Unidad IIAnlisis de sistemas de control no lineales mediante la funcin descriptiva.Profesor : Jess Reyes M. Carrera : Ingeniera en Automatizacin y Control Industrial Asignatura: Control No Lineal

Sistemas no lineales Muchas relaciones entre magnitudes fsicas no son lineales, pero se aproximan mediante ecuaciones lineales. En los sistemas no lineales, la respuesta del sistema depende de la magnitud y tipo de entrada. Por ejemplo pueden presentar comportamiento totalmente distinto ante entradas escaln de diferentes amplitudes. No rige el principio de superposicin (la respuesta producida por la aplicacin simultanea de dos funciones excitadoras distintas es la suma de las dos respuestas individuales.2

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Fenmenos no lineales en sistemas de control Inherentes al sistema: son inevitables y afectan en forma adversa el comportamiento del sistema. Saturacin. Zona muerta. Histresis. Juego. Friccin esttica no lineal. Elasticidad no lineal. Compresibilidad de fluidos.

Deliberados: se aaden intencionalmente para mejorar su comportamiento o simplificar la construccin con mejoras en el factor econmico, peso, espacio, confiabilidad).3

Procedimiento de anlisis y diseo de sistemas de control no lineales. No hay un mtodo general. (Ecuaciones diferenciales no lineales). Si el grado de no linealidad es pequeo, se puede utilizar tcnicas de linealizacin equivalente y resolver el problema linealizado (Ej la funcin descriptiva). El mtodo de la funcin descriptiva permite estudiar la estabilidad desde el punto de vista del dominio de la frecuencia. No da informacin exacta sobre las caractersticas de respuesta temporal. Tambin se recurren a soluciones mediante el empleo de computadoras a travs de simulaciones.

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Funciones descriptivas (F. D.) Introduccin Es un mtodo de linealizacin equivalente de elementos no lineales con bajo grado de no linealidad. Se supone una entrada senoidal a un elemento no lineal. En general, la salida no es senoidal. Se supone que la salida es peridica con periodo igual al de la entrada (armnicas superiores presentes). En la F. D. se supone que solo la componente armnica fundamental es significativa. La F. D. senoidal de un elemento no lineal est definida como una relacin compleja entre la componente armnica fundamental de la salida respecto a la entrada:5

Funciones descriptivas (F. D.) IntroduccinN= Y1 1 X N = Funcindescriptiva X = Amplitud de senoide de entrada Y1 = Amplitud de la componente armnica fundamental de salida

1 = Desplazamiento de fase de componente armonica fundamental de salida

Por tanto, se necesita hallar la componente armnica fundamental de la salida.

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Funciones descriptivas (F. D.) IntroduccinPara una entrada senoidalx(t ) = Xsen(t )Y (t ) = A0 + ( An cos( nt ) + Bn sen(nt )n =1

Y (t ) = A0 + (Yn sen(nt + n )n =1

al elemento no lineal, la salida y(t) se puede expresar como una y(t) serie de Fourier, Fourier,

donde An = Bn = 12

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y(t ) cos(nt )d (t )0 2

y(t ) sen(nt )d (t )0

2 Yn = An + Bn2 , n = arctg (

An ) Bn

Si la caracterstica no lineal es antisimtrica Ao =0 y la componente armnica fundamental de salida es:

Y1 (t ) = A1 cos(t ) + B1sen(t ) = Y1sen(t + 1 )Y la funcin descriptiva esta dada por: funciN= Y1 1 = X A12 + B12 1 A tg 7 ( 1 ) X B1

Ejemplo Elemento no lineal de SI-N0 Elemento no lineal de dos posiciones conexin desconexin.

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Ejemplo Elemento no lineal de SI-N0Donde:

Y1 =

1

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y(t ) sen(t )d (t ) =0

2

y(t ) sen(t )d (t )0

Re emplazando y (t ) = M Y1 = 2M

sen(t )d (t ) =0

4M

y1 (t ) =

4M

sen(t )

N=

Y1 4M 0 = X X

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Elemento no lineal si-no con histresis

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No linealidad de umbral

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Elemento no lineal de saturacin

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Anlisis de sistemas no lineales mediante la funcin descriptiva Si las armnicas superiores generadas por el elemento no lineal se atenan suficientemente por los elementos lineales, se puede predecir la estabilidad del sistema mediante el anlisis con la funcin descriptiva.C ( j ) NG ( j ) = R ( j ) 1 + NG ( j ) N es una ganancia var iable real o compleja La ecuacin caracteristica resulta : 1 + NG ( j ) = 0 1 G ( j ) = N

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Anlisis de sistemas no lineales mediante la funcin descriptiva Donde -1/N se transforma en el lugar de los puntos crticos a diferencia del punto -1+j0 considerado en el anlisis convencional. La posicin relativa del diagrama -1/N y del diagrama G(j) proporciona la informacin sobre la estabilidad. Se supone que todos los polos y ceros de G(j) estn en el semiplano izquierdo de s, incluyendo el eje j o que el sistema es de fase mnima.14

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Anlisis de sistemas no lineales mediante la funcin descriptiva El criterio de estabilidad consiste en que -1/N no est rodeado por el diagrama de G(j) (Sistema estable, no hay ciclo lmite en estado estacionario). En caso contrario, es inestable (oscilacin creciente). Obs: en ciertas aplicaciones se puede aceptar un ciclo limite de pequea magnitud. Lo ideal es que no exista.15

Exactitud del anlisis de la funcin descriptiva. La amplitud y frecuencia del ciclo lmite indicadas por la interseccin de los diagramas de -1/N y G(j) son valores aproximados. Si -1/N y G(j) son casi perpendiculares, la exactitud es buena. Si todas las armnicas superiores se atenan, la exactitud es excelente. Si -1/N y G(j) son casi tangentes o tangentes, la exactitud depende de G(j) (en cuanto a la 16 atenuacin de las armnicas).

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Estabilidad de oscilaciones sostenidas o ciclos lmiteCiclo lmite estable

Ciclo lmite inestable (XA,A) No se puede observar en forma experimental

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Ejercicios Graficar las curvas de nivel en funcin del tiempo para: Vlvula de entrada con mayor caudal que la de salida Vlvula de salida con mayor caudal que la de entrada

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Ejercicio B 8.1 Determinar amplitud y frecuencia de ciclo limite

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Tarea Deduzca la ecuacin de la funcin descriptiva N para el elemento no lineal de histresis de la figura

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