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Unidad 8 Otros aspectos de la teoría de la información
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Unidad 8 Otros aspectos de la teoría de la
información
La codificación de Hamming y geometría descriptiva
El desarrollo de la teoría descriptiva lleva empieza desde
los axiomas de la geometría Euclidiana postulada en
300 A.C., la cual postulaba lo siguiente:
O Dados dos puntos distintos en el espacio, hay una
línea única que conecta a estos dos puntos.
O Dadas dos líneas no paralelas en el espacio, estas
intersectan en un punto único
O Dadas dos líneas distintas en el espacio, estas nunca
intersectan
El tercer punto en específico causó confusión. Una
revisión a los puntos anteriores dio lugar a la teoría
de la geometría descriptiva.
Axiomas de la geometría descriptiva:
O Dados dos puntos distintos en el espacio, existe
una línea única que conecta a estos dos puntos.
O Dadas dos distintas líneas en un espacio, estas
dos líneas se interceptan en algún punto.
Por lo tanto, todas las líneas se intersectan entre sí
en la geometría descriptiva. Para las líneas
paralelas, éstas se intersectan en un punto en el
infinito.
Ejemplo:
Utilizamos [XY] para denotar los puntos en el
espacio. Para distinguir los puntos en el infinito
añadimos una coordenada Z a [XY], por lo que los
nuevos puntos son leídos como [ZXY]. Los puntos
con coordenadas [1XY] son puntos originales
mientras que los puntos [0XY] son puntos en el
infinito.
Nótese que añadimos el punto [010] y no en otra
coordenada puesto a que los puntos en la misma
línea son co-lineares:
[101] + [111] = [010]
(lo mismo se puede decir de [100] + [110] = [010])
En esta figura, se puede apreciar que los puntos en el infinito satisfacen la condición de
[001] + [011] = [010]
Podemos ver que los puntos añadidos también son co-lineares, por lo que podemos añadir otra línea que conecta a estos tres puntos y
podemos obtener la geometría final.
Podemos ver que los puntos añadidos también son
co-lineares, por lo que podemos añadir otra línea
que conecta a estos tres puntos y podemos obtener
la geometría final.
En general, podemos obtener la conexión entre las
líneas de manera que
L: aX + bY + cZ = 0
donde a, b y c no son todos 0.
Por lo tanto, aplicándolo al problema anterior podemos decir que:
L1 : Z = 0
L2 : X = 0
L3 : Y = 0
L4 : Z + X = 0
L5 : X + Y = 0
L6 : Z + X + Y = 0
L7 : Z + Y = 0
Codificación y teoría del juego El código de Hamming puede ser utilizado para
resolver varios problemas de diseño combinatorio.
Uno de los problemas mas famosos e interesantes
es el juego de los sombreros.
El juego tiene el siguiente diseño:
O Un conjunto de n jugadores entra en un cuarto, en el cual cada uno recibe un sombrero con un color aleatoriamente seleccionado de r posibilidades igualmente probables. Cada jugador puede ver el sombrero del otro jugador, pero no el que el mismo trae puesto.
O Los jugadores deben de adivinar el color de su sombrero o pasar.
O El equipo pierde si cada jugador pasa o si algún jugador del equipo adivina mal.
O Los jugadores pueden reunirse para discutir estrategias pero no pueden comunicarse entre sí cuando inicia el juego.
O El gol es diseñar una estrategia que tenga la mayor probabilidad de ganar.
La estrategia del código de Hamming
La estrategia de código de Hamming (7,4) es la
mejor estrategia cuando n=7 y r=2. Para el siguiente
caso, lH sería el código de Hamming (7,4) con 16
palabras clave. Se utiliza la siguiente estrategia:
El jugador i, dada la observación (H1,…,Hi-1, ?, Hi+1, …,
H7), hace la siguiente suposición:
? = 0 si (H1,…,Hi-1, 1, Hi+1, …, H7) es una palabra clave en lH
1 si (H1,…,Hi-1, 1, Hi+1, …, H7) es una palabra clave en lH
paso para cualquier otra opción
Podemos mostrar el siguiente teorema a partir de lo
ya dicho:
Para el caso de n = 7 y r = 2, la estrategia del código
de Hamming (7,4) da la probabilidad de ganar de:
Pr(Ganar usando la estrategia lH) = 𝟏 −𝟏𝟔
𝟐𝟕 =𝟕
𝟖
En general, basándonos en los teoremas
presentados, podemos definir el siguiente teorema:
Dado que l sea un código corrector de errores de n-
longitud con |l| palabras clave. Entonces para el
juego de los sombreros con n jugadores y r = 2
colores, siguiendo la estrategia definida como l en el
código de Hamming, esto da a una probabilidad de
éxito de
Pr(Ganar utilizando la estrategia l) = 𝟏 −𝒍
𝟐𝒏
