Unidad 6 – Números complejos PÁGINA 131

SOLUCIONES

1. Las soluciones de las ecuaciones dadas son: x x x x2 24 0 2 4 0 2i− = ⇒ =± + = ⇒ =±

2. En cada uno de los casos:

1) a b a ao

a b b b

2) a ba b

2 2 5,2 0,8 unidades 1,8 u1,44 1,8 unidades 0,8 u

2 2 4,8no tiene soluciones reales

1,69

+ = = =⎫⇒⎬⋅ = = =⎭

+ = ⎫⇒⎬⋅ = ⎭

3. Llamando x, y a los catetos del triángulo rectángulo obtenemos:

x yx x

x y x y

2

2 2 2

712 86 168 02

(12 )

⋅ ⎫= ⎪⇒ − + =⎬⎪+ = − − ⎭

Esta ecuación no tiene soluciones reales, por tanto no es posible construir el triángulo que proponía Diofanto.

96

PÁGINA 145

SOLUCIONES

1. Si cada punto representa una lámpara, la solución quedaría del siguiente modo:

2. Si hay n calles el número máximo de cruces es:

nn nC

2

,2 2−

= .

Luego si hay 66 farolas ⇒ 66 cruces ⇒n n2

2− ⇒ n n n2 132 0 12− − = ⇒ = calles como

mínimo tenía el pueblo.

3. Ésta es una de las disposiciones en que quedó la cava. Como máximo se pudo robar: 60 42 18 botellas.− =

La disposición de las 42 botellas en la cava admite muchas formas diferentes.

1 20

20 1

97

PÁGINA 148

98

SOLUCIONES

1. Las soluciones son: a) 6 3i b) 13 12i c) 7 3i d) 11 9i− − + −

2. Las soluciones son: a) 26 2i b) 22 21i c) 10

1 6 5d) i e) i f) i10 5 2

+ +

− − −

3. Las soluciones son: a) 5 2i b) 3 3i c) 7 24i d) 8i e) 15 8i

7 1 5 99f) 14 2i g) 7 i h) i i) i j) 1 i2 2 4 4

− − − −

− − + − − − −

−

4. Las soluciones son:

17 50 2

301 1 723 3

201999 3 2 3 20

2 000 302 22 3 2 000

485 274 2

3 6 11 13

3

a) i i b) i i 1c) i i i d) i i i

i i ie) i i i f) i i i ... i 0i 1

i i i i i 1 1 1g) i i i ... i 1 h) ii 1 i 1 2 2i i i i

i i i i i 1i) ii 11 i

= = =−

= = = =−

⋅ −= =− + + + + = =

−

⋅ − −+ + + + = = = = =− +

− +− −

+ + + += =−−+

5. Quedan del siguiente modo:

( )

( ) ( )

x x x x x

a a a a a

a b a b

x x x x x x xx x x x

2 2 2

2

2

a) 3 i 9 6 i imaginario puro 9 0 3

b) 2 i 3i 2 6i i 3 nº real 6 0 6

7 i (7 i) (2 i)c) ( i) (2 i) 7 i ( i) 3 i2 i (2 i) (2 i)

2 i (2 i)(1 i) 2 3 id) nº real 3 0 01 i (1 i)(1 i) 1

+ = − + ⇒ − = ⇒ =±

+ − = − + + = ⇒ − + = ⇒ =

− − +⋅ − = − ⇒ + = = = +

− − +

+ + + − += = = ⇒ = ⇒

− − + +=

99

6. La tabla queda del siguiente modo:

Afijo Forma binómica Forma polar Forma trigonométrica

(2,2) 2 2+ i ( )2 245°

2 2 (cos 45º isen 45º+ )

(1, 1)− 1 i− 3152 ° 2 (cos 315º isen 315º )+

( 3,4)− 3 4i− + 1275 ° 5(cos 127º isen 127º )+

(0,1) i 901 ° 1(cos 90º isen 90º )+

( 1,1)− 1 i− + 1352 ° 2 (cos135º isen135º+ )

304 ° 4(cos 30º isen 30º )+(2 3,2) 2 3 2i+

( 2, 2)− − 2252 ° 2(cos 225º isen 225º )+2 2 i− −

604 ° 4(cos 60º isen 60º )+(2,2 3) 2 2 3 i+

7. Las representaciones quedan del siguiente modo:

100

8. Las soluciones son:

[ ]

20 25 45

5430

24

8360

23

2 2a) 4 3 12 12 (cos 45º isen 45º ) 12 i 6 2 6 2 i2 2

12 3 1b) 4 4 (cos 30º i sen 30º ) 4 i 2 3 2i3 2 2

20 1 3c) 4 4 (cos 60º i sen 60º ) 4 i 2 2 3 i5 2 2

d) 6(cos130º isen130º) 3(cos8

° ° °

°°

°

°°

°

⎛ ⎞⋅ = = + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= = + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= = + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ ⋅[ ]

sen

130 80 210

330300

30

0º isen80º) 6 3 18 18(cos210º isen210º)

3 118 i 9 3 9i2 2

44 (cos 330º i sen 330º) 1 3e) 2 2(cos300º i sen300º) 2 i 1 3 i2 ( 30º i sen 30º) 2 2 2

° ° °

°°

°

+ = ⋅ = = +

⎛ ⎞= − − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞+= = = + = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

=

101

PÁGINA 149

102

SOLUCIONES

9. Las potencias quedan:

( )

( )

( ) ( )

330 90

2225 450 90

3 320 60º

a) 1 1 i

b) 4 16 16 16i

c) 4 cos20º isen20º 4 64 32 32 3 i

° °

° ° °

°

= =

= = =

⎡ ⎤+ = = = +⎣ ⎦

10. Cada uno de los casos quedan:

( )( )( )

( )( )( )

452

245 90

33

45 135

44

45 180

3152

2315 630 270

33

315 945 225

44

315 1260 180

2

a) 1 i 2(1 i) 2 2 2 i

(1 i) 2 2 2 2 2i

(1 i) 2 4 4

b) 1 i 2(1 i) 2 2 2 2i

(1 i) 2 2 2 2 2 2 2i

(1 i) 2 4 4 4

c) (2 3i) 5 12i(2 3i)

°

° °

° °

° °

°

° ° °

° ° °

° ° °

+ =

+ = = =

+ = = =− +

+ = = =−

− =

− = = = =−

− = = = =− −

− = = = =−

+ =− ++

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3

4 2

2

3

4 2

2 3 445 90 45 135 45 180

2 3 4225 90 225 315 225 180

290 18

( 5 12i)(2 3i) 46 9 i(2 3i) ( 5 12i) 119 120 i

d) ( 2 i) 3 4i( 2 i) (3 4i)( 2 i) 2 11i( 2 i) (3 4i) 7 24i

e) 2 4 ; 2 8 ; 2 16

f) 1 1 ; 1 1 ; 1 1

g) 3 9

° ° ° ° ° °

° ° ° ° ° °

°

= − + + =− ++ = − + = − −

− + = −− + = − − + =− +− + = − =− −

= = =

= = =

= ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 40 90 270 90 0

2 3 4180 0 180 180 180 0

; 3 27 ; 3 81

h) 3 9 ; 3 27 ; 3 81

° ° ° ° °

° ° ° ° ° °

= =

= = =

103

11. Las soluciones quedan:

( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

44

315 180

55

30 15075 2853 3

225315

8 5135

1350

7 7 739 7 7270 240 270 240 150

88 8

3306 6

135

a) ( 4 4i) 32 1024

3 i 2 32b) 8 2 8 22 21 i 2

i i 1 i 1 i 2c) 12 i 2 i 2 2

d) i 4 4 3 i i 4 4 3 i 1 8 1 8 8

2 3 2i 4 4e)84 2 4 2 i

° °

° °° °−

°°

°°

°

° ° ° °

°

°

− − = =

+= = = =

−

+ + − += = = =

⋅ − − =− − − = ⋅ = ⋅ =

−= =

− +

°

1206

3090

73 1 330330 240

90

148

33 3 3f) i i i 3 32 2 1

°

°°

− − °° °

°

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ − = ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

12. Las raíces quedan:

° °+ ° ° ° ° °° +

°+ °° ° ° ° °+

° ° ° °+°+ °

= = = ⇒

− = = = ⇒

+ = = = ⇒

K K

K K

KK

3 3

4 8 8 8 84

90 36090 30 120 30 150 2703

180 360180 90 180 90 2702

45 11 15' 90 11 15' 145 3604

a) i 1 1 1 Las raíces son: 1 ;1 ;1

b) 25 25 25 5 Las raíces son: 5 ; 5

c) 1 i 2 2 2 Las raíces son: 2 ; 2 ° °

°+ °° ° ° ° ° °+

° ° ° ° ° °+°+ °

°+°

− = = = ⇒

− = = = ⇒

−= − = =

+

K K

KK

8 8

3 3

3 6 6 6 6 63

3 33

01 15' 191 15' 281 15'

180 360180 60 120 60 180 3003

315 105 120 105 225 345315 3603

270 3270

; 2 ; 2

d) 27 27 3 3 Las raíces son: 3 ; 3 ; 3

e) 1 i 2 2 2 Las raíces son: 2 ; 2 ; 2

1 if) i 1 11 i

°

° ° ° ° ° °+= ⇒K K60 90 120 90 210 3303

1 Las raíces son:1 ;1 ;1

104

° °+° ° ° ° ° ° °+

°+ °° ° ° ° ° ° °+

°+ °°

−= = = = ⇒

= = = ⇒

= = =

K K

K K

K

5 55

66 6

6 66

90 36090 18 72 18 90 162 234 3065

90 36090 15 60 15 75 135 195 225 3156

90 36090 156

32g) 32i 32 2 2 Las raíces son: 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2i

h) 729i 729 729 3 Las raíces son: 3 ; 3 ; 3 ;3 ; 3 ; 3

i) i 1 1 1

°

° °

° ° ° ° ° ° ° °+

−

°+ ° ° ° ° °°

⇒

−= = = = ⇒

K

K K3 333

60 15 75 135 195 225 315

5 5

0 3600 120 0 120 2403

Las raíces son: 1 ;1 ; 1 ; 1 ;1 ;1

i ij) 1 1 1 1 Las raíces son: 1 ;1 ; 12i

13. Quedan del siguiente modo:

K K6 6

0 0 360 60 0 60 120 180 240 3006

a) 1 1 1 1 Las soluciones son: 1 ;1 ; 1 ; 1 ;1 ;1° ° ° ° ° ° ° ° °+= = = ⇒ °

Gráficamente obtenemos los vértices de un hexágono regular centrado en el origen de coordenadas.

K K3 3

180 180 360 60 120 60 180 3003

b) 1 1 1 1 Las soluciones son: 1 ;1 ; 1° ° ° ° ° ° °+ +− = = = ⇒ °

Gráficamente obtenemos los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen de coordenadas.

K K4 4

90 90 360 22,5 90 22,5 112,5 202,5 292,54

c) 16i 16 2 2 Las soluciones son: 2 ; 2 ; 2 ; 2° ° ° ° ° ° ° °+ += = = ⇒ °

Gráficamente obtenemos los vértices de un cuadrado centrado en el origen de coordenadas.

K K5 5

180 180 360 36 72 36 108 180 252 3245

d) 32 32 2 2 Las soluciones son: 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2° ° ° ° ° ° ° ° °+ +− = = = ⇒ °

Gráficamente obtenemos los vértices de un pentágono regular centrado en el origen de coordenadas.

K K3 3

270 270 360 90 120 90 210 3303

e) 27i 27 3 3 Las soluciones son: 3 ; 3 ; 3° ° ° ° ° ° °+ +− = = = ⇒ °

Gráficamente obtenemos los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen de coordenadas.

105

14. Sustituyendo en la ecuación original cada una de las raíces obtenemos:

( ) ( )( ) ( )

2

2

4 3i 8 4 3i 25 16 24i 9 32 24i 25 0

4 3i 8 4 3i 25 16 24i 9 32 24i 25 0

+ − + + = + − − − + =

− − − + = − − − + + =

i

i

15. Las ecuaciones quedan del siguiente modo:

Toda ecuación de segundo grado se puede construir del siguiente modo a partir de sus dos soluciones: z S z P S P2 0 con suma de soluciones y producto de soluciones.− ⋅ + = = =

}

}

( ) ( )( ) ( )

S zP

S z zP

S z zP

Sz z

P

22

2

2

245

315

a) i ( i) 0 1 0i ( i) i 1

b) (2 2i) (2 2i) 4 4 8 0(2 2i) (2 2i) 8

c) (2 3i) (2 3i) 4 4 13 0(2 3i) (2 3i) 13

2 2 i 2 2 i 2 2d) 2 2 2 i 2 2 4 02 2 2 i 2 2 i 2 2 i 4

°

°

= + − = ⎫ ⇒ + =⎬= ⋅ − =− = ⎭

= + + − = ⇒ − + == + ⋅ − =

= + + − = ⇒ − + == + ⋅ − =

⎫= + + − =⎫= + ⎪ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬= − = + ⋅ − =⎪⎭ ⎪⎭

− + =

16. Las ecuaciones quedan:

K Kz z z z z z z z66 60 3600 60

60 0º 1 60º 2 120º 3 180º 4 240º 5 300ºa) 1 0 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1° °+° °− = ⇒ = = = = ⇒ = = = = = =

z z z z z2

0 11 3 1 3i 1 3 1 3b) 1 0 i; i

2 2 2 2 2− ± − − ±

+ + = ⇒ = = ⇒ =− + =− −2

K Kz z z z z z44 4180 360180 45 90

40 45º 1 135º 2 225º 3 315ºc) 1 0 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; 1° °+° ° °++ = ⇒ = − = = = ⇒ = = = =

K K

z z z z z z z z z

z z z z z z

3 2 2

44 40 3600 90

4

0 1 2

0 0º 1 90º 2 180º 3 270º

d) 6 10 8 0 ( 4) ( 2 2) 0 4; 1 i; 1 i

e) 81 0 81 81 3 3 3 ; 3 ; 3 ; 3° °+° °

− + − = ⇒ − − + = ⇒ = = + = −

− = ⇒ = = = = ⇒ = = = =

K Kz z z z z

z z z

66 60 3600 60

60 0º 1 60º 2 120º

3 180º 4 240º 5 300º

f) 64 0 64 64 2 2 2 ; 2 ; 2 ;

2 ; 2 ; 2

° °+° °− = ⇒ = = = = ⇒ = = =

= = =

106

17. Las soluciones quedan:

z z z

z z

z z z

z z

i iz z z

z z

z z z

2

1 120 2 240

2

1 30 2 330

22

1 2

6 3 3

1 1 4 1 3 ia) 1 02 2

1 3 1 3i 1 ; i 12 2 2 2

12 12 16 2 3 2ib) 12 4 0 3 i2 2

3 i 2 ; 3 i 2

i 8 9 1 3ic) i 2 02 2 2

i; 2i

28 784 108 28d) 28 27 02

° °

° °

− ± − − ±+ + = ⇒ = =

⇒ =− + = =− − =

± − ±− + = ⇒ = = = ±

⇒ = + = = − =

− ± − − ± − ±+ + = ⇒ = = =

⇒ = =−

± −− + = ⇒ = =

K

K

K K

z z z

z z z

z z

z z z

z

3 3

3 3

3 3

0 120 0 0 1 120 2 240

0 120 3 0 4 120 5 240

3180 180 360 60 120

3

0 60 1 180 2 300

3

272612

27 27 27 3 3 ; 3 ; 3Para cada solución :

1 1 1 1 1 ; 1 ; 1

e) 1 0 1 1 1 1

1 ; 1 ; 1

f) 64

° ° ° °

° ° ° °

° ° ° ° °+ +

° ° °

⎧±= ⎨⎩

⎧ ⇒ = = = ⇒ = = =⎪⎨

⇒ = = = ⇒ = = =⎪⎩

+ = ⇒ = − = = =

⇒ = = =

−

z

z

°

°

K Kz

z z z

3 390 90 360 30 120

3

0 30 1 150 2 270

i 0 64i 64 4 4

4 ; 4 ; 4

° ° ° ° °+ +

° ° °

= ⇒ = = = =

⇒ = = =

107

18. Las demostraciones quedan:

2

2

4 2

i sen i sen sen sen i i sensen

sen sen

i sen i sen sen sen

sen i sen i i sen

2 2

2

4 4 2

3 3

• (cos ) cos 2 2 cos 2 cos cos2 2cos 2 cos

2 2 cos

• (cos ) cos 4 4 cos 6cos

4 cos 4 cos cos 4 4cos 4 co

α+ α = α+ α= α− α+ α α = α+ α⎧ α= α− α⇒ ⎨ α= α⋅ α⎩

α+ α = α+ α+ α+ α− α α+

+ α ⋅ α ⋅ − α α = α + αα =⇒

4 2

3 3sen sen

sen sen sen

4 2s 6cos4 4 cos 4 cos

⎧ α + α − α ⋅ α⎨ α = α ⋅ α − α ⋅ α⎩

19. Quedan resueltas del siguiente modo:

b b b b b b b b

a b a b aba b

a b c da bc d

a

2 2 22

2 2

4 i 4 4 4 4 16a) i 26 26 36 61 i 2 2 2 2 2

b) ( i) ( i) 24 12Los números complejos son: (12 5i); (12 5i)

526

c) ( i) ( i) 5 3ii imaginario puroi

4

+ + − + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =±⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + − = ⎫ =⎪ ⇒ ⇒ + −⎬ =±+ = ⎪⎭

⎫+ + − = −⎪+

= ⎬−

=

a c a ab d c c

bd c b ba d d

y

5 4 43 1 1

ó4 0 4 1

4 1 4

Los números complejos son: (4 i) (1 i) o bien (4 i) y (1 4i)

+ = = =⎫⎪+ =− = =⎪ ⎪⇒ ⇒⎬+ = =− =⎪ ⎪

⎪ ⎪⎭ = = =−⎭

− + + −

108

PÁGINA 150

109

SOLUCIONES

20. Queda:

K

z z z

z z z

3

3 3

3

270 90 120 0 90 1 210 2 330

5 i 125i 125i

Las otras raíces son:

5 3 5 5 3 5125i 125 5 5 5i; 5 i; 5 i2 2 2 2° ° ° ° ° °+

= ⇒ = ⇒ =−

−− = = ⇒ = = = = − = = −

21. La solución queda:

( )( )

z z z z

z z

z z

5

6

z z

z z

z z z z z z

5 445º 225º

22 690º 270º

33 7135º 315º

4 2 2 8 790º 90º 180º 360º

1 i 2 4 2

1 i 2i 2 8

1 i 2 2 8 2

2 2 4 16

= + = = ⋅ =

= + = = = ⋅ =

= + = = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = = ⋅ =

22. Los vértices del hexágono regular son:

180 240 300 0 60 1202 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2° ° ° ° ° °

Las coordenadas:

(2,0); (1, 3); (–1, 3); (–2,0); (–1,– 3); (1,– 3)

23. Los vértices del cuadrado son:

90 180 270 02 ; 2 ; 2 ; 2° ° ° °

Las coordenadas: (0,2); (–2,0); (0,– 2); (2,0)

24. La solución queda:

• Se obtiene el número complejo girando 90º, es decir, si el número complejo tiene como afijo (a, b) obtenemos, al multiplicar por i, el número complejo de afijo ( – b, a). • Al dividir el número complejo i, se obtiene el mismo número complejo girado 270º.

a b b a b ai i. Su afijo es ( , )

i+

= − −

25. Los vértices del cuadrado son: (3,4); (– 4,3); ( 3,– 4); (4, 3)− −

110

26. Los vértices son: 2 i; 5 3i; 3 6i; 1 5i+ + + +

27. Quedaría del siguiente modo:

= +⎧ =⎪⎪ += = − ⇒⎨

+ + + −⎪ α=⎪⎩

= −

z a b

za b a bz a b a b a b b z

az

K zz

2 2

2 2 2 2

Sea el complejo : i1 1Su módulo es :

1 1 ii

Su argumento : tg (es el opuesto del argumento de )

Gráficamente, el inverso de se obtiene por una homotecia 1de razón y ángulo ( arg )

28. Los vértices de la figura se obtienen a partir vienen de la siguiente ecuación:

K K3 3

180 180 360 60 120 60º 180º 300º3

64 64 4 4 4 ; 4 ; 4° ° ° ° °+ +− = = = ⇒

Calculamos el lado l mediante el teorema del coseno: l l

l

ll l

2 2 2

22

4 4 2 4 4 cos120º 6,93 u

Perímetro 3 20,79u

332Área 20,78 u

2 4

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

= ⋅ =

⋅= = =

29. La solución queda:

KKz z 4 44

45 90180 180 3604

45 135 225 315

4 0 4 4 2 2

Los vértices son: 2 1 i 2 1 i 2 1 i 2 1 i

°+ °° °+ °

° ° °

+ = ⇒ = − = = =

= + =− + =− − = −°

111

30. Sean los complejos El triángulo que se forma es el de la figura: a b a b( i) y ( i+ − ).

Para que sea equilátero se debe cumplir que: a b b2 2 2+ =

Para que su área sea 2 3 se debe cumplir: b a2 2 32⋅

=

Resolviendo el sistema obtenemos:

a b aa b bab bab

2 22 2 3 622 3 22 3

Los complejos son : ( 6 2 i) y ( 6 2 i)( 6 2 i) y ( 6 2 i

⎫ ⎫= =±+ = ⎪ ⎪⇒ ⇒⎬ ⎬= =±⎪= ⎪ ⎭⎭

+ −− − − + )

31. Los vértices de la figura se obtienen a partir vienen de la siguiente ecuación:

K Ki6 6270 270 360 45 60 45º 105º 165º 225º 285º 345º

6

64 64 2 2 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2° ° ° ° °+ +− = = = ⇒

26 3 uCalculando el valor del área obtenemos: .

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