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“ MÓDULO “OPERACIONES AUXILIARES DE GESTIÓN DE TESORERÍA” - GESTIÓN ADMINISTRATIVA DAVID ESPINOSA SALAS - I.E.S. GREGORIO PRIETO (VALDEPEÑAS)

UNIDAD 6. RENTAS Y PRÉSTAMOS

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UNIDAD 6

Unidad 6. Rentas y préstamos 0. ÍNDICE.

1. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA. 2. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS.

3. RENTAS CONSTANTES.

3.1. Rentas constantes, inmediatas y pospagables. 3.2. Rentas constantes, inmediatas y prepagables. 3.3. Rentas diferidas y rentas anticipadas.

4. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UN PRÉSTAMO. 5. CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS.

6. MÉTODOS DE AMORTIZACIÓN.

6.1. Método francés. 6.2. Método de las cuotas de amortización constantes. 6.3. Amortización mediante reembolso único.

7. TANTOS EFECTIVOS EN LOS PRÉSTAMOS.

ACTIVIDADES FINALES.




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1. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA.

En la vida real es frecuente encontrarse con conjuntos de capitales que tienen establecidos unos vencimientos sucesivos a lo largo del tiempo. Así, por ejemplo, los pagos que tienen que efectuarse para devolver un préstamo bancario, los salarios que percibe como retribución un trabajador, los alquileres de una vivienda, etc. Casos como los citados son ejemplos de rentas financieras. Una renta financiera puede describirse como una serie de capitales que tienen vencimientos sucesivos. Los capitales que constituyen la renta (C1 , C2 , C3 ,.....) se denominan términos de la renta, y los subintervalos de tiempo a que se asocian períodos de maduración o de vencimiento, porque en ellos son engendrados o producidos. Al punto to (extremo inferior del primer subintervalo) se le denomina momento de constitución u origen de la renta, y recibe el nombre de fin de la renta al punto tn (extremo superior del último subintervalo). El tiempo que media entre origen y fin, diferencia tn - to, se llama duración de la renta. Especificados los capitales que componen una renta, es decir, conocidas las cuantías de sus términos y los momentos en que vencen, y elegida una ley financiera de valoración (normalmente, la ley de capitalización compuesta), se denomina valor financiero de una renta en un determinado instante del tiempo (época de evaluación) a la suma financiera de los valores que en aquel momento tienen los términos que la constituyen.

to t1 t2 t3 ....................................................

tn

C1 C2 C3 ................................................ Cn

ORIGEN FIN




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El valor de una renta puede determinarse en cualquier momento, pero lo normal es hacerlo en dos puntos concretos: a) en el momento to , lo que da lugar al valor actual o valor inicial de la renta; b) en el momento tn , con lo que se obtiene el valor capital o valor final de la renta.

2. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS. Las rentas se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios: A) Con arreglo a la cuantía de los términos: a) rentas constantes (cuando todos los términos son iguales entre sí); b) rentas variables (cuando los términos de la renta varían). B) Con arreglo a la duración de la renta o número de términos: a) rentas temporales (aquéllas que constan de un número finito de términos); b) rentas perpetuas (el número de términos de la renta es infinito). C) Según el momento de su valoración: a) rentas inmediatas (valoramos los capitales en un punto que pertenece al intervalo de duración de la renta); b) rentas diferidas (cuando valoramos la renta antes de que comience); c) rentas anticipadas (cuando valoramos la renta después de que haya finalizado). D) Según el punto del subintervalo donde vencen los términos de la renta: a) rentas pospagables (cuando los términos de la renta vencen al final del subintervalo correspondiente); b) rentas prepagables (cuando los términos de la renta vencen al principio del subintervalo). E) Atendiendo a la coincidencia o no del período de vencimiento del término con el período de capitalización del tanto: a) rentas enteras (cuando el período de vencimiento del término de la renta coincide con el período de capitalización del tanto); b) rentas fraccionadas (cuando no se da esta coincidencia de periodicidad).

3. RENTAS CONSTANTES. En esta pregunta se va a trabajar con rentas unitarias. Para calcular el valor de una renta constante de término C , se partirá del valor de la correspondiente renta unitaria multiplicándolo por C.




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3.1. Rentas constantes,inmediatas y pospagables.

-TEMPORALES-.

* Valor actual: llamemos an i al valor actual de una renta constante, inmediata, pospagable, temporal y unitaria, donde n indica la duración en períodos de la renta, y donde i representa el tanto de interés compuesto periódico a que se evalúa. El valor actual de esta renta será la suma financiera de los valores que en el origen tienen sus términos. Este valor actual es igual a:

an i = Ejemplo 1. ¿Qué cantidad habrá que depositar en una entidad bancaria, si se desean recibir 5.000€ al final de cada uno de los próximos 20 años, si dicha entidad trabaja a un interés efectivo anual del 3%?. Tenemos que calcular el valor actual de una renta constante de término 5.000€, inmediata, pospagable y temporal (20 años). Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

a20 0,03 = = 14,87747486 A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (5.000€):

Va20 0,03 = a20 0,03 × 5.000€ = 14,87747486 × 5.000€ = 74.387,37€

1 – ( 1 + i ) - n

i

1 – ( 1 + 0,03 ) - 20

0,03

0 1 2 3 ................................................... n

1€ 1€ 1€ ................................................ 1€




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* Valor final: sea Sn i el valor final de una renta constante, inmediata, pospagable, temporal y unitaria. El valor final de esta renta será la suma financiera de los valores que tienen sus términos al final de la misma. Este valor final es igual a: Sn i = El valor final también se puede obtener, capitalizando el valor actual desde el momento 0 al momento n:

Sn i = an i × ( 1 + i ) n Ejemplo 2. Una persona ingresa en una entidad bancaria 200€ al final de cada año. Dicha entidad bancaria trabaja a un interés efectivo anual del 2,7%. ¿Qué cantidad se habrá generado al cabo de 15 años?. Tenemos que calcular el valor final de una renta constante de término 200€, inmediata, pospagable y temporal (15 años). Para ello, calculamos el valor final de la correspondiente renta unitaria. S15 0,027 = = 18,19523259 A continuación, multiplicamos el valor final de la renta unitaria por el término (200€):

VS15 0,027 = S15 0,027 × 200€ = 18,19523259 × 200€ = 3.639,05€

( 1 + i ) n - 1

i

( 1 + 0,027 ) 15 - 1

0,027




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-PERPETUAS-.

En este tipo de rentas no se puede hallar el valor final. Para determinar el valor actual de una renta constante, inmediata, pospagable, perpetua y unitaria, bastará considerar el de una renta de iguales características pero de duración n, y calcular el límite cuando n tiende a infinito.

a∞ i = an i = Ejemplo 3. Una finca produce al final de cada año unos rendimientos valorados en 12.000€. Calcula el valor actual de esos rendimientos, aplicando un tanto efectivo anual del 5%. Tenemos que calcular el valor actual de una renta constante de término 12.000€, inmediata, pospagable y perpetua. Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

a∞ 0,05 = 1 / 0,05 = 20 A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (12.000€):

Va∞ 0,05 = a∞ 0,05 × 12.000€ = 20 × 12.000€ = 240.000€

1

i

lim n ∞

0 1 2 3 ...................................................

1€ 1€ 1€ ................................................




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3.2. Rentas constantes, inmediatas y prepagables.

-TEMPORALES-.

* Valor actual: llamemos ân i al valor actual de una renta constante, inmediata, prepagable, temporal y unitaria. Dicho valor actual será la suma financiera de los valores que en el origen tienen sus términos. De esta forma se obtiene la siguiente expresión:

ân i = ( 1 + i ) × = ( 1 + i ) × an i Ejemplo 4. Una persona ha alquilado un piso por el que paga a comienzos de cada mes 240€. Calcula el valor actual de los pagos que efectuará esta persona en los próximos cinco años, aplicando un interés efectivo anual del 5%. Se trata de una renta fraccionada, ya que el período de capitalización del tanto no coincide con el período de vencimiento del término de la renta En primer lugar, debemos calcular el interés mensual i12 a partir del tanto efectivo anual i . i12 = ( 1 + 0,05 ) 1/12 - 1 = 0,004074123 En segundo lugar, calculamos el valor actual de una renta constante de término 240€, inmediata, prepagable y temporal (60 meses). Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

â60 0,004074123 = ( 1 + 0,00407 ) × = 53,35031311 A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (240€):

Vâ 60 0,004074123 = â 60 0,004074123 × 240€ = 53,35031311 × 240€ = 12.804,08€

1 – ( 1 + i ) - n

i

0 1 2 ............................................. n –1 n

1€ 1€ 1€ ............................................. 1€

1 – ( 1 + 0,00407)-60 - n

0,00407




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* Valor final: sea Ŝn i el valor final de una renta constante, inmediata, prepagable, temporal y unitaria. El valor final de esta renta será la suma financiera de los valores que tienen sus términos al final de la misma. Este valor final es igual a:

Ŝn i = ân i × ( 1 + i ) n = ( 1 + i ) n × ( 1 + i ) × an i = ( 1 + i ) × Sn i Ejemplo 5. Calcula el valor final de la renta del ejemplo 4.

Conociendo el valor de â60 0,004074123, automáticamente calculamos Ŝ60 0,004074123:

Ŝ60 0,004074123 = â 60 0,004074123 × ( 1 + 0,00407)60 = 68,09001779 A continuación, multiplicamos el valor final de la renta unitaria por el término (240€):

VŜ60 0,004074123 = Ŝ60 0,004074123 × 240€ = 68,09001779 × 240€ = 16.341,60€

- PERPETUAS-. En este tipo de rentas no se puede hallar el valor final. Para determinar el valor actual de una renta constante, inmediata, prepagable, perpetua y unitaria, bastará considerar el de una renta de iguales características pero de duración n, y calcular el límite cuando n tiende a infinito.

â ∞ i = â n i =

i

lim n ∞

1 + i

0 1 2 .............................................

1€ 1€ 1€ .............................................




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Ejemplo 6. Calcula el valor actual de los rendimientos de la finca del ejemplo 3, suponiendo que dichos rendimientos se generan a comienzos de cada año. Calculamos el valor actual de una renta constante de término 12.000€, inmediata, prepagable y perpetua. Para ello, calculamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria.

â ∞ 0,05 = (1 + 0,05) / 0,05 = 21 A continuación, multiplicamos el valor actual de la renta unitaria por el término (12.000€):

Vâ ∞ 0,05 = â ∞ 0,05 × 12.000€ = 21 × 12.000€ = 252.000€

3.3. Rentas diferidas y rentas anticipadas.

- RENTAS DIFERIDAS-. Son aquéllas que se valoran d períodos antes de que comience el período en el que vence el primer término. En las rentas diferidas no tiene sentido calcular el valor final. Para calcular el valor actual de una renta diferida d períodos, actualizamos d períodos el valor actual de la correspondiente renta inmediata, es decir: d / valor actual renta inmediata = ( 1 + i ) -d × valor actual renta inmediata

0 1 2........................................d

VALOR ACTUAL RENTA INMEDIATA




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Ejemplo 7. Calcula el valor actual de una renta constante de término anual 3.000€, pospagable, de duración 6 años, si se sabe que el primer término de la renta vence dentro de tres años. El tanto de interés efectivo anual es el 3%. En primer lugar, calculamos el valor actual de la renta inmediata de término anual constante 3.000€, pospagable y de duración 6 años. Para ello, determinamos el valor actual de la correspondiente renta unitaria, y a continuación, lo multiplicamos por el término (3.000€).

a6 0,03 = 5,4171913 Va6 0,03 = 5,4171913 × 3.000€ = 16.251,57€ En segundo lugar, al tener que valorar la renta dos años antes de que comience (se encuentra diferida dos años), actualizamos el valor anterior dos años.

2 / Va6 0,03 = ( 1 + 0,03) - 2 × Va6 0,03 = 15.318,66€

- RENTAS ANTICIPADAS-. Son aquéllas que se valoran h períodos después de que finalice el período en el que vence el último término. En las rentas anticipadas no tienen sentido, ni las rentas perpetuas, ni calcular el valor actual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Va6 0,03

1 2.............................................h

VALOR FINAL RENTA INMEDIATA

3.000€ 3.000€ 3.000€ 3.000€ 3.000€ 3.000€




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Para calcular el valor final de una renta anticipada h períodos, capitalizamos h períodos el valor final de la correspondiente renta inmediata, es decir: h / valor final renta inmediata = ( 1 + i ) h × valor final renta inmediata Ejemplo 8. Calcular el valor final de una renta constante de término anual 2.000€, prepagable, de duración cuatro años, si se sabe que el último término venció hace 3 años. El tanto de interés efectivo anual es el 3%. En primer lugar, calculamos el valor final de la renta inmediata de término anual constante 2.000€, prepagable y de duración 4 años. Para ello, determinamos el valor final de la correspondiente renta unitaria, y a continuación, lo multiplicamos por el término (2.000€).

Ŝ 4 0,03 = 4,3091355

VŜ 4 0,03 = 4,3091355 × 2.000€ = 8.618,27€ En segundo lugar, al tener que valorar la renta dos años después de que haya finalizado (se encuentra anticipada dos años), capitalizamos el valor anterior dos años.

2 / VŜ4 0,03 = ( 1 + 0,03) 2 × VŜ4 0,03 = 9.143,12€

0 1 2 3 4 5 6

VŜ 4 0,03

2.000€ 2.000€ 2.000€ 2.000€




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Esquema: relaciones entre los distintos tipos de rentas contantes

• Valor (actual o final) de una renta prepagable = (1 + i ) × Valor (actual o final) de la renta pospagable.

o ân i = ( 1 + i ) × an i Vân i = ( 1 + i ) × Van i

o Ŝn i = ( 1 + i ) × Sn i VŜn i = ( 1 + i ) × VSn i

o â ∞ i = ( 1 + i ) × a∞ i Vâ ∞ i = ( 1 + i ) × Va∞ i

• Valor final de una renta (pospagable o prepagable) = (1 + i )n × Valor actual de la

renta (pospagable o prepagable).

o Sn i = ( 1 + i ) n × an i VSn i = ( 1 + i ) n × Van i

o Ŝn i = ( 1 + i ) n × ân i VŜn i = ( 1 + i ) n × Vân i

• Valor actual de una renta (pospagable o prepagable) diferida d períodos = ( 1 + i ) -d × Valor actual de la renta inmediata (pospagable o prepagable).

o d / an i = ( 1 + i ) -d × an i d / Van i = ( 1 + i ) -d × Van i

o d / ân i = ( 1 + i ) -d × ân i d / Vân i = ( 1 + i ) -d × Vân i

o d / a∞ i = ( 1 + i ) -d × a∞ i d / Va∞ i = ( 1 + i ) -d × Va∞ i

o d / â ∞ i = ( 1 + i ) -d × â ∞ i d / Vâ ∞ i = ( 1 + i ) -d × Vâ ∞ i

• Valor final de una renta (pospagable o prepagable) anticipada h períodos = ( 1 + i ) h × Valor final de la renta inmediata (pospagable o prepagable).

o h / Sn i = ( 1 + i ) h × Sn i h / VSn i = ( 1 + i ) h × VSn i

o h / Ŝn i = ( 1 + i ) h × Ŝn i h / VŜn i = ( 1 + i ) h × VŜn i




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4. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UN PRÉSTAMO.

Un préstamo es una operación financiera que consiste en la entrega de una cantidad de

dinero C0 por parte de una persona (prestamista) a otra (prestatario), quien se compromete a devolver dicha cantidad y a satisfacer los intereses correspondientes, en la forma y plazos acordados. Desde un punto de vista financiero, debe existir una equivalencia financiera entre prestación y contraprestación. Es decir, el valor actual del capital entregado por el prestamista, debe ser igual al valor actual del pago o de los pagos satisfechos por el prestatario, utilizando normalmente, la ley de capitalización compuesta.

C0 = a 1 × (1 + i )-1 + a 2 × (1 + i )-2 +....................+ a n × (1 + i )-n

Si las cláusulas del contrato lo permiten, el prestatario podrá cancelar anticipadamente la totalidad o parte del préstamo. Las propias cláusulas establecerán si, en tal caso, el prestatario debe pagar o no una comisión por la cancelación anticipada. La existencia de excedentes de tesorería o de un interés de mercado inferior al del préstamo, son algunas de las razones que pueden motivar que el prestatario solicite la cancelación anticipada.

Además del capital prestado C0, de los distintos momentos del tiempo en que se efectúan los pagos, y del tipo o tipos de interés vigentes en la operación, los elementos que intervienen en cualquier préstamo son los siguientes:

- Los términos amortizativos de cada período (a1, a2,.....as,.....an) o capitales de la contraprestación, que tienen como misión abonar los intereses que se forman en la operación y amortizar la deuda. Reciben la denominación de anualidades, mensualidades, etc., en correspondencia con la periodicidad anual, mensual, etc., de los términos.

0 1 2............................................................................. n-1 n

C0 a1 a2 an-1 an




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as = As + Is

- Las cuotas de amortización de cada período (A1, A2,......As,....An) o parte de los términos amortizativos que se destina a devolver el principal de la deuda.

- Las cuotas de interés (I1, I2,......Is,....In) o parte de los términos amortizativos que se destina a satisfacer los intereses que, en cada período, genera el capital pendiente de amortizar.

Is = Cs-1 × i

- Capital total amortizado (M1, M2,......Ms,....Mn) al final de cada uno de los respectivos períodos.

- Capital pendiente de amortizar (C1, C2,......Cs,....Cn) al final de cada uno de los respectivos períodos. Para obtener el capital pendiente de amortizar al final del período s, se pueden utilizar tres métodos:

a) El método prospectivo, que se fija en los capitales de la contraprestación con vencimiento posterior al momento s , obteniendo su valor en dicho momento.

b) El método retrospectivo, que se fija en los capitales de la prestación y de la

contraprestación con vencimiento igual o anterior al momento s , restando sus valores en dicho momento.

c) El método recurrente, que establece que el saldo al final de un período s , será

igual al saldo al final del período anterior s - 1, más los intereses que en el período s genere el capital pendiente, menos el término amortizativo correspondiente a este período.

Cs = Cs-1 × (1 + i ) - as

s-1 s

Cs-1

Cs

Cs-1 × (1 + i )

Is

As as




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Para clarificar las operaciones de amortización en los préstamos, se recurre normalmente a la confección de un cuadro, en el que se recogen todos estos elementos. La estructura del mismo podría ser la siguiente:

TIEMPO as

Is

As

Ms

Cs

0 1 2 3 4 5 6 7 ....

5. CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS. Los préstamos se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios:

A) Según el prestamista: a) préstamos bancarios; b) préstamos no bancarios.

B) Atendiendo a su destino: a) préstamos para el consumo (solicitados por las economías domésticas); b) préstamos para la explotación (solicitados por las empresas, para adquirir elementos del activo no corriente o del activo corriente); c) préstamos para actividades y servicios públicos (concedidos a entidades públicas). C) Según su plazo de devolución: a) préstamos a largo plazo (se han de devolver en un plazo superior al año); b) préstamos a corto plazo (deben ser devueltos en un plazo inferior al año). D) Según el tipo de interés: a) préstamos con un interés fijo; b) préstamos con un interés variable. En este último caso, se pueden fijar los distintos tipos de interés aplicables durante la vida del préstamo, o bien, se puede concertar la revisión del interés inicial, una o más veces, en función de un tipo de interés de referencia.




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E) Otras clasificaciones: a) préstamos personales o reales (en función de la garantía aportada); b) préstamos formalizados en escritura pública o en póliza (atendiendo a su forma); c) préstamos con o sin carencia (si existe período de carencia, se podrá pactar el pago o no de intereses durante dicho período).

6. MÉTODOS DE AMORTIZACIÓN

6.1. Método francés.

Se caracteriza porque los términos amortizativos son constantes. Este método, también recibe el nombre de progresivo, debido a que las cuotas de amortización crecen, a medida que transcurre el tiempo. En este método, lo primero que debemos calcular es el término amortizativo constante. Para ello, se debe plantear la equivalencia financiera que debe satisfacer la operación en el origen:

C0 = a × an i a = A partir del término amortizativo constante, es posible elaborar el cuadro de amortización del préstamo. No obstante, esta labor puede verse facilitada conociendo la forma de calcular el resto de sus elementos:

• El capital pendiente de amortizar al final de un período s cualquiera (Cs), se puede obtener aplicando cualquiera de los métodos comentados con anterioridad.

0 1 2............................................................................. n-1 n

C0 a a a a

C0

an i




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Método prospectivo:

Cs = a × an-s i = C0 × Método retrospectivo:

Cs = C0 × (1 + i )s - a × Ss i

Método recurrente:

Cs = Cs-1 × (1 + i ) - a

• El capital total amortizado en los s primeros períodos (Ms), será igual al capital

prestado (C0), menos el capital pendiente de amortizar al final del período s (Cs):

Ms = C0 - Cs

• Las cuotas de amortización varían en progresión geométrica de razón (1 + i ). Por lo tanto, conocido el valor de la primera cuota, se pueden calcular automáticamente las restantes:

As + 1 = As × (1 + i ) As + 1 = A1 × (1 + i )s

an-s i

an i




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Ejemplo 9. Una entidad bancaria concede un préstamo de 10 millones de euros a cierta S.A., para ser amortizado en 15 años mediante anualidades constantes. Si el interés efectivo anual concertado es el 10%, determinar:

a) Cuantía de la anualidad constante que amortiza el préstamo. b) Cuota de amortización del cuarto período. c) Capital pendiente al principio del sexto año (por el método prospectivo y

retrospectivo). d) Cuota de interés del sexto período. e) Capital pendiente a finales del sexto año (por el método recurrente). f) Capital amortizado en los siete primeros años. g) Cuadro de amortización.

a)

a = = = 1.314.737,77€

b) La primera anualidad o término amortizativo será igual a: a = A1 + I1

Por otro lado, sabemos que la cuota de interés del primer período (I1) es igual a C0 × i Por lo tanto:

Conociendo la relación que existe entre las cuotas de amortización As + 1 = A1 × (1 + i )s , obtenemos el valor de la cuota de amortización del cuarto período:

A4 = A1 × (1 + i )3 = 314.737,77€ × (1 + 0,1)3 = 418.915,97€

an i

C0 10.000.000€

1 – ( 1 + 0,1) -15

0,1

a = 1.314.737,77€

I1 = 10.000.000€ × 0,1 = 1.000.000€

A1 = 314.737,77€




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Ejemplo 9 (continuación). c) El capital pendiente a comienzos del sexto año es igual al capital pendiente al final del año

quinto, es decir, C5 MÉTODO PROSPECTIVO:

C5 = a × a10 0,1 = 1.314.737,77€ × = 8.078.494,45€ MÉTODO RETROSPECTIVO:

C5 = C0 × (1 + 0,1)5 - a × S5 0,1 =

C5 = 10.000.000€ × (1 + 0,1)5 – 1.314.737,77€ × = 8.078.494,45€

d) La cuota de interés del sexto período (I6) será igual a C5 × i

Por lo tanto: I6 = C5 × i = 8.078.494,45€ × 0,1 = 807.849,45€

e) El capital pendiente a finales del sexto año (C6) por el método recurrente, se calculará de la siguiente forma:

C6 = C5 × (1 + 0,1) - a = 8.078.494,45€ × (1 + 0,1) - 1.314.737,77€ = 7.571.606,13€

f) Para calcular el capital amortizado en los siete primeros años (M7), primero procedemos a

calcular el capital pendiente a finales del séptimo año (C7). Empleamos para ello, por ejemplo, el método recurrente:

C7 = C6 × (1 + 0,1) - a = 7.571.606,13€ × (1 + 0,1) - 1.314.737,77€ = 7.014.028,97€

A continuación, procedemos a calcular M7 :

M7 = C0 - C7 = 10.000.000€ - 7.014.028,97€ = 2.985.971,03€

1 – ( 1 + 0,1)-10

0,1

( 1 + 0,1)5 -1

0,1




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Ejemplo 9 (continuación) g)

6.2. Método de las cuotas de amortización constantes.

Como su nombre indica, este método se caracteriza porque las cuotas de amortización son constantes, es decir, en cada período se amortiza la misma parte de capital:

A1 =A2 =......= As =....An = A Lógicamente, las cuotas de interés irán disminuyendo de un período al siguiente, y siempre en la misma proporción. Por lo tanto, los términos amortizativos también irán decreciendo a lo largo del préstamo.

TIEMPO as Is As Ms Cs

0 10.000.000€

1 1.314.737,77€ 1.000.000€ 314.737,77€ 314.737,77€ 9.685.262,23€

2 1.314.737,77€ 968.526,22€ 346.211,55€ 660.949,31€ 9.339.050,69€

3 1.314.737,77€ 933.905,07€ 380.832,70€ 1.041.782,01€ 8.958.217,99€

4 1.314.737,77€ 895.821,80€ 418.915,97€ 1.460.697,99€ 8.539.302,01€

5 1.314.737,77€ 853.930,20€ 460.807,57€ 1.921.505,55€ 8.078.494,45€

6 1.314.737,77€ 807.849,44€ 506.888,32€ 2.428.393,88€ 7.571.606,12€

7 1.314.737,77€ 757.160,61€ 557.577,16€ 2.985.971,03€ 7.014.028,97€

8 1.314.737,77€ 701.402,90€ 613.334,87€ 3.599.305,91€ 6.400.694,09€

9 1.314.737,77€ 640.069,41€ 674.668,36€ 4.273.974,27€ 5.726.025,73€

10 1.314.737,77€ 572.602,57€ 742.135,20€ 5.016.109,46€ 4.983.890,54€

11 1.314.737,77€ 498.389,05€ 816.348,71€ 5.832.458,18€ 4.167.541,82€

12 1.314.737,77€ 416.754,18€ 897.983,59€ 6.730.441,76€ 3.269.558,24€

13 1.314.737,77€ 326.955,82€ 987.781,95€ 7.718.223,71€ 2.281.776,29€

14 1.314.737,77€ 228.177,63€ 1.086.560,14€ 8.804.783,85€ 1.195.216,15€

15 1.314.737,77€ 119.521,62€ 1.195.216,15€ 10.000.000€ 0




UNIDAD 6

n

n – s

s

De todo lo anterior, se deriva que el capital prestado C0 es igual a la cuota de amortización constante por el número de períodos en los que se amortiza capital:

C0 = n × A A = Debido a la constancia de las cuotas, el cálculo del capital amortizado y del capital pendiente es sencillo, a través de las siguientes expresiones:

Cs = (n – s ) × A = C0 ×

Ms = s × A = C0 ×

Ejemplo 10. Un préstamo de 800.000€ se otorga con las siguientes condiciones: - Tanto de interés efectivo anual: 12%. - Duración de la operación: 10 años. - Amortización con cuotas de amortización constantes.

Obtener: a) Cuantía del primer término amortizativo. b) Capital pendiente de amortización al principio del sexto año. c) Capital amortizado al final del séptimo año. d) Cuota de interés del quinto año. e) Cuadro de amortización.

a) Estos préstamos se caracterizan porque todas las cuotas de amortización son iguales entre sí:

A = C0 / n = 800.000€ / 10 = 80.000€

Por otra parte, sabemos que el primer término amortizativo será igual a:

a1 = A + I1 = A + C0 × i = 80.000€ + (800.000€ × 0,12) = 176.000€

C0

n

n




UNIDAD 6

Ejemplo 10 (continuación).

b) El capital pendiente al principio del sexto año es igual al capital pendiente a finales del quinto año

(C5):

C5 = (10 - 5) × A = 5 × 80.000€ = 400.000€

c) El capital amortizado a finales del año séptimo (M7) se calcula de la siguiente manera:

M7 = 7 × A = 7 × 80.000€ = 560.000€

d) Para calcular la cuota de interés del quinto año (I5) necesitamos calcular previamente el capital

pendiente a finales del año cuarto (C4):

C4 = (10 - 4) × A = 6 × 80.000€ = 480.000€

I5 = C4 × i = 480.000€ × 0,12 = 57.600€

e)


0 800.000€

1 176.000€ 96.000€ 80.000€ 80.000€ 720.000€

2 166.400€ 86.400€ 80.000€ 160.000€ 640.000€

3 156.800€ 76.800€ 80.000€ 240.000€ 560.000€

4 147.200€ 67.200€ 80.000€ 320.000€ 480.000€

5 137.600€ 57.600€ 80.000€ 400.000€ 400.000€

6 128.000€ 48.000€ 80.000€ 480.000€ 320.000€

7 118.400€ 38.400€ 80.000€ 560.000€ 240.000€

8 108.800€ 28.800€ 80.000€ 640.000€ 160.000€

9 99.200€ 19.200€ 80.000€ 720.000€ 80.000€

10 89.600€ 9.600€ 80.000€ 800.000€ 0




UNIDAD 6

6.3. Amortización mediante reembolso único.

Sea C0 el capital prestado, n la duración del préstamo e i el tanto de interés anual

compuesto al que se realiza la operación. En el reembolso único, C0 se devuelve de una sola vez en la fecha que se haya convenido.

Además del capital, el prestatario está obligado a pagar los intereses. Según el vencimiento de éstos distinguiremos dos casos:

a) Pago único de intereses junto al capital que se prestó: si los intereses correspondientes a cada período no se pagan, se van acumulando al capital, y transcurridos n años habrá que devolver el montante:

Cn = C0 × (1 + i )n

b) Pago periódico de intereses: en cada período, el prestatario pagará al prestamista los intereses que correspondan. Si el préstamo dura n años,

cada año se paga en concepto de interés C0 × i euros, y en n se paga C0 × i

más el capital C0 prestado. La equivalencia financiera implica que el capital

prestado C0 en el momento cero será igual al valor actual de todos los pagos que hace el prestatario, siendo éstos: los intereses de cada año y el capital

C0 en el momento n.

C0 = C0 × i × an i + C0 × (1 + i )-n




UNIDAD 6

Ejemplo 11. Don Luis Estrada obtiene de una entidad financiera un préstamo de 6.000€, comprometiéndose a devolverlo en un plazo de 10 años, junto a los intereses correspondientes. Si el tipo de interés pactado es el 5% efectivo anual compuesto: a) ¿Qué cantidad tendrá que desembolsar Don Luis a los 10 años?; b) ¿Cuál será la deuda pendiente a finales del año 6?; c) Elaborar el cuadro de amortización.

a) a 10 = 6.000 × (1 + 0,05 )10 = 9.773,37€

b) C6 = 6.000 × (1 + 0,05 )6 = 8.040,57€

c)


0 6.000,00 €

1 - € - € - € - € 6.300,00 €

2 - € - € - € - € 6.615,00 €

3 - € - € - € - € 6.945,75 €

4 - € - € - € - € 7.293,04 €

5 - € - € - € - € 7.657,69 €

6 - € - € - € - € 8.040,57 €

7 - € - € - € - € 8.442,60 €

8 - € - € - € - € 8.864,73 €

9 - € - € - € - € 9.307,97 €

10 9.773,37 € 465,40 € 9.307,97 € 9.307,97 € 0 €




UNIDAD 6

Ejemplo 12. Realizar el cuadro de amortización del ejemplo anterior, pero con pago periódico de intereses.


0 6.000,00 €

1 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

2 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

3 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

4 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

5 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

6 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

7 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

8 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

9 300 € 300 € - € - € 6.000,00 €

10 6.300 € 300 € 6.000 € 6.000 € 0 €

7. TANTOS EFECTIVOS EN LOS PRÉSTAMOS.

En ocasiones, los préstamos acarrean una serie de gastos, que no se tienen en cuenta a la hora de calcular los capitales de la contraprestación. Estos gastos o características comerciales pueden ser unilaterales (cuando afectan a una sola de las partes contratantes) o bilaterales (cuando afectan a ambas partes).

Algunas de las características comerciales unilaterales que se pueden presentar, por ejemplo, en un préstamo hipotecario son: los gastos de tasación, los gastos de formalización del préstamo (escritura del notario, ITPAJD, Registro de la Propiedad,....), el seguro de la vivienda, etc. Todos estos gastos recaen únicamente sobre el prestatario. Siguiendo con el ejemplo del préstamo hipotecario, son características comerciales bilaterales, al afectar tanto al prestamista como al prestatario: la comisión de estudio, la comisión de apertura del préstamo, etc.

Estos gastos alteran la equivalencia financiera de la prestación y de la contraprestación en el origen, al tipo de interés i. Teniendo en cuenta las características comerciales, el equilibrio de la operación se restablecerá para otro tipo de interés i*, que se denominará:




UNIDAD 6

a) Tanto de interés efectivo para el prestatario o tanto pasivo (cuando sólo se tienen en cuenta los gastos bilaterales y los unilaterales que afectan al prestatario).

b) Tanto de interés efectivo para el prestamista o tanto activo (cuando únicamente se tienen en cuenta los gastos bilaterales y los unilaterales que afectan al propio prestamista).

c) TAE de la operación para el prestamista y el prestatario (cuando sólo se tienen en

cuenta las características comerciales bilaterales).

Ejemplo 13. Una entidad bancaria nos concede un préstamo personal de 10.000€, que se amortizarán en 10 años mediante anualidades constantes. El tipo de interés anual pactado con la entidad es del 10%. Por otro lado, los gastos que nos supone el préstamo son:

• Comisión de estudio: 0,5% sobre el nominal. • Comisión de apertura: 1% sobre el nominal. • Gastos de notaría: 0,2% sobre el nominal.

A partir de estos datos, se pide calcular:

a) El tanto anual de interés efectivo para el prestatario (ip). b) El TAE de la operación.

Antes de nada, debemos calcular la anualidad constante que amortiza el préstamo:

a = = = 1. 627,45€

a) Para calcular el tanto anual de interés efectivo (ip) para el prestatario, debemos tener en cuenta

las características comerciales bilaterales (comisión de estudio y comisión de apertura) y las características comerciales unilaterales que afectan al prestatario (gastos de notaría).

an i

C0 10.000€

1 – ( 1 + 0,1) -10

0,1




UNIDAD 6

Ejemplo 13 (continuación). Planteamos la equivalencia financiera en el origen de la prestación real y de la contraprestación real:

PRESTACIÓN REAL (EN EL ORIGEN) = CONTRAPRESTACIÓN REAL (EN EL ORIGEN)

Nominal – Comisión de estudio – Comisión de apertura – Gastos de Notaría = Valor actual de los pagos del préstamo (valorados al tanto de interés ip)

10.000 – 0,005 x 10.000 – 0,01 x 10.000 – 0,002 x 10.000 = 1.627,45 a 10 ip

Aplicando tablas financieras o Excel, ip = 0,104011 (10,4011%) b) Para calcular el TAE, sólo debemos tener en cuenta las características comerciales bilaterales

(comisión de estudio y comisión de apertura) Planteamos la equivalencia financiera en el origen de la prestación real y de la contraprestación real:

PRESTACIÓN REAL (EN EL ORIGEN) = CONTRAPRESTACIÓN REAL (EN EL ORIGEN)

Nominal – Comisión de estudio – Comisión de apertura = Valor actual de los pagos del préstamo (valorados al TAE)

10.000 – 0,005 x 10.000 – 0,01 x 10.000 = 1.627,45 a 10 TAE

Aplicando tablas financieras o Excel, TAE = 0,103533 (10,3533%)




UNIDAD 6

ACTIVIDADES FINALES

1. Calcular la renta que podrá cobrarse al final de cada año y durante 15 años,

depositando hoy en una institución financiera 1.000.000€, al 9% de interés compuesto anual.

2. Un padre, al nacer su hijo, decide depositar 100€ en una institución financiera al

9% de interés compuesto anual en cada uno de sus cumpleaños. Calcular el capital acumulado cuando el hijo tenga 12 años.

3. Una persona desea comprar un piso y le ofrecen dos opciones distintas de pago: a) Pagar hoy 72.121,45€ y transcurridos 2 años, 48.080,97€. b) Pagar al final de cada año y durante 10 años, 16.828,34€.

Si la valoración se hace al 8% de interés compuesto anual, determinar cuál de las dos opciones le es más ventajosa.

4. Calcular el valor de una finca hoy sabiendo que la renta perpetua que se va a

percibir por ella es de 200.000€ al final de cada año, si el tanto de valoración es del 8% de interés compuesto anual.

5. Las condiciones de pago en la compra de un piso son las siguientes:

• 39.065,79€ en el momento de formalización del contrato. • 60.101,21€ a la entrega de las llaves, que tendrá lugar dos años después de la

formalización de la compra. • 9.015,18€ anuales durante 10 años, venciendo el primer pago un año después de la

entrega de llaves.

Si el tipo de interés para la valoración es el 9% anual, calcular el valor del piso: a) En el momento de formalización del contrato. b) En el momento de la entrega de llaves. c) Una vez pagada la última anualidad (en ese momento).




UNIDAD 6

6. Calcular el valor final de una renta constante, prepagable e inmediata, sabiendo que su valor actual es de 20.000€, el tiempo cinco años y el interés anual el 4%.

7. Determinar el valor actual de dos rentas, la primera pospagable y la segunda

prepagable, constantes, de 5.000€, si su duración es de 8 años y el interés anual del 3,5%, con un diferimiento de dos y tres años, respectivamente.

8. Doña Juana Álvarez, propietaria de un apartamento en Murcia, desea saber qué

cantidad debe cobrar a un inquilino en concepto de alquiler, a principio de cada mes, durante los próximos 20 años, para amortizar la compra del apartamento (60.000€). El tanto de valoración de la operación es del 1% mensual.

9. Tres hermanos heredan los siguientes bienes:

• Una finca que genera un rendimiento de 10.000€ al final de cada año. • Una nave industrial, por la que se percibe un alquiler de 12.000€ a comienzos de

cada año. • 20.000€ depositados hace 6 años en una entidad financiera.

Si el interés compuesto anual al que se valoran las distintas operaciones es del 4%: determinar el valor de la parte de herencia que corresponde a cada hermano.

10. Una persona ha percibido el primer día de los años 2003, 2004, 2005 y 2006, una

cantidad de 10.000€. Valorar esa renta en el momento actual (1 de enero de 2011) si el tanto de valoración anual es del 5%.

11. Calcular el valor de un patrimonio (en base a un tanto efectivo anual del 5%), que

está compuesto por:

• Una finca que genera un rendimiento a comienzo de cada semestre de 4.300€. • Otra finca que genera un rendimiento al final de cada cuatrimestre de 1.600€. • El derecho a una pensión mensual pospagable de 500€ durante 15 años, sabiendo

que la primera paga se recibirá dentro de 7 meses. • Dieciséis aportaciones trimestrales prepagables de 1.000€ a una entidad

bancaria, sabiendo que la primera aportación se realizó hace cuatro años.




UNIDAD 6

12. Hoy, día 1 de enero de 2005, recibimos como herencia los siguientes bienes y derechos:

• Un negocio que genera un rendimiento mensual pospagable de 1.500€. No

obstante, según lo establecido en el testamento, el primer rendimiento se obtendrá el 31 de enero de 2008.

• Dos fincas que generan un rendimiento de 6.000€ cada una, la primera a comienzos de cada trimestre y la segunda, a finales de cada cuatrimestre.

• El derecho a una pensión semestral prepagable de 400€ durante 10 años, sabiendo que la primera paga se recibirá dentro de 6 meses (1 de julio de 2005) .

• Cinco aportaciones anuales pospagables de 8.000€ a una entidad bancaria, sabiendo que la última aportación se realizó hace dos años (31 de diciembre de 2002).

Representar gráficamente las distintas rentas y calcular el valor de la herencia con fecha 1 de enero de 2005. El tanto efectivo anual al que se debe valorar la herencia es el 4%.

l primero de 15.000 € y el tipo de interécom34 €; c) 137.700 €; d) 1 13. Cierta entidad bancaria nos concede un préstamo de 9.000€ que amortizaremos

mensualmente según el sistema francés . La duración de la operación es de 2 años y el interés nominal anual capitalizable por meses es del 6%.

A partir de estos datos, calcular:

a) La mensualidad constante. b) El capital pendiente de amortizar (por los tres métodos) cuando falten 11

meses para la finalización de la operación. c) La cuota de amortización del mes noveno. d) La cuota de interés del mes decimocuarto. e) El cuadro de amortización del préstamo.

14. Se concede un préstamo personal de 2.000€, con la intención de que éste quede

amortizado en un plazo de 10 años, a un tipo de interés del 9% anual. Calcular el término amortizativo anual del préstamo bajo las siguientes hipótesis.

a) Durante los tres primeros años solamente se pagan intereses y en los siete

restantes la anualidad constante necesaria para extinguir la deuda. b) Durante los tres primeros años no se paga ninguna cantidad y en los

restantes siete años la anualidad constante necesaria para amortizar la deuda.




UNIDAD 6

15. Elaborar los cuadros de amortización correspondientes a los apartados a) y b) del

ejercicio anterior. 16. Queremos comprarnos un coche que nos cuesta 18.000€. Como sólo disponemos de

la mitad del dinero, decidimos financiar el resto. Para ello acudimos a una entidad financiera que nos propone las siguientes condiciones: 16 pagos trimestrales; interés efectivo trimestral del 2%; cuotas de amortización constantes.

A partir de estos datos, calcular:

a) El primer pago trimestral. b) El capital pendiente de amortizar cuando falten 5 trimestres. c) El capital total amortizado en los 3 primeros trimestes. d) La cuota de interés del séptimo trimestre. e) El cuadro de amortización. 17. ¿Cuál sería la nueva mensualidad constante que, en el ejercicio 13, tendríamos que

pagar a la entidad bancaria si transcurrido un año, decidiese modificar el tipo de interés efectivo mensual al 0,7%?.

18. Solicitamos un préstamo bancario de 60.000€. Las condiciones ofertadas por la entidad bancaria son las siguientes: 10 pagos semestrales constantes; 8% nominal anual (con capitalización semestral). A partir de estos datos, calcular:

a) El pago semestral constante. b) El capital pendiente al finalizar el segundo año (por los tres métodos). c) El capital total amortizado al finalizar el tercer año. d) La cuota de interés del quinto semestre. e) El cuadro de amortización del préstamo.

19. Se contrató un préstamo de 2.000.000€ para ser amortizado por el método

francés, en 15 años y al 10% anual. Entre las cláusulas figura la de penalización por cancelación anticipada del 1%. Averiguar:

a) La anualidad que amortiza el préstamo. b) El resto por amortizar a los 3 años de concertado el préstamo, una vez

pagada esa anualidad. c) Si se hace una amortización extraordinaria de 300.000€ en el momento

de pagar la tercera anualidad, hallar: i. El importe total que paga el prestatario en ese momento.




UNIDAD 6

ii. El resto por amortizar una vez desembolsadas las 300.000€ iii. La anualidad a pagar a partir de este momento.

d) Elaborar el cuadro de amortización. 20. Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 900.000 u.m. que se va a

amortizar mediante 6 cuotas de amortización constantes, anuales, pagándose la primera al cabo de 3 años. El tipo de interés es el 17% anual y durante los 2 primeros años no se han pagado los intereses.

21. Se obtiene un préstamo hipotecario de una entidad bancaria por importe de

120.000€. El tanto nominal (capitalizable mensualmente) pactado es del 12% anual. Se acuerda amortizarlo en 15 años, mediante mensualidades constantes pospagables. Además, se conocen los siguientes datos:

• Comisión de apertura: 0,2%. • Comisión de estudio: 0,1%. • Gastos de formalización del préstamo (notario, impuestos,....):

2.000€.

Calcular: a) La mensualidad que amortiza el préstamo. b) El tanto de interés efectivo para el prestatario. d) El TAE de la operación.

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