Unidad 2. Interes Simple y Compuesto

Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto

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División de Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Gestión y Administración de PyMES.

Licenciatura en:

Gestión y Administración de las Pequeñas y Medianas Empresas

(PyMES)

Programa de la asignatura:

Matemáticas financieras

Clave

07142314

Universidad Abierta y a Distancia de México


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Índice Unidad 2. Interés simple y compuesto ............................................................................... 3

Presentación de la unidad .............................................................................................. 3

Propósitos ...................................................................................................................... 3

Competencia específica ................................................................................................. 4

2.1. Conceptos básicos .................................................................................................. 4

2.1.1. Valor presente y futuro ......................................................................................... 4

2.1.2. Monto ................................................................................................................... 6

2.1.3. Interés simple ....................................................................................................... 7

2.1.4. Plazo .................................................................................................................. 10

2.1.5. Descuento .......................................................................................................... 13

Actividad 1. Interés simple ............................................................................................ 14

2.1.6. Interés compuesto y ecuaciones de valor cronológico derivadas ........................ 15

2.2. Aplicaciones .......................................................................................................... 30

2.2.1. Aplicaciones de interés simple ........................................................................... 31

2.2.2. Aplicaciones de interés compuesto .................................................................... 32

2.2.3. Aplicaciones de valor presente y futuro con interés simple y compuesto ............ 33

2.2.4. Tasa nominal, efectiva y equivalente ................................................................. 35

Actividad 2. Interés compuesto..................................................................................... 37

Autoevaluación ............................................................................................................. 38

Evidencia de aprendizaje: Ejercicios Prácticos II .......................................................... 40

Para saber más… ........................................................................................................ 41

Fuentes de consulta ..................................................................................................... 41


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Unidad 2. Interés simple y compuesto

Presentación de la Unidad

Desde la antigüedad, el ser humano se ha valido del intercambio de bienes para

satisfacer necesidades. Con el paso del tiempo, las sociedades implementaron el uso del

dinero para realizar estos intercambios.

En esta unidad comprenderás que la utilización del dinero implica el uso del interés, que

es una cantidad a pagar por el uso del mismo. El interés puede expresarse en cantidad o

en porcentaje y puede ser simple o compuesto, y es a través del interés compuesto que

es posible determinar equivalencias del dinero a través del tiempo. Además, realizarás

ejercicios que te permitirán conocer equivalencias en el tiempo de algunas cantidades de

dinero. Como información adicional, conocerás las tasas nominal y efectiva y cómo

calcular cada una de éstas.

Propósitos

Al finalizar la unidad serás capaz de:

Explicar el valor presente y futuro de

un flujo de efectivo.

Aplicar monto, interés y plazo.

Diferenciar el interés simple del interés

compuesto.

Aplicar el interés compuesto y las

ecuaciones de valor cronológico del

dinero derivadas.


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Competencia específica

Aplicar los diferentes factores de interés (interés simple e interés compuesto) para realizar equivalencias del dinero a través del tiempo.

2.1. Conceptos básicos

Para garantizar la comprensión al cien por ciento del material de esta unidad es necesario

que realices una revisión de conceptos financieros que te proporcionarán bases fuertes

para la utilización de las matemáticas financieras.

Los conceptos que las personas y los microempresarios enfrentan cotidianamente son los

siguientes: valor presente y futuro, monto, interés simple, interés compuesto, entre otros.

Ahora, conocerás más a fondo estos conceptos.

Las matemáticas financieras se caracterizan por manejar valores monetarios equivalentes

en el tiempo y conceptos tales como valor presente y futuro, monto, interés simple, interés

compuesto, entre otros. El papel que desempeña el tiempo en el valor del dinero es la

idea general que integrará todos los conceptos.

2.1.1. Valor presente y futuro

El valor del dinero a través del tiempo es clave en las matemáticas financieras, en el

sentido de que, si se posee cierta cantidad de efectivo, se puede tener la certeza del valor

del dinero hoy, mientras que en el futuro, el valor del efectivo es incierto. Una forma de

analizar el dinero a través del tiempo es trasladar las diferentes equivalencias de una

cantidad al valor presente.

Concepto de equivalencia

El dinero, dependiendo de muchos factores y del punto de vista de sus poseedores,

puede tener diferentes valores. A saber:


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El valor intrínseco del dinero se identifica de acuerdo con la cantidad de metal precioso

(oro y plata) que contenga una moneda. Esta interpretación carece de valor práctico en el

caso del papel moneda.

En relación a los valores extrínseco y nominal se puede asentar que son equivalentes,

ya que ambos calificativos se refieren al sello y denominación asignada a una moneda o

billete durante un cierto periodo de tiempo.

El valor sentimental del dinero se origina en determinadas prácticas y actitudes que no

persiguen de una manera directa un beneficio económico, sino que se presenta como una

manifestación del arte o de la ciencia humanística, es decir, la actividad tendiente a

coleccionar y clasificar monedas y billetes.

El dinero por sí mismo, aislándolo de la presencia de los satisfactores, no constituye una

riqueza, ya que solamente es un símbolo adoptado como una medida del valor para la

realización de las operaciones de intercambio. Este valor o poder adquisitivo del dinero

es el concepto que interesa maximizar a través de los beneficios obtenidos al decidir su

aplicación.

En los estudios económicos es imprescindible considerar el valor cronológico del dinero y

tratar de cuantificar, en el futuro, los efectos de una decisión adoptada. Puesto que en el

futuro todo parece incierto, la preferencia del dinero en el momento presente es

inobjetable. En términos cualitativos, esta preferencia se justifica a través de diferentes

situaciones que se pueden sintetizar en las siguientes:

Posibilidad de inversión

La posesión de una determinada cantidad de dinero en el momento presente implica la

posibilidad de invertirla, en cuyo caso, las alternativas se identifican desde una mínima

aceptable que consiste en la conformidad de depositarla a plazo fijo, situación en la cual,


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el ritmo de las tasas de rendimiento no superarán al incremento de la inflación, y por lo

tanto, ni siquiera se conserva el poder adquisitivo del dinero. Los niveles correspondientes

a las alternativas más ventajosas deberán ofrecer tasas de interés superiores al mayor

interés bancario.

Posibilidad de uso

Por lo general, todas las personas físicas o morales tienen necesidades insatisfechas, por

cuya circunstancia se procede a la disposición de una cantidad de dinero en el presente

para la obtención del bien o servicio requerido.

Inflación y riesgo

Argumentos importantes que se suman a la lista son la inflación y el riesgo, sobre todo en

épocas de inestabilidad económica. La inflación es el aumento de los precios en los

bienes y/o servicios en un periodo de tiempo determinado, o bien, la disminución del valor

adquisitivo del dinero.

Por otra parte, el riesgo se manifiesta mediante la desconfianza y desconocimiento que

se posee acerca del acontecer de determinados eventos en el futuro.

En suma, el valor del dinero en el tiempo, en términos cuantitativos, se refiere al aumento

o disminución del dinero según una escala de tiempo, ya sea que se contabilice hacia el

horizonte (capitalización), o hacia atrás (operación de descuento). Aunado al concepto

anterior, intervendría una tasa de interés por periodo.

2.1.2. Monto

Capital o principal ( se le denomina al valor del dinero actual o presente. Para

ejemplificar lo anterior, supón que el señor Ramos pide un préstamo al banco, la cantidad

prestada es el capital; al utilizar el crédito en esta institución bancaria, éste genera

intereses, que es la cantidad de dinero extra a pagar por el uso del crédito y el monto es

la cantidad de dinero a pagar o que se recibe al finalizar un periodo determinado (plazo),

es decir, la cantidad total a pagar, y su expresión matemática es:


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2.1.3. Interés simple

Para fines prácticos de la asignatura se denominará tasa de interés al costo que genera

hacer uso de recursos que no son propios. Se conocen dos tipos de interés: el interés

simple y el interés compuesto.

En el interés simple solamente se ganan intereses a partir del capital o principal, y se

calcula multiplicando el capital por la tasa de interés.

Ejemplo:

Si un banco presta pesos ahora al por periodo, al final del primer periodo

la deuda ascenderá a = .

representan los intereses a una tasa de interés simple cuyo valor

será uniforme desde 1 hasta el periodo.

Ejemplo:

Un microempresario tomó prestado pesos por meses y se cargó el de

interés.

1. ¿Cuánto interés pago?

Para calcular la tasa de interés de este ejemplo se utiliza la siguiente fórmula:

En donde:

(Interés) se desconoce.

(Principal o capital) es el importe tomado prestado =

(Tasa) es el anual. Cambiar a antes de sustituir.

(Tiempo) es meses.

Interés (I)

El cargo por intereses es pesos.


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Es importante recalcar que el periodo de tiempo se dividió entre doce debido a que es

necesario unificar las medidas. En este caso, el interés es expresado anualmente, y el

periodo, mensualmente.

Determinación del valor al vencimiento

2. ¿Cuánto tendrá que liquidar al finalizar los meses?

Comprobación: El monto del interés para un periodo corto debe ser pequeño con relación

al capital. Por lógica, el importe liquidado tiene que ser mayor que el capital.

Determinación de la tasa

Ejemplo:

Una deuda de pesos se liquidó al finalizar meses con pesos adicionales

por concepto de intereses. ¿Cuál fue la tasa de interés?

I= es el importe del interés .

P= es el importe tomado prestado

r= se desconoce.

meses, o , o de un año.

Multiplica por para simplificar el coeficiente de r

Divide ambos lados de la ecuación entre el coeficiente de r

La tasa es anual. Dado que el tiempo se utilizó como parte de año, la tasa también

se basa en un año.


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Determinación del tiempo

El tiempo es una “magnitud física que permite ordenar la secuencia de los sucesos,

estableciendo un pasado, un presente y un futuro. Su unidad en el Sistema Internacional

es el segundo” (RAE, 2014).

Para fines prácticos, en esta asignatura, el tiempo será un periodo, que como tal puede

durar un día, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año, etcétera.

Ejemplo:

Una deuda de pesos se liquidó con un cheque por el importe de pesos. Si

la tasa de interés fue del ¿cuánto tiempo se tuvo prestado el dinero?

t es la incógnita

Para determinar el interés, resta el valor al vencimiento del principal

El tiempo es año, o años. Como la tasa es una tasa anual, el tiempo

también es parte de un año.

Comprobación: el tiempo es inferior a un año. Esto es cierto en la mayor parte de

los problemas de interés simple.


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Determinación del principal o capital

Ejemplo:

¿Cuánto se tomó prestado si el interés es pesos, la tasa es y el tiempo

meses?

P se desconoce

meses, o de un año. Se utilizará el quebrado en lugar del

decimal repetitivo equivalente, es decir , ya que el quebrado es exacto.

Multiplica por y divide el resultado entre

Divide ambos lados entre el coeficiente de

El capital (principal) es pesos.

Comprobación:

2.1.4. Plazo

El plazo es el intervalo regular establecido (que puede ser anual, semestral, trimestral)

por el cual se calcula el interés y después se añade al principal o capital .

Ejemplo:

¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al de interés anual simple, si

y ?

De la fórmula:


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Nota: Para calcular esto sólo se necesitó suponer un monto del doble de cualquier capital.

Utilizando

, que es la misma expresión anterior.

Ejemplo:

¿En cuánto tiempo se acumularían pesos si se depositaran hoy pesos

en un fondo que paga 4% simple anual?

Como la tasa estaba dada en meses, el resultado que se obtiene en también está en

meses, y 0.67 meses días días; entonces, se acumulan pesos si

se depositan hoy pesos a 4% mensual simple en 16 meses y 20 días,

aproximadamente.

Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas,

en lugar de mencionar un número de meses o años.


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Ejemplo:

¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de pesos depositado el

15 de mayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga de interés

anual simple?

a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que

transcurren entre las dos fechas (obsérvese que el 15 de mayo no se incluye, ya

que si se deposita y retira una cantidad el mismo día, no se pagan intereses).

16 días de mayo

30 días de junio

31 días de julio

31 días de agosto

30 días de septiembre

31 días de octubre

30 días de noviembre

24 días de diciembre

El total de días es de 223.

,

b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses

enteros de 30 días y años de 360 días:

Del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, más 9 días del 16 de diciembre al

24 de diciembre:


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Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen, se utiliza el cálculo

aproximado del tiempo debido a que es más sencillo.

2.1.5. Descuento

En matemáticas financieras, el descuento no se refiere a que el precio de un bien sea

menor en un determinado porcentaje, sino a la bonificación que se recibe por pagar

anticipadamente una deuda. En ocasiones, se adquieren documentos en los que se

compromete a pagar cierta cantidad en una fecha determinada. Si se presenta la

oportunidad de saldar deudas de manera prematura, se está llevando a cabo una

operación de descuento.

Existen básicamente dos formas de calcular el descuento:

Descuento comercial

En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del

documento.

Ejemplo de descuento comercial:

Una PyME realizó una operación de descuento. Por esta operación recibió un documento

con un valor de pesos. Si el descuento es del 30% y la fecha límite de pago

era de 4 meses después de su descuento, ¿cuál era el valor nominal del documento en la

fecha límite de pago?

Solución:

Tomar en cuenta que el descuento


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Y el valor del pagaré en su fecha de vencimiento es:

Descuento real o justo

A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que

se anticipa, y no sobre el valor nominal.

Ejemplo de descuento real o justo:

Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió pesos. Si el tipo

de descuento es de y el vencimiento del pagaré era 4 meses después de su

descuento, ¿cuál era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento?

Se sabe que:

Solución:

Si la operación se hubiera llevado a cabo bajo descuento real, el valor nominal del pagaré

habría sido de pesos.

Actividad 1. Interés simple


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En esta actividad resolverás ejercicios de interés simple, monto y plazo, con la finalidad

de que apliques los conocimientos hasta este momento.

1. Tu docente te proporcionará 5 ejercicios de manera aleatoria que incluyen interés

simple, monto y plazo.

2. Analiza la información y resuelve lo que se te solicita.

3. Guarda tu archivo con la nomenclatura GMAF_U2_A1_XXYZ. Envíalo a tu docente

en línea a través de la sección de Tareas y espera retroalimentación.

No olvides consultar los criterios de evaluación de la actividad

2.1.6. Interés compuesto y ecuaciones de valor cronológico derivadas

Tomando en consideración la simbología que más adelante se describe, del interés

compuesto y el número de periodos en un horizonte dado se derivarán una serie de

expresiones que arrojarán como resultado diferentes equivalencias del dinero a través del

tiempo. En este apartado se explicarán ampliamente los conceptos antes mencionados.

a) Simbología y diagramas de flujo monetario para interés simple y compuesto

y concepto de equivalencia

Antes de abordar el concepto de equivalencia y las expresiones algebraicas que te

llevarán a comprenderlo, es necesario considerar el uso de la siguiente simbología.

Sea:

El momento presente.

Número de periodos.

Valor actual o presente del capital. Se le representa en el momento presente “ ”

(cero).

Valor futuro de una cantidad de dinero. Ésta se indica en un periodo “ ”.

Valor de cada componente en una serie de pagos o ingresos iguales. Se

representa a partir del periodo hasta dentro de un diagrama de flujo monetario.

Tasa de interés compuesto por periodo.

Valor en que se incrementa, en cada periodo, la magnitud de cada componente

. El valor de se representa a partir del periodo número hasta


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Diagrama de flujo monetario

Con el propósito de tener una idea más concreta acerca de la interpretación de la

simbología anterior, vas a utilizar un diagrama de flujo monetario. Dicha figura es una

representación diagramática consistente en una línea horizontal delimitada por el cero (0)

y .

En esta representación se indicarán los ingresos (hacia arriba) y los egresos (hacia abajo)

en referencia a la línea horizontal. La simbología descrita anteriormente se ubica en el

diagrama de la siguiente forma:

Un diagrama de flujo de efectivo lo constituiría el siguiente ejemplo:


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En el cual:

Inversión

Ingresos anuales

Egresos anuales

Valor futuro

Es conveniente aclarar que tanto los ingresos como los egresos no se comportan de una

manera uniforme a través del tiempo.

Al respecto, es precisamente mediante el concepto de equivalencia, que se obtiene del

empleo de los factores de interés compuesto, lo que te permitirá representar como una

serie uniforme, los flujos monetarios para un horizonte de tiempo dado. Por otra parte, al

tratar de esta manera los datos de un problema, se simplifican los cálculos relativos a su

evaluación.

Por lo general, el interés compuesto es el concepto que mejor representa el valor del

dinero a través del tiempo, ya sea capitalización o descuento.

Un ejemplo del valor cronológico del dinero es el siguiente:

Si inviertes pesos ahora al de interés, dentro de años poseerías pesos.

En términos de poder adquisitivo, pesos de ahora, serian equivalentes a pesos

dentro de años, si los pesos referidos se invirtieran al anual de interés

compuesto.

En términos concretos, el concepto de equivalencia se puede enunciar de la siguiente

manera:

Si dos cantidades pesos ahora y pesos dentro de años) se refieren o

trasladan a un mismo punto o periodo, en dicho punto las cantidades resultarían iguales.

Este concepto se aclarará cuando analices al menos los primeros 2 factores de interés

compuesto, es decir, y


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b) Concepto de interés compuesto y su comparación con el interés simple

Recuerda el concepto de tasa de interés simple: cantidad a pagar o a recibirse por la

utilización del dinero. Esta renta o cantidad es uniforme por periodo, ya que se calcula

tomando como base el préstamo o depósito original.

Interés compuesto: en este tipo de interés se ganan o se pagan intereses sobre capital e

intereses, es decir, en el primer periodo se ganarán determinados intereses , de tal

manera que al final del periodo 1 adeudarán .

Para el segundo periodo, los intereses ganados serán igual a , y así

sucesivamente hasta un periodo .

Lo anterior pudiera prestarse a confusiones. Para no abrigar ninguna duda, observa el

siguiente problema, en el cual se compararán los resultados utilizando interés simple e

interés compuesto.

Prestas pesos ahora a un interés de por periodo. ¿A cuánto asciende la deuda al

final de cada periodo? Suponiendo que:

a) Interés simple

b) Interés compuesto.

para los dos incisos

Al respecto:

a) interés simple

b) interés compuesto

n Interés

simple

Interés

compuesto


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Periodo 1

Periodo 2

Periodo 3

Periodo 4

Periodo 5

La fórmula general para un valor futuro en interés compuesto .

c) Fórmula para obtener el valor futuro de un capital presente .

Prestas pesos ahora a un interés de compuesto por periodo, durante 5 periodos.

¿A cuánto asciende la deuda al final de cada periodo?

n Interés

compuesto


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Tomando como referencia los datos de esta tabla, se deriva el siguiente diagrama:

Si analizas con detenimiento el diagrama podrás observar que de éste resulta la

expresión 2.1, la cual te permitirá calcular un valor futuro en cualquier periodo utilizando

interés compuesto.

El factor de valor futuro o de capitalización de un solo flujo está representado

por , que en lo sucesivo se indicará como , de tal manera que la expresión

general se indicará así:

En esta expresión, los símbolos del paréntesis corresponden al valor del factor a

una tasa de interés para un periodo determinado.

Ahora bien, en este punto es conveniente mencionar que para facilitar el cálculo de

valores en el tiempo se hace uso de tablas de factores de interés, en las cuales se

presentan los valores para los factores en diferentes periodos de tiempo y con diferentes

tasas de interés. Sin embargo, para lograr las competencias marcadas en el programa de

esta asignatura es importante que te familiarices con las expresiones algebraicas, para

esto, es recomendable que todos los cálculos los realices manipulando las fórmulas

(expresiones) que se presentan.

Para fines prácticos, en el contenido de la asignatura se hará uso indistinto de las

formulas (expresiones) y los factores.

Expresión 2.1


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d) Fórmula para obtener el valor presente a partir de un valor futuro

El factor es el inverso de la expresión 2.1 y, por lo tanto, se encuentra

despejando de la expresión citada.

Observa:

El factor en referencia está expresado por y en lo sucesivo se identificará como

, de tal manera que la representación de la expresión 2.2 será:

Al igual que el factor anterior, y de los correspondientes factores que más adelante se

determinan, los símbolos dentro del paréntesis implican que hay que encontrar el valor del

factor empleado a una tasa de interés y a un periodo .

El factor de valor presente o de descuento de un solo flujo se emplea para encontrar la

cantidad actual equivalente de un monto futuro .

Ejemplo

Calcular el valor presente de una inversión que originó un flujo de efectivo de

pesos en el periodo a una tasa de interés compuesto del .

Expresión 2.2


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e) Fórmula para obtener el valor futuro a partir de una serie uniforme (anual)

de flujos monetarios

La determinación del factor proviene de las modalidades económicas y

financieras existentes en las relaciones de intercambio dentro del ámbito del comercio, la

banca y la industria.

Específicamente, en una gran cantidad de operaciones se ha generalizado la forma de

cubrir el valor de un bien o de un servicio a través de una serie de pagos iguales que se

deben efectuar al final de cada periodo, para un horizonte de tiempo previamente fijado y

a una tasa de interés por periodo.

Con el fin de obtener el factor en mención, supón que tratas de acumular o capitalizar una

cantidad futura , mediante la acción de depositar una cantidad , a partir del periodo

hasta ; es decir:

Bajo estas condiciones, la cantidad futura acumulada , a un interés compuesto por

periodo, se determina con la expresión 2.3:

El factor de valor futuro o de capitalización de una serie de flujos o depósitos iguales está

asentado por la expresión:

Expresión 2.3


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Y se simboliza por , de tal manera que la expresión general correspondiente se

representará por:

Observa con atención el siguiente ejemplo:

Se trata de una inversión consistente en una serie de depósitos de mil pesos a fin de

periodo durante años, a una tasa de interés anual de , en el cual se desea conocer

el monto acumulado .

Fórmula:

Sustituyendo:

f) Fórmula para obtener una serie uniforme a partir de un valor futuro en

un periodo enésimo

El factor en referencia es el inverso del factor del valor futuro para una serie de

depósitos iguales y, por lo tanto, se encuentra despejando de la expresión 2.3, es decir:

Expresión 2.4


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El factor de pago o amortización constante a través de series iguales está representado

por la expresión:

Quedando simbolizado por y la expresión general por

Ejemplo

Se obtiene una cantidad futura pesos a partir de una serie uniforme de 3

depósitos de mil pesos a una tasa de 50% anual. Ahora, a partir de calcula la

magnitud de los depósitos.

g) Fórmula para obtener el valor presente derivado de una serie de

depósitos iguales

La obtención de este factor se deriva de las expresiones 2.1 y 2.3.

Las cuales, a una misma tasa de interés i y al mismo número de periodos , son

equivalentes. Por lo tanto:

Expresión 2.5


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La expresión algebraica que representa al factor de valor presente de una serie de

depósitos iguales, corresponde a:

En lo sucesivo se empleará la notación , de tal manera que la expresión 2.5 se

indicará también como:

La utilidad el factor consiste en calcular el valor presente o actual de una serie de

depósitos iguales . Observa:

Sea una serie de pagos iguales de pesos al de interés compuesto anual. El

valor de está dado por:

Sustituyendo:

h) Fórmula para obtener el valor uniforme a partir de un valor presente

.

Factor de recuperación de un capital presente

Este factor es el inverso del factor de valor presente de una serie de depósitos iguales,

por lo tanto, se deduce despejando de la expresión 2.5:

Expresión 2.6


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El factor de recuperación de capital corresponde a la siguiente expresión:

Y se simboliza por , resultado que la expresión 2.6 se describe como:

Para ejemplificar la utilización del factor , encuentra el valor equivalente anual

durante años, a una tasa de interés de 10%, para un valor presente de . Es

decir:

Fórmula:

Sustituyendo:

i) Concepto de gradiente y fórmulas respectivas para determinar un valor

futuro a partir de ; un valor uniforme a partir de un gradiente

; y un valor presente a partir de un valor gradiente

En este apartado observarás que existen tres fórmulas para calcular gradientes, éstas van

en función de la equivalencia que se esté usando, es decir, .

Factor de valor futuro de una serie aritmética

La deducción de los factores anteriores se sustentó en la consideración de cantidades

simples y series uniformes. Sin embargo, el comportamiento real de determinados flujos


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de efectivo no es uniforme a través del tiempo, sobre todo en las inversiones relativas a

los proyectos industriales.

Por ejemplo, los gastos de operación y mantenimiento de una máquina aumentan según

avanza el tiempo; si se supone que este incremento ocurre bajo ciertas tendencias, es

posible determinar otros factores de interés compuestos de gran importancia para obtener

cantidades equivalentes a estos aumentos.

Con el propósito de facilitar la determinación de los factores a que se ha hecho referencia,

considera que los gastos mencionados crecen en forma aritmética. En la escala de

tiempo, el primer incremento ocurrirá en el periodo dos y para el tercer periodo se tendrán

dos incrementos y así sucesivamente hasta el periodo enésimo.

Bajo estas circunstancias el diagrama de flujo monetario es el siguiente:

La ecuación que te permitirá calcular un valor futuro a partir de un gradiente es:

El factor está representado por la expresión:

Esta ecuación, independientemente de su representación, se emplea para simplificar el

cálculo de un valor futuro correspondiente a una serie aritmética.

0 1 2 3 4

3 G

2 G

G

Serie 1

Serie 2

Serie 3

Serie penúltima

Serie última

. . . . . .

Expresión 2.7


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Para ejemplificar el empleo de la expresión 2.7, observa el siguiente caso:

Considera una máquina, cuyos gastos de operación y mantenimiento anuales

experimentan un incremento aritmético de pesos, en un horizonte de años y una

tasa de interés anual de . ¿Cuál es el valor futuro equivalente ?

Es decir: Valor del factor

Si:

Sustituyendo:

La serie uniforme para este caso sería:

Factor de valor uniforme de una serie aritmética

La expresión y la expresión 2.7 son equivalentes. De esta equivalencia surge la

expresión 2.8 que te servirá para calcular una serie de flujos de efectivo a partir de un

gradiente.

,

La expresión 2.8 también se indica:

Para mostrar el empleo del factor observa el siguiente ejemplo:

Se trata de una máquina que tiene un costo inicial de pesos, con una vida

estimada de años. Los gastos anuales de operación serán de pesos con un

crecimiento aritmético de pesos a partir del año .

Expresión 2.7

Expresión 2.8


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Determina el costo anual equivalente para dicha máquina, es decir, una serie a una tasa

de interés del .

Sintetizando el problema tiene:

(Serie equivalente total)

El diagrama de flujo monetario para el presente caso es:

Por lo tanto:

Factor de valor presente de una serie aritmética

Si lo que requieres es encontrar un valor presente dado un gradiente, la expresión que

emplearás es:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4,500

1,500 1,000

500

100,000

10,000

…


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Para ejemplificar el empleo de la expresión 2.9 analiza el siguiente problema.

Una pareja de socios desea ahorrar dinero depositando 500 pesos en su cuenta dentro de

un año. Calculan que los depósitos aumentarán cien pesos por año durante 9 años a

partir del periodo 1. ¿Cuál es el valor presente de tal inversión, si la tasa de interés es de

5% anual?

Sintetizando el problema:

en el periodo 1

a partir del periodo 2 hasta el periodo 10

El diagrama de flujo monetario para este problema es el siguiente:

Solución:

Primeramente, es necesario llevar al momento presente el flujo uniforme de efectivo 1 al

10, es decir 500 pesos (esta cantidad está representada por una línea punteada); a esta

cifra se le suma el gradiente que es de 100 pesos a partir del periodo 2. Esto es:

2.2. Aplicaciones

Si observas detenidamente a tu alrededor, notarás que cotidianamente banqueros, amas

de casa, estudiantes, inversionistas, empresarios, prestamistas, contadores, consultores,

Expresión 2.9


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microempresarios, y en general, todas las personas que manejen capital se enfrentan

ante situaciones que les exige tomar decisiones, por ejemplo, se deben considerar

opciones de inversión, de ahorro, de crédito, tasas de interés, descuentos al saldar una

deuda anticipadamente, etcétera. Este dilema surge de la escasez de recursos y de las

necesidades ilimitadas que todo ser humano o empresa posee. Entonces, se debe de

tomar en cuenta esta situación para elegir la opción que optimice el uso de tales recursos.

En este apartado verás en acción el empleo del interés simple y del interés compuesto.

También conocerás las tasas nominales y efectivas, así como algunos ejemplos de la

aplicación de éstas. Todas estas herramientas proveerán una visión más amplia para la

toma de decisiones en el ámbito financiero.

Sin más preámbulos, entra de lleno a estas aplicaciones tan interesantes.

2.2.1. Aplicaciones de interés simple

Con la finalidad de que complementes la información concerniente a la tasa de interés

simple, es necesario que observes el ejemplo que se presenta a continuación.

Ejemplo

Un banco presta a un comerciante 10,000 pesos, y el acuerdo fue que la deuda se

pagaría después de 3 meses, entregando 13,000. Este caso permite ejemplificar una

operación en la que interviene el interés simple. El supuesto fundamental de que se parte

es que el dinero aumenta su valor con el tiempo:

El comerciante obtuvo inicialmente pesos y meses después pagó pesos;

los pesos que obtuvo inicialmente más pesos de interés, de acuerdo con el

supuesto básico, es la cantidad que aumentó el valor del préstamo original en meses.

Desde el punto de vista del banco, esos intereses son su ganancia al haber invertido su

dinero en el préstamo, y desde el punto de vista del comerciante, son el costo de haber

utilizado los pesos durante los meses.

Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son:

El capital que se invierte

El tiempo o plazo meses

El interés simple

El monto capital más intereses

La tasa de interés


32


La tasa de interés refleja la relación que existe entre los intereses y el capital; en el

ejemplo:

Este cociente indica, si se le multiplica por , que el capital ganó de interés en dos

meses; pesos es 30% de pesos. Luego, para convertir a la misma base, se

acostumbra expresar tanto la tasa de interés como el tiempo en unidades de año, por

lo que, según el ejemplo, meses, y si el año tiene meses, el tiempo expresado en

unidades de año es:

La tasa de interés, si es de por trimestre, en trimestres será:

ó, expresado en porcentaje :

anual.

También se hace la diferenciación entre:

a) La tasa de interés (expresada en decimales).

b) El tipo de interés (expresado en porcentaje).

Es importante observar que ambas son solo expresiones distintas de lo mismo, sólo que

la primera es la forma algebraica de plantearlo, mientras que su expresión porcentual es

la que más se utiliza cuando se le maneja verbalmente, y también es de uso común

hablar de tasas porcentuales de interés (por ejemplo: “con una tasa de anual”).

2.2.2. Aplicaciones de interés compuesto

Con la finalidad de que complementes la información concerniente a la tasa de interés

compuesto, es necesario que observes los ejemplos que se presentan a continuación.

Ejemplo


33


Si el costo de la gasolina aumentará mensual durante los próximos meses, ¿de

cuánto será el aumento total expresado en porcentaje?

Se sabe que el costo de un litro de gasolina es de pesos.

El incremento de la gasolina en el año será de pesos.

Si representa el porcentaje total del aumento, entonces:

Ejemplo

Una persona invierte pesos ahora a un interés compuesto del anual. ¿Cuánto

acumulará o capitalizará en el periodo ?

Sustituyendo:

pesos.

2.2.3. Aplicaciones de valor presente y futuro con interés simple y

compuesto

Ahora, observa estos ejemplos en los cuales se elaboran cálculos de valores presentes y

futuros, utilizando los diagramas de flujo monetarios y aplicando ambos tipos de interés,

es decir, el interés simple y el interés compuesto.

Ejemplo 1:


34


Si en una cuenta de ahorros que paga el anual y se depositan pesos anuales

durante años, ¿qué cantidad se acumularía al final del año , si el primer deposito se

hizo al final del año 1?

Se realiza el diagrama de flujo y se establece la ecuación mediante los factores de interés

compuesto.

Se calcula el presente

Y sustituyendo:

Después se calcula el valor futuro:

Sustituyendo:

5 0 1 2 3 4


35


Ejemplo 2:

Una persona desea recibir pesos al final de cada uno de los próximos cuatros

trimestres. Si la cuenta de ahorros paga un anual capital, cada trimestre, ¿cuál es el

depósito inicial requerido?

2.2.4. Tasa nominal, efectiva y equivalente

La tasa de interés actual que se capitaliza veces en un año se conoce como tasa

nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en cualquier operación de

índole financiero y queda acordada en los contratos. Las tasas de interés que has

utilizado en los ejercicios de la unidad han sido tasas nominales.

Sea la tasa de interés anual nominal capitalizable veces en un año y sea , la tasa

de interés anual nominal equivalente capitalizable veces en un año. Si se invierte a la

tasa de , el monto al cabo de años será:

La misma cantidad invertida a proporcionará un monto, al cabo de años, de:

5

0

1 2 3 4


36


Matemáticamente, la tasa equivalente se expresa:

Por lo tanto:

Es decir:

Elevando ambos lados de la igualdad a la potencia , se tiene:

Esto es:

Por lo tanto:

Ejemplo

Encuentra la tasa de interés nominal con capitalización semestral que sea equivalente a la

tasa del capitalizable cada mes.

Si anual, y , entonces:

anual capitalizable cada semestre.

Una tasa equivalente muy utilizada en diversas situaciones financieras es la tasa de

interés anual efectiva o tasa efectiva, simbolizada como .


37


La tasa efectiva es tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un periodo de un año

debido a la capitalización de los intereses, es decir, la tasa efectiva refleja el efecto de la

reinversión. A la tasa efectiva también se le llama rendimiento anual efectivo.

Si un determinado capital se invierte a una tasa de interés capitalizable cada año, el

monto compuesto al final del primer año es el mismo que el monto obtenido por interés

simple a un año de plazo. Por tal motivo, la tasa efectiva anual puede también definirse

como la tasa de interés simple que produce el mismo interés en un año que la tasa

nominal capitalizada veces al año.

La fórmula de la tasa efectiva se obtiene de la ecuación , haciendo

que sea igual a uno. Esto es:

Ejercicio

¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal del capitalizable en

forma semestral?

Anual

Periodos de capitalización en el año

Por lo tanto:

Si una persona invierte dinero al anual capitalizable semestralmente, la tasa de

interés realmente ganada es de anual.

Actividad 2. Interés compuesto

Esta actividad tiene el propósito de identificar las aplicaciones del interés compuesto

relacionados con la empresa.

1. Investiga en diversas fuentes (libros de texto, revistas, foros, entre otros) las

aplicaciones del interés compuesto en el contexto de la PyME.


38


2. Elabora un vídeo de máximo 5 minutos en el que aparecerás tú explicando 3

ejemplos sobre el interés compuesto orientado a una PyME.

3. Sube tu vídeo a un repositorio de tu elección (Youtube, Vimeo, etc) y genera el

enlace para que posteriormente lo ingreses a la base de datos.

4. Revisa el trabajo de al menos 3 compañeros(as) y coméntalos. Se te

recomienda que tomes nota de las aplicaciones investigadas que consideres

más importantes y útiles.

No olvides consultar los criterios de evaluación.

Autoevaluación

En este apartado pondrás a prueba los conocimientos adquiridos en la unidad 2. Lee

con atención el enunciado y resuelve lo que se te pide. Identifica el tipo de ejercicio que

estás solucionando.

1. El arquitecto Díaz solicita un préstamo bancario por para completar el

presupuesto de un proyecto. Acuerda pagar un total de $12,000 por concepto de

intereses. ¿Qué monto deberá pagar al término del plazo establecido?

a)

b)

c)

d)

2. ¿Cuánto es necesario depositar en el momento presente en una cuenta que

paga para acumular al final del quinto año ?

a)

b)

c)

d)

3. Un empresario depositó en una cuenta bancaria hace un año. Al final

de este tiempo se le entregaron . Identifica el capital, el monto y calcula

el interés ganado.


39


a)

b)

c)

d)

4. Si en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual se depositan $10,000 pesos

anuales durante 5 años, ¿qué cantidad se acumularía en el año 6 si el primer

depósito se hizo al final del año 1?

a)

b)

c)

d)

5. Una persona desea recibir pesos al final de cada uno de los próximos tres

cuatrimestres, si la cuenta de ahorros paga anual capitalizable

cuatrimestralmente, ¿cuál es el depósito inicial requerido?

a)

b)

c)

d)

6. ¿Qué cantidad es necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga

para acumular al final del cuarto año ?

a)

b)

c)

d)

7. Determina el costo anual uniforme equivalente de una sierra eléctrica que

cuesta $8,500 al final del periodo , un gradiente de por año hasta el año

a una tasa de anual de interés compuesto.


40


Diagrama de flujo:

a)

b)

c)

d)

Evidencia de aprendizaje. Ejercicios Prácticos II

En la evidencia de aprendizaje pondrás en práctica el planteamiento y resolución de

problemas, a través del interés simple y compuesto.

1. Elabora 10 problemas de tu autoría, 5 de interés simple y 5 de interés

compuesto.

2. Consulta la rúbrica de evaluación para identificar los criterios con los que

serás calificado.

3. Guarda tu documento con la nomenclatura GMAF_U2_EA_XXYZ, envíalo

a tu docente en línea a través del portafolio de evidencias y espera

retroalimentación.

4. Sube tu versión final a la herramienta base de datos, la cual no es

ponderable.

Autorreflexión

Recuerda que debes realizar un ejercicio de autorreflexión al terminar la autoevaluación.

Para ello, ingresa al Foro Preguntas de Autorreflexión y consulta las preguntas que tu


41


docente en línea haya formulado. Envía tus respuestas mediante la

herramienta Autorreflexiones.

Cierre de la Unidad

¡Felicidades! Has finalizado la segunda unidad de Matemáticas financieras, en la cual

conociste los conceptos de valor presente, valor futuro, la equivalencia del dinero a través

del tiempo, las fórmulas que permiten calcular estas equivalencias, así como la

simbología que se utiliza para realizar operaciones financieras. Ahora estás listo(a) para

explorar la Unidad 3. Amortización. ¡Adelante!

Para saber más…

Para facilitar el cálculo de equivalencias del dinero a través del tiempo, puedes hacer uso

de los factores de interés, de los cuales podrás encontrar algunos en la siguiente liga:

http://es.scribd.com/doc/64094292/Tablas-de-Interes-Compuesto

Revisa las siguientes páginas, en ellas encontrarás un resumen de las definiciones vistas

y ejercicios que te ayudarán a reforzar tus conocimientos sobre interés simple y

compuesto:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html

http://www.euv.cl/archivos_pdf/libros_nuevos/matematicas_cap1.pdf

Fuentes de consulta

Fuentes bibliográficas

Díaz, A., Aguilera, V. M. (1999). Matemáticas Financieras. (3ra. Edición). México: Mc Graw Hill.

Highland, E. H., Rosenbaum, R. S. (1987). Matemáticas Financieras. México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A.

Vidaurri, H. M. (2008). Matemáticas Financieras. (4ta. Edición). México: Cengage Learning.

Fuentes electrónicas

http://es.scribd.com/doc/64094292/Tablas-de-Interes-Compuesto

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html

http://www.euv.cl/archivos_pdf/libros_nuevos/matematicas_cap1.pdf


42


Real Academia Española. (2014). Diccionario de la lengua española. Recuperado

de http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?LEMA=tiempo

http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?LEMA=tiempo

Unidad 2. Interes Simple y Compuesto

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