Unidad Didáctica

4º ESO C y T – Trigonometría

Mario Bleda Pérez

18/04/2012

El siguiente documento consiste en la Unidad Didáctica sobre la Trigonometría impartida durante cuatro semanas para la asignatura de Matemáticas al Grupo 4ºESO–C perteneciente a la rama de Ciencia y Tecnología del Instituto La Torreta de Elche.

Tabla de contenido Unidad Didáctica .................................................................................................................................................. 0

1 Contexto .................................................................................................................................................. 2

2 Introducción ............................................................................................................................................. 2

2.1 Contribución a la adquisición de Competencias Básicas ................................................................ 2

3 Relación con los Objetivos Generales de Área ....................................................................................... 3

4 Objetivos Didácticos ................................................................................................................................ 3

5 Contenidos ............................................................................................................................................... 3

5.1 Conceptos ........................................................................................................................................ 3

5.2 Procedimientos ................................................................................................................................ 3

5.3 Actitudes .......................................................................................................................................... 3

6 Metodología ............................................................................................................................................. 3

7 Distribución Temporal .............................................................................................................................. 4

7.1 Introducción, Repaso de Semejanza y Tales. Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo. .... 4

7.2 Resolución de Ejercicios y uso de la Calculadora (2 sesiones en el mismo día) ........................... 6

7.3 Relaciones Trigonométricas Fundamentales .................................................................................. 8

7.4 Resolución de ejercicios de Relaciones Fundamentales .............................................................. 10

7.5 Razones Trigonométricas de 30º, 45º y 60º .................................................................................. 11

7.6 La Circunferencia Goniométrica .................................................................................................... 13

7.7 Resolución de Triángulos Rectángulos. ........................................................................................ 15

7.8 Cuarto Cuadrante de la Circunferencia Goniométrica y las razones de ...................... 17

7.9 Resolución de Triángulos Oblicuángulos ...................................................................................... 19

7.10 Resolución del primer examen de prueba ..................................................................................... 20

7.11 Resolución del segundo examen de prueba ................................................................................. 20

7.12 Prueba de Evaluación .................................................................................................................... 21

8 Criterios de Evaluación .......................................................................................................................... 22

9 Temas transversales ............................................................................................................................. 22

9.1 Educación en la Igualdad de Género ............................................................................................ 22

10 Tratamiento de la diversidad. Actividades de refuerzo y de ampliación ............................................... 22

11 Material Didáctico .................................................................................................................................. 22

1 Contexto

La presente unidad didáctica la preparé a lo largo de mi segunda semana en el IES La Torreta. Se ha preparado atendiendo a las necesidades educativas del grupo de mi Profesor Tutor Lorenzo Díaz López, 4º ESO – C, perteneciente a la rama de Ciencia y Tecnología. Este grupo se compone de facto de 22 alumnos (oficialmente tiene 24 pero dos abandonaron) y, si bien el nivel académico no es elevado, el ambiente de convivencia y el comportamiento son excelentes.

No hay en el aula ningún ANEE, pues todos los alumnos inmigrantes llevan bastantes años incorporados al sistema educativo español y dominan, por lo menos, la lengua castellana; además no se me ha informado de que haya ningún alumno con problemas de aprendizaje.

El momento en el que se desarrolla es de la segunda semana de Febrero a la primera de Marzo y mi llegada al grupo para “sustituir” a su profesor no es demandada ni deseada, pero tampoco se mostró rechazo. Ha de tenerse en cuenta que impartir esta unidad didáctica al grupo anteriormente descrito supone irremediablemente un cambio en el ritmo del proceso de enseñanza-aprendizaje y que, por tanto, los alumnos se pueden ver afectados negativamente al verse obligados a adaptarse a un nuevo profesor. Este hecho ha regido gran parte de las decisiones que he tomado en cuanto a la forma de preparar, impartir y evaluar la Unidad Didáctica, procurando ceñirme lo mejor posible al ritmo y sistema de trabajo, criterio de evaluación y materiales de los que disponen, principalmente el libro de texto.

2 Introducción

En esta unidad los alumnos aprenderán reconocer los elementos de los triángulos rectángulos, las razones trigonométricas y sus relaciones fundamentales, la Circunferencia Goniométrica y sus aplicaciones. También deberán aprender a utilizar las funciones correspondientes a la trigonometría de sus calculadoras científicas. Es una unidad didáctica, que en principio es de las más duras del curso, nos permite proponer actividades cercanas al mundo físico del alumno, ya que podemos tratar los problemas de alturas, distancias y lugares inaccesibles.

Comenzaremos repasando el concepto de semejanza y sus propiedades. Pasaremos a estudiar las razones trigonométricas y su aplicación para resolver triángulos rectángulos. Después estudiaremos las relaciones fundamentales de las razones trigonométricas y a continuación los valores de las mismas para los ángulos 30º, 45º, 60º, 0º y 90º. De nuevo y a partir de actividades previas, explicaremos la Circunferencia Goniométrica y la resolución de triángulos oblicuángulos.

2.1 Contribución a la adquisición de Competencias Básicas

La adquisición de la competencia matemática es obvia, puesto nuestra pretensión es que el alumno adquiera la capacidad de desarrollar el pensamiento matemático, pudiendo llegar a interpretar la realidad, describirla y actuar sobre ella.

Para que el alumno pueda encontrar sentido a la serie de nuevos conceptos, deberemos transmitirle la necesidad que ha tenido el ser humano de comprender y explicar el mundo que nos rodea. Un mundo en permanente cambio y del cual formamos parte. Hecho que por un lado nos obliga a adaptarnos a él, y por otro nos descubre nuestra capacidad de modificarlo e interactuar, tanto en el ámbito social como en el natural. Este enfoque será el que ayude a profundizar en el conocimiento e interacción con el mundo físico. Si bien el concepto de razón trigonométrica puede resultarles una abstracción difícil de comprender, no así el de semejanza y proporción. La teoría desarrollada a lo largo del tema es fundamental para que las personas nos podamos desenvolver en el mundo físico y comprender las relaciones entre ángulos y distancias, el espacio, etc.

El fomento y la adquisición de las competencias de autonomía e iniciativa personales, así como la competencia de aprender a aprender se estimulará por medio de la resolución de problemas, modelización de los mismos, su representación simbólica, así como la selección de las características relevantes de una situación real y las estrategias más efectivas y apropiadas para acometerlos. También el uso de las herramientas tecnológicas contribuirá en este caso a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes.

3 Relación con los Objetivos Generales de Área

Intentaremos desarrollar todas las capacidades contempladas en los objetivos generales del área de matemáticas, incidiendo especialmente en:

1. Incorporar al lenguaje y modos de argumentación habituales las distintas formas de expresión matemática (numérica, gráfica, geométrica, lógica, algebraica y probabilística) con el fin de comunicarse de manera precisa y rigurosa.

4. Elaborar estrategias personales para el análisis de las situaciones concretas y para la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados.

7. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la belleza que generan.

4 Objetivos Didácticos

1. Definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. 2. Obtener las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas. 3. Resolver triángulos rectángulos y problemas relacionados con ellos. 4. Saber obtener las soluciones de ecuaciones trigonométricas. 5. Obtener las razones trigonométricas de un ángulo por medio de la Circunferencia Goniométrica. 6. Resolver triángulos oblicuánculos y problemas relacionados con ellos.

5 Contenidos

5.1 Conceptos

1. Semejanza y Teorema de Tales. Definiciones de las Razones Trigonométricas. 2. Relaciones Trigonométricas Fundamentales 3. Razones Trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º. 4. Resolución de Triángulos Rectángulos. 5. Resolución de Triángulos Oblicuángulos. 6. La Circunferencia Goniométrica. Ángulos de 0º a 360 y sus Razones Trigonométricas (Signo).

Razones Trigonométricas de Ángulos mayores de 360º.

5.2 Procedimientos

1. Utilización de fórmulas en la resolución de problemas sobre triángulos y áreas. 2. Resolución de problemas trigonométricos aplicando las razones trigonométricas. 3. Uso adecuado de la calculadora. 4. Representación matemática de situaciones utilizando diferentes lenguajes (verbal, gráfico y

numérico), estableciendo correspondencias entre los mismos.

5.3 Actitudes

1. Sensibilidad, interés y valoración del uso de la trigonometría como herramienta fundamental en la resolución de ciertos problemas de geometría en el mundo físico.

2. Valoración de la precisión y de la claridad en el planteamiento de problemas. 3. Gusto por la transparencia de los cálculos realizados.

6 Metodología

Las sesiones normales comenzarán con la corrección de las actividades propuestas para casa, salvo en el caso en que el tiempo no nos permita más que la corrección de alguna o algunas de ellas.

A continuación se propondrá una actividad de motivación, de manera que nos permita introducir los nuevos conceptos, explicando en la pizarra, mediante alguna proyección y, en algunos casos, dictando. La idea es que los alumnos puedan, mediante la resolución y/o explicación de dichas actividades, comprender los conceptos, ayudados de una explicación del profesor.

Para reforzar los conceptos nuevos, una vez explicada la actividad que nos llevó a los mismos, se propondrán unas actividades parecidas a la anterior, de manera que la resuelvan de forma individual o por parejas. El profesor deambulará por la clase para resolver dudas que surjan, y para controlar que los alumnos realizan la tarea. En cada una de las sesiones hay suficientes actividades para que ningún alumno

esté parado sin hacer nada, es necesario que estén siempre trabajando, preguntando al profesor en caso de dudas.

Las sesiones terminan proponiendo trabajo para casa. El trabajo para casa se mandará de la siguiente manera: al comienzo de la unidad, se pasa una ficha a cada alumno con todas las actividades, de manera que al finalizar la sesión, no tengamos que perder tiempo de la misma, para proponerlos en la pizarra. La idea es, por tanto, decirles las actividades que se han de realizar para ese día.

El tratamiento de la diversidad consistirá en pedir a los alumnos que entreguen algunos de los ejercicios mandados para casa, ejercicios que entregarán en hojas aparte. De esta manera se podrá diagnosticar, junto con las actividades resueltas en clase por ellos, y por medio de preguntas realizadas de forma particular, qué alumnos necesitan las actividades de refuerzo y qué alumnos las de ampliación.

Las actividades de refuerzo y de ampliación irán al final de la hoja de ejercicios que se entregarán al comienzo de la unidad. De manera, que sólo habrá que indicar aquellos ejercicios (número correspondiente) que deben hacer.

7 Distribución Temporal

Esta unidad didáctica consta de doce sesiones. La distribución la haremos de la siguiente manera:

7.1 Introducción, Repaso de Semejanza y Tales. Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo.

7.1.1 Repaso En esta sesión pretendemos que el alumno recuerde el concepto de semejanza en triángulos y el

Teorema de Tales, a continuación introduciremos las definiciones de las razones trigonométricas. Para ello lo primero es proponer una actividad que, partiendo de lo conocido, nos conducirá al concepto de rezón trigonométrica.

Actividad 1: En el dibujo queremos medir la altura de la Torre Eiffel suponiendo que el campo de Marte es un Plano Horizontal. Para ello, procedemos así: Clavamos en el suelo una estaca vertical que sobresale 1 m. A continuación, corremos a señalar los extremos de las sombras de la estaca y de la Torre. Una vez señalados, procedemos, ya sin prisas, a medirlas y a anotar las medidas, observando los resultados que aparecen en las imágenes de abajo.

Solución:

Razonaremos que la estaca y su sombra forman un triángulo rectángulo así como la torre. Y preguntaremos por qué se han de dar prisa en señalar los extremos de las sombras.

Razonaremos entonces que ambos triángulos descritos son semejantes.

Comprobaremos entonces que, al cumplirse el Teorema de Tales, tendremos que:

De este modo explicamos que cuando dos triángulos tienen los mismo ángulos, las longitudes de sus lados son proporcionales y, por tanto, las razones de estos son las mismas.

Pasamos entonces a definir las razones trigonométricas de los triángulos rectángulos.

A

¿h?

A’’

B’’

600 m 2 m

1 m

B

7.1.2 Definiciones Para cualquier triángulo rectángulo definimos las razones trigonométricas como:

A partir de aquí comenzaremos a practicar el cálculo de razones trigonométricas:

Actividad 2: Halla las razones trigonométricas del ángulo α en cada uno de estos triángulos:

B

A C

25 m

7 m

11,6 m

8 m

32 m

60 m

Solución: Primero recordaremos el Teorema de Pitágoras y lo aplicaremos para hallar el lado desconocido. (Preferimos no introducir todavía el uso de la calculadora para las funciones inversas de las razones trigonométricas).

, ,

Solución: Resolveremos de manera análoga.

, ,

Solución: Resolveremos de manera análoga.

, ,

Trabajo para casa: a) Halla las razones trigonométricas del ángulo α en cada uno de estos triángulos:

b) Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos. (A = 90°)

o b = 56 cm; a = 62,3 cm o b = 33,6 cm; c = 4,5 cm o c = 16 cm; a = 36 cm

c) Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos. Halla en

cada uno las razones trigonométricas del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué observas?

d) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y C, ABD y CBD.

7.2 Resolución de Ejercicios y uso de la Calculadora (2 sesiones en el mismo día)

Esta sesión y la siguiente la vamos a dedicar a la corrección de los ejercicios propuestos para casa junto con más actividades y también introduciremos el uso de la calculadora como herramienta útil. La correcciones realizarán sacando a voluntarios a la pizarra.

a) Primero:

H

A

B 23,04 cm cm

C

24 cm 7 cm

1,96 cm

15 m

3 m

3,3 m

1,2 m

3,3 m

1,2 m

15 m

3 m

D

B

C 16 cm

A

15 cm

Solución: Resolveremos.

, ,

Los introducimos en el uso de la calculadora:

Y les enseñamos a expresar el ángulo en sistema sexagesimal

Los siguientes ejercicios son similares y no los resolveré aquí.

11,54º SHIFT SEN 0,2 =

SHIFT COS 0,98 =

SHIFT TAN 0,2 =

11,54º

11,54º

11,54º º ‘ ‘’ = 11º 32’ 24’’

6,72 cm

12 cm

b) Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos. (A = 90°)

a. b = 56 cm; a = 62,3 cm

c) Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos. Halla en cada uno las razones trigonométricas del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué observas?

a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y C, ABD y CBD.

Solución: Primeramente hemos de representar gráficamente los datos e identificar los ángulos agudos. El resto del ejercicio es similar a los anteriores. Resolveremos.

, ,

, ,

Recurriendo a la calculadora también pueden hallar los ángulos agudos.

El ángulo se puede hallar (y es preferible) mediante la

fórmula que hemos de recordar:

Ya que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º

Los siguientes ejercicios son similares y no los resolveré aquí.

A

B

C

62,3 cm

56 cm

Solución: Aplicaremos el Teorema de Pitágoras a ambos triángulos para comprobarlo:

Luego es cierto que son triángulos rectángulos.

, ,

, ,

Que dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual son semejantes y, por tanto todos sus ángulos son iguales por los que también lo serán las razones trigonométricas. (Recordar el ejercicio de la Torre Eiffel).

H

A

B 23,04 cm cm

C

24 cm 7 cm

1,96 cm

6,72 cm

D

B

C 16 cm

A

15 cm 12 cm

Trabajo para casa

a) Completa la tabla siguiente, utilizando la calculadora:

15º 55º 20’ 72º 25’ 85,5º

b) Halla el valor de los ángulos y en su expresión sexagesimal así como sus razones trigonométricas.

7.3 Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Esta sesión, una vez corregidos los ejercicios mandados para casa y que aquí no haré, empezaremos mostrándoles las ecuaciones fundamentales de la trigonometría y realizaremos varios ejemplos numéricos como comprobación.

No las demostraremos, pero sí realizaremos ejemplos para comprobar que se cumple.

Solución: La dificultad de este ejercicio, una vez que se dominan las funciones de la calculadora, está en localizar y orientarse para aplicar las definiciones de las razones trigonométricas y las funciones de la calculadora para hallar lo que son pide:

Los valores de sen, cos y tg de un mismo ángulo no son independientes, sino que están relacionados, de tal modo que conociendo uno de ellos, podemos calcular 'los otros dos. Las relaciones que los ligan son las siguientes (se las suele llamar relaciones fundamentales):

Entonces pasaremos a resolver varios ejercicios:

Actividad: Si el calcula

Solución:

Actividad: Si el calcula

Solución:

Actividad: Teniendo en cuenta que halla el valor exacto de (sin calculadora)

Solución:

Trabajo para casa

a) Teniendo en cuenta que , halla el valor de y de mediante las relaciones

fundamentales. b) Completa la siguiente tabla. En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no

utilices su expresión decimal.

0,94 4/5

0,82

3,5 1

c) Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7.

7.4 Resolución de ejercicios de Relaciones Fundamentales

La resolución de los dos tipos de ecuaciones trigonométricas que veremos en el curso, pese a ser mecánicas, suelen costarle a los alumnos, sobretodo si no tienen destreza en las manipulaciones algebraicas. Solo realizaré uno de cada tipo aquí.

a) Teniendo en cuenta que , halla el valor de y de mediante las relaciones

fundamentales. Solución:

a) Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7.

Solución:

Si ; como tenemos que

Al ser una clase de resolución de ejercicios mecánicos no resolveré más aquí. La siguiente sesión del grupo es el mismo día a última hora (Sustituyéndose por ayudar al departamento de Orientación), pero no se dedicará a trigonometría, en cambio, se dedicará a repasar los temas anteriores, puesto que en el examen, de evaluación continua, contará un 50% la trigonometría y otro 50% de lecciones anteriores.

Trabajo para casa

7.5 Razones Trigonométricas de 30º, 45º y 60º

En esta sesión estudiaremos los triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos son 45°, 30° o 60°. Como muestra llevaremos varias escuadras y cartabones, objetos cotidianos para ellos. Así verán que son ángulos que aparecen con mucha frecuencia, por lo que resultan especialmente interesantes en geometría. Hallaremos las razones trigonométricas de estos ángulos.

Razones Trigonométricas 45º: Se les presentará una escuadra y realizaremos el siguiente razonamiento.

Razones Trigonométricas 30º y 60º: Partiremos de un triángulo equilátero y llegaremos a un “cartabón”.

Por lo tanto:

De modo que nos queda la siguiente tabla que deberá aprenderse:

30º 45º 60º

1

La hipotenusa de este triángulo rectángulo isósceles mide:

1

1

h

1 1

1

1

1/2

Trabajo para casa: Se les entregará el siguiente ejemplo de examen para que se vayan familiarizando con mi forma de

ponerlo, que se ha adaptado a la de mi profesor tutor. (Todavía no pueden resolverlos todos).

Examen de prueba

1.- Opera y simplifica (1punto):

2.- Factoriza (1 punto):

3.- Resuelve el siguiente sistema(1 punto):

4.- Representa Gráficamente (2 puntos):

5.- Halla el valor exacto de las razones trigonométricas de los ángulos agudos y (1 punto):

6.- Halla el valor de los ángulos y en su expresión sexagesimal así como sus razones trigonométricas. (1 punto):

0o 150

o 210

o 270

o 300

o

sen

cos

tg

8.- La distancia entre A y B es 762,1 m. Sabiendo que desde A se ve la torre Eiffel desde un ángulo de 300 y

desde B de 600, calcula la altura de la torre. (2 puntos):

a) b)

7.- Completa la siguiente tabla con ayuda de la circunferencia Goniométrica (sin calculadora). (1 punto):

A B

30o

60o

7.6 La Circunferencia Goniométrica

Este apartado, pese a que sería preferible verlo después de realizar más ejercicios, y haber visto antes otras secciones, por necesidades logísticas me he visto en la necesidad de verlo ahora y en la sesión del próximo viernes. Esta sesión se realizará mediante el uno de Internet y el proyector (que solamente dispongo de él lo lunes y los viernes). Accederemos a la siguiente dirección web.

A través de este soporte informático podré ir mostrando de una manera dinámica los valores de las razones trigonométricas de los ángulos comprendidos, en esta sesión, entre los 0º y 270º.

Segundo Cuadrante: sen + y cos - Primer Cuadrante: sen + y cos +

0º 30º 45º 60º 90º

0 1

1 0

0 1

Como iremos comprobando, la Circunferencia Goniométrica nos llevará a los mismos resultados mas otros nuevos. La extensión al segundo cuadrante se realizará tomando el eje OY como eje de simetría dándonos estos resultados.

120º 135º 150º 180º

0

-1

-1 0

−1

Segundo Cuadrante: sen + y cos - Primer Cuadrante: sen + y cos +

Tercer Cuadrante: sen - y cos -

La extensión al tercer cuadrante se realizará tomando el origen O como punto de simetría dándonos estos resultados.

210º 225º 240º 270º

-1

0

1

Trabajo para casa

a) Completa la siguiente tabla sin usar la calculadora.(Te puede ayudar dibujar la Circunferencia)

0o 150

o 210

o 270

o 225

o 135º 180º 240º

sen

cos

tg

−1

7.7 Resolución de Triángulos Rectángulos.

En esta sesión nos dedicaremos aplicar las definiciones y propiedades de las razones trigonométricas así como el repaso de semejanza, Teoremas de Tales y Pitágoras para ir resolviendo ejercicios y problemas de Triángulos Rectángulos planteados en el libro de texto.

Actividad: Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17 cm y 40 cm. Hallar los ángulos del triángulo.

Solución:

Solución: Primeramente hemos de representar gráficamente los datos e identificar los ángulos agudos.

Podemos hallar el ángulo a través de la tangente, puesto que tenemos ambos catetos:

=23,03º=23º 1’ 31”

Este resultado se obtiene mediante los siguientes comandos en la calculadora:

Para el ángulo el razonamiento es análogo, pero cateto opuesto y cateto contiguo estarán invertidos:

=66,97º=66º 58’ 28”

Este resultado se obtiene mediante los siguientes comandos en la calculadora:

Podemos comprobar que es correcto si, al sumar los tres ángulos obtenemos 180º o, igualmente, si al sumar los dos agudos obtenemos 90º.

que redondeando nos da 90º (Casi siempre que operemos con decimales con la calculadora obtendremos resultados aproximados).

Actividad: En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27º y la hipotenusa 46 m. Hallar los dos catetos.

Solución:

Como b es el cateto opuesto al ángulo 27°, tenemos que =20,88 m.

Análogamente para c, al ser el cateto contiguo al ángulo 27º, tenemos que:

SHIFT TAN 0,425 = º ‘ ‘’

SHIFT TAN 0,35 = º ‘ ‘’

46 X SIN 27 =

46 X COS 27 =

Actividad:

Iris está haciendo volar su cometa. Ha soltado 36m de cuerda y mide el ángulo que forma esta con la horizontal, 62º. ¿A qué altura se encuentra la cometa sabiendo que la mano de la niña, que la sostiene, está a 83 cm del suelo?

Solución:

A es la altura de la cometa por encima de la mano de la niña, que es el cateto opuesto al ángulo formado por la cuerda de la cometa (62º). Así que aplicamos la razón trigonométrica que relaciona estos tres valores, ángulo, cateto opuesto e hipotenusa, a saber, el seno del ángulo:

Ahora solamente falta añadir la distancia al suelo:

31,79 + 0,83 = 32,62 m

Actividad: ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado = 10 cm?

Solución: Este tipo de ejercicios lo resolveremos siguiendo este esquema:

Trabajo para casa:

Halla la medida de los lados y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (A = 90°): a) b =7 cm c= 18 cm b) a = 25 cm b =7 cm

c) b = 18 cm = 40°

d) c = 12,7 cm = 65°

e) a = 35 cm = 36°

Dividir 360º entre el número de lados (= nº de triángulos isósceles

Dividir el triángulo isósceles por la mitad para obtener uno rectángulo, por lo tanto dividimos también el ángulo superior entre dos.

360º/5=72º

72º/2=36º

36 X SIN 62 =

7.8 Cuarto Cuadrante de la Circunferencia Goniométrica y las razones de

Esta sesión también se realizará con la aplicación desarrollada con Geogebra y que se encuentra alojada en la misma web. Antes de dirigirnos al cuarto cuadrante directamente, daremos un repaso a los tres primeros.

Segundo Cuadrante: sen + y cos - Primer Cuadrante: sen + y cos +

Tercer Cuadrante: sen - y cos - Cuarto Cuadrante: senα - y cosα +

La extensión al tercer cuadrante se realizará tomando el eje OX eje de simetría dándonos estos resultados.

300º 315º 330º 360º

0

1

-1

Ahora que hemos descubierto como deducir las razones trigonométricas de los ángulos entre 0º y 360º, nos preguntaremos de qué manera se pueden calcular las razones trigonométricas de ángulos mayores de 360º. El método no es difícil; tendremos que dividir el ángulo que nos den entre 360º para saber las vueltas, pero habrá que tener cuidado, pues la división habrá de ser entera y, además, no podremos

simplificar en la división, es decir, que no es igual en el sistema sexagesimal que porque no es el

sistema decimal.

Ejemplo:

Trabajo para casa: En casa deberán hacer otro ejemplo de examen.

Examen de Matemáticas

1. Factorizar (1 punto):

2. Resuelve (1 punto):

3. Representa gráficamente la siguiente función (2 puntos):

4. Identifica el dominio, intervalos de continuidad, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos de

la función representada en el ejercicio anterior (1 punto):

5. Halla el valor exacto de las razones trigonométricas de los ángulos agudos y (1 punto):

a. b.

6. Halla la apotema de un octógono regular de 20 cm de lado (1 punto):

7. Representa en la circunferencia goniométrica los ángulos de la siguiente tabla y, con ayuda de la representación, deduce las razones trigonométricas de cada uno.(1 punto):

1200 180

0 240

0 315

0 1125

0

sen

cos

tg

8. Halla la longitud del lado b del triángulo.

430

7.9 Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Esta Sesión es la más compleja de todas, pero ello no resolveremos ejercicios y nos dedicaremos toda la hora a la resolución de problemas.

Ejemplo:

El siguiente triángulo no es rectángulo. Para obtener el lado desconocido, lo partimos en dos triángulos rectángulos con un lado común (por el vértice opuesto a la base):

Una vez que lo hemos dividido en dos triángulos rectángulos, vemos que el triángulo ABH es rectángulo. En él conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo. Podemos calcular los dos catetos:

Ahora podemos resolver el otro triángulo rectángulo:

Por Pitágoras podemos resolver que :

Ejemplo: (Estrategia de la Altura)

Si queremos resolver un triángulo no rectángulo para obtener el lado desconocido, lo tenemos que partir en dos triángulos rectángulos con un lado común:

La distancia entre A y B es 762,1 m. Sabiendo que desde A se ve la torre Eiffel desde un ángulo de 300 y

desde B de 600, calcula la altura de la torre.

A B

30o

60o

x m hasta la

torre

762,1-x m

h

H

B

6,72 cm

C

17 cm

A

14 cm a

480 h

x y

Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto mediante la estrategia de la altura. Consiste en elegir adecuadamente una de las alturas del triángulo de modo que, al trazarla, se obtengan dos triángulos rectángulos resolubles por separado o conjuntamente.

Ejemplo: Quieres conocer el ancho de un río y la altura de una torre que está en la orilla opuesta. Para ello, te sitúas frente a la torre y mides el ángulo que forma con la horizontal la visual a la parte alta de la torre (41°). Te alejas de l torre, en dirección perpendicular a la orilla, andando 25 m. Vuelves a medir el ángulo que forma con la horizontal la visual a la parte alta de la torre. Ahora son 23°.

Es muy importante hacer una buena representación. Llamamos x al ancho del río e y a la altura de la torre.

de esta manera tenemos que resolver un sistema de ecuaciones que podremos linealizar:

;

7.10 Resolución del primer examen de prueba

7.11 Resolución del segundo examen de prueba

Como las dos sesiones previas al examen consisten en la resolución de los ejercicios tipo de los ejemplos de examen, ya resueltos en su forma previamente, no los desarrollaré.

Y m

25 m X m

41º 23º

A B

7.12 Prueba de Evaluación

1. Factorizar (1,5 puntos):

2. Resuelve (1,5 puntos):

3. Representa gráficamente la siguiente función (2 puntos):

4. Halla el valor exacto de las razones trigonométricas del ángulo agudo (sin calculadora - 1 punto):

5. Halla el valor del ángulo en su expresión sexagesimal, halla también el valor de x e y. (1 punto):

6. Representa en la circunferencia goniométrica los ángulos de la siguiente tabla y, con ayuda de la representación, deduce las razones trigonométricas de cada uno.(sin calculadora - 1 punto):

1500 225

0 270

0 300

0 1830

0

sen

cos

tg

7. Desde el borde exterior de un foso podemos ver las almenas de una fortaleza en un ángulo de

600 y alejándonos 100 m en un ángulo de 30

0. Si sabemos que el foso tiene una profundidad

de 12,76 m, ¿Cuál es la altura de la fortaleza? ¿y la anchura del foso? Ayúdate del esquema

para resolverlo.

28,50

8 Criterios de Evaluación

9.Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas, y para las indirectas en situaciones reales.

10. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal, y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos de contexto real, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica.

9 Temas transversales

9.1 Educación en la Igualdad de Género

Se les propondrá un trabajo voluntario con el que podrán obtener hasta un punto adicional en la nota del tema. Dicho trabajo opcional consistirá en que realicen una búsqueda por internet de la vida de la primera profesora de universidad de la historia de Europa, la matemática Sofía Kovalevskaya. Dicho trabajo, si bien la información la deben buscar por Internet, deberán escribirlo a mano y ocupará un mínimo de un folio por una cara. Tendrán de tiempo para entregarlo hasta el Día de la Mujer Trabajadora (8 de marzo).

10 Tratamiento de la diversidad. Actividades de refuerzo y de ampliación

Desde la página 161 a la 165 del libro de texto hay una amplia colección de ejercicios del tema que, de necesitarlo cualquier alumno, se le recomendarán en función de sus necesidades especiales.

En el caso inusual de algún alumno que llegase a terminar inclusive estos ejercicios, se le indicaría la siguiente dirección web:

11 Material Didáctico

Podemos hacer uso, entre otros, de los siguientes materiales:

Calculadora científica

El libro de texto: EDUCACIÓN SECUNDARIA MATEMATICAS 4 OPCIÓN B, EDITORIAL ANAYA,

Internet, ordenador y proyector: o http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/buapp/GONIOSEN.html o http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/razones_trigonometricas

_bcnt/indicetri2.htm