Unid 2 - Matemáticas Financieras

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ANALISIS FINANCIERO - Prof. Jaime Rubina Bustamante 1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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INTRODUCCIÓNCon frecuencia una persona o empresa se enfrenta al problema: – ¿Qué hacer con cierto dinero?

– ¿Qué decidir entre alternativas mutuamente excluyente?

– ¿Cuál alternativa genera mayor rentabilidad o ganancia?

– ¿Cuál alternativa de financiamiento es la más económica?

– ¿Cómo comprobar que lo que me cobra una institución financiera es lo correcto?, etc.

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MATEMÁTICAS FINANCIERASConcepto

Constituyen un conjunto de herramientas, métodos y procedimientos que ayudan a la toma de decisiones, en materia de obtención y uso del dinero.

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PREMISAS O SUPUESTOS BÁSICAS

El administrador financiero al enfrentase a cualquier problema financiero, que implique tomar decisiones, deberá tener presente los siguientes aspectos básicos del dinero:

1. Costo de Oportunidad

2. Valor del Dinero en el Tiempo

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COSTO DE OPORTUNIDAD

Los beneficios que habría generado la mejor alternativa de aquellas descartadas, producto de la elección o decisión adoptada – Tomar de decisiones implica elegir entre varios cursos

alternativos de acción– Cada uno de ellos tienen sus beneficios y costos– Elegir uno significa desechar otro – El tomador de decisiones deberá elegir el curso de

acción que le permita obtener los mayores beneficios al mínimo costo

– Estos beneficios y costos pueden corresponder a aspectos cuantitativos como cualitativos

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Un peso de hoy tiene mayor valor que un peso de mañana. – Siempre es posible invertir el dinero, ya sea en un banco, en

fondos mutuos o inclusive prestárselo a alguna persona

– En cualquiera de los casos el dinero podrá generar mas dinero, es decir ganar intereses, que están en relación al tiempo de uso

– Luego, el dinero tiene distinto valor en el tiempo

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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

$ 100 $ 100 0 1mes

$ 100 $ 101

0 t = 1% mensual 1mes

t = tasa de interés

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INTERÉS• Se llama “Interés” a la cantidad de dinero

obtenida como resultado de depositar, invertir o pedir prestado, durante un cierto tiempo, una cantidad de dinero llamada “Capital”.

• Precio por unidad de tiempo que se aplica sobre una cantidad de dinero.

• Precio del dinero• Alquiler o rédito que se conviene pagar por un

dinero tomado en préstamo

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INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

• INTERÉS SIMPLE– Es aquel que se calcula (en períodos sucesivos)

sobre el mismo capital o monto inicial– Es aquel que no se capitaliza o agrega al

capital inicial para efectos de calcular el interés del período siguiente

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INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

• INTERÉS COMPUESTO– Corresponde a aquel interés que producido en

un período incrementa el capital inicial para efectos del cálculo del interés del período siguiente

– El capital inicial del período siguiente incluye los intereses generados en el período anterior

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INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO: Elementos y notación

• C: Capital, Principal, Valor inicial o presente (VP)

• I: Interés total obtenido en “n” períodos• t: Tasa de interés a aplicar, en tanto por %• i: Tasa en tanto por uno, t/100• n = Número de períodos de la inversión• S = M: Suma, Monto o Valor final (VF) al

cabo de “n” períodos

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INTERÉS SIMPLE: Cálculo del Interés

• Formula de cálculo: I = C * i * n • Nota: La tasa de interés “t” de un período se

expresa en tanto por ciento (cantidad de interés por cada $100 en un período), sin embargo para efectos de aplicar la fórmula se utiliza “i”, en tanto por uno (cantidad de interés por cada $1 en un período), para lo que es necesario dividir por 100 la tasa dada, ej.:Tasa dada (t): 5% (5 por cada $ 100)Aplicación en la fórmula: i = t/100 = 5:100 = 0,05

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INTERÉS SIMPLE: Cálculo del Interés

• Principio básico: En todo cálculo financiero en que se encuentre presente una tasa de interés y un período, se deberá establecer siempre una correspondencia entre ambos conceptos, de tal manera , que sí la tasa está expresada en días o meses, el período también deberá expresarse en días o meses.

• Debe existir por lo tanto, una relación días-días, meses-meses, años-años, etc., que será consecuencia de reducir la tasa en función del período, ó, el período en función de la tasa, según sean las condiciones de capitalización de los intereses.

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INTERÉS SIMPLE: Cálculo del Interés

Ejemplos: a.- t: 3,8 % mensual , luego i= t/100= 3.8/100= 0.038n: 35 días luego: I = C * 0,038 * 35 30b.- t: 9 % anualn: 36 mesesluego: I = C * 0,09 * 36 12

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INTERÉS SIMPLE. EjerciciosCalcule el interés producido por un depósito de $ 300.000, durante 5 meses, a una tasa de interés mensual simple de 2%Planteamiento:C = $300.000t = 2% mensual, i: 0,02n = 5 mesesI = ?

Desarrollo:I = C*i*nI = 300.000*0.02*5I = 30.000

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INTERÉS SIMPLEPráctica comercial sobre el tiempo.

• Para expresar la tasa de cada período, se puede utilizar el año comercial, es decir de 360 días, con período mensual de 30 días, ó el año real, es decir de 365 ó 366 días.

• Los cálculos reales consideran el tiempo efectivamente trascurrido, por lo que se debe dividir la tasa por el número de días del período base (año o mes normalmente) y se multiplica por el número de días efectivos.

• Existen tablas que permiten calcular los días que transcurren entre dos fechas. • Cuando se utiliza la tabla, se debe agregar un día en los años bisiestos, siempre

y cuando el 29 de Febrero esté entre las fechas que se calcula el tiempo.• Para calcular el número de días transcurrido entre dos fechas, se excluye el

primer día y se incluye el último del período• Si el pacto o acuerdo de inversión o ahorro establece el período en meses, años

o días, se debe calcular como tales, es decir:– 4 meses a partir del 15 de Abril, vencerán el 15 de Agosto. – 3 años a partir del 3 de enero 2002, vencerán el 3 de Enero de 2005– 30 días a partir del 15 de Agosto, vencerán el 14 de Septiembre– 30 días a partir del 15 de Junio, vencerán el 15 de Julio

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INTERÉS SIMPLEDeterminación del tiempo

1 Calcule el tiempo transcurrido entre el 10/11/2001 y el 6/12/2001a.- Calculadora: 11 date 10 date 2001 date

- 12 date 6 date 2001 date= 26 díasb.- Tabla: 340 – 314 = 26 días2 Calcule el tiempo transcurrido entre el 10/11/2001 y el 06/03/2002a.- Calculadora: 11 date 10 date 2001 date

- 3 date 6 date 2002 date= 116 díasb.- Tabla: 10.11.2001 al 31.12.2001 365 – 314 = 51

01.01.2002 al 06.03.2002 = +65 116 días

3.- Calcule la fecha de vencimiento de un depósito que se efectúa el 15/04/2002 y se mantiene por 90 días

a.- Calculadora: 4 date 15 date 2002 date + 90 = 14 Julio 2002b.- Tabla : 105 + 90 = 195 -------- = 14 Julio 2002

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INTERÉS SIMPLECálculo del Monto o Valor final

• El monto corresponde a la suma del capital inicial más los intereses obtenidos en el tiempo de inversión o ahorro.S = C + I Reemplazando I = CinS = C + CinFactorizando por “C”, se obtiene:S = C(1 + in)

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FÓRMULAS DE INTERÉS SIMPLE

• S =C(1 + in); S=C+ Cin; S=C + I• Interés: de S=C+I; obtenemos: I = S - C

• Capital : de S=C(1+in), obtenemos: C = S (1+in)

• Tiempo : de S= C+Cin; obtenemos: n = S - C = I Ci Ci

• Tanto por uno: de S= C+Cin; i = S - C = I

Cn Cn

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INTERÉS SIMPLECálculo del monto o Valor final: ejemplos

1.- Calcule el Monto a interés simple de un Capital de $ 500.000, que se invierte a una tasa de 8% anual, durante 3 añosS = C(1+in)S = 500.000(1+ 0.08*3)S = 500.000(1+ 0.24)S = 500.000*1.24S = 620.000

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INTERÉS SIMPLECálculo del Monto o Valor final: ejemplos

2.- Calcule el monto que se debe pagar por una deuda a interés simple de $ 20.000.000, el 28 de Diciembre de 2002, sí el pagaré se firmó el 15 de Enero del mismo año, a una tasa anual de 8%

Planteamiento:C : $ 20.000.000t : 8% anual (365 días); i = 0,08 n: 347 díasS = xDesarrollo:S = C(1 + in)S = 20.000.000 (1 + 0.08*347) 365S = 20.000.000*1.076054795S = 21.521.096

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INTERÉS SIMPLECálculo del Interés y el Monto: ejemplos

3.- Una suma de $ 250.000 se deposita durante 60 días a una tasa de interés simple de 3,8% mensual. Calcular el interés y el monto.

Planteamiento:

C = $ 250.000

n = 60 días

t = 3,8% mensual ; i = 0.038

I = ?

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INTERÉS SIMPLECálculo del Interés y el Monto: ejemplos

a.- Adoptando el día como unidad de tiempoI = C*i*nI = 250.000 * 0.038/30 *60I = 250.000 * 0.0012667 * 60I = 19.000El Monto se obtiene, aplicando la fórmula :S = C + IS = 250.000 + 19.000S = 269.000b.- Adoptando el mes como unidad de tiempoI = C*i*nI = 250.000 * 0.038 * 2I = 19.000

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INTERÉS SIMPLECálculo del tiempo: ejemplos

Calcular el tiempo que debe mantenerse un depósito de $ 650.000 a una tasa de interés de 3,5% mensual, para obtener un monto de $ 718.250

C = 650.000M = 718.250t = 3,5% mensual; i = 0.035n = ?Desarrollo:De la fórmula:I = S – C = 718.250 – 650.000 = 68.250 De la formula del interés:I = C*i*n Se obtiene por despeje:n = I / Cin = 68.250 650.000*0.035n = 68.250 22.750 n = 3 meses

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INTERÉS SIMPLECálculo de la tasa de interés: ejemplos

Calcular la tasa de interés mensual aplicada a un depósito de $ 800.000, si el monto obtenido en 3 meses es de $ 905.000

Planteamiento:C = 800.000S = 905.000n = 3 mesesi = xDesarrollo:De la fórmula:S = C + ISe obtiene:I = S – CI = 905.000 – 800.000I = 105.000Luego, de la fórmula:I = CinSe obtienei = I / Cni = 105.000 800.000*3i = 0.04375 (tanto por uno)Luego en tanto por ciento: 0.04375 * 100 = 4,375 % mensual

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INTERÉS SIMPLE Cálculo de Capital( C ) o Valor Actual (VA)

El Valor Actual (VA) ó Valor Presente (PV) de una suma de dinero que vence en una fecha futura, es el Capital (C) , que a una tasa dada, alcanzará en el tiempo que transcurra hasta el vencimiento, el monto (S) ó Valor Futuro (FV ó VF).

Luego, de la fórmula general:

S = C (1 + in), obtenemos: VA =

La diferencia entre la cantidad a pagar en fecha futura y su Valor actual o Capital, son los intereses.

in

SC

1

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INTERÉS SIMPLE Cálculo de Capital( C ) o Valor Actual (VA)

Cuanto se debe depositar a interés simple, si dentro de 8 meses se quiere obtener un monto igual a $ 15.000.000, si el precio del dinero es de 9 % anual

C = VA = $ 14.150.943Luego , el Interés (I): I = VF – VA I = 15.000.000 – 14.150.943 I = 849.057

8*12

09.01

000.000.15

C

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INTERÉS SIMPLE Cálculo de Capital( C ) o Valor Actual (VA)

Luego de 35 días se obtuvo un monto de $ 456.000, a una tasa de interés del 7.5% anual.¿Cuánto se invirtió inicialmente? ¿A cuánto ascienden los intereses obtenidos?De la fórmula: =

C = VA = $ 452.744Como: I = S – CI = 456.000 – 452.744I = 3.256

in

SC

1 35*365

075.01

000.456

C

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DESCUENTO BANCARIOConcepto:

Es la deducción que realiza una institución financiera por pagar anticipadamente a su tenedor, una deuda que tiene un vencimiento futuro (una letra, un pagaré, una factura, etc.).

Consiste en la acción de recibir o pagar hoy un dinero a cambio de una suma mayor comprometida para fecha futura, bajo las condiciones convenidas en el documento.

D = DescuentoS = Monto o Valor futurod = tasa de descuento (tanto por uno)n = tiempo expresado en añosVL = Valor líquido que el banco o institución financiera paga o entrega a quién descuenta en

documentoD = S d nVL = S – DVL = S – SdnVL = S (1 – dn)Con esta fórmula se puede encontrar el Valor Líquido (VL), a partir del monto, ó, despejar el

monto a partir de (VL).

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DESCUENTO BANCARIOCálculo del Valor Líquido (VL)

Encuentre el VL de una letra por un monto de

$ 2.400.000, que se descuenta a una tasa del 8% anual, 4 meses antes de su vencimiento.VL = S (1 – dn)

VL = 2.400.000 (1 – 0.08 * 4)

12

VL = 2.400.000 * 0.973333333

VL = $ 2.336.000

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DESCUENTO BANCARIOCálculo del Monto descontado (S)

¿Cuál era el monto de un documento que se descuenta 90 días antes de su vencimiento, sí la tasa de descuento es del

5% anual, y se obtiene un VL de $ 700.000?

De la fórmula:VL = S(1 - dn), se obtiene

Luego: =

S = 708.738

dn

VLS

1

90*365

05.01

000.700

S

9877.0

000.700S

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DESCUENTO BANCARIOCálculo del período de descuento (n)

¿Por cuánto tiempo se debe descontar un documento, con valor final de $ 1.500.000, para obtener un valor líquido de $ 1.495.000, a una tasa del 2% mensual?De la fórmula:VL = S(1 - dn), se obtiene:

Luego: días

Otra forma:Como D = S-VL; D=950.000-933.603= 16.397; y, como

D = Snd; 5.000 = 1.500.000 * n * 0.02n = 5.000 / 30.000 = 0.1667 meses

luego, n = 0.1667 * 30 n = 5 días

d

SVLn

)/(1

30*02.0

)000.500.1/000.495.1(1n 30*

02.0

0033.0n 5n

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DESCUENTO BANCARIOCálculo de la tasa de descuento (d)

¿A qué tasa de descuento anual se debe descontar un documento por valor final de $ 950.000, durante 105 días, para obtener un valor líquido de $ 933.603?

De la fórmula:VL = S(1 - dn), se obtiene:

Luego:

Otra forma:Como D = S-VL; D=950.000-933.603= 16.397; y, como

D = Snd; 16.397 = 950.000 * 105/365 * d

d = 16.397/273.287 = 0.06 (tanto por uno); luego, d = 0.06 *100 = 6%

n

SVLd

)/(1

365*105

)000.950/603.933(1d 365*

105

0173.0d %6d

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INTERÉS COMPUESTO

Cuando en cada intervalo de vencimiento de una obligación (deuda o inversión), se agregan los intereses al capital, formando un nuevo monto sobre el cuál se calcularán los intereses en el siguiente período o intervalo de tiempo y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.El capital va aumentando periódicamente y el interés también. El total acumulado al final del último período de la operación se denomina Monto Compuesto y la diferencia entre éste y el Capital original se denomina Interés Compuesto.

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INTERÉS COMPUESTOElementos y notación

• C: Capital inicial o Valor actual• S: Monto compuesto (Capital inicial + intereses) ó

Valor Final (VF) VF = S = C(1+ i)n

• n: tiempo (años, meses, etc.)• m: numero de veces que en el año se capitalizan

los intereses• i: tasa de interés (tanto por uno t/100)

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INTERÉS COMPUESTOEjercicios cálculo de Monto

Se invierten $ 20.000 a interés compuesto durante 3años a tasa del 5% anual. Calcule el Valor Final o Monto.

S =

S = 20.000(1+0,05)(1+0,05)(1+0,05)

S = $ 23.153

305.01000.20

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INTERÉS COMPUESTOEjercicios cálculo de Monto

Calcular el Monto Compuesto o Valor Final formado por un capital de $450.000, prestado a interés compuesto del 8% anual en 4 años– C = 450.000– t = 8% anual; i=t/100= 0.08– n = 4 años– VF ó S = ?

VF = C(1+i)4 VF = 450.000 (1+0,08)4 VF = $ 612.220

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INTERÉS COMPUESTO

Valor Actual (VA) o Presente (PV) ¿Cuánto se invirtió durante 3 años, a una tasa de interés compuesto del 5% anual, para obtener un Valor Futuro o Monto de $ 345.000?VA =

VA =

VA = $ 298.024

ni

VF

1

305.01

000.345

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INTERÉS COMPUESTO Cálculo del tiempo o período

De la fómula general:

VF = VA(1+i)n

= (1+i)n /log

log VF – Log VA = n log (1+i)

VA

VF

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INTERÉS COMPUESTO Cálculo del tiempo o período: ejercicio

¿En cuanto tiempo un capital de $ 100.000 al 10% anual se convierte en $180.000?

VF = S = $ 180.000 t= 10% ; i= 0.1VA = C = $ 100.000 n = ?VF = C(1+i)n 180.000 = 100.000(1+0.1)n = (1.1)n 1.8 = 1.1n / log

log 1,8 = n log 1.10.2552 = n 0.0414 n =n = 6.167092 años (12 * 0.167092 = 2)n = 6 años y 2 meses

100000

180000

0414.0

2552.0

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INTERÉS COMPUESTOCálculo del interés

De la formula general:

M = C(1+i) n

(1+i)n =

(1+i) =

i = - 1

C

M

C

Mn

C

Mn

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INTERÉS COMPUESTOCálculo del interés: ejercicio

Determine la tasa de interés que hace que un capital de $430.000 se duplique en 2 años a interés compuesto.M = 860.000C = 430.000n = 2 añosi = x

i = -1i = 0.4142(tanto por uno)

t = 41, 42% (tanto por ciento = i*100)

430000

8600002

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TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA

Tasa nominal “t = i*100”: es aquella que queda establecida en un contrato o documento financiero.

Puede ser igual o distinta de la tasa efectiva, lo que depende de los períodos de capitalización.

– Cuando el período de capitalización es 1 (m = 1), es decir, los intereses se capitalizan una vez al año, ambas tasas son iguales

– Cuando m>1, la tasa efectiva será mayor que la nominal.Sí la tasa de interés es del 12% anual, entonces las tasas nominales de los

subperíodos serán:Período Tasa%Semestral 6%Trimestral 3%Bimestral 2%Mensual 1%

.

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TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVATasa efectiva “e”: es una tasa anual con una solo capitalización en el año y que produce el mismo efecto

que una tasa nominal “i” con “m” capitalizaciones al año

e = ( 1 + ) m - 1Ejemplo: Calcular para una tasa nominal del 12% anual las correspondientes tasas efectivas dadas las

diferentes capitalizaciones que se indican:

Considerando la tasa efectiva, la fórmula general del Monto a interés compuesto es:

S = C(1+ )mn m

i

Capitalización Cálculo Tasa efectiva Semestral (1+

2

12.0 )2-1 0.1236 = 12.36%

Mensual (1+0.01)12

-1 0.1268 = 12.68%

m

i

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TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA

Calcular el valor futuro de un depósito de $100.000, al 8% con capitalización semestral, que se mantiene:

a.- 1 año S = 100.000(1+ ) 2*1

S = 100.000(1.08160)

S = $ 108.160

b.- 2 años S = 100.000 (1+ )2*2

S = 100.000(1,16986)

S = $ 116.986

Tasa efectiva ( e ):

e = (1+i/m) 2*1 -1 = (1+0.08/2) 2*1 -1 = 1.042 – 1 = 0.0816 = 8.16%

2

08.0

2

08.0

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46

EQUIVALENCIA ENTRE TASA NOMINAL Y EFECTIVA

• El monto de $1 a la tasa efectiva ( ie) anual es (1+ie)

• El monto de $1 a la tasa nominal (in) con “m”

capitalizaciones en el año es: (1+ )m

La ecuación de equivalencia entre estos dos montos es:

1+ie = , luego:

m

in

m

n

m

i

1

ie = (1+ ) m -1m

in

in = m 11 mei

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47

EQUIVALENCIA ENTRE TASA NOMINAL Y EFECTIVA: ejercicios

Encontrar la tasa nominal a partir de la tasa efectiva 8,243216%, con dos capitalizaciones al año.

in = 2

in= 0.0808

¿Qué tasa nominal anual debe fijar un Banco que quiere obtener el 12,5% efectivo anual, sí el período de capitalización es semestral (m = 2)

in= 2( )

in = 0.121320343

La tasa de interés nominal será de 12,1320343% anual, con capitalización semestral

108243216.012

in = m 11 mei

1125.012

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ANUALIDADES O RENTAS

Una anualidad es una serie de Flujos de Fondos Futuros fijos, que se presentan a intervalos iguales o periódicos de tiempo. El término “anualidad”, no significa pagos anuales, sino que se refiere a pagos en intervalos similares de tiempo, por ejemplo: dividendos sobre acciones, fondos de amortización, pagos a plazos, primas anuales de pólizas de seguros, los sueldos, etc.Terminología: Renta: es el valor de cada pago periódicoPeríodo de pago o período de la renta: es el tiempo que se fija entre dos pagos sucesivosTiempo o plazo de una anualidad: es el intervalo que media entre el comienzo del primer período de pago y el final del último período de pago.Tasa de una anualidad: es el tipo de interés que se fija y puede ser nominal o efectiva

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ANUALIDADES: Clasificación

Según el momento de pago: Anualidades ciertas: aquellas cuyas fechas, iniciales y finales, se

conocen Anualidades eventuales o contingentes: aquellas cuyo pago depende de

algún suceso previsible, pero cuya fecha no se puede fijar (prima de un seguro de vida)

Según la forma en que se estipule el pago de la renta o anualidad, son: Anualidades ordinarias o vencidas: aquella en que el pago se efectúa al

final del período o intervalo de tiempo Anualidades anticipadas: aquellas en que el pago se efectúa al inicio del

período de pago o intervalo de tiempo.Estas anualidades pueden diferir en la forma de cálculo, según el número de pagos

en un año y el número de capitalizaciones que estipule el tipo de interés Anualidad simple: aquella en que el período de capitalización coincide

con el período de pago. Anualidad diferida: aquella en que el primer pago no coincide con el

vencimiento del primer período de interés. Es decir, el pago se efectúa algún tiempo después del término del primer período.

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ANUALIDAD ORDINARIA VENCIDA SIMPLE

VALOR DE UNA ANUALIDAD CIERTA ORDINARIA O VENCIDA SIMPLE

Símbolos y notaciones:R = Pago periódico de una anualidad o rentai = tasa de interés por período (j / m)

j: tasa nominal anualm: número de capitalizaciones en un añoj= tasa nominal con “m” períodos en el año

n = número de períodos de pago ó número de intervalos de pagoS = Monto o Valor Futuro (VF) de una anualidadA = Valor presente o Valor actual (VA) de una anualidad

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ANUALIDAD ORDINARIA VENCIDA SIMPLE: Monto ( S ) ó Valor Futuro (VF)

VF = S =

¿Cuál es el monto de una anualidad ordinaria de $1.000.000 anuales, durante 4 años, al 5% anual?R = 1.000.000 t = 5% anual; i = 0,05 n = 4 años S = ?

S = 1.000.000

S = $ 4.310.124

i

iR

n 11

05.0

105.01 4

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52

ANUALIDAD ORDINARIA VENCIDA SIMPLE: Monto ( S ) ó Valor Futuro (VF)

Sí una persona deposita a interés compuesto $ 200.000 al final de cada año, al 8% anual, durante 5 años. ¿Cuánto habrá acumulado al final de dicho período?

S =

S = 200.000

S = $ 1.173.320

08.0

108.01 5

i

iR

n 11

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53

VALOR ACTUAL (VA) DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE

VA =¿Cuánto cuesta al contado un automóvil, sí se adquiere en 36 cuotas mensuales vencidas de $ 150.000 cada una, a una tasa de interés, incluida en la cuota, del 3% mensual?

R = 150.000

n = 36

i = 3% mensual = 0,03

VA = = = $ 3.274.838

Valor al crédito: $ 150.000*36= $ 5.400.000

i

iR

n11

i

iR

n11

03.0

03.011150000

36

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54

ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA SIMPLE: Valor Futuro (VF) ó Monto (S)

Es aquella en que los flujos o pagos de fondos futuros se dan al comienzo de cada período o intervalo de tiempo

VF = S = R Determine el monto final obtenido, si se depositan $ 48.000, cada

inicio de mes, durante un año, sí la tasa de interés es del 2,6% mensual.

R = 48.000 i : 2,6% mensual = 0.026 n: 12 S = VF = ?

VF = S = R = 48.000 = $ 683.257

ii

i n

111

ii

i n

111 026.01

026.0

1026.01 12

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ANUALIDAD CIERTA ANTICIPADA

SIMPLE: valor actual o presente

VA = RCalcular que préstamo se puede solicitar, si se desea pagar cada inicio de

mes, una cuota de $ 48.000, durante 12 meses, con una tasa de interés mensual, incluida en la cuota, del 2,6%

VA = 48.000 = $ 502.129

1

11 1

i

i n

1

026.0

026.011 11

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56

AMORTIZACIÓN DE DEUDAS

Amortizar, desde el punto de vista financiero, es un proceso que consiste en pagar una deuda, capital e intereses, mediante una serie de pagos sucesivos que pueden ser iguales o diferentes.En la amortización gradual los pagos son iguales y se hacen a intervalos idénticos de tiempo, cuyo monto cancela intereses y capital.Los cálculos más relevantes en este tipo de operaciones financieras se realizan utilizando las propiedades de las anualidades.

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AMORTIZACIÓN

Un préstamo de $100.000, a 5 años plazo, con una tasa del 10%, se debe amortizar en cuotas vencidas iguales. Confeccione la Tabla de Amortización

o de desarrollo.Fin período

Cuota Interés Amortización Saldo insoluto

0 100.000 1 26.380 10.000 16.380 83.620 2 26.380 8.362 18.018 65.602 3 26.380 6.560 19.820 45.782 4 26.380 4.578 21.802 23.980 5 26.380 2.398 23980 0

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AMORTIZACIÓN: cálculo cuota

Se aplica la fórmula de cálculo del Valor Actual (VA) de una anualidad cierta vencida, para calcular el valor de la cuota (R):

VA =

100.000 = = $ 26.380

i

iR

n11

1.0

1.011 5

R

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TASA DE INTERES REAL

Mide el precio del dinero una vez descontados los efectos de la inflación.

Puede ser positiva o negativa, dependiendo de sí la variación de la inflación es mayor o menor que la tasa de interés nominal aplicada a la inversión o crédito.

La tasa de interés real, es aquella que permite calcular el interés y el monto obtenidos, medidos en pesos de la fecha inicial de la operación.

• ir = tasa de interés real

• in = tasa de interés nominal

• = tasa inflación del período

ir =

1ni

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TASA DE INTERES REAL: ejercicio

Ejemplo. Sí una persona deposita $ 500.000, durante 30 días, a una tasa de interés de 2% mensual. Calcule el monto obtenido en pesos a la fecha del depósito, sí se sabe que la variación del índice general de precios del período fue de 2,5%.

M = 500.000(1 + ni)M = 500.000(1+ 1*0.02)M = $ 510.000 (Monto en pesos a la fecha final)Para conocer el monto en pesos a la fecha inicial, debemos deflactar

VA = =

VA = $ 497.561 (Valor del monto final al inicio del período)

1

M

025.01

000.510

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TASA DE INTERES REAL: cálculo interés real

I = Monto deflactado – Capital nominal inicial

I = 497.561 - 500.000

I = - 2.439

La tasa de interés real es entonces:

ir = = = -0.004878 = - 0.4878%

Según la formula:

ir = = = - 0.004878 = - 0.4878 %

nC

I r

* 1*000.500

439.2

1ni

025.01

025.002.0

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BIBLIOGRAFÍA

• Matemáticas Financieras, Portus Govinden, Lincoyan. McGraw Hill

• Matemáticas Financieras, Ayres Frank