Unidad 3 -Derivadas de Funciones Reales_civil_2016

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    CALCULO IPROFESOR:JORGE GARCACARDENAS

    UNIDAD 03La derivada

    de

    FuncionesProfesor: Jorge Garca Crdeas

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    CON!ENIDOS

    2

    1. Interpretacin

    geomtrica.

    2. Defnicin de derivada

    3. Reglas de derivacinSuma

    Producto

    Cociente

    Potencia

    Profesor: Jorge Garca Crdeas

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    I"er#re"ac$% geo&'"r$ca

    Defnicin

    Pendiente dela rectasecanteA partir de la grfca!

    la recta secante tienecomo pendiente"

    3Profesor: Jorge Garca Crdeas

    0x xx

    +0

    x

    )( 0 xxf +

    x

    xfxxfm

    sL

    +=

    )()( 00)( 0xf

    )(xf sL

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    I"er#re"ac$% geo&'"r$ca

    DefnicinPendiente de

    la rectatangenteA partir de la grfca!

    la recta tangentetiene comopendiente"

    #Profesor: Jorge Garca Crdeas

    0x xx +0

    x

    )( 0 xxf +

    x

    xfxxfLimm

    xLT

    +

    =

    )()(00

    0

    )( 0xf

    )(xf

    TL

    TLm=tan

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    DEFINICI(N DE DERI)ADA

    $

    %a derivada de una &uncin en el punto es' representa la pendiente de la recta tangente en el

    punto

    (s decir"

    Si cam)iamos por ' por tenemos"

    *+,ACI+*(S

    Profesor: Jorge Garca Crdeas

    x

    xfxxfLimxf

    x

    +=

    )()()( 00

    0

    0'

    f ),( 000 yxP )( 0xf

    0x x x h

    )(' xf y )(xfdx

    d y

    dx

    d

    h

    xfhxfLimxf

    h

    )()()(

    0

    ' +=

    fDx

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    -

    tili/ando la defnicin de derivada determinelas siguientes derivadas 0ue se indican"

    (ercicios 1

    Profesor: Jorge Garca Crdeas

    )(3)1 xfxf +=

    )1(12

    2)3 = fx

    xf

    )1(42)2 fxf +=

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    REGLAS DE DERI)ACI NSea constante!

    &unciones di&erencia)lesen el intervalo I. (ntonces"

    ((4P%+S

    5Profesor: Jorge Garca Crdeas

    ,0=kdx

    d

    [ ] )(')(')()( xgxfxgxfdx

    d=

    ( ) 1

    =kk

    kxxdx

    d

    [ ] )(')( xkfxkf

    dx

    d=

    8)()1 =xf

    )()( xgyxf

    = )(xf 0

    5

    )()2

    =xxf = )(xf

    6

    5

    x

    37)()3 xxf =

    = )(xf 22 21)3(7 xx =

    33

    1

    4)()4 = xxxf

    = )(xf 432

    123

    1 + xx

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    8/176

    Determine las siguientes derivadas utili/ando las reglas dederivacin7 ' eval8e en el punto indicado

    (ercicios 2

    Profesor: Jorge Garca Crdeas

    1;63)()1 24

    =+= xxxxf

    3;1

    3)()2 3 =++= xx

    xxxf

    64;725

    )()32

    63

    =+

    = tt

    ttttf

    ( )( ) 1;752)()4 23 =++= xxxxxf

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    Determine la ecuacin de la recta tangente ' normal a la

    grfca de las siguientes &unciones"

    (ercicios 3

    Profesor: Jorge Garca Crdeas

    )8,2(;254)()1 2

    Penxxxf +=

    0;3

    1)2

    23== xenxxy

    ( )( ) 0;23)()3 2

    =+= xenxxxf

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    REGLAS DE DERI)ACI N

    Der$*ada de +#rod+c"o

    E,e-o

    Derivando

    %uego

    19Profesor: Jorge Garca Crdeas

    [ ] )(')()()(')()( xgxfxgxfxgxfdxd

    +=

    ( ) ( )523)( 13

    ++=

    xxxxf

    ( )22 23 xx

    = )(xf ( ) 3x ( )52 13 ++ xx )3( + x ( )++ 52 13 xx= )(xf 1 ( )52 13 ++ xx )3( + x

    )23)(3(52)( 2213 +++= xxxxxxf

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    REGLAS DE DERI)ACI(NDer$*ada de +

    coc$e"e

    E,e-o

    Derivando

    11Profesor: Jorge Garca Crdeas

    [ ]2)(

    )(')()()('

    )(

    )(

    xg

    xgxfxgxf

    xg

    xf

    dx

    d

    =

    26

    3)( 5

    3

    +

    = xxxx

    xf

    = )(xf ( )

    xx 33 ( )26 5 + xx )3( 3 xx

    =)(xf

    ( )+ 26 5xx

    ( ) 25

    26 +

    xx( )33 2 x ( )26 5 + xx )3( 3 xx ( )6301 + x

    ( ) 25 26 + xx

    (

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    Der$*ada de +a#o"ec$a

    E,e-o

    Derivando

    REGLAS DE DERI)ACI(N

    12Profesor: Jorge Garca Crdeas

    [ ] )()()( 1

    xfxnfxfdx

    d nn

    =

    ( ) 52

    13)( += xxxf

    = )(xf ( ) 42 135 + xx ( )+ 132 xx

    = )(xf ( ) 42 135 + xx ( )32 +x

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    Der$*ada de f+c$oese.#oec$a-es

    E,e-o

    Derivando

    REGLAS DEDERI)ACI(N

    Derivando

    13Profesor: or e Garca Crdeas

    = )(xf

    = )(xf

    ( ) axfaadx

    d xfxf ln)(')()( =

    ( ) )(')()(

    xfeedx

    d xfxf =

    xxxf

    24332)()1

    +=

    x32

    x243

    +)3( x 2ln )24( x 3lnx3

    2 3 2ln x24

    3 + )2( 3ln

    653 12)()2 + = xxexf

    = )(xf 653 12 + xxe )653( 12 + xx

    = )(xf 653 12 + xx

    e )56( 2

    + xx

    (

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    1#

    Der$*ada de f+c$oes-ogar"&$cas

    E,e-o

    Derivando

    REGLAS DE DERI)ACI(N

    Profesor: Jorge Garca Crdeas

    ( ))(

    )(')(ln

    xf

    xfxf

    dx

    d = ( )axf

    xfxf

    dx

    da

    ln)(

    )(')(log =

    )2(log3logln 237 xxxy ++=

    =y ( )7

    7

    x

    x

    0+ ( )( ) 3ln2

    22

    2

    xx

    xx

    +

    =y 76

    7xx

    ( ) 3ln222

    2 xxx

    +

    =yx

    7

    ( ) 3ln222

    2 xx

    x

    +

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    1$

    O/ser*ac$%

    Algunas propiedades de logaritmos

    :cam)io de)ase;

    Profesor: Jorge Garca Crdeas

    xnxn

    lnln)1 =

    yxyx lnln).ln()2 +=

    yxy

    xlnlnln)3 =

    1log)6 =aa

    xxe lnlog)5 =

    1ln)7 =e

    xex =ln)10

    01ln)9 =

    01log)8 =a

    b

    aab ln

    lnlog)4 =

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    1-

    (ercicios #

    Determine las siguientes derivadas utili/ando las reglas dederivacin.

    1

    2

    3

    #

    -

    $

    5

    6