ffi&#ms,,-'

UTIIICEMOSPROBABITIDADEg

OB]ETIVO

Tomar decisiones acertadas a partir de la determinación de la ocurrencia de un suceso, aplicando los métodos

de distribución binomial o normal que conlleven variables discretas o continuas. para estimar la probabilidad de

eventos en diferentes ámbitos de la vida social. cultural v económica.

Er tu1,3s q4¡bbhtm: / / thales.cica.es. / rdl

Recursos/rd98/Matematicas/36/

matematicas-36.html' - t - -

Elige practiCando probabil i-

dades o las simulaciones y di-viértete.

El 90% de las personas que se han postulado para una beca educativa la han

obtenido. Si en la semana anterior se han presentado 6 postulaciones para

una beca educat iva.

a. ¿Cuál es la probabil idad de que se otorguen 4 becas educativas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 2 y 4 becas educativas sean otorgadas?

c, ¿Cuál es la probabiiidad de que otorguen a1 menos 2 becas educativas?

d. Construye el histograma

mial.de probabilidades de este experimento bino-

E

ó

.o

o

€

=€

I

=Fz

oA

I..iñ

Resuelto en la página 128 y 129

1. Lee y responde.

a. lJna joven tiene en su guardartopa2 vestidos,3

blusas,4 faldas y 2 pantalones. ¿De cuántas ma-

neras diferentes puede elegir vestirse para ir al

cine con sus amigos?

b. ¿Cuántos números de tres cifras significativas se

pueden formar con 0, L,2,3,4,5,6 s in repet i -

ción?

c. Ernesto visita una escuela en la que estudian 400

alumnos, de los cuales 100 son señoritas. ¿Cuáles la probabilidad de que el primer estudianteque encuentre sea varón?

d. La bandeja de un equipo de sonido permite co-

locar 3 discos compactos. Si se coloca uno de

salsa con 12 canciones, otro de rock con 1 1 can*

ciones y el equipo selecciona al azar una can-

ción, ¿cuál es la probabilidad de que sea una de

rock?

Interpretarás, demostrarás y explicarás, con satisfac-

ción y confranza,las dos condiciones de la función

de distribución de probabilidades.

a.0 < P(x)< 1, , b. \ ' . PG) : 1

Utilizarás, con precisión y seguridad, la formula:

ln\PG : r) : \ )f ' 4"

-' para el cálculo de la proba-

bilidad de una distribución binomial en la solución

de ejercicios.

2. Resuelve.

a. Los libros M, E, C, I, y F se van a ordenar en una

librera, cuántos arreglos diferentes se pueden ha-

cer s i :

No importa el orden.

Los libros M e l deben quedar iuntos.

b. Si se lanza una rnoneda tres

babilidades hay de obtener:

P (dos caras)

veces, ¿qué pro-

a

.q

o

o

o

I

z

Fz

o

P (tres caras)

c. lJn decágono es un polígono con 10 vértices y 10

lados. lJna diagonal es un segmento de recta que

conecta dos vértices no consecutivos del polígono.

Encuentra la cantidad totai de diagonales que pue-

de dibujarse en el decágono.

Resolverás problemas, con criticidad y confianza

utilizando el cálculo de la probabilidad de variables

con distribución binomial, trabajando en equipo.

Resolverás, con seguridad, ejercicios y problemas

aplicados a la vida cotidiana sobre variables con dis-

tribución normal, con seguridad.

h

¿Cuáles son los resultados po-sibles que se pueden obtener allanzar una moneda dos veces?

En general si una variable es elresultado de contar, es una va-riable discreta y si la variable esel resultado de medir. es una va-riable continua.

El espacio muestral del ejem-plo.

3: IAAA,AAB,ABA,BAA,ABB, BAB, BBA, BBB}

VARI.EBIES ALEATORIAS

En Estadística, variable aleatoria es una función que asigna un número a ca-da evento simple del espacio muestral. Generalmente, las variables aleatoriasse simbolizan con X, Y, Z.

* \+¡i*í¡lu:g aÉ*:,aÉ;s¡si*.:+ ¡Ji*+-::'*f;:s" Sea X, la variable de un experimentoaleatorio, se dice que X es discreta si toma valores enteros.

lJna variable aleatoria es discreta si no es posible definirla para todos losvalores de un intervalo, cerrado. Por ejemplo el numero de caras que caenhacia arclba cuando se lanzan dos monedas.

* X,'?ari¿ahtrqr+ +É*:¡tcr=g:iia.n: ¡:*rt{.,trac¡;:s. Sea X, una variable aleatoria de un ex-perimento aleatorio, se dice que X es continua si toma valores dentro deun intervalo cerrado en donde para cualquier a 1á, es posible un valor xcomprendido entre ellos.

En general, para las variables aleatorias continuas no es necesario calcularel espacio muestral, ya que se sabe que está definido por un intervalo ce-rrado.La edad, la masa y la estatura de una persona, el tiempo que tarda unatleta en llegar a la meta, etcétera, son ejemplos de variables continuas.

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABITID.ADES

Sea X, una variable aleatoria, la función de distribución de probabilidades sedefine como: F(X) : P(X: x) para todos los valores que toma la variable.

á:,j ri:;:r *E +ri raree* *á ie¡:¡

1. Resuelve.

La probabilidad de que una persona que llega a un almacén compre un parde zapatos es de 0.25. En una hora determinada, llegan tres personas. Si sesupone que cada persona toma la decisión de comprar los zapatos en for-ma independiente:

a. Construye la función de distribución de probabilidades de la variable alea-toria Y: número de personas que compran el par de zapatos.

* En el caso existen dos eventos: .,4 la persona compra el par de zapatos y Bla persona no compra el par de zapatos.

Los valores de la variable son:

La variable toma ualores 0, 1, 2, y 3

Para construir la función de distribución, es necesario calcular la probabilidadde ocurrencia para cada uno de los valores de la variable.

o

€

.qo

ó

E

I

==z

@

-ffi f Rutotu*iento lógico matemático ffi

Co*ori"ución con lenguaje matemático I

eRücación de la Matemática al entorno

WII

AAB,ABA, BAA

BBB

Las dos condiciones para queuna función de distribución es-té bien definida son:

= La probabilidad de cualquiervalor de la variable está entrecero y uno.

0<lx)<1

,,' La suma de las probabilidadesde todos los posibles valoresde las variables es igual a uno.

fl

Fplx:r) : l\ ¡ /

En el ejemplo:3

I P/ \ r : , \u' \ ' 11/

P(Y: 0) + P(Y: 1) +P(Y=2)+P(Y=3) =1

" En el caso Y : 3 significa que los tres clientes compran el par de zapatos.

Se sabe que:

i) P(A) : 0.25

ii) Que un cliente compre es independiente de que el otro clienre compre.Por 1o tanto P(Y - 3) : 0.25 . 0.25 . 0.25 : 0.015625.

'' Para el caso Y : 2, se tiene que P(B) : 0.75, además, si la variable vale 2,es porque dos clientes compran los zapatos, y uno, no.como en el espacio muestral se observan 3 elementos cuyo valor es dos,entonces:

p(y : 2) : 3 (0.2s . 0.2s . 0.7s) : 0.r4062s

' El caso Y : 1, se interpreta como los eventos en los cuales dos de las per-sonas no compran el par de zapatos. Por 1o tanto:

P(Y: 1) : 3 (0.25 . 0.75 . 0.75) : 0.421875

' El caso Y : 0 se interpreta como el evento en que ninguno compra el parde zapatos.

P(Y : 0) : 0.75 . 0.75 . 0.75 : 0.421875

Por lo tanto, la función de distribución de probabilidades es:

0.421875 si Y: 00.421875 si Y: 10.140625 stY:20.015625 si Y: 3

b. calcula la probabilidad de que a 1o sumo dos de los clientes compraron elpar de zapatos. Esta probabihdad sería p(y < 2).

P(Y = 2) : P(Y: 0) + P(Y : 1) + p(y: 2)

:0.421875 + 0.421875 + 0.140625: 0.984375

c. calcula la probabilidad que de las tres personas que llegan al almacén, doscompren el par de zapatos. P(I

- Y = 2)

P(1 <Y = 2) : P(Y : 1) + P(Y - 2) : 0.421875 + 0.140625 : 0.5625

EW'o

=€

I

z

Fz

o

ffi Analiza w resuelve.

lJna compañía que se dedica a fabricar copas decristal produce alrededor de 4 copas en mediahora y se sabe que el 5% de la producción totalson copas deGctuosas.

a. Construye la función de distribución de pro-babilidades de la variable aleatoria X númerode copas defectuosas producidas cada mediahora.

b. Calcula la probabilidad de que en la siguien-te media hora se produzca,por 1o menos, unacopa defectuosa.

¿Qué tienen en común las si-guientes experiencias o experi-mentos aleatorios?

" Lanzar una moneda

" Jugar la lotería

u Seleccionar una respuesta fal-so o verdadero

Los ensayos independientes sonaquellos en donde el resultadode uno de ellos no afecta la pro-babilidad de éxito de cualquierotro ensayo en el experimento.

Las variables aleatorias discretas son de gran aplicabilidad en el contexto delcálculo de probabilidades. lJna de las más importantes y de mayor uso es labinornial.

Experimentos binorniales

Son aquellos que cumplen las siguientes condiciones:

1. Existen dos eventos complementarios, llamados éxito y fracaso.

2. Se tiene que p I 4: I, donde p esla probabilidad del evenro éxito y 4 esla probabilidad del evento fracaso.

3. El experimento se repite un número finito de veces, generalmente simbo-hzado cen n.

4. Las repeticiones de cada uno de los eventos son independientes.

5. La probabllidad p del evento éxito o de 4 del evento fracaso es la mismaen cada prueba.

31, [ *emgrl* * r*sq¡ ¿¡] ra.:¡;

1. Resuelve.

Se sabe por experiencia que la probabilidad de que un paciente se recupe-re de una afección coronaria es de 0.6. cuando a un hospital llegan cuarropacientes con afecciones coronarias, se puede definir la variable aleatoriacomo Y: número de pacientes que se recuperan de dicha afección. En es-te caso, identifica algunas características del experimento aleatorio:

Si se considera el evento éxito que consiste en que la persona se recupere deuna afección coronaria podemos ver que:

" Existen dos eventos complementarios:

El paciente se recupera (p)

El paciente no se recupera (4).

* Si hay una probabilidad p: 0.6 de recuperación, entonces hay una proba-bil idad : 0.4 de no recuperaciín (q),ya que 0.6 -f 0.4 : 1.

" La variable aleatoria mide hasta cuatro, porque solamente se consideran lascuatro personas que llegan al hospital. Es decir qlu.e n : 4.

a Se supone que el hecho de que una persona se recupere es independientede que otra lo haga o no.

" En cada paciente se tiene la misma probabilidad de éxito (0.6) V la mismaprobabilidad de fracaso (0.4).

Por tanto, el caso anterior es un experimento binomial.

o

'-

€

z

Ez

(9

#

! Rurot.*iento lógico matemático

ffi comonicación con lenguaje matemático

I enucaclón de la Matemática al enrorno

I

2. Identifica las características del experirnento y deterrnina si es unexperirnento binornial.Justif ica tu respuesta.

lJna bóveda de seguridad de un banco de la ciudad tiene 6 alarmas que fun-cionan independientemente una cJe la otra. Se sabe que la probabilidad deque una alarma no detecte la presencia de una persona que ingresa a la bó-veda es de 0.05. Sea X, la variable aleatoria que mide el número de alarmasque fallan cuando una persona ingresa a la bóveda.

Si se define el evento éxito que consiste en que una alarma no detecta auna persona que ingresa a la bóveda, se tiene que p : 0.05. Por lo tanto, elevento fracaso consiste en que la alarma detecta a una persona que ingresa

Se considera éxito al evento que

se quiere probar o afirmar.

a la bóveda, entonces q: - porque 0.05 +

El sistema está formado por 6 alarmas, es decir, ¡r :

-1* l -

e,

lo

ó-9

a

=

I

z

==z

o

ldentifica las características de los siguien-tes experirnentos y determina, en cada ca-so, si es un experirnento binornial.

a. Lanzamiento de 5 monedas

b. Lanzamiento de 4 dados

c. Juego de cartas

d.Juego de dominó

Control de calidad de aparatos de radio, los

observan para determinar cuántos tienen de-fectos.

Como cada alarma funciona independientemente de las otras y X mide elnúmerodea1armasquefa11an,por1otanto,elexper imentoeS- '

b. Un equipo de voleibol tiene 0.8 de probabilidad de ganar. El entrenadorcuenta con suficientes jugadores para garantizar que los resuitados de 1ospartidos son independientes unos de otros y Yes la variabie que cuenta elnúmero de partidos ganados.

Identifica las características del siguiente

- experimento y detertnina si es un experi-rnento binomial.

a. lJna compañía fabrica agujas para la inyección

I de insulina y las empaca en cajas de 100 uni-

i dades. Durante algunos años, se ha controlado

I la producción, por lo que se sabe que cada ca-

i ja contiene 90% de agujas no defectuosas y el

: 10% de agujas defectuosas.

b. Se pide seleccionar cinco cartas, una a la vezy con reposic ión, de una baraja de 52 naipes.La carta extraída de un mazo bien barajadose identifica como espada o no espada, es de-vuelta alntazo,este se baraja de nuevo y así su-cesivamente.

f. Medidas de las estaturas de oersonas.

¿Cuál es la media en la siguien-te ser ie de datos? 5,12,15,17,18,20,13,28

FUNCION DE DISTRIBUCION BINOMIAL

Dado un experimento binomial con variable aleatoria X, con probabilidad

de éxito p y de fracaso q, para r repeticiones independientes, entonces:

F(x) :P(x: i : (n)p"q"\x/' '

La función de distribución binomial se puede deducir a partir de las defini-ciones de función de distribución de una variable aleatoria discreta y algu-nas técnicas de conteo y depende de los parámetros identificados en los casosanteriores: p, q y n.Una vez se han identificado, es posible calcular cualquierprobabilidad en un experimento binomial.

* t *ttr3:-1t : :, Í''{:l:il!i.! +? tli:1 í

1. Resuelve.

E\ 90% de las personas que se han postulado para una beca educativa lahan obtenido. Si en la semana anterior se han presentado 6 postulacionespara una beca educat iva,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que se otorguen 4 becas educativas?

b. ¿CuáI es la probabilidad de que entre 2 y 4 becas educativas sean otor-gadas?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que otorguen al menos 2becas educativas?

d. Construye el histograma de probabilidades de este experimento bino-mial.

n Del experimento binomial se tiene que: r : 6,p: 0.9 y q: 0.1. Por tan-to, la función de distribución de este experimento es:

F(x) : P(x: O : (i)o'r'-" wtr F(,,) : P(x:rl : f)to.l)" (0.1¡u-'

a. Para x : 4 se tiene que:

/o\ AlP(x :4) :

\o i (o.s l ' (0. t ¡e -+ :

G: q,A(0.e)4 (0.1) 'z : 0.0e842

La probabilidad de que otorguen 4 de las 6 solicitudes es de

0.0984 : 9.84%o.

b. P(2 3 x 3 4) : P(x : 2) + P(, : 3) + P(x : 4)/6\ /6\ /6\: l j/{0.0¡' (0. 1)* + \./to.ol' (0. t)i + \i ito.ol' (0.1¡z :

0.0021+0.01 458+0.0 984:0.11 508

La probabilidad es de 0.11508 : 11.51Yo

c. P(x> 2) : 1 -P (x < 1) : 1,- (P(x : 0) + P(x : 1))t l6\ /6\ _\- 1. - (,l; i t 0.e0 x 0.16 + (,i/ x o.ot x 0.1si

1 - (0.000001) + 0.00005) : 0.999949

ol=-t

ó!

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I

z

Fz

@

#

! R""oou-iento lógico matemático

ffi co-ooi".ción con lenguaje matemático

I erncucian de Ia Matemática al ento¡no

I

Si se lanza un dado dos veces,

¿cuál es la probabilidad de queen la segunda rirada se obten-ga un número mayor que en laprimera?

La probabilidad de que se otorguen al menos dos becas es 99.99%o.

d. El histograma de probabilidades correspondiente es:

Histograma de probabilidades'" -a'.55t441'

0.4

0.2

0.1

0

2. Analiza y responde.

Si lanzamos un dado 15 veces, ¿cuál es 1a probabilidad de que el numero5 caiga 4 veces?

n: l1 h: -

6, '1 6

P(x:4)=

En un experimento binomial, a medida que el valor de n aúllrrerrta y los va-lores p y I son parecidos, el histograma tiende a ser simétrico.

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

(T) " (*)- '(*)" :

Valor de la variable

Htrtognm p¡r¡ , = l0 y? = 0,1 Histogrerupara, = 10yp = 0.5

Hstogrmap¡ra, = 20 yp = 0.5

€ rrr-g E

ti",""ntra el valor de la distribución bino-

:- - rnial para cada caso.E

€ a. lJn alumno no ha estudiado y está resolviendo

¡ un examen de falso y verdadero. Si el examen

= tiene 25 preguntas, encuentra la probabilidad

f de que elija 15 respuestas correctas.

Resuelve.

a. Si un estudiante responde aI azar a un exa-men de 8 preguntas de verdadero o falso, ¿cuáles la probabilidad de que acierte 4? ¿Cuál esla probabilidad de que acierte dos o menos?

¿Cuál es la probabilidad de que acierte cincoo más?=

fÉz

o 'ffi

Calcula la desviación estándar(o) de los siguientes datos:

3,5,7,9,8,3,2,1.0.

Interpretaci 6n gráfica0.2725

0.23357

0.19464

0.1 5571

0.716790.077857

0.038929

2.323 4.647 6.971 9.294 11.61"9 13.942

L.A DISTRÍBUCION NORM.AL

Una de las distribuciones que mayor aplicación tiene en el contexto estadís-tico es la normal.

Sea X una variable aleatoria continua, si X tiene un comportamiento normal,la función de distribución de probabilidades viene dada por la función:

- f (*) : 1,- t : !#, -co(x(co

o J2trDonde p y tr corresponden a la media y a la desviación estándar poblacio-

nales, respectivam ente.

Es importante aclarar que la distribución normal depende de dos parámetros,

la media y la desviación estándar poblacionales. lJna de las ventajas de la dis-tribución normal es que se presenta de forma general y puede ser usada pa-ra cualquier valor de la media y la desviación.

El gráfico correspondiente es también llamado "campana de Gauss".A con-tinuación se muestra la distribución normal para una media de 5 unidades yuna desviación estándar de 2.

o.2725

o_n351

0. I 9464

0.15571

o.1t679

o.ú7857

0.038929

6_97t 9.2%

Figura 1

El gráfico refleja simetría a loslados izquierdo y derecho, a ca-da uno le corresponde 0.5. Losdatos están concentrados cercade la media.

El gráfico representa las carac-terísticas de la curva.A la izquierda de la media vanvalores negativos y a la derecha,los positivos.

La carrrparra de Gauss, también llamada curva normal, tiene algunas ventajasque facilitan el cálculo de probabilidades.lJna de las principales correspondea la simetría. La curva normal es simétrica con respecto a la media.

En términos de probabilidades, se puede plantear de la siguiente forma:

Ya que para toda función de distribuci6n,el irea bajo la curva es 1, enton-ces a la derecha de la rnedia se encuentra un itea de 0.5. ffigura 1)

Se espera que la mayoría de datos de una variable se ubique alrededor de lamedia y además existen datos lejanos que están en los extremos del gráfico.

DISTRIBUCIóN NORM.AT ESTÁNDAR

Si Z es una variable aleatoria continua con función de distribución normal yse tiene que p : 0, o : 1, entonces se dice que Z tiene una distribuciónnormal estándar.

o

o

'á

o

p

E

I

z

z

o

ff ffi nazonamiento lógico matemático

ffi Co-ooi"nción con lenguaje matemático

I anficación de la Matemática al entorno

La curva normal tiene las si-guientes propiedades:

'. Es simétrica en forma de cam-pana.

' La media, mediana y la modatienen el mismo valor, ubica-do al centro de la figura.

'. Teóricamente, la curva se ex-tiende hasta el infinito en arn-bas direccionés sin tocar nuncael eje horizontal.

Cuando se usa la normal están-dar, se utiliza como notación losvalores z, los cuales correspon-den a la variable aleatoria condistribución normal estándar.

p-ro

valores menores oue la media

p

p valores mavores que la media

b.¡-u : 42,s : 72,x: 34

a-

norrnal.

Cualquier distribución normal que no sea estándar se puede estandarizar detal forma que se obtengan curvas equivalentes y el cálculo de probabilidadesse pueda hacer desde la curva estándar mediante de la relación:

a:*=fU

Los valores z ala izqu;ierda de la media son negativos, y a la derecha son po-sitivos.

r ' ¡ : r r l r , r ! .1 I " , . r : . - ' j l i :L

1. Calcula el puntaje z que corresponde.

a.p : 2,a :0.8,x: 5q-?

>: " " : t ) \

- 0.8

2.Ubica los valores z en una curva

a.z:L.5 b. z : -1..37 c.z:2.3

o

o

.si

ó

€

I

z

=z

o

.. Dibuja una curva norrnal y localiza losI punraJes z.

a.z=0.5

b. z: 2.8

c. z : -1..2

ffi Catcula el puntaje z que corresponde.

a. lL:36,ú :8,x:23

b. l ¡ : 65,o : L4,x:79

¿CuáI es la diferenciadistribución ,,or-rt j

rnial?

entre lala bino-

El área bajo la curva de una distribución normal sirve para calcular la proba-

bilidad de una variable aleatoria continua en un intervalo.

Entre los casos más frecuentes de la distribución N(¡l,o) están

Á¡ea:0.6825 Area : 0.9554 A.rea:0.9974

lL-2o l \ l \+2o

P(p-2o, p+2 o) = 0.955 4

p-3o F F+3oP(p-3 o, p+3 o) = 0.9 974

Latabla 1 se diseñó unicamen-

te para la distribución normal

estandar, que tiene media 0 y

una desviación estándar 1.

Cada valor en la tabla es unárea acumulativa desde la iz-quierda has¡a un puntaje z.

Para leer áreas que correspon-den a puntajes z.

o

.d

óo

5

z

Éz

o

'4\ -/\ -^\Fúp p+o

P(p-o, ¡ r+o)=0.6825

Para calcular el área bajo la curva normal estandarizada, existen tablas estadís-

ticas ya calculadas (tabla 1 página 1.40,141) que muestran el área bajo la cur-va comprendida en el intervalo (-* . .1.

En la primera columna de la tabla, se encuentran los valores z en términos de

unidades y décimas, en las otras columnas se representan las centésimas.

i -

1. Deterrnina el área bajo la curva nortnal a partk de los datos dela tabla para:

a.P(z<-1.43)

Al realtzar su representaci6n gráfrca, observamos que el área corresponde al

lado izouierdo de -1.43:

Utilizando la tabla 1 (p.1-41), se ubica en la primera columna el valor 1.4,luego en la parte superior se localiza la columna 0.03. El valor que se en-cuentra en la intersección de 1.4 y 0.03. Por lo tanto:

P(z '1.43) : 0.9236.

b. Pk > 1.37\

Gráficamente, la región sobre la cual se debe hacer el cálculo es:

0.9I47

ffi Ruroru*iento lógico matemático

$$ Co-ooi..ción con lenguaje matenático

I epücación de la Matemática al entorno

La distribución normal están-dar está concentrada mayorita-riamente en el intervalo [-4,4].Al observar la tabIa, no existe laposibilidad de cálculo para va-lores menores que -4 y mayoresque 4, esto es debido a que estaprobabilidad para z es muy pe-queña al valor cero.

La tabla 1 muestra para el valor 1,.37 una probabilidad de 0.91,47 . Es decir, laregión a la izquierda de 1,.37, tal como se muestra en el gráfico.

Para calcular la región derecha (=) s. atlrtza la propiedad del complementode un evento. Por lo que P(r > 1.37) : I - P(x < 1,.37).

Esto es :1- 0.9147 : 0.0853

c.P(-1 =z=2)

Gráficamente, la región sobre la cual se debe hacer el cálculo es:

En la tabla 1, el valor correspondiente a -1 es 0.1587 y el valor correspon-diente a2 es 0.9772.

Para obtener la región esperada, se restan los dos valores:

P(- l d z d2) : P(2)- P(1) : 0.9772- 0.1587 : 0.8185

d

o

'o

ó€

E

I

zf=z

@

;fl Representa gráficamente cada distribución

- ,rorrrrul estándar, y utiliza la tabla I paraencontrar el área bajo la curva que se pideen cada ejercicio.

a. Alaizquíerdade z: 1.43.

b. A la derecha de z : -0.89.

c..Entre z : -2.76 y z : -0.65-

d. A la izquierda de z = -I.39.

e. A la derecha de z : 1.96.

f . Entre z: -0.48y z:7.74.

g. A la derecha de z.

h. A la izquierda de z.

Si Z es una variable aleatoria que se dis-tribuye según una distribución N(0,1), cal-cular.

a. P(Z < 1..39)

b. P(z > 1.39)

c. P(Z < -1.27)

d.P(z> 1.27)

e.P(0.45<Z<1.22)

f. P(-1,.47 < Z< -0.22)

s.P(z> -1.27)

Escribe las características de la

curva normal.

Las puntuaciones z son distan-

cias a 1o largo del eje horizontal

que se encuentran en la prime-

ra columna de la tabla 1. Las

áreas (o probabilidades) son re-

giones bajo la curYa que se re-

presentan con los valores en el

cuerpo de la tabla.

Se dibuja eI gráfico

Para xr: 95 +*#' z :

Cuando las distribuciones no tienen una distribución normal estándar, se

transforman los valores estandanzíndolos y se utiliza la tabla 1' (págína 140).

,i:'j *rl r g:: á'i.i u ff e, :; a*. +á';.¡:t ¡,

1. Resuelve.

Las pruebas de inteligencia dieron una puntuación con una distribución

normal con media : 100 y desviación típica o estándar : 15. Determina

el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

[ r :100 o:15 xr:95 v :11O"'2

95 - 100-Tt- : 0.33

Primero se estandariz^"= 7

Para xr: 110 : . ,8t :+, t : !9, ,J9Q : 0.67

P(0.33 1 z 3 0.67) = P(z' 0.67) - l1 - P(z < 0.33)l

: 0.7486 - (1 - 0.6293) : 0.3779 será el 37.79%.

cilt cvto DE puNTuAcIoNES Z DE ánsaECONOCTDAS

En algunas ocasiones ya se conoce el área o probabilidad y se desea determi-

nar a qué puntaje z corresponde.

flj a::rx g:3 * :; reÉ¡,¡ #!á.{}li

1. Responde.

¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al50% de la población?

Se dibuja el gráfico para id.entficar elárea bajo la curua corresltondiente.

z = 0-67

o

o

'a

3i

I

z

=z

o

P(0.25 ) ¡'*+¡. z: -0.67

P(0.75) !86¡ z:0-67

Se localiza la probabilidad más cercanaen eI cuerpo de la tabla y se identifica lapuntuación z correspondiente.

g@ fi R."o."-iento lógico matemático @

co-ooi"ución con lenguaje matemático I

enrcación de la Matemática al entorno

WII

,ú - 110Parax' :* ] =-0.67

*,. : (- 0.67 X 15) + 110 : 99.95

x - 1,10Para x, j-15 " : 0.67

xz: (0.67 X 15) + 110 : 120.05

El intervalo centrado en 100 es [99.95, 120.05].

3. Resuelve.

Tras una prueba de cultura general, se observa que las puntuaciones ob-tenidas siguen una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los exami-nados en tres grupos: de baja cultura general, un 20Yo; de cultura generalaceptable, un 65%o:y de excelente cultura general, un 15Yo. ¿Cuáles son laspuntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

P(0.20) @ z :85%

P(0.8s) @ 2 :

ó

.i

E

E

I

z

=Fz

o

Encuentra el área de:

a. entre z : - I .25y z: 2.75

b.z:Ayz:2

c.z:*1.01 y z:1. .A1.

d. a la derecha de -0.98

e. a la izquierdade z : 1.35

Resuelve.¡ \9J491 Y9.

Las masas corporales de 2 000 soldados siguenuna distribución normal de media 65 kg y des-viación estándar de 8 kg. Si elegimos un soldadoal azar, calcula el porcentaje que tiene una ma-sa de:

- más de 61 kgo entre $ y Aé kg5 menos

{e lO kS

* más de 75 kg

Resuelve.

a. IJna fábríca de focos sabe que la duración deestos representa una distribución normal conuna media de 1 800 horas y una desviación tí-pica de 150 horas. ¿Cuál es el intervalo que se-para el 5% inferior y el5% superior de tiempode duración de los focos?

b. Un servicio de ambulancias sabe que su tiem-po de respuesta a llamadas urgentes dentro delos límites de la ciudad es una variable condistribución normal, con media 6.2 minutos yvarianza 3.6 minutos. ¿Cuál es la probabiüdadde que una ambulancia responda una llamadade urgencia en menos de 15 minutos?

¿CuáI es el área bajonormaldez:ü.0?

la.'curva

Ya que elárea debajo de la curva normal es igual a uno, existe una corres-pondencia entre área y probabilidad. Por lo tanto, se utiliza la curva normalpara el cálculo de probabilidades.

fij**rpl*s resueátcs

1. Resuelve.

El número de personas, medido en miles, que utilizan el servicio masivode transporte público tiene una distribución normal con media 98 y des-viación estindar 1.2.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un día cualquiera, utilicen el servi-cio entre 95 mil y 100 mil usuarios?

" Se debe calcular P(95 < x < 100). En el gráfico de la normal con p :

98 y o : 72, se tienen dos valores de x para estandarizar, por tanto:

Paraxr:9s @ . zr : +: ry: -0.25

Paraxr:1oo # . r : #: lsE :0.1,67

Por tanto, en la normal estándar, la región sobre la cual se debe hacer el cál-culo corresponde al gráfrco:'

Entonces: P(95 < x < 100) : P(-0.25 3 z 3 0.1,67)

: F(0.167) - F(-0.25) : 0.9525 - 0.4013 : 0.551.2

La probabilidad de que en un día cualquiera se tenga entre 95 000 y 100 000usuarios es de 0.5512 : 55.72%.

Si X es una variable aleatoriadistribuida sesún una distribu-ción N(p, o¡,'t atta,

pf i r . -3o<X<p+3o)

p=(-3-z=3)

:p(233)-p(==-3):

10098v5

p0.99987-1+0.gg8,7

:0.9974

Es decir que aproximadamen-te. á 99'7 $oÁ,de:Io¡, r¿¡Iorés e'*¡,

. ;estan a nlenos cte- J ctesvracronestípicas de la media.

':.-:'

o

3

5

I

z

+z

())

#

| nozonnmiento lógico matemático

ff co-ooi".ción con lenguaje matemático

I anlicación de la Matemática al entorno

I

región sobre la cual se

debe hacer el cálculo

200x2

90x.t

I^j

I

II

;

I

€€Eoó€

;-'*

F=

ÉI

I

z

==zfo

No importa cuáles sean los va-lores de z parauna distribuciónde probabilidad normal, el áreatotal bajo la curya es 1.00, demanera que $e pueden tomarlasáreas bajo la curva como si íue-ran probabilidades.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado usen el serviciomenos de 90 mil personas o más de 720 rill?

Región sobre la cual debe hacerse el calculo.

Se debe calcular: P(* -

90) + P(x < 120).

Paraxr:90 @ . : T: ry: -0.67

Paraxr:120 W , : T: W: 1.83

Se tiene entonces que:

P(* -

90) + P(x < 120) : P(z < -0.67) -f P(z < 1.83)

: F(-0.67) : (1 - P(* < 1.83)) : 0.251.4 + (1 - 0.9664) : 0.285

c. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado usen el servicio alo sumo 105 mil Dersonas?

105 - 98.: ----TZ- :

P(x -

105) : @F( ) -

Región sobre la cual debe hacerse el cálculo.

Resuelve. '

a. En una ciudad se estima que la temperaturamáxima en el mes de iunio tiene una distribu-ción normal, .or, *.di" 23o y desviación tí-pica 5o. Calcula el número de días del mes en1os que se esflera tLcanzar temperaturas máxi-mas entre 21 o y 27".

b. La media de los pesos de 500 estudiantes deun colegio es 70 kg y la desviación típica de3 kg. Suponiendo_ que los pesos se distribuyennormalmente, halla cuántos estudiantes pesan:u Entre 60 kg y 65 kg ,, ' . i ',,,, ,. Más de 90 kgu Menos de 64 kg

Observa el gráfico y escribe 14expresión que repr€senta e7 íreasombreada. '

Dada una distribución normal estándar, es posible, a partir de la probabili-

dad, encontrar el valor correspondiente de Z.Esta probabilidad correspondeal percentil de la distribución.

Es decir que, si se tiene P(. -

a) : 0.75, es porque a corresponde al percen-til 75, el cual equivale al cuartil 3.

En este caso, para calcular el percentil 75, se ubica en la tabla 1 el valor dez rnás cercano que corresponde al área 0.75. En este caso, corresponde az : 0.67. Por lo tanto, el percentil 75, o cuartil 3 de la distribución normalestándar es 0.67.

H.j+ruplers re*t**!f*s

1. Resuelve.

El salario, de los empleados de una compañía tiene una distribución nor-mal con media $720.00 y una desviación estándar de $95.00. Calcula loscuartiles de la distribución.

0.250.25 0.25

0.25

9r 720 = q, qu

Solo se calcula el cuartil 1 y el cuartil 3,ya que el segundo corresponde a lamedia.

Cuartil 1

De la tabla se tiene que, para P(z = zr) : 0.25, zr: -0.67

Entonces, -0.67 : +,por 1o tarúo, qr: 656.35

Cuartil 3

De la tabla se tiene que, para P(, = zr) : 0.75, z.: 0.67

Entonces, -0.67 : +, por lo tanto, q3: 783.65

2. Encuentra el salario del que el70Yo de los trabajadores está pordebajo.

n El valor del que el 70% de los trabajadores está por debajo corresponde alpercenril 70.

De la tabla se tiene que para P(. = zr) : O.7, z1: 0.52.

x-720trntonces u.5¿ :

% , por lo tanto, x :

Para que , una distiibucié'n'searloomat,debr crrmplii¡,': :;,' .,:' ,

l" Jo,y,o = l,l.rrtor'"*5tré á.ce que Z tiene una distribuciónnormal estándar.

, l : '

Dada,unai lvariable,: X, norynalno' estáüdar,,X'se.,estan"&aúzaáediantelarelaeién; 1": ' : , .

t :+ o

.o_

€=

I

z

z

A-ém. I^

ffi

| Ruroru-iento lógico matemático

ffi como.i.ución con lenguaje matemático

! hnlicación de la Matemática al entorno

I

ffi calcula.

Sea X una variable aleatoria con funcién de dis-tribución normal con media 5 y desviación es-tindar 2. Usando la tabla 1 y los valores estándarde z. calcula:

a. El valor del percentil 49

b. El valor del percentil g4

c. El valor de los cuartiles

d. El valor del séptimo decil

e. E1 valor que corresponde al 97% y al3%

f. E1 valor que corresponde al 84% y a! 760/o

g. El valor que corresponde al 99o/o y 7Yo

3. Resuelve.

La estatura de un grupo de alumnos tiene una distribución normal conuna media de 165.9 cm y una desviación estándar de 8.8 cm.

a. ¿Cuál es el percentil 20, que es la estatura que separa al20% inferior del80% superior?

'Dibuja el gráfico.

De la tabla se tiene que para P(. = zr) : 0.2, z, :

Entonces Por lo tanto ,c :

b. Calcula el percentil B0 que es la estatura que separa al B0% superior del20%o inferior.

Dibuja el gráfico.

De la tabla se tiene que para P(z < zr) : 0.8, zr:

Por lo tanto ,t :Entonces

o

.si

E

I

z

=z

o

fl et"o"" v resuelwe

a. Cierto tipo de batería dura un promedio de 3t

años, con una desviación estándar de 0.5 años.Suponiendo que la duración de las baterías seauna variable normal:* ¿Qué tiempo de duración corresponde ú,68%?

1 ¿Qué tiempo de duración corresponde a199%?

b. Las monedas de 25 centavos de dólar tienenuna masa con una media de 5.6 g, y una des-üación estándar de 0.070 g. Si se sabe quela medida de sus masas tiene una distribuciónnormal, encuentra cuál es la masa de las mo-nedas de 25 centavos que acepta una máquinaque está ajustada para rechazar el 2Yo rnás pe-

1 7 ^^/SaCO y el Z"/o mAS llv1ano.

o

ffi ffiffiffi*ffi ffi #ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi#frl$ffiffi ffiffiffiffi ffiffiffiffi ffiffi ffi-3.6 .0002 .0002 .0001-3.5 .0002 .0002 .0002-3.4 .0003 .0003 .0003-3.3 .0005 .0005 .0005-3.2 .0007 .0007 .0006-3.1 .0010 .0009 .0009-3.0 .0013 .0013 .0013.g,4,. ,, l¡.'','iü.iig, tr,,,,OO1 g, i l', ,6Onn,-2.8 .0026 .0025 .0024

,'2.2,1,,,,t,,,,001S t,,.6¡3a1

.6¡33-2.6 .0047 .0045 .0044_2.5 .0062 .0060 .0059-2.4 .0082 .0080 .0078

', j:.31,,:,' ' lg7üi -,,,,,:.CI104,::,ró,f02,,

-2.2 .013e .0 t36 .0132-2.1 .0179 .0.174 .0170-2.0 .0228 .0222 .0217-1.9 .0287 .0281 .0274-i .8 .0359 .035 | .0344

,"1i,,',;L,,,,.,t,,,,;'.,t...,144e,',:r,10+:6,'.:iqez.l,:-t.6 .0548 .0537 .0526-1.5 .0668 .0655 .0643-1.4 .0808 .0793 .0778- l .3 .0968 .0951 .0934- l .2 .115 | .1 131 .111.2-1.1 .1357 . t335 .1314- l .0 .1587 .1562 .1539-0.9 .1841 .1814 .1788-0.8 .21, t9 .20e0 .2061-0.7 .2420 .238s .2358-0.6 .2743 .270e .2676-0.5 .308s .3050 .301 5-0.4 .3446 .3409 .3372

Arár',.'t...l.:;¡siL',.:':il18i.,:.:,,.,,llsd....-0.2 .4207 .4t68 .4129-0. r .4602 .4562 .4522-0.0 .5000 .4960 .4920

.0001 .0001

...9óóe '",'.au{,-t

.0003 .0003'mO+,.,,,,'.'rCó04

.0006 .0006,6$69,1 , '.;000g.001.2 .001,2lOOt,f :',.úófe

.0023 .0023',A832,,,, ;oo3i.0043 .0041,0052,'l ,,gutt

.0075 .0073,0099 'l',Iat¡a.0129 .0125,ci6al: ,ola2.4212 .0207t't}265,

,,' .AZ;62,.0336 .0329

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.0516 .0s0s'.-begO,.'l :,,,l,.gOt..g

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.0301 .0294

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Razonamiento lógico matemático r comunicación con lenguaje matemático $

arficación de la Matemática al entorno

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TABLA DE DISTRIBUCIóN NORMAL ACUMULATIVA

ffi $Í$fiffi$$f{lffi ffiffi ffi wtrffiiigffi ffi ffiffiffiffiffi ffi0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239

0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636

0.2 .5793 .5832 .5871 .59 l0 .5948 .5987 .6026

0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .63ó8 .6406

0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772.l., ,'.¿r5.ii',i.'. ].!' , ,6guo .6985 .70rg .76!/::;,,;':'fu,4.1',...,.r,i.:s

0.6 .7257 .7291 .7324 ]357 .7389 .7422 .7454' '-,.¿9':.,,.¡tSS$ : '..f6f f .7642 .i673 .li A;,:,,',:,.liS;+,],,|,..i¡ii¿.¿

0.8 .7881 .7910 .7s3s .7s67 .7sq5 .8023 .80510.9 .8i 59 .8 l 86 .8212 .8238 .8264 .8289 .83 1 51.0 .8413 .8438 .8461. .8485 .8s08 .8s31 .8s541.2 .884S .8869 .8883 .8907 .8925 .8944 .89621.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .91.311..4 .s lsz .e207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279r.5 .e332 .e345 .e357 .9370 .9382 .93e4 .s406

,",,,."', :, i,:61,,,. 1,.,.L&

1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .s59s .9608

,., .,',1,,,,,,1it*¡1.,1.9 .s713 .9719 .e726 .s732 .9738 .s741 .e750

.,..., :,,,,¡,¡1 . '

2.1 .9821, .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846',,,,t:,,,t,,,.,,1:.'i2;,',,,',

2.3 .9893 .9896 .9898 .990r .9904 .9906 .9909

'...t," .;,",f;14,,::,:,t:,":',,'92.5 .9938 .9940 .9e41 .se43 .es45 .9946 .9948

. . . . . . '¿'o,. ' :¡¡. . . : ,óól! ' : . . . . . . . : . ;9¡g.,559956:?g:|57.o959,,, ' . . '4q6

2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971:: : :;,2i,9,,t,;,;,,,,,., :g

2.9 .9981 .eg82 .gs82 .9983 .ss84 .ge84 .9e85

.. . . .?. , .9. . . . . . . .9987.. . ,998i. . . . l . l .*98i : . . | l ,$ i$.¡ . . . . . . ] . . .oo*.a,,1.3.1 .9990 .9991 .ggg1 .e991 .9gg2 .9eg2 .99923.2 .gg93 .sgg3 .9994 .9994 .sgs4 .sgg4 .ss943.3 .9995 .ggg5 .9995 .sgg6 .9996 .9996 .9996

...l.ll.ll....:...l'l.'¡..g..:,l,,::;o99¡.....,...¡9;7

3.5 .9998 .ggg8 .9998 .9998 .9998 .g9g8 .ggg8

...l.l...:...ll...l..:lel:l.l.],:,.,s9'9

.527e .5319 .5359

.5675 .57 14 .5753

.6064 .6103 .6147

.6443 .6480 .6517

.6808 .6844 .6879

.7157 .71.90 .7221

.7 486 .7517 .7549

.7794 .7823 .7852

.8078 .8106 .8 r33

.8340 .8365 .8389

.8577 .8599 .8621

.8980 .89e7 .e015

.e147 .9162 .st77

.9292 .9306 .9319

.g4t8 .942s .s441

.9525 .9535 .9545

.e616 .9625 .9633

.9693 .9699 .9706

.9756 .s761 .s767

.9808 .9812 .9817

.9850 .9854 .9857

.9884 .9887 .9890

.99i1 .9s13 .99r6

.9932 .9934 .9936

.ss4g .9951 .gg52

.9962 .9963 .9964

.9s72 .gg7 3 .eg7 4

.gs7g .9980 .9981

.9985 .9986 .9986

.9e89 .9990 .9990

.9992 .999i .9993

.9995 .9995 .9995

.9996 .sss6 .ggg7

.gg97 .ggg7 .9998

.9998 .99e8 .9998

.gggg .sggg .gggg

t

. i l i l

I

Completa el rnapa de conceptos.

se catacteTrza

porqueI

Iuna de las másimportantes es

I

Ise considerandos eventos

Clasifica las siguientes variables aleatorias yescribe D si es discreta o C, si es continua.

a. El número de caras cuando se lanzancinco monedas.

b. El diámetro de un tornillo producidopor un torno electrónico.

c. El número de respuestas acertadas enun examen de cinco preguntas deselección múltiple.

d. El tiempo que tarda un bus escolar enrealizar su recorrido diario.

e. El diámetro de la cabeza de un niñodel grado pre-escolar del colegio.

Para seleccionar los dos representantes de los pro-fesores en el consejo directivo del colegio, se hanpostulado tres proGsores de Matemática y dos deCiencias.

a. Encuentra el espacio muestral de este experi-miento aleatorio y construye la función de dis-tribución de probabilidades de X.

b. Halla los valores de X, si X es la variable aleato-ria que mide el número de profesores de Mate-mática en el consejo directivo.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos profeso-res seleccionados no sean de Ciencias?

se catactertza

porque

la de mayoraplicación es

Toma valores enteros

P+

Continuas

Distribución binomial

Distribución normal

Son independientes

r,xrro (p)

otrascaracterísticas

Sl Analiza v resuelve.

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F

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z

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--"Í'l'l+'tii1r¡ !ñ Ru'oou-iento lógico matemático ffi

co-ooi"ución con lenguaje matemático I

enücación de la Matemática al entorno-$ l ;+ ' - ' }J I

1;i4;.6.i,'

l1

pueden ser

o

6

p

=I

z

Fz

o

Analiza y resuelve.

La siguiente tabla muestra la distribución de pro-

babilidades de la variable X número de erroresortográficos en una página de un cuaderno de Ma-

ternitica.

x0i234P(X) 0.1s 0.25 0.2s 0.10 0.2s

a. Si se abre el cuaderno en una página a\ azar,

¿cuál es la probabilidad de que tenga por lo me-nos dos errores de ortografia?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una página del

cuaderno tenga entre 3 y 4 errores?

Determina si los siguientes experiÍrentos son

binorniales. En caso afirrnativo, encuentra r?,pvq-

a. ljn estudiante debe resolver un examen de sie-te preguntas, cada una con dos opciones derespuesta,V o E Sea X la variable que mide el

número de respuestas correctas.

b. Un automóvil se acerca a una esquina y puede

tomar una de tres direcciones: continuar a la de-recha,a la izquierda o seguir adelante. En un mi-nuto específico, se acercan cuatro automóviles ala esquina.

c. La probabilidad de que una per-

sona sufra hipertensión es del25%. El departamento médico

del colegio decide seleccionar10 maestros. Sea Z la variable

aleatoria que mide el número de profesores que

sufren de hipertensión.

d. En una encuesta de popularidad del alcalde dela ciudad se plantea una pregunta con tres op-

ciones de respuesta: buena, regular y mala. Cin-

co personas contestan la pregunta. Se define una

variable aleatoria que mide el número de perso-

nas que respondieron "buena".

Analiza y resuelve.

a. Se toma una muestra de cinco trajes para caba-llero. Se sabe por experiencia que el 10% de lostrajes tiene algún defecto de fabricación.

" ¿Cuál es la probabilidad de que por 1o menos

tres trajes tengan defectos?

" ¿Cuál es la probabilidad de que exactamenteuno tenga defectos?

¿Cuál es la probabilidad de que a 1o sumo dostengan defectos?

b. Una empresa distribuidora de computadorasportátiles diseñó una estrategia de ventas que

consiste en que por la compra del equipo se re-gala el seguro por un año. La probabilidad dehurto de una portátil en la ciudad es de 0.2.

- Si el departamento de atención recibe 14 11a-madas en la siguiente hora, ¿cuál es la proba-

bilidad de que por 1o menos 4 lo hagan parahacer efectivo el seguro?

' ¿Cuál es la probabilidad de que entre 10 y 12personas llamen para hacer efectivo el seguro?

' ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo dospersonas llamen para hacer efectivo su segu-ro?

c. En una cosecha de sandías, el 15% no son del ti-po para exportación. lJn recolector selecciona 6sandías para determinar si son del tipo para ex-portación.

" Construye la distribución de probabilidades dela variable número de sandías de1 tipo para ex-portación en la muestra de seis.

" ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean de

exportación?

' ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos unano sea de exportación?

Deterrnina el área bajo la curva nortnal si-

tuada entre los siguientes valores de z.

a.z:0az: I .30 b.z:0az: L.28

L.30

,'lt,f

c.z:0 az: -3.20 c.z: -1, .30 az:

ffi Utiliza la tabla uno y calcula.

P(z < 1,32)

P(z < 0,13)

a. Sea Zuna variable aleatoria con función de dis-tribución normal estándar.

P(1,64<z<1,96) P(z=2)

b. Sea Xuna variable aleatoria con función de dis-tribución normal con media 5 y desviación es-tándar 2. ljsando la tabla 1 v los valores estándarde z, calcula:

P(x = 6)

P(5< x<7)

P(7=rc=8)

Resuelve.

a. El tiempo que demora una persona en rcalizaruna transacción bancaria tiene una distribuciónnormal con media de 3 minutos y desviaciónestándar de medio minuto.

Si una persona llega al banco:

= ¿Cuál es la probabilidad de que rarde menos dedos minutos enrea\izar la transacción?

* ¿Cuál es la probabilidad de que demore a 1osumo un minuto en realizar la transacción?

* ¿Cuá1 es la probabilidad de que tarde más de 3minutos en rcalizar 1a transacción?

* ¿Cuál es la probabilidad de que rarde más de 5minutos en rcalizar la transacción?

b. La distancia recorrida por un mensajero en undía normal de trabajo tiene una distribuciónnormal con media 12 kilómetros y desviaciónestándar de 2 kilómetros.

Cuál es la probabilidad de que hoy el mensaje-ro:

* Recorra al menos 10 kilómetros.

* Recorra a lo sumo 11 kilómetros.

e Recorra menos de 15 kilómetros.

P(<0,13 z<0,1.3)

P(z = 0,5)

P(2=x=3)

P(r < 8)

P(x > 2)

" Recorra más de 16 kilómetros.

* Recorra entre 10 y 14 kilómetros.

b. Una máquina dispen-sadora de café está pro-gramada para servir unpromedio de 200 milili-tros de café por vaso. Si lacantidad de bebida servi-da por la máquina tieneuna distribución normalmililitros:

con varia;nza de 225

. ¿Qué porcentaje de vasos contendrán más de224 mllllitros?

* ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso tengaentre 190 y 205 mililitros?

* ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso con-tenga más de 300 mililitros?

* ¿CuáI es la probabilidad de que un vaso tengaentre 198 y 203 mililitros?

. ¿Debajo de qué valor se obtiene e|25Yo rrríspequeño?

a

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I

z

F=

@ f nazon.-iento lógico matemático

ffi co-oni"ución con lenguaje matemático

I Anücación de la Matemática al entorno

WI

I

fl Resuelve.

a. {Jn investigadorreporta que la vi-da media de unratón de labora-torio, cuando sesomete a dietasrigurosas, es de40 meses.

Si se supone que la vida de los ratones está normal-mente distribuida con desviación estándar 6 meses,encuentra la probabilidad de que un ratón viva:

* Más de 30 meses.

a Menos de 28 meses.

+ Entre 30 y 45 meses.

" Entre 37 y 49 meses.

p Analiza v resuelve.

(Jn profesor se traslada de su casa, al sur de la ciu-dad, a un colegio ubicado al norte de la ciudad. Enpromedio, el viaje dura 35 minutos con una desvia-ción estándar de 4.8 minutos. Si se supone que eltiempo que tarda el profesor en ir de su casa al co-legio es una variable aleatoria normal:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 30 y40 minutos en llegar al colegio?

b. Si el profesor sale de su casa a las 5:30 de la ma*flana y en el colegio sé sirve caíé entre las 5:45y las 6:00 de la mañana, ¿caál es la probabilidadde que se pierda el café?

c. En esta semana, el profesor se programó para sa-li¡ a las 5:25 de Ia rnai'arra de su casa. Se conside-ra que el proGsor llega tarde después de las 6:00de la mañana ¿Cuál es la probabilidad de que lle-gue tarde?

d..Utlltza la distribución binomial y calcula la pro-babilidad de que el profesor llegue tarde al me-nos tres de los cinco días de la semana.

Utiliza la aproximación de la distribuciónbinomial a la norrnal y deterrnina la rnedia(np) y la desviación estándat Gfpq) de cadavariable. Luego resuelve.

En una línea de ar-mado de zapatos seproduce elTYo de ar-tículos defectuosos.

Un día determinadose producen 1 000pares de zapatos.

Variable: número dedos en esta línea.

zapatos defectuosos produci-

a. ¿Cloáles la probabilidad de que se produzcan en-tre 200 y 250 pares de zapatos defectuosos?

b.¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan porlo menos 100 pares de zapatos defectuosos?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que se tengan más de50 pares de zapatos con defectos?

o

o

=¡

z

z

@ Analiza y resuelve.

En un cru-ce de la ciu-dad se tieneuna probabi-lidad (p) del0.32 de queun automóvilse accidente.En un día, se contabilizaron 750 automóviles quecruzaron por allí.

a. LJsando la aproximación de la distribución bino-mial a la normal, determina la media y la desvia-ción estándar de la variable número de accidentesreportados en ese día.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se accidentenmenos de 30 autos?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que se accidentenentre 50 y 75 autos?

d.¿Cuál es la probabilidad de que por 1o menos600 autos se accidenten?

e. ¿Consideras que este cruce es muy peligroso?

Justif ica la respuesta.

Obtén la probabilidad de que un dato selec-cionado al azar de una población tenga unvalor z que caiga entre los siguientes paresde valores:

a.z:-2.75a2:1.35

b.z:-2.95a2:- I .1.8

c.z:0.75a2:2.5

d.z:-2.0a2-3.35

S Resuelve.

Se ha detectado que el 60% de las personas que to-ma tranquilizantes lo hace por problemas psicoló-gicos. Si se pregunta a 15 personas que consumentranquilizantes, ¿cuál es la probabilidad de que 4 1ohagan por problemas psicológicos?

APLTc.AR LA FuNclów olsrnrcuclówDE PROB^EBILIDADES.

l .Resuelve.

a. LJna fábrica produce discos compactos con 2.5Yode defectuosos. ¿Cuál es la distribución de probabi*lidades del número de discos compactos defectuo-sos que podría contener una muestra de 10?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obrener cuando mucho3 veces el número 5, en 10 lanzamientos de un da-do de 6 caras?

TRAZAR t.A CURVA NORMAL Y RESOLVER

3.Resuelve. 5.

Traza \a curva normal para una variable aleatoria ¡que tiene una media p : 100 y desviación estándaro : 10. Luego, indica los valores de 70,80,90, 100,II0,120 y 130 en el eje horizontal.

4.Analiza y resuelve.

Los alambres que se utllízan en cierta computadoradeben tener una resistencia entre 0.1,2 y 0.1,4 ohms.Las resistencias reales de los alambres producidos porla compañía A tíenen una distribución normal conmedia de 0.13 ohms y una desviación estándar de0.005 ohms.

a. Trazala curva y representa los datos.

b.¿Cuál es la probabilidad de que un alambre selec-cionado a\ azar de la producción la cornpañia A sa-tisfaga las especificaciones?

6.c. Si se utllizan crta-

tro de estos alam-bres en un sistema

¿cuál es la proba-bilidad de que loscuatro satisfaganlas especificacio-nes?

INTERPRETJIR DATOS

2.Deterrnitaa n, p y q en cada caso y resuelve.

a. lJn proceso produce I0% de artículos defectuosos.Si se seleccionan al azar L00 artículos del proceso,

¿cuál es la probabilidad de que el número de defec-tuosos exceda de 13? ¿Y que sea menor de 8?

b. Una compañía farmacéutica sabe que aproximada-mente 5% de sus píldoras anticonceptivas tienen uningrediente que está por debajo de la dosis mínima,lo cual las vuelve ineficaces. ¿Cuá1 es la probabili-dad de que menos de 10 píldoras en una muestrade 200 sean ineficaces?

Resuelve y responde.

Se supone que los resultados de un examel tienenuna distribución normal con media de 78 y varianzade 36.

a. Representa los datos en una curva.

b.¿Cuál es la probabilidad de que una persona quepresenta examen obtenga una calificación mayorde 72?

c. Supón que los estudiantes que se encuentran en el1070 superior de la distribución se les asigna unacalificación A. ¿Cuáles la calificación mínima quedebe tener un estudiante para obtener una A?

d. ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoriasi el evaluador pretende que solamente el 28.1Yo delos estudiantes apruebe?

Resuelve.

El rendimiento promedio delvencimiento de los bonos in-dustriales emitidos duranteel primer trimestre de 2007fue de 8.55%, con una des-viación estándar de 0.70%.Suponiendo que el rendi-miento de los bonos se dis-tribuye normalmente y queel rendimiento de una compañía fue de 7.I%, ¿quépodemos decir de la situación financiera de esta firmadurante el trimestre mencionado?

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Los ciudadanos de un país deben estar informadospara decidir quienes serán sus gobernantes. Cuandose aproxima la eiección popular para un cargo púb1i-co, la mayoría de candidatos realizan un trabajo po-l í t ico previo que obedece a un plan dc t rabr¡o y decampaña. Se desarrollan actividades como visitas acomunidades, encuentros con líderes locales o regio-nales, reuniones en plazas públicas y otras activida-des que permiten difundir la propuesta de programade gobierno y captar posibles votantes que apoyen 1apropuesta del candidato. LJna forma de evaluar estetrabajo se centra en las encuestas propuestas a la po-blación objetivo.

Durante este proceso de socialización de1 programade gobierno, la mayoría de candidatos contratan fir-mas encuestadoras que miden el porcentaje de per-sonas que tienen la intención de apoyar el plan degobierno mediante e1 voto.

Esta herramienta permite a la canrpaña de cada can-didato evaluar si el trabajo realizado ha sido efectivo,estableciendo si la proporción de votantes ha aumen-tado.

Si se considera 1a variable aleatoria X e1 número depersonas que votan por el partido mayoritario con p:ia probabilidad de que una persona vote por ese par-tido es p : 0.31, se tiene que:

X tiene una distribución binomial para un número r¡de personas que votarán en las elecciones presiden-ciales.

Si se espera que unos 4 000 000 de personas acr-rdirána las urnas, utiliza 1a distribución binornial para calcu-Iar la probabilidad de qué partrdo mayoritario ganaríalas elecciones en la primera vuelta.

p:np: o: {npq :

Para que el partido mayoritario gane 1a presidenciaen la primera vuelta, es necesario obtener más de lanritad de la votación. lJsando 1a distribucrón normal,se debe calcular: P(" = 2 000 001) = 0. Por 1o tan-to, la probabilidad de que haya un ganador de la pre-sidencia en la primera vuelta es muy cercana a cero.

ffi Chsifica las siguientes variables como discretas (D) o continuas (C).

a. Obtener menos que 5 al lanzx un dado.

b.Número de helados vendidos en un día.

c. Altura de árboles de un bosque.

d.Cantidad de leche producida por las vacas de una hacienda.

Resuelve.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta está dada por.

Xs.2"

a. Halla m paru que se cumpla que es una función de probabilidad.

b.Encuentra P(X < 4)

c. Halla P(2 -

x<4)

Resuelve.

En una asociación juvenil, el 30% de los socios juegan básquetbol. En un momento dado, tratan de reunir gente

para formar el equipo, por 1o que se pregunta a un grupo de 10 socios si practican dicho deporte.

a. Determina los valores, n, p y 4 de este evento.

lTTn

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b.¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo haya dos o más personas que jueguen básquetbol?

ffi Analiza y resuelve.

Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcula la probabilidad deque una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

fl nituja una curva normal que represente cada caso y calcula el valor de z qae corresponda.

a. Area a la derecha de Z:0.6985. b. El área entre -Z y Z es 0.9164.

Resuelve.

a. Si se sabe que las masas de los lechones de una granjason una variable normal cuya masa media es de 9 li-bras, con una desviación estándar de 2ltbras, ¿cuales la probabilidad de que al comprar uno de los le-chones este tenga una masa superior a las 10 libras?

b. Si se sabe que de 25 salvadoreños adultos,6 no tie-nen empleo, ¿cuál es la probabilidad de que de 38personas adultas que se encuentran en una iglesia 9no tengan empleo?

c. La estatura de una población se distribuye normal-mente con una media de 1.70 m y una desviaciónestándar de 0.1 m. Se seleccionan al azar cuatropersonas y se pide calcular la probabilidad de queuna y solo una mida más de 1.72 m.

d. El nivel de colesterol en los individuos dependede la edad y del sexo. En hombres con menos de21. añ.os, esta variable normal tiene una media de1,60 rng/dl con una desviación de 10 mgldl. Cal-cula el nivel de colesterol ,c que corresponda al25% de los individuos de 21 años que tenga un ni-vel menor que ese valor.

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