Unidad 5

Identidades

Ing. Arnoldo Campillo Borrego.Autor.

Identidades

Hay varias relaciones que se pueden encontrar al realizar operaciones

entre dos o más funciones trigonométricas, algunas de ellas son

igualdades en las que al hacer la operación entre ciertas funciones el

resultado es el mismo que al hacer otra operación con otras funciones;

independientemente del ángulo que se tome, a esas igualdades se les

llama identidades trigonométricas.

Cuando tratamos con funciones trigonométricas tuvimos que recurrir al círculo unitario estándar donde si

x = cosθ y y = sen θ,cumple

cos2θ + sen2θ = 1

Aquí θ puede ser cualquier número real ya que nos proporciona la medida de cualquier ángulo en radianes.Si una igualdad se satisface para todos los valores que hacen posible la expresión donde aparece la (s) variable (s) se llama identidad.Se tiene que admitir que

cos2θ + sen2θ = 1

es una identidad válida en el conjunto de los números reales.

Es habitual utilizar el símbolo “≡” (léase identidad) en lugar de “=“, para este tipo de igualdades tan especiales.

Si se pretende determinar la posibilidad de que

Tanθ = 0

sea una identidad, se comenzará por hacer explícito el conjunto de valores de θ donde tenga sentido hablar de tanθ; en este caso sería el conjunto de todos los números reales excepto en:

π/2 ± nπ (n: entero)

La igualdad propuesta no es una identidad, lo puedes verificar fácilmente que la igualdad no se cumple para todos los valores posibles de θ (en particular tan π/4 ≠ 0).

Una vez establecido un criterio para reconocer igualdades trigonométricas que puedan ser admitidas como identidades, se establecen las de mayor relevancia por sus aplicaciones:

Después de proponer y justificar que

sen2θ + cos2θ = 1…………………………………(identidad 1)

se hace inmediato tratar con la siguiente:

cos (θ – α) = cosθ cos α + senθ sen α……………………(identidad 2)

una identidad que permitirá deducir la existencia de esos casos particulares de ella muy singulares.En la siguiente figura y con la aplicación de las definiciones seno y coseno:

θθ A(1, 0)

B(x3, y3)

c(x2, y2)

d(x1, y1)α

α

x1 = cosθ, y1 = senθ,x2 = cosα, x2 = senαx3 = cos (θ – α), y3 = sen (θ – α),1 = cosθ, 0 = sen0

Como la longitud del arco ABC es la misma que la del arco dCB, en el mismo círculo; por principios geométricos admitimos que las longitudes de sus correspondientes cuerdas serán iguales. Usando geometría analítica para calcular la longitud de las cuerdas (distancia entre sus extremos);

√(x3 – 1)2 + (y3 – 0)2 = √(x3 – 1)2 + (y3 – 0)2

Ya que los ángulos fueron tomados de manera arbitraria, podemos considerar el resultado como un resultado general, válido para todos los ángulos que conformen arcos y cuerdas como los indicados en la figura anterior. En el caso particular en que θ y α tengan lados terminales iguales, la identidad sigue siendo válida, lo puedes comprobar sustituyendo, aunque su demostración no sea llevada a cabo de la misma manera, ya que no se puede hablar de arcos de longitud cero.

Hagamos un ejemplo para demostrar la identidad 1.

Calcular cos π/6

Solución.

Describimos el ángulo π/6 en términos de una diferencia de ángulos conocidos para poder aplicar la identidad, por lo que

cos(π/6) = cos(π/2 – π/3) =

= cos π/2 cos π/3 + sen π/2 + sen π/3 = (0) 1 + (1) √3 = √3 2 2 2

Ahora bien, la segunda identidad la podemos demostrar de la siguiente manera.

(π – 0) ≡ – cos θ

Solución.Usando la primera identidad del ejemplo anterior:

Cos (π – 0) ≡ cos π cos θ + sen π sen θ ≡

≡ (–1) cosθ + (0) sen θ ≡

≡ cos α

En una primera manera de particularizar la identidad (2);

si θ = 0, cos (θ α) ≡ cos (0 – α) ≡

≡ cos (0) cos α + sen (0) sen α

≡ cos α

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

Entre las identidades trigonométricas hay algunas especiales que se llaman pitagóricas.

Todo triángulo rectángulo es semejante a un triángulo rectángulo que este en el círculo unitario.Veamos la primera identidad:sen 45° + cos 45° = 1Como verás se parece al teorema de Pitágoras, de hecho se ocupa este para comprobar que es cierta, por eso lo de identidad pitagórica.Las identidades son útiles para hacer ciertas operaciones matemáticas o para calcular una de las funciones trigonométricas de manera indirecta, por ejemplo, a partir de sen2 α + cos2 α = 1, se tiene que si se conoce el seno de un ángulo se puede saber cuánto vale el coseno del ángulo, por ejemplo, si sen(45°) = 0.7071, sustituyendo se tiene que:

sen2 α + cos2 α = 10.70712 + cos2 45° = 1cos2 45° = 1- 0.4999 cos2 45° = 0.5001

cos2 45° = √ 0.5001 = 0.7071

Como lo viste en el ejemplo anterior, sin necesidad de conocer el cateto adyacente o la hipotenusa se puede calcular el valor del coseno de una forma indirecta.Ahora vamos a deducir las otras identidades pitagóricas, para lo cual veremos las funciones recíprocas de seno, coseno y tangente, las cuales son:

cot α = 1 sec α = 1 csc α = 1 tanα cosα senα

A partir de esa identidad pitagórica se pueden deducir las otras, por ejemplo, si ambos lados de la igualdad en la identidad del cuadrado de seno y coseno lo dividimos entre cos2, se obtiene otra identidad como se verá a continuación.

sen2 α + cos2 α = 1 cos2 α cos2 α

sen2 α + cos2 α = 1 cos2 α cos2 α cos2 α

tan2 α + 1 = sec2 α

Entonces la siguiente identidad pitagórica es:tan2 α + 1 = sec2 α

Al igual que encontramos esta identidad pitagórica, si ahora dividimos entre sen2 α lo que se obtiene es:

sen2 α + cos2 α = 1 sen2 α sen2 α

sen2 α + cos2 α = 1sen2 α sen2 α sen2 α

1 + cot2 α = csc2 α

Entonces la siguiente identidad pitagórica es:

cot2 α + 1 = csc2 α

Resumiendo, las tres identidades pitagóricas son:

sen2 α + cos2 α = 1

tan2 α + 1 = sec2 α

cot2 α + 1 = csc2 α