Unidad 2 Teoria Vibraciones

18-04-2012

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Ingeniería de Mantenimiento

Dr. Ing. Eduardo Diez CifuentesDr. (c) Ing. Jorge González Salazar

Departamento de Ingeniería MecánicaUniversidad de La Frontera

Unidad 2: Análisis de Vibraciones,Teoría de vibraciones

Sistema dinámico lineal de un grado de libertad

• El sistema es lineal si se puede modelar con una ecuación lineal

Teoría de vibraciones: Sistema de un grado de libertad

El sistema es lineal si se puede modelar con una ecuación lineal de segundo orden cuya forma general es:

• Caso vibración de sistema mecánico: • Muchos sistemas dinámicos se pueden aproximar con el modelo

d d d lib t d

iooo qbqa

dtdq

adt

qda 0012

2

2 =++

( )tfkxxcxm =++ &&&

de un grado de libertad

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2

• Características de los sistemas lineales:

- Satisfacen el principio de superposición:


Satisfacen el principio de superposición:

)()()()(

:Si

22

11

tstetste

→→

M

La presencia de una excitación no afecta la respuesta del sistema a otras excitaciones.

)()(6)()()()(:Entonces

)()(

2121 tstststetete

tste

nn

nn

+++=+++

→

LL

M

• Características de los sistemas lineales:

- En estado estacionario, la respuesta del sistema a una


En estado estacionario, la respuesta del sistema a una excitación de frecuencia Ω es a la misma frecuencia Ω.

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• Propiedades físicas del sistema dinámico de un grado de libertad:– Inercia: Masa, m [kg]– Propiedades elásticas: Rigidez, k [N/m]


Propiedades elásticas: Rigidez, k [N/m]– Disipación de energía: Amortiguamiento, c [N/m/s]– Excitación: Fuerza, f(t) [N]

Movimiento de la base, xb(t) [m]

• Rigidez:

Teoría de vibraciones : Sistema de un grado de libertad

( )12 xxkF −=

• Amortiguamiento:

• Ecuaciones de movimiento se obtienen aplicando la segunda ley

( )12 vvcF −=

de Newton. Analizaremos vibraciones libres y forzadas para sistemas sin amortiguamiento y con amortiguamiento

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Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema no amortiguado.

Teoría de vibraciones

Resolver el PVI:Resolver el PVI:

Solución:0

0

)0()0(

con ,0bieno0

xtxxtx

mkωx

mkxkxxm n

&&

&&&&

====

==+=+

De la forma: Ecuación característica:

Solución:

A y B se obtienen de las condiciones iniciales

eCeCx(t) trtr 2121 +=

;02 =+ kmrmkjr ±=2,1

sincos tmkBt

mkAx(t) +=

Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema no amortiguado.


TfTX

/1

0

[Hz]movimientodelFrecuencia:[s] movimiento del Período :

[m] pico valor ento,desplazami del Amplitud :

cossin)( 0 ωω + txtxtx&

Solución:

xaxv

fTf

n

&&

&

==

==

2/1

ϕπω

][m/sn Aceleració :[m/s] Velocidad :

[rad] fase de Ángulo :[rad/s] vibrar de natural Frecuencia :

[Hz]movimientodelFrecuencia:

2

( )( )

)sin()sin()()()2/sin()cos()()(

/tan/

sin)(

cossin)(

00

00

00

20

200

0

020

πϕωϕωωπϕωϕωω

ωϕω

ϕω

ωωω

++=+−==++=+==

=

+=

+=

+=

tAtXtxtatVtXtxtv

xxxxX

tXtx

txttx

nnn

nnn

n

n

n

nnn

&&

&

&

&

arctan x&

)(tx0arctan x

0=tϕ t0x

0X

Posiciónde

equilibrio

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Frecuencia natural de vibrar:

k

• Depende de la rigidez y la masa del sistema.• Si la rigidez disminuye → frecuencia natural disminuye.• Si la masa disminuye → frecuencia natural aumenta.

mkωn =

Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema amortiguado.


Resolver el PVI:

Solución:Tres casos dependiendo de las raíces de la ecuación característica:

0

0

)0()0(

0

xtxxtxkxxcxm

&&

&&&

====

=++

02 =++ kcrmrecuación característica: 0=++ kcrmr

mk

mc

mcr −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

2

2,1 22

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El sistema vibra cuando ri son imaginarios:

Se cumple cuando:

mk

mc

mcr −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

2

2,1 22

02

≤⎟⎞

⎜⎛ kc

El máximo valor de c para el cual el sistema vibra se llama amortiguamiento crítico y vale:

02

≤−⎟⎠

⎜⎝ mm

nc mkmc ω22 ==



El estudio se hace más fácil en función de dos á t dibl ζparámetros medibles:

La ecuación característica queda:

nωζ y

ientoamortiguam deFactor ;cc

c=ζ

122,1 −±−= ζωζω nnr

Se tienen tres casos de solución en función del tipo de raíces de la ecuación característica.

2,1 nn

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Caso I: Amortiguamiento subcrítico (ξ<1) Raíces complejas conjugadas

( )( )

( ) aamortiguad natural frecuencia 1con ;tan;

1sin1cos1sin1

)(

1cos1sin1

2

00

02

2002

00

20

20

2

200

2222,1

ζωωζω

ωϕωζω

φωζωζωζζω

ζω

ζωζωωζζω

ζωζω

ζω

−=+

=+

+=

+−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+−

−

+=

−+−→−±−=

−−

−

ndn

d

d

n

nt

nn

n

nt

nnt

nn

xxxxxxX

teXtxtxxetx

BAer

nn

n

&

&

&

Solución:

0arctan x&

0=t

)(tx

0x

nx1+nx

ddT

ωπ2

=

t

tneX ζω0


• Efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres:

- Disminuir secuencialmente la amplitud de las vibracionesDisminuir secuencialmente la amplitud de las vibraciones- Disminuir la frecuencia de las vibraciones de ωn a ωd

• En la práctica, generalmente y se puede considerar:2,0<ζ

ndω ω≈

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Decremento logarítmico

• Una forma conveniente de determinar la cantidad deUna forma conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento de un sistema es a partir de la tasa de decaimiento de las vibraciones libres

• El decremento logarítmico se define como:

0arctan x&)(tx

nxd

dTωπ2

= tneX ζω0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+ nn

n

xx

nxx 0

1

ln1lnδ

0=t

0x

n1+nx

t

( )( ) 22)(

0

20

1 12

)(1sin1sin

lnlnζ

πζφωζ

φωζδ

ζω

ζω

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++−

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−

−

+ dnnTt

nnt

n

n

TteXteX

xx

dnn

nn



Caso II: Amortiguamiento crítico (ξ=1) Raíces reales e iguales

( )

( )( ) tn

tn

n

n

extxtx

eBtAtxrr

ζω

ζω

ω

ζω

−

−

++=

+=→−==

00

21

1)(

:inciales scondicione las Aplicando)(

&

Solución:

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Caso III: Amortiguamiento sobrecrítico (ξ>1) Raíces reales y distintas

( ) ( ) t

n

nt

n

n

tt

nn

nn

nn

exx

exx

tx

BeAetxrr

ωζζωζζ

ωζζωζζ

ζω

ωζζ

ζω

ωζζ

ζωζω

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

−

−−−−+

−

−++=

+=→−±−==

1

20

201

20

20

11221

22

22

12

1

12

1)(

:inciales scondicione las Aplicando)(1

&&

Solución:

Vibración forzada con excitación armónica. Sistema amortiguado.


Resolver la ecuación diferencial ordinaria:

( )tFkxcxxm Ω=++ sin0&&

( ) ( )φϕωζω +Ω++= − tXtAetx ddtn sinsin)( 0

Vibración transitoria Vibración estacionaria

Resolver la ecuación diferencial ordinaria:

Solución de la forma:

Vibración transitoria Vibración estacionaria

222

0

0

21 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ω−

=

nn

kF

X

ωζ

ω

2

1

2tan

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ω−

Ω

=

n

n

ω

ωζ

φ

A y φd se obtienen de las condiciones iniciales.

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Vibración forzada con excitación armónica. Sistema amortiguado.


x(t) ( ) ( )ξx(t)

Respuesta Total

Respuesta Transiente

( ) ( )φϕωξω −Ω+−= − tsenXtsenAetx ddtn

0)(

t (s)

Respuesta Estacionaria


• La respuesta transitoria desaparece rápidamente. A mayor amortiguamiento más rápido desaparece.

• Si la frecuencia de la excitación es cero (Ω=0), la amplitud de la respuesta en estado estacionario es igual a la respuesta del sistema a una fuerza estática:

• La ecuación de la amplitud de la respuesta estacionaria se puede

kFX 0

0 =

• La ecuación de la amplitud de la respuesta estacionaria se puede hacer adimensional:

2220

0

21

1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ω−

=

nn

kFX

ωζ

ω

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0=ξkFX0

0

2,0=ξ

1,0=ξ

0 1=F

X

4,0=ξ3,0=ξ

nωΩ

2220 21 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Ω−

nn

kF

ωζ

ω

Resonancia


• Resonancia: Grandes amplitudes para

• Cambio del fase del desplazamiento para

nω≈Ω

ω≈ΩCambio del fase del desplazamiento para

• Amortiguar solo es efectivo en la zona resonante

nωΩ

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La función de transferencia y la función respuesta

• Función de transferencia: se define como la razón de lasFunción de transferencia: se define como la razón de las transformadas de Laplace de la salida y entrada del sistema.

( ) ( )

222

2

211

)()()(

0)0()0()()()0()()0()0()(

)(

ssm

kcsmssFsXsH

xxsFskXxssXcxsXsXsm

tfkxxcxm

ωζω ++=

++==

===+−+−−

=++++

&

&

&&&

• Útil para estudiar la estabilidad del sistema.

2)( nnsskcsmssF ωζω ++++


La función de transferencia y la función respuesta

• Función respuesta: se define como respuesta en estadoFunción respuesta: se define como respuesta en estado estacionario a una entrada sinusoidal. Se representa por un complejo:

( )[ ] ( )[ ]nn ffiffk

fSfEfH

/2/11

)()()( 2 ζ+−==

• Útil por que es fácil de obtener de forma experimental.

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Diagrama de Bodé: Representación gráfica de la función respuesta en frecuencia

0

0.5

1

1.5

2x 10

-5

Mag

nitu

de (a

bs)

0

Bode Diagram

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-180

-135

-90

-45

Phas

e (d

eg)

Frequency (Hz)


Vibraciones forzadas por movimiento de la base

bb

fkxxckxxcxm

xxkxxcxm

=+=++

=−+−+ 0)()(*&&&&

&&&&

( )( )f

fbbb

bb

bb

bb

tFf

tkcXtXctkXf

tXtxtXtx

fkxxckxxcxm

φ

φ

+Ω=→

+Ω+Ω=ΩΩ+Ω=→

ΩΩ=Ω=

=+=++

sin

sincossin

cos)(sin)(

:Si

*0

*

222*

&

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14

0

0

FFTR t=

0=ξ

1,0=ξ

40ξ

2,0=ξ

3,0=ξ

nω/Ω

4,0=ξ

Teoría de vibraciones0=ξ

2,0=ξ

1,0=ξ

30ξ4,0=ξ3,0=ξ

Región de amplificación

Región de aislamiento

4,0=ξ

0=ξ

2,0=ξ1,0=ξ

3,0=ξ

nω/Ω

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