Unidad 2 - Numeros Binarios

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NMEROS DECIMALES Valor Posicional Para entender los nmeros decimales primero tienes que conocer la notacin posicional. Cuando escribimos nmeros, la posicin (o "lugar") de cada nmero es importante. En el nmero 327: el "7" est en la posicin de las unidades, as que vale 7 (o 7 "1"s), el "2" est en la posicin de las decenas, as que son 2 dieces (o veinte), y el "3" est en la posicin de las centenas, as que vale 3 cientos. Cuando vamos hacia la izquierda, cada posicin vale 10 veces ms! Cuando vamos hacia la derecha, cada posicin es 10 veces ms pequea El sistema de numeracin decimal tambin se llama "base 10", porque se basa en el nmero 10. En decimal hay diez smbolos (0 a 9), pero fjate en esto: no hay un smbolo para el 10 son en realidad dos smbolos juntos, un 1 y un 0 Contamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 entonces decimos "me he quedado sin smbolos, as que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a aadir 1 a la izquierda. 0 10 20 1 11 21 2 12 22 3 13 23 4 14 24 5 15 25 6 16 26 7 17 27 8 18 28 9 19 29

NUMEROS BINARIOS El sistema binario, en matemticas e informtica, es un sistema de numeracin en el que los nmeros se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeracin natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0). La palabra binario viene de "bi-" que significa dos, es decir, son en "base 2" en lugar de "base 10". Empiezas contando 0, despus 1, ya se te acabaron los dgitos! As que vuelves al 0, pero aumentas en 1 el nmero de la izquierda. Un dgito binario por s solo (como "0" o "1") se llama un "bit". Por ejemplo 11010 tiene cinco bits de longitud. As mismo, para mostrar que un nmero es binario, ponemos un pequeo 2 detrs: 1012 Construccin de una Tabla de Nmeros Binarios 0 1 10 11 Iniciamos en la posicin de la unidad con el nmero cero Continuamos en la posicin de la unidad con el nmero 1 No hay "2" en binario, as que volvemos al 0 en la posicin de la unidad y Sumamos 1 a la posicin de la decena Volvemos al 1 en la posicin de la unidad y Sumamos 1 posicin de la decena (Se suma 1, hasta 2 posiciones de la decena, luego se vuelve a 0) Volvemos al 0 en la unidad, Cambiamos a 0 en la decena Sumamos 1 a la centena Volvemos al 1 en la posicin de la unidad Continuamos en 0 en la posicin de la decena sumamos 1 a la centena Volvemos a 0 en la posicin de la unidad Cambiamos a 1 en la posicin de la decena Continuamos en 1 en la centena

100

101

110

111 1000

Volvemos a 1 en la posicin de la unidad Continuamos en 1 en la posicin de la decena Continuamos en 1 en la centena (Se suma 1, hasta 2 posiciones de la decena, luego se vuelve a 0)

Tabla de Nmeros Decimales a Binarios DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BINARIO 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001

CONVERSIN DE NUMEROS ENTEROS DECIMALES (BASE 10) A BINARIO (Base 2) Por el Mtodo de la Divisin Consiste en dividir el nmero del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y as sucesivamente. Ordenados los restos, del ltimo al primero, ste ser el nmero binario que buscamos. Ejemplo: Transformar el nmero decimal 100 en binario.

Por el Mtodo de Factorizacin Este mtodo consiste tambin en divisiones sucesivas entre 2. Para aplicarlo ser necesario seguir los siguientes pasos: 1. Determinar si el nmero decimal es par o impar. a. Si el nmero es par se coloca un cero en la columna de la derecha. b. Si el nmero es impar se coloca un 1 en la columna de la derecha. 2. Se resta al nmero decimal el 0 1 de la columna de la derecha 3. Se divide el nmero decimal entre 2. 4. Por ltimo slo nos queda tomar el ltimo resultado de la columna izquierda (que siempre ser 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dgitos de abajo a arriba. Ejemplo: 100 0 Como es un nmero par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 50 0 Como es un nmero par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 25 1 Como es un nmero impar se coloca uno y se resta 25 1 = 24 luego se divide entre 2 12 0 Como es un nmero par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 6 0 Como es un nmero par se coloca cero, se resta y se divide entre 2 3 1 Como es un nmero impar se coloca uno y se resta 3 1 = 2 luego se divide entre 2 1 1 Resultado: (100)10 = (1100100)2 Por el Mtodo de Distribucin Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el nmero decimal a convertir. Recordando Potenciacin 2 Todo nmero elevado a la cero es igual a 1 2 Es igual a 1 2 Es igual a 2 x 2 = 4 2 Es igual a 2 x 2 x 2 = 8 De este procedimiento se desprende la siguiente tabla. 2 1 2 2 2 3 2 4 20 3 2 1 0

2 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 = 16 2 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 2 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 2 Es igual a 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1287 6 5

4

= = = = =

1 2 4 8 16

2 = 6 2 = 7 2 = 8 2 = 9 2 =

5

32 64 128 256 512

2 = 11 2 = 12 2 = 13 2 = 14 2 =

10

1.024 2.048 4.096 8.192 16.384

2 = 16 2 = 17 2 = 18 2 = 19 2 =

15

32.768 65.536 131.072 262.144 524.288

Y as sucesivamente Para aplicar este mtodo es necesario reconocer en que potencia se encuentra el nmero decimal que se desea llevar a binario. Por ejemplo, sea el nmero 151, para llegar a l se necesitarn las 8 primeras potencias de 2, ya que la 8 8 siguiente, 2 = 256, es superior al nmero 151, por lo tanto, 2 no nos sirve y no lo tomamos en cuenta. 2 1 2 2 2 3 20

= = = =

1 2 4 8

2 = 5 2 = 6 2 = 7 2 =

4

16 32 64 128

Es necesario encender (colocando 1) las potencias adecuadas que nos permitirn llegar al nmero decimal 151, para ello siga los siguientes pasos: 1. Se comienza poniendo un 1 en la ltima potencia para encenderlo, que en nuestro ejemplo es 128. 2. An faltan 23 para llegar al 151, porque 151 - 128 = 23 3. Este valor se conseguir distribuyendo unos entre las potencias cuya suma d el resultado buscado. 4 4. Colocamos 1 en 2 = 16, y que es el que ms se acerca a 23 y restamos 23 16 = 7. Lo que significa que aun faltan 7 para llegar a 151. 2 1 0 5. Encendemos 2 , 2 y 2 y con ello conseguimos las potencias que nos faltan para llegar a 151. 6. Ponemos ceros en el resto de las potencias.

Ejemplo:2 =1 1 2 =2 2 2 =4 3 2 =8 4 2 = 16 5 2 = 32 6 2 = 64 7 2 = 128 Resultado: 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2 CONVERSIN DE BINARIO A DECIMAL Ejemplo 1: Cunto es 11012 en decimal? Se inicia de derecha a izquierda, desde la posicin de la unidad usando la potenciacin respectiva para cada caso. Tal como se muestra a continuacin: 0 1. La posicin correspondiente a la unidad se multiplica por 2 = 1, lo que es igual a 1 * 1 1 2. La posicin correspondiente a la decena se multiplica por 2 = 2, lo que es igual a 2 * 0 2 3. La posicin correspondiente a la centena se multiplica por 2 , lo que es igual a 2 2 = 4 3 4. La posicin correspondiente a la unidad de mil se multiplica por 2 , lo que es igual a 222 = 8 5. Finalmente: 1111 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 en decimal 1 3 2 =8 3 1*2 1*8 8 Resultado: (1101)2 = (13)10 1 2 2 =4 2 1*2 1*4 4 0 1 2 =2 1 0*2 0*2 0 1 0 2 =1 0 1*2 1*1 1 130

1 1 1 0 1 0 0 1

NUMEROS BINARIOS CON PUNTO DECIMAL

Ejemplo 1: Cunto es (1,1)2 a decimal? El "1" de la izquierda est en la posicin de las unidades, as que vale 1. El "1" de la derecha est en la posicin de las "mitades o puntos decimales", as que vale 1(1/2) Por tanto, 1,1 es igual a "1 y 1 medio" = 1,5 en decimal Resultado: (1,1)2 = (1,5)10 ENTERO 1 0 2 =1 0 1 *2 1*1 1 DECIMAL 1 1* 0,5 1,5

Ejemplo 2: Cunto es 10,112 en decimal? ENTERO 1 1 2 =2 1 1*2 1*2 2 Resultado: (10,11)2 = (2,75)10 SUMA DE NUMEROS BINARIOS Para realizar una suma de dos nmeros binarios es necesario tomar en consideracin que se trata de un procedimiento similar a la suma decimal, excepto que se manejan slo dos dgitos (0 y 1). 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 0 al sumar 1+1 siempre se acarrea 1 a la siguiente operacin (acarreo es igual a llevar un numero). En el siguiente ejemplo se muestra la suma consecutiva de nmeros binarios: 0 0 2 =1 0 0*2 0*1 0 DECIMAL 1 1* 0,5 1 1* 0,25 2,75

Suma De 2 Nmeros Binarios:

Sean los nmeros binarios 00102 y 01102 1. De la misma forma que hacemos cuando sumamos nmeros del sistema decimal, esta operacin matemtica la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los ltimos dgitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

2. En la tabla de suma de nmeros binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0 3. Se suman los siguientes dgitos 1 + 1 = 10 (segn la tabla), se escribe el 0 y se acarrea o lleva un 1.

4. Se suman los siguientes dgitos 1 + = 1 de la tercera columna y al resultado se le suma el valor 1, as, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un 1, que tendremos que pasar a la cuarta posicin del sumando.

5. El valor 1 que acarreamos lo sumamos al dgito 0 del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1 + 0 = 1. Luego, ese resultado se suma con el digito 0, as tenemos que: 1 + 0 = 1 6. El resultado final de la suma de los dos nmeros binarios ser: 1 0 0 0

EJERCICIOS PROPUESTOS RESUELTOS CONVERSION DE BASE 10 A BASE 2 1. Dados los nmeros 30, 35 y 22 en sistema decimal, efectuar la suma y expresar el resultado en el sistema de numeracin binaria a. Conversin de 30 a binario R: 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario b. Conversin de 35 a binario R: 35 en el sistema decimal equivale a 100011 en el sistema binario c. Conversin de 22 a binario R: 22 en el sistema decimal equivale a 10110 en el sistema binario d. Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos R: 8710 = 10101112

2. Sumar los nmeros decimales 100 y 51, expresando la operacin y el resultado en nmeros binarios a. Conversin de 100 a binario R: 100 en el sistema decimal equivale a 1100100 en el sistema binario b. Conversin de 51 a binario R: 51 en el sistema decimal equivale a 110011 en el sistema binario c. Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos R: 15110 = 100101112 3. Teniendo los valores 42, 6 y 8 en sistema decimal, transformarlos y expresarlos en nmeros binarios a. Conversin de 42 a binario R: 42 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario b. Conversin de 6 a binario R: 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario c. Conversin de 8 a binario R: 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario d. Suma de los nmeros binarios obtenidos 5610 = 1110002 4. Sumar 4 + 5 + 10. a. Conversin de 4 a binario. R: 4 en el sistema decimal equivale a 100 en el sistema binario. b. Conversin de 5 a binario. R: 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario. c. Conversin de 10 a binario. R: 10 en el sistema decimal equivale a 1010 en el sistema binario. d. Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos. R: 1910 = 100112 5. Sumar 40 + 91. a. Conversin de 40 a binario. Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario. b. Conversin de 91 a binario. Entonces 91 en el sistema decimal equivale a 1011011 en el sistema binario. c. Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos. d. 13110 = 100000112 CONVERSIN DE BASE 2 A BASE 10 1. Convertir el nmero binario 11012 a Base 10 R: 1310 2. Convertir el nmero binario 111112 a Base 10 R: 3110 3. Convertir el nmero binario 1010102 a Base 10 R: 4210 4. Convertir el nmero binario 101111012 a Base 10 R: 18910 RESTA DE NUMEROS BINARIOS La tcnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operacin en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operacin de restar en decimal para comprender la operacin binaria, que es ms sencilla

Reglas de la Resta 00=0 10=1 11=0 0 1 = Regla de excepcin (se pide uno prestado y el minuendo queda en 10 2 = 210) Restas Sucesivas: 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 -

Restas Llevando. Mtodo 1, Pidiendo Prestado Ejemplo 1: (10)2 (1)2 1 0 1 -

1. La resta 0 1 no es posible realizarla, por lo tanto, la unidad pide 1 prestado a la decena. En este caso, la operacin en la columna de las unidades se resta 10 1 = 1 y queda de la siguiente manera:

0

10

1

0 1 1

-

2. Finalmente, la columna de las decenas queda en 0, ya que esa columna ya prest la nica unidad que tena disponible y la operacin queda de la siguiente manera0 10

1 0

0 1 1

-

Ejemplo 2: (100)2 (1)2 1 0 0 1 -

1. La resta 0 1 no es posible realizarla, por lo tanto, la unidad pide 1 prestado a la decena. Pero la decena no tiene, as que pide 1 prestado a la centena. 2. Para realizar la operacin en la columna de las unidades se resta 10 1 = 1 y queda de la siguiente manera:

0

10

10

1

0

0 1 1

-

3. Para la columna de las decenas es necesario recordar que 10 = 1 + 1, pero como esa decena le prest un 1 a la unidad, el 10 se convierte en 1 y queda de la siguiente manera:

0

1+1

10

0

1

10

1

0

0 1 1

-

1

0 1

0 1 1

-

4. Finalmente, la columna de las centenas queda en 0, ya que esa columna ya prest la nica unidad que tena disponible y la operacin queda de la siguiente manera0 1 10

1 0 Ejemplo 3: (100)2 (11)2 1

0 1

0 1 1

-

0 1

0 1

-

1. La resta 0 1 no es posible realizarla, por lo tanto, la unidad pide 1 prestado a la decena. Pero la decena no tiene, as que pide 1 prestado a la centena. 2. Para realizar la operacin en la columna de las unidades se resta 10 1 = 1 y queda de la siguiente manera:

0

10

10

1

0 1

0 1 1

-

3. Para la columna de las decenas es necesario recordar que 10 = 1 + 1, pero como esa decena le prest un 1 a la unidad, el 10 se convierte en 1 y queda de la siguiente manera:

0

1+1

10

0

1

10

1

0 1

0 1 1

-

1

0 1 0

0 1 1

-

4. Finalmente, la columna de las centenas queda en 0, ya que esa columna ya prest la nica unidad que tena disponible y la operacin queda de la siguiente manera0 1 10

1 0

0 1 0

0 1 1

-

Restas Llevando. Mtodo 2, Igualando a 1

Ejemplo 1: (10)2 (1)2 1 0 1 -

1. En la columna de las unidades 0 1 no cabe, por lo que se agrega un 1 al 0 para formar un 10 y simultneamente se suma un 1 al sustraendo, quedando la operacin de la siguiente manera, obsrvese que los nmeros agregados se presentan en color rojo. 1 1 10 1 -

2. Ahora s es posible realizar la operacin y se resuelve de la siguiente manera: 1 1 0 Ejemplo 2: (10110)2 (1100)2 10 1 1 -

1

0 1

1 1 0

1 0 1

0 0 0

-

0 1 no cabe, por lo que se agrega un 1 al 0 para formar un 10 y simultneamente se suma un 1 al sustraendo.

10 binario es igual a 2 decimal, por lo que se resta 2 - 1 = 1 1 1 0 10 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 -

Ejemplo 3: (11011)2 (1101)2

Ejemplo 4: (10001)2 (1010)2 1. Resolvemos la operacin de la columna de la unidad 1 0 = 1 2. Agregamos un 1 en la columna de la decena al lado del minuendo para que el 0 se convierta en 10 3. Sumamos 1 en el sustraendo de la centena, quedando de la siguiente manera: 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1+0 10 1 1 0 1

4. Resolviendo lo anterior nos queda: 1 0 1+1 10 1+0 10 1 1 1 0 1 1 0 1+1 10 1+0 1 10 1 1 1 0 1

5. Luego aplicamos el mismo procedimiento para la unidad de mil, agregamos un 1 a la unidad de mil y sumamos 1 en el sustraendo, quedando de la siguiente manera. 1 1 10 1+1 10 1+0 1 10 1 1 1 0 1

6. Recordamos que 1 + 1 es 10, as que la columna de la unidad de mil quedara 10 10 = 0, como se muestra a continuacin: 1 10 10 10 1 1 1+1 1+0 1 0 0 1 1 1 7. Finalmente se resta la columna de la decena de mil, quedando la operacin de la siguiente manera:

1 1 0

10 1+1 0

10 1+0 1

10 1 1

1 0 1

EJERCICIOS RESUELTOS DE SUSTRACCION DE NUMEROS BINARIOS A. B. C. D. 111101001 101101101 = 001111100 1011011 0101110 = 0101101 100111 10111 = 10000 110100 10101 = 11111

MULTIPLICACIN DE NUMEROS BINARIOS Para efectuar una multiplicacin binaria se tiene que tener en cuenta la siguiente tabla:

Ejemplo: Para realizar el producto de los nmeros binarios 101012 y 1012 hay que realizar los siguientes clculos:

DIVISIN DE NUMEROS BINARIOS En cuanto a las divisiones binarias, las reglas tambin son las mismas que en el Sistema Decimal, la diferencia

es que a la hora de hacer las restas, dentro de la divisin, stas deben ser realizadas en binarioEjemplo: Para dividir 1100102 entre 102 los clculos son:

Ejemplo: Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

Escribir en Binario Cmo representar con unos y ceros una letra o una palabra?. Parece un poco ms complejo y, de alguna forma, as lo es. De hecho, para resolver este problema, no alcanza la matemtica sino ms bien empiezan a jugar un rol fundamental los estndares. La solucin al problema de la representacin de letras (y todo tipo de caracteres no numricos) es la definicin de uno (o ms de uno) estndar en donde a cada caracter se le asigna un nmero (en decimal digamos) correspondiente. De esta forma matemticamente no hay un problema; ya se sabe convertir un nmero decimal en binario. Por ejemplo se tienen los nmeros decimales 0, 1, 2 y 3, con los cuales se puede armar la tabla con los correspondientes nmeros en binario: Decimal Binario 0 00 1 01 2 10 3 11

Luego se le agregara a cada valor un caracter que se representara con ese valor, como por ejemplo: Decimal Binario Letras 0 00 a 1 01 b 2 10 c 3 11 d

De esta forma, ya se puede representar palabras simples uniendo el valor de cada caracter y mostrndolo en binario, por ejemplo: Texto bebe beba beca Decimal (1313)10 (1310)10 (1320)10 Binario (01110111)2 (01110100)2 (01111000)2

Existen, existen diferentes tablas de conversin de caracter a binario pero la ms popular y antigua es la llamada ASCII (acrnimo ingls de American Standard Code for Information Interchange Cdigo Estadounidense Estndar para el Intercambio de Informacin). Este es el estndar ms usado para mantener la relacin carcter-nmero y muchos personas la han uutilizado (posiblemente sin saberlo) cuando en los teclados antiguos, se tecleaba la tecla Alt conjuntamente con un numero para

generar algunos caracteres especiales. Por ejemplo, Alt+64 para hacer la arroba (@). Es decir, la arroba se corresponde con el valor 64 en el cdigo ASCII. En un principio, el ASCII estaba representado por 7 bits (un valor binario de 7 dgitos) por lo que se pueden representar 128 valores diferentes (el 1111111 en binario es dicho valor en decimal). Los primeros 32 valores se utilizan para caracteres de control como el salto de lnea (enter) o el escape. Los siguientes 96 valores representan los caracteres imprimibles, ellos son los siguientes: ! # $ % & ( ) * +, -. / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :; < = > ? @ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_ `abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~ Aos ms tarde de la creacin del cdigo ASCII, se cre el ASCII extendido. Este agrega un bit ms quedando cada valor de 8 bits (un uno o un cero ms) y pudiendo formar ahora 256 caracteres. De esta forma, los primeros 128 valores coinciden con la tabla ASCII clsica y se agregan nuevos caracteres hasta el valor 240. Entre estos nuevos caracteres, se encuentran las vocales con acentos, las ees ( - ) y la arroba, entre otros.

EJERCICIOS Convertir los siguientes nmeros al sistema binario

Convertir los siguientes nmeros al sistema decimal

Convertir los siguientes nmeros a letras y descifrar al mensaje