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Teoría de Gráficas

Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 1

Unidad 1 Introducción a la teoría de gráficas

La Teor í a de G ráf i cas es una técnica con la que se visualiza de forma global,

holística o sistémica un problema. Esta técnica ayuda a comprender y análisis problemas

de:

Procesos Estocásticos

Optimización lineal

Redes

Árboles de decisión

Probabilidad, etc.

Soluciona y analiza un problema, cuidando que se visualicen todos los sus elementos y la

relación entre ellos mediante una gráfica.

Una grá f i ca consiste en un conjunto de elementos llamados vértices y líneas los cuales

están relacionados entre si de tal forma que a cada línea se le asocia un par de vértices.

Ejemplo:



Cuando una línea tiene dos vértices terminales de modo que existe una distinción con

respecto a ir de un vértice a otro se tiene una grá f i ca d ir ig i da o D i grá f i ca .

Ejemplo:

De lo contrario se tiene una gráf i cas no d i r i g i das .

Ejemplo:

Conceptos de gráficas no dirigidas

Los vértices asociados a una línea se llaman vér t i ce s t e rm i na l e s .



En una gráfica se pede tener una línea que esta asociada a un solo vértice, a esta línea

se le llama buc l e .

La relación entre un para de vértices no siempre es única, por lo tanto se pueden tener

varias líneas asociadas al mismo par de vértices. Estas líneas se llaman Lí nea

para l e l a s .

Nota: Algunos autores les llaman seudo gráficas

Ejemplos: Sea la siguiente gráfica analicemos lo siguiente:

Los vértices terminales de la línea 3 son A y C.

En el caso de la línea 5 tiene como vértice terminal al vértice A,

como es el único esta línea es un bucle.

Las Líneas paralelas de esta gráfica son la 2 y 4.

Cuando un vértice es terminal de una línea se dice que son i nc i dent es . Esto es, que el

vértice incide en la línea o que la línea incide en el vértice.

Si dos líneas no paralelas son incidentes de un vértice en común se llaman l íneas

adyacent e s .

Dos vér t i ce s son adyacent e s si comparten una línea en común.

El número de líneas que inciden en un vértice es el grado o va l enc i a se denota como

)( ivd .

Teorema: Si una gráfica sin bucles tiene e líneas y n vértices, la suma del grado de sus

vértices es igual a dos veces el número de líneas, esto es:

n

i

i evd1

2)(

Ejemplo:

Sea la siguiente gráfica, el grado de los vértices es

3)(Ad

4)(Bd

3)(Cd



3

1

)5(210343)(i

ivd donde 5 es el número de líneas

Teorema: El número de vértices de grado impar en una gráfica sin bucles es par.

Ejemplo:

En este caso la grafica tiene sólo dos vértices de grado impar.

Un vér t i ce es a i s l ado si tiene grado cero.

Un vér t i ce de grado uno es co l gant e o f i na l

Dos l í neas están en ser i e si son adyacentes y su vértice común tiene grado dos.

Una subgr á f i ca g es una subgráfica de G si todos los vértices de g estén contenidos

en G y además cada línea de g tiene los mismos vértices terminales que en G.

Ejemplo: Sea la siguiente gráfica.

Las siguientes gráficas son subgráficas de esta:



Contra ejemplo:

Las siguientes gráficas no son subgráficas

En la primera gráfica podemos ver que la línea 4 no tiene los mismos vértices terminales

que la gráfica original.

En la segunda el vértice A y C están cambiados por lo tanto no es subgráfica.

Observaciones:

Una gráfica es subgráfica de si misma

Si se tienen 3 subgráficas g1,g2 y g3 tal que g1 g2 y g2 g3 g1 g3

Un vértice es subgráfica de G

Una línea de G con sus vértices terminales es subgráfica de G

Dos o más subgrá f i cas g1 y g2 son de l íneas d i s junt as si no tienen líneas en

común.

Dos o más subgrá f i cas son de vér t i ces d i s j unt os si no tienen vértices en

común.

Ejemplo



Si comparamos las subgráficas anteriores

Subgráficas Líneas disjuntas Vértices

Disjuntos

g1 vs g2 Si Si

g1 vs g3 Si No

G2 vs g3 Si No

Las subgráficas de líneas disjuntas se llaman com ponent e s y son a su ves subgráficas

conectadas.

Nota: Los vértices aislados por definición son componentes.

Ejemplo: Esta es una gráfica con 4 componentes

Un paseo es una secuencia finita y alterna de vértices y líneas, comenzando y

terminando en un vértice, tal que cada línea es incidente con los vértices anteriores y

posteriores.

Un paseo ab i er t o es aquel que termina en un distinto vértice al cuál se inicia.

Un paseo cerrado es aquel que termina en el mismo vértice al cuál se inicia.

Una t rayec t or i a es un paseo abierto en donde no se repiten vértice ni líneas.

Un c i rcu i to es un paseo cerrado donde no se repiten líneas y el único vértice que se

repite es el primero al final.



Ejemplos: Sea la siguiente gráfica

Clasificaremos los siguientes paseos como: paseos abiertos, cerrados, trayectorias y

circuitos

Paseo Tipo de Paseo Trayectoria o

Circuito

B,5,A,6,D Abierto Trayectoria

A,1,B,2,C,4,C,3,A Cerrado Nada

B,2,C,4,C,3,A Abierto Nada

C,4,C Cerrado Circuito

A,1,B,2,C,3,A,8,E,9,C Abierto Nada

E,8,A,3,C,9,E Cerrado Circuito

D,6,,A,8,E,9,C,2,B abierto Trayectoria

Nota: no todos los paseos cerrados son circuitos, ni todos los paseos abiertos son

trayectorias

Tipos de Gráficas

En las gráficas no importa la forma sino la relación entre los vértices. Se dice que dos

grá f i cas son i s om órf i cas si cumplen las siguientes condiciones:

Tienen el mismo número de vértices

Tienen el mismo número de líneas

Representan exactamente la misma relación



Ejemplo:

Una gráfica que no contiene líneas es llamada gr á f i ca nu l a .

Nota: El número de vértices no puede ser nulo

Una gr á f i ca s i m pl e es aquella que no contiene bucles ni líneas paralelas

Una grá f i ca genera l es aquella que contiene bucles y/o líneas paralelas.

Ejemplo:

Las gráficas pueden ser f i n i t as o in f i n i t a s

Una grá f i ca está conec t ada si se puede alcanzar un vértice cualquiera a partir de

cualquier otro, es decir, si entre cada par de vértices existe por lo menos un paseo que los

une.

Gráfica General Gráfica Simple



Teorema: una grá f i ca esta desconec t ada si y sólo si su conjunto de vértices puede

particionarse en dos subconjuntos no vacíos, de modo que no existen líneas en G que

comiencen en uno de los subconjuntos y terminen en el otro.

Ejemplo: Una gráfica desconectada con 4 componentes

Teorema: Si una gráfica (conectada o desconectada) tiene exactamente dos vértices de

grado impar, deberá existir un paseo que los una.

Teorema: Una gráfica simple con n vértices y k componentes puede tener a lo más

2

)1)(( knkn lineas.

Una grá f i ca com ple t a es una gráfica simple donde cada para de vértices es

adyacente. Se denota como Kn, donde n es el número de vértices.

Teorema: El grado de cada vértice en una gráfica completa Kn es n-1, y

el número de líneas de Kn es 2

)1(nn

Ejemplo: Las siguientes gráficas son completas



Una grá f i ca regu l ar es una gráfica simple donde todos los vértices tienen el mismo

grado.

Teorema el número de líneas de una gráfica regular de grado r con n vértices es 2

nr

Ejemplo:

Una grá f i ca b i par t i da o bicoloreable es aquella en que el conjunto de vértices

puede dividirse en dos subconjuntos distintos, de modo que cada línea de la gráfica

tiene como vértices terminales uno de cada subconjunto.

Ejemplo: Gráficas bipartidas:

Si en una gráfica bipartida todos los vértices de uno de los subconjuntos son adyacentes

a los vértices del subconjunto opuesto se tiene una grá f i ca b i par t i da com pl e ta

K r , s , donde r y s son el número de vértices de cada subconjunto.

Ejemplo: Gráfica bipartida completa K3,3



Operaciones entre gráficas

Uni ón ( G 1 G 2 ) : Es una nueva gráficas que contiene la unión de vértices y la

unión de líneas, si existen líneas en común se ponen sólo una ves, si la línea.

In t er secc i ón ( G 1 G 2 ) : Es una gráfica que contiene los vértices que hay en

común en las gráficas y las líneas.

Sum a ( G 1 +G 2 ) : Es una gráfica que contiene la unión de las gráficas y además

todos los vértices de la primero gráfica deben ser adyacentes a los de la segunda.

Sum a an i l l o ( G 1 G 2 ) : Es la gráfica, es la unión de las gráficas, sin las líneas que

aparecen en ambas.

Supres i ón o re s t as : Esta operación se puede efectuar sobre varios elementos:

Res t a de un vér t i c e ( G - v i ) : Es la misma gráfica sin el vértice ni las líneas que

inciden en él.

Res t a de una l í nea ( G - e i ) : Es la misma gráfica sin la línea.

Res t a de una su b grá f i ca (G - g i ) : Es la misma gráfica sin la subgráfica ni las

líneas que inciden en algún vértice de la subgráfica.

Fus i ón ( G / e i ) : Es la gráfica G sin la línea y además se fusionan sus dos vértices

terminales en uno solo.

Ejemplo: Sean las siguientes gráficas:



Realizar las siguientes operaciones:

G 1 G 2 G 1 G 2

G 1 +G 2 G 1 G 2



G 2 - c G 2 - 1 G 2 - g 1

G 1 / 2



Conceptos de digráficas

En una gráfica dirigida se tienen dos tipos de grado:

El número de líneas que inciden hacia fuera de un vértice se llama grado ex t erno ,

esto es las líneas que salen. Se denota como d+(vi)

El número de líneas que inciden hacia adentro de un vértice se llama grado i n t erno ,

esto es las líneas que llegan. Se denota como d-(vi)

Teorema: La suma de los grados internos de los vértices de una digráfica es igual a la

suma de los grados externos y es igual al número de líneas que contiene la digráfica.

n

i

i

n

i

i evdvd11

)()(

Un vér t i ce es a i s l ado , si su grado interno y externo son ceros.

Un vér t i ce es f i na l , o final si su grado externo es cero y el interno diferente de cero.

Un vé r t i ce es i n i c i a l , si su grado interno es cero y el externo diferente de cero.

Dos l í neas son para le l a s si inciden en los mismos vértices terminales y además tienen

la misma dirección.

Un paseo d i r i g i do es una secuencia alterna de vértices y líneas donde cada una

aparece sólo una vez y en la secuencia de un vértice a otro existe una línea con esa

dirección

Si el paseo existe en la gráfica no dirigida se llama s em i paseo .

Una t rayec t or i a d i r i g i da es un paseo dirigido abierto donde no se repiten

vértices.

Un c i rcu i to d i r i g i do es un paseo dirigido cerrado donde el único vértice que se

repite es el primero al final.

Tipos de Digráficas

Dos grá f i cas son i som órf i cas , si sus gráficas no dirigidas lo son y además las

direcciones de las líneas coinciden.

Ejemplo: Las siguientes dos digráficas son isomórficas



Una di grá f i ca s i mpl e es aquella que no contiene bucles ni líneas paralelas en

términos de digráficas.

Ejemplo Digráfica simple

Una di grá f i ca s im ét r i ca es aquella en donde para cada línea de ida existe otra de

regreso.

Ejemplo: Digráfica simétrica:



Una di grá f i ca a s i mét r i ca es la que no es simétrica.

Ejemplo: Digráfica asimétrica

Una di grá f i cas compl e t a es aquella en donde para cada par de vértices existe una

línea de ida y otra de regreso. Se denota como DKn.

Ejemplo: Digráfica completa

Una di grá f i ca regu l ar de grado r,s es aquella donde todos los vértices tienen el

mismo grado interno y externo.

Ejemplo: Digráfica regular



Una di grá f i ca ba l anceada es aquella que en cada vértice el grado externo y el

interno son iguales.

Ejemplo: Digráfica balanceada

Una di grá f i ca conec t ada es aquella en la cuál existe un paseo dirigido entre

cualquier para de vértices.

Teorema: una digráfica simple con n vértices y k componentes tiene a lo más (n-k)(n-k+1)

líneas.

Relaciones binarias

Toda gráfica proviene de una relación binaria, dado que se tiene un conjunto de objetos

X donde nxxxX ,...,, 21 y R es una relación entre los pares de vértices ji xx , , para

la cual se dice que ix tiene relación con ix . Las relaciones se clasifican de la siguiente

manera:

Rel ac i ón re f l ex i va : Es cuando cada elemento ix tiene relación con ix

Rel ac i ón s i mét r i ca : Es cuando para cada elemento ix que tiene relación con jx

existe también una relación que jx con ix .

Rel ac i ón t rans i t iva : Es cuando se tiene que de tres elementos ix R jx y jx R kx

entonces se tiene ix R kx .

Rel ac i ón de equ i va l enc i a : Es la que cuenta con ser reflexiva, transitiva y

simétrica.

Ejemplo: la siguiente gráfica cumple con todas las relaciones

Simétrica por que para cada línea que existe hay una relación de ida y regreso



Reflexiva ya que todos los vértices contiene bucles

La transitiva por la transitividad de las relaciones

Por lo tanto es una relación de equivalencia

Conceptos aplicables a gráficas y Digráficas

La l ong i t ud de un p aseo es el número de líneas que contiene el paseo.

La Di s t anc i a en t re dos vér t i c e s es la longitud del paseo mínimo que los une.

Sea G una gráfica conectada o un componente si al eliminarse un línea se desconecta

la gráfica a ésta se le llama l í nea de cor t e o puent e .

Si G contiene un vértice que al eliminarlo se desconecta la gráfica, entonces éste es un

punt o de ar t i cu l ac i ón .

Una gráfica que no contiene puntos de articulación se llama Bl oque .

Una gráfica que contiene varios puntos de articulación se llama grá f i ca s eparab l e .

Ejemplo:

La siguiente gráfica contiene un punto de articulación que es

C

La línea de corte es 3



Ordenamiento de una gráfica sin circuitos

Sea G una gráfica sin circuitos:

La generación G0 es la subgráfica formada por los vértices iniciales.

La generación G1 es la subgráfica formada por los vértices iniciales después de realizar la

operación de G- G0

La generación G2 es la subgráfica formada por los vértices iniciales después de realizar

la operación de G- G0- G1

Y así sucesivamente, Gn es la última generación y esta formada por los vértices terminales

de la gráfica original

Nota: Para ordenar una gráfica que contenga circuitos lo que se hace es fusionar el

circuito en un solo vértice y ordenar esa gráfica.

Ejemplo: Sea la siguiente gráfica ordenarla por generaciones

Cómo la gráfica tiene circuitos hay que fusionarlos en un solo vértice (DE) y nos queda la

gráfica de la siguiente manera:



Ahora si ya podemos ordenar la gráfica. Nos queda de la siguiente manera:

Árboles

Sea T una gráfica con n vértices los siguientes enunciados son equivalentes:

T es un árbol

T no contiene circuitos y tiene n-1 líneas

T es conectada y cada línea de es puente

Entre cada dos vértices existe una trayectoria única

La adición de cualquier línea entre dos vértices ya existente crea un circuito

T tiene al menos dos vértices colgantes

Ejemplo: Las siguientes gráficas son árboles

Un bosque es un conjunto de árboles



Teorema: Un bosque B con n vértices y k árboles tiene n-k líneas

La d i s t anc i a en t re 2 vér t i c e s en árboles es la longitud del camino o trayectoria

que los une.

La excent r i c i dad de un vér t i ce es la distancia del vértice al más alejado

El cent ro de un árbo l es el o los vértices de excentricidad mínima.

Teorema: Un árbol tiene 1 0 2 centros

Demostración: Elimine los vértices colgantes sucesivamente y hasta el final quedarán el o

los centros

Un árbol arraigado es cuando en un árbol se identifica un nodo como raíz y se distingue

con un marco

Ejemplo: Sea el siguiente árbol arraigado, encuentre los centros:

Las excentricidades de los vértices son las siguientes:

e(A)=4 e(G)=6

e(B)=3 (Centro) e(H)=5

e(C)=4 e(I)=6

e(D)=4 e(J)=6

e(E)=4 e(K)=6

e(F)=4 e(L)=6

Un árbo l b i nar i o es aquel que cada nodo tiene a lo más dos hijos

Un árbo l e s t r i c t am ent e b inar i o es aquél que cada nodo tiene cero uno o dos

hijos.

Ejemplo



El primero no es estrictamente binario por que el vértice C sólo tiene un hijo.

Observaciones de un árbol estrictamente binario:

Existe un solo vértice de grado par la raíz

Los demás vértices son de grado 1 0 3

El número de vértices de un árbol estrictamente binario es siempre impar

El número de vértices colgantes de un 2

)1(n

Transformación de un árbol en uno estrictamente binario:

En ocasiones es más fácil leer en un árbol binario que otros

Paso 1: Selecciona la raíz del árbol original

Paso 2: Genera un nuevo nodo cuyo hijo izquierdo se el subárbol izquierdo de la raíz y el

derecho lo que resta incluyendo la raíz

Paso 3: Repetir desde el paso uno con todos los subárboles hasta que todos los vértices

del árbol original sean colgantes o finales

Ejemplo: Sea el siguiente árbol trasformarlo en uno estrictamente binario



Recorrido de árboles

Los árboles binarios se recorren de dos formar, por n i ve l e s tenemos el:

Top - Do wn: Se recorre de arriba a bajo y de izquierda a derecha.

Bot t om -Top: De abajo hacia arriba y de izquierda a derecha.

Nota: El árbol tiene que estar ordenado por niveles donde el primer nivel es la raíz el

segundo los hijos de la raíz el tercero los hijos de los hijos de la raíz y así sucesivamente.

El otro recorrido es por subárbo l e s y tenemos:

Inorden: Se recorrer el subárbol izquierdo, después se lee la raíz y por último el subárbol

derecho.

Posorden: Se recorre el subárbol izquierdo después el subárbol derecho y al final se lee

la raíz.

Preorden: Se lee la raíz después el subárbol izquierdo y al final el subárbol derecho.

Ejemplo: Sea el siguiente árbol recorrer en todos las formas.

Top-down: B,D,A,E,F,C,H,G,I,J,K,L

Bottom-Top: G,I,J,K,L,E,F,C,H,D,A,B

Inorden: E,D,G,F,I,B,J,C,A,K,H,L

Posorden: E,G,I,F,D,J,C,K,L,H,A,B

Preorden: B,D,E,F,G,I,A,C,J,H,K,L

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