Una Teoría de Sedimentación (Kynch Theory)

La teoría asume que la velocidad de caída de las partículas, las cuales se encuentran dispersas, es determinada, solo, por la densidad de las pertículas locales. La relación velocidad-densidad, se puede deducir de la observación sobre la caída de la parte superior de la dispersión. Se muestra que los cambios discontinuos en la densidad de partículas pueden ocurrir bajo condiciones establecidas.

1. Introducción

El proceso de sedimentación de las pertículas dispersas en un fluído es de suma importancia pero se muestra extremadamente difícil su estudio teórico. Se tienen los conocimientos y la solución del problema hidrodinámico de una sola partícula cayendo, los cuales están dados por la ley de Stokes. Muchos otros han dado sus fórmulas cuando la densidad de las partículas es muy pequeña, y la distancia entre ellas es mucho mayor que su tamaño. La f´romula dice que:

Donde a = 2.5 para esferas duras, u es la velocidad de Stokes y p es la concentración en volumen. El problema de esto es que no da una respuesta satisfactoria cuando la densidad de las partículas es grande. Hasta el momento no hay una teoría universal que permita interpretar resultados experimentales, cuando las concetraciones son relativamente grandes. Es por esto que surge la teoría de Kynch, la cual pretende demostrar que el proceso de sedimentación depende solo de la concentración local de partículas, en el cual dicho proceso es determinado por una ecuación de continuidad, sin el conocimiento de los detalles de las fuerzas sobre las partículas. La teoría entonces predice la existencia de una superficie superior a la dispersión en el líquido y que el movimiento de esta superficie junto con un conocimiento de la distribución inicial de las partículas es suficiente para determinar la variación de la velocidad de caída con densidad para una dispersión particular.

Surge una complicación, la cual dice que debido a la formación y existencia de capas en el líquido, la densidad varía en su valor. Las observaciónes de la dispersión sugiere que esto ocurre en soluciones disueltas, donde la teoría no solo predice su ocurrencia, sino que también permite dar las condiciones necesarias para su estudio. Con esto se pueden plantear varias maneras como la sedimentación puede ocurrir.

Los cambios en la densidad de las partículas son propagados, así como el sonido es propagado por el aire, y ya sea si la velocidad de dicha propagación es relativamente baja, o el amortiguamiento sea grande, lo que permite una suposición de que las condiciones locales para determinar el proceso de sedimentación no son necesarias. La teoría puede ser probablemente verídica para sustancias diluidas o concentradas, incluso si se trata de partículas con dispersión idéntica. Se posee adicionalemente el problema, donde la gráfica de velocidad vs concentración, será única para cada dispersión particular, lo que evita el hecho de obtener una curva idéntica si no se reproduce con suma y extrema cautela.

2. Equación de continuidad y líneas de concentración constante.

En una sedimentación de partículas dispersas similares, se asume que la velocidad de cualquier partícula esta en función, únicamente, de de la concentración local de las partículas in su vecinidad inmediata. Cuando hablamos de concentración nos referimos al número de partículas por unidad de volumen de la dispersión. Como las partículas tienen el mismo

tamaño y forma, estaos son proporcionales al volumen de su fracción, lo que permite introducir el flujo de partículas:

El cual nos determina el numero de partículas que atraviesa una sección horizontal por unidad de área por unidad de tiempo. Se asume que la concentración es igual a lo largo de las capas horizontales. Por esto, el flujo de partículas en cualquier nivel determina, o es determinado, por la concentración. Como la p aumenta de cero, a su máximo valor, la velocidad v de caída disminuye continuamente de su valor finito hasta cero.

Si se tiene que x es la altura en cualquier valor por encima del fonfo de la columna de partículas dispersas, y si S, varía con x, su concentración debe variar, y en la región donde la variación es continua, existe una relación entre ambas variables llamada ecuación de continuidad. Si se considera dos capas, x y x+dx, en una variación del tiempo dt, la acumulación de partículas entre las dos es la diferencia entre el flujo de partículas S(x+dx) que entra a través de la capa superior, y el flujo S(x) sale a través de la capa inferior por unidad de área.

#

Esta ecuación puede ser interpretada en una gráfica donde el eje de las ordenadas se posee “x” y en el de las absicas el tiempo, donde las curvas son generadas a través de puntos con el mismo valor de concentración. Si se combina # con *

Se llega a obtener la pendiente de la curva, dada por:

Donde p y V son una constante a lo largo de la curva, indicando que debe ser una línea recta. Es por esto que en el diagrama de x vs t, la concentración será constante a lo largo de las líneas rectas cuya pendiente V, depende únicamente de la concentración.

3. La sedimentación de una dispersión

Las fórmulas encontradas para este tema, requiere deducir las propiedades de la dispersión apartir de una observación de la sedimentación. Con esto se asume que la velocidad de caída está en función exclusiva de la concentración, y se pretende encontrar la relación que existe ente S y la densidad p, dado el hecho que la concentración inicial aumenta y la altura “x” disminuye.

4. Estabilidad de las discontinuidades

Aun queda explicar por qué una dispersión de cualquier concentración no siempre se sedimenta discontinuamente hacia una capa de máxima concentración. Para una dispersión donde la concentración incrementa haia el fondo, las condiciones para que se genere un discontinuidad de primer orden son:

Las líneas de concentración constante en la gráfica altura vs t, si se continúa genera una intersección.

La velocidad de propagación incrementa con la concentración. La gráfica de S vs p, genera una curva cóncava en el eje de p.

Si esto no se cumple egenra una discontinuidad de segundo orden, lo cual genera un incremento de concentración en la parte superior y no en la inferior.