UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO

CURSO: MECANICA DE SUELOS II

PROFESOR: ING. PEDRO PABLO PALACIOS ALMENDRO

Email: ppalaciosa1@upao.edu.pe

Horarios: Viernes: 7:50 p.m. – 9:35 p.m. (teoría)Sábado: 10:40 a.m. – 02:15 p.m. (práctica y laboratorio)

UNIDAD 01: ESFUERZO CORTANTE, EMPUJE DE TIERRAS Y DISTRIBUCION DE

PRESIONES VERTICALES EN SUELOS

1.1. ESFUERZOS NORMAL Y CORTANTE SOBRE UN PLANO

Figura 1.1 (a) Un elemento de suelo sometido a esfuerzos normal y cortante; (b) diagrama de cuerpo libre de la parte EFB

𝜎 𝑦>𝜎 𝑥

𝐸𝐵=𝐸𝐹 cos𝜃

𝐹𝐵=𝐸𝐹 sin𝜃

Sumando las componentes de las fuerzas que actúan en la dirección N y T, tenemos:

De la ecuación anterior podemos escoger el valor de , por lo que para , se obtiene:

La solución de esta ecuación da dos valores de que están separados 90°. Esto significa que hay dos planos que forman un ángulo recto sobre los cuales el esfuerzo cortante es cero. Estos planos se llaman planos principales. Los esfuerzos normales que actúan sobre los planos principales son conocidos como esfuerzos principales y cuyos valores se encuentran reemplazando los valores de los ángulos principales en las ecuaciones de

CIRCULO DE MOHR

Convención de signos: Esfuerzo normal de compresión es positivo y los esfuerzos cortantes se consideran positivos si actúan en las caras opuestas del elemento de tal manera que tienden a producir una rotación anti horaria.

Los puntos R y M representan las condiciones de esfuerzos en los planos AD y AB, respectivamente. O es el punto de intersección del eje del esfuerzo normal con la línea RM. El circulo MNQRS con centro O y OR como radio es el Círculo de Mohr. Su radio es igual a:

𝑂𝑅=√[ (𝜎 𝑦−𝜎 𝑥)2 ]

2

+𝜏 𝑥𝑦2

El esfuerzo sobre el plano EF puede ser determinado rotando un ángulo (dos veces el ángulo que el plano EF hace en sentido antihorario con el plano AB) en una dirección antihoraria desde el punto M a lo largo de la circunferencia del Círculo de Mohr para llegar al punto Q. La abscisa y ordenada del punto Q, respectivamente, dan el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante sobre el plano EF.

Porque las ordenadas (esfuerzos cortantes) de los puntos N y S son cero, ellos representan los esfuerzos sobre los planos principales. La abscisa del punto N es igual a y la abscisa del punto S es .

Como un caso especial, si los planos AB y AD fueran de mayor y menor Planos principales, el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante en el plano EF podrían encontrarse sustituyendo . Entones: por lo que se tienes:

+ ( (

El Círculo de Mohr para tales condiciones de esfuerzo se muestra en la figura (b) mostrada a continuación.La abscisa y la ordenada del punto Q dara la esfuerzo normal y la esfuerzo de cizallamiento, respectivamente, en el plano EF.

En la Figura (a) elemento de suelo con AB y AD como mayores y menores planos principales; en la figura (b) el círculo de Mohr para el elemento de suelo que se muestra en (a).

Un elemento de suelo se muestra en la siguiente Figura. Las magnitudes de los esfuerzos son: , y a. Magnitudes de los esfuerzos principales. b. Esfuerzos normal y cortante sobre plano AB.

SOLUCIÓN: Parte «a»:

EJEMPLO – 01:

SOLUCIÓN: Parte «b»:

EJEMPLO – 01:

SOLUCIÓN: Parte «b»:

EJEMPLO – 01:

The Pole Method of Finding Stresses Along a Plane (MÉTODO DEL ORIGEN DE LOS PLANOS)

Otra técnica importante para encontrar los esfuerzos a lo largo de un plano de un círculo de Mohr es el método de origen de los planos.Esto se demuestra en la Figura «a», es el mismo elemento de estrés que se muestra en la Figura anterior; Figura «b» es el círculo de Mohr para las condiciones de tensión indicado.

Según el método de origen de planos, se dibuja una línea desde un punto conocido en el círculo de Mohr paralelo al plano en el que el esfuerzo actúa.El punto de intersección de esta línea con el círculo de Mohr se llama el polo. Este es un punto único para el estado de esfuerzo en consideración.Por ejemplo, el punto M en el círculo de Mohr en la figura «b» representa las tensiones en el plano AB.

La línea MP se dibuja paralela a AB. Así que el punto P es el polo (origen de planos) en este caso.Si tenemos que encontrar las tensiones en un avión EF, trazamos una línea desde el paralelo polo a EF.El punto de intersección de esta línea con el círculo de Mohr es Q. Las coordenadas de Q dara las tensiones en el plano EF. (Nota: A partir de la geometría, QOM ángulo es el doble el QPM ángulo.)

Para el elemento de suelo subrayado que se muestra en la Figura, determinar a. Tensión principal Mayor b. Esfuerzo principal menor c. Esfuerzos normal y cortante en el plano AEUse el método de orígenes de los planos.

EJEMPLO – 02:

EJEMPLO – 02:

SOLUCIÓN: Plano AD:

Plano AB:

El circulo de morh se presenta y se tiene lo siguiente:

Parte «a»:

Parte «b»:

Parte «c»:NP es la línea trazada paralela al plano de CD. «P» es el polo. PQ se dibuja paralela a AE. Las coordenadas del punto «Q» dan las tensiones en el plano AE. Por lo tanto: