M.C.I.E MIGUEL ANGEL LUCIO LÓPEZ

Unidad 1: Distribuciones muéstrales

Objetivo:

Aplicar la distribución muestral de una media y de una proporción para hacer inferencias estadísticas acerca de la población con base en cierto error de muestreo permitido para conocer cómo se comporta un proceso productivo y /o de servicios de ingeniería

1. Distribuciones muestrales.1.1 Distribución muestral media. 1.2 Distribución muestral de (n - 1)S2/s2 1.3 Distribución t. 1.4 Distribución F.1.5 Distribución muestral de una proporción

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Una población es el grupo de objetos o individuos bajo estudio, acerca de los cuales queremos obtener información.

Una muestra es una parte de la población de la cual se obtiene información.

Ejemplo 1: Eres contratado por el Instituto Federal Electoral para que investigues la percepción que tienen los ciudadanos acerca de la honestidad de los procedimientos de elección en México. ¿A qué ciudadanos les preguntarías su percepción?

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Inferencia estadística: es el proceso de sacar conclusiones de la población basados en la información de una muestra de esa población.

Ejemplo 2: Un profesor de inferencia estadística quiere saber las calificaciones que obtuvieron sus alumnos en estadística descriptiva. En la primera clase del curso les pregunta a los diez estudiantes sentados en la primera fila sus calificaciones en esa asignatura. Concluye, con base en las respuestas recibidas, que el grupo obtuvo muy buenas calificaciones. ¿Cuál es la muestra? ¿Cuál es la población? ¿Puedes identificar cualquier problema relacionado con la forma en que el profesor seleccionó la muestra?

Ejemplo 3: Un profesor de deportes está interesado en determinar el rendimiento promedio de los estudiantes en una carrera con obstáculos. Ocho estudiantes de su clase se apuntan como voluntarios. Después de observar su desempeño, el profesor concluye que sus estudiantes pueden realizar exitosamente la prueba.

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Distribuciones muestrales.

Una estadística muestral proveniente de una muestra aleatoria simple tiene un patrón de comportamiento (predecible) en repetidas muestras. Este patrón es llamado la distribución muestral de la estadística.

Si conocemos la distribución muestral podemos hacer inferencia.

Las distribuciones muestrales adoptan diferentes formas según las estadísticas investigadas y las características de la población estudiada.

La distribución de probabilidad de un estadístico recibe el nombre de distribución muestral.

La distribución de probabilidad de se llama distribución muestral de la media.

La distribución muestral de un estadísticos depende del tamaño de la población, del tamaño de la muestras y del método de selección de estas últimas.

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Distribuciones muestrales de medias:

La primera distribución muestral importante es la media. Supóngase que una muestra aleatoria de n observaciones se toma de una población normal con media y variancia 2. Cada observación Xi, i = 1, 2, …, n de la muestra aleatoria tiene entonces la misma distribución normal que la población que está siendo muestreada. De aquí que, por la propiedad reproductiva de la distribución normal establecida en el teorema siguiente:

Si X1, X2,…, Xn son viarbles aleatorias independientes que tienen distribuciones normales con medias 1, 2, …, n y variancias respectivamente, entonces la variable aleatoria,

𝐘=𝐚𝟏𝐗𝟏+𝐚𝟐𝐗𝟐+…+𝐚𝐧𝐗𝐧

tiene una distribución normal con media,

𝛍𝐘=𝐚𝟏𝛍𝟏+𝐚𝟐𝛍𝟐+…+𝐚𝐧𝛍𝐧

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y variancia,

𝛔𝐘𝟐=𝐚𝟏

𝟐𝛔𝟏𝟐+𝐚𝟐

𝟐𝛔𝟐𝟐+…+𝐚𝐧

𝟐𝛔𝐧𝟐

se concluye que:

𝐗=𝐗𝟏+𝐗𝟐+…+𝐗𝐧

𝐧

tiene una distribución normal con media,

𝛍𝐗=𝛍𝟏+𝛍𝟐+…+𝛍𝐧

𝐧=𝛍

y variancia

𝛔𝐗𝟐=

𝛔𝟏𝟐+𝛔𝟐

𝟐+…+𝛔𝐧𝟐

𝐧=𝛔𝟐

𝐧

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Si se está realizando el muestreo de una población con distribución desconocida, ya sea finita o infinita, la distribución muestral de será aproximadamente normal con media y variancia 2/n dado que el tamaño de la muestra es grande. Esto es una consecuencia del siguiente teorema:

Teorema del límite central:

Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población con media y variancia 2, entonces la forma límite de la distribución de:

𝐙=𝐗−𝛍𝛔√𝐧

conforme n , es la distribución normal estándar n(z; 0, 1).

Nota: La aproximación normal para es buena si n 30, si la población no es normal. La aproximación normal para es buena, si n < 30, pero la población no difiere

mucho de la distribución normal. Si la población es normal, la distribución muestral seguirá exactamente una

distribución normal, sin importar que el tamaño de las muestras son pequeñas.

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Ejemplo 1: Una compañía fabrica focos que tienen un periodo de vida que está distribución aproximadamente en forma normal, con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solución:

s = 40n = 16

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Ejemplo 2: Dada la población uniforme discreta,

𝐟 (𝐱 )={ 𝟏𝟒,𝐱=𝟎 ,𝟏 ,𝟐 ,𝟑

𝟎 ,𝐞𝐧𝐜𝐮𝐚𝐥𝐪𝐮𝐢𝐞𝐫 𝐨𝐭𝐫𝐨𝐜𝐚𝐬𝐨

Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 36, seleccionada con reemplazo, dé una media muestral mayor que 1.4 pero menor que 1.8 si la media se mide y se redondea hasta las decimas.

Solución:

n = 4

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Distribución muestral de la diferencia entre dos promedios.

Si se extraen al azar muestras independientes de tamaño n1 y n2 de dos poblaciones discretas o continuas, con medias 1 y 2 y variancia 2

1 y 22,

respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de medias , está distribuida aproximadamente de forma normal con media y variancia dadas por

𝛍𝐗𝟏−𝐗𝟐=𝛍𝟏−𝛍𝟐 𝛔𝐗𝟏−𝐗𝟏

𝟐 =𝛔𝟏

𝟐

𝐧𝟏

+𝛔𝟐

𝟐

𝐧𝟐

De aquí que,

𝐙=(𝐗𝟏−𝐗𝟐)− (𝛍𝟏−𝛍𝟐)

√(𝛔𝟏𝟐/𝐧𝟏 )+¿ (𝛔𝟐

𝟐/𝐧𝟐 )¿es aproximadamente una variable normal estándar.

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Nota:

Si n1 y n2 son a 30, la aproximación normal para distribución de es muy buena sin importar las formas de las dos poblaciones.

Si n1 y n2 son < 30, la aproximación normal es razonablemente buena, excepto cuando las poblaciones no son definitivamente normales.

Si las dos poblaciones son normales, entonces tiene una distribución normal sin importar qué valores tengan n1 y n2.

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Ejemplo 1: Una muestra de tamaño n1 = 5 se saca aleatoriamente de una población que está normalmente distribuida con media 1 = 50 y variancia 2

1 = 9, y se registra la media muestral . Una segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 4 se selecciona independiente de la primera muestra, de una población diferente que también está normalmente distribuida, con media 2 =40 y la variancia 2

2 = 4 y se registra la media muestral . P( - < 8.2)

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Ejemplo 2: Los cinescopio de televisión del fabricante A tienen una duración promedio de 6.5 años y una desviación estándar de 0.9 años, mientras que los del fabricante B tienen una vida promedio de 6.0 años con una desviación estándar de 0.8 años. ¿cuál es la probabilidad que la muestra aleatoria de 36 cinescopio del fabricante A tenga una duración promedio que sea al menos un año más que la duración promedio de una muestra de 49 cinescopio del fabricante B?

Solución:Población 1 Población 2

1 = 6.5 2 = 6.0

1 = 0.9 2 = 0.8

n1 = 36 n2 = 49