Instituto Tecnolgico Superior De Coatzacoalcos

Nombre del alumno: Alejandro Osorio Ramos

Carrera: Ingeniera en Sistemas Computacionales

Materia: Matemticas V

Investigacin de Unidad 6 Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales Parciales

Grado y Grupo: 4.- C

Docente :

Unidad 6 Introduccin a las ecuaciones diferenciales parciales

En matemticas una ecuacin en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relacin entre una funcin u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulacin matemtica de procesos de la fsica y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas tpicos son la propagacin del sonido o del calor, la electrosttica, la electrodinmica, la dinmica de fluidos, la elasticidad, la mecnica cuntica y muchos otros. Todas las operaciones bsicas, fsicas y qumicas de la Ingeniera Qumica, implican el transporte de una o varias de las tres magnitudes fundamentales siguientes: cantidad de movimiento, energa y materia. Estos fenmenos de transporte se producen en el seno de los unidos o entre slidos y unidos, bien como consecuencia de las diferencias de concentraciones de dichas magnitudes en aquellos (representando la tendencia de todos los sistemas a alcanzar el equilibrio) bien como consecuencia del movimiento de los propios fluidos. Para poder disear adecuadamente los equipos e instalaciones donde hayan de desarrollarse las operaciones indicadas, se requiere una informacin precisa sobre los caudales de transporte de las citadas magnitudes fsicas. El anlisis De los fenmenos de transporte nos conduce naturalmente a la consideracin de las ecuaciones de conservacin de la masa (ecuacin de continuidad), de la cantidad de movimiento (ecuacin del equilibrio) y de la energa. Tales ecuaciones suelen ser de un tipo determinado, llamado ecuaciones en derivadas parciales o, ms brevemente, EDP2

6.1E

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6.2 Forma general de una ecuacin diferencial lineal de segundo orden

Para desarrollar sistemticamente la teora de las ecuaciones diferenciales, es til clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. na de las clasificaciones ms obvias se basa en si la funcin desconocida depende de una o de varias variables independient es. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuacin diferencial y se dice que es ecuacin diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuacin se llama ecuacin diferencial parcial. Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias: ORDEN. El orden de una ecuacin diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de ms alto orden que aparece en la ecuacin. Por lo tanto, la ecuacin (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. El una uacin if ncial ( inaria n ri adas arcial s) s l de la deri ada de ayor orden en la ecuacin. Por ejemplo, d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex dx2 dx Es una ecuacin diferencial de segundo orden. GRADO. Es la potencia a la que esta elevada la derivada ms alta, siempre y cuando la ecuacin diferencial este dada en forma polinomial. Hay otra clasificacin importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si stas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuacin diferencial Es lineal cuando F es una funcin lineal en las variables y,y,y(n). Por lo tanto, la ecuacin diferencial ordinaria lineal de orden n es. 3.La ecuacin que no es de la forma (3), es una ecuacin no lineal.

Una ecuacin diferencial en derivadas parciales (PDE), por su semejanza con las ODE, es una ecuacin donde una cierta funcin incgnita u viene definida por una relacin entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes. Si u = u(x,y,z), una ecuacin diferencial en derivadas parciales sera

Se denomina orden de la PDE al ms alto grado de derivacin parcial que aparece en la expresin. As (1)

Es una PDE de 2 orden, mientras que ( 2)

Es una PDE de primer orden. La ecuacin (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuacin ( 2) es, en cambio, no lineal

Las ecuaciones diferenciales en derivada parciales, nos interesa en ecuaciones lineales de 2 variables:x 2u x 2u x 2u xu xu C 2 D E Fu ! G A 2 B xx xxxy xy xx xy

En donde A, B, C,.G son funciones de X y Y. Cuando G ( x, y ) =0, se dice que la ecuacin es homog nea; en caso contrario se dice que es no homog nea.

6.3 l ( l iU i

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6.4 Mtodo de solucin de las ecuaciones diferenciales parciales directas, equiparables con las ordinarias y separacin de variablesToda ecuacin en derivadas parciales de primer orden posee una solucin dependiente de una funcin arbitraria, que se denomina usualmente solucin general de la EDP. En muchas aplicaciones fsicas esta solucin general es menos importante que las llamadas soluciones completas. Una solucin completa es una solucin particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuacin. Por ejemplo la integracin de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecnico mediante el m to do basado en la ecuacin de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solucin general resulta menos interesante desde el pun to de vista fsico. La ecuacin de Hamilton -Jacobi es una ecuacin diferencial en derivadas parciales usada en mecnica clsica y mecnica relativista que permite encontrar las ecuaciones de evolucin temporal o de "movimiento". La ecuacin de Hamilton-Jacobi (EHJ) permite una formulacin alternativa a la mecnica lagrangiana y la mecnica hamiltoniana (y por tanto a la mecnica newtoniana, basada en el intento de integracin directa de las ecuaciones de movimiento). El empleo de la ecuacin de Hamilton -Jacobi resulta ventajoso cuando se conoce alguna integral de movimiento . Adems la formulacin basada en EHJ es la nica formulacin de la mecnica en la que el movimiento de una partcula y el de una onda se describen en los mismos t rminos. Es por esto que la EHJ constituye una meta largamente perseguida de la fsica terica, desde Johann Bernoulli en el siglo XVIII busc una analoga entre la propagacin de onda s y partculas. Esta razn fue la que llevo a Schr dinger a buscar una ecuacin para la "mecnica ondulatoria" o mecnica cuntica generalizando la ecuacin de Hamilton-Jacobi (en lugar de usar los otros enfoques alternativos de la mecnica clsica). Incluso la primera ecuacin para mecnica cuntica relativista, la ecuacin de Klein-Gordon, se bas en la EHJ relativista en lugar de otros enfoques alternativos.

La

aci

amilt

acobi

a cuaci amilton

i adas arcial s o, llamada tambin

li al ara la funci n rinci al de integral de acci n:

al como se describe en este artculo, esta ecuaci n uede ser deducida de la mecnica amiltoniana considerando a como la funci n generatri de una transformaci n cannica. Los momentos conjugados de las coordenadas corresponden a las deri adas de la funcin con respecto a las propias coordenadas generali adas:

Anlogamente, las coordenadas generali adas se pueden obtener como deri adas respecto a los nuevos momentos conjugados, tal como se describe ms adelante. Invirtiendo estas ecuaciones algebraicamente, uno puede encontrar las ecuaciones de evolucin del sistema mecnico, determinando la variacin de las coordenadas con el tiempo. Las posiciones iniciales las velocidades iniciales aparecen dentro de las constantes de integrac in para . Las constantes de integracin en una solucin completa de la ecuacin este mtodo usualmente coinciden con integrales del movimiento como la energa, el momento angular o el vector de unge-Lenz.Ej m ly

partcula en un campo de fuerzas conservativo:

La ecuacin de amilton-Jacobi E J) para n coordenadas generalizadas contiene adems el tiempo, por lo cual una solucin completa de dicha ecuacin contendr n constantes de integracin arbitrarias. omo la funcin slo interviene en la E J a travs de sus derivadas primeras una de estas constantes ser aditiva por tanto una integral completa de la ecuacin tendr la forma: ) onde las n constantes son precisamente , ..., n A. Para encontrar la solucin de las ecuaciones de movimiento basta construir n ecuaciones algebraicas: ) Invirtiendo estas ecuaciones para despejar las coordenadas generalizadas i se obtienen dichas coordenadas como funcin del tiempo de n coordenadas, tal como se habra obtenido por los mtod os de la mecnica lagrangiana o la mecnica hamiltoniana.

Esta solucin puede ser justificada si pensamos en la funcin como la funcin generatriz de una transformacin cannica, donde las constantes , ..., n representan los nuevos momentos conjugados asociados a dicha transformacin, del hecho ue f sea una funcin generatriz de segundo tipo implicar ue:

Pero como la funcin f satisface la ecuacin de amilton -Jacobi la nueva hamiltoniana ser nula por tanto:

cte. , puesto Y por tanto la solucin trivial del anterior sistema es i cte. i ue las i son conocidas, porque conocemos una integral completa, las i pueden obtenerse de la condicin:

ue es precisamente la solucin que se haba sealado anteriormente.S i i l

En muchos sistemas fsicos importantes para encontrar la solucin de las ecuaciones de movimiento en el enfoque de amilton -Jacobi se busca una solucin completa de dicha ecuacin por el mtodo de separacin de variables. Un caso interesante se presenta cuando alguna de las coordenadas, por ejemplo q1, slo aparece formando una combinacin con la derivada de la accin respecto de la propia q1, es decir, cuando la ecuacin de amilton Jacobi puede escribirse en la forma: a) En ese caso puede buscarse una solucin de la forma: b) La substitucin de una ecuacin de este tipo en la a) permite reducir el nmero de variables involucrada en una unidad a que se cumpli ran simultneamente las relaciones:

En algunos casos de sistem s totalmente integrables de hecho este procedimiento se puede repetir para cada una de las variables obtenindose una integral completa mediante cuadraturas simples de la forma: c)

oordenadas li as

En mecnica hamiltoniana se llama oordenadas li a a una coordenada que no aparece explcitamente en el hamiltoniano. Una coordenada cclica es siempre un caso particular en el que la ecuacin de amilton -Jacobi puede escribirse en forma a) pudindose lograr la reduccin de la ecuacin en una variable mediante el cambio: 6) Para un sistema conservativo el tiempo t se comporta de manera anlogo a una coordenada ccilica, como se puede ver a partir de la forma de la solucin c).Ejem los de separabilidad

Fijado un sistema de coordenadas, la ecuacin de amilton -Jacobi admitir separacin de variables en dicho sistema de coordenadas dependiendo de la forma funcional de la energa potencial. A continuacin van algunos ejemplos:y

oordenadas esfricas. Este tipo de coordenadas son frecuentes en la teora del potencial para analizar el movimiento planetario por ejemplo. picamente el hamiltoniano para este tipo de sistemas tiene la forma:

Y el problema de encontrar las trayectorias ba dicho hamiltoniano admitir jo separacin de variables si la funcin de energa potencial tiene la siguiente forma:

uchos problemas fsicamente importantes frecuentemente tienen simetra axial por lo que , y en esas circunstancias la accin admite una solucin de la forma:

dependiente de tres constantes

6.5 AplicacionesLa ecuacin de onda

En el prximo ejemplo consideramos las vibraciones trasversales de una cuerda extendida entre dos puntos, por ejemplo, x ! 0 y x ! L. Tal como se muestra en la figura .2, el movimiento se produce en el plano xy de manera tal que cada punto de la cuerda se mueve en direccin perpendicular al eje x . Si u ( x, t ) denota el desplazamiento de la cuerda para t " 0 medidos desde el eje

x , entonces u satisface la ecuacin (2) en la cual se asume que.y y y y y y

La cuerda es perfectamente flexible. La cuerda es homog nea, esto es, su masa por unidad de longitud es constante. Los desplazamientos u son pequeos comparados con el largo de la cuerda. La tensin de la cuerda es constante. La tensin es grande en comparacin con la fuerza de gravedad. No actan otras fuerzas sobre la cuerda.

Por consiguiente, un problema tpico de condicin en la frontera esa2 x 2u x 2u , ! xx 2 xt 2

0

x

L,

t " 0,

(14)u (0, t ) ! 0 , u ( L, t ) ! 0 ,

t u 0,

(15)u ( x, 0) ! f ( x) , xu ! g (x) , xt t ! 0

0

x

L.

(1 ) Las condiciones de frontera (15) simplemente dicen que los extremos de la cuerda permanecen fijos en todo instante. En t ! 0 las funciones f y g dadas especifican la configuracin inicial y la velocidad inicial de cada punto de la cuerda, respectivamente. En el contexto est implcito que f es continua y que f ( 0 ) ! 0, f ( L ) ! 0

Figura .2

Solucin. Separando variables en (14) resulta

X T ! 2 ! P 2 X a T

De modo queX P2 X ! 0 T P2 a 2T ! 0

Y por lo tanto,X ! c1 cos P x c2 P x T ! c3 cos P at c 4 senP at .

Igual que antes, las condiciones de frontera (15) se traducen en X (0) ! 0 yX ( L ) ! 0 . A su vez, obtenemos

c1 ! 0Esta ltima ecuacin de los

Y

c2 senP L ! 0.

valores

propios

P ! nT / L, n ! 1,2,3,... las

correspondientes funciones propias sonX ! c 2 sen nT x, L n ! 1,2,3,...

Por consiguiente, la solucin de la ecuacin (14) que satisface las condiciones de frontera (15) sonu n ! ( An cos nT nTa nTa x, t ) sen t Bn sen L L L

Yu ( x , t ) ! ( An cosn !1 g

nT nTa nTa x. t ) sen t Bn sen L L L

(17) Haciendo t ! 0 en (17) resultag

u ( x ,0) ! f ( x ) ! An senn !1

nT x L

El cual es un desarrollo de f en serie de senos en medio intervalo. Como para la ecuacin del flujo de calor, podemos escribir An ! bn

An !

2 L nT 0 f ( x) sen L xdx. L

(18) Para determinar B n , derivamos (17) con respecto a t y luego hacemos t ! 0 : nT nTa nTa nTa nTa g ( An cos x t ) sen t Bn sen xu ! L L L L L xt n !1xu xtg t !0

! g ( x) ! ( Bnn !1

nT nTa ) sen x. L L

Para que esta ltima serie sea un desarrollo de g en serie de senos en medio intervalo en el intervalo dado, el coeficiente total, o Bn nTa / L est dado porBn nT a 2 L nT xdx, ! g ( x ) sen 0 L L L

De lo cual obtenemosBn ! 2 L nT 0 g ( x) sen L xdx. nT a

(19) La solucin formal del problema consiste en la serie (17) con, An y Bn definidos por (18) y (19) respectivamente. Hacemos notar que cuando la cuerda se suelta a partir del reposo, entonces g ( x ) ! 0 para todo x en 0 e x e L y en consecuencia Bn ! 0.

Problemas de condicin de frontera

Ecuaciones especiales. Las siguientes ecuaciones diferenciales parciales lineales k (1) a2 (2)x 2u x 2u !0 xx 2 xy 2 x 2u x 2u ! xx 2 xt 2,

x 2 u xu , k "0 , ! xx 2 xt

(3) Desempean un papel importante en muchas reas de fsica e ingeniera. Las ecuaciones (1) y (2) son conocidas como ecuacin del calor en una dimensin y ecuacin de donde en una dimensin respectivamente, una dimensin se refiere al hecho de que x denota una dimensin espacial, en tanto que t generalmente representa tiempo la ecuacin (3) se llama ecuacin de Laplace. Concluimos esta unidad usando el m todo de separacin de variables para resolver varios problemas aplicados, cada uno de los cuales es descrito por una de las ecuaciones anteriores adems de ciertas condiciones adicionales. Estas condiciones adicionales consisten en: I) Condiciones de frontera: u o especificada para y =constante, y II) Condiciones iniciales: u en t =0 para la ecuacin (1), o bien, u y para la ecuacin (2).xu en t =0 xt xu xu especificada para x =constante; u o xx xy

La descripcin matemtica colectiva de un problema de esta naturaleza es conocida como problema de condicin en la frontera. La ecuacin (1) aparece en la teora del flujo de calor (esto es, calor tra nsmitido por conduccin) en una varilla o en un alambre delgado. La funcin u ( x, t ) es la temperatura de la varilla. Los problemas de vibraciones mecnicas u ( x, t ) a menudo conducen a la ecuacin de onda (2). En nuestro caso la solucin de

(2) representar los pequeos desplazamientos de una cuerda vibrante idealizada. Por ltimo la solucin u ( x , t ) de la ecuacin de Laplace (3) puede ser interpretada como la distribucin estacionaria (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa plana y delgada. Para ver como se deduce la ecuacin del flujo de calor y la ecuacin de onda, el lector puede recurrir a la edicin alternativa de est e libro. Aunque nos concentremos en la resolucin de los problemas reci n descritos, hacemos notar que el anlisis de una amplia variedad de diversos fenmenos lleva a las ecuaciones (1) (2) (3), o a sus generalizaciones para un mayor nmero de variables espaciales. Por ejemplo, a (1) a veces se le llama ecuacin de difusin, puesto que la difusin de substancias disueltas en solucin anloga al flujo de calor en un slido. La funcin u ( x , t ) que satisface la ecuacin diferencial parcia l representa, en este caso, la concentracin de lquido. De manera similar, la ecuacin (1) surge en el estudio del flujo de electricidad en un cable largo o en una lnea de transmisin. En este contexto (1) es conocida como ecuacin de la transmisin (telegrfica). Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones, la corriente y el voltaje de una lnea son funciones que satisfacen 2 ecuaciones de id ntica forma que la ecuacin (1). La ecuacin de onda (2) tambi n aparece en la teora de las lneas de transm isin de alta frecuencia, mecnica de fluidos, acstica y elasticidad. La ecuacin de Laplace (3) aparece en problemas de ingeniera relacionados con desplazamientos estticos de membranas y ms a menudo en problemas que tratan de potenciales, como potenci al electroesttico, potencial gravitacional y potencial de velocidad en la mecnica de fluidos.

Bibliografas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales http://www.slideshare.net/edvinogo/2 -ecuaciones-en-derivadas-parciales Dennis G. Zill (Octubre 5, 2000, 7ma edicin). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. : Brooks Cole.