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Unidad 1. Introducción Congruencia de Triángulos

Criterios de Congruencia de Triángulos

Geometría Griega En el principio, la geometría era una colección de reglas de uso común para mediry construir casas y ciudades. No fue hasta el año 300 a.C. que Euclides de Alejandría, en susElementos, ordenó y escribió todo ese saber, imprimiéndole el sello de rigor lógico que caracteriza ydistingue a las matemáticas. Se dio cuenta de que todo razonamiento riguroso (o demostración) debebasarse en ciertos principios previamente establecidos ya sea, a su vez, por otra demostración o bienpor convención. Pero a �nal de cuentas, este método conduce a la necesidad ineludible de conveniren que ciertos principios básicos (postulados o axiomas) son válidos sin necesidad de demostrarlos,que están dados y son incontrovertibles para poder construir sobre ellos el resto de la teoría. Lo quehoy se conoce como Geometría Euclidiana, y hasta hace dos siglos simplemente como Geometría,está basada en los cinco postulados de Euclides:

1. Por cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une.

2. Dados un punto y una distancia, se puede trazar el círculo con centro en el punto y cuyo radioes la distancia.

3. Un segmento de recta se puede extender en ambas direcciones inde�nidamente.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Dadas dos rectas y una tercera que las corta, si los ángulos internos de un lado suman menosde dos ángulos rectos, entonces las dos rectas se cortan y lo hacen de ese lado.

De estos postulados o axiomas, el quinto es el más famoso pues se creía que podría deducirse de los otros.Es más so�sticado, y entonces se pensó que debía ser un teorema, es decir, ser demostrable. De hecho,un problema muy famoso fue ése: demostrar el quinto postulado usando únicamente los otros cuatro.Y muchísimas generaciones de matemáticos lo atacaron sin éxito. No es sino hasta el siglo XIX, y parasorpresa de todos, que se demuestra que no se puede demostrar; que efectivamente hay que suponerlocomo axioma, pues negaciones de él dan origen a �nuevas geometrías�, tan lógicas y bien fundamentadascomo la euclidiana. Pero esta historia se verá más adelante (en los capítulos 6 y 8) pues por el momentonos interesa introducir la geometría analítica. La publicación de la �Géométrie� de Descartes marca unarevolución en las matemáticas. La introducción del álgebra a la solución de problemas de índole geométricodesarrolló una nueva intuición y, con ésta, un nuevo entender de la naturaleza de las �lignes courves�.Para comprender lo que hizo René Descartes (1596�1650), se debe tener más familiaridad con el quintopostulado. Además del enunciado original, hay otras dos versiones que son equivalentes:

1. Dada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única recta que pasa por el punto y quees paralela a la línea.

2. Los ángulos interiores de un triángulo suman dos ángulos rectos.

De las tres versiones que hemos dado del quinto postulado de Euclides, usaremosDada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única recta que pasa por el punto

y que es paralela a la línea.

a la cual nos referiremos simplemente como �El Quinto�.

Facultad de Ciencias UNAMGeometría Analítica I

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1


En general se dice que dos �guras geométricas son iguales si tienen el mismo tamaño y la misma forma.

Con la intención de que sea evidente cuando se habla de �guras que tienen el mismo tamaño y la mismaforma y que el concepto quede descrito en forma precisa, se de�ne la congruencia de �guras de la siguientemanera:Dos �guras se dicen congruentes, si tienen respectivamente sus lados y ángulos de la misma magnitud. Alos lados y ángulos correspondientes también se les llama homólogos.Se utiliza el símbolo ∼= para denotar que dos �guras son congruentes.Dos triángulos son congruentes si tienen iguales sus lados y sus ángulos, esto es, se requiere la igualdadde seis elementos.

Seguramente recuerda que en el caso de los triángulos si tres de sus elementos son iguales, no cualesquieratres, se puede asegurar que los triángulos son congruentes.

Criterios de Congruencia El primer criterio de congruencia de triángulos es:

1. Criterio (LAL) Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo entre ellos iguales son con-gruentes.Proposición 1. Criterio (LAL)Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo entre ellos iguales entonces los otros lados y losotros ángulos también son iguales.

Demostración. Si ABC y A'B'C' son dos triángulos con AB=A'B', AC=A'C' y los ángulosBAC y B'A'C' iguales. Desplazar al triángulo A'B'C' de modo que A'B' coincida con AB,y que el ángulo B'A'C' coincida con el ángulo BAC. Entonces la linea A'C' coincide con lalinea AC, así que C' coincide con C. Entonces por el postulado 1 la línea BC debe coincidircon la línea B'C', así que los dos triángulos coinciden y por lo tanto sus lados y ángulos soniguales.




Ejemplo Si sobre los lados AB y CA de un triángulo ABC se construyen triángulos equiláterosABC' y CAB', simempre se tiene que BB′ = CC ′

Notemos que en los triángulos BAB′ y C ′AC se tiene BA = C ′A, AB′ = AC y ∠ BAB′ =∠ BAC +60◦ = ∠ C ′AC, luego por el criterio LAL, los triángulos son congruentes por loque BB′ = CC ′

Proposición 2. Criterio (LLL)Si dos triángulos tienen los 3 lados respectivos iguales, también tendrán ángulos iguales.

Demostración. Colocamos el 4 A′B′C ′ de tal manera que B′C ′ coincida con BC peroque A y A' quden en lados opuestos a BC.

Trazamos la recta AA' y tenemos que AB = A′B′ por tanto el triángulo 4 ABA′ esisóceles y en consecuencia ∠ BAA′ = ∠ BA′A

AC = A′C ′ por tanto el triángulo 4 ACA′ es isóceles y ∠ CAA′ = ∠ CA′A

Además ∠ A = ∠ BAA′ − ∠ CAA′ y ∠ A = ∠ BA′A − ∠ CA′A consecuentemente∠ A = ∠ A′

Por criterio (LAL) ∠ B = ∠ B′ y ∠ C = ∠ C ′




Ejemplo Si ABC es un triángulo con AB = CA y si A′ es el punto medio de BC, entonceslos triángulos ABA′ y ACA′ son congruentes

En efecto, los lados AB, BA′ y AA′ del triángulo ABA′ son congruentes respecti-vamente a los lados AC, CA′ y A′A del triángulo ACA′; por el criterio LLL, lostriángulos son congruentes.

Ejemplo Si ABC es un triángulo isóceles con AB = AC entonces sucede que ∠ ABC =∠ ACB.

En efecto, consideremos el triángulo A′B′C ′ donde A′ = A, B′ = C y C ′ = B, estoes el triángulo ABC solamente recorrido en sentido opuesto. Entonces es claro queA′B′ = AC = AB, B′C ′ = CB = BC y C ′A′ = BA = CA. Por el criterio LLL, lostriángulos ABC y A'B'C' son congruentes, luego

∠ ABC = ∠ A′B′C ′ = ∠ ACB




Criterio (ALA)Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos adyacentes iguales son con-gruentes.

Demostración. Sabemos que

a) ∠ ABC = ∠ DEF

b) ∠ BCA = ∠ EDF

c) BC = EF

Si AB no fuera igual a DE, entonces uno de ellos es mayor.Supongamos que AB > DE, podemos construir un segmento BG igual a DE, y unimos Gcon C.

Puesto que BG = DE y BC = EF respectivamente, y ∠ GBC = ∠ DEF , entoncesla base GC es igual a la base DF, y los triángulos 4 GBC y 4 DEF son iguales, y losángulos restantes iguales a los ángulos restantes, a saber aquellos opuestos a los ladosiguales. Por lo tanto ∠ GBC = ∠ DFEPor hipótesis ∠ DFE = ∠ BCA. Por lo tanto ∠ GCB = ∠ BCA, el ángulo menor esigual al mayor, lo cual es imposible.




Supongamos ahora que

a) ∠ ABC = ∠ DEF

b) ∠ BCA = ∠ EDF

c) pero, que el lado respectivamente igual, es opuesto a los ángulos que son iguales,digamos BC = DE

Si BC no fuera igual a EF, entonces uno de ellos es mayor.Supongamos que C > EF , podemos construir un segmento BH igual a EF, y unimos Acon H.

Puesto que BH = EF y AB = DE respectivamente, y ∠ ABH = ∠ DEF , entoncesla base AH es igual a la base DF, y los triángulos 4 ABH y 4 DEF son iguales, ylos ángulos restantes iguales a los ángulos restantes, a saber aquellos opuestos a los ladosiguales. Por lo tanto ∠ BHA = ∠ EFDPor hipótesis ∠ EFD = ∠ BCA. Por lo tanto ∠ BHA, es ángulo exterior del triángulo4 AHC. Tenemos entonces que ∠ BHA > ∠ BCA.Entonces tenemos a la vez que ∠ BHA es igual y mayor que ∠ BCA. Esto es una contra-dicción




Proposición 3. Si un triángulo tiene dos lados iguales, entonces los ángulos opuestos aesos lados son iguales.

Demostración. Supongamos que el triángu-lo ABC tiene lados AB y AC iguales. Dibu-jar la bisectriz del ángulo BAC, y sea D elpunto donde la bisectriz corta al lado BC.Entonces los triángulos ABD y ACD tienen2 lados iguales y los ángulos entre ellos igua-les. Así que por el criterio LAL, los ángulosABD y ACD son iguales.

Ejemplo La diagonal AC del paralelogramos ABCD divide a éste en dos triángulos con-gruentes

En efecto, como AC es una transversal a las paralelas AD y BC se tiene que los ángulosalternos internos DAC y ACB son iguales. También, como AC corta a las paralelasAB y CD, son iguales los ángulos CAB y DCA. Finalmente como AC es una ladocomún a los triángulos ABC y CDA resulta por el criterio ALA, que estos triángulosson congruentes.

Proposición 4. Lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

Demostración. Dado el paralelogramo ABCD, divi-dimos éste en dos triángulos por la diagonal y vamos

a probar que estos triángulos son congruentes

1. Los triángulos tienen un lado común AC

2. Sus ángulos correspondientes α son iguales,siendo ángulos internos alternos por los ladosparalelos AD y BC

3. Sus ángulos correspondientes β son iguales,siendo ángulos internos alternos por los ladosparalelos AB y DC

∴ los triángulos son congruentes por criterio ALA,




y en particular se tiene

|AB| = |DC| y |AD| = |BC|entre los lados correspondientes. Pero estos tambiénson los lados opuestos del paralelogramo

Proposición 5. Suma de los ángulos internos de un triángulo Si α, β y γ son los ángulos de un triángulo,entonces

α+ β + γ = π

Demostración. Dado un triángulo dibujamos una recta L sobre uno de los vértices y paralela al ladoopuesto

Entonces el ángulo a la izquierda debajo de L es alterno al ángulo α en el triángulo, por lo que es iguala α. Del mismo modo, el ángulo a la derecha debajo de L es igual a γ. Pero entonces el ángulo π debajode L es igual a α+ β + γ y por lo tanto

α+ β + γ = π

Proposición 6. En cualquier triángulo ABC tenemos que el ángulo externo, es igual a la suma de losángulos internos no adyacentes

Demostración. Considersmos a γ′, el ángulo externo al vértice C.

Tenemos que γ′ + ∠ ACB = 180◦, por ser suplementarios. Por lo tanto, como la suma de los ángulosinternos del triángulo también es 180◦, tenemos

∠ CBA+ ∠ BAC + ∠ ACB = γ′ + ∠ ACB

de dondeγ′ = ∠ CBA+ ∠ BAC

.




Lema 1. En un triángulo, al lado mayor de cualesquiera dos lados se opone el ángulo mayor, es decir,si AB > AC entonces

∠ ACB > ∠ ABC

El recíproco también es válido, es decir, el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor

Demostración. Sea ABC un triángulo tal que AB > AC

Seleccionamos un punto D en la recta AC tal que AD = AB

Según la �gura se tiene∠ ABD = ∠ ABC + ∠ CBD

de donde ∠ ABD > ∠ ABCPor otro lado ∠ ACB es el ángulo exterior del triángulo 4 BDC luego

∠ ACB = ∠ ADB + ∠ CBD > ∠ ADB

Sin embargo en el triángulo isoceles 4 ADB se tiene

∠ ABD = ∠ ADB

por tanto∠ ACB > ∠ ADB = ∠ ABD > ∠ ABC

RecíprocoSupongamos que ∠ ACB > ∠ ABC, existen entonces tres posibilidades

(a) AB < AC (b) AB = AC (c) AB > AC




1. Si AB < AC se tiene entonces según el resultado anterior ∠ ACB < ∠ ABC (lo cual es falso puescontradice la hipótesis)

2. Si AB = AC se tiene entonces un triángulo isoceles y por tanto ∠ ACB = ∠ ABC (lo cual esfalso pues contradice la hipótesis)

3. La única posibilidad es AB > AC

Teorema 1. La desigualdad del triángulo.Para cualquier triángulo tenemos que la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que lalongitud del tercer lado. Es decir, si llamamos a, b y c a las longitudes de los lados del triángulo, tenemosque las siguientes tres desigualdades se cumplen:

a+ b > ca+ c > bb+ c > a

Demostración. Sea D un punto sobre la prolongación del lado BC del triángulo ABC, tal que AC = CD

se tiene que BD = BC + CD = a+ b.Como ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD por lo que

∠ BAD > ∠ CAD = ∠ CDA

por ser isóceles el triángulo 4 ACD según lo anterior el ángulo mayor se opone al lado mayor

BD = a+ b > c

las otras desigualdades son análogas

Teorema 2. Si a,b y c son números positivos tales que a + c > b, a + b > c y c + b > a, entoncesexiste un triángulo de lados a, b y c

Demostración. Lo que haremos es construir un triángulo con lados iguales a a,b y c. Podemos suponerque b ≤ a ≤ c. Consideremos un segmento AB de longitud c.Trazamos ahora dos circunferencias una con centro en A y radio b y otra con centro en B y radio a.




Ya que c < a+ b, las dos circunferencias se intersectan (en caso contrar�o se tendría que a+ b ≤ c). Unode los puntos de intersección sirve como el tercer vértice C, del triángulo buscado ABC.

Ejemplo Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo opuesto al lado mayorde estos lados, respectivamente iguales, entonces son congruentes.Para convencernos de este hecho, consideramos los triángulos

ABC con AC > AB, y A′B′C ′ con A′C ′ > A′B′

y tales queA′C ′ = AC, A′B′ = AB y ∠ B = ∠ B′

Para comparar los otros elementos transportamos el triángulo A′B′C ′ sobre el triángulo ABC demodo que A′B′ coincida con AB. Debido a la igualdad de los ángulos en B′ y en B la semirectaBC coincide con la semirrecta B′C ′. Los vértices C y C ′ resultan coincidentes, ya que, el vértice Cestá en la intersección de la circunferencia con centro A y radio AC, y C ′ está en la intersección dela circunferencia con centro en A′ que coincide con A y radio A′C ′ = AC

Observamos que, si el ángulo congruente entre los dos triángulos es el ángulo que se opone almenor lado, tenemos dos posibles triángulos que cumplen con esto. Para verlo, consideramos el ladoAB > AC y el ángulo en B �jo.Con centro en A trazamos la circunferencia de radio AC. Prolongamos el lado BC, éste corta a lacircunferencia en dos puntos C y C ′, sin embargo, los triángulos ABC y ABC ′ no son congruentes.



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