UNAM FI Cónicas · 2019-08-05 · Obtener la ecuación de la canónica o ordinaria a partir de la...
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Cálculo y Geometría Analítica
CálculoInfinitesimal
Representaciones
Geométricas
Cálculo
Integral
Cálculo
Diferencial
Rapidez de
variación
Cálculo
Multivariables
Vectorial
Funciones y
relaciones
matemáticas
LímiteValor único
VectoresRectas Cónicas
Derivadas
Superficies
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Cálculo y Geometría Analítica
Parábola Circunferencia Elipse Hipérbola
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Ecuación general de segundo grado
2 2 0Ax Cy D y FBxy x E
Presencia de Rotación Presencia de Traslación
1xy
2 21 2 1x y
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Ecuaciones en formato canónico
Se presentan cuando en una curva no existe ni rotación ni traslación con
respecto al origen de coordenadas.
El término canónico se aplica en matemáticas y en especial en geometría
Para indicar que algo (en nuestro caso una curva) es muy obvio, es Decir que
solamente con verlo debe reconocerse.
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Ecuaciones canónicas
Con solo ver la podríamos
asegurar (casi en un 100%)
que es una mujer
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Ecuaciones canónicas
Con solo ver lo podríamos
asegurar que es un hombre
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Ecuaciones canónicas
Con solo verlos podríamos
asegurar que son unos
mari……..
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Ecuaciones canónicas de las curvas cónicas
2 2 2x y r Circunferencia
Elipse
2 2
2 21
x y
a b Hipérbola
2 4y pxParábola
2 2
2 21
x y
a b *
*
*
* Existen dos tipos horizontales y verticales
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Degeneración de las curvas cónicas
2 2 0x y Punto
Vacío (no existe)
2 2x yRectas que se intersectan
2 4x Rectas paralelas
2 2 1x y
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Ecuaciones ordinarias
Son ecuaciones en las que existe una translación de ejes (el centro de la
cónica esta fuera del origen de coordenadas), son muy semejantes a las
canónicas.
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Ecuaciones ordinarias de las curvas cónicas
2 2 2x h y k r Circunferencia
Elipse
2 2
2 21
x h y k
a b
Hipérbola
2
4y k p x h Parábola
2 2
2 21
x h y k
a b
*
*
*
* Existen dos tipos horizontales y verticales
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Identificación de los elementos de una cónica
2 2
2 21
x h y k
a b
a => Semieje (en elipse eje mayor)
b => Semieje (en elipse eje menor)
h => desfase del centro de la curva con el eje X
k => desfase del centro de la curva con el eje Y
Para una elipse si a=b => a igual al radio
ab
h
k
a
b
h
kCentro Centro
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Hipérbola
Asíntotas
( ) ( )b
y k x ha
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Identificación de los elementos de una cónica
2
4x h p y k p => Distancia focal
h => desfase del vértice de la curva con el eje X
k => desfase del vértice de la curva con el eje Y
P
Foco
h
k Vértice
Directriz
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Cónicas horizontales o verticales
Elipse
Horizontal
2 2
2 21
x y
a b
Elipse
Vertical
2 2
2 21
x y
b a
2 2
14 1
x y
2 2
11 4
x y
El mayor da la orientación de la curva
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Cónicas horizontales o verticales
hipérbola
Horizontal
2 2
2 21
x y
a b
hipérbola
Vertical
2 2
2 21
x y
a b
2 2
14 4
x y
El signo da la orientación de la curva
2 2
14 4
x y
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Parábolas: horizontal, vertical y hacia donde abren
Parábola
Horizontal
Que abre hacia
La derecha
2 4x py
2 4y x El signo nos indica para donde abre
Parábola
Horizontal
Que abre
hacia
La izquierda
2 4x py
La variable con exponente de
grado 1 nos indica la orientación
2 4y x El signo nos indica para donde abre
La variable con exponente de
grado 1 nos indica la orientación
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Parábolas: horizontal, vertical y hacia donde abren
Parábola
vertical
Que abre hacia
La derecha
2 4y px
2 4x y El signo nos indica para donde abre
Parábola
vertical
Que abre
hacia
La izquierda
2 4y px
La variable con exponente de
grado 1 nos indica la orientación
2 4x y
El signo nos indica para donde abre
La variable con exponente de
grado 1 nos indica la orientación
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓN
Métodos que podemos emplear:
1) Visual (si se tiene la ecuación canónica o la ordinaria)
2) Discriminante
3) Excentricidad
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓNMétodo del discriminante:
2 2
Ecuación general de las cuadráticas
0Ax Bxy Cy Dx Ey F
2
2
2
4 0 Tipo Elipse
4 0 Tipo Parábola
4 0 Tipo Hipérbola
B AC
B AC
B AC
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓN
Método de la excentricidad:
2 2 2
2 21
c a b be
a a a
* La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).
* La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0<e < 1).
* La excentricidad de una parábola es 1(e = 1).
* La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (e > 1).
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓN
Método de la excentricidad:
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓNMétodo visual:
2 2( 1) ( 2)1
9 4
x y
Exponentes
Símbolo (+/-)
Denominador
Termino
Independiente
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓNMétodo visual:
1) Verificar grado de los exponentes.
2 29( 1) 4( 2)1 , ,
36 36
x yCircunferencia Elipse hipérbola
X y Y de grado 2:
29( 1) 4( 2)x y parábola
X y Y de grado 1 y la otra del grado 2:
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓNMétodo visual:
2) Verificar el símbolo de los componentes de cada variable
2 2( 1) ( 2)1 ,
4 9
x yCircunferencia Elipse
X y Y positivos (o del mismo símbolo)
2 2( 1) ( 2)1
4 9
x yHipérbola
X y Y de símbolos contrarios
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CÓNICAS IDENTIFICACIÓNMétodo visual:
3) Verificar los denominados
2 2( 1) ( 2)1
9 9
x yCircunferencia
denominadores iguales
2 2( 1) ( 2)1
9 4
x yElipse
denominados diferentes
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
Ecuación ordinaria de una circunferencia:
(el procedimiento que se empleará como demostración se puede aplicar
a cualquiera de las cónicas).
2 2( 3) ( 5) 4x y
Desarrollando la ecuación anterior (aplicando el concepto de binomio cuadrado
Perfecto):
2 2
2
2 2
2
2
2
2
( )
(
2
( )
) 2
2
a b a ab b
a b a ab
a b a ab
b
b
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
2 2( 3) ( 5) 4x y
Desarrollando nuestro ejemplo:
2 2( 10 256 9) )( 4yx x y
Agrupando y acomendando términos:
2 2
2 2
6 10 9 25 4 0
6 10 30 0
x y x y
x y x y
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Obtener la ecuación de la canónica o ordinaria a
partir de la general
Ecuación general:
(Se toma el resultado anterior para comprobar que realmente se había llegado
A la ecuación general de la circunferencia dada).
Aplicando el concepto de completando el binomio cuadrado perfecto:
2 2 6 10 30 0x y x y
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
Acomendando términos:
22 1 06 0 30yx x y
Partiendo de la definición del binomio cuadrado:
2 2 2( ) 2a b a ab b
Para los dos casos X y Y nos falta una parte (el término independiente
Para completar el binomio cuadrado)
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
Para realizar el proceso de completar empleamos dos variables b1 y b2 :
2 2 2
2 2
2 2 2
1 130 0106 b y y bx x b b
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
Analizando la parte del binomio que involucra a la X:
Necesitamos encontrar un número que al ser multiplicado por 2 y por 1 nos de
El valor de -6.
2
1
21 6x x b
2
1
1 1
2
1
1
2 6
?
a
a b
b
2
1 1
1
1
1 1 1
2(1) 6
63
2
a a
b
b
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
Para completar el binomio sustituimos el valor de b1:
2 2 2
2 2
2 2 2
1 130 0106 b y y bx x b b
2 2 2
2 2
2 2 230 03 106 3x x b by y
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
Aplicando el mismo procedimiento llegaríamos a que el valor de b2 es 5,
Y al sustituirlos en la ecuación de la cónica tendríamos::
2 2 2
2 2
2 2 2
1 130 0106 b y y bx x b b
22 2 22 23 10 35 06 530y yx x
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Obtener la ecuación general a partir de la canónica ordinaria
Sumando términos independientes y sustituyendo los datos por sus
Correspondientes binomios, tenemos:
22
2
2
2 22
23 9 305
4
25
3 5
y
y
x
x
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Identificar elementos a partir de su gráfica
Dada la siguiente gráfica obtener su ecuación ordinaria.
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Identificar elementos a partir de su gráfica
Dada la siguiente gráfica obtener su ecuación ordinaria.
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Identificar elementos a partir de su gráfica
Dada la siguiente gráfica obtener su ecuación ordinaria.
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rotación de una cónica
Si quisiéramos identificar los elementos característicos de una curva rotada,
no lo podríamos realizar de manera visual tan fácil como una curva orientada
con los ejes coordenados.
Por lo cual es necesario realizar el procedimiento llamado rotación de ejes.
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X
Y
U
V
P(X,Y) y P(U,V)
R
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rotación de una cónica
cosX
R
Y
senR
cosU
R
V
senR
cos cosX R Rsen sen
cos sin cosY R Rsen
De la gráfica podemos obtener los siguientes datos y usando la formula de
suma de ángulos tenemos:
X
Y
U
V
R
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rotación de una cónica
coscos U VsenU V
X R RsenR R
coscos V UsenV U
Y R RsenR R
Mezclando ecuaciones y simplificando:
tan 2B
A C
Ángulo de giro:
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F
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rotación de una cónica
cos
cos
senX U
senY V
Las ecuaciones anteriores también pueden manejarse en formato matricial:
Si se quisiera obtener los valores de U y V se podría obtener la inversa de la
matriz de ángulos y realizar una multiplicación de matrices con el vector
(X,Y).
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rotación de una cónica
(deber ser positivo)
X
Y
UV
2 2 1x xy x
2 2
122
3
u v
Donde:
cos
cos
x u vsen
y usen v
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rotación de una cónica
tan 2B
A C
Ángulo de giro:
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F
1 1
tan 20 0 0
Ángulo de giro: 1xy
tan 90 tan 2*45
1tan(90) (90) tan (90)ang ArcTan
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rotación de una cónica
cos
cos
x u vsen
y usen v
Ecuaciones de transformación
Sistema XY al UV:
1xy
2 2 2cos 45 45
2
2 2 245 cos
2 2
2
452
2
o
o o
oy
x u vsen
u
u v
sen v u v u
u
v
v
2
2
21
2u u vv
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rotación de una cónica
2
41u vu v
22 2u v
2 2
12 2
u v
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rotación de una cónica
cos
cos
U X Ysen
V Xsen Y
Ecuaciones de transformación del sistema UV al XY:
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rotación de una cónica
2 24 9 36u v
Obtener la curva original si la siguiente curva tiene una ángulo
de rotación de 60 grados.
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rotación de una cónica
3cos 60 60
2 2
360 cos 60
2 2
o o
o o
x yu x ysen
x yv xsen y
Aplicando las ecuaciones de transformación y evaluando:
2 2
3 34 9 36
2 2 2 2
x y x y
Sustituyendo en la ecuación original:
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Desarrollando la ecuación:
2 24 9
3 3 364 4
x y x y
2 2 2 24 92 3 3 3 2 3 36
4 4x xy y x xy y
2 2 2 24 2 3 3 9 3 2 3 144x xy y x xy y
2 2 2 24 8 3 12 27 18 3 9 144x xy y x xy y
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rotación de una cónica
Simplificando:
2 2 2 24 8 3 12 27 18 3 9 144x xy y x xy y
2 231 10 3 21 144x xy y
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rotación de una cónica
Comprobar para la siguiente ecuación general:
2 27 6 3 13 16x xy y
Su ecuación rotada en el sistema UV es:
2 2
14 1
u v
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Comprobar para la siguiente rotada en el sistema UV:
2 27 4 4 240x xy y
Tiene como ecuación general a:
2 2
130 80
u v