentro.

Fecha: ______________

I. Traza todas alturas de los triángulos y marca el ortocentro.

a) ¿Este triángulo es un triángulo rectángulo? Explica:

36

Actividad 28. Mediatrices y circuncentro.

Fecha: ______________

Traza todas las mediatrices del triángulo y la circunferencia correspondiente.

37

Actividad 29. Bisectrices e incentro.

Fecha: ______________

I. Traza todas las bisectrices del triángulo y la circunferencia correspondiente.

38

Actividad 30. Medianas y baricentro.

Fecha: ______________

I. Traza todas las medianas de los triángulos y marca el baricentro, luego, divide cada una de las medianas en tres partes iguales y responde lo que se pide.

a) ¿A qué razón divide el baricentro a las medianas? _________________ b) ¿Ocurrirá esto en cualquier tipo de triángulo? ____________________ c) ¿Cómo podrías comprobarlo?

39

Actividad 31. Recta de Euler.

Fecha: ______________

Traza la recta de Euler en los triángulos.

40

Actividad 32. Circunferencia de los nueve puntos.

Fecha: ______________

I. Construye la circunferencia de los 9 puntos en el siguiente triángulo.

1. Traza suavemente las alturas y nombra 1, 2, 3, a los pies de las alturas1. 2. Marca los puntos de Euler2 y llámalos 4, 5, 6. 3. Traza los puntos medios de los lados del triángulo y llámalos 7, 8, 9. 4. ¡Ya tienes los 9 puntos! 5. Construye un triángulo auxiliar con tres de los puntos que marcaste y obtén el circuncentro O. 6. Construye y resalta la circunferencia que pasa por los 9 puntos y tiene centro O.

1 Los pies de las alturas son las intersecciones de la altura con los lados del triángulo. 2 Los puntos de Euler son los puntos medios de los segmentos que unen al ortocentro con los vértices.

41

Actividad 33. Triángulo de Napoleón

Fecha: ______________

I. Construye el triángulo de Napoleón exterior en el siguiente triángulo

42

Circunferencia

Fecha: ______________

a) ¿Cuál es la diferencia entre circunferencia y círculo?

Actividad 34. Puntos y rectas notables en una circunferencia.

Concepto Definición Figura Notación

Circunferencia

Centro

Radio

Cuerda

Diámetro

Secante

Tangente

Punto de tangencia

43

Actividad 35. Construcción de circunferencias.

Fecha: ______________

Construye la circunferencia ⊙ 𝐶 cuyo radio mida f.

Construye la circunferencia ⊙ 𝑂 cuyo diámetro mida k.

44

Polígonos

Actividad 36. Nomenclatura de los polígonos.

Fecha: ______________

a) ¿Qué es un polígono?

b) ¿Qué es un polígono cóncavo?

c) ¿Qué es un polígono convexo?

d) ¿Qué es un polígono regular?

e) ¿Qué es un polígono irregular?

Nombre Número de

lados Figura (cóncava) Figura (convexa)

3

4

45

Nombre Número de

lados Figura (cóncava) Figura (convexa)

5

6

7

8

9

46

Nombre Número de

lados Figura (cóncava) Figura (convexa)

10

11

12

20

n

47

Actividad 37. Construcción de polígonos regulares.

Fecha: ______________

1. Construye un pentágono regular. ¿Cuánto mide su ángulo central? ____________

2. Construye un hexágono regular. ¿Cuánto mide su ángulo central? _____________

3. Construye un octágono regular. ¿Cuánto mide su ángulo central? _____________

48

Actividad 38. Clasificación de los cuadriláteros.

Fecha: ______________

Investiga y realiza un mapa conceptual con la clasificación de los cuadriláteros.

49

Actividad 39. Teorema de Varignon

El teorema de Varignon enuncia que "En cualquier cuadrilátero, los puntos medios de los lados forman un paralelogramo cuya área es la mitad de la del cuadrilátero original".

En la figura se muestra el cuadrilátero EFGH formado a partir de los puntos medios del cuadrilátero ABCD, comprueba a través de trazos, que se trata de un paralelogramo.

50

Referencias

Alexander, D. C., & Koeberlein, geralyn M. (2013). Geometría. (A. Vega Orozco & T. Eliosa García, Eds.) (5th ed.). México, D.F.: Cengage Learning Latinoamérica.

Bibliografía adicional sugerida

Aguilar Márquez, A., & otros. (2009). Geometría y Trigonometría. (CONAMAT, Ed.) Estado de México:

Pearson.

Clemens, O´Daffer, & Cooney. (1998). Geometría con aplicaciones y solución de problemas. D.F.: Addison

Wesley Longman de México.

Jiménez, R. (2010). Matemáticas II Geometría y Trigonometría (Segunda ed.). México: Pearson.

Recursos

www.mateyfisica.site

Control de sellos de Actividades

#Actividad PT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Sello

#Actividad 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Sello

#Actividad 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Sello

Participaciones