Unidad 1- Fenómenos periódicos

1 | Fenómenos periódicos

Se llama fenómenos periódicos a aquellos cambios que se repiten sucesivamente, siempre de idéntica forma. El movimiento circular uniforme, las vibraciones de un diapasón, las señales luminosas de un faro, etc. son ejemplos de fenómenos periódicos. Uno de ellos, el movimiento vibratorio armónico simple, constituye la base para la comprensión y el estudio de todos los fenó-menos periódicos que, con enorme profusión y varie-dad, se dan en la naturaleza.

Los fenómenos periódicos son trascendentales no solo porque existen muchos en la naturaleza, sino tam-bién porque gracias a ellos podemos tener noción del tiempo. Ello se debe a que la única forma de medir el tiempo consiste en contar el número de veces que se repite un fenómeno periódico. Cuando contabilizamos el tiempo en días, contamos las vueltas del movimiento de rotación de la Tierra; si lo hacemos en años, conta-mos las de su movimiento de traslación alrededor del Sol. Por otra parte, los relojes no hacen otra cosa que contar las oscilaciones de un péndulo o de una pequeña ruedecilla o las vibraciones de un cristal de cuarzo.

Algunos fenómenos periódicos se propagan en el espacio en forma de lo que denominamos ondas periódicas; la luz y el sonido son dos ejemplos especialmente relevantes para nosotros, puesto que a través de ellos nos llega la inmensa mayoría de la información que recibimos.

Pero por medio de las ondas no solo recibimos informa-ción: casi toda la energía que utilizamos procede del Sol y se transmite hasta la Tierra en forma de ondas. En este caso no se trata solamente de luz, sino también de dife-rentes clases de ondas electromagnéticas.

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1 | Período y frecuencia de un fenómeno periódico

En todo fenómeno periódico existen una o varias magnitudes físicas que varían al transcurrir el tiempo. Sin embargo, llega un momento en el que todas ellas vuelven a tomar su valor inicial; decimos, entonces, que se ha completado un ciclo. A continuación, el fenómeno se repite una y otra vez y se producen sucesivos ciclos idénticos al primero.

Derivada de una función de función

Es una función de la forma y = f [g(x)].

Su derivada es el producto f ’(x) = f ’[g(x)] � g ’(x).

Ejemplo: En la expresión y = sen (3x2 + 5), f es la función seno, mientras que g(x) es 3x2 + 5.

f ’[g(x)] se obtiene como derivada de la función seno: f ’[g(x)] = cos (3x2 + 5).

g ’(x) es la derivada de la función 3x2 + 5: g ’(x) = 6x.

Así pues, la derivada de y = sen (3x2 + 5) es y ’ = cos (3x2 + 5) � 6x.

Transformación de una suma de senos o de cosenos en producto

Sumando las fórmulas: sen (a + b) = sen a � cos b + cos a � sen b sen (a − b) = sen a � cos b − cos a � sen b

y sustituyendo a + b por A y a − b por B se obtiene:

sen A + sen B = 2sen

A + B

2 cos

A – B

2

Haciendo lo mismo con: cos (a + b) = cos a � cos b − sen a � sen b

cos (a − b) = cos a � cos b + sen a � sen b

Resulta:

cos A + cos B = 2cos

A + B

2 cos

A – B

2

C O N O C I M I E N T O S P R E V I O S D E M AT E M Á T I C A S

1. Fenómenos periódicos: el cierre de botellas en una fábrica de refrescos, las indicaciones luminosas de un semáforo y las oscilaciones de un péndulo.

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Fenómenos periódicos | 1

A lo largo de un ciclo, las magnitudes que intervienen en un fenómeno periódico toman diferentes valores. Sus valores en un determinado instan-te definen la situación o fase del fenómeno en dicho instante. Por ejemplo, una fase en la oscilación de un péndulo se puede definir por medio de la posición y la velocidad que tiene en cierto instante.Algunas de las fases del movimiento periódico de rotación de la Luna alre-dedor de la Tierra reciben un nombre: Luna nueva, cuarto creciente, Luna llena y cuarto menguante. Pero entre estas fases existe una infinidad de fases intermedias.En los fenómenos periódicos se llama período al tiempo que dura un ciclo. El período se designa por T y se expresa en segundos en el Sistema Internacional (SI).Según la definición, si se producen n ciclos en un intervalo de tiempo, Δt, el período es:

Frecuencia y confortFrecuentemente, al viajar en un vehículo, nos vemos sometidos a movimientos vibratorios que afectan a nues-tro organismo.

El cuerpo humano no es rígido y las vibraciones rápidas (de frecuencia alta) originan continuos movimientos y deformaciones de sus órganos internos, que provocan malestar y mareo.

Los movimientos oscilatorios muy lentos (de frecuencia baja), como el de los barcos, también le producen mareo a muchas personas. En este caso, probablemente, las causas son más psicológicas que físicas.

Los chasis de los automóviles se apoyan sobre los ejes de las ruedas mediante unos resortes elásticos que denominamos sus-pensión. Su finalidad es evitar las fuertes sacudidas que produci-rían las irregularidades del terreno, transformándolas en suaves oscilaciones de la caja del vehículo.

Para que estos movimientos casi continuos no perturben el con-fort de los pasajeros, se procura que la frecuencia de las oscila-ciones sea cercana a 1,3 Hz. Es, aproximadamente, la frecuencia de nuestros pasos al caminar y la de los latidos de nuestro cora-zón. Se trata de una frecuencia a la que estamos tan habituados que no produce molestias. Para conseguirla, la constante elástica de los resortes ha de ser la necesaria para que el peso de la caja, del motor y de la carga del vehículo deforme la suspensión unos 15 cm.

DO

CU

ME

NT

O 1

ν =

n

Δt

ν = 1

T

T =

Δt

n

Se conoce como frecuencia de un fenómeno periódico el número de ciclos que se producen en cada unidad de tiempo.La frecuencia se designa por la letra griega ν (ni). En el SI se expresa en ciclos/s, unidad que recibe también el nombre de hertzio (Hz).Si tienen lugar n ciclos en un intervalo de tiempo Δt, la frecuencia será:

Comparando las anteriores expresiones del período y de la frecuencia, resulta evidente que son inversos:

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2 | Movimiento vibratorio armónico simple

Cuando un móvil se desplaza sobre una recta realizando periódicamente un recorrido de vaivén entre dos puntos, su movimiento se llama oscilatorio si es lento y vibratorio si es rápido. Existen numerosos ejemplos de este tipo de movimiento: el que adquiere cada punto de una cuerda de guitarra al ser pulsada, el de un cuerpo colgado de un muelle cuando se tira un poco de él y se suelta, el de los pistones de un motor de explosión, etc.

Entre los movimientos periódicos tiene un especial interés el denominado movimiento vibratorio armónico simple, m. v. a. s. en su forma abreviada.

Su importancia se debe a que todo movimiento periódico se puede consi-derar el resultado de un conjunto de movimientos vibratorios armónicos simples simultáneos. Por ello, el m. v. a. s. es la base del estudio de todos los movimientos periódicos y, por extensión, de todos los fenómenos periódicos.

Se llama movimiento vibratorio armónico simple al movimiento rectilíneo en el que la aceleración del móvil es directamente proporcional a su distancia a un punto fijo O de la trayectoria y está dirigida constantemente hacia dicho punto.

Si adoptamos la trayectoria del móvil como eje de abscisas y el punto O como origen de coordenadas, la anterior definición se puede expresar mediante la fórmula:

a = –ω2 x

El coeficiente –ω2 es una constante de proporcionalidad negativa, puesto que ω2, por ser el cuadrado de un número, es siempre positivo. El significa-do físico de ω se verá más adelante.

Cabe preguntarse por qué el movimiento que cumple con la anterior ecua-ción es un movimiento periódico. Para comprenderlo, representaremos la aceleración que, según la ecuación, poseerá el móvil en diversas posicio-nes (Fig. 4). Observa que, en el punto O, la aceleración es nula (Fig. 4a). Por ello, hemos de suponer que el móvil posee cierta velocidad en dicho punto, pues, en caso contrario, quedaría permanentemente en reposo.

Pero observa también que, cuando el móvil se aleja de O hacia la derecha, el sentido de su aceleración es hacia la izquierda (Fig. 4b); el movimiento será entonces retardado, por lo que la velocidad del móvil llegará a anular-se (Fig. 4c).

2. Movimiento vibratorio.

4. Aceleración en diferentes posiciones de un m. v. a. s.

3. Movimientos oscilatorios.

aO

a = 0

bO

cO

a

a

v = 0

dO

a

eO

a = 0

x

x

x

9


X

F

Pero, en dicha posición, la aceleración hacia el centro es aun mayor y el móvil comenzará a moverse hacia O. Puesto que la aceleración tendrá el sentido del movimiento, este será acelerado (Fig. 4d). Cuando el móvil pase de nuevo por O habrá recuperado su velocidad inicial, ya que las ace-leraciones en cada punto son las mismas al alejarse de O que al regresar a O (Fig. 4e). El móvil se encuentra ahora en una situación análoga a la inicial, pero moviéndose hacia la izquierda, por lo tanto, realizará un movimiento hacia ese lado simétrico del que hemos descrito.

En el m. v. a. s. el punto O es el centro de la vibración, ya que el móvil se desplaza –con movimiento de vaivén– entre dos puntos situados simétrica-mente a ambos lados de O. Por otra parte, hemos visto que en el punto O la aceleración es nula. Eso significa que la fuerza resultante sobre el móvil en esa posición debe ser, asimismo, nula. Por esta razón, el centro de la vibración recibe también el nombre de posición de equilibrio.

La distancia variable del móvil a la posición de equilibrio se conoce como elongación.

Si se adopta como origen de coordenadas la posición de equilibrio, la elon-gación coincide con la abscisa x del móvil.

3 | Osciladores armónicos

Un cuerpo con un dispositivo que lo hace moverse con m. v. a. s. recibe el nombre de oscilador armónico. Por definición, su aceleración es a = –ω2 x, donde x representa su elongación (distancia a la posición central o de equilibrio).

Según el principio fundamental de la dinámica, si m es la masa del móvil, la fuerza resultante sobre él ha de ser: F = m a = −m ω2 x.

El producto mω2 es constante. Si lo llamamos k, la anterior igualdad se convierte en F = −k x.

Esta expresión coincide con la de la ya conocida ley de Hooke, en la que x representa la deformación a la que se somete un cuerpo elástico y F, la fuerza que dicho cuerpo ejerce.

Así pues, para que un cuerpo se mueva con m. v. a. s., la relación entre la fuerza F aplicada a él y su elongación x ha de ser igual a la que expresa la ley de Hooke.

En consecuencia, podemos establecer un sencillo ejemplo de oscilador armónico. Se ha representado en la figura 5. Es un cuerpo apoyado sobre un plano horizontal sin rozamiento y unido a un extremo de un muelle hori-zontal que tiene fijo su otro extremo. Al desplazar el cuerpo de su posición de reposo y soltarlo, adquirirá m. v. a. s., ya que, si la constante elástica del muelle es k, la fuerza que ejercerá sobre el cuerpo será: F = −k x.

Otra forma de definir el m. v. a. s. es la siguiente: un m. v. a. s. es la proyección de un movimiento circular uniforme sobre una rec-ta contenida en el plano de su trayectoria.

En la figura se pueden ver suce-sivas posiciones (M1, M2, M3...), cada octavo de vuelta de un mó-vil con movimiento circular uni-forme. Su proyección sobre una recta (puntos P1, P2, P3...) tiene m. v. a. s. La frecuencia angular del m. v. a. s. coincide con la ve-locidad angular, ω, del movi-miento circular.

P0 P1 P2 P3P4 P5 P6 P7 P8

M0

M1

M2

M3

M4 M5

M6

M7

M8

5. Un cuerpo unido a un muelle que cumple la ley de Hooke sobre un plano sin rozamiento es un oscilador armónico.

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Pero también un cuerpo colgado de un muelle adquiere m. v. a. s. cuando se separa de su posición de equilibrio y se suelta (Fig. 6). Para demostrarlo, hemos de probar que la fuerza resultante sobre el móvil cumple la ley de Hooke.

En este caso actúan sobre el móvil dos fuerzas de sentido contrario: su peso, P = m g, y la fuerza elástica del muelle, F.

Calculemos el valor de la fuerza, F.

Al colgar el cuerpo de masa m, el muelle experimenta un alargamiento x0 hasta que su fuerza elástica, F0, equilibra el peso del cuerpo y este queda en reposo (Fig. 6b). Se cumple, entonces, que ⎜P ⎜= ⎜F0 ⎜, es decir, m g = k x0.

Si tiramos hacia abajo del cuerpo y lo soltamos (Fig. 6c), se pondrá a oscilar verticalmente. En el instante en el que su distancia a la posición de equilibrio sea x (Fig. 6d), la deformación total del muelle será x0 + x y su fuerza elástica, F = –k (x0 + x). En ese momento, la fuerza resultante sobre el móvil es:

ΣF = F + P = –k (x0 + x) + m g = –k x0 – k x + m g

Pero hemos visto que m g = k x0; por lo tanto: ΣF = –k x0 – k x + k x0 = –k x.

Queda así demostrado que la fuerza resultante sobre el cuerpo colgado del muelle cumple la ley de Hooke, por lo que este dispositivo es un oscilador armónico.

P = m g

a b c d

F = −k x0 F = −k (x0 + x)x0 x0

x

P = m g

6. Movimiento de un cuerpo colgado de un muelle que cumple la ley de Hooke.

4 | Ecuación del m. v. a. s.

Llamamos ecuación del m. v. a. s. a la igualdad que expresa la elongación del móvil en función del tiempo.

Dado que en el m. v. a. s. el móvil pasa por la misma posición cada vez que transcurre el período T, tendremos que expresar la elongación mediante una función cuyos valores se repitan periódicamente. Las únicas funciones periódicas que conocemos son las trigonométricas. Las funciones seno y coseno, cuyos valores no crecen indefinidamente, son las más adecuadas. Aunque se puede utilizar indistintamente una u otra, vamos a emplear la función seno.

La elongación de un móvil con m. v. a. s. en función del tiempo se puede expresar como:

x = A sen (ω t + ϕ0)

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Demostraremos más adelante que esta ecuación corresponde realmente a la definición del m. v. a. s.

En la anterior expresión, x (elongación) y t (tiempo) son variables, mientras que A, ω y ϕ0 son parámetros del m. v. a. s.; es decir, magnitudes constan-tes en un determinado m. v. a. s., pero que toman distintos valores para diferentes m. v. a. s.

Los símbolos para designar estos tres parámetros del m. v. a. s. obedecen a su significado físico, como veremos en los siguientes apartados.

En la figura 7 se puede ver la gráfica posición-tiempo del m. v. a. s.

5 | Los parámetros del m. v. a. s.

Examinemos de nuevo la ecuación del m. v. a. s.: x = A sen (ω t + ϕ0).

Como el seno de un ángulo está siempre comprendido entre –1 y + 1, los valores extremos de la elongación son x = A cuando sen (ω t + ϕ0) = 1 y x = –A cuando sen (ω t + ϕ0) = –1. La longitud A es la amplitud.

x

tO

A

T/2 T 3T/2 2T

–A

7. Gráfica elongación-tiempo de un m. v. a. s. para ϕ0 = 0.

8. Gráficas superpuestas de dos m. v. a. s. que solo se diferencian por su amplitud.

x

tOObserva que la distancia entre las dos posiciones extremas de la vibración es el doble de la amplitud.

En un ciclo del m. v. a. s., el móvil parte de un extremo, se desplaza hasta el otro y regresa a la posición inicial. Este movimiento recibe el nombre de oscilación o vibración completa y, en su transcurso, el móvil recorre cuatro veces la amplitud.

El ángulo ϕ = ω t + ϕ0, que aparece en la ecuación del m. v. a. s., se llama ángulo de fase o simplemente fase. De su valor en un determinado instante dependen la elongación, la velocidad y la aceleración, es decir, la fase de la vibración en la que se encuentra el móvil en ese momento.

Si en la expresión ϕ = ω t + ϕ0 se da a t el valor 0, resulta:

ϕ(0) = ω � 0 + ϕ0 = ϕ0

Así pues, ϕ0 es el valor del ángulo de fase en el instante t = 0. El parámetro ϕ0 se denomina constante de fase. Se expresa en radianes.

La ecuación del m. v. a. s. suele escribirse también en la forma:

x = A cos (ω t + ϕ0)

Recordando la relación trigonométrica: cos ϕ = sen (ϕ + π/2), se compren-de que la anterior ecuación es equivalente a: x = A sen (ω t + ϕ0 + π/2).

Por tanto, sustituir el seno por el coseno en la ecuación del m. v. a. s. equi-vale simplemente a modificar la fase inicial añadiéndole π/2 rad.

En el estudio de un solo m. v. a. s., el valor de la constante de fase resulta de escasa importancia; se le suele asignar el valor 0 para que la ecuación del movimiento resulte más sencilla. Sin embargo, este parámetro adquie-re gran importancia cuando comparamos dos o más m. v. a. s. simultáneos de igual período.

La amplitud A de un m. v. a. s. es su elongación máxima.

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Si dos m. v. a. s. están sincronizados de modo que en todo instante ambos móviles se hallen en la misma situación, se dice que están en fase (Fig. 9a). En este caso, la constante de fase es igual para ambos.

Pero si uno de los movimientos tiene lugar con cierto retraso con respecto al otro, se dice que existe una diferencia de fase entre ellos (Fig. 9b), ya que sus constantes de fase son distintas. Por ejemplo, la diferencia de fase entre los dos movimientos representados en la figura 9b corresponde a 1/8 de ciclo, que equivale a 2 � π/8 rad = π/4 rad.

En particular, si un movimiento se realiza con medio ciclo de retraso con respecto al otro, se dice que ambos están en fase opuesta (Fig. 9c). La diferencia entre sus constantes de fase es, entonces, de π rad. En tal caso, cuando uno de los móviles se encuentra en un extremo de la vibración, el otro está en el extremo opuesto.

El parámetro ω se denomina frecuencia angular o pulsación. Despejándolo de la igualdad ϕ = ω t + ϕ0, se obtiene:

ω = ϕ – ϕ

0

t =

ϕ – ϕ0

t – 0 =

ΔϕΔt

De aquí se deduce que la frecuencia angular o pulsación es el incremento del ángulo de fase por unidad de tiempo. Por consiguiente se expresa en rad/s, como la velocidad angular (de ahí que también se utilice el símbolo ω para representarla).

Sabemos que el período de las funciones seno y coseno es de 2 π radianes. Es decir, que cada vez que un ángulo aumenta en 2 π radianes, se repiten los valores de todas sus razones trigonométricas.

De ello se deduce que, en cada ciclo de un fenómeno periódico, el ángulo de fase ha de aumentar en 2 π radianes (Δϕ = 2 π rad).

Por otra parte, el tiempo que dura un ciclo es el período T. En consecuencia, se puede calcular la frecuencia angular como:

ω =

ΔϕΔt

= 2 πT

Como la frecuencia es la inversa del período (ν = 1/T ), se cumple:

ω = 2 πT

= 2 π ν

Observa que la frecuencia ν y la frecuencia angular ω son directamente proporcionales. De hecho, ambas magnitudes constituyen una medida de la rapidez de las vibraciones. La única diferencia entre ellas estriba en la unidad en la que se expresan: ν en ciclos/s y ω, en rad/s.

10. Gráficas superpuestas de dos m. v. a. s. que solo difieren en la frecuencia angular. La curva de color azul corresponde al movimiento de mayor frecuencia angular.

x

tO

9. Gráficas superpuestas de dos m. v. a. s.: a) En fase. b) Con una diferencia de fase de π/4 rad. c) En fase opuesta.

x

tO

ax

tO

b

x

tO

c

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Hemos visto que:

• Por definición, la aceleración en el m. v. a. s. es proporcional a la elonga-ción: a = –ω2 x.

• En consecuencia, la fuerza resultante sobre el móvil, de masa m, es: F = m a = –m ω2 x.

• Si el cuerpo vibra impulsado por un muelle que cumple la ley de Hooke, se cumple: F = –k x.

Comparando las dos últimas igualdades, se deduce que: m ω2 = k.

Esta expresión indica que la frecuencia angular (y, por tanto, también la frecuencia y el período) de un móvil que oscila con m. v. a. s. impulsado por un muelle solo depende de la masa del móvil y de la constante elástica del muelle.

Generalizando lo anterior, podemos afirmar que la frecuencia de vibración de cualquier oscilador armónico únicamente depende de sus propiedades físicas, es decir, que cada oscilador armónico tiene una frecuencia propia de vibración.

Esto concuerda con nuestra experiencia. El tono de un sonido, por ejemplo, depende solo de la frecuencia de vibración del cuerpo que lo produce; y todos sabemos que, al golpear un objeto, siempre emite un sonido del mismo tono (mientras no hayamos modificado de alguna forma sus cuali-dades físicas).

1. Escribe la ecuación de un m. v. a. s. de 5 cm de amplitud y 20 Hz de frecuencia, cuya elongación en el instante 0 sea la máxima.

La amplitud en metros de este movimiento es A = 0,05 m.

La frecuencia angular es:

ω = 2 π ν = 2 π rad/ciclo � 20 ciclos/s = 40 π rad/s

Sustituyendo estos valores en la ecuación del m. v. a. s., resulta:

x = A sen (ω t + ϕ0) = 0,05 sen (40 π t + ϕ0)

Para determinar el valor de ϕ0, tendremos en cuenta que para t = 0 ha de ser x = A. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, resulta:

A = A sen (ω � 0 + ϕ0) = A sen ϕ0

De esta ecuación se deduce sen ϕ0 = A/A = 1, que se cumple para ϕ0 = π/2 rad.

Así pues, la ecuación de m. v. a .s. será:

x = 0,05 sen (40 π t + π/2)

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2. Un cuerpo de 200 g de masa está en reposo colgado de un muelle de 5 N/m de constante elástica. Se tira de dicho cuerpo hacia abajo con una fuerza de 0,3 N y, en el instante t = 0, se suelta. Escribe la ecuación del m. v. a. s. que adquirirá.

Adoptando como positivo el sentido hacia arriba, la fuerza que ejerce el muelle será de 0,3 N.

Por la ley de Hooke: F = –k x.

De donde: x = –

Fk

= 0,3 N5 N/m

= –0,06 m.

Es la máxima elongación del móvil en el extremo inferior de su recorrido. Por consiguiente, la amplitud del m. v. a. s. es A = 0,06 m.

Sabiendo que m ω2 = k, se puede calcular la frecuencia angular:

ω2 =

km

= 5 N/m

0,2 kg = 25 (rad/s)2; es decir, ω = 5 rad/s.

Así pues, la ecuación del m. v. a. s. será: x = A sen (ω t + ϕ0) = 0,06 sen (5 t + ϕ0).

Para determinar la constante de fase, tendremos en cuenta que, en el instante t = 0, la elongación es x = –0,06 m. Aplicando estos valores a la ecuación del m. v. a. s., resulta: –0,06 = 0,06 sen ϕ0, de donde se deduce: sen ϕ0 = –1.

Asignaremos a ϕ0 el valor del menor ángulo, cuyo seno es: –1/ϕ0 = 3π/2 rad.

Así pues, la ecuación de este m. v. a. s. es: x = 0,06 sen (5 t + 3π/2).

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6 | Velocidad y aceleración en el m. v. a. s.

Derivando la ecuación del m. v. a. s. con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil:

v = dx

dt = A cos (ω t + ϕ

0) ω = ω A cos (ω t + ϕ

0)

El valor máximo de la velocidad se deduce fácilmente a partir de esta ecua-ción. Como el coseno de un ángulo siempre está comprendido entre –1 y +1, el módulo de la velocidad será máximo cuando se cumpla ⎜cos (ω t + ϕ0) ⎜ = 1. En ese caso será: ⎜ν ⎜máx. = ω A.

Este valor máximo de la velocidad se produce cuando el móvil pasa por el centro o posición de equilibrio de la vibración. En los extremos, donde cam-bia el sentido del movimiento, la velocidad es nula.

Derivando ahora la velocidad con respecto al tiempo, tendremos la acelera-ción del móvil:

a =

dv

dt = ω A [–sen (ω t + ϕ

0)] ω = –ω2 A sen (ω t + ϕ

0)

Teniendo en cuenta que A sen (ω t + ϕ0) = x, resulta a = –ω2 x, que coincide con la definición del m. v. a. s., tal como pretendíamos comprobar en el apartado 4 de la unidad.

x

tOT/2 T

T

T

T/2

T/2

v

tO

a

tO

11. Gráficas x – t, v – t y a – t correspondientes a un ciclo de un m. v. a. s.

x = A sen ω t +

π

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

v = ω A cos ω t + π

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a = –ω2 A sen ω t + π

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

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7 | Energía del m. v. a. s.

Hemos visto que todo cuerpo se desplaza con m. v. a. s. cuando oscila colgado de un muelle que cumple la ley de Hooke y no hay rozamiento. En este caso, únicamente actúan dos fuerzas sobre el móvil: su peso y la fuer-za que ejerce el muelle (Fig. 12). Como ambas fuerzas son conservativas, la energía mecánica del sistema formado por el cuerpo y el muelle perma-nece constante. Dicha energía está constituida por la energía cinética del cuerpo, la energía potencial elástica del muelle y la energía potencial gravitatoria.

En los extremos de la vibración la velocidad es nula, por lo tanto, el sistema no posee energía cinética. En ese momento, toda la energía es potencial (gravitatoria + elástica).

Por el contrario, en el centro de la vibración (posición de equilibrio) la ener-gía cinética es máxima y, por consiguiente, la energía potencial (gravitato-ria + elástica) será la mínima.

Como en el m. v. a. s. no actúan fuerzas disipativas, en todo instante la suma de las tres energías es invariable. Veamos que parte de esa energía se puede atribuir al movimiento vibratorio.

Dado que en el m. v. a. s. la aceleración es proporcional a la elongación, sus valores extremos corresponderán a los valores extremos de x: para x = A, a = –ω2 A, y para x = −A, a = ω2 A.

Así pues, el valor absoluto máximo de la aceleración es:

⎜a ⎜máx. = ω2 A

Esta aceleración máxima tiene lugar en los extremos de la vibración, mien-tras que, en la posición de equilibrio (x = 0), la aceleración es nula.

En la figura 11 se pueden comparar las gráficas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo de un mismo m. v. a. s.

3. Determina los valores máximos de la velocidad y la aceleración en el m. v. a. s. cuya ecuación es x = 12 sen (3 π t + π) m.

Derivando la ecuación del m. v. a. s., se obtiene la velocidad:

v =

dx

dt = 12 cos (3 π t + π)� 3 π = 36 π cos (3 π t + π)

La velocidad máxima se alcanza cuando cos (3 π t + π) = 1. Su valor es:

vmáx. = 36 π m/s = 113 m/s

Derivando la expresión de la velocidad, se obtiene la aceleración:

a =

dv

dt = 36 π[–sen (3 π t + π)]� 3 π = –108 π2 cos (3 π t + π)

Su valor máximo se da cuando sen (3 π t + π) = –1 y es: amáx. = 108 π2 m/s2 = 1 066 m/s2.

E J E M P L O

12. Fuerzas sobre un cuerpo que se desplaza con m. v. a. s. colgado de un muelle.

F

P

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Imaginemos un cuerpo de masa m, en reposo, colgado de un muelle (Fig. 13a). Este sistema no posee energía cinética porque está en reposo. Pero poseerá una energía potencial gravitatoria, U

g0

, cuyo valor dependerá de la posición de referencia que adoptemos. Y, como el muelle está alargado a causa del peso colgado de él, tendrá una energía potencial elástica, U

e0

.

En definitiva, el cuerpo colgado del muelle y en reposo en su posición de equilibrio posee una energía mecánica:

EM

0

= Ug

0

+ Ue

0

Supongamos ahora que se tira verticalmente hacia abajo del móvil suspen-dido del muelle, se suelta y se lo deja oscilar. ¿Cuánto habrá variado la energía mecánica del sistema?

Si no hay rozamiento, la energía mecánica del oscilador se mantiene cons-tante; por lo tanto, podemos calcularla en cualquier fase de su movimiento. Consideremos el instante en el que el móvil pasa de nuevo por la posición de equilibrio, donde se encontraba en reposo (Fig. 13b). En ese momento, la suma de las energías potencial gravitatoria y potencial elástica es igual a la energía E

M0

que poseía inicialmente el sistema, puesto que el móvil se halla en la misma posición. La única diferencia está en la energía cinética, ya que inicialmente estaba en reposo y ahora, al pasar por la posición de equilibrio, su velocidad es la máxima, vmáx. = ωA. Por lo tanto, la energía mecánica del móvil será:

E

M = E

M0

+ Ek = E

M0

+ 1

2 m v

máx.

2 = EM

0

+ 1

2 m ω2 A2

Pero sabemos que mω2 = k, con lo que la energía mecánica del sistema cuando está oscilando resulta:

EM

= EM

0

+ 1

2 k A2

Como EM

0

es la energía que poseía el sistema en reposo, la energía debida al m. v. a. s. es:

E

v =

1

2 k A2

13. a) El cuerpo colgado del muelle está en reposo.b) El cuerpo está en la misma posición, pero se desplaza con m. v. a. s. y posee energía cinética.

4. Un cuerpo de masa m = 12 kg se mueve con m. v. a. s. de amplitud A = 20 cm y frecuencia ν = 2,5 Hz. ¿Cuál es la energía de este movimiento?

La energía de un m. v. a. s. es E

v =

1

2 k A2.

Pero teniendo en cuenta que k = m ω2 y ω = 2 π ν, resulta:

E

v =

1

2 m ω2 A2 =

1

2 m (2 π ν2 ) A2 = 2 m π2 ν2 A2

Sustituyendo:

Ev = 2 � 12 kg � π2 � (2,5 Hz)2 � (0,2 m)2 (gravitatoria + elástica)

E J E M P L O S

x0

v = 0 v = ω A

a b

17


5. Un cuerpo de masa m = 600 g se cuelga de un muelle, que se alarga 12 cm. Después se tira del cuerpo verticalmente hacia abajo con una fuerza de F = 4,9 N. Calcula la energía del m. v. a. s. que adquirirá al soltarlo.

El peso del cuerpo es P = m g = 0,6 kg � 9,8 m/s2 = 5,88 N.

El muelle, al sostenerlo, realiza una fuerza F = –5,88 N y se alarga una longitud x = 0,12 m.

Por la ley de Hooke (F = –k x), la constante elástica del muelle es:

k = –

F

x =

–5,88 N

0,12 m = 49 N/m

Al aplicarle una fuerza de F = 4,9 N, el muelle realiza una fuerza –F y se alarga desde la posición de equilibrio hasta el extremo inferior de su recorrido. Esta distancia es, por definición, la amplitud A del m. v. a. s.

Aplicando en este caso la ley de Hooke, resulta:

–F = –kA, de donde se deduce: A = –

F

x =

4,9 N

49 N/m = 0,1 m.

Así pues, la energía del m. v. a. s. es:

E

v =

1

2 k A2 =

1

2� 49 N/m � (0,1 m)2 = 0,245 J

¿De qué depende la energía de una vibración?

Hemos visto que la energía de un m. v. a. s. puede expresarse como:

Ev =

1

2 m ω2 A2 =

1

2 m (2 π ν2 ) A2 = 2 m π2 ν2 A2

Esta última expresión indica que la energía del m. v. a. s. de un cuerpo depende tanto de su frecuencia como de su amplitud; es directamen-te proporcional al cuadrado de cada una de estas magnitudes. Tenemos un ejemplo de ello en el sonido, que es, como sabes, una vibración que se transmite a través de la materia. Los sonidos agudos tienen más energía que los graves, porque su frecuencia de vibración es mayor. Por eso, cuando queremos que nos oigan a distancia, pro-curamos instintivamente emitir un sonido lo más agudo posible.

Los sonidos graves tienen mayor longitud de onda que los agudos y los instrumentos que los producen son más grandes. Si observas la caja de altavoces de un aparato de reproducción musical, podrás comprobar que el altavoz para los sonidos graves es de tamaño muy superior al de los agudos. Eso hace posible que la amplitud de vibración de los soni-dos graves sea grande; gracias a ello, a pesar de su baja frecuencia, pueden tener la energía necesaria para ser perfectamente audibles.

DO

CU

ME

NT

O 2

Caja de altavoces de dos vías. El altavoz de graves es más grande que el de agudos.

18


Constante elástica y m. v. a. s.

Procúrate un muelle en hélice que resista bien un alargamiento de 50 cm. Con unos alicates, dobla las espiras de los extremos (Fig. a). Cuelga el muelle de un gancho sujeto a un soporte que sea rígido (Fig. b).

Del extremo inferior del muelle cuelga un peso que lo haga alargarse entre 10 y 40 cm (Fig. c). Puede ser una pesa o un recipiente con arena o perdigones que hayas pesado previamente en una balanza.

Diseña un sistema para medir, con la mayor exactitud posible, el alargamiento que experimenta el muelle al colgarle el peso.

Procúrate un cronómetro con el que se puedan apreciar, al menos, las décimas de segundo.

Anota la masa, m, en kilogramos y el peso, P, del cuerpo colgado del muelle expresado en newtons. Mide el alargamiento x que ha sufrido el muelle al colgarle el peso y exprésalo en metros.

Calcula la constante elástica del muelle mediante la ley de Hooke a partir de los datos que has obtenido (k = P / x).

Tira verticalmente del peso hacia abajo unos 2 cm y suéltalo. Comprueba que oscila sin apenas balancear-se lateralmente. Si no es así, páralo y repite la operación hasta que lo consigas.

Toma el cronómetro y mide el tiempo Δt que emplea el peso en realizar 20 oscilaciones completas. Determina el período de las oscilaciones: T = Δt / 20. Halla la frecuencia angular del m. v. a. s.: ω = 2 π / T.

Calcula la constante elástica del muelle por medio de la relación que hemos estudiado: k = m ω2.

Comprueba si coinciden los valores de la constante elástica del muelle determinados por los dos métodos.

Repite la experiencia con diferentes pesos.

EX

PE

RIE

NC

IA

a b c

8 | Concepto de onda

La materia no es lo único que se puede desplazar por el espacio. Por ejem-plo, al accionar el mando a distancia de un televisor, un reproductor musi-cal o un coche de juguete teledirigido, algo inmaterial se transmite desde el mando hasta el aparato que controla.

Si se tira sobre el agua tranquila una pequeña piedra, también se produce una perturbación, que se extiende en todas direcciones formando círculos concéntricos (Fig. 14). El líquido no se desplaza en la dirección en la que avanza la perturbación; solo se agita verticalmente a su paso. Eso se com-prueba haciendo flotar sobre la superficie del agua un cuerpo ligero, como un trocito de corcho; cuando lo alcanza la perturbación, sube y baja, pero finalmente se queda en reposo en el mismo lugar donde se encontraba.

Cuando hablamos de perturbación, nos referimos a un cambio o sucesión de cambios en el valor de una o varias magnitudes físicas.

Una perturbación que se propaga por el espacio a través de un medio material o del vacío se denomina onda.

14. Ondas en la superficie del agua.

19


9 | Tipos de ondas

Si se da una sacudida a uno de los extremos de una tira elástica, se produ-ce una deformación que se propaga a lo largo de ella (Fig. 15a). Este tipo de onda se llama pulso.

Si se dan varias sacudidas iguales al extremo de la tira elástica, se propaga a lo largo de ella un conjunto de pulsos sucesivos que recibe el nombre de tren de ondas (Fig. 15b).

Según la dirección de la perturbación que se propaga, las ondas se clasifican en transversales y longitudinales. Mediante unos sencillos ejemplos pode-mos comprender fácilmente la diferencia entre ambos tipos de ondas.

La propagación de una onda se puede observar fácilmente en un muelle en hélice de varios metros de longitud. Si se coloca en posición horizontal, se sujeta uno de sus extremos a un punto fijo y se da una sacudida vertical al otro extremo, se produce una deformación que avanza rápidamente a lo largo del muelle (Fig. 16). En este caso, el desplazamiento de las espiras del muelle al paso de la perturbación es vertical, mientras que la onda se propaga horizontalmente.

Se dice que una onda es transversal cuando la dirección de la perturbación es perpendicular a la dirección en la que se propaga. Una onda transversal de especial importancia es la luz.

Imaginemos ahora que se coloca sobre una mesa de billar una larga hilera de bolas per fectamente alineadas y muy próximas entre sí.

Si se golpea la primera bola con el taco en la dirección de la alineación, se produce una perturbación, que se propaga a lo largo de la hilera haciendo chocar cada bola con la siguiente (Fig. 17). En este caso, tanto el desplaza-miento de las bolas como la propagación de la onda se producen en la misma dirección.

Se dice que una onda es longitudinal cuando la perturbación tiene lugar en la misma dirección en la que se propaga la onda.

El sonido es una vibración que se transmite a través del aire en forma de onda longitudinal; es decir, las moléculas de aire vibran en la misma direc-ción en la que se propaga el sonido.

En muchos casos, al propagarse una onda, la perturbación que se transmi-te consiste en un movimiento de partículas materiales. Decimos entonces que se trata de una onda mecánica. Lógicamente, las ondas mecánicas necesitan un medio material y no pueden propagarse en el vacío.

Las ondas en la superficie del agua (Fig. 14), la deformación que se propaga en un muelle (Fig. 16) y el movimiento que se transmite a lo largo de una hilera de bolas de billar (Fig. 17) son distintos ejemplos de ondas mecánicas.

El sonido, por tratarse de una vibración de la materia, es también una onda mecánica.

Pero existen otras ondas –las de radio y televisión, los rayos infrarrojos, la luz, los rayos ultravioletas, los rayos X, etc.– que pueden propagarse no solo a través de un medio material, sino también en el vacío. Se trata de las ondas electromagnéticas.

La perturbación transmitida por estas ondas consiste en un campo eléctrico cuya intensidad varía de forma periódica acompañado de un campo magnéti-co perpendicular a este, que varía con idéntica frecuencia. Ambos campos son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda (Fig. 18).

a

b15. a) Propagación de un pulso a lo largo de una cuerda elástica.b) Propagación de un tren de ondas.

16. Propagación de una onda transversal a lo largo de un muelle en hélice.

17. Propagación de una onda longitudinal a lo largo de una hilera de bolas de billar.

propagación

18. Onda electromagnética. Los vectores representativos de los campos eléctrico y magnético variables se encuentran en el plano vertical y el horizontal, respectivamente.

20


10 | Ondas armónicas

Si se comunica un m. v. a. s. al extremo libre de una cuerda elástica, se obtiene una sucesión de pulsos denominada onda armónica.

En la figura 19 se puede ver cómo el movimiento vibratorio del extremo libre se propaga y genera una onda armónica, que avanza horizontalmente mien-tras los puntos de la cuerda elástica vibran verticalmente.

Los sucesivos dibujos muestran la posición de la cuerda elástica cada cuarto de período. El último dibujo corresponde al instante en el que ha transcurrido un tiempo igual al período cuando el extremo libre ha realizado una vibración completa. La cuerda ha tomado la forma de una sinusoide, es decir, de la curva que representa la función seno.

Los puntos más altos de la onda se llaman crestas y los más bajos, valles.

La velocidad de vibración de las partículas que se encuentran en una cresta o un valle es nula, porque están cambiando el sentido de su movimiento.

Todas las partículas situadas entre una cresta y un valle consecutivos se mueven en el mismo sentido. En la figura 20 se ha indicado, por medio de flechas, el sentido de su movimiento: hacia arriba si con relación al sentido de propagación de la onda se hallan delante de la cresta más próxima y hacia abajo si están detrás.

Las ondas electromagnéticas también se conocen como armónicas cuando sus campos eléctrico y magnético varían de la misma forma que la elonga-ción de las partículas en las ondas mecánicas armónicas, es decir, sinusoi-dalmente (como en la onda representada en la Fig. 19).

11 | Longitud de onda

Los puntos del medio a través del que se propaga una onda armónica se mueven simultáneamente con m. v. a. s. de igual amplitud y frecuencia. Pero, en un determinado instante, sus elongaciones (distancias a la posi-ción de equilibrio) son distintas, como puede verse en la figura 20. Por lo tanto, las diversas partículas del medio están en diferentes fases de su vibración.

La distancia entre dos crestas (o dos valles) consecutivas de la onda armó-nica se simboliza por λ (lambda) y se denomina longitud de onda. Siempre que dos puntos están separados por la distancia λ, se encuentran en la misma fase vibratoria (Fig. 21); decimos que están en fase.

t = 0

t = T/4

t = T/2

t = 3T/4

t = T

19. Formación de una onda armónica en una cuerda elástica, a cuyo extremo se comunica un m. v. a. s. Entre cada dos imágenes sucesivas transcurre un cuarto del período. El conjunto de las cinco imágenes corresponde, por lo tanto, a un período del m. v. a. s., es decir, a una vibración completa del extremo de la cuerda. Las pequeñas flechas indican el sentido del movimiento de los puntos vibrantes de la cuerda cuando se hallan en su posición de equilibro.

Propagación

λ

λ

λλ

λ

21. Perfil de una onda armónica. Los puntos separados por la distancia λ (longitud de onda) se encuentran en la misma fase de su m. v. a. s.

Propagación

20. Los vectores representan la velocidad instantánea con la que están vibrando diversos puntos del medio material en el que se propaga una onda armónica.

Así pues, longitud de onda es la distancia entre dos puntos consecutivos de un tren de ondas que se encuentran en la misma fase.

21


En las ondas armónicas, dos puntos separados por una distancia λ (la lon-gitud de onda) están siempre en igual fase de su movimiento vibratorio: la fase se repite periódicamente en el espacio.

Pero sabemos que la fase del m. v. a. s. de cada punto se repite también cada vez que transcurre un tiempo T (el período).

Por tanto, las ondas armónicas poseen una doble periodicidad: en el tiem-po y en el espacio.

La longitud de onda λ representa, en relación al espacio, el mismo papel que el período T con respecto al tiempo.

12 | Velocidad de propagación

La velocidad de propagación de una onda a través de un medio es la distan-cia a la que se transmite la onda en una unidad de tiempo en dicho medio.

La velocidad de propagación de una onda depende de las propiedades del medio en el que se propaga. Por ejemplo, la velocidad de las ondas trans-versales en una cuerda elástica depende de la tensión de esta y de su densidad longitudinal (masa por unidad de longitud), la velocidad de propa-gación de las ondas superficiales en un líquido depende de su naturaleza y de la profundidad de la capa líquida, etc.

Cuando la onda avanza una distancia λ, cada punto pasa por todas las fases del m. v. a. s. hasta volver a la fase inicial; es decir, cada punto reali-za una vibración completa. Por definición, el tiempo que dura una vibración completa es el período T. Así pues, si la onda se transmite una distancia λ en un tiempo T, su velocidad de propagación es:

v = λ /T

Pero como la inversa del período es la frecuencia (1/T = ν), la anterior igual-dad se suele escribir:

v = λ ν

6. Las ondas de radio se propagan en el vacío con la misma velocidad que la luz, c = 300 000 km/s. Una emisora de radio emite con una frecuencia de 96 MHz. Calcula su longitud de onda.

Expresaremos la velocidad de propagación en la unidad del SI:

v = 300 000

km

s�

1 000 m

1 km = 3 �108

m/s

La frecuencia de la emisora es ν = 96 MHz = 96 � 106 ciclos/s.

Despejando la longitud de onda de la ecuación v = λν, resulta:

λ =

v

ν =

3 �108 m/s

96 �106 ciclos/s =

300

96 m = 3,125 m

E J E M P L O

22


13 | La cubeta de ondas

Un aparato idóneo para la observación y el estudio de las ondas es la cube-ta de ondas (Fig. 22). Consiste en un recipiente con agua, C, de fondo plano y transparente. Mediante una punta vibrante, V, en contacto con la superfi-cie del líquido, se generan ondas superficiales en el agua. Debajo de la cubeta se coloca un foco luminoso, F. La luz que emite, después de atrave-sar la cubeta y el agua, se proyecta sobre una pantalla translúcida, P. Las zonas convexas de las ondas (crestas) actúan como lentes convergentes y concentran la luz que pasa a través de estas; mientras que las zonas cón-cavas (valles) producen el efecto contrario y la dispersan.

En la pantalla aparece un conjunto de franjas en movimiento, alternativa-mente luminosas y oscuras, que son las imágenes de las crestas y los valles de las ondas.

En la figura 23 aparece la imagen que da en la pantalla de una cubeta de ondas un pulso que se transmite a partir de un punto en forma de onda circular.

En la figura 24 se puede ver la imagen de un tren de ondas circulares pro-ducido en la cubeta mediante una punta vibrante.

En la figura 25 se muestra la imagen del tren de ondas originado por una cuchi-lla vibrante recta que tiene su filo en contacto con la superficie del agua.

En las figuras 24 y 25 la distancia entre los centros de dos zonas claras u oscuras consecutivas es la longitud de onda λ.

14 | Frente de onda y rayos

Toda onda transmite una perturbación que va alcanzando sucesivamente los diferentes puntos del medio donde se propaga.

El conjunto de los puntos a los que llega la perturbación en un mismo ins-tante se denomina frente de onda. Los puntos del frente de onda, en cada instante, coinciden todos en la misma fase de la vibración; se dice que vibran en fase.

Las franjas claras que aparecen en la pantalla de una cubeta de ondas, como corresponden a los puntos próximos a las crestas, tienen la forma de los frentes de onda. Lo mismo sucede con las franjas oscuras que corres-ponden a los valles.

El trazado de un conjunto de frentes sucesivos es una forma de representar gráficamente la propagación de una onda. También se puede represen-tar mediante las líneas que indican las direcciones en las que la onda se propaga. Dichas líneas cortan perpendicularmente a todos los frentes de onda y se llaman rayos.

En las figuras 26 y 27 se han representado los frentes de onda (en rojo) y los rayos (en amarillo) de las ondas circulares y las ondas rectas en la superficie del agua.

F

C

V

P

22. Cubeta de ondas.

23. Pulso propagándose en forma de onda circular.

26. Frente de onda y rayos en una onda circular.

24. Tren de ondas circulares.

27. Frente de onda y rayos en una onda rectilínea.

25. Tren de ondas rectas.

frente

rayos

foco

frenterayos

23


Para que se produzcan frentes de onda como los representados en las figuras 26 y 27, el medio a través del que se propagan las ondas ha de ser homogéneo e isótropo.

Un medio homogéneo es el que posee las mismas propiedades en todos sus puntos, lo que implica que las ondas se propagan en todos ellos con igual velocidad.

Un medio isótropo es aquel que posee iguales propiedades en todas direc-ciones, por lo que las ondas se propagan con la misma velocidad en cual-quier dirección.

Las ondas en una cuerda elástica se propagan a lo largo de una línea, por lo que se denominan ondas unidimensionales.

Las ondas que observamos en la cubeta de ondas se propagan sobre la superficie del agua, que es una superficie plana. Se dice que son ondas bidimensionales, puesto que un plano posee dos dimensiones.

Pero la luz del Sol y el sonido que emite una campana se propagan a su alrededor por todo el espacio y se llaman ondas tridimensionales. Cuando las ondas tridimensionales se propagan en un medio homogéneo e isótro-po, si se generan en un punto, los frentes de onda son superficies esféri-cas con centro en el foco emisor (Fig. 28). Pero, si el foco es una recta, los frentes son superficies cilíndricas cuyo eje es dicha recta (Fig. 29).

15 | Número de onda

En las ondas armónicas, la fase del movimiento vibratorio que se propaga varía no solo en el tiempo, sino también en el espacio.

En la figura 30 se ha representado, para un instante determinado, la forma de una onda armónica transversal que, partiendo del punto O, se ha propa-gado 2 longitudes de onda a lo largo del eje Ox.

Es como una fotografía instantánea de la onda en la que el movimiento ha quedado congelado.

Dado que la onda avanza con velocidad constante, la fase de la vibración se va retrasando a lo largo del eje Ox proporcionalmente a la distancia al origen. En la parte inferior de la figura se han indicado los retrasos del ángulo de fase (en radianes) para diversos puntos separados por una distancia λ/4.

F

28. Frentes de onda generados por un foco puntual en un medio homogéneo e isótropo.

29. Frentes de onda generados por un foco rectilíneo en un medio homogéneo e isótropo.

π/2O π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

λ/4 λ/2 3λ/4 λ 5λ/4 3λ/2 7λ/4 2λ xO

30. Diferencia de fase entre el origen de coordenadas y los diferentes puntos de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje Ox. Por cada longitud de onda, el ángulo de fase se retrasa 2 π radianes.

Llamaremos número de onda al retraso del ángulo de fase por unidad de longitud en la dirección y el sentido en que se propaga la onda:

24


Supongamos que el punto situado en el origen de coordenadas O posee un movimiento vibratorio armónico de ecuación:

y = A sen (ω t + ϕ0)

Si esta vibración se propaga a lo largo del eje Ox, en sentido positivo, ¿cuál será la ecuación del m. v. a. s. de otro punto cualquiera de dicho eje?

Sabemos que, al propagarse una onda armónica, todos los puntos vibran con igual amplitud y frecuencia. Solo existe una diferencia de fase entre ellos, dado que cada uno comienza a vibrar en un instante diferente.

Como los puntos del eje Ox comienzan a vibrar después que el origen de coordenadas O, lo harán con un retraso de fase con respecto al punto O. Si el número de onda es k rad/m, el retraso en un punto P, de abscisa x metros, será de kx radianes (Fig. 32). Así pues, si el ángulo de fase en el punto O es ω t + ϕ0, en el punto P será ω t + ϕ0 – k x.

Por lo tanto, la ecuación del m. v. a. s. del punto P será: yP = A sen (ω t + ϕ0 – k x).

Puesto que P representa a un punto cualquiera de la línea de propagación de la onda, la anterior ecuación se puede aplicar a todos sus puntos.

Así pues, escribiremos de la forma siguiente la ecuación de una onda armónica:

Así pues, el número de onda se expresará en radianes por metro (rad/m) o simplemente en metros inversos (1/m o m–1).

k = – Δϕ

Δx

El número de onda k y la constante elástica (k = m ω2) utilizada en el estu-dio del m. v. a. s. son magnitudes distintas, aunque se representen por la misma letra.

Pero hemos visto que, en una distancia igual a la longitud de onda, la fase se retrasa 2 π rad. Es decir, si Δx = λ, se cumple que −Δϕ = 2 π rad. Por lo tanto, el número de onda k será:

16 | Ecuación de una onda armónicaImaginemos una onda armónica transversal que se propaga a lo largo de una recta, que adoptaremos como eje de abscisas. La posición de cada uno de los puntos de dicha recta queda determinada por su abscisa x (Fig. 31). Pero, si se trata de una onda transversal, la vibración tiene lugar en la direc-ción del eje de ordenadas; por lo tanto, la elongación del m. v. a. s. de cada onda vendrá dada por su ordenada y.

31. Transmisión, en la dirección del eje Ox, de una onda armónica transversal.La abscisa x determina la posición del punto P en la dirección de propagación de la onda.La ordenada y es la elongación del movimiento vibratorio del punto P.

k = 2π

λ

x

y

y

P

xO

y = A sen (ω t – k x + ϕ0)

x

xλ

O

0 0 0–kx – 2π

P

32. Retraso de fase en una onda armónica. La fase se retrasa 2 π radianes cada λ metros. En un punto P, a x metros del origen, se retrasará

25


Es la ecuación de la onda porque expresa la elongación y de cualquier punto en cualquier instante; el punto se ha de especificar por su abscisa x, y el instante, por el valor del tiempo t.

Los parámetros de esta ecuación, A, ω, k y ϕ0, son las características de la onda que se propaga:

• A es la amplitud de la vibración.

• ω es su frecuencia angular o pulsación (ω = 2 π / T = 2 π ν).

• k es el número de onda (k = 2 π / λ).

• ϕ0 es la constante de fase y corresponde a la fase del punto x = 0 en el instante t = 0.

Se suele considerar ϕ0 = 0 para simplificar algo la ecuación de la onda. Pero cuando tengamos que considerar a la vez dos ondas de igual frecuencia que difieran en la fase, al menos en una de ellas ϕ0 habrá de ser diferente de 0.

La anterior ecuación es la de una onda que se propaga a lo largo del eje Ox en sentido positivo. Pero, si la onda se propaga en sentido negativo, los puntos de abscisa positiva comienzan a vibrar antes que el origen de coordenadas, por lo que, en lugar de un retraso, tendrán un adelanto de fase (k x) con rela-ción al origen de coordenadas. La ecuación de la onda será en este caso:

y = A sen (ω t + k x + ϕ0)

Si nos imaginamos situados en un punto fijo del eje Ox, lo que equivale a con-siderar x constante, el tiempo quedará como única variable independiente en la ecuación de la onda. Derivando esta ecuación con respecto al tiempo, obten-dremos la velocidad del m. v. a. s. del punto en el que nos hemos situado:

v = dydt

= A cos (ω t + ϕ0) ω, es decir, v = ω A cos (ω t + ϕ

0)

Derivando de nuevo con respecto al tiempo se obtiene la aceleración del m. v. a. s. del punto considerado:

a = dvdt

= ω A [–sen (ω t – k x + ϕ0)] ω, es decir, a = ω2 A sen (ω t – k x + ϕ

0)

7. Escribe la ecuación de una onda armónica de 5 cm de amplitud y 20 Hz de frecuencia que se propaga con una velocidad de 8 m/s.

Para escribir la ecuación de la onda, y = A sen (ω t – k x + ϕ0), necesitamos conocer la amplitud, A, la frecuencia angular, ω, y el número de onda, k. La constante de fase, ϕ0, se suele considerar nula, siempre que nada obligue a darle otro valor.

La amplitud es: A = 0,05 m.

La frecuencia angular es: ω = 2 π ν = 2 π � 20 Hz = 40 π HZ.

Para calcular el número de onda k, determinaremos primero la longitud de onda, λ, despejándola de la ecuación v = λν:

λ =

vν

= 8 m/s

20 Hz = 0,4 m

El número de onda es: k =

2π

λ =

2π rad

0,4 m = 5π rad/m.

Por lo tanto, la ecuación de la onda será:

y = 0,05 sen (40 π t – 5 π x)

E J E M P L O S

26


17 | Qué transportan las ondasLas ondas nos proporcionan dos cosas de enorme importancia para noso-tros: información y energía.

La inmensa mayoría de la información que recibimos de nuestro entorno más cercano se capta a través de la vista y del oído. Gracias a estos senti-dos somos capaces de detectar las ondas luminosas y las ondas sonoras.

La telefonía, la radio y la televisión, que nos posibilitan la comunicación a larga distancia, también transmiten la información a través de las ondas; en este caso, por medio de ondas electromagnéticas de menor frecuencia que la luz, pero con la misma velocidad de propagación.

También los grandes conocimientos sobre el universo adquiridos por el ser humano han llegado, casi en su totalidad, a través de las ondas electro-magnéticas, que se reciben hasta de las zonas más remotas del cosmos.

En la antigüedad, estas ondas eran exclusivamente las luminosas. Pero los astros emiten ondas electromagnéticas de distintas frecuencias que ahora somos capaces de detectar.

Actualmente, se aprovecha la información que transportan ondas de menor frecuencia que la luz, como las ondas de radio o los rayos infrarrojos, y de mayor frecuencia, como los rayos ultravioletas o los rayos X.

Pero también es de enorme importancia la energía que transportan las ondas. Basta decir que la mayor parte de la energía que consumimos pro-cede, en última instancia, del Sol y llega hasta nosotros en forma de ondas electromagnéticas como la luz, los rayos infrarrojos y los rayos ultraviole-tas, que se propagan a través del espacio interplanetario.

En el siguiente apartado veremos la forma de expresar la energía transpor-tada por las ondas.

8. La elongación en metros de los puntos de una onda armónica es: y = 0,2 sen (300 π t – 4 π x). Calcula:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La distancia entre dos puntos cuya diferencia de fase es de π/3 rad.

c) La elongación del punto situado en x = 0,4 m en el instante t = 1/100 s.

a) Comparando la ecuación dada con la ecuación general de una onda armónica, y = A sen (ω t – k x + ϕ0), resulta evidente que: ω = 300 π rad/s y k = 4 π rad/m.

Teniendo en cuenta que ω = 2 π ν = 2 π/λ, se puede calcular la frecuencia, ν, y la longitud de onda, λ:

ν =

ω

2 π =

300 π rad/s

2 π = 150 Hz; λ =

2 π

k =

2 π

4 π rad/m = 0,5 m

La velocidad de propagación de la onda será: v = λ ν = 0,5 m � 150 Hz = 75 m/s.

b) El número de onda es, por definición, k = Δϕ/Δx. Despejando Δx, se obtiene:

Δx =

Δϕ

k =

π/3 rad

4 π rad/m = 0,083 m

c) Para calcular la elongación, basta con sustituir x y t por sus valores en la ecuación de la onda:

y = 0,2 � sen (300 π � 0,01 – 4 π � 0,4) = 0,2 � sen (1,4 π) = –0,19 m

34. Imagen ultravioleta de la galaxia M81 (en la constelación de la Osa Mayor). Se observan regiones de formación de estrellas casi invisibles a la frecuencia de la luz.

33. Radiotelescopio. Este telescopio está destinado a captar ondas de radio procedentes de lejanas regiones del universo.

27


F

18 | Intensidad de una onda

¿Cómo podríamos expresar en qué medida llega a la superficie de la Tierra la energía que irradia el Sol?

Supongamos que se dispone de un sistema para absorber y medir toda la energía que recibe una placa al ser iluminada por el Sol. Es evidente que el resultado obtenido dependerá:

a) Del tiempo que la placa esté expuesta a la radiación solar.

b) De la superficie de la placa.

c) Del ángulo que forme la placa con los rayos solares. La energía será máxima cuando dicho ángulo sea recto (Fig. 35).

Teniendo en cuenta estos tres factores de los que depende la energía transmitida por una onda, se define la intensidad de onda.

Se llama intensidad de onda a la energía que transmite una onda por uni-dad de tiempo y por unidad de superficie perpendicular a su dirección de propagación.

Si ΔE es la energía recibida en un intervalo de tiempo, Δt, sobre una superfi-cie, Sn, normal a la dirección de propagación, la intensidad de la onda es:

35. La energía captada por una placa expuesta a la luz solar es máxima cuando está perpendicular a los rayos.

Como la energía por unidad de tiempo (ΔE/Δt) se mide en J/s, que equiva-len a vatios, la intensidad de onda se expresa en el SI en W/m2.

Apliquemos los anteriores conceptos al caso más habitual: el de un foco puntual que emite ondas tridimensionales en un medio homogéneo e isótropo.

En este caso, una superficie, Sn, perpendicular a la dirección de propaga-ción de las ondas, sería la superficie de una esfera con centro en el foco (Fig. 36).

Si el radio de la esfera es r, su superficie es Sn = 4 π r2.

Por otra parte, como la superficie esférica rodea totalmente el foco, toda la energía emitida por él pasa a través de la misma. Por ello, el cociente ΔE/Δt es igual a la energía total que emite por unidad de tiempo –llamada potencia del foco–, que simbolizaremos por P.

En consecuencia, la intensidad de la onda esférica emitida por un foco puntual a una distancia r del mismo será:

Es decir, en el caso de las ondas esféricas, la intensidad de onda es inver-samente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor.

Este fenómeno de disminución de la intensidad de onda al alejarse del foco recibe el nombre de atenuación. Se debe a que, al expandirse el frente de onda, la misma cantidad de energía se reparte en una superficie cada vez mayor. La pérdida de intensidad de onda se manifiesta en una disminución de la amplitud de vibración.

36. La superficie esférica es perpendicular a los rayos emitidos por el foco puntual F.

28


El físico neerlandés Christian Huygens (1629-1695), estudió los fenómenos oscilatorios y propuso un modelo para la pro-pagación de los movimientos ondulatorios en el llamado prin-cipio de Huygens.

Elaboró una teoría sobre la natu-raleza ondulatoria de la luz, en contraposición a la teoría de Newton sobre su naturaleza corpuscular.

Estudió los movimientos circula-res y los choques elásticos en-tre cuerpos. También fue de los primeros en estudiar el cálculo de probabilidades. Construyó el primer reloj de péndulo eficaz y un reloj con un muelle oscilante (que han utilizado, a partir de entonces, muchos relojes de pa-red y de mano). También cons-truyó telescopios, que utilizó pa-ra observar y explicar los anillos de Saturno, y microscopios.

19 | Propagación de las ondas: construcción de Huygens

Christian Huygens, físico neerlandés, propuso un modelo de propagación de los movimientos ondulatorios en medios continuos según el cual cada uno de los puntos a los que llega un movimiento ondulatorio se constituye en foco de una onda circular. La combinación de las ondas circulares gene-radas a la vez en los puntos vecinos propagará el movimiento ondulatorio.

Podemos enunciar el principio de Huygens de la siguiente manera: todos los puntos de un frente de ondas se constituyen en centros emisores de ondas circulares secundarias, cuya envolvente constituirá un nuevo frente de ondas. Llamamos envolvente a la curva tangente a todas las de una familia. En el caso del modelo de propagación de Huygens, la envolvente será la tan-gente a todas las ondas circulares secundarias, procedentes de un mismo frente. Si el frente de ondas es circular, la construcción de Huygens da un nuevo frente de ondas, también circular, de radio más grande (Fig. 37a). En el caso de una onda recta, el nuevo frente de ondas también es una línea recta desplazada respecto al frente anterior (Fig. 37b).

9. Un foco puntual emite ondas esféricas. A una distancia de 4 m del foco, la intensidad de onda es de 1,5 W/m2.

Calcula la intensidad de onda a 10 m del foco; la energía que recibirá en un minuto una superficie de 0,25 m2, perpendicular a la dirección de propagación de las ondas, situada a 10 m del foco; y la potencia del foco.

a) La intensidad de la onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco: Ι1 r 12 = Ι2 r 2

2

Despejando Ι2 y sustituyendo Ι1 = 1,5 W/m2, r1 = 4 m y r2 = 10 m, se obtiene:

b) Despejando la energía recibida, ΔE, de la expresión de la intensidad de onda, resulta:

ΔE = Ι Δt Sn = 0,24 W/m2 � 60 s � 0,25 m2 = 3,6 J

c) La intensidad de onda se puede expresar como: Ι = P / 4 π r2

Despejaremos la potencia, P, del foco y tendremos en cuenta que, a una distancia del foco de r = 4 m, la intensidad de la onda es Ι = 1,5 W/m2: P = Ι 4 π r2 = 1,5 W/m2 � 4 π � (4 m)2 = 302 W.

E J E M P L O

Ondas secundarias Ondas secundarias

Frente de ondas circulares Frente de onda

a b

37. a) Construcción de ondas circulares.b) Construcción de ondas rectas.

29


20 | Reflexión

Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios, una parte de ella cambia la dirección de propagación y continúa propagándose en el mismo medio. Es el fenómeno de la reflexión. Si la onda se puede propagar en el segundo medio a una velocidad distinta que en el primero, parte de ella se trasmitirá también por el segundo medio y dará lugar al fenómeno de la refracción.

Se llama onda incidente a la que se acerca a la superficie de separación de los medios y onda reflejada a la que se aleja tras reflejarse en dicha superficie.

Si la superficie no es demasiado lisa, se produce una reflexión en todas direcciones que da lugar a una reflexión difusa. Un ejemplo de ello es la reflexión de la luz sobre la superficie del mar con las olas (Fig. 38). Si la superficie no presenta irregularidades, se producirá una reflexión denomi-nada especular (Fig. 39), ya que será como la que experimenta la luz en un espejo. Este tipo de reflexión sigue unas leyes bien determinadas.

Se conoce como ángulo de incidencia el que forman el rayo incidente y la recta normal, perpendicular a la superficie. El ángulo que forman la normal y el rayo reflejado se denomina ángulo de reflexión (Fig. 40). En el caso de frentes de onda rectos, el ángulo entre el frente y la superficie es igual al que forman el rayo correspondiente con la normal.

Experimentalmente se comprueba que en una reflexión especular se cum-plen las dos leyes siguientes:

• El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran en el mismo plano.

• El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

En una cubeta de ondas podemos observar el fenómeno de la reflexión. La figura 41 muestra la reflexión de ondas circulares al chocar con un obs-táculo. La figura 42 representa la reflexión de un tren de ondas rectas que avanza de izquierda a derecha y choca con un obstáculo colocado oblicua-mente respecto de la dirección de propagación. En esta figura, además, se representa el rayo incidente, la normal y el rayo reflejado, comprobando las leyes de la reflexión.

38. Reflexión difusa de la luz.

39. Reflexión especular en las aguas tranquilas de un lago.

41. Reflexión de ondas circulares en un obstáculo plano en un plano oblicuo.

42. Reflexión de ondas rectas: i es el ángulo de incidencia y r es el ángulo de reflexión. Se comprueba que i = r.

Rayo incidente Rayo reflejado

Rayo refractado

Superficie de separaciónde los medios

Normal

i r

r’

40. Esquema de los ángulos que forman los rayos y la normal en los fenómenos de reflexión y refracción.

i

r

30


La figura 43 muestra la aplicación del principio de Huygens a la reflexión de una onda recta en una superficie. El frente de ondas AB incide sobre una superficie con la que forma un ángulo de incidencia i; el frente de onda reflejado, A’B’, forma un ángulo r con la superficie. El tiempo que tarda la onda incidente en ir de B a B’ será el mismo que el que tarda la reflejada en ir de A a A’ y, como se propagan por el mismo medio, ambas lo harán a la misma velocidad; por lo tanto, AA’ = BB’. Así, resulta que los triángulos ABB’ y AA’B’ son iguales y, por lo tanto, también lo son los ángulos i y r.

21 | Refracción

Cuando una onda recta incide con una inclinación determinada respecto a la superficie de separación de dos medios, en los cuales se propaga a distintas velocidades, su dirección de propagación cambia al atravesar la superficie y desplazarse por el segundo medio. Esto puede ponerse de manifiesto experimentalmente en una cubeta de ondas (Fig. 44).

Se llama onda refractada la que se aleja de la superficie hacia el segundo medio. El ángulo que forma la dirección de propagación de la onda refracta-da o rayo refractado y la normal se denomina ángulo de refracción.

Experimentalmente se ha comprobado que, cuando una onda se refracta pasando de un medio en el que la velocidad es v1 a otro medio en el que es v2, se cumplen las siguientes relaciones:

• El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en un mismo plano.

• El ángulo de incidencia, i, y el ángulo de refracción, r, están relacionados por la llamada ley de Snell:

sen i

sen r =

v1

v2

Willebrord Snell, matemático holandés, enunció esta ley en 1621.

El cociente v1/v2 se denomina índice de refracción del segundo medio res-pecto al primero.

De la ley de Snell se deduce que, cuando la velocidad en el segundo medio es menor que en el primero, el ángulo de refracción es menor que el de incidencia. En caso contrario, el ángulo de refracción será mayor que el de incidencia.

El principio de Huygens explica la refracción y sus leyes (Fig. 45). El frente de onda incidente, AB, forma un ángulo i con la superficie, mientras que el frente de onda refractado, A’B’, forma un ángulo r. Mientras que la onda incidente se mueve de B a B’, en el segundo medio la onda refractada se desplaza desde A hasta A’. Si llamamos Δt al tiempo que tarda la onda en hacer estos desplazamientos, podemos establecer la siguiente relación:

BB’

AA’ =

v1 Δt

v2 Δt

= v

1

v2

Los triángulos ABB’ y AA’B’ son rectángulos, con la hipotenusa, AB’, común. Así, tenemos que BB’ = AB’ sen i. Asimismo, AA’ = AB’ sen r. Sustituyendo estas dos igualdades en la relación anterior y simplificando AB’, obtenemos la ley de Snell.

sen i

sen r =

v1

v2

i r

ir

A B’

B A’

43. Construcción de Huygens para la reflexión de una onda recta en una superficie. En ella se comprueban las leyes de la reflexión especular.

44. Refracción de un tren de ondas rectas en una cubeta de ondas: i es el ángulo de incidencia y r es el ángulo de refracción.

i

r

i

i

r

r

A

A’

B

B’ˆ ˆ

45. Construcción de la refracción de una onda recta a partir del principio de Huygens. Cuando todo el frente de ondas ha cruzado la superficie de separación de los dos medios, se forma un nuevo frente de ondas rectas que se propaga por el segundo medio.

31


22 | Difracción

La difracción es la alteración que experimentan los frentes de ondas cuan-do atraviesan una rendija estrecha, chocan con un pequeño objeto o rozan el borde de un obstáculo.

En la figura 46 hemos fotografiado una experiencia realizada en la cubeta de ondas. En la parte derecha se ha producido un tren de ondas rectas que se trasladan de derecha a izquierda. En el centro de la cubeta se ha coloca-do una barrera rectilínea para impedir el paso de las ondas que tiene una ranura de una medida inferior a la longitud de onda.

Se observa que la onda, al pasar a través de la ranura, se curva y se propa-ga por detrás de la barrera en forma de ondas circulares. Este fenómeno se llama difracción.

Si la ranura es más grande que la longitud de onda, el fenómeno es menos patente, pero también se produce una curvatura del frente de onda en los bordes de la abertura (Fig. 47). Cuanto más grande sea la medida de la ranura, menos intensa será la difracción.

Este fenómeno también se puede observar si se coloca un pequeño obs-táculo en el trayecto de las ondas. Si su tamaño es igual o menor que la longitud de onda, el frente se curva, rodea el obstáculo y se propaga por detrás; se comporta como un foco puntual y emite unas ondas circulares débiles (Fig. 48).

Por ello, las ondas sonoras, que tienen una longitud de onda comprendida entre unos centímetros y unos cuantos metros, pueden rodear la mayoría de los obstáculos pequeños que encuentran en su camino, pero no pueden pasar los que son muy grandes, como, por ejemplo, un edificio o una montaña.

23 | Interferencias

Cuando dos o más movimientos ondulatorios que se propagan por un mismo medio afectan simultáneamente a un punto de este medio, sus efectos se suman y dan lugar a perturbaciones que son la combinación de los efectos de cada uno de ellos. Este fenómeno recibe el nombre de inter-ferencia de ondas.

Supongamos, por ejemplo, que dos ondas armónicas de diferente frecuen-cia y amplitud se propagan en el mismo sentido a lo largo de una banda elástica (Fig. 49). Se comprueba experimentalmente que la perturbación resultante en cada punto obedece al principio de superposición de ondas, que se puede enunciar de la siguiente manera:

En cada instante, la elongación de un punto afectado simultáneamente por varias ondas es la suma de las elongaciones que produciría cada una de las ondas separadamente.

En la parte inferior de la figura 49 se ha dibujado, aplicando el principio de superposición, la resultante de las dos ondas superpuestas como ejemplo. En algunos puntos, las elongaciones de las dos ondas son del mismo sen-tido y se refuerzan mutuamente; decimos que se produce una inter ferencia constructiva. En otros puntos, las elongaciones son de sentido contrario y se contrarrestan totalmente o parcialmente; decimos, entonces, que hay una inter ferencia destructiva.

46. Difracción en una ranura muy estrecha. La ranura se comporta como si fuera un foco puntual emisor de ondas.

47. En una ranura ancha, el fenómeno de la difracción es menos patente. Se observa una curvatura del frente de onda en la zona próxima al borde de la ranura.

48. Difracción en un obstáculo pequeño.

49. Superposición de ondas armónicas de diferente frecuencia y amplitud.a) Las dos ondas por separado.b) Resultado de la superposición.

b

a

32


Podemos considerar el caso de la inter ferencia de dos movimientos ondu-latorios transversales, unidimensionales, de la misma amplitud e igual frecuencia angular, que se propagan por la misma línea recta. Sus ecuacio-nes solo diferirán en la fase inicial:

y1 = A sen (ω t – k x + ϕ1); y2 = A sen (ω t – k x + ϕ2)

En cada punto, la elongación del movimiento resultante será la suma de las elongaciones de ambos movimientos ondulatorios:

y = y1 + y2 = A sen (ω t – k x + ϕ1) + A sen (ω t – k x + ϕ2) == A [sen (ω t – k x + ϕ1) + sen (ω t – k x + ϕ2)]

Aplicando la formula trigonométrica para la conversión de una suma de senos en producto (véase el apartado Conocimientos previos de matemá-ticas, al principio de esta unidad), resulta:

y = y

1 + y

2 = 2 A cos

ϕ1 – ϕ

2

2 sen ω t – k x +

ϕ1 – ϕ

2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Como el producto:

2 A cos ϕ

1 – ϕ

2

2

es una constante, lo denominaremos Ar, con lo que resulta:

y = Ar sen ω t – k x +

ϕ1 – ϕ

2

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Esta ecuación es la de una onda armónica con la misma frecuencia angular y número de onda que las iniciales, pero cuya amplitud es:

Ar = 2 A cos

ϕ1 – ϕ

2

2

Cuando las ondas iniciales están en fase, ϕ1 – ϕ2 = 2 π n, la amplitud de la onda resultante es máxima:

Ar = 2 A cos (π n) = 2 A � 1 = 2 A

Se produce una interferencia constructiva.

Cuando las ondas iniciales están en oposición de fase, ϕ1 – ϕ2 = (2 n + 1) π, la amplitud resultante es nula:

Ar = 2 A cos (n π + π/2) = 2 A � 0 = 0

Se produce una interferencia destructiva, y los puntos del medio no oscilan.

Mediante la inter ferencia de varias ondas armónicas de diferente amplitud y frecuencia se puede conseguir cualquier tipo de onda periódica. En esto se fundamentan los sintetizadores de sonido, que pueden construir el soni-do de cualquier instrumento musical a partir de las ondas armónicas.

La variedad de casos de inter ferencia de ondas es muy grande. Aquí, nos limitaremos a estudiar algunos de los fenómenos más simples. Veamos ahora un caso de inter ferencia de ondas en dos dimensiones, es decir, sobre una superficie plana.

Consideremos dos focos puntuales, F y F’, que emiten simultáneamente ondas armónicas de la misma amplitud y longitud de onda. Supongamos que las dos ondas, al ser emitidas por el foco, se encuentran en la misma

33


fase. Cuando los dos frentes de onda se encuentren en un punto como el P0 (Fig. 50) situado en la mediatriz del segmento FF’, por el hecho de que ambos habrán recorrido la misma distancia se encontrarán también en la misma fase. En cada instante, las elongaciones correspondientes a cada una de las ondas separadamente serán iguales y, por el principio de super-posición, la elongación resultante será el doble. Por ello, el punto P0 vibrará con amplitud doble a la de cada una de las ondas. En el punto P0 se produ-ce una inter ferencia constructiva; las dos ondas se refuerzan.

Considera, ahora, un punto como el P1 tal que P1F – P1F’ = λ/2 (Fig. 51). Al llegar a este punto, dado que los recorridos de las dos ondas se diferencian en media longitud de onda, se encontrarán en fase opuesta. Las elongacio-nes correspondientes a cada una de las ondas serán, en cada instante, iguales y de sentido contrario. Por el principio de superposición, la onda resultante será nula y el punto P1 no vibrará. Se dice que en P1 se produce una inter ferencia destructiva; las dos ondas se anulan.

Todos los puntos como P0, donde ambas ondas se refuerzan y se produce una vibración de doble amplitud, se llaman vientres. Esto sucede cuando el camino recorrido por los dos frentes de onda es igual. Por ello, todos los puntos de la mediatriz del segmento FF’ serán vientres. Sucede lo mismo cuando la diferencia entre los caminos recorridos por los dos frentes de onda es igual a una longitud de onda.

El conjunto de todos los puntos cuya diferencia de distancias a los dos focos emisores, F y F’, es igual a λ, es una hipérbola. Todos los puntos de dicha hipérbola serán también vientres. Si la diferencia de distancias a los dos focos es igual a 2λ o bien 3λ o 4λ..., se produce el mismo fenómeno. Por lo tanto, hay un conjunto de hipérbolas cuyos puntos son vientres. Todas estas hipérbolas tienen por focos los puntos F y F’. Estas hipérbolas de vientres se han representado en la figura 52.

La condición que cumplen los puntos de las hipérbolas de vientres es: x1 – x2 = n λ.

Donde x1 y x2 son las distancias a los focos F y F’, respectivamente, y n es un número entero.

Para n = 0, los puntos que cumplirán la condición serán los de la mediatriz del segmento FF’. Para n = 1, los puntos corresponderán a una hipérbola en que la diferencia de distancias a los focos es λ; n = 2 daría la hipérbo-la en que la diferencia de distancias a los focos es igual a 2λ.

De forma análoga, iríamos obteniendo toda la familia de hipérbolas corres-pondientes a los vientres.

Igualmente, existe otro conjunto de hipérbolas, formadas por puntos en los que se produce la anulación total de las vibraciones: son los nodos.

En estas hipérbolas de interferencia destructiva, la diferencia de distancias a los focos es igual a un número impar de semilongitudes de onda:

x1 – x

2 = (2 n + 1)

λ

2

Estas hipérbolas de nodos se han dibujado con líneas discontinuas en la figura 52.

En los puntos situados entre las líneas de vientres y las de nodos, la ampli-tud de las vibraciones toma valores comprendidos entre 0 y 2A (donde A es la amplitud de las ondas emitidas por los focos F y F’).

F

F’

F

F’ P0

P0

P0

F

F’

F

F’P1

P1

P1

50. Esquema de la superposición de dos ondas en fase en un punto P0.

51. Esquema de superposición de dos ondas en un punto Plr al que llegan en oposición de fase.

52. Interferencia de las ondas emitidas por dos focos puntuales en la cubeta de ondas. Se advierten claramente las hipérbolas de nodos (zonas de una tonalidad grisácea uniforme).

34


El fenómeno de inter ferencia que hemos estudiado aquí es uno de los más sencillos. Podríamos considerar también qué pasaría si las ondas, al ser emitidas por los dos focos, no se encontrasen en la misma fase, no tuvie-ran la misma amplitud o hubiera más de dos focos emisores. El número de casos de inter ferencia de ondas que se puede plantear es infinito, muchos de los cuales son enormemente complicados.

10. Mediante una varilla en forma de U invertida generamos un movimiento vibratorio armónico perpen-dicular a la superficie en reposo de un líquido de una cubeta de ondas. Aplicamos al movimiento una frecuencia de 50 Hz. Las perturbaciones que produce se propagan a la superficie del líquido a una velocidad de 50 cm/s. Determina el tipo de interferencia que se producirá:

a) En un punto P, situado a 12 y 15 cm de los focos emisores.

b) En otro punto Q, situado a 20 y 22,5 cm de los focos emisores.

Cada extremo de la U invertida generará un movimiento ondulatorio armónico de ondas circulares, los cuales estarán en fase. Su frecuencia angular será: ω = 2 π ν = 2 π � 50 Hz = 100 π rad/s.

La longitud de onda valdrá:

λ =

v

ν =

50 cm/s

50 Hz = 1 cm = 0,01 m

Por lo tanto, el número de onda es:

k =

2 π

λ =

2 π rad

0,01 m = 200 π rad/m

a) La diferencia de distancias del punto P a los focos es: x2 – x1 = 15 cm – 12 cm = 3 cm = 0,03 m.

Podemos calcular la diferencia de fase de las dos ondas, al llegar a P, multiplicando la diferencia de caminos por el número de onda: Δϕ = k � Δx = 200 π rad/m � 0,03 m = 6 π rad.

Este resultado, por múltiplo de 2 π, indica que las dos ondas están en fase. Por lo tanto, en este punto se producirá una inter ferencia constructiva o vientre.

También podíamos haber comparado la diferencia de caminos con la longitud de onda.

x2 – x

1

λ =

0,03 m

0,01 m = 3

Según este resultado, la diferencia de caminos al llegar a P es un número entero (3) de longitudes de onda. Por lo tanto, los dos movimientos ondulatorios llegarán al punto P en fase y se producirá una inter ferencia constructiva.

b) En el punto Q: x2 – x1 = 22,5 cm – 20 cm = 2,5 cm = 0,025 m.

La diferencia de fase será: Δϕ = k � Δx = 200 π rad/m � 0,025 m = 5 π rad.

Por lo tanto, los dos movimientos ondulatorios llegan a Q en fases opuestas y se produce una inter ferencia destructiva. En el punto Q no se produce vibración; es un nodo.

E J E M P L O

35


24 | Ondas estacionarias

Consideremos una cuerda, un muelle o un tubo elástico largo sujeto por uno de sus extremos a un punto fijo. Si comunicamos un movimiento armónico transversal al otro extremo libre, se producirá un tren de ondas que se trans-mitirá a lo largo de la cuerda. Al llegar al extremo fijo, las ondas se reflejan, se invierten y se trasmiten de nuevo a lo largo de la cuerda en sentido contrario. Cuando se encuentran las ondas incidentes con las reflejadas, se produce un fenómeno de interferencia, cuya resultante es una onda estacionaria.

En la figura 53 hemos representado cinco instantes sucesivos de la forma-ción de dicha onda. Las dos ondas que inter fieren, dibujadas en diferente color para facilitar su identificación, avanzan a la misma velocidad en sen-tido contrario. En cada uno de los dibujos se han trazado las ondas despla-zadas con respecto al dibujo anterior una longitud igual a λ/16.

En la onda resultante se aprecia la existencia de un conjunto de puntos (N, en la figura) que no vibra. En estos puntos, las elongaciones de las dos ondas son siempre iguales y opuestas, por lo que, en todo instante, se anulan. En otros puntos (V, en la figura) pasa todo lo contrario: las elonga-ciones de ambas ondas son iguales y del mismo sentido, por lo que se suman. Estos puntos vibran con una amplitud doble que las ondas inicia-les. Los puntos N son los nodos y los V, los vientres.

Como podemos observar en la figura, la distancia entre nodos es de media longitud de onda. Los vientres también se encuentran a esta distancia los unos de los otros y son equidistantes a los nodos.

Podemos calcular analíticamente la función que determina el estado de vibración de los puntos de una onda estacionaria si tenemos presente que se forma a partir de la superposición de dos ondas armónicas que se mue-ven en sentidos opuestos.

Así, podemos partir de dos ondas cuyas ecuaciones son las siguientes.

Onda que se desplaza en sentido negativo: y1 = A sen (ω t + k x).

Onda que se desplaza en sentido positivo: y2 = A sen (ω t – k x).

El movimiento resultante se obtendrá sumando las elongaciones de ambas ondas:

y = y1 + y2 = A sen (ω t + k x) + A sen (ω t – k x) = = A [sen (ω t + k x) + sen (ω t – k x)]

Aplicando la fórmula de conversión de la suma de senos en producto, se obtiene:

N V N V N V N

53. Instantes sucesivos de la interferencia que da lugar a la formación de ondas estacionarias. Debajo se puede ver el aspecto de estas ondas en una cinta elástica que vibra.

y = y1 + y2 = 2 A cos (k x) sen (ω t) = Ar sen (ω t)

Esta ecuación corresponde a un m. v. a. s. de frecuencia angular ω y de amplitud Ar = 2 A cos (kx).

En los puntos en los que cos (k x) = 0, la amplitud resultante será 0; es decir, no habrá vibración. Estos puntos son los nodos.

Para ello ha de cumplirse:

k x = π

2 + n π

(donde puede darse a n cualquier valor entero).

36


Sustituyendo k por 2 π/λ y despejando x, se obtiene la posición de los nodos:

x = λ

4 + n

λ

2

Los puntos situados en las posiciones en que cos (k x) = ±1 vibrarán con amplitud máxima, de valor igual a 2A. Son los vientres.

Para ello ha de cumplirse: k x = n π (donde se puede dar a n cualquier valor entero).

Sustituyendo k por 2π/λ y despejando x, se obtiene la posición de los nodos:

x = n

λ

2

Una consecuencia inmediata de los anteriores valores de x en los nodos y en los vientres es que la distancia entre dos nodos consecutivos o entre dos vientres consecutivos es λ/2.

Asimismo, se deduce que la distancia entre un nodo y un vientre consecu-tivos es λ/4.

En el caso de una cuerda con los extremos fijos, deberán ser forzosamente nodos, puesto que no pueden vibrar. Ello implica que no se puede producir cualquier onda estacionaria, sino solamente las que tengan nodos en los extre-mos. Estas se caracterizan por unas frecuencias de vibración determinadas (Fig. 54) que dan lugar a diferentes estados de vibración de la cuerda llamados modos normales de vibración. El modo de mayor longitud de onda se denomi-na armónico fundamental y los siguientes, armónicos secundarios.

Como se puede ver en la figura 54, entre los extremos fijos de la cuerda cabe un número entero de veces la semilongitud de onda de las ondas.

Es decir, se cumple:

L =

λ

2 n

de donde se deduce que:

λ =

2 L

n (para n = 1, 2, 3...)

El modo de vibración fundamental se produce para n = 1 con una longitud de onda: λ1 = 2 L.

Los demás armónicos se producen para n = 2, 3, 4..., con longitudes de onda:

λ2 =

2 L

2 =

λ1

2, λ

3 =

2 L

3 =

λ1

3, λ

4 =

2 L

4 =

λ1

4,

λ

5 =

2 L

5 =

λ1

5, ...λ

n =

2 L

n =

λ1

n

Es decir, que las longitudes de onda de los armónicos secundarios son la del armónico fundamental dividida por los sucesivos números enteros.

Por otra parte, sabemos que la velocidad de propagación de las ondas es: v = λ � ν.

De la anterior igualdad se deduce que la frecuencia es: ν = v/λ.

Por tanto, la frecuencia del armónico fundamental será: ν1 = v/λ1.

L

54. Representación de cuatro modos normales de vibración de una cuerda fija por sus extremos.

37


Y las frecuencias de los siguientes armónicos vendrán dadas por:

ν

n =

v

λn

= v

λ1/n

= v

λ1

n = ν1 n (para n = 1, 2, 3…)

Así pues, las frecuencias de los modos normales de vibración en una cuer-da con los extremos fijos son los sucesivos múltiplos de la frecuencia del armónico fundamental.

11. En una cuerda de 16 cm de longitud con los extremos fijos se ha generado una onda estacionaria de ecuación: y = 0,02 sen (25 π x) � cos (8 π t) (x e y se expresan en metros y t, en segundos).

Calcula: a) La amplitud máxima de vibración de un punto. b) El período y la frecuencia de las oscilaciones. c) El número de vientres y de nodos que se forman. d) La amplitud y la velocidad de propagación de las ondas componentes.

a) La amplitud máxima de vibración se produce en los vientres, donde sen (π /4) x = 1. Por lo tanto, la amplitud máxima de oscilación vale: Amáx. = 0,02 cm = 2 cm.

b) En la ecuación de la onda: ω = 8 π rad/s. Como ω = 2 π / T, el período T será:

T =

2 π

ω =

2 π rad

8 π rad/s = 0,25 s

La frecuencia es la inversa del período:

ν =

1

T =

1

0,25 s = 4 Hz

c) En la ecuación de la onda vemos que el número de onda es k = 25 π rad/m.

Como k = 2 π / λ, la longitud de onda es: λ = 2 π

k =

2 π rad

25 π rad/m = 0,08 m = 8 cm.

La distancia entre nodos es d = λ / 2 = 4 cm.

Como la longitud de la cuerda es de 16 cm, habrá 16 cm/4 cm = 4 vientres.

Dado que ambos extremos de la cuerda son nodos, habrá 5 nodos (véase la figura).

El modo de vibración de la cuerda corresponde al cuarto armónico.

Esquema del modo normal de vibración correspondiente.

d) La amplitud de las ondas componentes es la mitad de la amplitud de oscilación de los vientres. Por lo tanto, en este caso: A = 1 cm.

Su velocidad de propagación es: v = λ � ν = 0,08 m � 4 s–1 = 0,32 m/s.

E J E M P L 0

0 4 8 12 16

N N N N NV V V V

2 6 10 14

38


25 | El sonido. Características físicas

Experiencias como la de la figura 55 nos muestran las características del sonido. En ella se puede ver un diapasón. Se trata de una pieza metálica en forma de herradura, provista de un mango en la parte curva para poder sostenerlo en la mano o sujetarlo a un soporte.

Si golpeamos su extremo superior, el diapasón emite un sonido caracterís-tico que se mantiene durante unos segundos. Si durante este tiempo, pro-curando no tocarlo con la mano, colocamos en contacto con una de sus dos ramas una bolita de material muy ligero suspendida de un hilo, veremos que la bolita experimenta una sucesión de rápidas sacudidas (Fig. 55). Eso indica que el diapasón está vibrando, aunque su vibración es de tan peque-ña amplitud que apenas es perceptible a simple vista.

Si tocamos los extremos del diapasón con los dedos, la bolita deja de osci-lar, a la vez que cesa la emisión de sonido.

Esta sencilla experiencia pone de manifiesto que el sonido es una vibración de la materia.

Si colocamos un timbre en el interior de una campana de vidrio y extraemos el aire de esta mediante una bomba de vacío, observaremos que, aun-que el timbre esté vibrando, no oiremos ningún sonido.

Si, por el contrario, hacemos sonar el timbre en el interior de la campana, sin extraer el aire, oiremos per fectamente su sonido.

El sonido es una vibración que se transmite en forma de ondas mecánicas a través de la materia.

En los instrumentos de cuerda se hace vibrar una cuerda en tensión gol-peándola (piano), pulsándola (guitarra) o frotándola (violín).

En los instrumentos de placa o membrana se provoca la vibración de una placa, que puede ser plana (platillos) o curvada (campana), o de una mem-brana elástica tensa (tambor, pandereta…).

En los instrumentos de aire o viento, el sonido se produce al hacer vibrar el aire que contiene un tubo (flauta, trompeta, órgano…).

El sonido se transmite por igual en todas las direcciones en forma de ondas esféricas si el medio en el que se propaga es homogéneo e isótropo. Experimentalmente se ha comprobado que la transmisión del sonido en el aire es un movimiento ondulatorio longitudinal, es decir, que las moléculas del aire vibran en la misma dirección en que se transmiten las ondas sonoras.

Pero no todas las vibraciones de la materia son detectadas por nuestro oído. Para que podamos percibirlas, es decir, para que sean un sonido, deben tener una frecuencia comprendida entre 20 y 20 000 vibraciones por segundo, aproximadamente.

Las vibraciones de frecuencias menores a 20 Hz se denominan infrasonidos y las de frecuencias superiores a 20 000 Hz, ultrasonidos. Ni unas ni otras pueden ser detectadas por el oído humano. Pero muchos animales son capaces de detectar ultrasonidos. Así, por ejemplo, los murciélagos los utilizan para detectar los obstáculos y las presas que capturan; los cetáceos emiten ultrasonidos para comunicarse a larga distancia en el océano; los perros son capaces de percibir ultrasonidos, de ahí la existencia de silbatos para perros, inaudibles para el oído humano. También se utilizan ultrasoni-dos de frecuencias muy elevadas (centenares de millones de hertzios) en aplicaciones diversas muy interesantes, especialmente en los campos de la química y de la medicina (litotricia).

55. Cuando el diapasón suena, se pone de manifiesto que vibra porque impulsa la bolita del péndulo que está en contacto con él.

39


| Velocidad de propagación del sonido

La velocidad del sonido en el aire se puede medir fácilmente. Para ello, dos personas se sitúan a una distancia conocida una de otra, de varios kilóme-tros. Una de ellas emite simultáneamente dos señales, una acústica y otra luminosa. Se puede hacer, por ejemplo, mediante un disparo o una peque-ña explosión que provoca a la vez el fogonazo y una detonación. La otra persona cronometra el tiempo transcurrido desde que ve la señal luminosa hasta que oye el sonido. Como la luz se propaga casi instantáneamente, se puede considerar que el tiempo cronometrado es el que tarda el sonido en transmitirse desde una persona hasta la otra. Dividiendo la distancia que las separa por el tiempo cronometrado, se obtiene la velocidad de propaga-ción del sonido en el aire, que es aproximadamente de 340 m/s.

También se puede medir la velocidad de propagación del sonido en otros medios. En el agua, por ejemplo, es de 1 440 m/s. A través de cuerpos sólidos puede tener velocidades de entre 4 000 y 6 000 m/s.

La velocidad del sonido depende de las características físicas del medio por el que se propaga.

| Cualidades del sonido

Cuanto mayor sea la fuerza con la que golpeamos un diapasón, mayor será la amplitud de sus vibraciones y más intenso el sonido producido, que se oirá a mayor distancia.

Del mismo modo, pulsando más fuerte una cuerda de guitarra, obtendre-mos unas vibraciones de mayor amplitud y un sonido más intenso que pul-sando la cuerda con poca fuerza.

La intensidad o volumen de un sonido depende de la amplitud de la vibra-ción y crece al aumentar la amplitud.

Si tocamos los dientes de una rueda dentada que gira (Fig. 56) con una lámi-na metálica delgada, la lámina vibrará por los golpes con los dientes de la rueda y emitirá un sonido. Cuanto más rápido sea el giro de la rueda, mayor será el número de vibraciones por segundo o frecuencia de vibración de la lámina. Se observa entonces que, si se aumenta la velocidad de la rueda, el sonido emitido se hace más agudo y, si se disminuye, más grave.

El tono de un sonido depende de su frecuencia; es más agudo cuanto mayor es la frecuencia.

Para que un sonido pueda considerarse musical, su frecuencia deberá ser constante. En caso contrario, no podríamos indicar su tono y sería un soni-do átono o, si fuera desagradable, un ruido.

Observa que, a pesar de que dos instrumentos –por ejemplo, un piano y un violín– emitan la misma nota con la misma intensidad, distinguimos perfec-tamente de cuál de los instrumentos procede el sonido. La cualidad que diferencia ambos sonidos se llama timbre.

Los diferentes timbres de los sonidos dependen de la forma de la onda, que no suele ser una simple onda armónica de forma sinusoidal (sonido puro), sino que generalmente tiene un per fil mucho más complicado (soni-do complejo). En el próximo apartado (Análisis armónico del sonido) se explica más detalladamente esta cuestión.

56. Al girar, la rueda dentada hace vibrar la lámina metálica que se apoya en sus dientes. El sonido que emite la lámina tiene un tono más agudo cuanto más rápidamente gira la rueda.

40


Ondas sonoras en tubos abiertos y tubos cerradosMuchos instrumentos de música están formados por unos tubos en los que se producen ondas sonoras que forman ondas estacionarias en su interior.

El tipo de ondas es diferente que en las cuerdas. Las ondas sonoras son longitudinales, mientras que en las cuerdas se produce un movimiento ondulatorio transversal. No obstante, a los efectos de la propagación y formación de ondas estacionarias en unos determinados medios se puede aplicar un tratamiento mate-mático muy similar al que se aplica en las cuerdas.

En los tubos se produce una oscilación del aire que contienen en la misma dirección que la de propagación de las ondas sonoras.

Básicamente, podemos encontrar dos tipos diferentes de tubos sono-ros: los cerrados por un extremo y abiertos por el otro y los abiertos por los dos extremos. En un extremo cerrado habrá siempre un nodo del modo normal de vibración que se esté produciendo, ya que el aire en contacto con la pared cerrada del tubo no puede vibrar.

Cerca de un extremo abierto, podremos considerar que hay un vien-tre de desplazamiento del aire si la longitud del tubo es mucho más grande que su diámetro. En la práctica, hay una pequeña corrección de la posición del vientre del extremo que lo sitúa un poco más allá, aproximadamente a una distancia igual al radio del tubo.

Para las formas de los modos normales de oscilación que estudiare-mos aquí, consideraremos que los vientres están situados en los extremos abiertos del tubo. Así, si disponemos de un tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro, obtendremos las ondas estacio-narias que se representan en la primera figura.

Tal como observamos en la figura, el modo fundamental tendrá un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el extremo abierto. Por lo tanto, la longitud de onda correspondiente al modo fundamental es aproximadamente cuatro veces la longitud del tubo, L. Para tener el siguiente modo normal de vibración, hay que añadir cada vez un nodo y un vientre más en el interior del tubo respecto al modo de vibración normal anterior. Así, al siguiente armónico le corresponde una longitud de onda igual a 4L/3; al siguiente, una longitud de onda de 4L/5; y así consecutivamente. Por ello, decimos que en un medio como este solo se dan los armónicos impares, ya que las frecuen-cias que se pueden producir son múltiplos impares de la frecuencia del modo fundamental. Una de las familias musicales que corres-ponde a este tipo de tubos es la del clarinete.

En el caso de un tubo abierto por los dos extremos, en cada extremo habrá un vientre. Obtendremos ondas estacionarias como las repre-sentadas en la segunda figura.

Tal como se ve en la figura, al modo fundamental de vibración le corresponde una longitud de onda igual a 2L. La longitud de onda correspondiente al segundo modo normal de vibración es 2L/2. Al tercer modo le corresponde una longitud de onda igual a 2L/3 y así iríamos obteniendo las longitudes de onda asociadas a cada uno de los armónicos que se pueden producir en el tubo.

Si nos fijamos un poco, podemos comprobar que las frecuencias correspondientes serán múltiplos de la del modo fundamental, de modo similar a lo que sucede en una cuerda con los dos extremos fijos.

Los tubos de los órganos y de varios tipos de flautas se comportan como tubos con los dos extremos abiertos.

DO

CU

ME

NT

O 3

Ondas estacionarias en un tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro.

Modos normales de vibración en un tubo abierto por los dos extremos. Se representan los cinco primeros armónicos.

L

L

41


26 | Análisis armónico del sonido

En el año 1807, el matemático Joseph Fourier (1768-1830) demostró una importante propiedad de las ecuaciones de los fenómenos periódicos.

Fourier descubrió que todo fenómeno periódico, por complicado que sea, se puede representar por una suma de expresiones del tipo A sen (n ω t + ϕ0), para n = 1, 2, 3,... Si representamos por y = f(t) la ecuación del fenómeno periódico, se puede expresar como:

y = f(t) = A1 � sen (ω t + ϕ1) + A2 sen (2 ω t + ϕ2) + A3 sen (3 ω t + ϕ3) + + ... + An sen (n ω t + ϕn) + ...

Estos sumandos representan fenómenos armónicos simples de diferentes amplitudes: A1, A2, A3, ..., An.

La frecuencia angular, ω, del primero es la fundamental. Los demás suman-dos son sus armónicos, cuyas frecuencias angulares son los sucesivos múltiplos enteros de ω.

Para la mayoría de los fenómenos periódicos esta suma posee infinitos sumandos, pero se puede lograr una buena aproximación considerando solo los primeros de ellos. Esto es así porque a partir de un cierto término las amplitudes, An, se hacen tan pequeñas que pueden considerarse nulas. El número de sumandos que usaremos depende de la precisión con que queramos establecer la ecuación del fenómeno periódico.

Como ejemplo vamos a ver las distintas aproximaciones que podemos obtener para la ecuación del fenómeno periódico representado por la onda cuadrada de la figura 57.

Según el teorema de Fourier, la ecuación de una onda cuadrada es la siguiente:

y = A sen (ω t ) + A

3 sen (3 ω t ) +

A

5 sen (5 ω t ) +

A

7 sen (7 ω t ) + …

En el segundo dibujo de la figura se han trazado las gráficas de los tres primeros armónicos, cuyas ecuaciones son:

y = A sen (ω t ), y = A

3 sen (3 ω t ), y =

A

5 sen (5 ω t )

En el tercer dibujo se puede ver la resultante de los tres armónicos compa-rada con la onda que pretendemos obtener. Cuantos más armónicos se sumen, más se aproximará la forma de la resultante a la de la onda cuadrada.

Toda onda se puede representar mediante una gráfica, llamada espectro de frecuencias, en la que figure la amplitud de los diversos armónicos que la forman en función de su frecuencia.

En el caso de la onda que hemos obtenido sumando los tres primeros armó-nicos de la onda cuadrada, el espectro es el que se puede ver en la figura 58.

y

tO

y

tO

y

A

tO

57. La gráfica de la parte superior corresponde a una onda cuadrada.En la gráfica del centro se representan sus tres primeros armónicos. Las amplitudes son A, A/3 y A/5. Las frecuencias angulares son ω, 3 ω y 5 ω.

A/3A/5

A

ν 3 ν 5 ν58. Espectro de frecuencias de la onda obtenida en la figura anterior sumando los tres primeros armónicos de la onda cuadrada.

42


An

An = A1/n

1 2 3 4 5 6 7 ν

Onda en dientede sierra

y

t

59. Espectro de la onda en diente de sierra. Las amplitudes de los armónicos se obtienen dividiendo la amplitud del primer armónico por los sucesivos números naturales.

En la figura 59 se puede ver otro ejemplo. Es la conocida como onda en diente de sierra, debido a la forma que tiene su gráfica cuando se represen-ta en función del tiempo. Si A1 es la amplitud del armónico fundamental, para obtener una onda en diente de sierra, las amplitudes de los sucesivos armónicos han de ser:

A

2 =

A1

2, A

3 =

A1

3, A

4 =

A1

4, A

5 =

A1

5, ..., A

n =

A1

n

En la figura se ha representado el espectro de la onda asignando arbitraria-mente el valor 1 a la frecuencia fundamental, con lo que las frecuencias de los sucesivos armónicos son los números naturales a partir del 2. Si la frecuencia fundamental tiene otro valor, ν1, las frecuencias de los armóni-cos serán esos mismos números naturales multiplicados por ν1.

Hemos visto que la forma de una onda depende de la combinación de amplitudes de los diferentes armónicos. En el caso del sonido, esto es lo que determina el timbre característico de cada instrumento.

En la figura 60 se pueden ver las formas de tres ondas sonoras de timbres notoriamente distintos. Corresponden a la voz de un cantante, al sonido de una flauta y al de una guitarra. Aunque son sonidos complejos, sabemos que cada uno de ellos puede descomponerse en sonidos puros, es decir, en ondas armónicas. Las frecuencias de estas ondas son múltiplos enteros de la de menor frecuencia, que es el primer armónico o armónico fundamental.

Cantante Flauta Guitarra

t

y

t

y

t

y

60. La diferencia en la forma de las ondas emitidas por un cantante, una flauta y una guitarra se traduce en la diversidad del timbre de sus sonidos.

La descomposición de un sonido cualquiera (sonido complejo) en los armó-nicos que lo forman (sonidos puros) se denomina análisis armónico.

A partir de gráficas como las de la figura 60, pero con valores numéricos concretos en el eje de tiempos, se ve fácilmente el tiempo que dura un ciclo, es decir, el período. Su inversa es la frecuencia fundamental, y multi-plicándola por los números naturales obtenemos las frecuencias de los sucesivos armónicos.

Mucho más complicado sería calcular la amplitud de cada armónico. Ni siquiera conociendo la ecuación de la onda puedes hacerlo, ya que aun no cuentas con los recursos matemáticos necesarios.

Sin embargo, existen aparatos que captan el sonido a través de un micró-fono y determinan numérica y/o gráficamente las frecuencias y amplitudes de los armónicos o sonidos puros que lo forman; reciben el nombre de analizadores de espectro o analizadores armónicos.

El proceso inverso, que es la obtención de un sonido complejo a partir de sus diversos armónicos, se llama síntesis armónica.

Los dispositivos que generan sonidos emitiendo simultáneamente los armónicos que los constituyen son los sintetizadores de sonido.

En Internet se pueden encontrar tanto analizadores armónicos como sinte-tizadores de sonido vir tuales con los que se puede experimentar sin nece-sidad de disponer del aparato real.

43


a

F λ O

F

Vo

V

VF

O

b

c

VFVV

o

λ’

F λ’

27 | Efecto Doppler

Cuando oímos el ruido del motor de un coche que se acerca, pasa por delante de nosotros y después se aleja, observamos que, una vez que ha pasado, el ruido se vuelve más grave respecto al que oíamos antes de lle-gar, que era, por lo tanto, más agudo. De manera parecida, cuando un tren que llega hace sonar el silbato, su sonido se oye con una frecuencia más elevada (más agudo) que cuando el tren está en reposo; y, cuando el tren se aleja, el sonido del silbato es de frecuencia más pequeña (más grave) que cuando está en reposo.

Este fenómeno, por el cual la frecuencia observada de un movimiento ondu-latorio varía si la fuente está en movimiento respecto al observador o el observador respecto a la fuente, fue estudiado por el físico Christian J. Doppler (1803-1853) y se conoce como efecto Doppler.

Daremos una explicación de este fenómeno aplicado a ondas mecánicas.

Consideremos que un punto F (foco emisor) emite ondas armónicas de frecuencia νF en un medio homogéneo e isótropo. Si el foco F está en repo-so, las ondas se propagarán a partir de él en todas direcciones con veloci-dad constante v y los frentes de onda serán superficies esféricas con cen-tro en F. En la figura 61a se han trazado los frentes de onda constituidos por los puntos que se encuentran en igual fase de su vibración. Por lo tanto, la distancia entre dos frentes consecutivos es la longitud de onda ν = v/vF .

Cuando estas ondas lleguen a un observador O capaz de detectarlas, este percibirá su frecuencia νF.

Supongamos ahora que el foco F se mueve hacia el observador O con una velocidad vF inferior a la de propagación de las ondas (vF < v). Los frentes de onda ya no serán concéntricos, puesto que cada uno tendrá su centro en la posición desde donde fue emitido por el foco F (puntos marcados en negro en la Fig. 61b).

Desde que el foco emite uno de los frentes que hemos dibujado hasta que emite el siguiente, el tiempo transcurrido es el período TF del movimiento ondulatorio. En ese tiempo, el foco habrá avanzado una distancia d = vF � TF = vF/νF. Por lo tanto, en la dirección y el sentido en que avanza el foco, la separación entre dos frentes consecutivos (que es la longitud de onda) ya no será λ, sino λ’ = λ – d (véase de nuevo la Fig. 61b).

Sustituyendo λ y d por los valores indicados en el texto unas líneas más arriba, obtenemos que esta longitud de onda λ’ es:

λ’ = λ – d =

v

νF

– v

F

νF

= v – v

F

νF

Así pues, cuando el foco emisor se mueve, el observador recibe ondas de diferente longitud de onda que cuando el foco está en reposo.

Ahora nos preguntaremos: ¿qué frecuencia percibirá el observador?

De la relación v = λ � ν (velocidad de propagación = longitud de onda � � frecuencia), se deduce: ν = v / λ.

Como se trata de calcular la frecuencia que percibe el observador, la velo-cidad v en la anterior ecuación ha de ser la velocidad con que las ondas llegan a él.

61. Efecto Doppler. a) Cuando el foco emisor está en reposo: los frentes son circunferencias concéntricas y la distancia entre ellas es la longitud de onda λ.b) Cuando el foco emisor se mueve con una velocidad vF: los frentes son circunferencias con centro en los puntos desde donde fueron emitidos. En la dirección y el sentido en que el foco emisor avanza, la distancia entre los frentes (longitud de onda λ’) es menor que λ.c) Si el observador se mueve con la velocidad vO, las ondas lo alcanzan con velocidad v – vO.

44


Esta velocidad depende de que el observador esté en reposo o en movimiento. Para considerar el caso más general, supondremos que está en movimiento.

Si el observador se mueve con una velocidad vO hacia la derecha (Fig. 45c), la velocidad de las ondas con respecto a él será v – vO. Y como la longitud de onda de las ondas que llegan a él es λ’, la frecuencia que percibirá el observador es:

ν

0 =

v – v0

λ’

Así pues, cuando el observador se mueve, percibe una frecuencia distinta que cuando está en reposo.

Los dos efectos que acabamos de estudiar, el del movimiento del foco y el del movimiento del observador, se pueden expresar en una única ecuación. Para ello despejaremos λ’ en esta última ecuación:

λ’ = v – v

0

ν0

Igualando este valor al que antes habíamos obtenido, resulta:

v – v0

ν0

= v – v

F

νF

= λ’

Las diferencias de velocidades v – vO y v – vF, que aparecen en esta ecua-ción, son, respectivamente, la velocidad relativa de las ondas con respecto al observador y la velocidad de las ondas con respecto al foco emisor.

Así pues, la ecuación del efecto Doppler obtenida expresa que las velocida-des relativas de las ondas (con respecto al foco y al observador) y sus fre-cuencias (emitida y percibida) son directamente proporcionales:

La ecuación que hemos establecido se puede aplicar sea cual sea el senti-do de las velocidades que figuran en ella, siempre que se ponga a cada una el signo que, según su sentido, le corresponda.

Esto no supone dificultad en el caso de las velocidades del observador y del foco emisor (vO y vF).

Pero las ondas emitidas por el foco, generalmente, se propagan en ambos sentidos.

Lógicamente, a la velocidad de propagación de las ondas (v) se le ha de atribuir el signo que corresponda al sentido del foco hacia el observador.

La ecuación obtenida permite resolver todos los casos de efecto Doppler en ondas mecánicas cuando las velocidades del foco emisor y del observa-dor son inferiores a la velocidad de propagación de la onda y el medio en que esta se propaga está en reposo.

Velocidad de las ondas con respecto al observador

Frecuencia percibida por el observador =

Velocidad de las ondas con respecto al foco

Frecuencia emitida por el foco

45


El efecto Doppler es un fenómeno característico de todo movimiento ondu-latorio. Se produce tanto con las ondas mecánicas –como el sonido– como con las electromagnéticas –como la luz–.

La ecuación que hemos establecido solo es aplicable a las ondas mecáni-cas, pero cualitativamente la variación de frecuencia observada es similar. Se puede comprobar que, cuando hay un acercamiento entre el foco y el observador, la frecuencia percibida es mayor que la emitida y, por el contra-rio, es menor cuando se alejan.

El análisis por descomposición espectroscópica de la luz y otras radiacio-nes electromagnéticas que llegan a la Tierra desde otras galaxias ha pues-to de manifiesto un interesante fenómeno. Consiste en que las franjas típicas del espectro de los diversos elementos químicos conocidos, presen-tes en todo el universo, manifiestan un desplazamiento hacia el rojo, es decir, un aumento de la longitud de onda o una disminución de la frecuencia con respecto a sus valores normales. El efecto Doppler proporciona una explicación coherente de este fenómeno, cuya conclusión es que las demás galaxias se están alejando constantemente de la nuestra. Es una prueba concluyente de la expansión del universo, que constituye el punto de parti-da de la ampliamente difundida y aceptada teoría del big bang.

62. Ondas circulares producidas por un foco que se desplaza hacia la derecha en una cubeta de ondas.

12. Un tren, que lleva una velocidad de 72 km/h, emite una señal acústica de frecuencia de 576 Hz. Otro tren, que marcha en sentido contrario a 90 km/h, se cruza con el anterior. Calcula el valor de la frecuencia del sonido que percibirá un pasajero del segundo tren:

a) Antes de cruzarse ambos trenes. b) Después de cruzarse.

(Dato: velocidad del sonido en el aire: v = 340 m/s.)

Consideremos sentido positivo el del movimiento del tren que emite el sonido. Su velocidad es la del foco emisor:

v

F = 72

km

h�

1 000 m

1 km�

1 h

3 600 s = 20 m/s

La velocidad del segundo es la del observador y se ha de considerar negativa, puesto que se mueve en sentido contrario a la del primero:

v

0 = –90

km

h�

1 000 m

1 km�

1 h

3 600 s = –25 m/s

a) Mientras los trenes se aproximan antes de cruzarse, hemos de considerar las ondas que el primer tren emite hacia delante, es decir, en el sentido de su movimiento, que es el positivo. Por lo tanto, la velocidad de propagación de las ondas es: v = 340 m/s. Despejando en la ecuación del efecto Doppler la frecuencia que percibe el observador, tenemos:

v

0 = v

F�

v – v0

v – vF

= 576 Hz �[340 – (–25)] m/s

(340 – 20) m/s = 576 Hz �

365

320 = 657 Hz (v

0 > v

F)

b) Cuando los trenes se hayan cruzado, la única velocidad que habrá cambiado de sentido es la de las ondas, que entonces serán las que emite el primer tren hacia atrás. Por lo tanto, hacemos v = –340 m/s. Así se obtiene:

v

0 = v

F�

v – v0

v – vF

= 576 Hz �[–340 – (–25)] m/s

(–340 – 20) m/s = 576 Hz �

–315

–360 = 504 Hz (v

0 < v

F)

E J E M P L O

46


28 | Reflexión del sonido. Eco y reverberación

El sonido, por ser un movimiento ondulatorio, tiene la propiedad de reflejar-se en los obstáculos.

La reflexión de las ondas sonoras es la causa del eco o la resonancia que se produce cuando emitimos un sonido, se refleja en una superficie y vuel-ve a nosotros. Este fenómeno se llama eco únicamente cuando el oído es capaz de distinguir el sonido reflejado del emitido. Para ello han de trans-currir 0,1 s, como mínimo, entre las percepciones de ambos sonidos. En 0,1 s el sonido recorre 34 m, ya que su velocidad en el aire es de 340 m/s. Para que el sonido recorra una distancia superior a 34 m en su camino de ida y vuelta, el obstáculo donde se refleja ha de estar a más de 17 m.

Cuando el obstáculo se encuentra a menos de 17 m del observador, el oído no puede diferenciar claramente el sonido reflejado del emitido y tiene la sensación de que el sonido se ha alargado. Este efecto se denomina reverberación.

Cuando las ondas sonoras se reflejan en un obstáculo, este absorbe parte de su energía, con lo que el sonido pierde intensidad. Después de varias reflexiones ya no es perceptible. Algunos materiales, especialmente los porosos, tienen la propiedad de amortiguar mucho las ondas sonoras que se reflejan en ellos. Por este motivo, cuando se quiere amortiguar la rever-beración de un local, que puede ser muy molesta, se recubren sus paredes con esa clase de materiales.

El eco de las ondas ultrasónicas se utiliza en el sonar (Fig. 62) para determi-nar la distancia a la que se encuentra el obstáculo en el que se reflejan.

También algunas máquinas fotográficas emiten ultrasonidos que, después de reflejarse, son captados por la máquina, que enfoca automáticamente el objetivo a distancia del objeto donde se han reflejado.

En medicina se utilizan ultrasonidos para obtener imágenes (ecografías) de los órganos internos del cuerpo humano que, según su naturaleza, reflejan o absorben en diferente medida las ondas ultrasónicas.

29 | La percepción del sonido

Recordemos que la intensidad de una onda tridimensional en un punto es la potencia por unidad de superficie, perpendicular a la dirección de propa-gación, que llega a una determinada distancia del foco emisor. Se mide, por lo tanto, en vatios por metro cuadrado en el SI.

El oído humano es capaz de apreciar un amplio margen de intensidades sono-ras, que van desde un valor muy pequeño, de unos 10–12 W/m2, considerado el umbral de audición (aunque muchas personas ya no son capaces de apre-ciar sonidos de intensidades tan pequeñas), hasta valores de 1 W/m2 (que en la mayoría de las personas produce una sensación de dolor).

La sonoridad o el nivel de la sensación que una onda sonora produce a un oyente no es medible, ya que se trata de la percepción subjetiva de una per-sona. Es evidente que la magnitud de la sensación percibida crece cuando aumenta la intensidad de la onda, pero no lo hace en la misma proporción.

Por ello se define una magnitud física del sonido llamada nivel de intensi-dad, que para toda onda de una forma y frecuencia invariables se considera aproximadamente proporcional a la magnitud de la sensación que produce en una persona.

62. El sonar es un instrumento que se utiliza en los barcos para conocer la profundidad del fondo marino o de los cuerpos que se encuentran bajo la superficie del agua. El sonar emite ultrasonidos que se reflejan en el fondo o en cualquier obstáculo. Se puede determinar la distancia de la superficie al cuerpo en el que se reflejan las ondas midiendo el tiempo que tarda en captarse el eco.

47


El nivel de intensidad de una onda se designa por la letra β y se define como:

donde Ι es la intensidad de la onda y el valor de Ι0 es 10–12 W/m2, que se considera la intensidad mínima (umbral de audición) para que un sonido pueda ser percibido por el oído humano.

El nivel de intensidad de las ondas se expresa en decibelios (dB). Su nom-bre indica que el decibelio es la décima parte del belio, al que se asignó ese nombre en honor al inventor y logopeda Alexander Graham Bell.

Observa que el quebrado Ι/Ι0, que aparece en la igualdad anterior, es el cociente entre dos valores de una misma magnitud, por lo tanto, no tiene dimensiones físicas, es decir, no se puede expresar en función de las mag-nitudes fundamentales del sistema de unidades; es simplemente un núme-ro. El nivel de intensidad, β, es 10 veces el logaritmo de ese número, por lo que también es un número sin dimensiones. El nivel de intensidad sono-ra que corresponde al umbral de audición es:

Mientras que el correspondiente a la intensidad que produce una sensa-ción dolorosa, 1 W/m2, es:

β = 10 log 1

10–12 = 10 log 1012 = 10 �12 = 120 dB

Fuente de sonido Intensidad W/m2 dB Sensación

Respiración normal 10–11 10 Casi inaudible

Susurro de hojas de árbol 10–10 20 Muy suave

Conversación en voz baja (a 5 m) 10–9 30 Silencioso

Biblioteca pública con personas estudiando 10–8 40 Suave

Oficina tranquila 10–7 50 Moderado suave

Conversación normal (a 1 m) 10–6 60 Moderado fuerte

Tránsito intenso (calle ciudad) 10–5 70 Fuerte

Fábrica de tipo medio 10–4 80 Muy fuerte

Camión pesado (a 10 m) 10–3 90 Si es continuado, peligro de sordera

Modelo antiguo de vagón de metro 10–2 100 Demasiado fuerte

Ruido de la construcción 10–1 110

Concierto de rock con amplificadores (a 2 m) 1 120 Umbral de dolor

Martillo neumático 10 130 Doloroso

Despegue de un reactor (cercano) 103 150

Motor de cohete (cercano) 106 180 Muy doloroso

En la tabla se puede observar fácilmente que, cada vez que la intensidad del sonido se multiplica por 10, el nivel de intensidad aumenta 10 dB. Si la intensidad de un sonido crece en progresión geométrica, su nivel de intensidad, que representa aproximadamente la intensidad de la sensación que percibe un oyente, aumenta en progresión aritmética.

48


30 | La contaminación acústica

La actividad humana, la industrialización, los vehículos de motor, las aglo-meraciones de las grandes ciudades, etc. llegan a producir unos niveles de ruido tan elevados que son peligrosos para la salud de las personas que los sufren. En las últimas décadas, la sociedad moderna se ha preocupado de la cuestión, a la que ha dado el calificativo de contaminación acústica. Es una de las consecuencias negativas que conlleva el progreso. Para que el progreso lo sea realmente, deben adoptarse medidas para paliar y, a ser posible, eliminar estos efectos negativos no deseados. Esta contaminación sonora es la causa de que solamente el 1 % de la población pueda percibir los sonidos de nivel muy próximo al umbral de audición.

Desde hace un tiempo, la preocupación por la contaminación acústica ha ido en aumento, la conciencia social sobre el problema ha ido creciendo a medida que lo hacía el ruido. Los organismos competentes han establecido normativas y disposiciones tendentes a prevenir el aumento de ruidos y a corregir los excesos ya existentes.

Las autoridades locales han elaborado ordenanzas municipales en las que se establecen los niveles máximos de ruidos admitidos y los criterios de prevención de tales ruidos en los diversos ámbitos de aplicación: en la plani-ficación urbana, en las construcciones, en el comportamiento de los ciuda-danos en las viviendas y en la vía pública, en los trabajos realizados en las vías públicas, en los producidos por vehículos de motor, en los que son con-secuencia de actos, celebraciones y manifestaciones públicas, etc.

Estas normativas, en los países que forman parte de la Unión Europea, se basan en las directivas que a tal efecto establecen los órganos competen-tes de la Unión. Se han desarrollado directivas pormenorizadas para todo tipo de ruidos: los de vehículos de motor, los procedentes de máquinas y materiales utilizados en las obras de construcción, los de aeronaves sub-sónicas, motocompresores, grúas torre, grupos electrógenos de soldadura y de potencia, de los trituradores de hormigón, martillos picadores a mano, de las cortadoras de césped, de los aparatos domésticos, de las palas hidráulicas o de cables o de las topadoras frontales, de las cargadoras y de las palas cargadoras, etc.

Por citar un ejemplo, la normativa del ruido de motores de vehículos automóvi-les de motor establece unos límites máximos de nivel de intensidad sonora que van desde los 77 dB, de límite máximo, para algunas motocicletas y vehícu-los de cuatro ruedas para el transporte de pasajeros hasta los 93 dB, de límite máximo, para los tractores agrícolas de potencia superior a los 200 CV.

Si comparamos estos valores máximos con los de la tabla anterior, vemos que se encuentran en la franja de ruido molesto e incluso peligroso para la salud. No obstante, estos son los valores máximos permitidos, y lo habitual debería ser una emisión de ruidos mucho más moderada.

Las normativas y directivas, tendentes a la prevención de la contaminación acústica, no bastan para conseguir esta moderación en la emisión de los ruidos. Hay que llevar a cabo una toma de conciencia del riesgo que aquella representa para la salud personal. A partir de aquí, el siguiente paso es edu-car a las personas en el respeto hacia los demás y en la moderación en el uso de todo tipo de máquinas y motores que pueden producir ruidos de nive-les elevados y perniciosos. Este paso está pendiente. Quizás a través de muchas llamadas de atención se pueda conseguir esta toma de conciencia.

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R E S U M E NFenómenos periódicos | 1

Contenido básico de la unidad en formato hipermedia, en el CD.

Período, T, de un fenómeno periódico es el tiempo que dura cada ciclo de dicho fenómeno.

Frecuencia (ν = 1/T) es el número de ciclos por unidad de tiempo. Se expresa en hertzios (1 Hz = 1 ciclo/s).

Movimiento vibratorio armónico simple (m. v. a. s.) es el movimiento rectilíneo cuya aceleración es directamente proporcional a la distancia del móvil a un punto fijo, O, y está dirigida hacia dicho punto.

Elongación, x, de un m. v. a. s. es la distancia del móvil a la posición de equilibrio (punto O).

Amplitud, A, de un m. v. a. s. es su elongación máxima.

Ecuación del m. v. a. s.: x = A sen (ω t + ϕ0), donde ω t + ϕ0 = ϕ , que se llama fase o ángulo de fase.

Frecuencia angular (ω) es el incremento de fase por unidad de tiempo: ω = Δϕ/Δx = 2π/T = 2π ν.

Velocidad del m. v. a. s.: v = ω A cos (ω t + ϕ0). Es máxima en la posición de equilibrio: ⎜v ⎜máx. = ω A.

Aceleración del m. v. a. s.: a = –ω2 A sen (ω t + ϕ0) = = –ω2 x. Es máxima en los extremos: ⎜a ⎜máx. = –ω2 A.

Fuerza en el m. v. a. s.: la fuerza resultante sobre el móvil es: f = –m ω2 x = –k x, siendo k = –m ω2.

Energía del m. v. a. s.: es E = ½ k A2.

Longitud de onda, λ, es la distancia entre dos puntos consecutivos de una onda que están en igual fase.

La velocidad de propagación de una onda es:v = λ/T = λ � ν.

Número de onda, k, es el retraso del ángulo de fase por unidad de longitud en la dirección y el sentido de la propagación de la onda: k = –Δϕ/Δx = 2π/λ. Se expresa en radianes por metro (rad/m).

La ecuación de una onda armónica es: y = A sen (ω t – k x + ϕ0 )

Intensidad de una onda (Ι) es la energía que trans-mite por unidad de tiempo y por unidad de superfi-cie perpendicular a su dirección de propagación: Ι = ΔE/(Δt � Sn). Se expresa en W/m2.

Intensidad de una onda esférica emitida por un foco de potencia P: Ι = P/4 π r2 (r = distancia al foco).

Principio de Huygens: los puntos de todo frente de ondas emiten ondas circulares secundarias, cuya envolvente constituye un nuevo frente de ondas.

Reflexión es la desviación del rayo al chocar con la superficie de un medio en el que no penetra.

Leyes de la reflexión: 1. El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie en que se refle-ja están en un mismo plano. 2. El ángulo de inciden-cia es igual al ángulo de reflexión.

Refracción es la desviación del rayo al pasar de un medio donde su velocidad es v1 a otro donde es v2.

Leyes de la refracción: 1. El rayo incidente, el refractado y la normal a la superficie en que se refracta están en un mismo plano. 2. Los ángulos de incidencia, i, y refracción, r, cumplen: sen i/sen r = v1/v2.

Difracción es la alteración del frente al atravesar las ondas una rendija estrecha, chocar con un pequeño objeto o rozar el borde de un obstáculo.

Interferencia es la combinación de los efectos de dos o más ondas al afectar simultáneamente a un mismo punto del medio en que se propagan.

La inter ferencia de dos ondas armónicas, de igual amplitud y longitud de onda, que se propagan en la misma dirección y en sentidos opuestos produce una onda estacionaria.

Ecuación de una onda estacionaria: y = 2A cos (k x) sen (ω t), donde A es la amplitud de cada onda.

En la onda estacionaria, cada punto vibra con dife-rente amplitud (Ar = 2A cos k x). Los puntos que no vibran (Ar = 0) se llaman nodos y los que vibran con máxima amplitud (Ar = 2A), vientres o antinodos.

El efecto Doppler consiste en que, cuando hay movimiento relativo de un foco emisor de ondas con respecto a un observador, la frecuencia ν0 que este percibe es diferente de la νF emitida por el foco.

Si v, vF y v0 son las velocidades del sonido, el foco y el observador: (v – v0)/ν0 = (v – vF)/νF.

El nivel de intensidad, β, de una onda es β = 10 log (Ι/Ι0), donde Ι es la intensidad del sonido e Ι0, la intensidad mínima audible (10–12 W/m2). Es un número sin dimensiones y se expresa en decibe-lios (dB).

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A C T I V I D A D E S1 | Fenómenos periódicos

Fenómenos periódicos

1 Si un fenómeno periódico se repite cada 0,025 s, ¿cuáles son los valores de su perío-do y su frecuencia? ¿Cuántas veces se pro-ducirá dicho fenómeno en 2 min?

2 Un cortometraje de 10 min de duración con-tiene 14 400 fotogramas. Calcula la frecuen-cia de proyección de los fotogramas y el correspondiente período.

3 ¿Cuáles son los valores del período y la fre-cuencia del movimiento de rotación de la Tierra? ¿Y los de su movimiento de trasla-ción alrededor del Sol?

Parámetros del m. v. a. s.

4 Determina la amplitud, la frecuencia angular y la constante de fase de los tres m. v. a. s. cuyas gráficas x – t aparecen en la figura.

0

20

–20

t/s

x/cm

10 20 30 40

0

20

–20

t/s

x/cm

10 20 30 40

0

20

–20

t/s

x/cm

10 20 30 40

5 Si un fenómeno se repite periódicamente cada medio minuto, ¿qué frecuencia angular posee? ¿Qué valor tiene el ángulo de fase 5 s después de comenzar uno de los ciclos del fenómeno? ¿Al cabo de cuánto tiempo de iniciarse un ciclo el ángulo de fase es de 5n/3 rad?

6 Las aspas de un ventilador giran con veloci-dad angular constante de 30π rad/s. Calcula:

a) Su frecuencia.

b) Su período.

c) El incremento que experimenta el ángulo de fase en 0,05 s.

m. v. a. s. (cinemática)

7 Escribe las ecuaciones de los tres m. v. a. s. cuyas gráficas aparecen en la actividad 4.

8 El período de un m. v. a. s. es de 0,2 s y su amplitud, de 15 mm. En el instante t = 0, el móvil pasa por la posición de equilibrio des-plazándose en sentido negativo. Expresa su elongación, velocidad y aceleración en fun-ción del tiempo.

9 Determina la ecuación de un m. v. a. s. de 8 mm de amplitud y 5 Hz de frecuencia. Halla la ecuación de otro m. v. a. s. de iguales características, que esté con respecto al anterior:

a) Adelantado un cuarto de ciclo.

b) Retrasado 0,04 s.

c) En fase opuesta.

10 Las elongaciones de dos m. v. a. s. en fun-ción del tiempo en segundos son:

x1 = 0,3 sen [π (8 t – 0,2)] cm y x2 = 0,3 sen [π (8 t + 0,4)] cm

Expresa, en ciclos y en segundos, el adelanto del segundo respecto del primero.

11 La ecuación de un m. v. a. s. es: x = 6 sen (5 t + ϕ0), donde t es el tiempo en segundos y x, la elongación en centímetros.

51


DIFICULTAD: SENCILLA MEDIA ALTA SIN CLASIFICAR

Determina la elongación y la velocidad del móvil en el instante t = 0 si:

a) ϕ0 = 0

b) ϕ0 = π/3 rad

c) ϕ0 = π/2 rad

d) ϕ = π rad

e) ϕ0 = 3 π/2 rad

12 La elongación de un m. v. a. s. en función del tiempo en segundos es: x = 2 sen (20 π t) cm. Determina su amplitud, frecuencia, período, velocidad máxima y aceleración máxima.

13 La ecuación de un m. v. a. s. es: x = 12 cos (4 π t + π/6), donde x se supone expresado en centímetros y t, en segundos. Calcula el valor absoluto de su velocidad y su aceleración en la posición de equilibrio y en los extremos de la vibración.

14 La ecuación de un m. v. a. s. es: x = 3 sen (600 t + π/4) (x en centímetros, t en segundos). Calcula su elongación, veloci-dad y aceleración en el instante t = 0.

Escribe la expresión de todos los instantes en los que el móvil pasa por su posición de equilibrio.

15 En el m. v. a. s. de ecuación x = 4 sen 10 t cm, ¿cuál es el valor de la aceleración en el ins-tante en el que la elongación es de 3 cm?

16 Una partícula se desplaza con m. v. a. s. de amplitud A = 1 cm y frecuencia ν = 8 Hz. Calcula su velocidad y su aceleración en el instante en el que tiene una elongación de x = 6 mm.

17 La abscisa de un móvil en función del tiempo en segundos está dada por la ecuación:

x = 6 sen (50 t) + 8 cos (50 t) cm.

Expresa su aceleración en función del tiempo y demuestra que su movimiento es vibratorio armónico simple.

18 La velocidad de un m. v. a. s. en función del tiem-po en s es: v = 0,36 π sen [π (24 t + 1)] m/s.

a) Determina la frecuencia y la amplitud de este movimiento.

b) Expresa la elongación del móvil en función del tiempo.

19 Un móvil posee m. v. a. s. de forma que, cuando su elongación es nula, su velocidad es de 1 m/s y, cuando su elongación es de 5 cm, su velocidad es nula. Escribe la ecua-ción de dicho movimiento.

20 Calcula la frecuencia de un m. v. a. s. de 4 cm de amplitud, sabiendo que su veloci-dad es de 6 π m/s en el instante en el que su elongación es de 7 cm.

21 La aceleración en m/s2 de un m. v. a. s. en función de su elongación en centímetros es a = –256 x. Expresa esta aceleración en fun-ción del tiempo, sabiendo que la amplitud de la vibración es de 2,5 cm. Considera nula la constante de fase.

m. v. a. s. (dinámica)

22 Calcula la máxima fuerza que actúa sobre un cuerpo de 20 g de masa que posee un m. v. a. s. de 4 mm de amplitud y 300 Hz de frecuencia.

23 Un cuerpo de masa m = 80 g oscila vertical-mente con m. v. a. s. de amplitud A = 10 cm, colgado de un muelle de constante elástica k = 20 N/m. Expresa su elongación en fun-ción del tiempo. Determina la fuerza que ejerce el muelle cuando el móvil pasa por:

a) El punto más alto.

b) La posición de equilibrio.

c) El punto más bajo.

24 Un muelle en hélice se alarga 40 cm al col-gar de él un cuerpo de 150 g de masa. Calcula el período de sus oscilaciones si se tira de este 3 cm hacia abajo y se suelta. Escribe la ecuación de su movimiento vibra-torio considerando t = 0 en el instante en el que se suelta el cuerpo y adoptando el senti-do hacia arriba como positivo.

25 Un cuerpo de 250 g de masa oscila vertical-mente colgado de un muelle en hélice de 30 cm de longitud. Se observa que el cuerpo emplea 6 s en realizar 10 oscilaciones com-pletas. Calcula la constante elástica del

52


31 De un muelle colgado verticalmente se sus-pende un cuerpo de masa m = 200 g. Cuando queda en equilibrio, se observa que el muelle se ha alargado 5 cm. Considerando nula su energía potencial gravitatoria en dicha posición y g = 9,8 m/s2, calcula:

a) La energía mecánica de este oscilador armónico cuando está en reposo en la posición de equilibro.

b) Su energía mecánica al pasar por esa misma posición cuando se lo hace oscilar verticalmente con un m. v. a. s. de ampli-tud A = 3 cm.

c) La energía del citado m. v. a. s.

¿Qué relación existe entre los resultados de las tres preguntas?

Propagación de las ondas

32 Una onda armónica, que se propaga con una velocidad de 50 m/s, posee una longitud de onda de 40 cm. Determina el período del m. v. a. s. que transmite.

33 La longitud de onda de la nota musical la en el aire es de 0,773 m. ¿Cuáles son su fre-cuencia y su longitud de onda en el agua? La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s y en el agua es de 1,44 km/s.

34 Una onda propaga un m. v. a. s. de frecuen-cia angular 12 π rad/s. La distancia entre dos puntos consecutivos que vibran en fase opuesta es de 2,5 cm. Calcula la velocidad de propagación de la onda.

35 Un tren de ondas producido en el borde de una piscina tarda 4 s en llegar al borde opuesto, situado a 12 m de distancia. La separación entre las crestas sucesivas de la onda es de 4 cm. Calcula la frecuencia del movimiento vibratorio que se propaga en la superficie del agua.

36 La onda representada en la figura emplea 0,2 s en transmitirse desde el punto A hasta el B. Calcula:

a) Su velocidad de propagación.

b) Su período.

muelle y su longitud cuando el citado cuerpo está colgado de este en reposo.

26 La escala de un dinamómetro está graduada en newtons. Desde el trazo del 0 hasta el del 20 hay una distancia de 10 cm. Se hace oscilar, con una amplitud de 1 cm, un cuerpo de 800 g de masa colgado del muelle del dinamómetro. Calcula la frecuencia de las oscilaciones y determina entre qué valores varía la fuerza que realiza el dinamómetro. Considera g = 10 m/s2.

27 Se tira de un cuerpo de 100 g, suspendido de un muelle, hasta que desciende 10 cm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta. Se observa entonces que oscila con un período de 2 s. Calcula:

a) Su velocidad al pasar por la posición de equilibrio.

b) La fuerza que hace el muelle en dicho instante.

c) Su aceleración cuando está 5 cm por enci-ma de dicha posición.

28 Un cuerpo de 200 g de masa, que se mueve a lo largo de un eje Ox, pasa por el origen de coordenadas con una velocidad de 10 m/s en sentido positivo. Sobre él actúa una fuerza F = –40x N, donde x es la abscisa del móvil en metros. ¿Qué clase de movimiento tendrá?

Calcula la máxima distancia del origen de coor-denadas a la que llegará.

m. v. a. s. (energía)

29 Calcula la energía del m. v. a. s. de un cuer-po de masa m = 500 g que vibra verticalmen-te con una amplitud de A = 4 cm y una fre-cuencia de ν = 0,6 Hz.

30 Un cuerpo de 2 kg está colgado de un mue-lle. Al añadirle una masa adicional de 20 g, el muelle se alarga 2 cm más. Cuando el cuerpo está en reposo en estas condiciones, se quita la masa adicional.

a) Determina con qué frecuencia vibrará.

b) Calcula la energía de este movimiento vibratorio.

53


c) Su frecuencia.

d) Su frecuencia angular o pulsación.

0 1 2 3 4 5cm

A B

37 En la figura se ha representado el per fil de una onda armónica de 8 Hz de frecuencia que se propaga en el sentido indicado por la flecha. Determina:


b) El tiempo que tarda en propagarse desde A hasta B.

c) La diferencia de fase entre A y B.

AB

0 1 2 3 4 5 6cm

38 Una onda armónica de 200 Hz de frecuencia se desplaza sobre el eje Ox con una veloci-dad de 24 m/s. ¿Cuál es la diferencia de fase entre los puntos de abscisa x = 0,8 m y x = 0,9 m?

Ecuación de una onda armónica

39 La ecuación de una onda armónica es y = 0,6 sen (20 π t – 4 π x) cm. Determina: la amplitud de vibración, la frecuencia, la longi-tud de onda y la velocidad de propagación.

40 Escribe la ecuación de una onda armónica, de 4 cm de amplitud y 40 cm de longitud de onda, que se propaga con una velocidad de 300 m/s en sentido positivo. ¿Cuál sería

la ecuación si el sentido de propagación de la onda fuese el negativo?

41 La elongación en centímetros de las partícu-las de una onda armónica, en función del tiempo en segundos y de su abscisa en metros, es y = 10 sen [π (50 t – x)].

a) Calcula la velocidad de propagación de esta onda.

b) ¿Cuál es la distancia mínima entre dos puntos de la onda cuya diferencia de fase es de π/2 rad? ¿Cuánto tarda la onda en propagarse esa distancia?

c) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la fase en un punto varíe π/2 rad? ¿Qué distancia se propaga la onda en dicho tiempo?

42 La ecuación de una onda armónica es y = 2 sen [π (150 t – 25 x)], donde y se expre-sa en milímetros, t en segundos y x en metros. Calcula:


b) La velocidad máxima de vibración de las partículas.

43 La ecuación de una onda armónica es y = 2 sen (157 t – 25,12 x), donde y debe expresarse en milímetros, t en segundos y x en centímetros. Calcula su velocidad de propagación.

44 El m. v. a. s. cuya ecuación en unidades del SI es y = 0,02 sen (50 π t) se propaga con una velocidad de 40 m/s a lo largo de una línea recta. Escribe la ecuación de la onda.

45 Halla a qué distancia se propaga en 1 min la onda cuya ecuación en unidades del SI es:

y = 0,05 cos [2π (120 t + 3 x)]

Intensidad de una onda

46 Una onda procedente de un foco puntual de 20 W de potencia se propaga en un medio homogéneo e isótropo. Calcula la intensidad de onda a 5 m, 10 m y 20 m del foco.

47 Un foco puntual emite ondas esféricas. Una placa plana de 20 cm2 se coloca a 50 m del

54


continuas representan las crestas de las ondas en un instante determinado y las dis-continuas, los valles.

a) ¿Qué tipo de inter ferencia se produce en los puntos A, B, C y D?

b) Dibuja una hipérbola de nodos y otra de vientres.

F2F1

B

C

D

A

53 Dos ondas de amplitud A, período 0,12 s y longitud de onda 30 cm se propagan en la misma dirección y sentido.

La onda resultante de su inter ferencia tiene también amplitud A.

Calcula la mínima diferencia que para ello ha de haber entre ambas ondas en relación a:

a) La fase en radianes.

b) La posición en centímetros.

c) El tiempo en segundos.

54 Dos focos puntuales, situados en la super-ficie del agua a 8 cm de distancia uno de otro, emiten simultáneamente ondas circula-res de la misma amplitud, fase y longitud de onda. Si dicha longitud de onda es de 12 mm, ¿cuántas hipérbolas de vientres se formarán si inter fieren las ondas proceden-tes de los dos focos?

55 Dos focos puntuales situados a 20 cm uno de otro en la superficie del agua emiten ondas circulares de igual amplitud, frecuencia y fase. La velocidad de propagación de dichas ondas es de 60 cm/s y su frecuencia, de 20 Hz. ¿Qué pasará si ambas ondas

foco perpendicular a la dirección de propaga-ción de las ondas. En 3 min llegan a dicha superficie 5 000 J de energía. Calcula:

a) La intensidad de la onda en la posición donde está la placa.

b) La potencia del foco.

48 Un foco puntual emite ondas que se pro-pagan en tres dimensiones en un medio homogéneo e isótropo. A una distancia de 5 m del foco, la intensidad de la onda es de 0,6 W/m2. Calcula:

a) La potencia del foco.

b) La intensidad de la onda a 12 m del foco emisor.

49 Las ondas procedentes del Sol tienen, al lle-gar a la Tierra, una intensidad de 1 350 W/m2 aproximadamente. Calcula la potencia del Sol como foco emisor de ondas.

La distancia de la Tierra al Sol, 150 millones de kilómetros.

Interferencia de ondas

50 Dos ondas armónicas de amplitud 4 cm y frecuencia 50 Hz se transmiten en el mismo sentido a lo largo de una recta con una velo-cidad de 15 m/s. Una de ellas está retrasa-da 5 cm con respecto a la otra. Determina:

a) La diferencia de fase entre ambas ondas.

b) Sus ecuaciones.

c) La ecuación de la onda que resulta al inter ferir las dos anteriores.

51 Las ecuaciones de dos ondas son:

y1 = 0,1 � sen [π (80 t – 5 x)] y y2 = 0,1 � sen [π (80 t – 5 x – 0,5)],

para y1 e y2 en metros. Si se transmiten en la misma dirección y sentido, ¿qué amplitud ten-drá la onda resultante de su interferencia?

52 Los puntos F1 y F2 de la figura son dos focos que emiten ondas circulares que se propa-gan en una superficie plana. Las líneas

55


interfieren en un punto situado a 20 cm de un foco y a 12,5 cm del otro? ¿Y en un punto situado a 30 cm de un foco y 24 cm del otro? ¿Cuántas hipérbolas de nodos se formarán?

Ondas estacionarias

56 A lo largo de una cuerda de 0,8 m de longitud sujeta por los dos extremos se propaga una onda armónica de 25 Hz de frecuencia y se forman ondas estacionarias. Se observa que en esta se producen cinco nodos (dos de estos son los extremos de la cuerda). ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda armónica por esta cuerda? Si la ampli-tud de oscilación máxima en los puntos del modo normal de vibración es de 5 cm, escri-be una ecuación para dicha onda estaciona-ria. ¿Con qué amplitud oscilaban las ondas que han originado este modo de vibración?

57 En una cuerda se propaga una onda armónica de 40 Hz de frecuencia y con una velocidad de propagación de 5 m/s. Si se forman ondas estacionarias al reflejarse la onda en un extre-mo de la cuerda, ¿cuál será la distancia entre dos nodos consecutivos? ¿Cuál es la longitud de esta cuerda si en esta se ha producido su segundo modo normal de vibración?

58 En un instrumento musical de viento, las frecuencias de los tres primeros modos nor-males de vibración son 440, 1 320 y 2 200 Hz. Si tomamos 340 m/s como la velocidad del sonido en el aire:

a) ¿Cómo tiene los extremos este tubo sono-ro: abiertos, cerrados o uno de cada?

b) Calcula la longitud del tubo.

59 Calcula las frecuencias que generarán armó-nicos en un tubo de 112 cm de longitud abierto por ambos extremos. Supón que la velocidad del sonido es de 340 m/s.

60 La ecuación de una onda armónica que se propaga por una cuerda, expresando sus parámetros en unidades del SI, es: y1 = 0,03 sen (120 π t – 2,5 π x)

Esta onda interfiere con otra de iguales ampli-tud, frecuencia y longitud de onda, que se propaga en sentido contrario.

a) Escribe las ecuaciones de la segunda onda y de la onda estacionaria que se forma.

b) Determina la amplitud y la distancia entre nodos de la onda estacionaria.

c) Si la cuerda mide 1 m y tiene fijos ambos extremos, ¿a qué armónico corresponde-rá la onda estacionaria que se produce?

61 En el aire del interior de un tubo de 1,8 m de longitud, cerrado por un extremo y abierto por el otro, se produce una onda estaciona-ria de amplitud 0,5 cm y frecuencia 425 Hz.

Sabiendo que la velocidad de propagación del sonido en el aire es de 340 m/s:

a) Escribe la ecuación de la citada onda estacionaria.

b) Determina cuántos nodos y cuántos vien-tres se forman en el interior del tubo.

Análisis armónico

62 Escribe los siete primeros términos de la ecuación de una onda en diente de sierra cuyo armónico fundamental tiene una fre-cuencia de 30 Hz y una amplitud de 5,04 cm (mira la Fig. 58 de esta unidad para saber cuáles han de ser la amplitudes de los suce-sivos armónicos).

63 El espectro de frecuencias de un sonido for-mado por cuatro armónicos es el que se puede ver en la figura adjunta.

Escribe su ecuación como suma de los cuatro armónicos.

0,2

0

0,4

0,6

0,8

A/cm

100 200 300 400 ν/Hz

56


64 En la figura 59 aparecen las gráficas de los sonidos de una flauta y una guitarra.

El tiempo total que corresponde a la porción de la onda representada en la grafica de la flau-ta es de 0,008 s y en la de la guitarra, de 0,005 s.

Di cuáles son las frecuencias en hertzios de los cuatro primeros armónicos emitidos por cada uno de los citados instrumentos.

65 Dibuja el espectro de frecuencias del sonido cuya ecuación para unidades del SI es:

y = 0,005 sen (150 π t) + 0,002 sen (450 π t) + + 0,001 sen (600 π t)

Efecto Doppler

66 Una fuente emite un sonido a una frecuencia de 440 Hz. La fuente se mueve a una veloci-dad de 90 km/h hacia el observador. Toma como velocidad del sonido 340 m/s.

a) ¿Qué frecuencia detecta el observador?

b) ¿Cuál es la longitud de onda entre la fuen-te y el observador?

67 Una sirena de una fábrica emite un sonido a 440 Hz. Un observador va en coche a una velocidad de 90 km/h hacia la fábrica.

a) ¿Con qué frecuencia oye el sonido de la sirena?

b) ¿Cuánto vale la longitud de onda del soni-do de la sirena entre el observador y la fábrica?

Dato: velocidad del sonido en el aire, 340 m/s.

68 Un tren pasa por una estación sin detenerse a una velocidad constante. Poco antes de llegar, el maquinista hace sonar el silbato. Un observador situado en la estación oye el piti-do a una frecuencia de 684 Hz. Después de cruzar la estación, el maquinista vuelve a hacer sonar el mismo silbato. Ahora, el mismo observador situado en la estación lo oye con una frecuencia de 602 Hz. Calcula la veloci-dad que lleva el tren y la frecuencia del silbato si la velocidad del sonido es de 340 m/s.

69 Desde un automóvil que va a 90 km/h se percibe un sonido emitido por otro vehículo que circula por la misma carretera en sentido contrario. Antes de cruzarse se percibe dicho sonido con una frecuencia de 500 Hz y des-pués, con una frecuencia de 300 Hz. Calcula la velocidad del segundo vehículo, sabiendo que el sonido se transmite a 340 m/s.

Nivel de intensidad acústica

70 ¿Cuál es el nivel de intensidad de un sonido que tiene una intensidad de 10–6 W/m2 (el sonido del teclado de un ordenador)? ¿Cuánto tendría que aumentar la intensidad de este sonido para que su nivel de intensi-dad fuese 5 dB mayor?

71 En un taller funciona constantemente una máquina que produce un ruido cuyo nivel de intensidad en la posición de los trabajadores más próximos a ella sea de 60 dB.

Se necesita duplicar la producción y se propone:

a) Sustituir la máquina por otra cuyo nivel de intensidad acústica sea un 20 % mayor.

b) Instalar junto a la máquina otra idéntica ella, con lo que se duplicaría la intensidad del sonido emitido.

Determina cuál de las dos propuestas es más conveniente desde el punto de vista de la higiene acústica.

72 Un altavoz, que emite ondas esféricas con igual intensidad en todas direcciones, está situado al aire libre de modo que un oyente no recibe ondas reflejadas en techos ni pare-des, sino solo las que proceden directamen-te del altavoz. Si el nivel de intensidad del sonido a 15 m del altavoz es de 75 dB, ¿a qué distancia de él hay que colocarse para percibir un nivel de únicamente 50 dB?

73 Un coro está formado por 40 cantantes. Si cada uno de ellos emite un sonido cuyo nivel de intensidad para un oyente es de 56 dB, ¿cuál será el nivel de intensidad de todo el coro?

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unidades del SI es y = 0,02 sen (60 π t). Esta vibración se propaga a lo largo de la cuerda con una velocidad de 4 m/s.

Escribe la ecuación de la onda armónica que se ha producido.

80 ¿Qué significa que la intensidad de una onda es de 20 W/m2?

Si P es la potencia del foco emisor de ondas y r, la distancia de un punto A a dicho foco, ¿cuándo se puede considerar que la intensi-dad de la onda en A es Ι = P/4 π r2?

81 Explica brevemente en qué consiste la difrac-ción de las ondas y pon un ejemplo.

Una onda de frecuencia 200 Hz se propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 5 m/s. Si se refleja en el extremo de la cuer-da y se producen ondas estacionarias, ¿cuál será la distancia entre dos nodos consecutivos?

82 En una cubeta de ondas se producen frentes de onda rectos, de frecuencia 200 Hz, que se propagan a 0,8 m/s en la superficie del agua.

a) Un obstáculo circular de 1 cm de diáme-tro, interpuesto en el camino de las ondas, ¿se comportará como un foco pun-tual emisor de ondas circulares a causa de la difracción? ¿Por qué?

b) En una barrera paralela al frente de onda hay dos aberturas de 1 mm que distan 1,5 cm una de otra. ¿Cuántas hipérbolas de nodos se formarán al inter ferir las ondas difractadas por ambas ranuras?

83 Dos focos puntuales separados 20 cm emi-ten ondas armónicas de amplitud 2 cm y período 0,02 s, que se propagan con una velocidad de 3 m/s.

Determina la amplitud de la vibración resul-tante en un punto situado:

a) A 40 cm de un foco y 25 cm del otro.

b) A 18 cm de un foco y 30 cm del otro.

c) A 10 cm de un foco y 23 cm del otro.

Cuestiones relativas a todos los apartados

74 La ecuación del m. v. a. s. es A sen (ω t + ϕ0).

Di el nombre de las magnitudes que están repre-sentadas por cada una de las letras que figu-ran en la ecuación. Indica cuáles de ellas son variables y cuáles son parámetros (es decir, constantes para cada m. v. a. s. concreto).

75 La fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo de masa m = 0,25 kg, que se despla-za sobre el eje Ox, es f = –20 x (para x en m y f en N). ¿Qué clase de movimiento tiene?

Expresa su abscisa en función del tiempo, sabiendo que su velocidad es nula en la posición x = O,3 m.

76 Un cuerpo de masa m = 2 kg oscila vertical-mente colgado de un muelle en hélice. Al pasar por el centro de su recorrido, ¿cuáles son los valores de la fuerza que ejerce el muelle y de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo? Razona la respuesta.

77 Dos cuerpos A y B de la misma masa oscilan con m. v. a. s. El cuerpo A lo hace con una amplitud de 4 cm y una frecuencia de 5 Hz y el B, con una amplitud de 3 cm y una fre-cuencia de 6 Hz. Determina cuál de ambos movimientos posee una energía mayor.

78 En la figura se ha representado el per fil de una onda que se transmite en la superficie del agua de izquierda a derecha.

Explica razonadamente si, en el instante repre-sentado en la figura, los puntos A, B, C y D se están desplazando hacia arriba o hacia abajo.

A BC

D

79 Se mueve el extremo de una cuerda aplicán-dole un m. v. a. s. cuya ecuación para

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84 Dos ondas armónicas de frecuencia 80 Hz, que se propagan en sentidos contrarios a 48 m/s, interfieren formando una onda esta-cionaria. ¿Qué distancia existirá entre un nodo y un vientre consecutivos?

85 Explica de qué propiedad de las ondas depende cada una de las cualidades del sonido.

86 ¿Dónde se producirán sonidos más agudos, en los instrumentos de viento de tubo corto o en los de tubo largo? Razona la respuesta y pon algún ejemplo en el que se verifique la solución correcta.

87 En el fondo del mar, ¿a qué distancia debería encontrarse un obstáculo en el que se refle-jan las ondas sonoras para que se pueda distinguir el eco?

Dato: velocidad del sonido en el agua, 1 440 m/s.

88 Un ciclista se desplaza por una carretera rectilínea a velocidad constante. En esta carretera hay dos coches parados, uno delante y otro detrás del ciclista. Los coches tienen el claxon idéntico, pero el ciclista oirá

los tonos (frecuencias) diferentes. ¿Cómo se denomina este efecto? ¿Qué coche le parecerá al ciclista que emite un sonido más agudo? Justifica la respuesta.

89 Un coche de bomberos hace sonar una sire-na que emite un sonido de frecuencia 500 Hz.

Si la velocidad del sonido es de 340 m/s, cal-cula su longitud de onda:

a) Cuando el coche está parado.

b) Delante del coche cuando circula a 90 km/h.

c) Detrás del coche cuando circula a 90 km/h.

90 En el espectro de un sonido se observa que las frecuencias de dos armónicos consecuti-vos son 1 260 Hz y 1 680 Hz. ¿Cuáles son las frecuencias de los cinco primeros armó-nicos? Razona la respuesta.

91 Un sonido A tiene un nivel de intensidad de 20 dB más que otro sonido B.

Compara las intensidades de ambos sonidos calculando cuántas veces es mayor la de A que la de B.

Unidad 1- Fenómenos periódicos

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