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2.1 Modelo de regresin mltiple

El modelo que se plantea en regresin mltiple es el siguiente:

y i = 0 + 1 x 1 i + 2 x 2 i + ... + k xki + u i

onde x 1! x 2!...!x k son las "aria#les independientes o expli$ati"as.

%a "aria#le respuesta depende de las "aria#les expli$ati"as y de una $omponente

de error que se distri#uye segn una normal: u i = &'0! ( 2 )

El a*uste del modelo se realia por el m,todo de m-xima "erosimilitud o el m,todo

de mnimos $uadrados. En el $aso de distri#u$in normal de errores! am#os

m,todos $oin$iden! $omo ya se "io en regresin simple.

El "alor que el modelo estimado predi$e para la o#ser"a$in i/,sima es:

y i = 0 + 1 x 1 i + 2 x 2 i + ... + k xki

y el error $ometido en esa predi$$in es:

e i = y i y i = y i ' 0 + 1 x 1 i + 2 x 2 i + ... k xki )

onde son los "alores estimados del modelo. 0! 1!...! k

El $riterio de mnimos $uadrados asigna al "alor que minimia la suma de errores

al $uadrado de todas las o#ser"a$iones. 0! 1!...! k

&ota$in

es la denominada matri de dise3o! de dimensin n x 'k+1)

4orma matri$ial del modelo

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%a expresin matri$ial del modelo de regresin mltiple es la siguiente:

5 = + 6

El modelo estimado tam#i,n puede expresarse en 7orma matri$ial:

5 =

5 5 = e

2.2 Estima$in de la e$ua$in de regresin mltiple

8ara i = 1!2!9.n. Es$ri#iendo el modelo para $ada una de las o#ser"a$iones! ,ste

puede ser $onsiderado $omo un sistema de e$ua$iones lineales de la 7orma.

En la $orrela$in simple '#i"ariada! entre dos "aria#les) tenemos una re$ta de

regresin! que es el me*or a*uste de la nu#e de puntos del diagrama de dispersin.

5a emos "isto que de manera intuiti"a nos permite "er la posi#ilidad de prede$ir

5 a partir de ! o di$o desde otra perspe$ti"a! podemos "er el impa$to de

so#re 5. El $oe7i$iente # nos di$e en $u-ntas unidades aumenta 5 '$riterio) al

aumentar 'predi$tor o "aria#le independiente) en una unidad; lo mismo nos di$e

$ada $oe7i$iente #eta! pero en puntua$iones tpi$as.

En la regresin mltiple tenemos una ni$a "aria#le $riterio '5) y mltiples

"aria#les predi$toras o independientes '1! 2! et$.) y no es tan 7-$il "isualiarla

gr-7i$amente porque requiere un espa$io multidimensional.

%a e$ua$in de regresin mltiple in$luye un $oe7i$iente por $ada predi$tor: 1!

2! et$. %a $onstante a a desapare$ido porque aora es igual a 0 'es la media de

las puntua$iones tpi$as).

%a e$ua$in de regresin es aora:

y 'predi$a) = 11 + 22 +9 kk

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nmero que apare$e en la interse$$in de las "aria#les x! y x2 es

la $o"ariana entre la "aria#le x! y la "aria#le x.!. > lo largo de la diagonal prin$ipal

de la matri ay pares empare*ados de "aria#les 'por e*emplo! x! y x!; x! y x2). %os

nmeros aso$iados $on estos pares empare*ados son "arianas. %as matri$es de

"ariana/$o"ariana son sim,tri$as. Esto es! el tri-ngulo superior dere$o es la

imagen espe$ular del tri-ngulo in7erior iquierdo.

?i las entradas del "e$tor/$olumna

?on "aria#les aleatorias! $ada una $on "ariana 7inita! enton$es la matri de

$o"ariana @ es la matri $uya entrada 'i! *) es la $o"ariana

onde

Es el "alor esperado de la entrada i/,sima del "e$tor . En otras pala#ras!

tenemos

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8ropiedades

8ara y ! las siguientes propiedades

7undamentales se demuestran $orre$tas:

1.2. es semi de7inida positi"a

.

A.

B.

C. ?i los "e$tores y son de igual dimensin! enton$es

D.

. ?i y son independientes! enton$es

onde y son "e$tores aleatorios de dimensin ! es un "e$tor

aleatorio ! es ! y son matri$es de .

%a matri de $o"ariana 'aunque muy simple) es una erramienta muy til en

"arios $ampos. > partir de ella se puede deri"ar una trans7orma$in lineal que

puede de/$orrela$ionar los datos o! desde otro punto de "ista! en$ontrar una #ase

ptima para representar los datos de 7orma ptima '",ase $o$iente de

Fayleig para la prue#a 7ormal y otras propiedades de las matri$es de

$o"ariana). Esto se llama an-lisis del $omponente prin$ipal '8 por sus siglas

en ingl,s) en estadsti$a! y trans7ormada de Garunen/%oH"e en pro$esamiento dela imagen.

2.A 8rue#as de iptesis para los $oe7i$ientes de regresin

I0: = 0 'equi"ale a plantear que no ay rela$in entre 5 y i)

I1: 0 'equi"ale a plantear que s ay rela$in entre 5 y i)

?i se a$epta la de iptesis nula! se est- a$eptando que no ay rela$in entre 5 y

i! por lo tanto! ,sta "aria#le se de#e sa$ar del modelo.

%a estadsti$a de tra#a*o se resuel"e suponiendo que la iptesis nula 'I0) es

"erdadera. i$a estadsti$a de tra#a*o es:

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Fegla de de$isin. ?i el nmero de o#ser"a$iones es mayor que 0! los "alores de

J se allan en la distri#u$in normal. ?i el nmero de o#ser"a$iones es menor o

igual a 0 ! los "alores de J se allan en la distri#u$in t $on n/k/1 grados de

li#ertad. ?iendo k el nmero de "aria#les independientes en el modelo.

4igura A.C! Fegla de de$isin! prue#a de iptesis para

?i K L K se a$epta la iptesis nula! en $aso $ontrario se re$aa '7igura

A.C).

6na "e elegidas las "aria#les independientes que realmente in7luyen en el

$omportamiento de 5! se pueden $onstruir inter"alos de $on7iana para $ada uno

de los $oe7i$ientes de regresin po#la$ional ' )

Este inter"alo nos propor$iona! $on una $on7ia#ilidad del '1/ ) ! los "alores

dentro de los $uales "ariar- 5 si i "ara en una unidad y las dem-s "aria#les

permane$en $onstantes. El inter"alo se $onstruye as:

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%a $orrela$in mltiple se sim#olia $omo F e in$luye el $-l$ulo de los $oe7i$ientes

#eta de $ada "aria#le. 6na expresin sen$illa de esta $orrela$in mltiple es:

F = i 1i @ r

?e multipli$a el $oe7i$iente #eta de $ada "aria#le independiente por su $orrela$in

$on la "aria#le 5 y se suman los produ$tos. %a ra $uadrada de esta suma es el$oe7i$iente de $orrela$in mltiple.

F2! $omo su$ede $on r2 'el $oe7i$iente de determina$in) expresa la propor$in

de "ariana en la "aria#le $riterio '5) expli$ada por la $orrela$in mltiple.

Ia#itualmente lo que se $omuni$a e interpreta no es F sino F2

En el $aso de que las "aria#les independientes 'o predi$toras) $orrela$ionaran

$ero entre s! F2 sera igual a la suma de las $orrela$iones ele"adas al $uadrado

de las "aria#les independientes $on la "aria#le dependiente.