Unidad Didactica Semejanza

7/22/2019 Unidad Didactica Semejanza

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Universidad de GranadaCurso 2010/2011

Mster Universitario de Profesorado de Educacin SecundariaObligatoria, Bachillerato, Formacin Profesional y Enseanza de

Idiomas

FIGURAS SEMEJANTES Y APLICACIONES DE LA

SEMEJANZA. PROPUESTA DE UNIDADDIDCTICA

Especialidad: Matemticas

Raquel Garca Blanco


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Universidad de Granada

FIGURAS SEMEJANTES Y APLICACIONES DE SEMEJANZA.PROPUESTA DE UNIDAD DIDCTICA

Memoria de TRABAJO FIN DE MSTER realizada bajo la tutela del Doctor Jose Luis

Lupiez Gmez del Departamento de Didctica de la Matemtica de la Universidad de

Granada que presenta Raquel Garca Blanco, dentro del Mster Universitario de

Formacin de Profesorado de Enseanza Secundaria Obligatoria, Bachillerato,

Formacin Profesional y Enseanza de Idiomas.

Fdo.: Raquel Garca Blanco

VB del Tutor

Fdo.: Jose Luis Lupiez Gmez


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1. INTRODUCCIN

Para la realizacin de este trabajo fin de mster podamos elegir entre dosposibilidades teniendo en cuenta nuestra especialidad: una unidad didctica o un trabajosobre innovacin educativa o materiales didcticos. Realizar un trabajo sobre innovacin

hubiera sido quizs ms interesante que realizar una unidad didctica, para ello hubiera sidonecesario detectar una carencia e inventar algn instrumento llamativo y til para elalumnado. Teniendo en cuenta que en mi futura labor docente es imprescindible laplanificacin y la elaboracin de unidades didcticas en todos los temas y cursos, la eleccin dela unidad se bas en el inters por aprender correctamente a realizarlas.

En este trabajo proponemos una unidad didctica, recordemos que esto es una unidadde programacin y actuacin docente constituida por un conjunto de actividades que sedesarrollan en un tiempo determinado para la consecucin de unos objetivos especficos (Ricoy Segovia, 2001), destinada al alumnado que est en el cuarto curso de la etapa obligatoria dela enseanza secundaria. Por tanto, estamos en el ltimo curso de dicha etapa por lo quedebemos sentar las bases de la matemtica tanto para aquellos alumnos que abandonaran el

sistema educativo al acabar el curso como para aquellos que comenzaran el primer ao deBachillerato continuando as su etapa educativa.La unidad didctica que presentamos tratar el siguiente tema: Figuras semejantes y

aplicaciones de la semejanza. Elegimos este ttulo porque representa claramente la finalidadde la unidad y porque de todos los aspectos que abarca el tema de la semejanza pensamosque su aplicacin es el ms importante, si bien para abreviar en el resto del documento nosreferiremos a l como semejanza. La hemos estructurado en tres apartados, el primerocontempla la aportacin de la revisin curricular y la justificacin del estudio. En el segundoapartado, llevamos a cabo un anlisis didctico del tema centrndonos en varios aspectoscomo: sistemas de representacin, fenomenologa, expectativas de aprendizaje, competenciaso los errores y dificultades involucrados en el tema. La tercera parte, contiene la planificacin

de la enseanza, es decir, objetivos de etapa y especficos, contenidos, sesiones ytemporalizacin. Adems estudiaremos la metodologa y los criterios e instrumentos deevaluacin.

Los aspectos de la enseanza deben ir bien dirigidos tanto a cubrir necesidadesacadmicas para cursos posteriores como necesidades propias para la resolucin deproblemas de la vida cotidiana. En este mbito, se debe tener siempre presente en el aula laimportancia de las Matemticas como elemento de la cultura. El proceso educativo queproponemos en la presente unidad estar caracterizado por la bsqueda de la motivacin y elinters del alumnado, por lo que ser fundamental destacar la importancia de la semejanza enla vida cotidiana.

Una vez descrita la unidad didctica, describiremos en el siguiente punto del

documento los resultados obtenidos en un estudio emprico sobre el conocimiento de lanocin de semejanza realizado por parte de alumnos de un instituto de Educacin Secundaria.A continuacin, se realiza una breve conclusin y al finalizar el documento encontramos labibliografa consultada y los anexos.


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Alrededor del ao 585 a.C., naci un matemtico imprescindible en nuestro tema: Thales.Se le atribuyen varios teoremas importantes aunque no hay ningn documento antiguoque pueda aportarse como prueba evidente de estos descubrimientos pero segn latradicin Thales demostr algunos de estos, destaco los siguientes por la relevancia ennuestro tema: Si dos tringulos son tales que dos ngulos y un lado de uno de ellos son

respectivamente iguales a dos ngulos y un lado del otro, entonces los dos tringulos soncongruentes y Si dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, lossegmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentoscorrespondientes de la otra recta. Adems, hay algunas otras referencias a Thalesdispersas por las antiguas fuentes, pero la mayor parte de ellas describen actividades decarcter prctico: Digenes Laercio, seguido por Plinio y Plutarco contaron que Thalesmidi las alturas de las pirmides de Egipto observando las longitudes de sus sombras enel momento en que la sombra proyectada por un palo vertical era exactamente igual a sualtura y tambin que calcul la distancia de un barco a la playa por medio de laproporcionalidad de los lados de tringulos semejantes.

Algunos aos despus, comenz la famosa poca heroica de la matemtica. Destacamos a

Anaxgoras que muri en el 428 a.C., despus de la muerte de Pericles. Se dice que stemuri de peste, por ello, los habitantes de la ciudad consultaron al Orculo de Apolo paraaveriguar cmo acabar con la epidemia. As surgi el llamado problema de la duplicacindel cubo o problema de Delos: dada la arista de un cubo construir nicamente con regla ycomps la arista de otro cubo que tengo volumen doble que el primero. Numerososmatemticos intentaron resolver el problema pero slo proporcionaron solucionesaproximadas aunque fue Arquitas, matemtico griego, quin encontr una solucintridimensional del problema sin usar coordenadas. Adems de esta solucin, en la pocaplatnica, Menecmo dio con las cnicas como resultado de una afortunada bsqueda decurvas que tuvieran las propiedades requeridas para resolver el problema del cubo. En1837 se demostr que el problema no tiene solucin.

Euclides y sus matemticas estn claramente relacionados con nuestro tema porque loestudi en profundidad y escribi muchas proposiciones interesantes. En el libro II de losElementos encontramos algunas de ellas, por ejemplo, la proposicin 11 donde apareceuna figura usada actualmente en muchos libros modernos de geometra para ilustrar unapropiedad iterativa que tiene la seccin urea. Los griegos tendan a evitar lasproporciones y Euclides tambin sustituyndolas mediante una relacin entre longitudesque tendra que ser de la forma x/a=b/c por x c=ab. A pesar de ello, vuelven a aparecer enel libro V de los Elementos, e incluso aparece la definicin de razn aunque es intilporque es bastante vaga. Una vez desarrollada la teora de proporciones en el libro V,Euclides la utiliza en el libro VI para demostrar teoremas relativos a razones y proporcionesque se presentan al estudiar tringulos, paralelogramos y otros polgonos semejantes.

La proporcin urea ha sido famosa a lo largo de la historia por sus propiedades estticas yse dice que la arquitectura de la antigua Grecia est fuertemente influenciada por su uso.Fue Euclides quin comenz a hablar en los trminos que siguen: la lnea AB est divididaen razn de medios y extremos por C si AB: AC = AC: CB. A esta relacin la llamamosproporcin o razn urea. Hasta el 150 a.C., la proporcin urea era consideradanicamente como una propiedad geomtrica y no se haban interesado por asociarle unnmero a esa relacin. Siglos despus, Pacioli escribi Divina proporcione y afirma que laproporcin urea no es racional. Una nota de principios del siglo XVI dice que la relacinentre trminos consecutivos de la sucesin de Fibonacci tiende al nmero ureo, aunqueel primer clculo de la relacin urea en forma decimal fue realizada en 1597 por MichaelMaestlin.


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3.1.2 Estructura conceptual: Qu es la semejanza?

Tras haber realizado la revisin histrica anterior, vamos a aproximamos al conceptode semejanza en s mediante la estructura conceptual del tema, expondremos un resumen delos conceptos y procedimientos relacionados:

Conocimiento conceptual

HechosTrminos Magnitud, medida, cantidad, longitud Cociente Proporcionalidad numrica Vrtice, ngulo, segmento, lado Lados y ngulos homlogos Polgono Permetro, rea, volumen Recta, paralelismoNotacin Unidades (u), Sistema mtrico decimal de numeracin a/b a:b a/b = c/d a:b = c:d A, B, C,...,...,AB , BC, a, b, c, ABC, ABCD,... P, A, V r, s, || 1:100 ABC ~ DEF kConvenios Los lados se denotan por: a, b, c Los vrtices se denotan por: A, B, C, Los ngulos se denotan por: , Los segmentos se denotan por: AB, AC Los polgonos se denotan por: ABC, ABCD En una razn el numerador se llama antecedente y el denominador consecuente En una proporcin hay cuatro trminos a:b = c:d, a y d se llaman extremos

mientras que b y c son medios El permetro se denota por P, el rea por A y el volumen por V

a/b se lee como a es a b El smbolo ~ denota la semejanza de figuras La razn de semejanza recibe el nombre de escala en planos, mapas y maquetas 1:100 se lee uno cien Para una escala 1:100 la razn de semejanza es 1/100Resultados Los ngulos de un polgono convexo de n lados suman 180(n-2) Si la razn de semejanza entre figuras, k, es mayor que 1, la figura se amplia. Si es

menor que 1, se reduce Los ngulos homlogos son iguales Las semejanzas llevan puntos alineados en puntos alineados, segmentos en

segmentos y conservan ngulos El ngulo con el que corta una recta a dos paralelas es el mismo


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La razn de la semejanza producto es igual al producto de las razones de lassemejanzas

Conceptos Razn, semejanza, escala (grfica y numrica)

Cuarto, tercero y media proporcionalidad Figuras y polgonos semejantes Tringulos en posicin de Thales Criterios de semejanza entre tringulos Homotecia

Estructura conceptual Teorema de Thales Teorema del cateto Teorema de la altura Teorema de Pitgoras Las semejanzas son un grupo equiforme Las magnitudes escalares constituyen un semigrupo conmutativo con elemento

neutro totalmente ordenadoConocimiento procedimental

Destrezas Obtener relaciones de igualdad y desigualdad de segmentos Medidas de longitudes, amplitudes y superficies Operar con medidas de segmentos Operar con medidas de ngulos Construir ngulos Identificar lados proporcionales en polgonos Construccin de segmentos proporcionales Reconocer series de nmeros proporcionales Pasar de una proporcionalidad de magnitudes a una proporcionalidad numrica

Razonamientoso Deductivo

Identificar polgonos semejantes Aplicar los criterios de semejanza Clculo de la media, tercero y cuarto proporcional Clculo de la relacin entre reas y permetros de polgonos semejantes y entre

volmenes de cuerpos semejantes Comprobar que en un tringulo rectngulo, la altura trazada sobre la hipotenusa

es media proporcional entre las dos partes en que divide a stao Inductivo

Establecer la relacin entre las razones de permetro, rea y volumen de polgonossemejantes

Establecer la relacin entre las alturas de polgonos semejantes (tringulo,paralelogramo, trapecio)

o Figurativo Representacin a escala de un objeto de la realidad Dibujar un polgono semejante a otro dada la razn

o Clculo de la razn de semejanza entre figuras o polgonos semejanteso Resolucin de problemas de tringulos semejantes


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3.1.3 Sistemas de represe

En esta seccin vamlos cuales se hace presentecada una de las representaci

tipos de representaciones stecnolgica (TIC). Despus vms, todos ellos estn relacio

SimblicaEste sistema de rep

semejantes mediante smbocualquier alumno ser capaindicar que dos pares de ladlos lados o usaremos el smbAdems podemos distinguir

Algebraico: Traducci

Numrico: 1:100, K=

VerbalEste sistema est rel

comunicacin es oral, luegejemplos:

Figuras semejantes a es a b como c es a a sobre b Uno cien

TabularOtra forma de repr

usando una tabla, la ventajarecopilar mucha informacicomprobar al mirar los valor

Lados polgo

2 cm

1.3 cm0.5 cm

Grfica- NumricaEsta representacin

proporcin geomtrica, erepresentaciones grficas oalumnos comprueben visualtienen, lo vemos en los siguie

tacin: cmo puede reconocerse?

s a describir los distintos sistemas de represela semejanza y todos los conceptos relacionaones destacar sus caractersticas, sus usos y

n los siguientes: simblica, verbal, tabular, grremos que los sistemas presentados no son inados.

esentacin se basa en la identificacin de selos. Su uso y finalidad es bsico porque es laz de distinguir figuras semejantes. Algunos ejs homlogos son semejantes usaremos a/b = c/lo para indicar que dos figuras o polgonos soos categoras:

n del problema geomtrico a una ecuacin

1,6, 2/4 = 6/12

acionado con el sistema anterior. Es prcticamsus caractersticas son similares. Considera

d

esentar las relaciones existentes entre figurque tiene este sistema frente a los anterioresconjuntamente. Por ejemplo, en la tabla si

s de los lados si estos tres polgonos son semeja

o 1 Lados polgono 2 Lados polgono

4 cm 6 cm

2.6 cm 3.9 cm1.5 cm 4.5 cm

es esencial en nuestro tema porque ste essto significa que generalmente vamoseomtricas. Por tanto, su uso y finalidad es cente cuando dos figuras son semejantes o las

ntes ejemplos:

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ntacin medianteos con ella. Parau finalidad. Estos

fica -numrica ydependientes, es

mentos o figurasforma en la quemplos son: para

d siendo a, b, c, dn semejantes.

nte igual pero laos los siguientes

s semejantes eses que se puedeuiente, podemosntes:

centrado en laa trabajar conlave para que lospropiedades que


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Tecnolgica (TIC)Surgen dudas alrededor de este sistema de representacin, la propuesta es usarlo para

poder ver propiedades y cualidades de figuras semejantes que no podamos representarmediante el sistema anterior. Adems, su uso har que podamos manejar otro tipo demateriales como el ordenador y los nuevos programas informticos. Entre ellos destacan:

En esta figura podemos ver dos objetos

semejantesRepresentacin geomtrica del

Teorema de Thales

Tringulos en posicin de Thales Divisin de un segmente en partes iguales

Construccin de polgonos semejantes Representacin del plano de una casa

Representacin de la maqueta de un

edificio

Representacin de una escala


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Podemos responder a ellas utilizando conceptos de nuestro tema como: semejanza detringulos, teorema de Thales, homotecia, escala y el nmero ureo.

Anlisis de los fenmenosAlgunos de los fenmenos donde adquieren significado los conceptos de este tema

pueden ser:

Medida de la profundidad de un pozo Determinacin de la altura de un edificio por el Mtodo de Euclides o usando escuadra

y cartabn Medicin de altura sobre terreno horizontal. Mtodo de Geberto de Aurillac Mtodo griego para calcular la distancia de un barco a un puerto Medicin del radio y la sombra de la Tierra El ojo humano Cmara de fotos , proyectores y fotocopiadoras Topografa: representacin en mapas, planos y maquetas

Sistema Solar En el universo:

o Dinmica de los agujeros negros y galaxias En la naturaleza:

o Cristales en mineraleso Caracolaso Espirales de un girasolo Proporciones morfolgicas de una abeja

En la bsqueda de la belleza:o Pirmide de Keopso Rostro de la Gioconda

Anlisis de las situacionesUsaremos las mismas situaciones que propone el Informe PISA (OCDE, 2005):

personales, educativas o laborales, pblicas o sociales y cientficas.

Personal: relacionada con las actividades diarias de los alumnos.o Uso de los proyectores y fotocopiadoraso Funcionamiento de cmaras de fotos

Laboral: las encuentra el alumno en el centro escolar o en un entorno de trabajo.o Mtodo griego para calcular la distancia de un barco a un puertoo Medicin de altura sobre terreno horizontal o de la profundidad de un pozo

Pblica o social: se refieren a la comunidad local u otra ms amplia, en la cual losestudiantes observan determinados aspectos de su entorno.o Pirmide de Keopso Rostro de la Gioconda

Cientfica: son ms abstractas y pueden implicar la comprensin de un procesotecnolgico, una interpretacin terica o un problema especficamente matemtico.

o Sistema Solaro Medicin del radio de la Tierra

En el siguiente ejemplo unificamos los anlisis anteriores:

Contexto Fenmeno SituacinConceptos a los que hace

referencia

Cmo ve unalente?

Funcionamiento del ojohumano

Personal ocientfica

Semejanza de tringulos


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Para finalizar la seccin del anlisis de contenido, mostraremos otro mapa conceptual,en el que podemos ver las relaciones que existen entre la estructura conceptual, los sistemasde representacin y la fenomenologa.

3.2 Anlisis cognitivo

En este apartado pretendemos dar respuestas a preguntas como: qu espero queaprendan los escolares? Cmo puedo facilitarles el aprendizaje? Qu errores cometern?Qu puede ralentizar el proceso de aprendizaje?

3.2.1 Expectativas de aprendizaje

Antes de especificar los objetivos de aprendizaje, vamos a establecer los diferentesfocos de aprendizaje sobre los cuales se organizarn y que surgen de la estructura conceptualdetallada en el punto anterior:

I. Proporcionalidad de segmentosII. Semejanza de figuras

III. Teorema de Thales

A continuacin describiremos los objetivos asociados a los diferentes focos:


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I. Proporcionalidad de segmentos1. Reconocer series de segmentos proporcionales2. Calcular la razn de dos segmentos3. Calcular numricamente medio, tercero y cuarto proporcional4. Construir segmentos proporcionales dada la razn

II. Semejanza de figuras5. Identificar y describir invariantes entre dos figuras semejantes6. Identificar figuras o polgonos semejantes y deducir su razn de semejanza7. Construir (con regla y comps, Geogebra,) un polgono (o figura) semejante a otro,

dada la razn8. Reconocer tringulos semejantes utilizando los criterios de semejanza. Clculo de

distancias inaccesibles9. Establecer la relacin entre las razones de permetro, superficie y volumen de figuras

semejantes10.Calcular distancias, reas y volmenes en mapas, planos y maquetas interpretando la

escala

III. Teorema de Thales11. Identificar y construir tringulos semejantes utilizando el teorema de Thales12.Construir grficamente: medio, tercero y cuarto proporcional13.Dividir un segmento en partes iguales y/o proporcionales14.Representar nmeros racionales en la recta real (con regla y comps)15.Calcular distancias inaccesibles en situaciones reales

Seguidamente mostramos unas tablas donde aparecen los objetivos anteriores agrupadossegn los distintos focos para hacer un estudio detallado de las competencias de PISA a las quecontribuye cada uno. Recordemos que:

PR= Pensar y Razonar, AJ= Argumentar y Justificar, C= Comunicar, M= Modelizar,RP= Resolver Problemas, R= Representar, LS= Lenguaje Simblico, HT=Herramientastecnolgicas.

Proporcionalidad de segmentos PR AJ C M RP R LS HT

1 Reconocer series de segmentos proporcionales

2 Calcular la razn de dos segmentos

3Calcular numricamente medio, tercero y cuarto

proporcional

4 Construir segmentos proporcionales dada la razn


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Como resumen de las tablas anteriores, la siguiente tabla muestra el balance total de lacontribucin al desarrollo de las competencias PISA:

Teorema de Thales PR AJ C M RP R LS HT

11Identificar y construir tringulos semejantes

utilizando el teorema de Thales

12Construir grficamente: medio, tercero y cuarto

proporcional

13Dividir un segmento en partes iguales y/o

proporcionales

14Representar nmeros racionales en la recta real

(con regla y comps)

15 Calcular distancias inaccesibles en situaciones reales

Semejanza de figuras PR AJ C M RP R LS HT

5Identificar y describir invariantes entre dos figuras

semejantes

6 Identificar figuras o polgonos semejantes y deducirsu razn de semejanza

7Construir (con regla y comps, Geogebra, ) un

polgono (o figura) semejante a otro, dada la razn

8Reconocer tringulos semejantes utilizando los

criterios de semejanza. Clculo de distanciasinaccesibles

9Establecer la relacin entre las razones depermetro, superficie y volumen de figuras

semejantes

10Calcular distancias, reas y volmenes en mapas,

planos y maquetas interpretando la escala


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RECUENTO PR AJ C M RP R LS HT

1 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 3 1 2 2 1 2

2 FIGURAS SEMEJANTES 5 2 3 1 4 1 2 1

3 TEOREMA DE THALES 4 1 1 3 2 3

TOTAL 12 4 5 2 9 4 4 4

Observando la tabla anterior, podemos concluir que las competencias a las quems se contribuye son Pensar y Razonar, Comunicary Resolver Problemas mientras que alresto se contribuye en menor medida. Cabe destacar que la competencia Modelizarslo la

desarrollamos en dos objetivos dentro de dos focos distintos. Sin embargo, en eldesarrollo de las sesiones de clase que expondremos ms adelante intentaremos de lamejor forma posible desarrollar todas las competencias. Para concluir esta seccin,

justificaremos brevemente las competencias PISA que se pretenden cubrir con cada unode los objetivos:

1. Reconocer series de segmentos proporcionaleso PR: Deben elegir razonadamente cuando dos o ms segmentos son

proporcionales, para ello, deben conocer varios conceptos.o AJ: Tienen que argumentar porque algunos segmentos son o no

proporcionales.o C: Deben expresar ideas matemticas con claridad.o RP: Deben resolver problemas donde tienen que reconocer segmentos

proporcionales.2. Calcular la razn de dos segmentos

o RP: Deben plantear y resolver problemas.o LS: Usan expresiones algebraicas con variables y resuelven ecuaciones.

3. Calcular numricamente medio, tercero y cuarto proporcionalo PR: Deben entender que significan y la diferencia entre medio, tercero y cuarto

proporcional.o LS: Usan expresiones algebraicas y resuelven ecuaciones.

4. Construir segmentos proporcionales dada la razno PR: Deben relacionar correctamente ambos segmentos mediante la razn.o C: Tienen que expresar como han realizado la construccin.o R: Usan uno de los sistemas de representacin al dibujar.

5. Identificar y describir invariantes entre dos figuras semejanteso PR: Relacionan propiedades de diferentes figuras para poder extraer alguna

relacin entre ellas.o C: Describen invariantes.

6. Identificar figuras o polgonos semejantes y deducir su razn de semejanzao RP: Deben resolver y plantear problemas usando dicho clculo.o LS: Usan expresiones algebraicas con variables y resuelven ecuaciones.

7. Construir (con regla y comps, Geogebra, ) un polgono (o figura) semejante a otro,dada la razn


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3.2.2 Errores y dificultades que pueden surgir en el proceso de enseanza-aprendizaje

Al igual que las expectativas de aprendizaje, las limitaciones, los errores y dificultades,son imprescindibles en cualquier proceso de aprendizaje. En nuestro tema, las dificultades se

encuentran en los diferentes focos citados aunque como veremos a continuacin el mayornmero de errores se centra en el segundo foco. Quizs sea porque es la parte central deltema, ya que el primer foco recoge los contenidos necesarios para alcanzar los objetivos deste y el tercer foco abarca conceptos y estrategias que amplan los del segundo foco.

En la siguiente tabla mostramos los errores y dificultades que pensamos que puedensurgir en el desarrollo de la unidad didctica, sealando su relacin con los objetivosanteriores y con los focos fundamentales del tema:

Errores Objetivos Focos

1 No verificar la solucin apoyndose en la razn de semejanza 4, 7, 10 1

2Utilizar un procedimiento aditivo para hallar segmentos

proporcionales1, 2 1

3 Interpretar la razn como parte de la unidad u operador fraccionario 4, 7 1 y 2

4 Dificultades propias del lenguaje (doble, mitad,) 4, 7 1 y 2

5 Confundir figuras parecidas con semejantes 1,5 2

6 Mezclar los criterios de semejanza 8 2

7 Dificultad con la notacin de escala 10 2

8 Vincular la escala a una nica unidad de medida 10 2

9 Generalizar la razn de semejanza en superficies y volmenes 9, 10 2

10Identificar errneamente polgonos semejantes (comprobando slo

algunos lados)1, 5 2 y 3

11Establecer de manera errnea la proporcin que determina el

teorema de Thales o la semejanza de figuras15 2 y 3

12No seleccionar correctamente los datos para resolver un problema o

utilizar datos innecesarios10, 15 2y 3

13Aplicar el teorema de Thales cuando no se cumplen las hiptesis (por

ejemplo, paralelismo )11, 15 3

14Dificultad para representar una situacin grficamente para

resolverla mediante semejanza15 3

Presentamos a continuacin, algunas tareas que pensamos pueden contribuir a evitarla aparicin de los errores anteriores o en su defecto a eliminarlos:

Tarea 1

Marta es coleccionista de maquetas y quiere comprar una nueva maqueta del famoso barcoTitanic. La ofertan a escala 1:180 y 1:300.


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Cul te compraras t para apreciar mejor los detalles? Justifica tu respuesta. Al final Marta compr la maqueta de 1:300. Sabiendo que el largo de un camarote mide 7

cm, el ancho 2 cm y el alto 2,5 cm y que el barco tiene 120 camarotes, cul es el volumendel camarote en realidad?

La tarea se centra bsicamente en cubrir el objetivo 10, es decir, Calcular distancias,reas y volmenes en mapas, planos y maquetas interpretando la escala . Por los conceptosque estn involucrados en este objetivo, nos encontramos dentro del segundo foco y lascompetencias que intentaremos alcanzar son Pensar y Razonary Comunicar. Los errores quepodemos detectar son:

7. Dificultad con la notacin de escala8. Vincular la escala a una nica unidad de medida9. Generalizar la razn de semejanza en superficies y volmenes12.No seleccionar correctamente los datos para resolver un problema o utilizar datos

innecesarios

Tarea 2Para medir la altura de su casa, Antonio, de 165 cm de altura y 55 kg, se situ a 1,5 m de laverja de su jardn, que se encuentra a 25,5 m de su casa. Sabiendo que la verja mide 3,5 m dealtura, calcula la altura de la casa.

Esta tarea pretende cubrir los objetivos 11 y 15, es decir, Identificar y construirtringulos semejantes utilizando el teorema de Thales y Calcular distancias inaccesibles ensituaciones reales. Al involucrar el teorema de Thales nos encontramos dentro del tercer foco ylas competencias que perseguimos alcanzar son Pensar y Razonar y Resolver Problemas. Loserrores que podramos detectar son:

11.Establecer de manera errnea la proporcin que determina el teorema de Thales o lasemejanza de figuras

12.No seleccionar correctamente los datos para resolver un problema o utilizar datosinnecesarios

14.Dificultad para representar una situacin grficamente para resolverla mediantesemejanza

3.3 Anlisis de instruccin

El anlisis de instruccin, como parte del anlisis didctico, se sita en torno adiferentes componentes que son importantes en el proceso de planificacin y que giran entorno a las tareas matemticas escolares. Entre las que propone Lupiez (2009), en estetrabajo nos centraremos en dos: la complejidad de las tareas y los materiales y recursos que

pueden emplearse en ellas.

3.3.1. Complejidad de las tareas

En el marco de PISA, las tareas se distinguen de acuerdo a las demandas cognitivas quele exigen a los alumnos que tienen que resolverlas, dando lugar a tres tipos de tareas deacuerdo a la complejidad de esas demandas: reproduccin, conexin y reflexin (OCDE, 2005).Veamos algunos ejemplos:

Reproduccin

Se quiere dibujar un polgono semejante a otro cuyo permetro mide 100 cm. Cunto medirel permetro del primer polgono si dos lados homlogos miden respectivamente 25 y 40 cm?


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Para realizar las tareas con nivel de complejidad de reproduccin en este tema, elalumnado, bien con su conocimiento previo, o bien mediante aplicacin directa de unconcepto o procedimiento debe poder obtener el resultado. Si tenemos en cuenta lascompetencias PISA, por ejemplo, la competencia de Comunicar, el alumno debera ser capazde expresarse usando correctamente la terminologa del tema: lados homlogos, razn de

semejanza, etc.

Conexin

En el plano de una vivienda, a escala 1:350, las medidas del jardn son 36 mm y 29 mm. Cules la superficie real del jardn?

Para conexin, el criterio es que el alumnado tiene que decidir ante una variedad detcnicas como resolver el problema y adems saber encontrar el camino hacia lo que se le pideenlazando ideas y conceptos del tema ya aprendidos. Desde el punto de vista de lacompetencia de Argumentar y Justificar, tiene que conocer y encadenar argumentosmatemticos de diferentes tipos para poder expresarse correctamente de forma oral o escrita.

Reflexin

Un constructor quiere hallar la altura de un edificio poniendo una estaca sobre una mesa demadera. l se encuentra a 24 m del edificio, la estaca mide 0,52 m y la mesa tiene 1 m dealtura y 0,8 m de ancho.

Para el ltimo nivel de complejidad, se requiere que el alumno analice la situacinplanteada y sepa qu conceptos y procedimientos del tema debe usar para resolver elproblema. Adems, la resolucin ser compleja, utilizando en algunas ocasiones conceptos queno son propios del tema de semejanza. Analizndolo desde la competencia de Resolver

Problemas, no slo deben establecer relaciones entre distintas reas matemticas y formas derepresentacin sino tambin conlleva reflexionar sobre las estrategias y las soluciones.

3.3.2. Materiales y recursos

Los materiales y recursos didcticos que podramos utilizar en el tema de semejanzason:

Pantgrafo

Un pantgrafo es un mecanismo articulado basado en las propiedades de los paralelogramos

(Grupo Beta, 1990). Dispone de unas varillas conectadasde tal manera que se pueden mover respecto de un puntofijo (pivote). En nuestro tema, podramos usar unpantgrafo de dibujo cuyo principio es usar una imagengua para ampliarla. Una vez dibujadas las figurassemejantes, podemos usarlo para que comprueben larelacin que existe entre algunas de sus propiedades.

Puzle

Este puzle fue creado para poder superar el error que comenten algunos nios cuandousan procedimientos multiplicativos en vez de procedimientos aditivos. Si deben construir un


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4. PROPUESTA DE UNIDAD DIDCTICA

La siguiente unidad didctica est dirigida a alumnos/as de 4 de E.S.O. de la opcin A.Nuestro objetivo principal es transmitir al alumnado la importancia de nuestro tema,semejanza, en situaciones de la vida cotidiana. Para ello, vamos a utilizar el anlisis didctico

anterior, la descripcin de los objetivos y contenidos, etc. Adems desarrollaremos algunassesiones de clase para describir la secuenciacin de tareas y la gestin del aula, explicaremos laevaluacin que llevaremos a cabo y como atenderemos a la diversidad.

4.1 Objetivos de etapa

Segn la citada orden ECI/2220/2007, la enseanza de las Matemticas en esta etapatendr como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:

1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos deargumentacin las formas de expresin y razonamiento matemtico, tanto en los

procesos matemticos o cientficos como en los distintos mbitos de la actividadhumana.2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en trminos

matemticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar losresultados utilizando los recursos ms apropiados.

3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor: utilizartcnicas de recogida de la informacin y procedimientos de medida, realizar el anlisisde los datos mediante el uso de distintas clases de nmeros y la seleccin de losclculos apropiados a cada situacin.

4. Identificar los elementos matemticos (datos estadsticos, geomtricos, grficos,clculos, etc.) presentes en los medios de comunicacin, Internet, publicidad u otras

fuentes de informacin, analizar crticamente las funciones que desempean estoselementos matemticos y valorar su aportacin para una mejor comprensin de losmensajes.

5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana,analizar las propiedades y relaciones geomtricas implicadas y ser sensible a la bellezaque generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginacin.

6. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnolgicos (calculadoras,ordenadores, etc.) tanto para realizar clculos como para buscar, tratar y representarinformaciones de ndole diversa y tambin como ayuda en el aprendizaje.

7. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modospropios de la actividad matemtica, tales como la exploracin sistemtica de

alternativas, la precisin en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vistao la perseverancia en la bsqueda de soluciones.8. Elaborar estrategias personales para el anlisis de situaciones concretas y la

identificacin y resolucin de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos yvalorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en funcin del anlisis de losresultados y de su carcter exacto o aproximado.

9. Manifestar una actitud positiva ante la resolucin de problemas y mostrar confianzaen la propia capacidad para enfrentarse a ellos con xito y adquirir un nivel deautoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos,manipulativos, estticos y utilitarios de las matemticas.

10. Integrar los conocimientos matemticos en el conjunto de saberes que se vanadquiriendo desde las distintas reas de modo que puedan emplearse de formacreativa, analtica y crtica.


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11.Valorar las matemticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde unpunto de vista histrico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual yaplicar las competencias matemticas adquiridas para analizar y valorar fenmenossociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, elconsumo, la igualdad de gnero o la convivencia pacfica.

En el artculo 4, encontramos los objetivos de la Educacin Secundaria obligatoria queharn que los alumnos y alumnas desarrollen algunas capacidades, entre ellos destaco lassiguientes:

a. Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto alos dems, practicar la tolerancia, la cooperacin y la solidaridad entre las personas ygrupos, ejercitarse en el dilogo afianzando los derechos humanos como valorescomunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanademocrtica.

b. Desarrollar y consolidar hbitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipocomo condicin necesaria para una realizacin eficaz de las tareas del aprendizaje y

como medio de desarrollo personal.c. Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades

entre ellos. Rechazar los estereotipos que supongan discriminacin entre hombres ymujeres.

d. Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los mbitos de la personalidad y en susrelaciones con los dems, as como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquiertipo, los comportamientos sexistas y resolver pacficamente los conflictos.

e. Desarrollar el espritu emprendedor y la confianza en s mismo, la participacin, elsentido crtico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender,planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

4.2. Contenidos y objetivos especficos de la unidad didctica

Para nuestra unidad, centramos las prioridades de aprendizaje en los objetivos queexpondremos a continuacin. De los tres focos que describimos en el punto anterior, exceptolos dos ltimos objetivos que pertenecen al tercer foco (teorema de Thales), el resto lospodemos incluir en el segundo foco (semejanza de figuras).

1. Calcular la razn de dos segmentos2. Identificar y describir invariantes entre dos figuras semejantes3. Identificar polgonos semejantes y deducir su razn de semejanza4. Construir (con regla y comps, Geogebra,) un polgono (o figura) semejante a otro,

dada la razn5. Reconocer tringulos semejantes utilizando los criterios de semejanza6. Establecer la relacin entre las razones de permetro, superficie y volumen de figuras

semejantes7. Relacionar reas y permetros de polgonos semejantes8. Relacionar volmenes de cuerpos semejantes9. Calcular distancias, reas y volmenes en mapas, planos y maquetas interpretando la

escala10. Identificar y construir tringulos semejantes utilizando el teorema de Thales11.Calcular distancias inaccesibles en situaciones reales usando el teorema de Thales

En relacin con los objetivos anteriores y con la lista expuesta en el punto anterior,detallamos los contenidos a los que les damos especial importancia en esta unidad didctica:


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De entre los trminos que aparecen en el tema: Magnitud, medida, longitud Proporcionalidad numrica Lados y ngulos homlogos

Ahora describo los conceptos:

Razn, semejanza, escala (grfica y numrica) Figuras y polgonos semejantes Tringulos en posicin de Thales Criterios de semejanza entre tringulos

Las actitudes que deberan desarrollar a lo largo de la unidad didctica son: Curiosidad e inters por investigar relaciones geomtricas. Reconocimiento de la presencia y uso de la semejanza en la vida real. Sensibilidad y gusto por la realizacin sistemtica y presentacin cuidadosa y

ordenada de trabajos geomtricos.Las destrezas que pretendemos desarrollar son:

Identificar lados proporcionales en polgonos

Construccin de segmentos proporcionalesRespecto a los razonamientos que se pueden considerar:o Deductivo

Identificar polgonos semejantes Aplicar los criterios de semejanza Clculo de la relacin entre reas y permetros de polgonos semejantes y entre

volmenes de cuerpos semejanteso Inductivo

Establecer la relacin entre las razones de permetro, rea y volumen de polgonosen relacin de semejanza

o Figurativo

Representacin a escala de un objeto de la realidad Dibujar un polgono semejante a otro dada la razno Clculo de la razn de semejanza entre figuras o polgonos semejanteso Resolucin de problemas de tringulos semejanteso Obtener la escalao Clculo de distancias, reas y volmenes en mapas, planos y maquetas interpretando

el concepto de escalaPor ltimo, las estrategias son:

o Construccin de polgonos semejanteso Desarrollar la capacidad de construccin grfica que se deriva del teorema de Thales:

Clculo de distancias y alturas inaccesibles usando el teorema de Thales

Clculo de la longitud de un segmento en tringulos en posicin de ThalesEn relacin con las competencias bsicas, en nuestra unidad trabajaremos las

siguientes:

Razonamiento matemtico:

Aplicar destrezas y desarrollar actitudes para razonar matemticamente. Comprender una argumentacin matemtica. Expresarse y comunicarse a travs del lenguaje matemtico.

Conocimiento e interaccin con el mundo fsico y natural:

Discriminar formas, relaciones y estructuras geomtricas.


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Identificar modelos y usarlos para extraer conclusiones.

Digital y tratamiento de la informacin:

Manejar herramientas tecnolgicas para resolver problemas.

Aprender de forma autnoma a lo largo de la vida:

Ser capaz de comunicar de manera eficaz los resultados del propio trabajo.

4.3. Metodologa

Como ya hemos mencionado en la introduccin de este punto, centraremos todanuestra atencin en la importancia que tiene la semejanza en los fenmenos cotidianos. Paraello intentaremos llevar los conceptos al alumnado de forma que podamos relacionarlos conaspectos de la vida cotidiana y as podamos mantener su motivacin. En vez de realizar unasola sesin de motivacin, hemos decidido ir motivando, recordando, afianzando y ampliandocada concepto a lo largo de la unidad. Cada sesin la vamos a terminar afianzando loaprendido y en algunas ocasiones adelantando lo que veremos en la siguiente, de forma que elalumnado venga motivado y habiendo recordado algo, por lo que les ser ms fcil seguir laclase y participar en ella.

La metodologa que se seguir ser activa, con exposiciones tericas y realizacin denumerosas actividades y ejercicios que permitirn que los alumnos/as de una forma progresivaafiancen los conceptos, procedimientos y tcnicas matemticas. Por ejemplo, intentaremosque en cada sesin participen los alumnos realizando actividades en la pizarra e inclusoexplicando conceptos a partir de stas. Pretendemos en principio que en estas intervencionesel profesor intervenga lo mnimo, intentando que los alumnos/as se corrijan entre ellos.Realizaremos tambin una serie de actividades que elaborarn en grupo y entregarn al

profesor/a para su posterior correccin y evaluacin. Como actividades extra, propondremosdos trabajos de investigacin, con el objetivo de que comiencen a familiarizarse con labiblioteca y los buscadores de internet, as como con la contrastacin de la informacinobtenida. Por otra parte, tendremos en cuenta la diversidad de la clase, para atenderlos seentregarn ejercicios y actividades de refuerzo o ampliacin. Tambin se motivar laparticipacin en clase ya que se pretende que los escolares tengan una actitud abierta y crtica.De manera general, el esquema metodolgico de las sesiones ser el siguiente:

Realizacin de un resumen inicial (oral o en la pizarra) donde intervengan los alumnospara recordar lo que se explic en la sesin anterior.

Realizacin en la pizarra de alguna tarea propuesta y aclaracin de dudas del daanterior.

Explicacin de los conceptos matemticos con la presentacin de un problema queejemplifique los contenidos a tratar en la sesin.

Realizacin de tareas en clase. Propuesta de tareas para la siguiente sesin. En algunas sesiones, uso del ordenador para la representacin grfica de las

propiedades de las figuras semejantes o para su construccin.

4.4. Secuenciacin y organizacin de las tareas de la unidad didctica. Gestin

del aula

Vamos a describir la organizacin de las tareas de la unidad didctica. Las tareas se

realizarn en ocho sesiones de clase que en orden de ejecucin seran:


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1. Introduccin al co2. Construccin de fi3. Criterios de semej4. Relacin entre per5. Teorema de Thales

6. Escala7. Aplicacin al clcul8. Sesin de evaluaci

En el siguiente puntdentro de las actividades inisobre semejanza que debersignificados, como por ejemtengan que calcular la raencontraremos las tareas quThales. Entre las tareas de s

razn de semejanza entrdesconocidos o utilizar esta rPor ltimo, es necesario quesemejanza para resolver pro

Ejemplo:

Tarea: La casa y el perroObserva las siguientes figura

a)

1. Utilizando papel cuadricula2. Explicad un procedimiento3. Compara el rea de las fientre ellas?

Podramos incluir esta tarearazn y de figuras semejante

4.5 Descripcin de las se

Ya vimos en la secciclase, ahora desarrollaremogeneral temporal de cada selas necesidades del alumnaduso de los ordenadores, se m

cepto de figuras semejantes. Clculo de la razuras semejantesnza de tringulosmetros, reas y volmenes de figuras semejant

o de distancias inaccesiblesn

o, se describir el uso de un cuestionario quciales, ya que nos servir para revisar los conoan tener los alumnos. Se utilizarn tareas dlo, tareas donde tengan que dibujar figuras sezn de semejanza. Respecto a las tarease implican el uso de los criterios de semejanza

tesis destaco por ejemplo, una tarea donde ha

dos polgonos para despus calcular alazn para resolver algn problema.realicen actividades o problemas donde vean lalemas de la vida cotidiana.

:

b)

do ampla estas figuras al doble.que os permita reducirlas a la mitad y a la terceuras obtenidas en los apartados anteriores. Q

n la segunda sesin y podra servir para afianzay tambin para que dibujen figuras semejantes

siones de la unidad didctica

n de metodologa como iban a llevarse a cabocho sesiones, aunque antes vamos a descri

in teniendo en cuenta que dicha distribucin sen cada momento. En las sesiones donde teng

odificar la distribucin.

30

de semejanza

s

podemos incluircimientos previos

construccin deejantes o dondede ejercitacin,

o del teorema deya que calcular la

unos segmentos

importancia de la

a parte.u relacin existe

los conceptos de.

o las sesiones deir la distribucin

er flexible segnamos planeado el


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Intenciones y justificacin deEsta sesin es de in

destinar a recordar o ensesesiones.

Secuencia de tareas:

Tarea 1: Cuadrilteros (Tarea

Comprueba que las siguiente

Material o recurso necesario:

Gestin del aula: El trabajo,aunque se intentar que losque acaban de aprender.

Esta tarea, la realizaren la seccin: en ella debelados homlogos son pro

conceptos bsicos del tema.matemticas ante sus compade lados homlogos y la faltafiguras sean semejantes.

Tarea 2: Las Meninas (Tarea

Queremos hacer una fotocoindica.a) Mide y completa.

b) Calcula el porcentaje quec) Cul sera la razn de se

la planificacin de la sesin:iciacin y/o repaso de contenidos del 2 cursr a los alumnos los conceptos bsicos para abo

inicial, Duracin aproximada: 10 min.)

s figuras son semejantes y calcula la razn de se

Lpiz y papel.

al ser la primera actividad, lo realizar el profalumnos colaboren para que pongan en prc

emos como ejemplo despus de explicar los coos comprobar que los ngulos homlogos sonorcionales, as intentaremos que manejen

dems, pretendemos desarrollar su capacidaderos. Algunos errores que podemos encontrarde verificacin de las condiciones que deben d

e clase, Duracin aproximada: 10 min.)

pia reducida de esta lmina, para que tenga

abra que introducir en la fotocopiadora para hejanza entre las dos figuras?

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de la E.S.O., sedar las siguientes

ejanza:

sor en la pizarraica los conceptos

nceptos previstosiguales y que losy relacionen los

de expresar ideasson: la confusin

arse para que dos

l tamao que se

cer la reduccin.


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35

Gestin del aula: El trabajo ser individual aunque podrn consultar las dudas con sucompaero ms cercano. Pasados unos minutos, el profesor o algn alumno lo resolver en lapizarra.

Hemos elegido esta sencilla tarea, para que comprueben lo fcil que es dibujar figuras

semejantes con la ayuda de papel milimetrado. Adems, comenzaremos explicando el caso enque la ampliacin es al doble porque es un trmino ms familiar para ellos. En esta tarea sepueden cometer algunos errores segn el procedimiento que los alumnos sigan para suresolucin, por ejemplo, que amplen o reduzcan slo usando una dimensin y no las dos.

Tarea 2: Figuras con Geogebra (Tarea de clase, Duracin aproximada: 35 min.)

1. Dibuja un polgono con Geogebra y dibuja su semejante usando la opcin homotecia.Previamente, define un deslizador que usaremos como razn.

2. Construye la siguiente tabla:Lado 1 Lado 2 .. rea

Lado 1 Lado 2 reaLado 1/ Lado 1 Lado 2/ Lado 2 rea/ rea

3. Mueve la razn en el deslizador y cualquier punto del polgono inicial y observa lo queocurre en los valores de la tabla y en el otro polgono.

4. Mide y observa la relacin entre los ngulos de los distintos polgonos que se forman.

Material o recurso necesario: Ordenador.

Gestin del aula: Las tareas sern llevadas a cabo por parejas bajo la supervisin del profesor ydespus de la explicacin del procedimiento.

La importancia de esta tarea radica en que los alumnos sean capaces de familiarizarse

con las nuevas tecnologas. En este caso, podremos ver propiedades de figuras semejantes queslo pueden verse utilizando este programa. Otro aspecto interesante, es la colaboracin quedebe existir entre ambos compaeros para realizar el ejercicio. Como posibles errores puedensurgir problemas relacionados con el uso del programa.

Tarea 3: Figura reducida (Tarea para casa)

Completa la figura y escribe la razn de semejanza que transformaA en B.

Material o recurso necesario: Regla, lpiz y papel.

Gestin del aula: El trabajo lo realizar cada alumno en casa y se entregar o corregir en lasiguiente sesin.


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En esta tarea, pretendemos que comparen la proporcionalidad de segmentos para queaverigen cunto vale la razn de semejanza, es una tarea inusual en la que dadas las figurassobre la cuadrcula deben ser capaces de dibujar y de calcular la razn. La dificultad de reducirla figura radica en las lneas oblicuas que no coinciden con los cuadrados de la cuadrcula.

Sesin 3: CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOSEsta tercera sesin parte de la explicacin terica de los criterios de semejanza detringulos. Recordemos que habamos comenzado definiendo la semejanza de figuras, despusla semejanza de polgonos y ahora concretamos definiendo la semejanza de tringulos.Despus de la exposicin terica y del resumen de la sesin anterior, comenzaremosrealizando algunas tareas para que los alumnos aprendan a aplicar los criterios a tringulospara resolver problemas de aplicacin a la vida cotidiana.

Contenidos y objetivos de la sesin:Concepto: Criterios de semejanza entre tringulos.

Razonamiento: Aplicar los criterios de semejanza (deductivo).

Objetivo a desarrollar:

5. Reconocer tringulos semejantes utilizando los criterios de semejanza.

Sistemas de representacin utilizados: Verbal, simblico y grfico-numrico.

Intenciones y justificacin de la planificacin de la sesin:Esta sesin es quizs una de las ms tericas de nuestro tema, a pesar de ello, vamos a

intentar mediante la realizacin de problemas que comprueben la aplicacin de la semejanzaen la vida cotidiana. La relacin con la sesin anterior es obvia porque estamos analizando un

caso concreto donde nuestros polgonos son tringulos. Respecto a la siguiente sesin,veremos la relacin existente entre la semejanza y el permetro, rea y volumen por lo quetanto en esa como en otras es posible que tengamos que usar algn criterio para resolverproblemas.

Secuencia de tareas:

Tarea 1: Son semejantes los tringulos? (Tarea inicial, Duracin aproximada: 10 min.)

En cada uno de los siguientes apartados se dan las medidas de los tres lados o de dos ngulosde dos tringulos, Ty T. Comprueba si son semejantes:

a) T: 3 cm, 4 cm y 5 cm y T: 9 cm, 12 cm y 15 cm.b) T: 3 cm, 5 cm y 6 cm y T: 15 cm, 25 cm y 4 cm.c) T: 30, 80 y T: 70, 30.d) T: 90, 20 y T: 70, 50.

Material o recurso necesario: Lpiz y papel.

Gestin del aula: Los dos primeros apartados sern realizados a modo de ejemplo por elprofesor en la pizarra, el resto del ejercicio ser realizado por cada uno de los alumnos enclase.

Al ser la primera tarea, pretendemos que simplemente apliquen los criterios teniendoen cuenta los lados y ngulos homlogos de los tringulos. El error que puede darse es queconfundan o mezclen criterios.


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Tarea 2: Antena (Tarea de cla

Una antena de comunicaciinclinacin. Tres de los cablcomo indica la figura. Con los


Gestin del aula: La activida

capaces de resolver dudas mla pizarra.

El objetivo de esta taque ocurren a diario. Respcomprobar que tringulos slados homlogos para calculque calculen la distancia pederror puede ser que no sean

Tarea 3: La torre (Tarea de cl

Para calcular la altura de unadespus, retrocede hasta qucontinuacin, toma las meproblema.


Gestin del aula: La actividacapaces de resolver dudas mla pizarra.

El inters y los errore

se, Duracin aproximada: 10 min.)

nes se sostiene mediante cuatro cables ques estn amarrados al suelo, y el cuarto, al tecdatos de la ilustracin, calcula la altura de la an

Lpiz y papel.

d ser realizada por parejas con el fin de qu

ediante la comunicacin. Un tiempo despus, l

rea es que comprueben la utilidad de la semejacto a la resolucin, hay que destacar que en semejantes y el segundo es aplicar la propoar la distancia que queremos. Este puede serida sin antes comprobar que los tringulos sonapaces de averiguar que tringulos son semeja

ase, Duracin aproximada: 10 min.)

torre, Mara clava en el suelo un listn de trese coinciden en la visual los extremos del listidas que ves en la ilustracin. Con esos d

Lpiz y papel.

d ser realizada por parejas con el fin de quediante la comunicacin. Un tiempo despus, l

s de esta tarea son similares a los de la anterior.

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tienen la mismaho de una casetaena.

entre ellos sean

corregiremos en

za en situacionesl primer paso esrcionalidad de losn error, es decir,semejantes. Otrotes.

etros de altura y,y de la torre. A

atos, resuelve el

entre ellos seancorregiremos en


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Tarea 2: El circo (Tarea inicia

Cul es la altura del siguiencirco, desde ah al final de ltambin sabemos que la altu


Gestin del aula: La actividad

A pesar de que en lque con los datos del problepara llegar a tener tringuloprincipal puede ser que no sque con el dibujo no distinga

Tarea 3: La estatua (Tarea d

Cunto mide el alto de la es


Gestin del aula: La activcorregiremos en la pizarra.

La diferencia entre elo que simplemente debenThales.

Podemos situar las tsocial y personal.

Sesin 6: ESCALAEsta sesin es una de

de nuestro tema, ya que, elaspectos de la vida cotidiana.Queremos que el carcter

concepto de escala vamos

l, Duracin aproximada: 10 min.)

e circo? Sabemos que desde nuestra posicin es escaleras hay 11 m y desde este punto al fia de las escaleras son 5,3 m.

Lpiz y papel.

ser realizada a modo de ejemplo por el profes

descripcin de la tarea hemos incluido el dibma los alumnos sean capaces de desarrollar las en posicin de Thales y poder as aplicar elan capaces de llegar a realizar el dibujo correclos tringulos que estn en posicin de Thales.

clase, Duracin aproximada: 15 min.)

atua del dibujo?

Lpiz y papel.

idad ser realizada individualmente. Un tie

ta tarea y la anterior, es que en esta hemos inclaveriguar que tringulos son semejantes usan

reas anteriores dentro de dos contextos seg

las ms importantes desde el punto de vista deuso de mapas, maquetas y planos es impresci

e esta sesin sea prctico, por lo que, desp

comenzar a realizar ejercicios. Durante la l

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tamos a 10 m delal del circo 9 m,

r en la pizarra.

ujo, pretendemoscapacidad grficateorema. El erroramente o incluso

po despus, la

uido el dibujo poro el teorema de

el Informe PISA:

la fenomenologadible en muchos

s de explicar el

tima media hora,


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Gestin del aula: Los alumnasignada. Pasados unos minu

La tarea anterior tieprincipales conceptos del te

La mayora de las ta(Uriondo, Prez y Garca, 200

Para finalizar esteanteriormente se desarrollaactividad grupal, encontramsesin siete, nos dedicamosque pretendemos desarrollaSimblico y Herramientas tEvidentemente, hay competpresentes en ms de una sesi

Sesin 8: SESIN DE EVALUA Esta sesin cerrarcontinuacin. El control lo rese sienten en mesas separadexamen corregido y se resolvEn el siguiente punto, vamos

CONTROL: PERMETROS, R

NOMBRE Y APELLIDOS: ____

1. El radio de la base de un ca) Calcula el volumen de dicb) Qu volumen tendr unc) RAZONA si el cono origin

7,2 cm.

2. Sabiendo que la distanciaa) La distancia real (en lnea rb) La distancia real entre Ma

Lpiz y papel.

os realizarn la actividad con la ayuda de la ptos, se corregir.

e como finalidad mostrar a los alumnos comoa en situaciones cotidianas para calcular alturas

reas expuestas anteriormente pueden consult8) y (Colera y Gaztelu, 2007).

partado, destacar que en algunas sesionescompetencias PISA: por ejemplo, en la sesin

s competencias como ComunicaryArgumentaa realizar problemas de aplicacin por lo queson Resolver Problemas y Modelizar. Las comp

ecnolgicas se pondrn de manifiesto en laencias como Pensar y Razonar y Representarn.

INel tema con la realizacin del examen que

alizaremos en una hora de clase e intentaremos para evitar que se copien. En la siguiente sesi

er en la pizarra con la ayuda de todos.a realizar la justificacin de la eleccin del exam

AS AY VOLMENES. SEMEJANZA 4E.S.O.

______________________________________

no mide 3,5 cm y su generatriz 8 cm.ho cono.cono semejante a l con razn de semejanza 5?al es semejante a otro cuyo radio mide 7 cm y c

n lnea recta entre Sevilla y Madrid es de 380 kecta) entre Madrid y Valencia.rid y Barcelona pasando por Zaragoza.

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areja que tengan

ueden usarse losinaccesibles.

arse en los libros

de las descritasseis, al realizar lay Justificar. En la

las competenciasetencias Lenguaje

segunda sesin.ue pueden estar

expondremos aque los alumnos

n, se entregar el

en.

____

ya altura mide

, calcula:


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4. Aplicar la razn de semejanza en el clculo de permetros y reas de polgonossemejantes y de volmenes de cuerpos semejantes.

5. Encontrar cuerpos semejantes conocida la razn de semejanza.6. Calcular longitudes en tringulos utilizando el teorema de Thales.7. Calcular distancias, reas y volmenes en mapas, planos y maquetas interpretando el

concepto de escala.8. Manejar herramientas tecnolgicas para resolver problemas.

Estas capacidades, sintetizan el conjunto de objetivos de aprendizaje que hemos descritoanteriormente. Asimismo, brindan informacin acerca del desarrollo de las competencias PISA.

Instrumentos de evaluacin:La variedad de capacidades a evaluar que hemos propuesto y su diferente nivel de

complejidad, hace que no se deba pretender evaluar todo a travs de un mismo tipo deprueba. Por tanto, utilizaremos diversos instrumentos de recogida de informacin, como sonlos siguientes:

La observacin directa de la actividad del alumno/a, de su inters y de sucomportamiento ante la clase. Podemos evaluar su participacin en clase, ya seatrabajando con sus compaeros (actividades por parejas o actividad grupal) o haciendopreguntas y sugerencias sobre el tema.

La revisin del trabajo diario, mediante el cuaderno de trabajo, se observar que estcompleto, aseado, con explicaciones razonadas, etc.

La correccin de los trabajos de los alumnos/as, individuales (tareas para casa otareas de clase) o colectivos.

Prueba escrita: Abarcar el contenido visto en las sesiones anteriores.

Ponderacin de los instrumentos de evaluacin:

La nota final del tema se confeccionar con los siguientes criterios: Prueba individual: 60% Trabajo escrito: 20% Trabajo diario: 10% Actitud: 10%

Vamos a realizar la justificacin de la eleccin de las preguntas del examen expuestoen el punto anterior, esta eleccin se debe a algunas razones que podemos clasificar segn lossiguientes apartados:

Los contenidos

Respecto al orden de los contenidos, comenzamos con la pregunta relativa a larelacin existente entre volumen y semejanza, luego aparece la escala, los criterios desemejanza y finalmente los problemas de clculo de alturas inaccesibles. Hemos cambiado elorden de aparicin de los conceptos para que no fuese el mismo que en las sesiones de clase.En virtud de los procedimientos estamos pasando de un ejercicio sencillo y mecnico en losclculos a otro algo ms complejo pero mecnico y que aade interpretacin a la actividad enfuncin de la escala. En la tercera tarea volvemos a un ejercicio rutinario de aplicacin decriterios para acabar en las ltimas preguntas con problemas un poco ms complejos porquenecesitamos un grfico para resolverlos.

La complejidad

Podemos destacar aqu que las tareas no siguen un orden creciente de complejidad,empezamos con una tarea de reproduccin ya que se trata de clculos y procedimientos


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3. Vuelve a hacer lo mismo con la mitad que tienes ahora, qu observas? Comprueba si sesigue conservando la misma relacin entre las hojas de papel tamao A4 y las de tamaoB2.

4. Por ltimo, dibuja en el mismo papel cada una de las dimensiones que has obtenido en losapartados anteriores y busca informacin sobre la construccin de los DIN.


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de manera errnea con la semejanza o dejan la pregunta en blanco. Algunos ejemplos de estasfueron:

1. Que al aumentar o disminuir la figura no cambia su forma2. Son 2 figuras que miden lo mismo, es decir, que su rea mide lo mismo3. Son iguales lo que pasa que la de la derecha es el doble de la grande

4.

Son dos figuras que son iguales o que tienen la misma utilidad aunque el tamaovare5. Las figuras que son iguales, o una figura es el doble de la otra.6. Son figuras que son parecidas y que no se diferencian casi en nada o que son iguales

pero de distinto tamao pero de la misma forma

Comprobamos que la primera respuesta es vlida porque bsicamente da la definicincorrecta y adems se expresa con claridad, sin embargo, la segunda respuesta adems de serincorrecta est mal expresada e informa de que para ese alumno medir una figura es lo mismoque medir la superficie de la figura. Desde el punto de vista de la competencia de Comunicar,el primer alumno la habra alcanzado pero el segundo no. Respecto a la tercera respuesta,parece ser que compara las figuras (el perrito y su doble) de la pregunta anterior pararesponderla. En la cuarta, el alumno responde en trminos de utilidad y de tamao, pero notiene ningn sentido desde nuestro tema. Comparando la quinta y la sexta respuesta, la quintaes correcta aunque no da la definicin general y la sexta mezcla ideas que sugieren que notiene claro el concepto y adems est mal redactada, as que desde la competencia de

Argumentar y Justificar comprobamos que no son capaces de redactar frases largas concoherencia y que no utilizan trminos matemticos.

Pregunta 4:

Podemos enmarcar las respuestas en las siguientes: (A) poner ejemplos que aluden asituaciones personales de la vida cotidiana, (B) poner ejemplos que aluden a situaciones

sociales de la vida cotidiana, (C) hacer dibujos de objetos semejantes y (D) dejarlo en blanco.Las respuestas clasificadas segn los porcentajes son: (A) 13,3 %, (B) 20%, (C) 20% y (D) 46,6%.Quizs por ser la pregunta ms complicada de todas, la mayora la ha dejado en blanco. Elresto de respuestas, desde mi punto de vista, no tienen especial inters porque aunquealgunas son correctas no la han explicado o son respuestas que pueden englobar muchosaspectos. An as, las hemos clasificado segn las situaciones recogidas en el Informe PISA(OCDE, 2005), exponemos los siguientes ejemplos: En la arquitectura, En los azulejos,Repartiendo una tarta, Al comprar queso, La ropa, etc.

5.4 Conclusiones

Una vez analizadas las preguntas comprobamos que el cuestionario se podra mejorarpara que la informacin extrada sea ms til e interesante. La primera pregunta parece queno ha tenido mucha dificultad para ellos pero creo que es importante por la informacin queofrece, aunque es cierto que puede condicionar las respuestas a las siguientes preguntas. Porejemplo, en la tercera pregunta algunos alumnos contestaron el doble, o figuras iguales ypuede que se fijaran en que los rectngulos que eran semejantes lo eran con razn desemejanza uno y dos. Respecto a la segunda, creo que es interesante comprobar que todas lasrespuestas se centraban en un solo cuadro de respuestas de los cuatro que ofreca el artculo,pero tambin demuestra que ningn alumno fue capaz de usar el mtodo del rea pararesolver el problema. La pregunta tres, es una pregunta muy genrica y eso hace que lainformacin extrada no sea concluyente, adems algunas respuestas podran estarcondicionadas por las preguntas uno y dos. De igual forma, la cuarta pregunta ofrece menosinformacin an, porque es abierta y porque los alumnos no tenan los ejemplos claros.


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6. CONCLUSIONES

Consideramos que en los ltimos aos la enseanza ha estado y est en la actualidadsometida a muchos cambios. Por una parte, el cambio en la actitud del alumnado que haceque las propuestas didcticas tengan que ser ms motivadoras si queremos lograr todos los

objetivos y por otro, la aparicin de las nuevas tecnologas y su uso en las aulas.La propuesta de unidad didctica que hemos realizamos es un modelo de enseanza yaprendizaje que se apoya en las nuevas tecnologas y en la importancia de la fenomenologa denuestro tema para mantener la motivacin del alumnado. Incide en las propuestas prcticascon actividades y metodologa que facilitan el aprendizaje mediante el trabajo en grupo paraanalizar, tomar decisiones, llegar a acuerdos ante los retos que plantean las distintasactividades. Otro aspecto a destacar teniendo en cuenta el difcil curso en el que nos situamos,es la evaluacin. Por ello, en la propuesta hemos intentando utilizar diversos recursos para quelos alumnos pudieran alcanzar los objetivos a travs de varios caminos, dndoles as msoportunidades e intentando mantener su motivacin a lo largo del tema.Tambin hemos considerado oportuno relacionar la semejanza con otros temas, por ejemplo,

recordando los principales polgonos y cuerpos geomtricos o la proporcionalidad numrica. Elinterrelacionar unos temas con otros ayuda tanto a intervenir con mayor profundidad en elpropio como a conseguir una visin global y una estructura general de la matemtica. A travsde percibir unos temas dentro de otros el alumno ser capaz de entender el conocimientocomo un todo y la utilidad de poseer saberes previos para afrontar el aprendizaje de losnuevos.

Para la realizacin de la unidad didctica ha sido imprescindible toda la informacinrecogida en el anlisis didctico del tema expuesto en el punto tres y la experiencia adquiridaen mi poca de prcticas, ya que, durante la misma tuve la suerte de poder explicar el tema desemejanza. De esta forma, mediante la realizacin del cuestionario descrito en el puntoanterior hicimos una exploracin de los conocimientos del alumnado para luego construir una

unidad didctica basndonos en ellos que ha sido til para la realizacin de la unidad aquexpuesta. Obviamente he utilizado muchas de las ideas que aprend mientras estaba con ellos,he perfeccionado algunos ejercicios que llev a la prctica y he desechado algunos que fueroninnecesarios porque no les aportaron nada.

Pienso que este trabajo se puede llevar a las aulas porque ha surgido precisamente dela depuracin del trabajo que ya se hizo en una, la experiencia no fue mala por lo que piensoque con las mejoras realizadas se puede contribuir a la obtencin de unos mejores resultados.Respecto al tiempo quizs sea bastante ajustado, he descrito ocho sesiones queaproximadamente equivaldran a dos semanas de clase aunque en la prctica probablementeharan falta algunas sesiones ms. Como aspectos positivos destacara las diferentes tareas, lastareas en parejas o en grupo y como negativos el poco uso que le damos al ordenador a pesar

de que el tema se presta a ello. Tambin hubiera sido interesante realizar alguna tarea fueradel centro para que los alumnos entendieran en la prctica las aplicaciones de la semejanza.Un aspecto fructfero del trabajo es la investigacin realizada, lo que comenz como

un simple cuestionario para ver los conceptos conocidos por los alumnos se convirti en unaimportante fuente de informacin. Me pareci bastante complejo aunque interesante elprocedimiento seguido para llegar a los resultados mediante el anlisis de las respuestas, estosignific tomar consciencia de lo difcil que es realizar alguna investigacin por todos loscaminos que pueden tomarse.

Como conclusin final, valoro positivamente la formacin adquirida en el mster sobretodo en mi poca de prcticas donde tuve la oportunidad de poner en prctica toda la teoraaprendida durante los mdulos anteriores. Espero que a travs de este trabajo fin de msterhayan quedado reflejados los conocimientos y competencias que he adquirido.


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7. BIBLIOGRAFA

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a) Calcula las dimensiones del apartamento y de cada una de las estancias que lo componen.

b) En la pared de la ventana de la cocina se quiere poner un mueble de 90 cm de ancho ymuebles de 60 cm de ancho. Cuntos muebles de 60 cm se pueden colocar? Cunto espacio

sobra?19. Calcula la distancia que hay en lnea recta entre:

a) Huelva y Almera.

b) Cdiz y Jan.

c) Sevilla y Mlaga.

d) Granada y Crdoba.

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