Unidad 2. Álgebra

I. Sistema de Ecuaciones Lineales

3. Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables

a. Método gráfico

En una ecuación lineal su representación gráfica es una recta.

Ejemplo:

B

Ecuación Lineal

y = x + 3

A

La recta muestra la gráfica de la

ecuación lineal y = x + 3.

Dos puntos en la recta se han

identificado como A y B. Un punto

que no se encuentra en la recta se

ha identificado como C.

C

¿Qué pares ordenados representan

soluciones de esta ecuación lineal?

*Sustituye los valores de los pares

ordenados para comprobar las soluciones

de la ecuación.

Para A (-3,0) Para B (0,3) Para C

(3,0)

y = x+3 y = x+3 y = x+3

0= -3+3 3 = 0+3 0 = 3+3

0 = 0 3 = 3 0 = 6

Los pares ordenados A y B son soluciones de la ecuación lineal. El par ordenado C no forma parte

de la recta, por tanto, no representa una solución.

Gráfica de una Ecuación Lineal

El propósito principal en los sistemas de ecuaciones lineales es hallar pares

ordenados de números reales que hagan ciertas ambas ecuaciones a la vez.

En el ejemplo x + y = 6 y x – y = 2, por tanteo, podemos ver que con x = 4, y = 2

se satisfacen ambas ecuaciones. Por lo tanto, el par ordenado (4,2) es la única

solución de este sistema.

Hay varios métodos para resolver los sistemas de ecuación lineal. Estudiaremos

tres que se usan para hallar soluciones a sistemas de forma algebraica:

solución por el método gráfico, solución por sustitución y solución por

eliminación.

Sistemas de ecuaciones lineales

Recordar;

Par ordenado: Par de número que se usan para localizar un

punto en el plano. Son dos números (par) con un orden

establecido (x, y). Ej. (2,4)

Importante:

Los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones se llaman

soluciones comunes.

Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables impone dos condiciones

en las variables al mismo tiempo

A. Método gráfico

Se grafican ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas. Así, las

coordenadas del punto común en ambas gráficas deberán ser las soluciones del

sistema, ya que satisfacen ambas ecuaciones.

Ejemplo 1:

x + y = 2

x – y = 0

Métodos algebraicos para hallar la solución a sistemas de ecuaciones

Se elabora una tabla de valores para ambas ecuaciones, luego se grafican usando los pares ordenados y,

se unen los puntos mediante una recta. Veamos: x + y = 2

x 1 2 3 4 y 1 0 -1 -2

x – y = 0

x 1 2 3 4 y 1 2 3 4

Podemos observar que el par ordenado que satisface ambas

ecuaciones es (1,1)

x – y = 0

x + y = 2

(1,1)

La edad de Héctor más la edad de Carla suman 25 años.

Ejemplo 2:

Las edades de Héctor y Carla suman 25 años. Héctor tiene 5 años más que

Carla. ¿Cuál es la edad de cada uno?

X = Edad de Héctor x + y = 25

Y = Edad de Carla x – y = 5 La diferencia entre la edad de Héctor y Carla son 5 años.

Para resolver este sistema se encuentran los pares ordenados que satisfagan

ambas ecuaciones y luego se gráfica para encontrar las coordenadas del punto

de intersección, si existen.

x + y = 25 x – y = 5

x y x y

0 25 0 -5

10 15 10 5

15 10 15 10

x

y

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

25

-25

x + y = 25

x – y = 5

(15,10)

La edad de Héctor (x) es 15 años y la edad

de Carla (y) es 10 años.

independiente

una solución rectas no paralelas

inconsistente sin solución

rectas paralelas

dependiente infinitas soluciones

la misma recta

Dos rectas en un plano, se deben relacionar en una de tres maneras:

1) se intersecan en un punto y sólo un punto; 2) son paralelas; ó 3) coinciden.

Por lo tanto, cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones de dos incógnitas podemos

esperar obtener una de estas situaciones.

Para ayuda adicional visita:

http://es.geocities.com/fracosta11/simultaneas.html#

sistema

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_2/Sis

temas_ecuaciones_lineales_interpretacion/Sistemas

_lineales.htm

http://www.fi.unsj.edu.ar/novedades/Unidad4.pdf