Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ...

Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ecuaciones

lineales y sus aplicaciones con estudiantes sordos y oyentes del grado

décimo

Milton Gamboa Ortiz

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia

2020

Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ecuaciones

lineales y sus aplicaciones con estudiantes sordos y oyentes del grado

décimo

Milton Gamboa Ortiz

Trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Directora Mg. Myriam Margarita Acevedo Caicedo

Codirectora:

Mg. Martha Cecilia Moreno Penagos

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Bogotá, Colombia

2020

A mis padres Reinaldo Gamboa y María de la Cruz

Gamboa por su amor incondicional

A mi Esposa Fay e hijos Aaron y Abril que son la fuente

de mi alegría y motivación

Agradecimientos

Expreso mi agradecimiento total a la profesora Myriam Margarita Acevedo Caicedo por su

continua asesoría en la realización de este trabajo, su paciencia y dedicación durante todo

este proceso.

También agradezco a los estudiantes de grado décimo por su esfuerzo durante la

implementación de la secuencia de actividades.

Resumen y Abstract IX

Resumen

En este trabajo se describe la fundamentación teórica, el diseño y la implementación de

una secuencia de actividades relacionadas con la solución de sistemas de ecuaciones

lineales y sus aplicaciones, apoyadas en el uso de recursos educativos digitales. La

secuencia se implementó en un grupo de 38 estudiantes de grado décimo del IED Federico

García Lorca, 9 de ellos sordos profundos. Se utilizó en el proceso la metodología

investigación-acción. Los resultados de la implementación revelan la importancia que

tiene, en el trabajo de aula, el uso de algunos recursos digitales, pues estos permitieron

mostrar de forma sencilla algunos métodos de solución de los sistemas lineales, logrando

que los estudiantes comprendieran e interpretaran cada uno de los pasos del proceso de

resolución. Y lo más importante para este trabajo, estos recursos aportaron

significativamente a la solución del problema que originó la investigación, la comunicación

directa entre docente y estudiantes sordos y la mejora en sus niveles de apropiación de

estos conocimientos. Sin embargo, se puede concluir del proceso, que es indispensable

implementar en las instituciones que admiten estudiantes sordos, una educación bilingüe

y bicultural, puesto que esta permite un ambiente de aprendizaje que mejora la relación

entre docente, estudiantes y conocimiento sin la necesidad de un intérprete, quien en

ocasiones no posee conocimientos de matemáticas, o no comprende el lenguaje

matemático.

Palabras clave: Secuencia de actividades, sistema de ecuaciones lineales, recursos

digitales, estudiantes sordos.

X Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ecuaciones lineales y

sus aplicaciones con estudiantes sordos y oyentes de grado décimo

Abstract

In this research work, the theoretical foundation, design and implementation of a sequence

of activities, related to the solution of systems of linear equations and their applications,

supported using digital educational resources, are described. The sequence was

implemented in a group of 38 tenth graders from IED Federico García Lorca, 9 of them

profoundly deaf. Action research methodology was used during the process. The results of

the implementation show how important is using some digital resources in the classroom,

since they allowed, in a simple way, to show some methods of solving linear systems,

making students understand and interpret each step involved in the solving process. Most

importantly, for this research work, these resources contributed significantly to solve the

problem that originated the research, the direct communication between teachers and deaf

students and the improvement in their levels of appropriation of this knowledge. However,

it can be concluded from the process, that it is essential to implement in schools that admit

deaf students, a bilingual and bicultural education. As this allows a learning environment

that improves the relationship between teacher, student, and knowledge without the need

for an interpreter, who sometimes does not have specific knowledge on mathematics, or

who does not understand mathematical language.

Keywords: Sequence of activities, System of Linear Equations, digital resources,

deaf students.

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen .......................................................................................................................... IX

Lista de figuras .............................................................................................................. XIII

Lista de tablas ............................................................................................................... XIV

Introducción ...................................................................................................................... 1

1. Capítulo 1: Fase Diagnóstica .................................................................................... 7

1.1 Contexto educativo ................................................................................................ 7 1.2 Análisis Prueba Diagnóstica ................................................................................. 9

2. Capítulo 2: Marco Teórico ....................................................................................... 23

2.1 Marco Histórico-Epistemológico ........................................................................ 23 2.1.1 Ecuaciones lineales. ....................................................................................... 23 2.1.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales. ................................................................. 27

2.2 Marco Disciplinar. ................................................................................................ 33 2.2.1 Ecuaciones lineales. ....................................................................................... 34 2.2.2 Sistema de ecuaciones lineales. ..................................................................... 35 2.2.2.1 Sistema de ecuaciones lineales 𝟐 × 𝟐. .................................................... 36 2.2.2.2 Sistema de ecuaciones lineales 𝟑 × 𝟑. .................................................... 40 2.2.2.3 Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. ............ 46 2.2.2.4 Método de Eliminación de Gauss. ........................................................... 50

2.3 Marco Didáctico. ................................................................................................... 53 2.3.1 Niñas y niños sordos en la primera infancia. .................................................. 53 2.3.2 Realidad de los niños sordos en la escuela .................................................... 58 2.3.3 La educación matemática de los estudiantes sordos ..................................... 60 2.3.4 Recursos educativos digitales en un aula con estudiantes sordos y oyentes. 63

3. Capítulo 3: Metodología .......................................................................................... 67

3.1 Tipo de Estudio .................................................................................................... 67 3.2 Diseño de la investigación .................................................................................. 67 3.3 Determinación de la muestra. ............................................................................. 71 3.4 Instrumentos de Recolección de la Información. .............................................. 71

4. Capítulo 4: Descripción y análisis de la secuencia de actividades .................... 73

4.1 Descripción de la secuencia de actividades ..................................................... 73 4.1.1 Actividad 1. ...................................................................................................... 73 4.1.2 Actividad 2. ...................................................................................................... 74 4.1.3 Actividad 3. ...................................................................................................... 75 4.1.4 Actividad 4. ...................................................................................................... 76

4.2 Análisis de la secuencia de actividades ............................................................ 77 4.2.1 Actividad 1. ...................................................................................................... 77 4.2.2 Actividad 2. ...................................................................................................... 86 4.2.3 Actividad 3. ...................................................................................................... 95

XII Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ecuaciones

lineales y sus aplicaciones con estudiantes sordos y oyentes de grado décimo

4.2.4 Actividad 4. .................................................................................................... 104

5. Conclusiones y recomendaciones ....................................................................... 113

5.1 Conclusiones ...................................................................................................... 113 5.2 Recomendaciones .............................................................................................. 117

A. Anexo: Prueba diagnóstico .................................................................................. 119

B. Anexo: Resultados Prueba Diagnóstico .............................................................. 122

C. Anexo: Actividad 1 ................................................................................................. 125

D. Anexo: Actividad 2. ................................................................................................ 136

E. Anexo: Actividad 3. ................................................................................................ 141

F. Anexo: Actividad 4. ................................................................................................ 149

Bibliografía .................................................................................................................... 157

Contenido XIII

Lista de figuras

Pág.

Figura 1:Pendiente de una Recta ........................................................................................... 35

Figura 2: Interpretación Geométrica de un Sistema de Ecuaciones Lineales. ........................ 40

Figura 3: Representación geométrica de ecuación lineal con tres incógnitas. ........................ 43

Figura 4: Sistema lineal 3 × 3, única solución ......................................................................... 43

Figura 5: Sistema lineal 3 × 3 con infinitas soluciones. ........................................................... 45

Figura 6: Sistema Lineal 3 × 3, con infinitas soluciones.......................................................... 45

Figura 7 Región sombreada.................................................................................................... 78

Figura 8 Region sombreada partes no congruentes ............................................................... 78

Figura 9 Region sombreada partes congruentes. ................................................................... 78

Figura 10 Región sombreada .................................................................................................. 79

Figura 11 Literal b), punto 1 .................................................................................................... 80

Figura 12 ................................................................................................................................. 80

Figura 13 ................................................................................................................................. 80

Figura 14 ................................................................................................................................. 82

Figura 15 ................................................................................................................................. 82

Figura 16: Fracciones equivalentes ........................................................................................ 83

Figura 17 ................................................................................................................................. 83

Figura 18: Área del rectángulo. ............................................................................................... 86

Figura 19: Rectángulo ............................................................................................................. 87

Figura 20: Fichas para construir un rectángulo. ...................................................................... 88

Figura 21: Figura construida con las fichas............................................................................. 88

Figura 22: Construcción de rectángulo con las fichas. ............................................................ 89

Figura 23: Secuencia de figuras, Perímetro de triángulos equiláteros .................................... 90

Figura 24: Secuencia de figuras, Perímetro de rectángulos ................................................... 91

Figura 25: Calcular las dimensiones de un rectángulo si su perímetro es 16. ........................ 93

Figura 26: Ejercicio 1. Esquema de dos caminos ................................................................... 95

Figura 27: Ejercicio 2. Esquema con de caminos. .................................................................. 96

Figura 28: Solución de Ejercicio 2. Esquema de dos caminos................................................ 96

Figura 29: Ejercicio 3, Esquema de dos caminos. .................................................................. 97

Figura 30: Modelo de Balanza, Calcular el peso de cada libro. .............................................. 97

Figura 31: Modelo de Balanza, Método de solución de un estudiante. ................................... 98

Figura 32: Modelo Balanza 1 creada en GeoGebra. ............................................................... 98

Figura 33: Modelo Balanza 2 creado en GeoGebra. ............................................................... 99

Figura 34: Diagrama inverso como método de solución de una ecuación lineal. .................... 99

Figura 35 Diagrama inverso y Balanza de phET ................................................................... 100

Figura 36: Procedimiento con el Modelo de Balanza para calcular la incógnita. .................. 100

Figura 37: Participación estudiantes oyentes y estudiantes sordos. ..................................... 106

Figura 38: Interfaz Grafica página http://matrixcalc.org/es/slu.html. ..................................... 107

Figura 39: Solucion sistema de ecuaciones lineales generada por la página

http://matrixcalc.org/es/slu.html. ............................................................................................ 107

Figura 37: Participación estudiantes oyentes y estudiantes sordos. ..................................... 108

Figura 40: Interpretacion geometrica del problema de las fotocopiadoras. ........................... 109

https://internoredpedu-my.sharepoint.com/personal/omgamboa_educacionbogota_edu_co/Documents/disco%20duro%20Milton/universidad/MAESTRIA%20ENSEÑANZA%20DE%20LAS%20CIENCIAS/TESIS/MAESTRIA%20ENSEÑANZA%20DE%20LAS%20CIENCIAS/TESIS%20MAESTRIA/TESIS%20MAESTRIA/TRABAJO%20FINAL/TRABAJO%20FINAL,%20MILTON%20GAMBOA.docx#_Toc58558816










































XIV Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ecuaciones


Lista de tablas

Pág.

Tabla 1: Ejemplo Sistemas de Ecuaciones consistentes e inconsistentes ....................... 38

Tabla 2: Sistemas lineales 3X3 inconsistentes. ................................................................ 44

Tabla 3: Ejemplo Método de Eliminación de Gauss-Jordan. ............................................ 52

Tabla 4: Fases de acuerdo con los objetivos propuestos. ................................................ 68

Tabla 5: Ecuación lineal de estudiante vs Ecuación lineal de GeoGebra. ...................... 102

Tabla 6: Convenciones para el análisis de datos ...................................................... 122

Tabla 7: Porcentaje de aciertos de los estudiantes oyentes Ítem 1. ........................ 122

Tabla 8: Porcentaje de aciertos de los estudiantes sordos Ítem 1. ......................... 123

Tabla 9: Resultados Ítem 2. .......................................................................................... 123

Tabla 10: Resultado Ítem 3. .......................................................................................... 123

Tabla 11: Resultados ítem 4. ........................................................................................ 124

Tabla 12: Resultados Ítem 5. ........................................................................................ 124

Tabla 13: Resultados ítem 6 ......................................................................................... 124

Introducción

En Colombia, el Ministerio de Educación Nacional (MEN), en el marco de la legislación

sobre la educación inclusiva, reglamentó en el decreto 1421 del 2017, la prestación del

servicio educativo para la población con discapacidad, en los aspectos de acceso,

permanencia y calidad, desde el nivel de prescolar hasta el nivel superior. Con respecto a

las acciones derivadas de esta reglamentación, en particular para un grupo de esta

población, los sordos, el MEN procedió a implementar estrategias que aportaran a mejorar

su proceso educativo, entre ellas contratar intérpretes de la lengua de señas colombiana

(LSC), modelos lingüísticos y mediadores. Implementa además una oferta Bicultural

Bilingüe aproximadamente desde el 2006, en cooperación con el Instituto Nacional para

Sordos (INSOR), en la que se busca que el proceso de enseñanza-aprendizaje de esta

población, se desarrolle en LSC-español como segunda lengua.

El Instituto Educativo Distrital Federico García Lorca, en el cual se desarrolló este trabajo,

implementa desde 1999 un proyecto de inclusión para población sorda llamado “mis

manos, mi voz”, en los niveles de preescolar a once. Aunque en la institución se han

desarrollado proyectos para apoyar a la población sorda y dispone de una infraestructura

para favorecer su proceso de enseñanza-aprendizaje, es importante resaltar que, con

respecto al diseño y desarrollo curricular de las áreas, en básica secundaria y media, en

la actualidad solo se ha construido una adaptación curricular para la asignatura de lengua

castellana, porque esta se enseña como una segunda lengua para los estudiantes sordos,

las demás áreas y en particular la de matemáticas, carecen de esta adaptación.

Aparte de la carencia mencionada, desde la investigación consultada para el

planteamiento de este trabajo, se plantea que, debido a la adquisición tardía de la lengua

de señas, en las aulas, la edad de la mayoría de los estudiantes con discapacidad auditiva,

es 4 a 5 años mayor que la de sus pares oyentes. Esto se debe a que usualmente la

población sorda, antes de ingresar al sistema educativo, estuvo inmersa en entornos

oyentes y no tuvo la posibilidad de acceder de manera natural a una lengua que facilitara

su comunicación (H. A. Márquez, 2011). Es decir, que su primer su contacto con la lengua

natural (lengua de señas), es cuando ingresa al sistema educativo (N. Bedoya et al.,

2012). Todo esto supone la necesidad de realizar un proceso de integración al aula regular

y por tanto, el estudiante sordo ingresa a una edad más avanzada que sus pares oyentes.

(Artunduaga & Ortega, 2013; Bedoya et al., 2012; Márquez, 2011)

2 Introducción

Ahora bien, en mi experiencia docente en el área de matemáticas, he confirmado que el

nivel de desempeño de los estudiantes sordos no corresponde al grado que cursan.

Algunos estudios como los de Núñez y Moreno (2002) citados por (N. M. Bedoya et al.,

2013) indican que el desfase en el aprendizaje entre niños sordos y oyentes en términos

de año escolar, es de al menos dos años. Según (H. A. Márquez, 2011). esto ocurre porque

los niños sordos no desarrollaron el dominio de algunas habilidades propias de la primera

infancia como realizar conteos simples, debido a la carencia de una lengua que facilite la

interacción con estas experiencias construidas cultural y socialmente, experiencias que sí

poseen los oyentes.

En particular, con respecto al proceso de aprendizaje de las matemáticas de los

estudiantes sordos de grado décimo estos, presentan aún dificultades en la interpretación

y solución de situaciones problema de tipo aditivo y multiplicativo, relacionadas con las

habilidades mencionadas en el párrafo anterior. Estas dificultades se originan por manejo

insuficiente de la lengua castellana, tanto en escritura como en la lectura, y por carencias

operativas básicas (O. León et al., 2009) y esto lleva a que no puedan interpretar textos,

ni extraer información de los problemas (Artunduaga & Ortega, 2013).

La problemática mencionada respecto al manejo operativo básico es un factor que puede

incidir en los obstáculos que tienen para operar expresiones algebraicas, interpretar

diferentes representaciones de la función y resolver ecuaciones lineales. Esta situación se

sigue presentando en la institución, posiblemente porque no existe una propuesta

curricular del área, que incluya adaptaciones para apoyar el proceso de aprendizaje de los

estudiantes sordos. En el aula predomina la lengua de la mayoría del grupo, el Español

(Leon et al., 2014) y además, los docentes aún consideran que el único camino viable para

enseñar matemáticas es la lengua oral, afectando directamente el aprendizaje de los

estudiantes sordos. (Luján, 2013)

Específicamente, sobre uno de los tópicos mencionados, la función lineal, (Mora &

Parraguez, 2012) afirman que algunas dificultades de los estudiantes sordos para

comprenderla, están relacionadas con que la asumen solo como una fórmula que posee

unas propiedades y características específicas y sugieren que los estudiantes logran una

mejor apropiación del concepto función lineal, a partir de una “preparación previa, fuerte

y significativa en lo cotidiano, para que alcancen las construcciones mentales’’ del

concepto.

Introducción 3

Con respecto a las dificultades de los estudiantes sordos en la solución de ecuaciones

lineales, Chavarría (2014) señala que ellos solamente están acostumbrados a mecanizar

algoritmos para dar respuesta a un ejercicio, tienen deficiencias para leer y extraer datos,

para solucionar problemas y desconocen algunos términos algebraicos, por tanto,

presentan problemas para cambiar un registro como el lenguaje cotidiano (verbal, señas)

al algebraico.

Las problemáticas descritas en los párrafos anteriores motivaron este trabajo y nos

condujeron a buscar estrategias que permitieran incluir al estudiante sordo de manera más

significativa en el proceso de enseñanza-aprendizaje de uno de los temas identificado

como problemático; las ecuaciones lineales, con el objetivo de proponer estrategias que

permitan a los estudiantes, sordos y oyentes, comprender y aplicar conceptos asociados

con este tema. Dichas estrategias pretenden responder a la siguiente pregunta de

investigación

¿Qué actividades son adecuadas para trabajar los sistemas de ecuaciones lineales y sus

aplicaciones en un aula regular de grado décimo con estudiantes sordos y oyentes?

Para responder a la pregunta planteada se propuso como objetivo general de este trabajo:

• Desarrollar una secuencia de actividades para trabajar con estudiantes de grado

décimo: sordos y oyentes, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y sus

aplicaciones, con el apoyo de recursos educativos digitales.

Objetivo que se logró a través del desarrollo de los siguientes objetivos específicos.

• Identificar conocimientos previos de los estudiantes respecto a las ecuaciones lineales

y su solución.

• Establecer aspectos epistemológicos, disciplinares y didácticos relacionados con el

proceso de enseñanza-aprendizaje de la teoría básica de sistemas de ecuaciones

lineales y sus aplicaciones.

• Evaluar y adecuar recursos digitales pertinentes para trabajar teoría y procedimientos

matemáticos con estudiantes sordos.

• Diseñar actividades de la secuencia que incluyan representaciones visuales (dibujos,

gráficas) y simbólicas.

• Implementar y evaluar la secuencia de actividades.

4 Introducción

La descripción del proceso de desarrollo de los objetivos propuestos se presenta en el

texto en cinco capítulos que se describen a continuación:

En el capítulo 1 se incluye una caracterización de la población con la que se desarrolló la

investigación, describiendo brevemente el contexto educativo y en particular el proyecto

de inclusión “mis manos, mi voz”, pertinente a este trabajo. Como un aspecto fundamental

para precisar la caracterización de esta población se incluye además en este capítulo, la

descripción y análisis de la prueba diagnóstica.

En el capítulo 2 se describen aspectos relacionados con los marcos histórico y

epistemológico, disciplinar y didáctico que se tomaron como referencia para este trabajo.

En el marco histórico-epistemológico se presenta una síntesis del desarrollo de la teoría

de ecuaciones lineales, ilustrando con algunas interpretaciones y métodos que permitieron

abordar la solución y análisis de estas ecuaciones en etapas importantes para este

desarrollo, desde la antigüedad hasta el siglo XIX. En el marco disciplinar se describen

algunos elementos básicos de la teoría de ecuaciones lineales relacionados con el

concepto de ecuación y sistema, la caracterización de las soluciones y los métodos tanto

gráficos como analíticos que permiten resolverlas. En el marco didáctico se mencionan

algunos aspectos relacionados con los desarrollos y problemáticas de los niños sordos en

la primera infancia y su realidad en la escuela, posteriormente se describen algunas

investigaciones relacionadas con la educación matemática de los estudiantes sordos y por

último, se discute el papel de los recursos educativos digitales en la enseñanza-

aprendizaje en un contexto de inclusión con estudiantes sordos, dado que es parte de la

propuesta diseñada e implementada.

En el capítulo 3 se referencia el tipo de estudio desarrollado, el diseño de la investigación

basado en los objetivos, teniendo en cuenta las cuatro fases (Diagnóstico, planificación,

actuación y observación y reflexión) de la investigación-acción, la determinación de la

muestra y los instrumentos de recolección de la información.

El capítulo 4 incluye las cuatro actividades de aula que se diseñaron e implementaron,

mostrando en cada caso, los estándares curriculares relacionados. Se incluye un análisis

de los resultados obtenidos, detallando aspectos relevantes, como la metodología dentro

del aula, los recursos utilizados en cada actividad (instrumentos tecnológicos y recursos

digitales), el proceso de aprendizaje de los estudiantes y las dificultades presentadas

durante el desarrollo de las actividades. Finalmente, en el capítulo 5 se presentan las

Introducción 5

conclusiones y algunas recomendaciones para aquellos docentes que desean profundizar

lo planteado en este trabajo final.

1. Capítulo 1: Fase Diagnóstica

1.1 Contexto educativo

El trabajo Final que se presenta en este documento se desarrolló en el Instituto Educativo

Distrital Federico García Lorca que está ubicado en la localidad quinta de Usme, en el

barrio Yomasa (al sur de Bogotá), con estudiantes sordos y oyentes de grado décimo. Se

enmarca este trabajo en el PEI “Educando Para La Oportunidad”, cuyo modelo pedagógico

es el histórico-cultural.

La población escolar de la institución proviene de los estratos 1 y 2 y se evidencian diversas

problemáticas sociales que inciden en el desarrollo del proceso educativo, entre ellas, el

consumo y expendio de sustancias psicoactivas (marihuana, perico, cocaína, bazuco,

etc.), la pertenencia a pandillas y el desempleo de los acudientes de los estudiantes.

La institución cuenta con un proyecto de inclusión para población con discapacidad auditiva

llamado “Mis manos, mi voz”, que se sustenta en el marco de la constitución política de

Colombia 1991, (art 13, 47, 68, 69), la ley general de educación (Capítulo I, art 46, art 47,

art 48), el decreto 2082 del 1996, resolución 2065 2003, decreto 470 del 2007 (sobre la

política distrital de discapacidad), reforma 32 del 2016 a la ley general de educación (en

materia de educación inclusiva) y el decreto 1421 del 2017 sobre educación inclusiva para

población con discapacidad.

El proyecto Mis manos, mi voz, surgió en febrero en 1999 en la antigua Escuela Betania

ante la necesitada de dar atención de calidad educativa formal a 12 escolares sordos que

llegaron a la institución. En el año 2006 se inicia un proceso de sensibilización de la

comunidad educativa de la sección de bachillerato sobre el tránsito de los estudiantes

sordos de grado quinto a grado sexto y en el 2007 se integran 9 estudiantes sordos a

bachillerato con 28 estudiantes oyentes, dando origen al primer curso integrado con

interprete.

En la actualidad este proyecto tiene una estructura y prácticas organizacionales definidas

en dos modalidades: aula multigrado para preescolar y primaria y aula regular con

interprete de LSC para bachillerato. Las aulas multigrado cuentan con docentes bilingües

8 Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ecuaciones


en lengua de señas, modelos lingüísticos que por lo general están conformados por un

docente sordo bilingüe en español y docentes de apoyo para escolares sordos. En estas

aulas se inicia el proceso de adquisición de la lengua de señas, ya que la mayoría de los

estudiantes tienen padres oyentes y no cuentan con la facilidad de una lengua materna.

En bachillerato (desde sexto), los estudiantes son integrados en un aula regular con

estudiantes oyentes, esto con el fin de iniciar su proceso de inclusión social y cultural. El

aula regular no cuenta con docentes bilingües en lengua de señas, por tal razón se hace

uso de un intérprete1 que hace las veces de mediador entre la lengua de señas de los

niños sordos y el español oral y escrito de los estudiantes oyentes y docentes.

La institución tiene en la actualidad 68 estudiantes con discapacidad auditiva (sordos

profundos e hipoacúsicos), distribuidos desde el grado cero a once, 35 en preescolar y

básica primaria y 33 en básica secundaria y media. Específicamente, en grado décimo,

hay 9 estudiantes con discapacidad auditiva, todos sordos profundos. A continuación se

hace una caracterización de cada uno de ellos, de acuerdo a lo suministrado por la docente

que lidera el proyecto en la institución.

ES1. Tiene 17 años estudiante sorda profunda, adquirió su lengua de señas cuando tenía

6 años, aunque es posible que haya adquirido su lengua antes, porque tiene una hermana

sorda. Su edad corresponde con la edad promedio de los estudiantes oyentes. Su

adquisición temprana de la lengua favoreció sus aptitudes académicas. Tiene facilidad

para comprender los conceptos en matemáticas.

ES2. Tiene 23 años, sorda profunda, ingresa al colegio en condición extra-edad 12 años.

Ingresa a las aulas multigrado para un proceso de adquisición de lengua de señas. Aunque

ha presentado dificultades en las diferentes áreas, especialmente en el área de ciencias y

matemáticas, su motivación y perseverancia por aprender son su mayor fortaleza para

afrontar los retos que se le presentan cada día.

ES3. Tiene 23 años, sorda profunda. Ingresó directamente bachillerato. Proviene de un

Colegio de Villavicencio donde adquirió la lengua de señas. Aunque adquirió tarde la

1 Personas con amplios conocimientos de la Lengua de Señas Colombiana que puede realizar interpretación simultánea del español hablado en la Lengua de Señas y viceversa (Ley 982/2005)

Capítulo 1 9

lengua de señas, por su esfuerzo y buen rendimiento, se ha promovido anticipadamente a

un grado superior en dos ocasiones.

ES4. Tiene 18 años, es sorda profunda, con implante coclear, sin embargo, en la actualidad

no posee el audífono que le facilita escuchar. Ingresó desde grado sexto, se hizo

rehabilitación oral, llegó a sexto a aprender lengua de señas.

ES5. Tiene 17 años, es sordo profundo. Aprendió la lengua de señas en el colegio a una

corta edad, por ello no presenta desfase de edad con respecto a los niños oyentes.

ES6. Tiene 18 años, sordo profundo. Ingresó a los 6 años, adquirió lengua de señas en el

colegio. Su adquisición temprana de la lengua favoreció sus aptitudes académicas. Al igual

que la estudiante ES1, tiene facilidad para comprender los conceptos en matemáticas.

ES7. Tiene 23 años, sordo profundo. Ingresó sobre los 12-13 años a la institución donde

adquirió su lengua de señas. Es un estudiante que presenta bastante dificultad para

comprender los conceptos en matemáticas.

ES8. Tiene 18 años, es sordo profundo. Adquirió su lengua de señas en la institución

ES9. Tiene 17 años, es sordo profundo. Ingresó a primaria para el proceso de adquisición

de la lengua de señas, en el grado octavo sus padres lo cambiaron de la institución, sin

embargo, regresó a la institución al siguiente año. El cambio de colegio ocasionó un

desfase en el proceso de aprendizaje con respecto a sus compañeros.

1.2 Análisis Prueba Diagnóstica

Para identificar algunos conocimientos previos de los estudiantes, básicos para el trabajo

con las ecuaciones lineales, se elaboró y aplicó una prueba con 9 ítems abiertos ( Anexo:

Prueba diagnóstico). Las preguntas y problemas incluidos en la prueba hacían referencia

a propiedades de los números reales y sus operaciones, a aspectos básicos de la

interpretación de las expresiones algebraicas y sus operaciones y a la representación

geométrica y algebraica de la línea recta en el plano.

La prueba se aplicó a 35 de los 38 estudiantes del curso 1001. Tres estudiantes sordos no

asistieron el día de la aplicación.



Ítem 1

Este ítem consta de 3 puntos. En cada punto se pide hallar el opuesto aditivo y el inverso

multiplicativo de un número real. Estos conceptos se desarrollan por primera vez

finalizando el grado sexto y en grado séptimo y se van fortaleciendo en grados posteriores.

Estos conceptos están implícitos en los siguientes estándares:

Sexto a séptimo

• Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones

en las medidas.

• Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en

diferentes contextos y dominios numéricos.

• Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales

(simétrica, transitiva, etc.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa,

etc.) en diferentes contextos.

Octavo a noveno

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los

números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

Décimo a undécimo

• Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,

racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar

y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

En el ítem se observa que la determinación del opuesto aditivo no causó dificultad para la

mayoría de los estudiantes oyentes, puesto que más del 80% calculó el opuesto aditivo de

−𝟑

𝟒, 𝟓, −√𝟐. Es posible que la facilidad de este punto sea porque en el enunciado, se

define qué es el opuesto aditivo y se hace el siguiente ejemplo “Puedes comprobar que el

opuesto aditivo de 9/5 es −9/5”. Probablemente el estudiante interpretó que el opuesto

aditivo de un número se obtiene cambiando su signo.

Aunque también se definió y se hizo un ejemplo del inverso multiplicativo de un número, el

porcentaje de aciertos disminuyó, solamente el 13,79% calculó el inverso multiplicativo de

−𝟑

𝟒, el 17.24% no respondió el punto y el 48,28% de los estudiantes realizaron un proceso

Capítulo 1 11

parcialmente adecuado, pues ignoraron que el número es negativo y por tanto no

agregaron el signo al inverso multiplicativo. El 58,21% de los estudiantes determinaron el

inverso multiplicativo de 𝟓, el 27,59% no respondió el punto y solamente el 3,45% ignoró

el signo del número. El 34,48% de los estudiantes no calculó el inverso multiplicativo de

−√𝟐, el 20,69% realizaron el proceso adecuado, pero no consideraron correctamente el

signo. El resultado de este punto probablemente se debe por un lado al desconocimiento

de los estudiantes de esta propiedad de los números reales y, por otro lado, probablemente

el ejemplo dado en este ítem no aclaró mucho la situación. Se propuso el siguiente ejemplo

“El inverso multiplicativo de 9

5 es

19

5

=5

9 “. El numero del ejemplo es positivo, puede que

este hecho haya incidido significativamente en el proceso desarrollado por los estudiantes,

ya que como se mencionó, gran parte de los estudiantes ignoraron el signo para el inverso

multiplicativo de −𝟑

𝟒 y −√𝟐.

Analizando los resultados de la población sorda en este ítem se observa que, aunque el

porcentaje de aciertos, en general, es menor con respecto a la población oyente, existe

comprensión en el enunciado sobre el opuesto aditivo de un número, ya que el 66% de los

estudiantes respondieron correctamente al opuesto aditivo de −𝟑

𝟒, el 50% contestó

correctamente al opuesto aditivo de 𝟓 y el 83.33% determinó correctamente el opuesto

aditivo de −√𝟐.

Calcular el inverso multiplicativo también causó dificultad en la población sorda, ya que los

porcentajes de acierto están por debajo del 50%. Es posible que los estudiantes no hayan

comprendido el enunciado, porque más del 30% no respondió la pregunta.

Ítem 2

Este ítem consta de tres apartes que indagan por el resultado de operaciones dadas.

Desde grado tercero y cuarto se inicia con la interpretación de la fracción en diferentes

contextos. En los grados quinto y sexto los estudiantes tienen un acercamiento a las

operaciones y propiedades entre fracciones positivas, y en séptimo ya se extienden las

relaciones, operaciones y propiedades al conjunto de números racionales. En los grados

posteriores se aplican y se fortalecen estos conceptos. El MEN propone los siguientes

estándares sobre los conceptos mencionados.



Cuarto a quinto

• Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición,

relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones.

Sexto a séptimo

• Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones,

decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.




Décimo a undécimo

• Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,

racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar

y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

En este ítem se observa que menos de la mitad de la población oyente logró realizar las

adiciones y productos de números racionales, algunos estudiantes aplicaron

correctamente el algoritmo, pero ignoraron los signos al momento de operar. En particular,

el 3,45% de los estudiantes oyentes omitió el signo al realizar la adición de números

racionales y el 10,34% omitió el signo o lo ignoró, al realizar la multiplicación.

El porcentaje de aciertos de los estudiantes sordos estuvo por debajo de la población

oyente. De hecho, ningún estudiante efectuó correctamente la adición de números

racionales, solo un estudiante aplicó el algoritmo correctamente, pero ignoró los signos.

En particular, este estudiante sordo, para la adición, primero determinó fracciones

equivalentes con el denominador común y posteriormente, sumó los numeradores, sin

embargo, los signos no los tomó en cuenta y sumó como números racionales positivos.

Del total de los estudiantes, el 41,38% de los estudiantes oyentes y el 50% de los

estudiantes sordos, efectuó incorrectamente la adición de números racionales, mientras

que 37,93% de los estudiantes oyentes y el 50% de los estudiantes sordos realizó

Capítulo 1 13

incorrectamente la multiplicación de números racionales. Cabe resaltar que la mayoría de

los estudiantes saben las tablas de multiplicar y no realizan correctamente el algoritmo de

la multiplicación ni la división.

Algunos de los errores cometidos por los estudiantes con respecto a la adición y

multiplicación de números racionales son:

Adición

a) Desconocen el algoritmo de la adición de racionales (fracciones) y se limitan a

sumar numerador con numerador y denominador con denominador, posiblemente,

transfiriendo conocimiento relativo a la adición de enteros.

b) Ignoran el signo del primer término de la adición y efectúan correctamente una

adición de fracción positiva y una negativa.

c) Omiten signos de los dos términos de la adición, obteniendo un resultado

incorrecto para la operación planteada.

d) Combinan alguno de los errores anteriores. Por ejemplo, omiten el signo del primer

término y sustraen entre sí los numeradores y entre sí los denominadores de las

fracciones.

Multiplicación

a) Multiplican los términos cruzados, es decir, multiplican simplemente el numerador

de una fracción con el denominador de la otra, tratando de asociarlo al algoritmo

de la adición de racionales.

b) Ignoran los signos y aplican correctamente el algoritmo de la multiplicación a

fracciones positivas.

c) Aplican correctamente el algoritmo, pero asignan el signo tanto al numerador como

al denominador, obteniendo una fracción de signo contrario a la correcta.

d) Ignoran el signo del resultado.

Algo que se hubiera podido incluir en el ítem, es algún punto sobre la interpretación de la

fracción en diferentes contextos (interpretación parte-todo, medida, razón, cociente, etc.),

ya que es probable que todos los errores cometidos por los estudiantes se presenten

porque se enfatiza exclusivamente en enunciar propiedades y relaciones de los números

racionales y en la parte algorítmica.



Con respecto al ejercicio que pedía determinar el resultado de las operaciones indicadas:

[(4 + 5) + (−8 − 7) − (−5 + 4) + 1] − (28 − 25),

tanto los estudiantes sordos como los oyentes evidenciaron dificultades. De hecho, se

observó que bastantes estudiantes no entendían el ejercicio y por ello el porcentaje de los

que no respondieron correctamente es del 80%.

Algunos de los errores más frecuentes:

a) Lo asumen como una sustracción de naturales trasfiriendo el signo:−5 + 4 es 5 −

4 = 1.

b) Ignoran el signo menos en algún momento. Por ejemplo:−5 + 4 es 9, o −8 − 7 es

1 o (−8 − 7) − (−5 + 4) = −15 − (−1) = −16

c) Solucionan el ejercicio ignorando los paréntesis.

d) Combinan alguno de los errores anteriores. Por ejemplo (−8 − 7) − (−5 + 4) =

−15 − (−5 + 4) = −20 + 4 = −16.

Ítem 3

Este ítem está compuesto de un problema simple, que no requiere utilizar algoritmos de

operaciones. Este tipo de situaciones surgen por primera vez en los grados tercero, cuarto

y quinto, y se retoma en los grados sexto y séptimo. En este tipo de situaciones, el

estudiante utiliza el número como una medida relativa o un numero contextualizado. El

MEN propone los siguientes estándares para abordar este tipo de situaciones:

Primero a tercero

• Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas.

Cuarto a quinto

• Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos.

Sexto a séptimo

• Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variación en

las medidas.

Capítulo 1 15

En este ítem se observa que el 44,83% de los estudiantes oyentes, y la mitad de los

estudiantes sordos respondieron correctamente el problema planteado. Al ser un problema

rutinario, se esperaba un porcentaje más alto de aciertos; posiblemente esto se deba, a

una lectura incompleta o superficial de la tarea, ya que el 13,19% de los oyentes y un

estudiante sordo respondieron incorrectamente, o es probable también que una parte de

los estudiantes leen, pero no comprenden el enunciado del problema, puesto que más de

la mitad de los estudiantes decidieron no responder el ítem.

Algunas circunstancias que probablemente ocasionaron el bajo porcentaje de aciertos del

problema son:

• En algunos estudiantes oyentes se observó desinterés o apatía en el momento de

solucionar el problema, por el hecho de tener que leer.

• Se observó en dos estudiantes sordos falta de motivación, porque el intérprete no

les ayudaba a responder el ítem. Los estudiantes sordos están acostumbrados a

recibir ayuda extra de los intérpretes en las evaluaciones, aunque esta situación ya

ha disminuido considerablemente.

• Los estudiantes no están familiarizados con este tipo de situaciones y desconocen,

o no comprenden términos y relaciones como: cuánto más, cuánto menos,

incremento.

• Otros estudiantes desconocían las unidades de medida de temperatura, en este

caso la de grados centígrados (Celsius) y por tanto desecharon la oportunidad de

solucionarlo, al observar tanto término desconocido.

• Algo que sucede, no solo en grado décimo sino a nivel general en el colegio, es

que los estudiantes tienen una baja tolerancia a la frustración, por tanto, cuando se

les presenta una dificultad y no logran solucionarlo rápido, prefieren pasar a otro

punto o deciden no hacer más.

Ítem 4

Este ítem está compuesto por dos apartes, e indaga por la evaluación de una expresión

algebraica para comprobar si se satisface o no una igualdad. Este concepto se introduce

en los grados primero a tercero. En los grados cuarto a sexto se utilizan estos conceptos

para resolver problemas en diferentes contextos. En octavo y noveno surge el concepto de

igualdad como una equivalencia entre expresiones algebraicas. Aunque el concepto de



igualdad está implícito en la mayoría de los estándares propuestos por el MEN,

específicamente se plantea los siguientes estándares al respecto:

Primero a tercero

• Uso representaciones, principalmente concretas y pictóricas, para realizar

equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal.

• Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo como

cambian los símbolos, aunque el valor siga igual.

Cuarto a quinto

• Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de

relaciones entre distintos datos.

Sexto a séptimo

• Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de

números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la igualdad y la de

la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Los estudiantes presentaron bastantes dificultades para solucionar este ítem. Es probable

que la mayoría de ellos no comprendieran la tarea, puesto que más del 60% no

respondieron ningún aparte. Solo 2 estudiantes oyentes y un estudiante sordo,

respondieron correctamente el primer punto.

El segundo aparte ningún estudiante lo respondió correctamente. De hecho, solo el 28%

de los estudiantes oyentes intentaron hacer algún procedimiento. Solo un estudiante

estaba realizando el proceso adecuadamente, pero no terminó el punto. Algunos

estudiantes solamente decían si la expresión cumplía con la igualdad o no, pero no

justifican su respuesta, o no conocían procedimientos para verificar la respuesta; es

probable que respondieran al azar.

Algunos errores cometidos por los estudiantes en los dos apartes del ítem incluyen:

a) Realizar una adición incorrectamente.

b) Resultados incorrectos de algunas multiplicaciones, aún cometen errores como

𝑤2 = (−1)2 = 2

c) Omisión de algún signo.

Capítulo 1 17

d) Creer que en los términos como 𝑥2𝑦𝑤2 o 4𝑥𝑦, las letras x, y, w son dígitos de un

número. Por ejemplo, al remplazar 𝑥 por 2 e 𝑦 por 5 obtenían resultados como

4𝑥𝑦 = 425.

Ítem 5

Este ítem estaba compuesto de dos puntos. En cada punto los estudiantes deben

simplificar una expresión. La simplificación de expresiones se desarrolla en el grado

octavo, y en los grados posteriores se aplica en la solución de problemas. Un estándar

relacionado con la simplificación de expresiones es:

Octavo a noveno

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Este ítem no tiene un grado de complejidad alto, sin embargo, al igual que el anterior, los

estudiantes tuvieron bastantes dificultades para solucionarlo. Solo un estudiante sordo

solucionó correctamente los dos puntos, los demás estudiantes no solucionaron el ítem.

Con respecto a los estudiantes oyentes, se observa que menos del 40% solucionó

correctamente el ítem y más del 40% de los estudiantes no intentó solucionar los puntos.

Algunos de los errores cometidos por los estudiantes que respondieron los dos puntos del

ítem son:

a) Ignorar el signo menos.

b) Traducir la adición de enteros como una sustracción de naturales, trasponiendo

signo. Por ejemplo: es muy común que un estudiante a una operación como: 5 − 6

la tome como una resta en el conjunto de los números naturales. (Como se comentó

en un ítem anterior)

c) Ignoran la letra en la expresión algebraica. Por ejemplo: al simplificar la expresión

3𝑥 + 25𝑦 + 15𝑥 − 30𝑦, algunos estudiantes suman los coeficientes y agregan una

de las letras o las dos, sin tener conciencia del error. Por ejemplo 3𝑥 + 25𝑦 + 15𝑥 −

30𝑦 = 13𝑥𝑦

d) Ignoran algunos términos en la expresión algebraica. Por ejemplo: al simplificar la

expresión 21𝑎 − 15𝑏 + 2𝑎, suman 21𝑎 + 2𝑎, ignorando el término −15𝑏.



Ítem 6

Este ítem está compuesto por dos apartes. En cada uno debe determinar el valor de 𝑥 que

satisface la igualdad. Desde la básica primaria los estudiantes pueden solucionar

ecuaciones utilizando el método de ensayo y error. En los grados sexto y séptimo se

fortalecen estos métodos y a partir del grado octavo se formalizan estos procedimientos.

Sobre solución de ecuaciones el MEN propone los siguientes estándares, en algunos

casos está implícito el concepto.

Primero a tercero

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de

transformación.

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones de variación proporcional.

Cuarto a quinto

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición,

transformación, comparación e igualación.

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa

y producto de medidas.

• Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa.

Sexto a séptimo

• Utilizo métodos informales (ensayo y error, complementación) en la solución de

ecuaciones.

Octavo a noveno

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las

ecuaciones algebraicas.

• identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

El 83,33% de los estudiantes sordos no respondieron este ítem. Solo uno intentó

solucionarlo, pero no logró obtener la respuesta correcta. De los estudiantes oyentes, solo

el 31,03% calculó correctamente el valor de 𝑥 de la ecuación 3𝑥 + 2 = −1, los demás

Capítulo 1 19

estudiantes no respondieron el punto y solo el 10,34% calculó correctamente el valor de 𝑥

en la ecuación −4𝑥 − 2 = 6𝑥 + 8. Un estudiante dejó el proceso incompleto y los demás

estudiantes no respondieron el ítem.

De los estudiantes que calcularon correctamente el valor de 𝑥, solo uno transformo la

ecuación en ecuaciones equivalentes para despejar la incógnita, los demás usaron el

método de ensayo y error para determinar el valor correcto. Aunque el método informal de

ensayo y error es un método válido para hallar el valor correcto, es un método que se

introduce en primaria y se fortalece en sexto y séptimo, pero desde grado octavo se trabaja

en los métodos formales y por tanto, en grado décimo se esperaría que los estudiantes

sean capaces de utilizar métodos formales para despejar la incógnita.

Ítem 7, ítem 8, Ítem 9

Estos ítems están dedicados a la interpretación geométrica y algebraica de la línea recta.

En el ítem 7, se pregunta sobre la pendiente de una recta que pasa por dos puntos. Se

pide graficar la recta y hallar una recta paralela a la recta graficada inicialmente. En el ítem

8, se le proporciona la gráfica de una recta y el estudiante debe hallar la ecuación que

representa la recta. En el ítem 9 se da una ecuación lineal para que el estudiante realice

una interpretación geométrica de esta. Los conceptos involucrados en estos ítems se

desarrollan en los grados octavo y noveno y están basados en los siguientes estándares.

Octavo a noveno

• Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva

que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

• Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación

algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las

representan.

En estos tres ítems, solo un estudiante oyente contestó correctamente uno de los puntos

correspondientes al ítem 7, en donde se pide dibujar la recta y trazar una recta paralela a

la recta dada. Algunos estudiantes oyentes, no supera el 15%, respondieron

incorrectamente algún punto de estos ítems y el restante de la población total, incluyendo

los estudiantes sordos, no respondieron a estos ítems.



Para terminar, es importante resaltar que una de las dificultades que presentan los

estudiantes desde que inician grado octavo es el uso y significado de la letra. Como

menciona Grupo Azarquiel (1993) “la posibilidad de representar con una sola letra un

conjunto de valores y el hecho de poder manejarlo de forma sencilla es, precisamente, lo

que hace que el algebra sea de gran utilidad”. Sin embargo, los estudiantes de grado

décimo no ven la letra como un número generalizado, aún necesitan experiencias

concretas para solucionar problemas, por tal motivo, cuando se les presenta una situación

formal y abstracta como la de los ítems 4, 5 y 6, no saben cómo abordarlos, prefieren

ignorarlos y solucionar ítems de menor complejidad. Desde esta posición, los culpables

directamente somos los docentes que enseñamos en estos grados, puesto que no

proponemos situaciones y actividades que permitan realizar una transición más

significativa de la aritmética al algebra.

Generalmente, el docente inicia el algebra con situaciones rutinarias y

descontextualizadas, con símbolos alfanuméricos, centrados en la parte algorítmica,

situaciones probablemente obtenidas de un texto. Estas letras que surgen no tienen un

significado aún para el estudiante, puesto que no se realizaron actividades previas

concretas que permitieran su interpretación correcta.

Por ejemplo, si se les plantea que simplifiquen la siguiente expresión 3𝑥 + 25𝑦 + 15𝑥 −

30𝑦, se espera que los estudiantes sumen las 𝑥 y luego sumen las 𝑦, estos procedimientos

suelen olvidarlos porque no relacionan la letra con un conjunto numérico. Esta forma de

proceder contribuye a que el estudiante vea estos símbolos como una “Cosa matemática

extraña” sin significado y por tanto, este problema que viene desde séptimo y octavo,

posiblemente llevó a que los estudiantes del grupo en el que se aplicó la prueba no

intentaran resolver los ítems 7, 8 y 9, ya que involucran objetos extraños que no entienden

cómo funcionan.

Por último, otro aspecto a resaltar en la evaluación diagnóstica es que se evidencia un bajo

nivel de interés y participación de los estudiantes. Cuando observan un ejercicio, problema

o tarea con un grado de dificultad alta, los estudiantes evitan abordarlo. Esto sucede

primero, por su baja tolerancia a la frustración ante la dificultad, segundo, por el sistema

Capítulo 1 21

de evaluación implementado en el colegio, puesto que es permitido reprobar dos áreas

para ser promovidos, esto causa un facilismo en los estudiantes, induciendo a que ellos

puedan decidir en qué asignaturas enfocarse para pasar el año y tercero, como ya se

mencionó anteriormente, por la metodología empleada por los docentes, en ocasiones el

docente es muy tradicional y se centra en la parte algorítmica dejando de lado el significado

los objetos matemáticos.

2. Capítulo 2: Marco Teórico

La construcción de esta síntesis esta guiada principalmente por la Tesis doctoral de

Alvarez (2013), Introducción del álgebra lineal en España y Colombia durante la segunda

mitad del siglo XIX y primera del siglo XX y el artículo de Luzardo & Peña(2006): Historia

del algebra lineal hasta los albores del siglo XX. Se consultaron además para esta síntesis

algunas referencias secundarias como los libros: Historia de las matemáticas de

Boyer(1968), de Ortiz(2005) y Collette (1986), el texto Elementos de Historia de las

Matemáticas de Bourbaki (1976), el libro de Historia y Filosofía de las Matemáticas de

Ruiz(2003) el libro de Acevedo de Manrique & Falk de Losada(1997) Recorriendo el

Algebra: De la Solución de Ecuaciones al Algebra Abstracta y el libro de Socas, Camacho,

Paralea, & Hernández(1996) Iniciación al algebra.

2.1 Marco Histórico-Epistemológico

A continuación se mencionan algunos aspectos relacionados con la evolución de la teoría

de ecuaciones lineales en diferentes momentos de desarrollo del conocimiento algebraico,

que son relevantes para el diseño de la secuencia de actividades.

2.1.1 Ecuaciones lineales.

Recordemos que una ecuación lineal de primer grado (grado uno) es una expresión de la

forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes y 𝑥 es una variable. Solucionar este tipo

de ecuación es determinar los valores de la variable que satisfacen la igualdad.

Los historiadores afirman que una de las primeras civilizaciones en plantear un método

(que hoy interpretamos como informal) para solucionar ecuaciones lineales, fue la egipcia.

Algunos de los problemas relacionados se encuentran en el papiro de Rhind (1650 a.C) y

el papiro de Moscú (1850 a.C). En estos documentos llaman a la incógnita “aha” que

significa montón. Uno de los problemas del papiro de Rhind asociado a una ecuación lineal

es el siguiente:



“Un montón y un séptimo del mismo es igual a 19”. Hoy interpretamos que el objetivo es

determinar el montón y para solucionar la ecuación lineal que modela este problema, los

egipcios utilizaban la regla de la falsa posición2.

En el lenguaje actual la ecuación lineal que modela este problema es:

𝑥 +1

7𝑥 = 19,

donde 𝑥 = 𝑎ℎ𝑎 representa el valor desconocido. El valor que se propone en el papiro para

aplicar el método de la falsa posición es 7, para facilitar el cálculo, no obstante, se puede

utilizar cualquier número múltiplo de 7. En este caso, sustituyendo por 7 se tiene que 𝑥 +

1

7𝑥 = 7 + 1 = 8. En el papiro se indica que “tantas veces haya de multiplicarse 8 para dar

19, esas veces habrá de multiplicarse 7 para dar la cantidad en cuestión”(Puig, 2006), es

decir, para encontrar la solución de la ecuación se debe determinar un número que

multiplicado por 8 de 19, es decir, 8 ∙ 𝑁 = 19 y la solución del problema sería 𝑁 ∙ 7. El

problema se reduce a realizar la operación 𝑁 =19

8. Para la solución de esta división, los

egipcios, por sus dificultades en el manejo de fracciones (de numerador diferente de la

unidad debían descomponer la fracción en fracciones simples), multiplicaban el divisor por

potencias de 2 hasta obtener el dividendo. En este caso se obtiene:

1 → 8

2 → 16

1

2 → 4

1

4 → 2

1

8 → 1

La columna izquierda indica el valor que se multiplica con 8 y la columna derecha indica el

resultado de la operación. El resultado se obtiene sumando los valores de la columna de

la derecha que den 19. En este sentido se tiene:

16 + 2 + 1 = 8 × 2 + 8 ×1

4+ 8 ×

1

8= 8 (2 +

1

4+1

8)

2 La regla de la falsa posición consiste en asumir un valor para “aha” que probablemente no es el correcto (facilita los cálculos) pero permite determinar la solución correcta.

Capítulo 2 25

Por tanto, 8 ∙ 𝑁 = 19 = 16 + 2 + 1 = 8 (2 +1

4+1

8), donde 𝑁 = (2 +

1

4+1

8). Luego, la

solución del problema se obtiene al multiplicar (2 +1

4+1

8) ∙ 7. En el papiro, las soluciones

siempre las dan en números enteros y fracciones de la forma 1

𝑛.

Otra de las civilizaciones que planteó un método para resolver ecuaciones lineales

requeridas para resolver un problema, fue la babilónica (2000 a.c-600a.c). En tablillas

encontradas, con escritura cuneiforme, aparece la resolución de ecuaciones lineales con

ejemplos concretos. Algunos autores suponen que estos problemas eran considerados

elementales, puesto que eran ejercicios escolares utilizados en la formación de escribas

que necesitaba la sociedad babilónica para sus transacciones comerciales.

Una de las tablillas (YBC 4652), tiene problemas en donde proponen calcular la masa de

rocas y cuya solución se obtiene a partir de ecuaciones lineales. Algunos de estos tienen

métodos de solución y otros solo muestran la respuesta. Algunos de los problemas

propuestas en esta tablilla son:

• Tengo una piedra, de la que no sé su peso. La añado 1/7 de su peso y después

1/11 del resultado. Este peso final es una mina. ¿Cuál es el peso de la piedra?

(Tomado de Rubio, 2008).

• Tengo una piedra, de la que no sé su peso. Le resto a su peso una sexta parte y

añado una tercera parte de una octava parte de todo lo anterior. Si peso el conjunto

es una mina. ¿Cuál es el peso de la piedra? (Tomado de Rubio, 2008).

• Encontré una piedra, pero no la pesé; después pesé seis veces (su peso) y sumé

2 gin, después sumé la tercera parte de la séptima parte de esta cantidad

multiplicada por 24. Todo pesa una mina. ¿Cuál es el peso original de la piedra?

(Tomado de Dalcín & Olave, 2007).

En cada caso se utilizan las unidades de medida de mina y gin, cuya equivalencia

corresponde a: 1 mina=60gin=0.5kg aproximadamente.

Desafortunadamente, muchos de los procedimientos evidenciados en las tablas son

demasiados imprecisos y aunque se observa el uso de fracciones, no es posible establecer

qué algoritmo utilizaron para la solución. Aunque existe gran variedad de problemas

aritméticos expuestos en las tablas de los babilonios, no hay evidencia que ellos utilizaran

el método de la falsa posición para resolverlos. Sin embargo, sí existen algunos problemas

geométricos en donde se evidencia claramente el método de la falsa posición.



Otras de las civilizaciones antiguas que hizo grandes aportes a la matemática, fue la

griega, pero los matemáticos griegos no profundizaron sobre los problemas lineales,

posiblemente tenían una forma de resolverlos, pero no se conoce, aunque desarrollan una

teoría abstracta de carácter lineal que se encuentra organizada en los libros V sobre

magnitudes y libro VII, sobre propiedades de los números enteros en los Elementos de

Euclides (300 a.C).

Un importante matemático griego que profundizó en el estudio de problemas de tipo lineal,

fue Diofanto De Alejandría (214 d.C-298 d.C aproximadamente), cuya principal obra

conocida es “Arithmetica”, trabajo que consta de trece libros de los cuales solo existen los

primeros seis. Es una obra que no tiene nada en común con los grandes clásicos de la

época antigua, representa una nueva rama y muestra un enfoque diferente. Por ejemplo,

mientras que en el álgebra egipcia y mesopotámica solucionaban problemas sobre

medidas de grano, dimensiones de campos o unidades monetarias y aceptaban

aproximaciones a soluciones irracionales de ecuaciones, los números de Diofanto eran

completamente abstractos, mostraba interés en encontrar soluciones racionales positivas

de las ecuaciones, tanto para problemas determinados, como indeterminados.

Otra diferencia de la matemática expuesta en la obra de Diofanto con la matemática griega

que lo precedió, era su forma de expresarla. Mientras que en la matemática griega anterior

se escribía completamente en un lenguaje natural, la matemática de Diofanto introduce el

lenguaje sincopado, en el cual se utilizan algunas abreviaturas para simplificar la resolución

de problemas.

Algunos autores han categorizado los libros conocidos de la Arithmetica de acuerdo con

los tipos de problemas abordados. El libro I muestra problemas que involucran la solución

de ecuaciones algebraicas de la forma 𝑎𝑥 = 𝑏 y 𝑎𝑥2 = 𝑏. Los libros II al V mencionan

problemas indeterminados con expresiones de dos o más variables que poseen por lo

general un número infinito de soluciones, aunque Diofanto se conformaba con solo una

solución y el libro VI está basado en problemas con triángulos rectángulos cuya solución

se daba aritméticamente o utilizando ecuaciones algebraicas.

Capítulo 2 27

Algunos de los problemas de carácter lineal que aparecen en la obra de Diofanto son:

• Problema 1 (LIBRO 1). “Dividir un numero dado en dos partes, cuya diferencia sea

dada. Sean 100 el número y 40 la diferencia”.(Tomado de Collette, 1986)

• Problema 7 (LIBRO 1). “De algún número requerido substraer dos números dados

tal que los restos tengan el uno al otro una razón dada. Números dados 20 y 100,

razón 3:1” (Tomado de Ortiz, 2005)

• Problema 19 (LIBRO 1). “Encontrar cuatro números de modo que la suma de tres

de ellos exceda al cuarto en un número dado. Condición necesaria: la mitad de la

suma de las cuatro diferencias dadas debe ser mayor que cada una de ellas. Sean

las diferencias 20, 30, 40 y 50”.(Tomado de Ortiz, 2005)

• Problema 26 (LIBRO 1). “Dados dos números encontrar otro que, multiplicado por

ellos, resulte un cuadrado y la raíz de este cuadrado. Números dados 200 y 5”

(Tomado de Vargas, 2013)

Por último, en esta síntesis cabe mencionar que existen registros de problemas con

ecuaciones lineales en la cultura india. Estos problemas se encuentran en los Śulvasūtras

que datan del siglo III después de Cristo. En este documento aparece el siguiente

problema: hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que el área

es igual al área de un cuadrado dado. Este problema se soluciona utilizando el método de

la falsa posición, como lo hacían los egipcios. Posteriormente, estos métodos pasaron a

los árabes quienes lo difundieron por Europa.

2.1.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales.

La civilización babilónica no prestó mucha atención a la solución de ecuaciones lineales,

posiblemente porque para ellos no tenía mayor dificultad y se dedicaron, entre otros temas,

al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo grado.

Un ejemplo de la utilización de los sistemas de ecuaciones lineales, en la antigua

Mesopotamia, se encuentra en la tablilla de Croquetta que data del último periodo sumerio

hacia el año 2100 a.C. El ejemplo dice:

“Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno

produce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras

que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si

la producción total es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo?"

(Extraído de Luzardo & Peña, 2006)



En otra tablilla cuneiforme se encuentra un ejemplo de resolución de sistemas de

ecuaciones lineales, en donde se utiliza un método similar al de eliminación para

comprobar la solución. El problema es:

¼ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎 + 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 7 𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠

𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 + 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎 = 10 𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠

Los matemáticos babilonios también solucionaban sistema de ecuaciones en los que una

de las ecuaciones es de segundo grado. Por ejemplo: “He sumado el área de mis dos

cuadrados, lo que me da 21,15 y el lado de uno es 6/7 más pequeño que el lado del otro”

(Ortiz, 2005). En términos actuales, el problema se representaría de la siguiente manera:

𝑥² + 𝑦² = 21,15

𝑦 =6

7𝑥

Otro documento en donde se encuentran problemas que se modelan con sistemas de

ecuaciones lineales es el libro elaborado por el matemático chino Chuan Tsanom en el año

152 a.C, durante la Dinastía Han (206 a.C-220 d.C), llamado “nueve capítulos sobre el

arte matemático”. Este libro consta de 246 problemas sobre agrimensura, agricultura,

pertenencia de bienes, contribución, cálculo de longitudes y superficies, solución de

ecuaciones y propiedades de triángulos y rectángulos.

El capítulo VIII del “arte matemático” aborda problemas con sistema de ecuaciones lineales

de 2 y 3 incógnitas. La solución se realizaba por medio de tablas y es muy similar al sistema

matricial moderno, usaban el método Fang-Cheng, que es en esencia el método de

eliminación gaussiana de nuestros días. De hecho, se dice que Gauss consulto este libro

en un estudio sobre la órbita de un asteroide.

Para esbozar el método utilizado por los chinos, se presentará solución al siguiente

problema del capítulo 8 del libro arte matemático:

“Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la

segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera,

tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la

primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas.

¿Cuántas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada

clase?” (Extraído de Luzardo & Peña, 2006)

Capítulo 2 29

Primero se organiza la información del problema en una tabla.

𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑥)𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒(𝑦)𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑧)

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠

Se realizan operaciones entre columnas para obtener un sistema más sencillo

hasta

Del último arreglo se obtienen las ecuaciones simplificadas 36𝑧 = 99; 5𝑦 + 𝑧 = 24; y

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 39, a partir de las cuales se determinan las medidas de grano de cada

clase.

Posteriormente, aproximadamente en el siglo XVIII de nuestra era, en la cultura China, que

aún se destacaba en las matemáticas, se solucionaron sistemas de ecuaciones lineales

utilizando otros métodos, entre ellos el utilizado por Chin Kin Chao, conocido como el

“teorema chino del residuo” que se utiliza en el caso de ecuaciones con soluciones enteras

y actualmente se introduce en la teoría de congruencias.

En siglo XVI, en el Ars Magna, Cardano (1501-1576) resuelve un sistema de dos

ecuaciones lineales utilizando un lenguaje retórico, en donde los únicos símbolos que

utilizaba eran los números, escritura que era propia de la época. La solución la obtiene

utilizando la noción de determinante con una regla que llama “regula de modo”, que en

esencia es la conocida Regla de Cramer.

Se multiplicó la

segunda columna por

3

1 6 32 9 23 3 126 102 39

A la segunda columna

se le restó la tercera

columna

1 3 32 7 23 2 126 63 39

A la segunda

columna se le restó

la tercera columna

1 0 32 5 23 1 126 24 39

1 2 32 3 23 1 126 34 39

0 0 30 5 236 1 199 24 39



En el siglo XVII, tanto en Europa como en Japón, se introduce el concepto de determinante

como estrategia para la solución de sistemas lineales. En Japón se destacó el matemático

Takakasu Seki Kowa (1642-1708), quien perfeccionó los métodos de solución de sistemas

de ecuaciones propuestos por los chinos (siglo II, XIII) y llegó a plantearse sistemas de

ecuaciones de grado superior, construyendo expresiones algebraicas que utilizaban el

concepto de determinante, planteó algunas propiedades generales y a partir de ello, logró

calcular el determinante de matrices cuadradas hasta de orden 5.

En Europa, fue Leibniz (1646-1716) quien planteó una teoría de los determinantes,

obteniendo resultados sobre sistemas lineales y eliminación, que posteriormente serían

redescubiertos en el siglo XVIII y XIX. En una carta a L’Hopital (1661-1704), Leibniz explica

algunos resultados sobre sistemas lineales, incluyendo procedimientos para indicar

cuándo un sistema tenía solución. En esta carta también incluyó el proceso conocido como

“regla de Cramer”.

En otros de sus trabajos Leibniz presenta la regla de reducción para sistemas cuyo número

de ecuaciones supera en una unidad al número de incógnitas y la expansión de un

determinante usando columnas. Cabe resaltar que todas estas investigaciones de Leibniz

sobre sistemas lineales, no se publicaron en su tiempo, puesto que ninguno de estos

resultados tenía una prueba, por tanto, solo se quedaron en cartas escritas en latín que

posteriormente descubrieron y tradujeron.

En el siglo XVIII se plantearon y desarrollaron problemas que abarcaban intersección de

curvas, expresadas mediante ecuaciones, intersección de rectas y planos, intersección de

curvas planas y determinación de curvas algebraicas por puntos, entre otros problemas,

que contribuyeron al avance de la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y

determinantes.

En 1730 Colin Maclaurin (1668-1746) escribió su obra Treatrise of Algebra, que fue

publicada en 1748, dos años después de su muerte. Esta obra está compuesta de tres

partes, la primera sobre aritmética, ecuaciones lineales y cuadráticas, la segunda parte

sobre la solución de ecuaciones de grado arbitrario y la tercera parte se enfoca en el

estudio de curvas cónicas, cúbicas y bicuadradas. En la primera parte, Maclaurin formula

Capítulo 2 31

problemas que involucran sistemas de dos y tres ecuaciones utilizando como método de

solución la regla de Cramer, que prueba para sistemas 2 × 2, 3 × 3 y deja indicado cómo

funciona la regla para 4X4, sin dar explicaciones específicas.

En 1750 Gabriel Cramer (1704-1752) publica la obra Introduction á l’analyse des lignes

courbes algébriques, que consta de trece capítulos que tratan de diámetros y centros,

curvas, tangentes, puntos de inflexión, etc. En el capítulo III, propone el problema de

encontrar una cónica que pasa por 5 puntos, para ello necesita resolver un sistema de

cinco ecuaciones lineales y para su solución general, remite al apéndice I de su obra en

donde enuncia la siguiente regla: “Uno da el valor de cada incógnita formando n fracciones

de las cuales el común denominador tiene tantos términos como existan permutaciones de

n cosas”. Cramer, da explicaciones del enunciado y realiza ejemplos numéricos sencillos

para una mejor comprensión de la regla, indicando que el problema es indeterminado

cuando el denominador es nulo. Aunque Maclaurin ya había demostrado este hecho para

sistemas 2x2 y 3x3, se le atribuye el nombre de la regla a Cramer, por enunciarla de forma

general.

Posteriormente, en 1764 Etienne Bézout (1730-1783), en 1771 Alexandre Théophile

Vandermonde (1735-1796) y Pierre Simon de Laplace (1749-1827) en 1772, muestran

nuevos métodos y propiedades de los determinantes. Bézout realiza sus aportes en la

misma línea de Cramer a partir del algebra geométrica, mientras que Vandermonde en su

obra mémoire sur l’élimination, propone por primera vez una teoría conexa de

determinantes. En ambos casos, trabajaban los sistemas lineales con la eliminación de

incógnitas para sistemas más generales, obteniendo expresiones a partir de la eliminación,

que más adelante serían llamadas “determinantes”.

Por su parte Laplace se enfocó en temas distintos a los de Cramer y Bézout, relacionados

con el movimiento de los planetas y satélites. En su obra de 1772, considera un sistema

de ecuaciones de primer grado y en el proceso de solución aproximada aparece un sistema

lineal con una variable en la diagonal principal, que calcula por medio del determinante del

sistema.

Laplace indica en su obra que los métodos de Cramer y Bézout son imprácticos, realizando

una explicación de ellos y exponiendo su propio método de resolver sistema de ecuaciones



lineales sin necesidad de calcularlos explícitamente, para ello, calcula el determinante

usando menores.

Uno de los matemáticos que proporcionó una visión diferente sobre los determinantes fue

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). En su memoria Solutions analytiques de quelques

problèmes sur les pyramides triangulaires de 1773, propone expresar el volumen de una

pirámide triangular en términos de la geometría analítica, utilizando la noción de

determinante como parte esencial en la solución. En particular Lagrange prueba que la

pirámide con centro en 𝑂(0, 0, 0) y los tres puntos 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑀1(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y

𝑀2(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) tiene volumen 1

6[𝑧(𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2) + 𝑧1(𝑦𝑥2 − 𝑥𝑦2) + 𝑧2(𝑥𝑦1 − 𝑦𝑥1)].

Hasta este punto de la historia, el nombre de “determinante” no se había mencionado en

ninguna obra. El primero en hacerlo fue Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en sus

Disquisitiones arithmeticae publicadas en 1801. Gauss uso el término determinante para

referirse a lo que hoy se conoce como el discriminante de una forma cuadrática. En su

memoria, Gauss organiza los coeficientes de las formas cuadráticas en arreglos

rectangulares, describiendo la multiplicación matricial, la inversa de una matriz y la adjunta

de una matriz (sin mencionar el nombre de matriz) y el proceso para calcular el

determinante del arreglo rectangular asociado a la forma cuadrática.

Gauss realizó además aportes significativos sobre sistemas lineales. En el trabajo con los

mininos cuadrados que utilizó Gauss en sus estudios astronómicos, aparecen sistemas de

ecuaciones lineales y para su solución desarrolló un sistema numérico de eliminación de

incógnitas, que como ya se había mencionado, era conocido ya por los chinos.

Posteriormente sistematizó este proceso de eliminación de incógnitas para sistemas con

más de tres variables, método que se conoce actualmente como “método de eliminación

de Gauss”

En 1812 Cauchy realiza el trabajo sobre determinantes más completo de la época. Define

el determinante como una función simétrica alternada (que cambia de signo) de múltiples

variables. Introduce la forma general de los determinantes de orden 𝑛, destacando que

este resultado pertenece a Cramer y Laplace. Realiza procesos para desarrollar el

determinante con los elementos de la primera fila y sus adjuntos, citando a Gauss para

Capítulo 2 33

indicar que siguió los procesos en su trabajo de las formas ternarias y para señalar que

conservó el nombre de “determinante” por la facilidad para enunciar resultados. En su

tratado también expuso y probó con toda generalidad la regla de Cramer para un sistema

de ecuaciones lineales de 𝑛 ecuaciones y 𝑛 incógnitas utilizando determinantes y el adjunto

de la matriz del sistema (no menciona el término matriz) y generaliza el producto de

determinantes.

Más adelante Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) alrededor de 1830, Kronecker y

Weierstrass en 1850 y 1860 respectivamente, mostraron una visión más general de los

determinantes, realizaron algunos cambios en la algoritmia, sin cambiar la idea general

propuesta por Cauchy. De hecho, estos matemáticos encontraron un gran número de

aplicaciones de los determinantes, logrando que el concepto se conociera en todo Europa.

Por último, cabe resaltar la labor de Arthur Cayley (1821-1895) y James Joseph Sylvester

(1814-1897) en la teoría de matrices y determinantes, sobre todo en la evolución de la

notación algebraica. A Cayley se le debe la notación de determinante que se emplea

actualmente, aunque el mérito de la definición axiomática se lo llevan Kronecker y

Weierstrass. Cayley también propuso la definición abstracta de matriz con sus operaciones

de suma y producto (operaciones que ya se habían introducido superficialmente por Euler,

Lagrange y Gauss) y la construcción de la inversa, a partir del determinante. Por su lado

Sylvester propuso en gran parte el lenguaje moderno del algebra lineal e introdujo el

nombre de “matriz” para los arreglos rectangulares, de invariante, covariante,

contravariante; hizo además progresos en la teoría de autovalores de un operador lineal y

desarrolló junto con Cayley, la teoría de los invariantes de formas algebraicas.

2.2 Marco Disciplinar.

En esta sección se describirán algunos aspectos básicos de la teoría de ecuaciones y

sistemas de ecuaciones lineales, dado que esta teoría fundamenta la secuencia de

actividades

Es importante resaltar que a pesar de que estos tópicos no serán desarrollados de manera

rigurosa en el aula, el docente debe profundizar en su análisis para enriquecer la discusión

y orientación de los estudiantes.



Para construir esta síntesis se tomaron como referencia los textos sobre algebra lineal de

Takahashi(2002), Grossman(2008), Martínez & Sanabria(2014), Jiménez Moscoso (2004)

La teoría mencionada a continuación se desarrollará en el conjunto de los números Reales

y supone el conocimiento de este sistema numérico y su estructura.

2.2.1 Ecuaciones lineales.

Definición 1. Una ecuación de la forma:

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 (1)

es una ecuación lineal, en n variables (incógnitas) 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, con coeficientes

(reales) 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 y término independiente 𝑏 (b real).

Una solución a la ecuación lineal (1) es la n-pla ordenada (𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … , 𝑠𝑛) que satisface

la ecuación, es decir: 𝑎1𝑠1 + 𝑎2𝑠2 + 𝑎3𝑠3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑠𝑛 = 𝑏.

Cuando 𝑏 = 0 se dice que la ecuación lineal es homogénea. En este caso, una de las

soluciones es la n-pla (0,0, 0, … , 0).

Casos particulares de estas ecuaciones lineales son:

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 = 𝑏 y 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 = 𝑏,

ecuaciones lineales de 2 y 3 variables, respectivamente, y que usualmente se escriben

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 y 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑

que corresponden, respectivamente, a la ecuación de una línea recta en el plano y a la

ecuación de un plano en el espacio.

Con respecto a la línea recta recordemos que:

• Toda recta, excepto las perpendiculares al 𝑒𝑗𝑒 𝑥, se pueden describir por medio

de una ecuación pendiente-ordenada 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, en donde 𝑚 es la pendiente

y 𝑏 es la ordenada.

• La pendiente 𝑚 de una recta no vertical que pasa por los puntos (𝑥1, 𝑦1) y

(𝑥2, 𝑦2), está dada por:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

=∆𝑦

∆𝑥 con 𝑥2 − 𝑥1 ≠ 0

Capítulo 2 35

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente, o ambas son verticales.

2.2.2 Sistema de ecuaciones lineales.

En esta sección presentamos la definición de un sistema lineal, caracterizamos los

sistemas consistentes e inconsistentes, e ilustramos algunos métodos algebraicos y

geométricos para determinar la solución.

Definición 2. Un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 variables (incógnitas)

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, es una expresión de la forma:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

.

.

.

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Donde las 𝑎𝑖𝑗 y las 𝑏𝑖 son constantes (reales) 𝑖 = 1,2, … ,𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Una solución para el sistema anterior es una n-pla de números reales: (𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … , 𝑠𝑛) que

satisface cada una de las 𝑚 ecuaciones.

Respecto a la solución de un sistema de ecuaciones lineales se da una y solo una de las

siguientes posibilidades

a) Tiene una única solución,

b) tiene infinitas soluciones, o

Figura 1:Pendiente de una Recta



c) no tiene solución.

Teniendo en cuenta lo anterior surgen las siguientes definiciones:

Definición 3. Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene por lo menos una

solución.

Definición 4. Un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solución.

Definición 5. Dos o más sistemas de ecuaciones lineales se dicen equivalentes, si tienen

el mismo conjunto de soluciones.

Cabe resaltar que cuando los términos independientes de todas las ecuaciones son cero

el sistema de ecuaciones es consistente ya que tiene por lo menos la solución trivial

(0,0,0… ,0) y se le conoce como sistema homogéneo de ecuaciones lineales.

2.2.2.1 Sistema de ecuaciones lineales 𝟐 × 𝟐.

Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1

𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2

Los coeficientes del sistema son 𝑎11, 𝑎12, 𝑎21, 𝑎22; las variables: 𝑥, 𝑦; y los términos

independientes 𝑏1, 𝑏2. Una solución de este sistema de ecuaciones es una pareja de

valores (𝑥, 𝑦) que satisface las dos ecuaciones. Se desea determinar qué características

deben tener los coeficientes (y los términos independientes) para que este sistema tenga

una única solución, más de una solución o no tenga solución.

Recordemos que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a la ecuación de

una línea recta, solucionar el sistema está relacionado entonces con determinar si las

líneas rectas se intersecan o no.

En el proceso de determinación de la solución Utilizaremos las siguientes propiedades de

la igualdad de números reales:

Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, entonces:

I. Si 𝑎 = 𝑏 y 𝑐 = 𝑑, entonces 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑

II. Si 𝑎 = 𝑏 y c es cualquier número, entonces 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐

En el sistema de ecuaciones lineales

{𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2

(1)

Capítulo 2 37

vamos a despejar 𝑥, para ello primero eliminaremos 𝑦 y utilizaremos la propiedad II antes

mencionada. Multiplicamos la primera ecuación por 𝑎22 y la segunda ecuación por 𝑎12:

{𝑎22𝑎11𝑥 + 𝑎22𝑎12𝑦 = 𝑎22𝑏1𝑎12𝑎21𝑥 + 𝑎12𝑎22𝑦 = 𝑎12𝑏2

(2)

Los sistemas de ecuaciones (1) y (2) son equivalentes. Ahora en el sistema (2) se resta la

segunda ecuación de la primera y se obtiene.

(𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21)𝑥 = 𝑎22 𝑏1 − 𝑎12𝑏2 (3)

Como se observa, para llegar a la ecuación (3), se utilizó la propiedad I.

Por último, si 𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21 ≠ 0, se aplica de nuevo la propiedad II multiplicando la

ecuación (3) por 1

𝑎22𝑎11−𝑎12𝑎21 y se obtiene 𝑥

𝑥 =𝑎22 𝑏1 − 𝑎12𝑏2𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21

Para encontrar el valor de 𝑦 se sustituye 𝑥 en cualquiera de las ecuaciones del sistema

(1), se despeja 𝑦, y se obtiene:

𝑦 =𝑎11𝑏2 − 𝑏1𝑎21𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21

Esta solución del sistema (1) depende entonces de la expresión 𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21 que

aparece en el denominador, se presentan entonces las siguientes posibilidades:

1. El sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene única solución si y solo

si 𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21 ≠ 0.

2. El sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene infinitas soluciones o

no tiene solución si y solo si 𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21 = 0

En el primer caso, las líneas rectas del sistema de ecuaciones se intersecan en un

punto y se dice que el sistema es consistente. La segunda opción da lugar a dos

posibles escenarios: Primero, las dos ecuaciones representen una sola recta, en este

caso el sistema también es consistente con infinitas soluciones. Segundo las líneas

rectas son paralelas pero diferentes, en este caso el sistema es inconsistente, no tiene

solución.

Ilustremos con los siguientes ejemplos:



Ejemplo 1.

Considere los siguientes sistemas de ecuaciones y su interpretación geométrica.

Tabla 1: Ejemplo Sistemas de Ecuaciones consistentes e inconsistentes

a) {−2𝑥 + 𝑦 = −36𝑥 + 2𝑦 = 14

b) {2𝑥 + 𝑦 = 26𝑥 + 3𝑦 = 15

c) {𝑥 − 𝑦 = 12𝑥 − 2𝑦 = 2

Sistema con única solución

Sistema inconsistente

Sistema con soluciones infinitas

En el sistema a) se observa que la pareja (2,1) representa una solución, que además es

única. Geométricamente el sistema de ecuaciones lineales en a) corresponde a dos rectas

no paralelas en el plano y que tienen un punto de intersección, (2,1). Ahora bien, en la

condición 1 descrita anteriormente se observa que 𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21 ≠ 0 ya que al remplazar

por los valores correspondientes se tiene (−2)(4) − (6)(1) = −14.

La interpretación geométrica del sistema b) indica que las dos rectas son paralelas, por

tanto, no hay puntos de intersección entre estas, de esta forma, se puede concluir que el

sistema b) no tiene solución. Observando la condición 2 se puede verificar que 𝑎22𝑎11 −

𝑎12𝑎21 = 0 ya que al remplazar por los valores del sistema b) se obtiene (2)(3) − (6)(1) =

0. Otra forma de verificar que un sistema de ecuaciones lineales representa rectas

paralelas, es observando las pendientes. Transformando el sistema a ecuaciones

pendiente-ordenada se observa que las pendientes son iguales.

{2𝑥 + 𝑦 = 26𝑥 + 3𝑦 = 15

⟹ {

𝑦 = −2𝑥 + 2

𝑦 =−6𝑥 + 15

3

⟹ {𝑦 = −2𝑥 + 2𝑦 = −2𝑥 + 5

Capítulo 2 39

En el sistema c) se observa que las dos ecuaciones representan la misma línea recta. De

hecho, la segunda ecuación es la primera ecuación multiplicada por 2, de tal manera que

las soluciones son las mismas. Al describir el sistema como ecuaciones pendiente-

ordenada se puede concluir que el sistema está representado por una misma ecuación.

{𝑥 − 𝑦 = 12𝑥 − 2𝑦 = 2

⟹ {

𝑦 = 𝑥 − 1

𝑦 =−2𝑥 + 2

−2

⟹ {𝑦 = 𝑥 − 1𝑦 = 𝑥 − 1

Al igual que con el sistema b), 𝑎22𝑎11 − 𝑎12𝑎21 = −1 + 1 = 0, por tanto se cumple la

condición 2. En este caso podemos concluir que el sistema c) tiene infinitas soluciones, ya

que las coordenadas de todos los puntos de la recta del sistema son las soluciones. La

solución del sistema está dada por (𝑟, 𝑟 − 1), donde 𝑟 es cualquier número real.

Ejemplo 2.

Hallar la solución (𝑥, 𝑦) del siguiente sistema de ecuaciones

{𝑓1: 3𝑥 + 4𝑦 = −3𝑓2 : − 2𝑥 + 3𝑦 = 2

(1)

Para solucionar este sistema de ecuaciones encontraremos un sistema equivalente al

inicial y para ello se utilizarán las propiedades I y II de la igualdad, mencionadas

anteriormente.

Multiplicamos la primera ecuación por 1

3 , es decir 𝑓1 →

1

3 𝑓1

{𝑓1: 𝑥 +

4

3𝑦 = −1

𝑓2 : − 2𝑥 + 3𝑦 = 2 (2)

El sistema de ecuaciones (2) es equivalente al (1).

En (2) se suma a 𝑓2 dos veces la ecuación 𝑓1, 𝑓2 → 2𝑓1 + 𝑓2

{𝑓1: 𝑥 +

4

3𝑦 = −1

𝑓2 : 17

3𝑦 = 0

(3)

Se multiplica por 3

17 a 𝑓2 del sistema (3) y se obtiene



{𝑓1: 𝑥 +

4

3𝑦 = −1

𝑓2: 𝑦 = 0 (4)

Se tiene que 𝑦 = 0, por último, se sustituye el valor de 𝑦 en 𝑓1 del sistema (4) para hallar

el valor de 𝑥.

𝑥 +4

3𝑦 = −1 ⟹ 𝑥 +

4

3(0) = −1 ⟹ 𝑥 = −1

Por tanto, la solución del sistema es (𝑥, 𝑦) = (−1,0). Al reemplazar estos valores en el

sistema (1), se verifica que la solución sí satisface al sistema. Este proceso se conoce

como método de eliminación de Gauss. Método que más adelante se describirá en detalle.

Geométricamente la solución del sistema de ecuaciones lineales está dada por el punto

de intersección de las dos rectas del sistema.

Como se observa en la imagen, la intersección de las dos rectas es el punto (-1,0), que

corresponde a la solución del sistema.

2.2.2.2 Sistema de ecuaciones lineales 𝟑 × 𝟑.

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, 3 × 3, es de la forma:

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1

𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2

𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3,

Figura 2: Interpretación Geométrica de un Sistema de Ecuaciones Lineales.

Capítulo 2 41

con coeficientes reales 𝑎11, 𝑎12, 𝑎13, 𝑎21, 𝑎22, 𝑎23, 𝑎31, 𝑎32, 𝑎32 ; variables: 𝑥, 𝑦, 𝑧 y términos

independientes reales 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3. Una solución de este sistema de ecuaciones lineales es

una terna de valores (𝑥, 𝑦, 𝑧) que satisface las tres ecuaciones.

Ejemplo 3.

Halle la solución del sistema.

{

𝑓1: 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 𝑓2: 5𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2𝑓3: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

(1)

Se debe hallar tres valores 𝑥, 𝑦, 𝑧 que satisfagan el sistema (1). El método consiste en

simplificar las ecuaciones como se hizo en el ejemplo 2. Primero se intercambian 𝑓1 y 𝑓3

(𝑓1⟷ 𝑓3) {

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑓2: 5𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2 𝑓3: 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

(2)

La segunda ecuación de (2) se remplaza por la suma de la segunda ecuación del sistema

con la primera ecuación multiplicada por−5

(𝑓2⟶ 𝑓2 − 5𝑓1) {

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑓2 : − 2𝑦 + 9𝑧 = −3 𝑓3: 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

(3)

Observe que se ha eliminado 𝑥 en la segunda ecuación. Ahora, se remplaza la tercera

ecuación por el resultado de multiplicar la primera ecuación por −3 y sumarla a la tercera

ecuación

(𝑓3⟶ 𝑓3 − 3𝑓1) {

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑓2 : − 2𝑦 + 9𝑧 = −3 𝑓3 : − 𝑦 + 4𝑧 = −2

(4)

Ahora, se remplaza la segunda ecuación por el resultado de multiplicar la segunda

ecuación por −1

2



(𝑓2 → −1

2 𝑓2) {

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑓2: 𝑦 −9

2𝑧 =

3

2 𝑓3 : − 𝑦 + 4𝑧 = −2

(5)

Se remplaza la tercera ecuación por el resultado de sumar la segunda ecuación y tercera

ecuación

(𝑓3⟶ 𝑓3 + 𝑓2)

{

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑓2: 𝑦 −9

2𝑧 =

3

2

𝑓3 : − 1

2𝑧 = −

1

2

(6)

Se remplaza la tercera ecuación por el resultado de multiplicar la tercera ecuación por −2

(𝑓3 → −2 𝑓3) {

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑓2: 𝑦 −9

2𝑧 =

3

2 𝑓3: 𝑧 = 1

(7)

El valor de 𝑧 se reemplaza en la segunda ecuación y se despeja 𝑦

{

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

𝑓2: 𝑦 −9

2(1) =

3

2

𝑓3: 𝑧 = 1

⟶ {

𝑓1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1 2: 𝑦 = 6

𝑓3: 𝑧 = 1 (8)

Por último, se reemplaza los valores de 𝑦, 𝑧 en la primera ecuación

{

𝑓1: 𝑥 + 6 − 1 = 1 𝑓2: 𝑦 = 6

𝑓3: 𝑧 = 1 ⟶ {

𝑓1: 𝑥 = −4 𝑓2: 𝑦 = 6

𝑓3: 𝑧 = 1 (9)

Por tanto, la solución del sistema lineal es (−4,6,1).

Este ejemplo también se puede solucionar por medio de una representación geométrica.

En este caso, cada ecuación representa un plano dentro del espacio de tres dimensiones.

Geométricamente, la ecuación 𝑓1 del ejemplo 3 se observaría así:

Capítulo 2 43

Para hallar la solución del sistema de ecuaciones del ejemplo 3, se deben graficar las tres

ecuaciones en el mismo espacio y el punto de intersección de los tres planos es la solución

del sistema, así como se observa en el siguiente gráfico.

El punto rojo es la intersección de los tres planos, que corresponde al punto (−4,6,1).

Con la interpretación geométrica también se puede verificar si un sistema lineal 3 × 3 es

inconsistente o tiene infinitas soluciones. Como se observó en la interpretación geométrica

del ejemplo 3, se tiene que un sistema lineal 3 × 3 tiene única solución cuando los tres

Figura 3: Representación geométrica de ecuación lineal con tres incógnitas.

Figura 4: Sistema lineal 3 × 3, única solución



planos se intersecan en un solo punto. Ahora bien, un sistema lineal es inconsistente si por

lo menos dos planos son paralelos entre sí. En la siguiente tabla se observan dos ejemplos

de sistemas lineales 3 × 3 inconsistentes:

Tabla 2: Sistemas lineales 3X3 inconsistentes.

a) {

𝑓1: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 2 𝑓2: 6𝑥 − 9𝑦 − 3𝑧 = 8𝑓3: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 5

b) {

𝑓1 : − 6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 2𝑓2 : − 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 18𝑓3: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

En el sistema a) todos los planos son paralelos y en el sistema b) solo dos planos son

paralelos, que corresponden a las ecuaciones −6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 2 y −3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 =

18.

Por último, se tiene que un sistema lineal 3 × 3 tiene infinitas soluciones si cada ecuación

del sistema representa geométricamente el mismo plano o la intersección de los tres

planos es una línea recta. Por ejemplo, el sistema

{

𝑓1: 3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 4

𝑓2 : 3

4𝑥 − 𝑦 +

1

2𝑧 = 1

𝑓3 : 3

2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 ,

tiene infinitas soluciones, puesto que las tres ecuaciones representan un mismo plano,

como se observa en la siguiente figura:

Capítulo 2 45

Y por último, el sistema

{

𝑓1: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑓2: 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 0 𝑓3: 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 ,

tiene también infinitas soluciones, el conjunto solución corresponde a una línea recta. En

la siguiente figura se presenta la interpretación geométrica de la solución del anterior

sistema lineal, la intersección de los tres planos es una línea recta.

Figura 5: Sistema lineal 3 × 3 con infinitas soluciones.

Figura 6: Sistema Lineal 3 × 3, con infinitas soluciones.



2.2.2.3 Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Antes de presentar otros ejemplos, se discutirán algunos aspectos relativos a la

representación matricial de un sistema de ecuaciones, representación que facilita el

procedimiento expuesto en el Ejemplo 3.

Definición 6. Una matriz 𝐴 de tamaño 𝑚𝑥𝑛 es un arreglo rectangular de 𝑚 ∙ 𝑛 números

reales dispuestos en 𝑚 filas y 𝑛 columnas, escritos entre en paréntesis, como sigue:

𝐴 = [

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

]

Los números 𝑎11, 𝑎1,2, … 𝑎𝑚𝑛, donde el primer subíndice indica la fila y el segundo subíndice

la columna de localización de cada número real en la matriz. Cabe resaltar que si 𝑚 = 𝑛,

entonces la matriz recibe el nombre de matriz cuadrada, de lo contrario se llama

rectangular.

La matriz 𝐴 también se puede escribir como: 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1,2, … ,𝑚 𝑦 𝑗 = 1,2, … 𝑛.

Ejemplo 4. La siguiente es una matriz de tamaño 3 × 3. Tiene 3 filas y 3 columnas

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

] = [5 −8 37 4 −21 7 6

]

Definición 7. (Matriz de coeficientes del sistema)

Dado el sistema

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

.

.

.

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚,

se llama matriz de coeficientes del sistema (coeficientes del sistema) al arreglo rectangular

formado por los coeficientes de las incógnitas del sistema, cada fila corresponde a los

coeficientes de una ecuación y cada columna a una incógnita.

La matriz de coeficientes del sistema anterior es entonces:

Capítulo 2 47

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

⋯𝑎1𝑛𝑎2𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

]

Ejemplo 5. Observe el siguiente sistema de ecuaciones lineales

{

𝑓1: 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑓2: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5

𝑓3: 𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = −5 (1)

La matriz de coeficientes del sistema (1) es

𝐴 = [1 −2 12 1 −11 3 −4

]

Usando la definición del producto matricial3, el sistema de ecuaciones lineales se puede

expresar como la ecuación matricial 𝐴𝑋 = 𝐵, en donde 𝐴 es la matriz de tamaño 𝑚 × 𝑛 de

los coeficientes, 𝑋 es una matriz (columna) 𝑛 × 1 de incógnitas y 𝐵 es la matriz (columna)

𝑚 × 1 de los términos independientes.

[

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22


⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

] [

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

] = [

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚

]

𝐴 𝑋 𝐵

Está expresión se puede simplificar utilizando solamente los coeficientes del sistema y los

términos independientes utilizando lo que se conoce como matriz aumentada.

Definición 8. Se denomina matriz aumentada del sistema 𝑨𝑿 = 𝑩, al arreglo rectangular

formado por la matriz del sistema 𝐴 y una columna 𝐵 formada por los términos

independientes. La matriz aumentada del sistema anterior se expresa como:

[𝑨 |𝑩] = [

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22


⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

|

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚

]

3 Sea 𝐴 una matriz 𝑚 × 𝑛 y sea 𝐵 una matriz 𝑛 × 𝑝, entonces el producto entre 𝐴 y 𝐵 es una matriz 𝐶 de

dimensiones 𝑚 × 𝑝 en donde cada elemento de la matriz C es 𝑐𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝐵𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 +⋯+ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗, donde

𝐴𝑖, 𝑖 = 1,2,3… ,𝑚 es la fija 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 de la matriz 𝑨 y 𝐵𝑗 con 𝑗 = 1,2,3… , 𝑝 es la columna 𝑗 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 de la matriz

𝐵.



Ejemplo 6. La matriz aumentada del sistema de ecuaciones del ejemplo 5 se expresa

como:

[𝑨 |𝑩] = [1 −2 12 1 −11 3 −4

|45−5]

Para solucionar un sistema de ecuaciones lineales utilizando la expresión matricial es

necesario definir algunas operaciones (llamadas operaciones elementales) entre las filas

de una matriz. Estas operaciones ya se han utilizado en el Ejemplo 3 y constituyen un

procedimiento consistente puesto que se fundamentan en propiedades de la igualdad de

números reales. La siguiente definición pretende formalizar estos procedimientos.

Definición 9. [Operaciones elementales entre filas (O entre ecuaciones)] Dada una

matriz (o una ecuación) se llamarán operaciones elementales entre filas (o entre

ecuaciones) a cada uno de los siguientes procedimientos:

• Reemplazar la fila 𝒇𝒊 por un múltiplo 𝒄 ≠ 𝟎 de esta fila. 𝒇𝒊⟶ 𝒄𝒇𝒊

• Sumar a la fila 𝒇𝒊 un múltiplo de la fila 𝒇𝒋. 𝒇𝒊⟶ 𝒇𝒊 + 𝒄𝒇𝒋

• Intercambiar (o permutar) las filas 𝒇𝒊 y 𝒇𝒋. 𝑓𝑖 ⟷ 𝑓𝑗

Definición 10. (Matrices equivalentes). Dos matrices son equivalentes si al realizar

operaciones elementales sobre las filas (o columnas, en teoría más general) de una de

ellas se obtiene la otra. Dos matrices aumentadas son equivalentes, si los sistemas que

representan tienen la misma solución.

Definición 11 (Matriz escalonada). Una matriz se llama escalonada por renglones (o

escalonada) si cumple las siguientes propiedades:

1. Todos los renglones cuyos elementos sean todos cero, se encuentran en la parte

inferior de la matriz.

2. El primer elemento diferente de cero de cada renglón, está a la derecha del primer

elemento diferente de cero del renglón anterior.

Ejemplo 7. Las siguientes matrices son escalonadas por renglones

Capítulo 2 49

[1 −2 10 1 −10 0 −4

] [0 5 −80 0 40 0 0

−300] [

4 5 −80 3 40 0 0

−356]

Definición 12 (Matriz escalonada reducida). Una matriz se llama escalonada reducida si

cumple las propiedades 1 y 2 de la Definición 11 y si además cumple las siguientes

propiedades:

3. En cada renglón, el primer elemento diferente de cero (Pívot) es igual a 1.

4. Todos los elementos por encima de los pivotes son cero.

Ejemplo 8. La siguiente matriz es escalonada reducida.

[

1000

0000

0100

0010

0001

−410−2

]

En este ejemplo se observa que se cumplen las cuatro condiciones. El primer elemento

diferente del cero del renglón, llamado pívot, está siempre a la derecha del primer elemento

diferente de cero de un renglón anterior. El primer elemento diferente de cero de cada

renglón es igual a 1. Por último, todos los elementos de la columna que tiene el pívot del

renglón son cero.

Con estos elementos teóricos vamos a solucionar el sistema de ecuaciones lineales del

Ejemplo 5.

Ejemplo 9. Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

{

𝑓1: 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4𝑓2: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5

𝑓3: 𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = −5 (1)

El primer paso es expresar el sistema usando una matriz aumentada.

[𝑨 |𝑩] = [1 −2 12 1 −11 3 −4

|45−5]

Posteriormente, utilizando las operaciones elementales entre renglones, se obtendrá una

matriz equivalente y escalonada.



[1 −2 12 1 −11 3 −4

|45−5]

𝒇𝟐⟶ 𝒇𝟐−𝟐𝒇𝟏 𝒇𝟑⟶ 𝒇𝟑−𝒇𝟏→ [

1 −2 10 5 −30 5 −5

|4−3−9]

𝒇𝟐⟶𝟏

𝟓𝒇𝟐

→ [

1 −2 1

0 1 −3

50 5 −5

|

4

−3

5−9

]

𝒇𝟑⟶ 𝒇𝟑−𝟓𝒇𝟐→ [

1 −2 1

0 1 −3

50 0 −2

|

4

−3

5−6

] 𝒇𝟑⟶−

𝟏

𝟐𝒇𝟑

→ [

1 −2 1

0 1 −3

50 0 1

|

4

−3

53

]

La matriz escalonada ofrece el primer valor del sistema. En este caso 𝑧 = 3. Realizando

“sustitución hacia atrás” se obtienen los otros dos valores. El sistema de ecuaciones

equivalente obtenido quedaría:

{

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4

𝑦 −−3

5𝑧 = −

3

5 𝑧 = 3

→

{

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4

𝑦−3

5(3) = −

3

5

𝑧 =1

6

→

{

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4

𝑦 =6

5

𝑧 =1

6

→

{

𝑥 − 2 (

6

5) + 3 = 4

𝑦 =6

5 𝑧 = 3

→

{

𝑥 =

17

5

𝑦 =6

5 𝑧 = 3

La solución del sistema está dada por la tripla: (17

5,6

5, 3).

2.2.2.4 Método de Eliminación de Gauss.

Como se observó en la sección anterior, el método de eliminación de Gauss es un

procedimiento sencillo para determinar la solución del sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 =

𝐵. A continuación se describe detalladamente este método:

El método de eliminación de Gauss consiste en transformar el sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 usando una

matriz escalonada por renglones y esto se logra a partir de una sucesión de operaciones

elementales que no alteran el conjunto solución:

1. Se forma la matriz aumentada de sistema [𝑨 |𝑩]

2. Se aplican operaciones elementales entre filas a la matriz aumentada, hasta obtener

una matriz equivalente que sea escalonada por renglones.

Capítulo 2 51

3. En el sistema equivalente obtenido, se despeja el valor de la última incógnita y luego

se realiza sustituciones hacia atrás para encontrar los valores de las otras incógnitas.

En el Ejemplo 9 se utilizó este procedimiento para hallar la solución al sistema de

ecuaciones lineales

Existe una variante al método de eliminación de Gauss, conocido como eliminación de

Gauss-Jordan. El método consiste en formar la matriz aumentada, posteriormente, con

operaciones elementales entre filas se obtiene una matriz escalonada reducida y se

encuentra la solución inmediatamente. La variante de este proceso con el de eliminación

de Gauss, radica en que se realizan más operaciones elementales para hallar la solución

inmediatamente, sin la necesidad de hacer sustituciones hacia atrás.

Ejemplo 10. Utilizando el sistema del ejemplo 9, completemos el procedimiento utilizando

la eliminación de Gauss-Jordán:

Se continua desde la matriz escalonada obtenida en el Ejemplo 9 y se realizan operaciones

elementales hasta obtener la matriz escalonada reducida.

[

1 −2 1

0 1 −3

50 0 1

|

4

−3

53

] 𝒇𝟏⟶ 𝒇𝟏+𝟐𝒇𝟐→

[ 1 0 −

1

5

0 1 −3

50 0 1

||

14

5

−3

53 ] 𝒇𝟏⟶ 𝒇𝟏+

1

5𝒇𝟑

→

𝒇𝟐⟶ 𝒇𝟐+3

5𝒇𝟑

→

[ 1 0 00 1 00 0 1

||

17

56

53 ]

La solución del sistema está dada por: (17

5,6

5, 3).

En un apartado anterior se realizó interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones

lineales 3 × 3, inconsistentes y con infinitas soluciones. Utilizando el método de eliminación

se solucionarán estos sistemas.

Ejemplo 11. Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones 3 × 3



Tabla 3: Ejemplo Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

a) {

𝑓1: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 2 𝑓2: 6𝑥 − 9𝑦 − 3𝑧 = 8𝑓3: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 5

b) {

𝑓1: 3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 4

𝑓2 : 3

4𝑥 − 𝑦 +

1

2𝑧 = 1

𝑓3 : 3

2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 ,

c) {

𝑓1 : − 6𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 2𝑓2 : − 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 18𝑓3: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

[2 −3 −16 −9 −32 −3 −1

|285] [

3 −4 23/4 −1 1/23/2 −2 1

|412] [

−6 4 −2−3 2 −11 2 1

|2181]

𝒇𝟏⟶ (𝟏/𝟐)𝒇𝟏

[1 −3/2 −1/26 −9 −32 −3 −1

|185]

𝒇𝟏⟶ ( 𝟏/𝟑) 𝒇𝟏

[

1 −4/3 2/33/4 −1 1/23/2 −2 1

|4/312]

𝒇𝟏⟶ (−𝟏/𝟔)𝒇𝟏

[1 −2/3 1/3−3 2 −11 2 1

|−1/3181]

𝒇𝟐⟶ 𝒇𝟐 − 𝟔𝒇𝟏 𝒇𝟑⟶ 𝒇𝟑 − 𝟐𝒇𝟏

[1 −3/2 −1/20 0 00 0 0

|123]

𝒇𝟐⟶ 𝒇𝟐 − (𝟑/𝟒)𝒇𝟏 𝒇𝟑⟶ 𝒇𝟑 − (𝟑/𝟐)𝒇𝟏

[1 −4/3 2/30 0 00 0 0

|4/300]

𝒇𝟐⟶ 𝒇𝟐 + 𝟑𝒇𝟏 𝒇𝟑⟶ 𝒇𝟑 − 𝒇𝟏

[1 −2/3 1/30 0 00 8/3 2/3

|−1/3174/3

]

Al realizar operaciones elementales entre filas se observa que en el sistema a) se obtiene

un sistema de ecuaciones equivalente a

{𝑓1: 𝑥 −

3

2𝑦 −

1

2𝑧 = 1

𝑓2: 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 2𝑓3: 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 3.

En este caso el sistema tiene inconsistencias en las ecuaciones 𝑓2 y 𝑓3 y por tanto se

puede concluir que el sistema lineal es inconsistente pues no tiene solución. Para el sistema

b) se obtienen las ecuaciones:

{𝑓1: 𝑥 −

4

3𝑦 +

2

3𝑧 =

4

3 𝑓2: 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 0𝑓3: 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 0.

Este sistema tiene infinitas soluciones que son la terna (𝑥, 𝑦, 𝑧) que satisfacen la primera

ecuación. Se puede hallar un conjunto solución de este sistema, solamente despejando

Capítulo 2 53

alguna variable de la ecuación 𝑓1, ya que para las ecuaciones 𝑓2 y 𝑓3 cualquier valor

satisface la igualdad. Si se toma 𝑥 = 0 y se despeja 𝑧 de la ecuación 𝑓1, se tiene que una

solución del sistema b) es (0, 𝑦, 2 + 2𝑦). En este caso, cualquier valor que se le asigne a 𝑦

generará un valor para 𝑧. Variando x se pueden calcular infinitas soluciones al sistema b).

El sistema c), al igual que el sistema a) es inconsistente, ya que no existe ningún valor

para (𝑥, 𝑦, 𝑧) que satisfaga la ecuación 𝑓2: 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 17, del sistema c).

2.3 Marco Didáctico.

En esta sección se mencionan algunos aspectos relacionados con los desarrollos y

problemáticas de los niños sordos en la primera infancia y su realidad en la escuela, se

describen algunas investigaciones relacionadas con la educación matemática de los

estudiantes sordos y se discute el papel de los recursos educativos digitales en la

enseñanza-aprendizaje en un contexto de inclusión con estudiantes sordos.

2.3.1 Niñas y niños Sordos en la primera infancia.

En la primera infancia las niñas y niños sordos tienen, desde luego, los derechos de toda

la población de la primera infancia de Colombia, sustentados por la ley 12 de 1991, la ley

1098 de 2006 y la ley 1804 del 2016. Pero, además por “las necesidades particulares

derivadas de su condición auditiva, lingüística y cultural exigen estrategias y procesos de

atención particulares por parte del estado, de modo tal, que se garanticen los entornos e

interacciones pertinentes que promuevan su desarrollo integral” (Aguirre et al., 2019, p. 4).

Las necesidades particulares de la población sorda están relacionadas con la situación

social, cultural y lingüística, que se observa en los niños que nacen o se quedan sordos a

una corta edad, por ejemplo, el impedimento de acceder de manera natural a la lengua de

sus padres, cuando estos son oyentes. Por tal motivo, los niñas y niños sordos necesitan

de un entorno particular que no se centre en sus restricciones sino en sus capacidades

sociales, cognitivas y la posibilidad de adquirir una primera lengua, que en este caso es la

lengua de señas colombiana (LSC), que facilite la interacción entre padres e hijos y que

les permita superar las restricciones mencionadas, sin afectar sus procesos de lenguaje,

pensamiento y demás dimensiones del desarrollo (Aguirre et al., 2019).



De acuerdo con lo mencionado, el Instituto Nacional para sordos (INSOR) propone un

modelo bicultural bilingüe para sordos, estructurado a partir de las políticas del estado para

el desarrollo integral de la primera infancia, la disposición legal a favor de las personas

sordas y los principios de la educación bilingüe para sordos y que está a disposición de los

actores encargados de los procesos de educación inicial en la primera infancia sorda en el

país.

En este sentido, León, Calderón, & Orjuela, (2009) plantean que la educación bicultural y

bilingüe para sordos se entiende como:

una forma de responder a las particularidades, potencialidades y condiciones

de la diversidad de población sorda, generando todas las condiciones

pedagógicas, lingüístico – comunicativas, socio comunitarias y culturales

requeridas no solo para el acceso, permanencia y promoción en el sistema

educativo formal, sino también para garantizar que esta población adquiera

una primera lengua, cuente con las bases para configurar su identidad

personal y comunitaria y tenga las oportunidades para el aprendizaje de la

lengua de la sociedad mayoritaria. En este sentido la educación bilingüe y

bicultural para sordos se constituye en la opción educativa que garantiza el

derecho de que las personas sordas sean educadas en la Lengua de Señas

Colombiana. (p. 7)

El modelo bicultural bilingüe para sordos busca que los padres comprendan que la lengua

de señas colombiana y la lengua castellana no se contraponen y pretende reconocer el

potencial lingüístico y cognitivo de las niñas y niños sordos con el objetivo que logren “los

mismos desarrollos que cualquier otro niño y que disminuya la brecha de socialización y

apropiación del mundo que históricamente ha caracterizado a esta población”.(Aguirre

et al., 2019, p.5)

A pesar de las intenciones que tienen las diferentes entidades del país respecto a los

derechos y formación de las personas sordas, existen varios factores y problemáticas que

afectan el cumplimiento de los derechos de la primera infancia sorda y su posterior

inserción a la educación formal (básica y media).

Una de las problemáticas principales, como menciona Aguirre et al. (2019), es el

diagnostico tardío de su condición, puesto que en las primeras etapas de vida no hay que

rasgos a simple vista adviertan a los padres sobre algún problema auditivo de su hijo. Por

Capítulo 2 55

lo general, los diagnósticos se realizan sobre los dos años de vida, cuando los padres

detectan algunas señales de alerta en su hijo como, por ejemplo, no atender su llamado,

no sobresaltarse ante un sonido fuerte, o el retraso en la aparición de sus primeras

palabras.

Esta problemática tiene repercusiones significativas en la adquisición de una primera

lengua y por consiguiente, también en el desarrollo del pensamiento del niño sordo. Según

Márquez (2011), cuando el niño tiene acceso a la lengua a temprana edad, como por

ejemplo padres e hijos oyentes, o padres e hijos sordos, tiene la capacidad de realizar

acciones complejas de interpretar, representar y simbolizar el mundo y lo que habita en él,

que están determinados por experiencias enmarcadas en contextos sociales y culturales,

vivenciadas cotidianamente a partir de las interacciones con el entorno, con los adultos y

con otros niños. De hecho, la interacción social que ocurre con adultos y otros niños, es

la que potencia en el niño la construcción del conocimiento sobre el mundo y la posibilidad

de estructurarlo y expresarlo a través de la lengua y el lenguaje.

Pero cuando los niños sordos nacen en entornos oyentes, no tienen la posibilidad de

adquirir de manera natural la lengua de su entorno. Esto marca algunas diferencias con

niños y niñas que si tuvieron acceso a una lengua de manera oportuna, puesto que las

capacidades mencionadas anteriormente no podrán ser desarrolladas si no existe una

forma de comunicación viable, que permita el intercambio de experiencias para el

desarrollo lingüístico, social, cultural y afectivo.

Ahora bien, cuando no se hace un diagnóstico a tiempo, las diferencias entre un niño sordo

y un niño que adquirió la lengua naturalmente serán más notorias, sobre todo cuando se

inicie la escolaridad. Solamente en el momento del diagnóstico ya puede existir un desfase

de dos o más años en el desarrollo del lenguaje y del pensamiento, por no tener los

estímulos y condiciones necesarias para la adquisición de una primera lengua(Aguirre

et al., 2019; A. Márquez, 2011).

Sobre esta problemática Aguirre et al (2019) dice que existe un periodo crítico durante la

primera infancia (aproximadamente de los cero a tres años), en el que se producen las

condiciones biológicas oportunas para adquirir ciertas destrezas, habilidades, conductas y

capacidades que posteriormente serán más difíciles de adquirir, como por ejemplo, el

habla, las habilidades sociales y otras, que en algunos casos será imposible adquirir.



Según Erzurumlu & Killackey (1982), citado por Aguirre et al (2019) hay un periodo sensible

y temporal algo más amplio, donde el cerebro es más sensible para determinadas

adquisiciones y se extiende hasta los diez años.

Otra problemática que se presenta es la carencia de atención integral desde la educación

inicial. Aunque se realice un diagnóstico de pérdida auditiva, este debe ir acompañado de

una oferta integral educativa de manera inmediata que garantice la adquisición de una

primera lengua y que así el desfase en el desarrollo de sus habilidades lingüísticas y

sociales no sea mayor.

La dificultad radica en que el diagnóstico realizado por el profesional de la salud conduce

a que los padres opten por una dirección, la ofrecida por la salud, que incluye desde

adaptación a prótesis auditivas y procedimientos quirúrgicos para implantes cocleares,

hasta rehabilitación a partir procesos terapéuticos para potenciar sus habilidades audio

vocales para el aprendizaje posterior del español oral. Estos tipos de rehabilitación tienen

un tiempo de duración para lograr los objetivos propuestos, que, si se observa desde el

lado del desarrollo de las habilidades de comunicación e interacción social, se traduciría

en más pérdida de tiempo para la niña y el niño sordo.

Posteriormente a la rehabilitación, los niños son vinculados a aulas regulares con

estudiantes oyentes y con la orientación de un docente que direcciona las actividades con

la mediación del español. Con respecto a esto, Aguirre et al. (2019) dicen “si bien las niñas

y los niños sordos participan de estos entornos, sus interacciones y procesamiento de la

información es restringida exclusivamente a lo que puedan ver, oler, tocar, degustar, pero

sin la mediación de un código compartido que les permita significar y expresar los

conocimientos que circulan y se construyen en dicho entorno” (p. 18)

De acuerdo a lo mencionado, Márquez, (2011) plantea que cuando los niños sordos

empiezan su escolarización, entran a la básica primaria con extra edad, entre dos y cinco

años mayores a los estudiantes oyentes y en ocasiones hasta con más edad. Esto se debe

a que algunas niñas y niños sordos han pasado por diferentes procesos de integración al

aula regular o han estado en las rehabilitaciones que ofrecen los profesionales de la salud.

Finalmente, y partiendo de la premisa que tanto niños oyentes como sordos nacen con la

posibilidad de adquirir las mismas habilidades, puesto que la sordera es un problema

Capítulo 2 57

fisiológico y no cognitivo (Serrano 1995, citado por Peña & Aldana, 2014), existen otros

problemas que dificultan aún más la adquisición de la lengua de señas colombiana:

• Aún se enfatiza en considerar la primera infancia sorda como una discapacidad

auditiva y no desde su condición lingüística cultural. Esto implica que los procesos

de rehabilitación inicialmente se direccionan hacia la parte fisiológica y la

producción oral, causando retrasos en la adquisición de la primera lengua. Como

mencionan (Aguirre et al., 2019)

“no se trata de una elección excluyente, sino de una decisión informada;

pues no es abandonar los procesos médicos y terapéuticos para la

rehabilitación oral de los niños, sino brindar las oportunidades para

adquirir una primera lengua, la lengua de señas, en la primera infancia,

en espacios diferenciados para cada una de las lenguas, si esa es la

decisión de la familia. Más aun, existe evidencia que muestra cómo la

lengua de señas promueve los procesos para el aprendizaje de una

segunda, que para nuestro caso es el español, bien sea a través de su

oralidad o su escritura” (p. 40)

• La desinformación de los padres de familia sobre la condición de sus hijos sordos

los lleva a utilizar solo la rehabilitación médica y como consecuencia no se logran

resultados sobre la producción oral, inician su proceso en lengua de señas de los

8 a 14 años y esto causa que no puedan adquirir destrezas y habilidades que solo

se pueden lograr entre los cero y los diez años.

• El ingreso a la escolaridad de las niñas y niños sordos muchas veces supone más

desfase a nivel social y de aprendizaje con sus pares oyentes, puesto que los

ubican en aulas regulares con docentes de apoyo que desconocen el proceso de

formación de los estudiantes sordos. La educación inclusiva no es tener sordos y

oyentes en un aula, la verdadera inclusión consiste en que puedan contar durante

la jornada con las mismas oportunidades lingüísticas y comunicativas que tienen

los niños oyentes. Esto supone también espacios para que las niñas y niños sordos

puedan compartir e interactuar con sus pares oyentes (Aguirre et al., 2019).



2.3.2 Realidad de los niños sordos en la Escuela

Los bebés sordos tienen las mismas intenciones comunicativas que sus pares oyentes, sin

embargo, el canal que permite escuchar las manifestaciones expresivas de sus padres y

adultos se encuentra restringido por la pérdida auditiva, se centran solo en captar el

lenguaje corporal y esto impide que los bebés aprendan su primera lengua (A. Márquez,

2011).

Esto significa que, si en el contexto familiar no hay hablantes en lengua de señas que

privilegie los canales de expresión y recepción, la niña y niño sordo no podrán interactuar

con pares y adultos por medio de una lengua en común, generando “serias implicaciones

sociales, educativas, comunicativas y emocionales, dado que la mayoría de ellos pasa sus

primeros seis años de vida sin la oportunidad de configurar y simbolizar el mundo a través

de las interacciones genuinas y naturales que se dan en el seno de la familia y que son

mediadas por la lengua de los padres” (León et al., 2009, p. 8).

Por lo mencionado anteriormente, los niños sordos no inician su escolaridad en la básica

primaria a los seis años como sus pares oyentes, ya que primero se deben crear las

condiciones pedagógicas para que cuenten con las experiencias significativas que los

niños no tuvieron al nacer, que por lo general se desarrollan en contextos escolares

bilingües. León et al (2009) mencionan que en los contextos escolares de naturaleza

bilingüe y bicultural se crean oportunidades significativas para:

• Establecer contactos e interacciones cotidianas con adultos sordos usuarios nativos de la LSC.

• Acceder a entornos ricos en información, experiencias significativas y ambientes de aprendizaje que privilegien el procesamiento visual de la información y la construcción, representación y simbolización de la realizada a partir de experiencias visuales y el uso de los múltiples lenguajes al servicio de la educación

• Ser orientados pedagógicamente por docentes sordos y oyentes. Estos últimos deben contar con un pleno dominio de la LSC y con amplio conocimiento sobre la comunidad sorda.

• Recuperar todos los procesos de socialización primaria que no pudieren gestarse naturalmente en el contexto familiar y acceder a oportunidades significativas para la construcción de los conocimientos escolares y de la comunidad sorda en coherencia con sus ritmos personales de construcción de conocimiento.

• Construir su identidad personal y comunitaria. (p.9)

El problema radica, en que no todas las instituciones que tienen niños sordos cuentan con

un contexto bicultural y bilingüe que permita crear las condiciones pedagógicas

Capítulo 2 59

mencionadas anteriormente, por lo que en la mayoría de los casos se integra a los

estudiantes sordos al aula regular, sin las garantías para su aprendizaje significativo,

causando una brecha aún mayor con sus pares oyentes en el desarrollo del lenguaje y el

pensamiento, que posteriormente se verá reflejada en el aprendizaje de las nociones

matemáticas.

Por ejemplo, las niñas y niños oyentes desde su primera infancia cuentan con experiencias

matemáticas informales, como utilizar sus manos para indicar la edad, establecer algún

tipo de orden simple, realizar comparaciones entre objetos por color, forma y tamaño, etc.

(A. Márquez, 2011). Solo el hecho de escuchar a un adulto mencionar algunas magnitudes

(longitud, masa, tiempo) ayudan al niño a recolectar información del mundo que lo rodea

que luego utilizará para iniciar su proceso de aprendizaje de los conceptos matemáticos

en la escuela.

Las experiencias mencionadas están restringidas para los niños sordos que adquirieron de

forma tardía su lengua, ya que la interacción con los adultos se limita a la comunicación

gestual y visual.

León et al (2014) identifican algunas problemáticas asociadas a la intención de una

educación de la población sorda en contextos de integración con oyentes:

• Una de las problemáticas es la relativa a la importancia que tiene la lengua de

señas en los procesos escolares, se identifican dos corrientes: la corriente

monolingüe y la corriente bilingüe. En la corriente monolingüe, no se tienen en

cuenta necesidades específicas en la formación de los estudiantes sordos para el

diseño y desarrollo curricular, mientras que en la bilingüe, si se tienen en cuenta.

Estudios comparativos sobre aprendizajes, evidencian que es en el campo del

aprendizaje de las matemáticas en donde la brecha entre estudiantes sordos y

oyentes se incrementa (Costanzo, 2001; citado en León et al., 2014).

• Otra problemática es la forma de escolarización de los estudiantes sordos, en las

que se identifican: i) los centros que atienden exclusivamente a población sorda, ii)

los centros ordinarios, que atienden principalmente población oyente y reciben

algunos estudiantes sordos, iii) los centros de integración, que reciben estudiantes

con diferentes limitaciones. Los centros no exclusivos para población sorda por lo

general no cuentan con las adaptaciones necesarias para ofrecerles una educación



de alta calidad a los estudiantes, algunos centros cuentan con adaptaciones

curriculares, otros tienen modalidad de intérprete, pero no cuentan con una

estructura completamente bilingüe.

• Una última problemática que mencionan León et al (2014) hace referencia a la

educación matemática en Colombia. Identifican dos situaciones que se presentan

en las aulas: el caso del profesor que domina la lengua de señas, pero no tiene la

formación disciplinar en matemáticas y en consecuencia tiene limitaciones en el

desarrollo matemático de la lengua de señas; y el caso del profesor que cuenta con

la formación disciplinar en educación matemática, pero no maneja la lengua de

señas. Algunas instituciones como el IED Federico García Lorca, institución donde

se desarrolla este trabajo, cuenta con interpretes para los niños sordos, lo que

facilita la comunicación con sus pares oyentes, docentes y demás miembros de la

comunidad educativa, pero en algunos niveles (grados) la formación disciplinar

tiene carencias y esto impide un óptimo desarrollo de las clases.

2.3.3 La educación matemática de los estudiantes sordos

A pesar de las dificultades que tienen las instituciones escolares para potenciar el

aprendizaje de las matemáticas en la población sorda, en nuestros contextos, algunos

investigadores colombianos han abordado el problema y planteado propuestas que

permiten dar una luz de esperanza hacia una educación pensada para la diversidad.

Uno de los primeros estudios reportados es el de Calderón & León (2007), un proyecto

cofinanciado por Colciencias y la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Abordan

el problema de cómo desarrollar competencias comunicativas en matemáticas con

población sorda en los primeros años de escolaridad y cuyo objetivo era diseñar una

propuesta didáctica para la formación matemática inicial de niños sordos, a partir del

desarrollo matemático de la lengua de señas colombiana y su relación con sistemas

semióticos como el castellano, el figural geométrico y el de numeración decimal. Para

alcanzar este objetivo implementaron la metodología de ingeniería didáctica, realizando un

diseño en cuatro fases: análisis preliminar, análisis a priori, experimentación y análisis a

posteriori. Unos de sus resultados principales fue la construcción de un diseño didáctico

que puso en juego algunas variables como: la cultura sorda, bilingüismo y políticas de

inclusión, procesos de aprendizaje matemático y del lenguaje en su dimensión semiótica y

Capítulo 2 61

discursiva con respecto al conteo. Adicionalmente, desde una perspectiva de la educación

bilingüe realizaron una comparación gramatical en este contexto de aprendizaje entre la

lengua de señas colombiana y el español escrito. Una de las conclusiones obtenidas es la

presencia de principios discursivos comunes entre el español y la lengua de señas

colombianas, como la unidad acto de habla con sus componentes de intencionalidad

discursiva y contenido proposicional. Por último, la investigación de Calderón & León

(2007), a partir de su diseño didáctico promovió nuevas investigaciones en el campo de la

didáctica del lenguaje y matemáticas con poblaciones sordas.

En esta misma línea, en el Décimo Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, León

et al (2009) presentan algunos avances de investigación en el campo de la didáctica de

las matemáticas y del lenguaje sobre el proceso del aprendizaje de las matemáticas de

niños sordos en los primeros años de escolaridad, identificando los elementos que

relacionan naturalmente lenguaje y matemáticas en la producción de los sistemas de

numeración y procesos de conteo y en el cual utilizaron tres sistemas de representación

semiótica de los números: LSC, lengua castellano y el indo arábigo. Una de las

conclusiones de esta investigación indica que la poca correspondencia entre los sistemas

de numeración en LSC y el de la lengua castellana escrita, dificulta a los niños la

comprensión de la comunicación numérica de las cantidades en diversos contextos. Sin

embargo, la mayor congruencia entre el registro numérico de LSC y el sistema indo arábigo

ofrece alternativas didácticas para exploraciones en el desarrollo de los procesos

aritméticos como el conteo y las operaciones numéricas. En otras palabras, los aspectos

de congruencia entre las unidades significantes de cada registro, son prioritarios para el

desarrollo de conteo y del sentido numérico en los niños.

Posteriormente Calderón et al (2011) presentan una propuesta didáctica para desarrollar

la discursividad en estudiantes sordos de niveles iniciales de educación básica en

matemáticas. Esta propuesta es un resultado diferente del proyecto de (Calderón & León,

2007) en donde indican la necesidad de configurar un estudio de la LSC en una perspectiva

discursiva. Para abordar el estudio utilizan la metodología de ingeniería didáctica y

tomando la experiencia del proyecto de aula diseñado por (Calderón & León, 2007), ponen

en escena la perspectiva del desarrollo discursivo de estudiantes sordos en los primeros

años de escolaridad. Los resultados de esta investigación revelan la necesidad de asumir

el desarrollo de la lengua de señas para la comunicación de lo matemático, además de



propiciar las condiciones para el desarrollo en los estudiantes de por lo menos tres

sistemas de representación semiótica: la LSC, el español y un registro matemático. En este

sentido, se hace necesario desarrollar la LSC no solamente para la interacción entre

profesor y estudiantes, sino hacia los modos discursivos que se dan propiamente en el

campo de las matemáticas escolares.

La investigación de Guilombo & Hernández Castro (2011), que también toma como base

el estudio de Calderón & León (2007), destaca la relevancia del lenguaje en el desarrollo

de las nociones de aritmética y geometría en la educación de los niños sordos. El

problema que abordan está relacionado con baja calidad de educación en todos los niveles

de escolaridad. En esta investigación se encontraron algunos factores que inciden en la

baja calidad de educación. Como primer factor, es que aún se concibe el estudiante sordo

como una persona discapacitada, esto ha venido cambiando con los nuevos estudios sobre

diversidad cultural. Un segundo factor, indica que los niños sordos no alcanzan niveles

competentes de lectura, debido a las dificultades de origen lingüístico, esto afecta

directamente el desarrollo del conocimiento matemático. Y un tercer factor tiene que ver

con la poca evidencia de sistematización de investigaciones y experiencias con la

población sorda en campos específicos de la didáctica del lenguaje y matemáticas. Entre

los resultados se destacan: 1) La condición de aprendizaje de una persona sorda exige un

contexto bilingüe. 2) La LSC no ha sido considerado como lengua en el ámbito escolar y

3) Los conceptos matemáticos requieren de dos lenguas y las nuevas representaciones

que estas posibilitan.

Por último, el estudio de Peña & Aldana (2014) aborda el problema sociocultural que tienen

los niños sordos para adquirir y construir conceptos matemáticos, puesto que se

encuentran inmersos en un mundo escolar cuya lengua natural es la lengua castellana, lo

que implica más barreras para el lenguaje formal de las matemáticas. Por tal razón, por

medio del concepto de función, el propósito del estudio era mostrar cómo el problema

social y cultural de la población sorda para el aprendizaje de las matemáticas, se puede

minimizar con la intervención del profesor, a partir de implementación de secuencias

didácticas y la utilización de herramientas informáticas. Las conclusiones del estudio indica

que aunque los estudiantes sordos muestran facilidad para integrarse entre ellos,

presentan dificultades para compartir experiencias con los estudiantes oyentes. Por otro

lado, la asistencia de herramientas informáticas tanto para la población sorda como la

Capítulo 2 63

oyente facilitó el aprendizaje, los motivó, les permitió utilizar diferentes registros de

representación y proporcionó más independencia en los estudiantes. Por último, la

presencia y dedicación del profesor hacia los estudiantes genera una motivación extra para

el aprendizaje, ya que se observa un trato de igualdad hacia toda la población estudiantil.

2.3.4 Recursos educativos digitales en un aula con estudiantes sordos y oyentes.

“El desarrollo de proyectos que incorporen la utilización de tecnologías de la información y

la comunicación (TIC) puede facilitar una mejora cualitativa de los procesos de enseñanza

y de aprendizaje, desarrollar capacidades y competencias, atender a la singularidad y a

las necesidades individuales de cada alumno y potenciar motivaciones que den un carácter

significativo a los aprendizajes” (Zappalá et al., 2011a).

En el caso de las personas sordas, la comunicación se apoya en un contexto

principalmente visual, que permita construir representaciones y crear significados. Por

tanto, desde la escuela se debe facilitar al estudiante sordo información que pueda

codificar y es en este aspecto, donde las TIC enriquecen y promueven distintas estrategias

en entornos especialmente visuales (como esquemas, dibujos, representaciones

simbólicas y el lenguaje propio de la disciplina), que permitan el desarrollo de la lengua de

señas, favorezcan el aprendizaje y la apropiación de conceptos, que desarrollen

competencias digitales y sean un apoyo al docente para facilitar el proceso de enseñanza

(Zappalá et al., 2011b).

Desde este punto de vista, se delimitarán las TIC a las tecnologías generadas como

entornos tecnológicos-comunicacionales, reconocidos como ambientes virtuales para

acceder a la información o el conocimiento. Para la aplicación de la secuencia didáctica de

este trabajo, específicamente se tomaron las TIC que permitieron una interacción

comunicativa directa entre los estudiantes sordos y el docente. Se utilizaron medios de

interacción como Tablets para los estudiantes, con algunas apps diseñadas para escribir

y dibujar en la pantalla. También se usaron computador y videobeam, para explicaciones

generales o la visualización del contenido. Otra herramienta permitida para los estudiantes

es el celular, con algunas aplicaciones que facilitaron la solución de las actividades, como

GeoGebra. Adicionalmente se utilizaron algunos recursos educativos digitales, como



blogs y canales de YouTube con contenido debidamente traducido a lengua de señas

colombiana.

Estas tecnologías en principio “tienen las mismas características de uso tanto para

usuarios con alguna discapacidad o para cualquier otro usuario, es decir, las ventajas que

ofrece su utilización conllevan al mismo resultado, la apropiación conceptual”. (RED

ALTER-NATIVA, 2012 citado por Velasco & Vallejo, 2013)

En consecuencia, las TIC se convierten en un valioso soporte para la educación centrada

en las diferencias, ritmos y estilos de aprendizaje individuales, ofreciendo a los estudiantes

un acceso productivo y dinámico al conocimiento. Cuando las TIC se ocupan de atender a

las poblaciones en condición de limitación auditiva, potencian su participación en la vida

social, atendiendo a sus capacidades, motivaciones e intereses.(Velasco & Vallejo, 2013).

Sin embargo, cabe resaltar que el recurso digital en sí no es el que desarrolla habilidades

y crea significados de los conceptos matemáticos, es el docente como mediador del

proceso enseñanza-aprendizaje quien a partir de la adaptación del material digital “es

responsable de diseñar tanto las oportunidades de aprendizaje como el entorno propicio

en el aula, que faciliten el uso de las TIC por parte de los estudiantes para aprender y

comunicar” (UNESCO, 2008, p. 4 citado por Velasco & Vallejo, 2013).

Así mismo, es pertinente mencionar que las actividades que desarrolle el docente deben

procurar una mediación comunicativa que esté centrada por los materiales y por las

acciones del docente, más que por el uso exclusivo de la lengua de señas o la lengua

castellana, ya que solo con el hecho de utilizarlas, el niño sordo no necesariamente

entenderá los conceptos (Márquez, 2011).

En este sentido, Nairouz & Planas (2016) mencionan la importancia de potenciar la

multimodalidad en la enseñanza de las matemáticas, dado que toda comunicación es

necesariamente multimodal y no solo lingüística, también intervienen gestos, movimientos

del cuerpo, los sonidos, etc., concluyendo que las propuestas sobre la enseñanza de las

matemáticas a los estudiantes sordos son válidas y recomendables para todos los grupos

de estudiantes, por la naturaleza multimodal de la comprensión matemática.

Capítulo 2 65

Por último, es importante mencionar que el desarrollo y aplicación de recursos digitales

facilita el proceso de aprendizaje y favorece la interacción del profesor(a) con los

estudiantes sordos, porque les permite ampliar las explicaciones de forma pertinente,

generar espacios y actividades creativas para el aprendizaje; además, si los recursos no

utilizan un lenguaje natural excesivo, favorece el desarrollo de tareas en casa, porque no

requerirán de un intérprete de apoyo para comprender las instrucciones (Rincón & Suárez,

2014).

3. Capítulo 3: Metodología

3.1 Tipo de Estudio

La investigación realizada en este trabajo de grado es de tipo cualitativo, porque “se enfoca

en comprender los fenómenos, explorándolos desde la perspectiva de los participantes en

un ambiente natural y en relación con su contexto. El enfoque cualitativo se selecciona

cuando el propósito es examinar la forma en que los individuos perciben y experimentan

los fenómenos que los rodean, profundizando en sus puntos de vista, interpretaciones y

significados”(Hernández et al., 2014).

En este trabajo se realizó un seguimiento sistemático de una situación educativa

relacionada con la enseñanza-aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales y sus

aplicaciones en un contexto sociocultural específico, la comunidad sorda.

Aunque predomina el enfoque cualitativo, también se utilizó, aunque en menor medida, el

enfoque cuantitativo, puesto que se usaron algunos conceptos de la estadística descriptiva

para analizar los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica y en la prueba de

evaluación de conocimientos del tema desarrollado.

3.2 Diseño de la investigación

Este trabajo se desarrolló bajo la metodología investigación-acción, cuyo objetivo es

estudiar en la práctica docente, las reflexiones sobre un problema presentado en el aula

de clase y a partir de esto buscar soluciones que favorezcan el aprendizaje de los

estudiantes.

Desde este punto de vista, “la investigación – acción se presenta como una metodología

de investigación orientada hacia el cambio educativo y se caracteriza entre otras

cuestiones por ser un proceso, que como señala Kemmis MacTaggart (1988); se construye

desde y para la práctica, que pretende mejorar la práctica a través de su trasformación, al

mismo tiempo que procura comprenderla y que demanda la participación de los sujetos en

la mejora de sus propias prácticas”. (Bausela, 2004)

La investigación-acción se desarrolla siguiendo un modelo de espiral en ciclos que se

resumen en cuatro fases: “(i) Diagnóstico y reconocimiento de la situación inicial. (ii)

Desarrollo de un plan de acción, críticamente informado, para mejorar aquello que ya está

ocurriendo. (iii) Actuación para poner el plan en práctica y la observación de sus efectos

68 Una secuencia de actividades para trabajar los sistemas de ecuaciones lineales

y sus aplicaciones con estudiantes sordos y oyentes de grado décimo

en el contexto que tiene lugar. (iv) La reflexión en torno a los efectos como base para una

nueva planificación.”( Kemmis MacTaggart (1988) citado por Bausela, 2004)

Teniendo en cuenta la perspectiva anterior, en este trabajo se implementaron las 4 fases

de acuerdo con los objetivos propuestos, de la siguiente forma:

Tabla 4: Fases de acuerdo con los objetivos propuestos.

Fases Objetivo Acciones

FA

SE

1

Diagnóstico

Identificar

conocimientos

previos de los

estudiantes

respecto a las

ecuaciones lineales

y su solución.

A partir del planteamiento del problema y del

contexto social y cultural de la población, se

diseñó y aplicó una prueba diagnóstica de 9

preguntas, para identificar los conocimientos

previos de los estudiantes respectos a las

ecuaciones lineales y su solución.

El instrumento de la prueba se adaptó para los

estudiantes sordos, con un diálogo previo con

el intérprete para aclarar situaciones

relacionadas con los enunciados y el

vocabulario matemático utilizado en ellos.

Se analizaron los resultados de la aplicación y

con base en las dificultades y conocimientos

previos, planeamos la secuencia de

actividades.

Capítulo 3 69

FA

SE

2

Planificación

Establecer

aspectos

epistemológicos,

disciplinares y

didácticos

relacionados con el

proceso de

enseñanza-

aprendizaje de la

teoría básica de

sistemas de

ecuaciones lineales

y sus aplicaciones.

Revisión y análisis bibliográfico de tópicos

relacionados con la solución de sistemas de

ecuaciones lineales. Consulta de aspectos

histórico-epistemológicos relativos al

desarrollo de la teoría de ecuaciones en

diferentes civilizaciones. Identificación de

aspectos didácticos relacionados con el

contexto social y cultural de la población

sorda, y con la naturaleza de la educación

inclusiva en Colombia. Revisión de algunas

investigaciones sobre el lenguaje y el

aprendizaje de las matemáticas en la

educación básica y media.

Diseñar actividades

de la secuencia que

incluyan

representaciones

visuales (dibujos,

gráficas) y

simbólicas.

Construcción de 4 actividades, con diferentes

representaciones semióticas, como la lengua

escrita, representaciones gráficas,

representaciones pictóricas y el lenguaje

algebraico. Cada actividad se discutió

previamente con una intérprete de lengua de

señas colombiana, para establecer lenguaje

común y las señas a utilizar en cada actividad.



FA

SE

3 Y

FA

SE

4

FA

SE

3 Y

FA

SE

4

Actuación y

observación

Reflexión

Evaluar y adecuar

recursos digitales

pertinentes para

trabajar teoría y

procedimientos

matemáticos con

estudiantes sordos.

Implementar y

evaluar la

secuencia de

actividades

propuesta.

La implementación de la secuencia se llevó a

cabo en el aula de clase. El desarrollo se

planteó desde una perspectiva socio-cultural.

Para ello se tomaron las tres fases de la

actividad del salón de clases propuesta por

(Radford, 2006) en su teoría de la

objetivación4.

Fase 1. Trabajo en pequeños grupos. Se

organizaron grupos de 3 o 4 estudiantes.

Cada grupo tenía la facilidad de intercambiar

información con otros grupos. En cada grupo

los estudiantes se ayudan mutuamente para

aclarar y proponer la solución de los

problemas propuestos.

Fase 2. Intercambio entre pequeños

grupos. Las reflexiones y experiencias

producidas al interior de cada grupo son

susceptibles de intercambio con otros grupos.

El propósito de este intercambio, lograr que

los estudiantes comprendieran otros puntos

de vista y mejoraran los propios.

Fase 3 Discusiones generales. Es un

espacio también propicio para intercambiar

ideas y discutirlas. Estas discusiones las

puede iniciar el profesor, para establecer

4 Es una teoría sociocultural basada en la tradición vigotskiana cuya actividad cognitiva es considerada como una actividad social, en donde el pensamiento visto desde una posición no mentalista, es una reflexión del mundo, mediatizada por artefactos, gestos, movimientos, lenguaje, signos, etc., llamados medios semióticos de objetivación.

Capítulo 3 71

ideas generales o direccionar el pensamiento

de los estudiantes hacia la solución del

problema propuesto. La discusión también la

puede iniciar cada grupo, a partir de la

socialización de resultados a los demás

grupos.

Cada fase está mediada por artefactos

(objetos, instrumentos, sistemas de signos).

Especialmente se utilizan recursos

tecnológicos como tablets y computador y

recursos digitales como algunos software

gráficos que permiten por un lado, tener una

comunicación directa entre estudiantes

sordos y docente, sin la intervención

constante del intérprete y por otro lado permite

materializar el pensamiento del estudiante.

3.3 Determinación de la muestra.

La investigación se llevó a cabo con estudiantes del Instituto educativo distrital Federico

García Lorca ubicado en el barrio Yomasa, localidad de Usme. La muestra está formada

por 38 estudiantes de grado décimo, 20 hombres y 18 mujeres, de los cuales 9 estudiantes

son sordos profundos, 4 mujeres y 5 hombres, con edades que oscilan entre los 15 a 22

años.

3.4 Instrumentos de Recolección de la Información.

La recolección de la información se hizo por medio de los siguientes instrumentos:

• Prueba Diagnóstico: es un primer instrumento que permite observar los conceptos

previos que tienen los estudiantes y es la base para la realización de la secuencia

de actividades. Para analizar la información, se organizó cada ítem en tablas,

utilizando el software Microsoft Excel para calcular porcentaje de aciertos en cada

pregunta.



• Diario del profesor: se utilizó una agenda o cuaderno que permitió detallar

momentos significativos durante el desarrollo de la clase. En este diario se anotaron

las discusiones en clase alrededor de las actividades planteadas. En este diario,

también se escribió la efectividad de cada actividad y los aspectos a mejorar, así

como se escriben las sugerencias de los estudiantes y sus aportes respecto a la

metodología y disposición de los grupos en el aula de clase.

4. Capítulo 4: Descripción y análisis de la secuencia de actividades

4.1 Descripción de la secuencia de actividades

La secuencia didáctica, que describe en este capítulo, está conformada por cuatro

actividades que relacionan tópicos de tres de los pensamientos, que se trabajan en el

currículo de matemáticas, pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento

variacional y sistemas algebraicos, pensamiento espacial y los sistemas geométricos.

4.1.1 Actividad 1.

La primera actividad (Anexo: Actividad 1) pretende que los estudiantes retomen y

profundicen en la comprensión de algunos conceptos básicos relacionados con el sistema

de los números racionales y su estructura. Conceptos que el estudiante requiere para

trabajar aspectos iniciales del álgebra y la teoría de ecuaciones lineales. La selección del

eje de la actividad tiene en cuenta una de las dificultades evidenciadas en la prueba de

entrada.

El concepto de fracción, sus formas de representación, propiedades y operaciones se

introducen por primera vez en los grados cuarto y quinto de la básica primaria, se retoman

en los grados sexto y séptimo, y a partir de allí se caracteriza el sistema de los números

racionales y su estructura. Específicamente el MEN plantea los siguientes estándares al

respecto:

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Grado cuarto a quinto

• Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición,

relaciones parte todo, cociente, razones y proporciones.

• Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y

relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes.



Grado sexto a séptimo




Grado octavo a noveno

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los

números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

Se podría asumir que los estudiantes del grado décimo, con los que se desarrolla el trabajo,

ya manejan los aspectos mencionados en los estándares anteriores, pero se observaron

dificultades relacionadas con ellos; es por esto que se optó por incluir en esta actividad

elementos pertinentes a la básica primaria: diferentes significados de la fracción,

equivalencia de fracciones, representación geométrica, orden de los racionales y el

significado de las operaciones básicas.

4.1.2 Actividad 2.

Para trabajar las ecuaciones lineales es fundamental que los estudiantes previamente

interpreten y diferencien los conceptos de igualdad, equivalencia e identidad, esta

diferenciación posiblemente se dio en los inicios del grado octavo y en los grados

anteriores, pero para determinar si esta diferenciación es clara, en la actividad 2 ( Anexo:

Actividad 2.), se revisó este aspecto antes de abordar el trabajo con las ecuaciones y los

sistemas lineales. Se planteó entonces el siguiente objetivo:

• Interpretar el concepto de igualdad en diferentes dominios (Aritmético, geométrico,

algebraico)

Los conceptos de igualdad y equivalencia se introducen informal y formalmente en los

grados primero a tercero. En el grupo de grados cuarto a sexto, se utilizan estos conceptos

para resolver problemas en diferentes contextos. En octavo y noveno se requieren estos

conceptos para comprender la equivalencia entre expresiones algebraicas. Aunque el

concepto de igualdad está implícito en la mayoría de los estándares propuestos por el

MEN, se plantean específicamente los siguientes estándares al respecto:

Capítulo 4 75

Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Grado primero a tercero

• Uso representaciones, principalmente concretas y pictóricas, para realizar

equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal.

• Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo como

cambian los símbolos, aunque el valor siga igual.


• Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de

relaciones entre distintos datos.


• Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de

números, como las de la igualdad, las de las distintas formas de la igualdad y la de

la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos


• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

4.1.3 Actividad 3.

La tercera actividad ( Anexo: Actividad 3.) se orienta a retomar y fortalecer la teoría inicial

de ecuaciones lineales en una o dos variables. Se pretende que los estudiantes den

significado a estas ecuaciones y modelen geométrica y algebraicamente situaciones que

las involucren.

Los objetivos específicos son:

• Interpretar y solucionar ecuaciones lineales de una y dos variables

• Modelar geométrica y algebraicamente situaciones problema cuya solución

necesite de ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales y su solución se introducen intuitiva e implícitamente (números

escondidos, tanteo) desde los grados de la básica primaria para solucionar diversos



problemas y ejercicios de tipo aditivo y multiplicativo, en el grado séptimo se abordan con

el uso de métodos informales de solución y en el grado octavo se trabajan explícitamente

utilizando métodos formales. Alguno de los estándares propuestos por el MEN que buscan

introducir y desarrollar la teoría de ecuaciones de manera implícita y explicita son:

Grado primero a tercero

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de

transformación.


• Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición,

transformación, comparación e igualación.

• Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa

y producto de medidas.


• Utilizo métodos informales (ensayo y error, complementación) en la solución de

ecuaciones.




4.1.4 Actividad 4.

Esta actividad ( Anexo: Actividad 4.) pretende, en primer lugar, que los estudiantes

caractericen y den significado a los sistemas de ecuaciones lineales y a su solución; y, en

segundo lugar, busca que los estudiantes se apropien de algunos métodos de solución de

los sistemas lineales. Específicamente sus objetivos son:

• Interpretar el significado de la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

• Solucionar sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3 utilizando métodos algebraicos y

geométricos.

Capítulo 4 77

• Solucionar problemas que requieran plantear y resolver un sistema de ecuaciones

lineales. 2x2.

La interpretación y solución de un sistema de ecuaciones lineales se introduce

explícitamente en el grado noveno y se usa en grados posteriores en la solución de

problemas de geometría analítica o en otras áreas de las ciencias. Algunos estándares

propuestos por el MEN, relacionados con la interpretación, solución y aplicación de sistema

de ecuaciones lineales son:


• Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.



4.2 Análisis de la secuencia de actividades

Durante el desarrollo de la secuencia de actividades se implementaron diferentes

tecnologías y recursos digitales, como el videobeam, tablets, GeoGebra, applets en

GeoGebra, páginas web, videos y un blog para subir las diferentes actividades.

4.2.1 Actividad 1.

Esta actividad está dividida en tres partes. La primera parte tiene 9 numerales que

pretenden enriquecer en los estudiantes la interpretación de la fracción como parte-todo,

en contextos discretos y continuos. Se propusieron además situaciones que requieren usar

la interpretación de la fracción como cociente y como razón.

En un primer momento, se pidió a los estudiantes que organizaran grupos de tres o cuatro

y a cada grupo se les asignó una Tablet, configurada con el software GeoGebra, el

navegador Chrome y la aplicación draw on screen que permite realizar trazos y escribir en

cualquier parte de la pantalla, se les dio además el link https://fglmath.blogspots.com para

que lo introdujeran en la barra de direcciones del navegador.

Con respecto al numeral 1, no se observaron dificultades para solucionar las tareas

asignadas. El docente pasó por cada grupo solucionando las dudas y aclarando algunas

https://fglmath.blogspots.com/



situaciones de escritura e interpretación inicial. Por ejemplo, para expresar usando una

fracción, la parte sombreada del área de la región representada en la Figura 7, los

estudiantes realizaban una comparación entre la parte sombreada y la no sombreada,

escribían fracciones como 4/5, el docente les indicaba que el enunciado pedía que

representaran en fracción la parte sombreada con respecto al total del área de la figura,

inmediatamente comprendían y realizaban las respectivas correcciones. Adicionalmente

se les insistió que las partes en que está dividida la unidad (en este caso una región)

siempre deben ser iguales (ser congruentes, tener la misma área).

Cuando se enfrentaron a la Figura 8, todos los grupos, excepto los dos conformados por

estudiantes sordos, realizaron las respectivas divisiones para que todas las partes fueran

congruentes y expresaron correctamente la parte sobreada.

Uno de los grupos de estudiantes sordos escribió 3/7, rápidamente el docente les indicó

que todas las partes deben ser iguales, y les preguntó ¿todas las partes son iguales?; uno

de los niños respondió que no, el docente preguntó de nuevo ¿qué se debe hacer para

que las partes sean iguales? uno de los niños sordos tomó la Tablet y con el dedo marcó

una línea, algo similar a lo que se observa en la Figura 9 y reescribieron la fracción.

El otro grupo de estudiantes sordos indicaba constantemente que no entendían qué hacer,

uno de los niños del grupo, que interpretó correctamente la pregunta, explicó con la Tablet

Figura 9 Region sombreada partes congruentes.

Figura 8 Region sombreada partes no congruentes

Figura 7 Región sombreada

Capítulo 4 79

que se debía hacer en la situación y tres de los cuatro estudiantes de ese grupo

comprendieron la explicación de su compañero, para el caso del otro estudiante que aun

no comprendía la situación, el docente se acercó solamente a este estudiante y le explicó

paso a paso que se debía hacer. El estudiante logró solucionar esta tarea, sin embargo,

su expresión facial daba indicios de estar aun confundido.

La Figura 10 no causó ninguna dificultad en los estudiantes, sin embargo, la forma de

solución propuesta por los estudiantes sordos y oyentes fue diferente. Por un lado, los

oyentes contaron cada cuadrado sombreado completamente, posteriormente tomaron 2

de los cuadrados que solamente estaban sombreados la mitad y lo contaban como un

cuadrado completo, para finalmente obtener 10/41.

Los dos grupos de estudiantes sordos decidieron realizar subdivisiones, uno de los

estudiantes argumentó que como no estaban todas las partes iguales, entonces debían

dividir cada parte para que todas fuesen iguales, obteniendo como resultado una fracción

equivalente, 20/82. Los estudiantes decidieron utilizar esta estrategia porque era similar a

lo realizado en la figura 2.

Los literales b), d) y e) del punto 1 fueron resueltos, en general, sin mayor dificultad, no

obstante, se observó un desinterés por leer los enunciados, los estudiantes

constantemente llamaban al docente porque no entendían, el docente pedía que leyeran

los enunciados y preguntaba ¿Qué se debe hacer? en seguida los estudiantes

comprendían cada tarea.

Una de las tareas del literal b) corresponde a la Figura 11, se pedía que sombrearan en

cada figura la parte de área indicada. Para la imagen de la izquierda de la Figura 11, los

estudiantes realizaban las divisiones correctamente, sin embargo, para la imagen de la

Figura 10: Región sombreada



derecha de la Figura 11, algunos estudiantes lo que hacían era agregar una parte extra a

la unidad para completar las seis y así sombrear la sexta parte.

Uno de los grupos preguntó al docente que, si podía hacer otras divisiones a la unidad, el

docente les indicó que explicaran por medio de un diagrama o dibujo lo que deseaban

hacer. Los niños tomaron la Tablet y realizaron segmentos horizontales a lo largo de la

unidad para dividirla en seis partes y dieron como respuesta 5/30, explicando que en total

la unidad quedó dividida en 30 partes pero que solo se tomaban 5 partes que correspondía

a una de las divisiones hechas horizontalmente, como se observa en la Figura 12.

Este grupo socializó con los demás compañeros el resultado obtenido y el docente enfatizó

a todos los estudiantes que para esta tarea el objetivo era buscar la forma de sombrear la

parte indicada sin modificar la unidad.

Los literales c) y f) representaron dificultades para los estudiantes porque no comprendían

como reconstruir la unidad, el docente tomó uno de los ejercicios del literal c) (Figura 13)

y lo explicó en el tablero de manera general.

Figura 12

Figura 13

Figura 11: Literal b), punto 1

Capítulo 4 81

Para el literal f) se les pidió que dibujaran una caja o algo que simulara una caja y que

hicieran las divisiones que indica la fracción, luego se les pidió que representaran la sexta

parte, todos los grupos comprendieron que en cada parte se debían agregar 3 vestidos y

de esta forma dibujaron el conjunto total de vestidos.

En los numerales del 2 al 9 se buscaba que los estudiantes interpretaran y usaran los

significados de la fracción como cociente y razón. Los estudiantes oyentes no presentaron

dificultades para abordar estas tareas, pero como se mencionó antes, por limitaciones en

la interpretación de textos, los estudiantes buscan que el docente les explique qué deben

hacer. De todos los grupos conformados, solo uno evidenció completa autonomía para

solucionar las tareas.

Los estudiantes sordos sí presentaron dificultades en estos numerales. En el momento de

leerles estos numerales, los estudiantes se distraían con frecuencia y no observaban al

interprete, fue necesario repetirles 3 veces las instrucciones para que comprendieran. Otra

dificultad que se observó es que los estudiantes sordos no siguen más de una instrucción

a la vez. Por ejemplo, en el numeral 4 se les pidió a los estudiantes que dibujaran una

pizza, representaran 3/5 de pizza y luego indicaran para cuantos estudiantes alcanzó, esta

misma indicación se les dio a los grupos oyentes que pedían ayuda y todos lo hicieron

correctamente. El docente se frustró un poco por la imposibilidad de comunicarse

directamente con los estudiantes sordos.

En este sentido, el docente cometió algunos errores de comunicación con los estudiantes

sordos. El primer error fue leer el problema esperando que el intérprete tradujera la

información, el segundo, explicar la situación usando enunciados extensos en lenguaje

español y tercero, intentar explicar la actividad para los 9 estudiantes al mismo tiempo.

Para ilustrar mejor cada problema, el docente intentó restringir el número de palabras, solo

decir palabras clave y utilizar la herramienta de dibujo de la Tablet. Por ejemplo, para el

numeral 5, primero se les dijo que dibujaran las tres pizzas, una vez hecho esto, se les

indicó que dividieran la pizza según indicaba la fracción y por último, se les preguntó ¿Para

cuántos estudiantes alcanzaron las tres pizzas? Uno de los estudiantes sordos hizo una

correspondencia entre porciones de pizza y estudiantes, concluyendo que cada 3

porciones de pizzas era un estudiante, entonces con una mano contaba las tres pizzas y



con la otra iba anotando el número de estudiantes. De esta forma hallaron la respuesta

correcta.

El numeral 8, aunque los estudiantes indicaron que era fácil, cuando se pedía calcular los

minutos recorridos en una distancia d, no lograron generalizarlo

Para la segunda parte de esta actividad, se buscó que los estudiantes comprendieran el

significado de la equivalencia de fracciones y ordenaran fracciones.

En el numeral 10, literal a) se hizo la siguiente pregunta: ¿El área coloreada en los dos

casos (Rectángulo A y rectángulo B, Ver Figura 14) es la misma?, ¿sí?, ¿no? Explica tu

respuesta. Ningún grupo respondió correctamente la pregunta y aunque escribieron

correctamente la fracción del área sombreada de cada rectángulo, concluyeron que el área

coloreada no era la misma porque en una se colorea tres partes y en la otra se colorean

dos partes.

El docente le pidió a cada grupo que, utilizando la herramienta de dibujo, sobre el

rectángulo B realizaran las divisiones del rectángulo A. los estudiantes hicieron algo similar

a lo que se muestra en la Figura 15:

Figura 14

Figura 15

Capítulo 4 83

Rápidamente llegaron a la conclusión que el área sombreada de la figura A y el área de la

figura B eran la misma. El docente les explica que las fracciones son equivalentes y se

expresan así:3

12=2

8 y se les hizo énfasis que era importante en la representación, que la

unidad se conserve (dimensiones de una región de área, en este caso) para poder

establecer comparación entre fracciones de la unidad.

A la pregunta ¿qué parte del área debes colorear en la figura C, para obtener una fracción

equivalente a la identificada en A?, los grupos realizaron las divisiones del rectángulo A al

rectángulo C, y concluyeron que debían colorear dos partes del triángulo C.

En el literal b) se preguntó ¿qué fracción del área del rectángulo se debe colorear en A y

en B para representar un área equivalente a la ilustrada en C? (Figura 16)

Para responder esta pregunta se pidió a los grupos que sobrepusieran el rectángulo A al

rectángulo C y sacaran conclusiones, algo similar a lo que se observa en la Figura 17

Figura 16: Fracciones equivalentes

Figura 17



Uno de los grupos dijo que el área del rectángulo A son 9 partes del área del rectángulo C

y explicó que hay 8 partes que coinciden completamente y dos medias partes que

completarían las 9 de 12 partes. Para el rectángulo B el grupo dijo que las divisiones eran

el doble que el rectángulo A y concluyeron que la respuesta seria 18 de 24. El docente

tomó el análisis de este grupo para orientar a los demás grupos, que no lograban hallar la

respuesta, para que llegaran a la misma conclusión.

En el numeral 11 no hubo mayor dificultad, todos los grupos lograron responder las

preguntas adecuadamente, no obstante, a la pregunta “Determina una expresión general

que permita expresar todas las fracciones equivalentes a 1

3”, los estudiantes no lograron

expresarlo algebraicamente, a pesar de ello, la mayoría de los grupos tenían la intención

comunicativa de la generalización del ejercicio. Por ejemplo, ellos decían que si se

multiplicaba por cualquier número se podrían hallar fracciones equivalentes, pero no

llegaban a la conclusión que una letra o un símbolo podría ser el representante de cualquier

número.

En el numeral 13 literal d) se pregunta: Observa la siguiente expresión falta un término de

la fracción para completarla, completa para que se cumpla la relación del enunciado,

explica tu respuesta 6>8

3. Los grupos respondieron correctamente situaciones similares

cuando los denominadores de las fracciones son iguales, al enfrentarse a esta situación

no lograron encontrar estrategias para encontrar un valor, el docente les dijo que podían

hallar una fracción equivalente a 8

3 cuyo denominador sea 6 y de esta forma el problema

se transforma en uno similar a los que ya han solucionado. En otro método propuesto

similar a literal a) se sugirió que trazaran dos rectas numéricas, recordando siempre que

la unidad debe ser del mismo tamaño, que luego ubicaran el racional 8

3 en una recta y que

identificaran en la recta un número racional mayor a este número. Los estudiantes oyentes

prefirieron hallar las fracciones equivalentes, los dos grupos de estudiantes sordos optaron

por construir la recta numérica con la ayuda de algunos estudiantes oyentes.

La tercera parte de la actividad se centraba en las operaciones entre fracciones, cada

grupo solucionó correctamente el literal a) del punto 14 y en la adición de fracciones los

estudiantes observaron claramente que los denominadores no se deben sumar, puesto

que las divisiones de la unidad no cambian al sumar una parte de la unidad con otra.

Capítulo 4 85

Para solucionar los literales b), c), d) y e) un estudiante sordo utilizó el procedimiento de

usar fracciones equivalentes con denominador común para sumar las fracciones, el

docente le indicó al estudiante que intentara explicar este proceso a sus compañeros

sordos. Los estudiantes sordos, excepto uno, lograron determinar la suma de fracciones.

Algunos estudiantes oyentes intentaron realizar este proceso 𝟒

𝟑+𝟕

𝟔=𝟐𝟒+𝟐𝟏

𝟏𝟖, los estudiantes

que realizaban correctamente el proceso explicaban a los demás miembros del grupo el

procedimiento.

Cabe resaltar, que el hecho que los estudiantes estén en grupo es un punto a favor, ya

que muy pocos comprendían o no recordaban el procedimiento para sumar fracciones y

con las explicaciones propias de los compañeros, la mayoría logró entender el

procedimiento. A pesar de todo lo aprendido en la actividad, aún se observan, dificultades

para la adición de números negativos, sobre todo en los estudiantes sordos, cuando

aparecen situaciones como −5 + 4, siempre ignoran el signo, realizando una adición de

números positivos.

El punto 15 requirió la supervisión constante por parte del docente, ya que como se había

mencionado, los estudiantes tienen un desinterés por leer los problemas, por tanto es

necesario explicar cada punto para que los estudiantes lo solucionen. Para los sordos se

explica de manera gráfica con el software de dibujo de la Tablet y sin utilizar tanto el

lenguaje español, solamente lo necesario para que los estudiantes no se distraigan. Para

la solución de los literales c) y d), se les indicó que podían hacer representaciones gráficas

para comprender mejor el enunciado. Algunos estudiantes lo hacían con la herramienta de

dibujo de la Tablet y otros en el cuaderno.

En general, en esta actividad se observaron los siguientes aspectos:

• En cuanto a los recursos digitales, las herramientas de dibujo para escribir y dibujar

sobre las Tablet, se consideró un acierto. Los estudiantes por lo general tienen la

rutina de copiar todo en su cuaderno, esto no es del agrado de los estudiantes, lo

hacen más por obligación que por gusto y se ha observado la desmotivación que

causan las actividades de transcripción de contenidos, o la frustración que causa

equivocarse y tener que realizar de nuevo un gráfico para empezar de nuevo. Estas

herramientas de dibujo hacen que estudiante se enfoque en analizar y solucionar



la actividad, puesto que las variables de desmotivación y frustración ya no están

presentes constantemente.

• Con respecto a los estudiantes sordos se evidenció una carencia para seguir varias

instrucciones al mismo tiempo, esto ocurre porque el docente no puede

comunicarse directamente con los estudiantes y por tanto la mediación de la

interprete en la comunicación hace que no sea posible dar más una o dos

instrucciones a la vez.

• La cantidad de elementos gráficos en la actividad fue un apoyo significativo y

determinante para la comprensión de los diferentes conceptos involucrados.

4.2.2 Actividad 2.

En esta actividad se propusieron tareas relacionadas con la interpretación del concepto de

igualdad en diferentes dominios. Se busca que los estudiantes dejen la concepción

unidireccional que tienen del signo igual, ya que lo suelen tomar como el resultado

numérico de una operación. Para la actividad, se organizaron en grupos de 3 y 4

estudiantes y a cada grupo se le asignó una Tablet, en donde están contenidas las

diferentes tareas.

En la primera tarea de esta actividad se observa el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 (Figura 18) sus

dimensiones son: 7 y 4 unidades y su área es 7 × 4 = 28 unidades cuadradas

Otra expresión que permite calcular el área de este rectángulo se muestra en la parte

inferior de la Figura 18. Se le pidió a los estudiantes que expliquen por qué la igualdad es

correcta, el grupo de estudiantes oyentes manifestaron comprensión de lo propuesto en la

actividad, cada grupo explicó a su manera por qué era correcta la igualdad, algunos

utilizaban el área de los rectángulos para explicar sus respuestas y otros operaban

Figura 18: Área del rectángulo.

Capítulo 4 87

directamente la parte izquierda y derecha de la igualdad, argumentando que los resultados

eran iguales.

Los estudiantes sordos tuvieron algunas dificultades para comprender la actividad,

inicialmente el docente se inclinaba hacia el nivel de dificultad de la actividad, sin embargo,

durante el desarrollo de la clase se observó que la dificultad radicaba en el lenguaje

utilizado para la explicación del ejercicio, el docente utilizó un excesivo uso de la lengua

oral.

Para el segundo punto se propuso una actividad similar, pero utilizando letras para

representar los números. En un primer ejercicio se les indaga por las dimensiones del

rectángulo (Figura 19: Rectángulo). No hubo dificultades para responder este ejercicio.

El segundo ejercicio pide completar siguiente igualdad: El área del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es;

𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐 = ¿ ? los estudiantes oyentes tomaron como referente el primer punto para

responder este ejercicio y lo realizaron sin problema. En el caso de los estudiantes sordos,

la situación generó inconvenientes puesto que ellos siempre buscaron calcular un

resultado, se les sugirió que utilizaran el primer punto como guía. Uno de los grupos de

estudiantes sordos logró solucionar el ejercicio, y explicó al otro grupo cómo llegó a la

solución. Sin embargo, para explicar al docente los resultados, cambiaban la letra por

números, esto se debe porque aún conciben la igualdad como el resultado de una

operación. Con respecto al tercer punto, no hubo dificultad para solucionarlo.

Para el cuarto punto se dispuso unas fichas en las tablets, como se observa en la Figura

20 y se realizó la siguiente pregunta: Utiliza las piezas necesarias para construir un

rectángulo cuya base mida 𝑥 + 2 y cuya altura mida 𝑥 + 1 unidades. ¿Cuál es el área del

rectángulo que construiste? Posteriormente se les pidió que calcularan el área de cada

ficha utilizada y por último se buscaba que completaran la igualdad ¿? = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1).

Figura 19: Rectángulo



El obstáculo que encontraron los estudiantes en esta actividad estuvo relacionado con la

construcción del rectángulo, porque a pesar de que en el enunciado decía que era

rectángulo, los estudiantes realizaban construcciones diferente a lo indicado. Por ejemplo,

construían figuras geométricas como las que se observa en la Figura 21. El docente los

cuestionaba si la figura construida era rectángula y les pedía que indicaran cuales eran las

características de un rectángulo, la mayoría de los estudiantes concluían que un rectángulo

tiene lados opuestos iguales y con base en esta característica, iniciaron una nueva

búsqueda del rectángulo con base 𝑥 + 2 y cuya altura 𝑥 + 1.

En este punto de la actividad se observó que los estudiantes sordos estaban más

dispuestos que los oyentes a construir el rectángulo. Se evidenció en los estudiantes

oyentes una frustración por no encontrar una respuesta rápido y algunos ante un primer

intento, dejaron de realizar la actividad momentáneamente. Los estudiantes sordos,

aunque también se frustraron, se enojaron por no obtener resultados positivos, insistieron

Figura 20: Fichas para construir un rectángulo.

Figura 21: Figura construida con las fichas.

Capítulo 4 89

constantemente hasta que uno de los grupos halló una estrategia y el docente pidió

amablemente al grupo que socializara lo descubierto a los demás grupos.

Uno de los estudiantes tomó la palabra y construyó un rectángulo (Figura 22) en el

computador para proyectar la imagen en el tablero y explicó que para formar el rectángulo

se debían unir los rectángulos pequeños que tuvieran algún lado con la misma medida,

explicando que para construir su rectángulo tomó el rectángulo de base 𝑥 y altura 𝑥 y lo

unió con el rectángulo de base 𝑥 y altura 1.

El docente le preguntó, ¿cuál es la base de tu nuevo rectángulo?, el niño respondió que la

base era 𝑥 y la altura 1 + 𝑥 + 1. El docente explicó a todos los estudiantes que, aunque no

encontró el rectángulo solicitado, lo expuesto por el grupo, era una buena estrategia para

encontrar la respuesta correcta. Con estas indicaciones la mayoría de los grupos

encontraron el rectángulo con las dimensiones pedidas.

Calcular el área de cada rectángulo que componen las fichas del rectángulo construido no

presentó dificultad para los estudiantes y completar la igualdad ¿ ? = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)

fue relativamente sencillo para la mayoría de los grupos, puesto que tomaron el punto 2

como referencia para solucionarlo. Sin embargo, los grupos plantearon la siguiente

igualdad 𝑥2 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 1 + 1 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1), solo un grupo simplificó esta

expresión.

Figura 22: Construcción de rectángulo con las fichas.



Figura 23: Secuencia de figuras, Perímetro de triángulos equiláteros

En el punto cinco se plantean tres secuencias figurales, en donde se pide calcular el

perímetro de los elementos de la secuencia, ubicarlos en una tabla y luego realizar una

gráfica en el plano cartesiano, por último, se les indicaba que calcularan el perímetro de la

figura enésima. Calcular el perímetro resultó relativamente fácil para los estudiantes, la

dificultad radicó en calcular el perímetro de la figura enésima. Para la secuencia de

triángulos equiláteros (Figura 23) el docente les escribió una forma de expresar el

perímetro de un triángulo equilátero, entonces para el triángulo con lado 1, su perímetro

es 3 ∙ 1, para el triangulo con lado 2, su perímetro es 3 ∙ 2, para el triángulo de lado 3 su

perímetro es 3 ∙ 3, se le pregunta al estudiante ¿cómo es el perímetro del triángulo de lado

4? ¿Cómo sería el de lado 8 y finalmente cómo podría escribir el perímetro de un triángulo

cuyo lado mide n unidades?.

Los estudiantes oyentes calcularon correctamente el perímetro del triángulo cuya medida

es 𝑛, los estudiantes sordos, lo expresaban con su lengua natural, sin embargo, no

comprendían como expresarlo algebraicamente, aún se les dificulta concebir la letra como

un número cualquiera.

Para la construcción de la gráfica en el plano cartesiano se usó el software GeoGebra. El

docente les indicó dos formas para ubicar los puntos en el plano cartesiano, la primera era

tomar del menú la opción seleccionar punto y con el dedo ubicarlo directamente en el plano

cartesiano, en donde la medida del lado del triángulo correspondía al valor de 𝑥 y el

perímetro al valor de 𝑦. La otra forma era ubicar en la barra de entrada de fórmulas la

pareja ordena (𝑥, 𝑦). Todos los grupos de oyentes ubicaron en el plano cartesiano los

valores de la tabla. Aunque algunos estudiantes no lo recordaban, al estar en grupo, se

explicaban entre ellos mismos como realizar la gráfica. Los dos grupos de sordos no

recordaban como ubicar en el plano cartesiano, el docente ubicó los dos primeros puntos

y los estudiantes sordos comprendieron inmediatamente.

Capítulo 4 91

Posteriormente se les pidió que unieran con una recta los puntos ubicados en el plano

cartesiano y por último se les indicó que observaran la vista algebraica de GeoGebra y

compararan la ecuación de la recta generada por GeoGebra y lo compararan con el

perímetro del triángulo enésimo que habían calculado anteriormente. Los estudiantes

inmediatamente argumentaron que las dos expresiones eran similares.

Para la secuencia de los rectángulos (Figura 24), por un lado, algunos grupos comenzaron

completando la tabla, calculando el perímetro de los rectángulos de la secuencia y con

base en esto intentaron calcular el perímetro del rectángulo cuyo lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑛. La dificultad

radicó expresar el perímetro en términos del lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , aunque tenían la intención

comunicativa, habían logrado generalizar el problema oralmente, no lograban expresarlo

algebraicamente.

El docente les sugirió que expresaran el lado 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ en términos del lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y les mostró lo

siguiente:

Tomando el rectángulo de lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 4 le preguntó a los grupos si sabían cuál era el valor

de 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ , rápidamente ellos indicaron que de acuerdo con la secuencia el valor de 𝐷𝐶̅̅ ̅̅

corresponde al valor siguiente 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ . Entontes el docente tomó el primer rectángulo de la

secuencia y les preguntó qué procedimiento se debía realizar a 1 para hallar el siguiente,

uno de los estudiantes respondió que se tenía sumar 1, posteriormente el docente expresó

el 2 y el perímetro de la siguiente manera:

Figura 24: Secuencia de figuras, Perímetro de rectángulos



Luego tomó el siguiente rectángulo y con ayuda de los estudiantes construyeron los

siguientes

Esta pequeña orientación fue suficiente para que los estudiantes completaran la secuencia

y calcularan el perímetro del rectángulo con lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑛.

Por otro lado, otros grupos abordaron la secuencia, calculando el perímetro de cada

rectángulo y calculando la diferencia que había entre cada uno, como se muestra a

continuación.

Uno de los estudiantes se arriesgó a decir que la expresión para el perímetro si 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑛

era 4 ∙ 𝑛, el docente le preguntó que cómo sabía que esa expresión era la correcta,

inicialmente no hubo respuesta por parte del estudiante, pero un tiempo después dijo que

si reemplazaba los valores de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ en 𝑛 obtendría la respuesta, el docente lo invitó a que

realizara el proceso y al realizarlo observó que había un error. Pasado un tiempo, el mismo

estudiante regresó con una corrección a su expresión, indicando que era 4 ∙ 𝑛 + 2,

argumentando su respuesta con base en el primer rectángulo, puesto que si realizaba el

reemplazo con 𝑛 = 1 le faltaban 2 unidades para la respuesta correcta y por tanto los

agregó a la expresión y comprobó este resultado con los demás rectángulos de la

respuesta.

El docente pidió a dos grupos que socializaran sus respuestas y sus diferentes formas de

abordar el problema, esto con el objetivo que los estudiantes comprendieran que un mismo

problema se puede abordar de diferentes formas y aún así, llegar a la respuesta correcta.

Capítulo 4 93

Figura 25: Calcular las dimensiones de un rectángulo si su perímetro es 16.

La secuencia de los hexágonos no causó mayor dificultad en la población oyente. Lo único

que indicó el docente sobre la secuencia estaba relacionado con el siguiente de un número,

preguntando a los estudiantes que, si para encontrar el siguiente de un número se

adicionaba uno, entonces para encontrar el anterior ¿qué se debía hacer? Esta aclaración

era necesaria puesto que, para calcular el perímetro del hexágono con lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑛 se

tendría que expresar el anterior a 𝑛 y el siguiente a 𝑛.

Los estudiantes sordos si expresaron dificultades en realizar la secuencia de los

rectángulos y la de los hexágonos. Los dos grupos de estudiantes sordos se decantaron

por el método de calcular el perímetro de cada figura y hallar las diferencias entre cada

perímetro. La dificultad radicó en que no comprendían que significaba el 𝑛. El docente

intentó explicar con el método en donde se calcula el siguiente y el anterior de un numero

y posteriormente se calcula el perímetro, pero lo que ocasionó fue una mayor frustración

en los estudiantes. A causa de las dificultades de los estudiantes sordos, se decidió hacer

una sesión aparte solo con ellos y aclarar todas las dudas. Los estudiantes lograron

comprender que 𝑛 representa cualquier número, que el perímetro del rectángulo con lado

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑛 y el perímetro del hexágono con lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑛 son expresiones generales de cada

secuencia.

En el último punto de esta actividad se pide calcular el perímetro de un rectángulo (Figura

25), posteriormente se les pide hallar el valor o los valores de los lados de tal forma que el

perímetro sea 16 unidades.

Esta actividad fue relativamente sencilla para todos los grupos, puesto que anteriormente

ya habían calculado el perímetro de un rectángulo. Algo que si se evidenció es la dificultad

de los estudiantes para utilizar otro conjunto numérico diferente al de los números naturales

y esto se observó porque el docente al indicarles que encontraran más de 10 valores para

a y b, solo un grupo logró hacerlo utilizando números decimales.



Otra de las dudas que presentaron los estudiantes estaba relacionada con la expresión

algebraica obtenida por GeoGebra y la expresión que ellos tenían. Los estudiantes tenían

la expresión 2𝑎 + 2𝑏 = 16 y GeoGebra mostraba la expresión 𝑥 + 𝑦 = 8. El docente explicó

que estas dos ecuaciones son equivalentes porque tenían las mismas soluciones, en

donde cada solución era la pareja ordenada (𝑎, 𝑏) y concluyó diciendo que si se multiplica

por 2 la ecuación de GeoGebra se obtendría la ecuación hecha por ellos.

Para terminar, a continuación, se mencionan algunos aspectos generales que se

evidenciaron en la implementación de esta actividad.

• La cantidad de estudiantes en el aula de clase es una variable que afecta el

aprendizaje de algún concepto. Esto se evidencia en el momento que el docente

intenta solucionar las dudas a los 9 grupos que se encuentran en el aula de clase.

Esto ocasiona que algunas veces el docente se apresure en la explicación con los

estudiantes sordos, utilizando un lenguaje oral excesivo. Al hacer la clase adicional

solamente con la población sorda, el docente limitó su lenguaje oral y logró que los

estudiantes comprendieran mejor la actividad.

• Una de las dificultades que se observó en la actividad está relacionada con el signo

“=”, aún se observa que los estudiantes lo interpretan en un sentido unidireccional,

que precede a una solución numérica. En este sentido, los estudiantes trasladan,

la interpretación aritmética que tienen del signo “=” al álgebra, incurriendo en

errores, puesto que el signo “=” en algebra tiene un sentido bidireccional, que

puede a veces ser un indicador de una relación de equivalencia y no una señal que

indica que se debe colocar una solución (Socas et al., 1996). Los estudiantes

sordos presentaron un afecto excesivo por conservar su interpretación aritmética

del signo igual. Expresiones como 𝑃 = 4𝑛 + 2 no tenía sentido para ellos, puesto

que no había un cierre en la operación. Por ello intentaban siempre usar ejemplos

numéricos y explicar en su lengua la generalización de un procedimiento, sin lograr

expresarlo algebraicamente de manera autónoma.

• Un aspecto para resaltar en la actividad es el significado que lograron los

estudiantes de la letra. Iniciando la actividad, la letra era observada como un objeto

extraño y sin sentido, pero al final, la mayoría de los grupos hablaban

automáticamente utilizando la letra dentro de su discurso de forma natural. Aunque

Capítulo 4 95

aún no se tome la letra como una variable, su interpretación como un número es

un paso significativo.

4.2.3 Actividad 3.

En esta actividad se realizaron tareas relacionados con la solución de las ecuaciones

lineales. Se pretende que los estudiantes den significado a estas ecuaciones y modelen

geométrica y algebraicamente situaciones que las involucren. Para el desarrollo de esta

actividad se dispuso de una Tablet para cada grupo, configurada con la aplicación draw on

screen.

En la primera tarea se propone un esquema (Figura 26) con dos caminos, el objetivo es

encontrar un S, de tal forma que al hacer las operaciones por los dos caminos, el resultado

(M) sea el mismo.

Como esta actividad, Tenia bastante contenido de texto en el enunciado, el docente le

dedica un tiempo a explicar a los estudiantes sordos la tarea, mientras los demás grupos

se disponen, la leen y analizan. Para evitar confusiones se les explicó paso a paso el

enunciado con ayuda del esquema. Se insiste en que es importante agregar los posibles

resultados en la tabla, porque eso les ayudará a encontrar la respuesta rápidamente.

No hubo problema en la comprensión del problema. Inicialmente los estudiantes buscaron

números al azar, pero rápidamente empezaron a encontrar regularidades, hasta que un

primer grupo encontró la respuesta, explicando el método para la solución. La niña que

tomó la vocería argumentó que inició con S=1 y lo agregó en la tabla, luego tomo S=2 y lo

Figura 26: Ejercicio 1. Esquema de dos caminos



agregó en la tabla, este proceso lo hizo hasta S=4, posteriormente indicó que cada vez

que aumentaba S la diferencia de los resultados del camino 1 y el camino 2 disminuía en

1, entonces concluyó que la respuesta era S=8, verificando el procedimiento.

Poco a poco cada grupo llegó a la respuesta, unos más sistemáticos que otros. Los

estudiantes sordos demoraron un poco en encontrar la respuesta porque no lograron

encontrar ningún patrón que permitiera hallar el valor con más facilidad.

En el literal b) (Figura 27), los estudiantes deben encontrar el valor S, dado M. cada grupo

rápidamente calculó la solución. El objetivo de esta tarea era que los estudiantes realizaran

un proceso inverso, iniciando desde M, como se observa en la Figura 28. Sin embargo,

los estudiantes encontraron un valor utilizando ensayo y error para uno de los caminos y

luego lo comprobaban para el otro camino.

EL docente, para no dejar pasar la tarea, explicó de forma general otra forma de

solucionarlo utilizando operaciones inversas.

En el literal c) se les propone una tarea similar al literal a). En este caso se les indica cómo

expresar algebraicamente lo mostrado en el esquema (Figura 29). Los estudiantes

resolvieron el ejercicio, realizando el mismo proceso de sistematización del literal a).

Figura 27: Ejercicio 2. Esquema con de caminos.

Figura 28: Solución de Ejercicio 2. Esquema de dos caminos

Capítulo 4 97

……

En el punto 2 se busca estructurar el proceso algebraico para hallar la solución de una

ecuación. Para ello se utilizó el método de la balanza. Inicialmente se utilizan la gráfica de

unas balanzas dispuestas en GeoGebra y posteriormente se utilizó la balanza virtual de la

página simulaciones interactivas de ciencias y matemáticas phET,

(https://phet.colorado.edu/es/simulation/equality-explorer).

En el literal b) se pide calcular el peso de cada uno de los libros ubicados como se observa

en la Figura 30. Se les da la indicación que pueden agregar cosas o quitar cosas, siempre

que la balanza permanezca en equilibrio.

El primer paso de los estudiantes fue asignarle un valor al peso del libro y posteriormente

calcular el peso total de cada lado de la balanza, repitiendo el proceso con otro valor, hasta

encontrar el mismo peso en cada plato de la balanza. Este proceso no les fue útil, puesto

que el peso del libro no era un numero entero, por tanto, el docente les sugirió ir quitando

peso a ambos lados de la balanza, de tal forma que permaneciera equilibrada. Uno de los

grupos marcó con una x los objetos que quitó de la balanza (Figura 31) y le mostró al

docente las marcas rojas y argumentaron que no se podía avanzar más. El docente les

Figura 29: Ejercicio 3, Esquema de dos caminos.

Figura 30: Modelo de Balanza, Calcular el peso de cada libro.

https://phet.colorado.edu/es/simulation/equality-explorer



Figura 31: Modelo de Balanza, Método de solución de un estudiante.

indicó en color azul que, aunque se desconocía el peso de cada libro, cada libro pesaba lo

mismo, por tanto también se podían quitar.

Inmediatamente el grupo argumentó que dos libros pesaban 7 kg. El docente pidió

amablemente al grupo que explicaran a sus compañeros los resultados obtenidos.

Este punto causó impacto positivo en todos los estudiantes, ya estaba clara la instrucción

y aunque no estaba tan accesible la respuesta, podían realizar ensayo y error o marcar

con una x los objetos que se tenían que quitar de la balanza. En pocas palabras, el punto

fue motivador y no frustrante. Los siguientes literales causaron mejores impresiones,

porque tenían la posibilidad de marcar los objetos desde sus tablets.

Expresar algebraicamente la situación planteada si generó algunos inconvenientes en los

estudiantes, sin embargo, con la orientación del docente los estudiantes comprendieron

como realizarlo. a los estudiantes sordos aún les parece contradictorio que la letra

represente un valor numérico, sin embargo, se han evidenciado avances en este aspecto.

Para los literales b) y c) se utilizó un Applet (Figura 32 y 33) creada en GeoGebra para que

los estudiantes pudieran manipular algunos objetos de balanza. Esta aplicación es sencilla

pero muy interactiva y mantiene concentrados a los estudiantes en todo momento.

Figura 32: Modelo Balanza 1 creada en GeoGebra.

Capítulo 4 99

Figura 34: Diagrama inverso como método de solución de una ecuación lineal.

Las preguntas planteadas en este literal fueron contestadas rápidamente, gracias a la

interacción del literal a). Todos los grupos calcularon el valor de cada botella.

Posteriormente el docente orientó a los estudiantes para expresar algebraicamente la

situación y explicó como probar el resultado. En el applet, hay un recuadro que dice

“Ingresa el peso de la botella b=”, al ingresar el valor se puede verificar si el peso es

correcto.

En el literal c) se pide que a partir de la expresión algebraica 5𝑥 + 2 = 4𝑥 + 5, donde 𝑥

indica el peso de arroz, representar la situación en la balanza y posteriormente calcular el

valor de la bolsa de arroz. No hubo contratiempo en esto. El docente tomó la balanza y la

expresión algebraica en paralelo y les mostró cómo representar lo que se agrega o quita

en una balanza en la ecuación. Por ejemplo, quitar dos pesas de 1 kilogramo a ambos

lados de la balanza, el docente les mostro la siguiente expresión 5𝑥 + 2 − 2 = 4𝑥 + 5 − 2,

donde el −2 indica el peso quitado, como se quitó el mismo peso en los dos platos de la

balanza, en la expresión algebraica también se debe hacer el mismo proceso.

En el punto 3, se pide solucionar la ecuación 4𝑎 + 3 = 23, para ello se les propone el

diagrama que está a la izquierda de la Figura 34 y se propone solucionarlo con un diagrama

inverso, como se muestra en la parte derecha de la Figura 34, agregando en el cuadro las

operaciones que se deben realizar y en el círculo la respuesta parcial, el círculo nombrado

con la letra 𝑎, indicará la solución de la ecuación.

Figura 33: Modelo Balanza 2 creado en GeoGebra.



Figura 36: Procedimiento con el Modelo de Balanza para calcular la incógnita.

Los estudiantes no tardaron en encontrar las respuestas y por tanto, se les propusieron

algunos ejercicios adicionales para que comprendieran mejor el procedimiento. Por último,

se les indicó que realizaran la ecuación −3𝑥 + 8 = 29, sin la necesidad del diagrama.

Aunque los estudiantes en general la lograron solucionar, algunos estudiantes ignoraron

el signo del coeficiente que acompaña a la incógnita. Por último, el docente les mostró la

ecuación representada con el diagrama inverso y adicionalmente utilizó la balanza de phET

(Figura 35), para que los estudiantes observaran que los procedimientos de una

representación y la otra, son equivalentes.

En la balanza existen algunos botones en la parte inferior que se utilizan para agregar los

elementos a la balanza y también hay algunos botones en la parte superior que indica la

operación a realizar. Entonces el primer procedimiento realizado en el diagrama inverso

será el mismo procedimiento que se realizará en la balanza. Cada grupo en su Tablet

realizó el procedimiento de restar 8 y posteriormente dividir entre -3, como se observa en

la Figura 36.

Figura 35 Diagrama inverso y Balanza de phET

Capítulo 4 101

La balanza de phET es una herramienta interesante para comprender el algoritmo de

solución de ecuaciones lineales con una incógnita

El punto 4 buscó consolidar los procesos para solucionar una ecuación lineal. En el punto

4 literal a) se propone una tablet de dos columnas, en la primera columna se presenta el

modelo de la balanza y en la segunda columna la representación simbólica. Los

estudiantes deben completar los pasos que hacen falta. El punto 4 literal b) y c) es similar

al literal a) pero solamente se utiliza la representación simbólica. Los estudiantes en

general no presentaron dificultades en la solución de estos puntos. La mayoría de los

grupos utilizaron como ayuda la balanza de PhET, puesto que les proporcionó facilidad al

encontrar las operaciones necesarias para llegar a la solución. Para el punto d) se les

indicó que solucionaran las ecuaciones sin ayuda de ninguna herramienta. En general

fueron positivo los resultados obtenidos por los estudiantes, aunque fue necesaria una

mayor orientación por parte del docente, puesto que algunos grupos necesitaban algún

dipo de guía para continuar con el procedimiento.

Como los estudiantes oyentes hicieron un trabajo casi autónomo en estos puntos, el

docente centró la atención en los estudiantes sordos que si tenían algunas dificultades

para solucionar las ecuaciones planteadas.

La dificultad del punto cinco se centró en expresar algebraicamente los problemas

planteados. Para el primer problema, sobre encontrar tres números consecutivos cuya

suma sea 102. se les indicó que asignaran una letra cualquiera a un número, que

posteriormente expresaran el siguiente de ese número y luego el siguiente del siguiente

de ese número. Cada grupo comprendió perfectamente la indicación, porque ya conocían

previamente, de la actividad 2, cómo escribir el siguiente de un número cualquiera. Para

los estudiantes sordos, se dio la indicación paso a paso. Una vez se observó que todos los

estudiantes tenían la ecuación planteada, el docente explicó cómo se simplificaba la

expresión obtenida. Hubo diferentes formas de solución, algunos utilizaron el modelo de la

balanza, otros el diagrama inverso y los más hábiles realizaban los procedimientos desde

la misma ecuación. Sin embargo, se observa que la mayoría de los grupos utilizaron la

balanza de PhET, probablemente porque les facilita realizar los cálculos, ya que después

de dar la instrucción, el programa calcula todos los procedimientos.



El segundo problema pedía encontrar las dimensiones de un rectángulo, si la base era 18

unidades más que la altura. Solo un grupo intentó expresar algebraicamente la situación.

El docente les sugirió que primero construyeran un rectángulo y luego le asignaran a la

altura una letra que representara su valor. Con esta indicación los estudiantes se guiaron

para encontrar la expresión algebraica. Algunos grupos solamente sumaron la base y la

altura del rectángulo, pero rápidamente se les recordó la definición de perímetro y los

estudiantes corrigieron su error. Se sugirió a los estudiantes que solucionaran la ecuación

sin necesidad de la balanza de phET, con el objetivo de observar si tenían claros los

procedimientos, se dejó utilizar la calculadora, para que este tipo de operaciones no

causaran un obstáculo para la solución. Los literales c) y d) no presentaron dificultad para

los estudiantes.

La actividad 6 introduce las ecuaciones lineales con dos incógnitas, para ello se propone

el siguiente problema: Dos bolsas de naranjas y dos bolsas de manzanas pesan juntas 48

kg. Y se les pide a los estudiantes que lo representen con el modelo de balanza,

algebraicamente, calculen las soluciones y realicen una gráfica en GeoGebra.

En general, cada grupo sorteó el problema sin dificultad alguna. Algo que se puede detallar

en la solución del problema, es el intento por utilizar el modelo de balanza para solucionar

el problema, sin embargo, no lograron encontrar ninguna solución y por tanto decidieron

utilizar el ensayo y error. Algunos grupos, utilizando el software GeoGebra, graficaron las

soluciones encontradas y en vista gráfica obtuvieron la expresión algebraica. Se esperaba

que la representación simbólica la construyeran directamente desde el problema, pero la

utilización de este software es una opción válida para responder los ejercicios.

Uno de los grupos encontró una expresión algebraica a partir del problema (2𝑚 + 2𝑛 =

48). El docente pidió que socializaran la respuesta. A partir de esta socialización, el

docente les pidió a los estudiantes que compararan la expresión de sus compañeros, con

la obtenida de GeoGebra. Se cambiaron las variables de una de las ecuaciones para

facilitar el análisis de los estudiantes (ver Tabla 5).

Tabla 5: Ecuación lineal de estudiante vs Ecuación lineal de GeoGebra.

Grupo de estudiantes GeoGebra

2𝑥 + 2𝑦 = 48 𝑥 + 𝑦 = 24

Capítulo 4 103

El docente les indicó que las dos ecuaciones representaban correctamente el problema y

les preguntó si existe algún aspecto que muestre que las dos ecuaciones representan el

mismo problema; algunos grupos indicaron que los valores de una ecuación eran el doble

de la otra. A partir de este análisis, el docente les indicó que, si se tenía una ecuación y si

se multiplicaba por cualquier número, la ecuación obtenida era una ecuación equivalente,

es decir, que tenía las mismas soluciones, también se indicó se podían encontrar

ecuaciones equivalentes, si se sumaba la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.

Esta discusión se realizó de nuevo solamente con los dos grupos de estudiantes sordos,

ya que la emotiva discusión, por transcurrir tan rápido, causó que los estudiantes sordos

perdieran el hilo de la conversación. A pesar de este percance, los estudiantes sordos

llegaron a conclusiones similares que los oyentes.

Los puntos 7 y 8, buscaba introducir la noción de ecuaciones equivalentes. Como ya se

había mencionado el concepto en el punto 6, los estudiantes no tuvieron inconvenientes

para solucionar estos puntos. De hecho, en el punto 8 al hallar diferentes ecuaciones que

representaran la misma línea recta, los estudiantes optaron por multiplicar la ecuación por

un número positivo. Esta parte si la realizaron a lápiz y papel ya que, en la vista algebraica

de GeoGebra, siempre aparece la ecuación simplificada.

Para concluir, a continuación, se muestran algunos aspectos generales de la aplicación de

esta actividad.

• Como ya se ha mencionado en actividades anteriores, por la carencia en lengua de

señas del docente, los recursos digitales y las representaciones semióticas han

sido un medio indispensable para la comunicación con los estudiantes sordos.

Cabe resaltar que Señas como el de suma, multiplicación, signo positivo, signo

negativo, fracción, que ha aprendido el docente, también ha promovido una

comunicación entre docente y estudiante sordo.

• Con respecto a los recursos digitales utilizados en esta actividad, se crearon unas

balanzas en GeoGebra para que los estudiantes manipularan (quitar o agregar) los

objetos sobre la balanza. Posteriormente se utilizó la balanza de phET, que

proporciona un método natural de solucionar las ecuaciones, al acompañarlo del

diagrama inverso propuesto, en términos generales se logró que los estudiantes



comprendieran el proceso de solución de una ecuación lineal. El impacto de este

recurso fue muy positivo y se lograron a cabalidad los objetivos para esta actividad.

• Se resalta igualmente el trabajo en grupos, puesto que el gran éxito de la actividad

también se debe al intercambio social y cultural entre los estudiantes a nivel intra e

intergrupal. Entre ellos mismos se explican sus experiencias, logrando establecer

acuerdos en común para la solución de las actividades.

4.2.4 Actividad 4.

Esta actividad pretende acercar a los estudiantes a la solución de sistemas de ecuaciones

lineales utilizando métodos algebraicos y geométricos. Las tareas propuestas se orientan:

primero a interpretar el significado de un sistema de ecuaciones lineales, desde su

representación geométrica, para determinar si el sistema tiene única solución, infinitas

soluciones o es inconsistente. Segundo, a estudiar métodos de solución, eliminación de

Gauss, de Gauss-Jordan y método gráfico. Y tercero, a resolver problemas que requieran

el análisis de un sistema de ecuaciones lineales. Todo ello apoyado en el uso del software

GeoGebra y la página. http://matrixcalc.org/es/slu.html.

La implementación de esta actividad fue totalmente virtual, por causa de la emergencia de

salud pública. Para las sesiones se utilizó la plataforma Google meet. El director del grupo

informó el enlace para la primera sesión, pero se presentó una primera dificultad

relacionada con la imposibilidad de algunos estudiantes para conectarse a las sesiones,

por no tener acceso a internet. Es por ello que solo 31 estudiantes, incluidos 8 sordos,

participaron en ella.

En la primera sesión se observó una poca participación de los estudiantes oyentes, no

activaban sus cámaras, ni sus micrófonos, los únicos que estuvieron activos en esta sesión

fueron los estudiantes sordos. La primera parte la sesión se dedicó a motivar que los

estudiantes participaran. En el transcurso de la sesión los estudiantes se soltaron un poco

y comenzaron a participar.

Para el desarrollo del primer punto se había pedido con anterioridad que descargaran la

APP de GeoGebra en sus celulares o en el computador. Se les pidió que construyeran las

gráficas de las ecuaciones (Ver Anexo: Actividad 4.) y analizaran las líneas rectas

http://matrixcalc.org/es/slu.html

Capítulo 4 105

obtenidas. Los estudiantes graficaron rápidamente las ecuaciones, gracias a la experiencia

de las actividades anteriores. La mayoría de los estudiantes lograron describir las

características de cada sistema de ecuaciones. El docente les explicó cómo interpretar

cada sistema.

En el segundo punto se presenta un sistema de ecuaciones lineales, la segunda ecuación

del sistema tiene dos coeficientes sin determinar, el objetivo es encontrar, los valores, para

los cuales, el sistema es consistente, tiene una o infinitas soluciones, o es inconsistente.

Los estudiantes rápidamente determinaron valores para los cuales el sistema tiene infinitas

soluciones, esto se debe a que ya habían realizado una tarea similar. Los estudiantes no

lograron encontrar valores para los cuales el sistema tenga una única solución.

El trabajo en esta metodología virtual dificulta el intercambio social entre pares, que en

actividades anteriores era fundamental para dar significado a cada tarea, es limitado

especialmente entre los estudiantes oyentes, en parte también por la timidez que muestran

con las clases virtuales. En contraste, los estudiantes sordos si muestran naturalidad para

interactuar con sus pares sordos por medio de la plataforma Google meet. Es posible que

este comportamiento se deba a que ellos, utilizan las herramientas de video llamada

constantemente para comunicarse entre ellos, y por tanto, son más espontáneos en el

desarrollo de la actividad.

Para determinar condiciones para que el sistema dado tuviese única solución o fuese

inconsistente, el docente sugirió, que, usando GeoGebra, graficaran la primera ecuación y

para la segunda, agregaran la ecuación en la casilla de entrada y fueran cambiando valores

para el coeficiente y el termino independiente de la segunda ecuación hasta encontrar

ecuaciones que satisfacen las condiciones exigidas. Encontrar un sistema con solución

única se hizo rápidamente. Tardaron un poco en encontrar un sistema sin solución. Sin

embargo, concluyeron que el sistema sin solución era similar al de infinitas soluciones, lo

único que cambiaba era el termino independiente. Por último, se compararon los sistemas

de los estudiantes que participaron.

Para la segunda sesión, por facilidad de interpretación y para una mejor orientación por

parte del docente, se decidió separar en dos grupos los estudiantes, uno con los

estudiantes sordos y el otro con los oyentes. En esta segunda sesión, los estudiantes

oyentes estuvieron más activos, pero aún se observó más participación de los estudiantes



sordos, en su grupo. En la Figura 40: Participación estudiantes oyentes y estudiantes

sordos., se puede observar la diferencia mencionada.

Otro aspecto que se resalta del grupo conformado por los estudiantes sordos es la

puntualidad para ingresar a las clases. En la Figura 40: Participación estudiantes oyentes

y estudiantes sordos., se observa que minutos antes de iniciar la clase, había menos de la

mitad de los oyentes y no faltaba ningún estudiante del otro grupo.

En el punto 2, con el propósito de mostrar que sistemas equivalentes tienen la misma

solución, se presenta un paralelo entre los sistemas obtenidos en el proceso de reducción

de un sistema lineal usando operaciones elementales, y sus correspondientes

representaciones gráficas. En la actividad se presentan los procesos algebraicos y el

estudiante realiza las gráficas en GeoGebra.

Aunque los estudiantes concluyeron que las representaciones graficas obtenidas

determinaban la misma solución, manifiestan estar confundidos respecto al proceso

algebraico utilizado para resolver el sistema. El docente tomó el literal b) y pidió a los

estudiantes graficar el sistema para hallar la solución y posteriormente, utilizando un

software de pizarra digital, explicó paso a paso el método algebraico con el sistema de

ecuaciones del literal a), con el propósito que los estudiantes realizaran el mismo

procedimiento con el sistema del literal b). Los estudiantes comprendieron el

Interprete

Figura 37: Participación estudiantes oyentes y estudiantes sordos.

Capítulo 4 107

procedimiento, sin embargo, se evidencia falta de dominio de las operaciones elementales

entre números racionales.

En el literal c) se proponen tres sistemas de ecuaciones para que los estudiantes los

resuelvan con ayuda de la página http://matrixcalc.org/es/slu.html. ( Anexo: Actividad 4.)

En esta página web se introduce el sistema en el recuadro que está en blanco (ver Figura

39) y posteriormente se da clic en el método que se desea utilizar, para este caso se utilizó

el botón que dice “solución por el método de Gauss-Jordan”.

Al dar clic en el botón correspondiente se observa el método de solución paso a paso,

utilizando matrices. Como se observa en la Figura 39, cada paso está representado con

lenguaje escrito y simbólico para que se establezca la relación entre las dos

Figura 39: Solucion sistema de ecuaciones lineales generada por la página http://matrixcalc.org/es/slu.html.

Figura 38: Interfaz Grafica página http://matrixcalc.org/es/slu.html.






representaciones. Los estudiantes descubrieron rápido que los valores de la primera

matriz corresponden a los coeficientes y términos independientes del sistema de

ecuaciones. Se analizó el paso a paso mostrado en la página, con algunos procedimientos

extras hecho por el docente y explicando por qué es necesario cada paso. Finalmente se

indica que la última matriz muestra la solución del sistema. Para verificar esta información

se utilizó GeoGebra para graficar las ecuaciones y observar el punto de intersección de las

rectas. Se sugirió a los estudiantes utilizar calculadora para determinar expresión decimal

de las fracciones, pues GeoGebra muestra esta última expresión. Con el segundo sistema

se realizó el mismo análisis anterior, con un poco más de autonomía por parte de los

estudiantes.

Los estudiantes intentaron trabajar el tercer sistema sin ayuda del docente para luego

compararlo con la solución generada en la página. Algunos estudiantes oyentes, muy

interesados en la actividad, intentaron resolver el sistema mostrando sus resultados a

través de la cámara. Otros estudiantes no entregaron soluciones no conectaron su cámara.

Es posible que esto se deba a la falta de hábitos que tienen en su vida diaria. Con clases

presenciales, el profesor motiva al estudiante para que trabajen, pero con clases virtuales,

es difícil saber qué hacen detrás de cámaras.

Solo un estudiante oyente logró resolver el sistema prácticamente solo, argumentando que

había utilizado como ayuda, la tabla del literal a). Con respecto a los estudiantes sordos,

se les dio libertad de utilizar calculadora para las operaciones con números racionales,

para que se centraran más el proceso de solución del sistema y no en las operaciones

básicas.

En general, los estudiantes que estuvieron activos en la sesión lograron realizar algunos

pasos del método de eliminación de Gauss-Jordan, siempre con la colaboración del

docente. A pesar de todos los problemas de conexión de los estudiantes, esta sesión fue

positiva, sobre todo por la participación de los estudiantes sordos.

En la tercera sesión se abordó el punto 4, dirigido a la resolución de problemas. Como hay

demasiado texto en cada problema, se realizaron videos sencillos en Powtoon, con

imágenes asociadas al enunciado del problema y con interpretación en lengua de señas

colombiana. Inicialmente los videos iban dirigidos a los estudiantes sordos, pero la ayuda

visual favoreció también la comprensión de los estudiantes oyentes. El video fue entregado

Capítulo 4 109

a los estudiantes con anterioridad a la clase, para que en sus casas lo analizaran y durante

la sesión se aclararan las dudas.

En el problema del literal a) se observa facilidad en el desarrollo la parte operativa, no

obstante, en el análisis de la información, o en las preguntas que requieren inferir se

evidencia mayor dificultad.

Para analizar la información se les indicó que, en vista algebraica, obtuvieran las

ecuaciones de las dos fotocopiadoras. En la Figura 40 se observa en la vista algebraica

las ecuaciones expresadas de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, pero se les pide que utilicen la forma

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para que el valor de las fotocopias se exprese en función de la cantidad de

fotocopias.

A pesar de las sugerencias del profesor para nominar las variables, inicialmente no

relacionaron la solución del sistema de ecuaciones con la pregunta que se planteaba en el

problema, lograron responderla observando la gráfica, concluyendo que antes del punto

de intersección de las rectas es mejor una fotocopiadora y después del punto, conviene la

otra.

El problema del literal b) también se adaptó para los estudiantes sordos. Los obstáculos

para ellos se refieren al planteamiento de las ecuaciones, aunque comprendieron la

ecuación que planteó el docente como guía, no lograron construir la segunda ecuación. Se

Figura 41: Interpretacion geometrica del problema de las fotocopiadoras.



rescata el esfuerzo de algunos por obtener la ecuación. Con respecto a la solución del

sistema de ecuaciones con el método de eliminación de Gauss-Jordan, se observó más

naturalidad en los estudiantes para utilizarlo, lograron reducirlo utilizando operaciones

elementales, pero aún les cuesta adicionar un múltiplo de una fila con otra. A pesar de

esto, se evidencia un gran avance en la utilización del método; con ayuda del docente

lograron solucionar el problema. Para terminar con la sesión el docente les pidió que

graficaran las ecuaciones obtenidas y contrastaran la soluciones gráfica y algebraica.

En el punto 5 se proponían dos problemas de aplicación de los sistemas de ecuaciones

lineales 3 × 3. Se esperaba que los estudiantes observaran y analizaran las soluciones

algebraica y geométrica.

El video del literal a) hace una descripción del problema, en el que se pide encontrar la

ecuación de una parábola que pasa por tres puntos dados, se ilustra en el video cómo

sustituir uno de los puntos en la ecuación y se les pide a los estudiantes sustituir los otros

puntos para construir el sistema de tres ecuaciones lineales e ingresarlo a la página

http://matrixcalc.org/es/slu.htm, para determinar su solución.

La mayoría de los estudiantes conectados en la cuarta sesión plantearon las ecuaciones,

determinaron solución con el método de eliminación de Gauss-Jordan y la analizaron,

obteniendo la ecuación cuadrática solicitada. El problema no causó dificultades

significativas en los estudiantes, probablemente porque se reduce a seguir paso a paso

unas instrucciones.

Con respecto al literal b), los estudiantes lo desarrollaron sin dificultad alguna. La tabla

propuesta y la ecuación utilizada como ilustración fueron de gran ayuda para los

estudiantes.

La representación gráfica fue el problema, no pudieron configurar los intervalos en los ejes

y al ingresar las ecuaciones no se observaron los planos, por tanto, se decidió solucionar

el problema utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan. Como primer paso, se

les pidió a los estudiantes que construyeran la matriz de coeficientes. Segundo paso, que

intentaran solucionar el sistema sin el apoyo de la página matrixcalc.

http://matrixcalc.org/es/slu.htm

Capítulo 4 111

Dos estudiantes oyentes mostraron habilidad para realizar este tipo de procedimientos,

logrando solucionar la totalidad del ejercicio. los demás estudiantes oyentes, intentaron

realizar el ejercicio, pero no lograron solucionar el problema. Como se mencionó antes,

logran multiplicar la fila por un número, pero sumarla a otra, causa dificultad y más cuando

deben manejar y operar fracciones.

Los estudiantes sordos, muy activos en la actividad, iban realizando paso a paso el

ejercicio. Aunque todo el proceso de solución fue asistido por el docente, se valora el

esfuerzo, las ganas por aprender, la dedicación y el entusiasmo por solucionar los

problemas.

Para terminar, se ingresaron las ecuaciones en la página matrixcalc, para contrastar los

procedimientos hechos usando lápiz y papel.

En esta actividad se evidenciaron los siguientes aspectos.

• Los videos tuvieron un impacto positivo en los estudiantes, puesto que permitieron

comprender mejor los problemas. Aunque este recurso estaba dirigido a los

estudiantes sordos, lo estudiantes oyentes también se vieron beneficiados, ya que

como se ha mencionado en anteriores actividades, los estudiantes oyentes tienen

deficiencias en la comprensión lectora y se les observa un rechazo por leer textos

extensos.

• Con la actividad no se logró que los estudiantes solucionaran un sistema lineal con

el método de eliminación de Gauss-Jordan sin apoyo alguno (solo dos estudiantes

lograron realizar el algoritmo completamente), pero sí se observaron avances en la

interpretación geométrica de los sistemas lineales.

• Como reflexión se observa que los contenidos curriculares propuestos tanto en la

institución que se aplicó la secuencia, como en la mayoría de las instituciones

educativas, se orientan a mecanizar procedimientos y aplicar métodos de forma

mecánica. Sin embargo, se observa que, así como a lo largo de la historia tardaron

tiempo en consolidar la teoría de ecuaciones, pasando por dificultades y

obstáculos, los estudiantes también se enfrentan a sus propios obstáculos y



pretender que comprendan esta teoría en dos meses, no tiene sentido y esto hace

que los estudiantes prefieran la mecanización, al análisis de los problemas. Por tal

razón, al observar los resultados de esta actividad que se aplicó en 4 sesiones, se

puede concluir que se logró avanzar significativamente en el análisis e

interpretación de los sistemas de ecuaciones lineales.

• Por último, queda como propósito continuar realizando actividades no rutinarias,

que impacten en el proceso de aprendizaje, usando recursos educativos digitales

que están disponibles tanto para celular y computador, o buscando otras

estrategias didácticas que permitan apartarnos del sistema, aún usual, de las

clases tradicionales.

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1 Conclusiones

A continuación, se presentan algunas conclusiones que se derivan del proceso de

elaboración, ajuste e implementación de la propuesta que se presenta en este documento.

• Con relación al objetivo general que se propuso, puede afirmarse que se cumplió. A

partir del análisis de los problemas evidenciados en el diagnóstico inicial y el estudio

de referentes teóricos pertinentes, se elaboraron cuatro actividades relacionadas con

la resolución de ecuaciones y sistemas lineales y en su implementación se utilizaron

diferentes recursos tecnológicos.

• La aplicación y análisis de la prueba diagnóstica, cuyo objetivo era identificar los

conceptos previos de los estudiantes respecto a las ecuaciones lineales y su solución,

permite concluir en primer lugar, que los estudiantes están poco motivados por abordar

una actividad como esta y posiblemente esto incide en su actitud ante problemas de

mayor de dificultad cognitiva o cuyos enunciados requieren una lectura o interpretación

más cuidadosa, optando algunos por no responder la prueba. En la prueba, además

se evidenciaron dificultades en las operaciones básicas (adición y multiplicación) de

números racionales, como por ejemplo, ignorar signos, usar algoritmos incorrectos

para adicionar fracciones, adicionar entre si numeradores y entre si denominadores.

Igualmente se observaron dificultades en la simplificación de expresiones algebraicas

y en la solución de ecuaciones lineales.

• La revisión de algunos aspectos histórico-epistemológicos relacionados con el

desarrollo de la teoría de ecuaciones y sistemas lineales permitió comprender un poco

más la evolución de la teoría. De la misma forma se pudo observar en el proceso de

construcción, que el lenguaje simbólico característico del algebra hoy, no estaba

presente como representación semiótica en los inicios de la teoría, pero esto no

impidió que se lograran avances muy importantes en las civilizaciones antiguas. Esto

se ve reflejado también en el proceso de los estudiantes sordos y algunos estudiantes

oyentes, quienes, aunque no logran expresar simbólicamente un patrón de una

secuencia de figuras propuesta en la actividad 2 (generalizar), algunos de ellos sí



expresan la generalización en su lenguaje natural. Esto también se puede considerar

una forma de pensamiento algebraico.

• En el fundamento disciplinar de este trabajo, el estudio y síntesis de los principales

aspectos relacionados con la teoría de ecuaciones lineales permitió profundizar en la

comprensión de conceptos, métodos y procedimientos que usualmente se utilizan

mecánicamente en la básica, pero que tienen gran importancia en esta teoría como:

los criterios de consistencia e inconsistencia de sistemas lineales, las relaciones entre

teoría de ecuaciones y teoría de matrices, los métodos de Gauss y Gauss-Jordan para

solucionar sistemas.

• Establecer los aspectos didácticos del trabajo permitió, en primer lugar, conocer más

a fondo referentes relacionados con la cultura de la población sorda, las dificultades

que tienen en la comunicación y desarrollo, por la imposibilidad de adquirir una lengua

a temprana edad y la realidad que enfrentan en la escuela. En segundo lugar, la

búsqueda y análisis de algunas investigaciones de educación matemática con

estudiantes sordos en la primera infancia, sirvió de apoyo para el diseño e

implementación de la secuencia de actividades.

• Es importante resaltar que los recursos digitales utilizados en la implementación de la

secuencia permitieron, por un lado, una comunicación más fluida entre docente y

estudiantes, especialmente con los estudiantes sordos y por otro, con ellos se logró

que los estudiantes se centraran más en las actividades propuestas, evitando así

distracciones como transcribir la intervención del profesor o construir gráficas y hacer

cálculos utilizando lápiz y papel. Estos recursos se constituyeron en una ayuda

interactiva indispensable en la enseñanza-aprendizaje de los conceptos abordados.

La aplicación de dibujo Draw on screen, que se utilizó en las cuatro actividades, sirvió

como un medio para interactuar directamente con las tareas y problemas propuestos,

ya que en la Tablet podían dibujar, escribir, borrar rápidamente, todo sobre la misma

imagen. Con esta herramienta se ahorró en procesos de escritura y transcripción de

imágenes a una hoja. A veces un simple error implica realizar de nuevo un esquema

en el cuaderno para empezar de nuevo y puede causar frustración y desmotivación en

los estudiantes. Con una herramienta de dibujo se pueden borrar rápidamente los

Conclusiones y Recomendaciones 115

errores sobre la misma imagen, sin estropearla y continuar con el proceso de análisis

sin perder concentración.

• El recurso digital del modelo de balanza, tanto la construida en GeoGebra, como la

utilizada en la Web, mostró al estudiante una forma natural de solucionar una ecuación

lineal. Con la idea explicita de equilibrio de la balanza, los estudiantes comprendieron

la regla de agregar o quitar la misma cantidad de los platos de la balanza, lo que

posteriormente fue de utilidad para expresar algebraicamente la situación, aplicando

las mismas reglas, cambiando la terminología por sumar y multiplicar la misma

cantidad a ambos lados de la ecuación.

• El software GeoGebra es un recurso que, a término personal tiene una interfaz gráfica

intuitiva y fácil de usar. Este recurso fue útil en la interpretación geométrica de un

sistema de ecuaciones lineales, permitiendo hacer comparaciones entre la vista

algebraica y la vista grafica. Como el objetivo de estas actividades consistía en la

interpretación y comprensión del sistema ecuaciones más que en un procedimiento de

construcción de una gráfica, la simplicidad del Software GeoGebra permite elaborar los

gráficos rápidamente y enfocarse en el análisis de las preguntas planteadas en la

actividad.

• Dado que las situaciones problema presentadas en la actividad 4 (aplicaciones de los

sistemas de ecuaciones lineales) tienen un texto más denso que la anteriores, para

apoyar a los estudiantes sordos se elaboraron videos con la previa interpretación a

lengua de señas. Estos videos causaron un impacto positivo, no solo en la comunidad

sorda; los estudiantes oyentes también se beneficiaron de los videos para la

comprensión de los problemas, puesto que, aunque los oyentes tienen la posibilidad

de leer, la mayoría tienen una comprensión lectora deficiente y, en consecuencia, una

predisposición negativa hacia la lectura.

• La página web Matrix Calculator fue de utilidad para explorar el algoritmo del método

de eliminación de Gauss-Jordan. En lugar de explicar el algoritmo tradicionalmente, se

buscó que los estudiantes analizaran los pasos y procedimientos de solución que

ofrecía la página.



• Aunque, con los recursos digitales se pudo crear un ambiente de comunicación directa

entre estudiantes sordos y docente, es indiscutible la necesidad de implementar en la

institución un enfoque bilingüe y bicultural en lengua de señas y lengua castellana Por

un lado, porque la sociedad en la que está inmersa la población sorda es

mayoritariamente oral y por tanto requieren el uso de la lengua castellana para

participar en los diferentes contextos de la vida diaria. Por otro lado, un enfoque bilingüe

proporcionaría un ambiente de aprendizaje entre tres actores: docente, estudiante y

conocimiento, sin la necesidad de un cuarto actor; el intérprete, quien en ocasiones

puede causar una ruptura en el ambiente de aprendizaje. Todo lo mencionado implica

que el docente que orienta las clases tenga un excelente dominio en LSC y conozca

señas especificas en el contexto matemático, además de poseer un conocimiento

profundo de la comunidad sorda.

Lo dicho anteriormente no busca desestimar la gran labor de los intérpretes, pero la

experiencia durante la implementación de la secuencia de actividades evidenció que,

a un estudiante sordo se le dificulta lograr una continuidad en el proceso de dar

significado a los conceptos, porque la orientación del docente es pausada para que se

pueda realizar la interpretación de la instrucción y en ocasiones es necesario repetir la

instrucción 3 o 4 veces, ocasionando una interrupción constante del ambiente de

aprendizaje. O los intérpretes no tienen conocimiento de los temas tratados, lo que

dificulta la transmisión del mensaje.

• El diseño de las actividades de la secuencia estuvo guiado desde luego por aspectos

que se analizaron en los marcos disciplinar y didáctico, de este último se retomó

especialmente lo relativo al uso de diferentes representaciones semióticas, como

representaciones gráficas, pictóricas, lenguaje español escrito y simbólico y esto

proporcionó ayudas visuales que contribuyeron a la comprensión de los conceptos.

• Para concluir, es de resaltar que las actividades elaboradas y su proceso de

implementación impactó positivamente tanto en el proceso de aprendizaje de los

estudiantes como en la práctica reflexiva como docente. Primero, porque estas

actividades estaban visualmente enriquecidas con diferentes representaciones y por

ello, en un primer acercamiento los estudiantes no las rechazaron; segundo, el uso de

Conclusiones y Recomendaciones 117

recursos digitales motivó a los estudiantes a continuar solucionando efectivamente

cada una de las tareas propuestas; tercero, la metodología de trabajo en pequeños

grupos aportó significativamente en el aprendizaje de los conceptos, porque el

intercambio social y cultural a nivel intra e intergrupal proporcionó un ambiente propicio

para el desarrollo del pensamiento algebraico a partir de la solución de situaciones

relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales; y cuarto, en la reflexión que se

generó del análisis de la secuencia de actividades, se pudo reconocer que el desarrolló

del pensamiento algebraico en los estudiantes y en particular el aprendizaje de algún

concepto, no está sujeto a la utilización de símbolos alfanuméricos, puesto que existen

otras representaciones semióticas (gráfica, pictórica, lenguaje oral y escrito, LSC) que

dan cuenta del avance del estudiante en la comprensión de un concepto u objeto

matemático.

5.2 Recomendaciones

A continuación se presentan algunas recomendaciones derivadas de la implementación y

evaluación de la secuencia de actividades y que pueden ser de utilidad para profesores e

investigadores que deseen profundizar en estos temas.

• La planeación de la secuencia y su posterior implementación, además de tener en

cuenta los referentes conceptuales mencionados, tiene en cuenta la situación

particular de desarrollo curricular, condiciones y contexto de la institución donde se

aplicó, es por ello que, si algún profesor está interesado en replicarla deberá tener

en cuenta primero las condiciones particulares y el punto de partida del grupo con

el que se está trabajando.

• Sería interesante implementar la propuesta con un docente de matemáticas

bilingüe en lengua de señas, con la intención de investigar el impacto que puede

tener el fomentar un enfoque bilingüe y bicultural en los colegios que admiten

estudiantes sordos.

• La implementación de la segunda actividad de la secuencia de actividades

evidenció un gran avance en los estudiantes con respecto a generalización de



patrones usando expresiones simbólicas, la interpretación de la variable. Sin

embargo, se podría hacer un trabajo investigativo dedicado solamente a la

generalización de secuencias de figuras que permita dar significado a la letra como

variable.

• Otro aspecto que podría profundizarse en futuras investigaciones es con respecto

a la adquisición del vocabulario del lenguaje español escrito para los estudiantes

sordos, dado que una de las dificultades evidenciadas en el desarrollo de este

trabajo es la relacionada con la interpretación de los problemas. Aunque se

elaboraron videos con la respectiva traducción a lengua de señas, en un contexto

real, el niño sordo no tendrá quien le ayude con las interpretaciones y el uso del

lenguaje escrito ayudaría en la comunicación con otras personas.

• La actividad cuatro tuvo varios contratiempos, uno de ellos, la implementación

virtual de la actividad. Sería interesante observar cómo es el desempeño de los

estudiantes en un ambiente más controlado, como el aula de clase y bajo la

supervisión constante del docente.

• Se recomienda que, si se aplica esta secuencia a otra población con discapacidad

auditiva, se indague con profundidad el contexto (como se comentó anteriormente)

y las condiciones socioculturales de los estudiantes. En este trabajo los estudiantes

sordos son profundos, sin embargo, existe población hipoacúsica que está incluida

dentro de algún grado de sordera y por tanto, los procesos de aprendizaje pueden

ser muy diferentes al de los sordos profundos.

A. Anexo: Prueba diagnóstico

COLEGIO FEDERICO GARCÍA LORCA INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL

Educando para la oportunidad Resolución Reconocimiento 3460 del 25/10/2002 NIT 830.036.283-4 DANE 11185001573

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICO GRADO DÉCIMO

NOMBRE: _____________________________ FECHA:___________

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes enunciados y determina la solución

correcta. Recuerda:

Si 𝑎 es un número real cualquiera, su opuesto aditivo es −𝑎. 𝑎 + (−𝑎) = 0

Si 𝑎 es un número real diferente de cero, su inverso multiplicativo es 1

𝑎 . 𝑎 × (

1

𝑎) = 1

Ejemplo: Puedes comprobar que el opuesto aditivo de 9

5 𝑒𝑠 −

9

5 y su inverso

multiplicativo es 19

5

=5

9 (

9

5 ∙5

9= 1)

1. De acuerdo con la información dada, halla el opuesto aditivo y el inverso multiplicativo

de cada una de los siguientes números y justifica tus respuestas:

• −3

4 Opuesto aditivo Inverso multiplicativo

• 5 Opuesto aditivo Inverso multiplicativo

• −√2 Opuesto aditivo Inverso multiplicativo

2. Calcula el resultado de cada una de las siguientes operaciones.

• −3

5−3

2

• (−2

3) (

7

4)

• [(4 + 5) + (−8 − 7) − (−5 + 4) + 1] − (28 − 25)



3. La temperatura más alta en la ciudad de Bogotá, hacia el mediodía del 25 de enero de

2018, fue de 21 ℃ y la más baja en la madrugada, fue de 4℃. ¿En cuántos grados

se incrementó la temperatura de la ciudad durante ese día?

4. Evalúa cada una de las siguientes expresiones algebraicas, para los valores dados.

Determina, en cada caso, si con los valores dados, se cumple la igualdad. Justifica la

respuesta

• 𝑥2𝑦𝑤2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑥𝑤2 = 8𝑦 con 𝑥 = 2, 𝑦 = 5 𝑤 = −1

• 10𝑎𝑏𝑐 − 5𝑎𝑏 = 5𝑎𝑏(2𝑐 − 1) con 𝑎 = 4, 𝑏 = −2 𝑐 = 3

5. Suma cada una de las expresiones que aparecen a continuación

• 3𝑥 + 25𝑦 + 15𝑥 − 30𝑦

• 21𝑎 − 15𝑏 + 2𝑎

6. Determina, para cada caso, el valor de x que satisface la igualdad

• 3𝑥 + 2 = −1

• −4𝑥 − 2 = 6𝑥 + 8

7. Recuerda: Dados dos puntos del plano cartesiano: (𝑥1, 𝑦1) 𝑦 (𝑥2, 𝑦2), la pendiente,

𝑚, de la recta que pasa por estos puntos, se puede calcular mediante la expresión:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

• ¿Cuál es entonces la pendiente de la recta 𝑙 que pasa por los puntos

(−1,2) 𝑦 (−3,−2)?

• Dibuje en un plano la recta 𝑙. Trace ahora una recta paralela a 𝑙, ¿qué concluye?

8. Recuerda: En el plano, la ecuación de la recta que tiene pendiente 𝑚, e intercepta al

eje 𝑦 en el punto de coordenadas (0, 𝑏) es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Observa la siguiente gráfica y halla la ecuación de la recta

Anexo A. Prueba Diagnóstico 121

9. En el plano cartesiano que se presenta a continuación, construye la línea recta cuya

ecuación es 12𝑥 + 4𝑦 = 8

B. Anexo: Resultados Prueba Diagnóstico

Para facilitar el análisis: Se utilizaron algunas convenciones para organizar los resultados

Tabla 6: Convenciones para el análisis de datos

DESCRIPCIÓN

1 Respuesta correcta con justificación

0 Respuesta incorrecta

NJ Respuesta correcta sin justificación

NR No responde

SI Signo incorrecto o no considerado

PI Proceso correcto, pero no completo

Tabla 7: Porcentaje de aciertos de los estudiantes oyentes Ítem 1.

ÍTEM 1

−𝟑

𝟒 𝟓 −√𝟐

Opuesto Aditivo

Inverso Multiplicativo

Opuesto Aditivo


Opuesto Aditivo


1 86,21% 13,79% 86,21% 58,62% 82,76% 24,14%

0 3,45% 20,69% 3,45% 10,34% 3,45% 20,69%

NJ 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

NR 10,34% 17,24% 10,34% 27,59% 13,79% 34,48%

SI 0,00% 48,28% 0,00% 3,45% 0,00% 20,69%

PI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

Anexo B. Resultados Prueba Diagnóstico 123

Tabla 8: Porcentaje de aciertos de los estudiantes sordos Ítem 1.

ÍTEM 1

−𝟑

𝟒 𝟓 −√𝟐

Opuesto Aditivo


Opuesto Aditivo


Opuesto Aditivo


1 66,67% 33,33% 50,00% 33,33% 83,33% 16,67%

0 0,00% 0,00% 16,67% 33,33% 0,00% 50,00%

NJ 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

NR 33,33% 33,33% 33,33% 33,33% 16,67% 33,33%

SI 0,00% 33,33% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

PI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

Tabla 9: Resultados Ítem 2.

Oyentes Discapacidad Auditiva

−𝟑

𝟓−𝟑

𝟐

(−

𝟐

𝟑) (

𝟕

𝟒)

[(𝟒 + 𝟓) + (−𝟖 −

𝟕) − (−𝟓 + 𝟒) +

𝟏] − (𝟐𝟖 − 𝟐𝟓)] −𝟑

𝟓−𝟑

𝟐 (−

𝟐

𝟑) (

𝟕

𝟒)

[(𝟒 + 𝟓) + (−𝟖 −𝟕) − (−𝟓 + 𝟒) +𝟏] − (𝟐𝟖 − 𝟐𝟓)]

1 37,93% 37,93% 17,24% 0,00% 16,67% 16,67%

0 41,38% 20,69% 48,28% 50,00% 50,00% 33,33%

NJ 3,45% 3,45% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

NR 13,79% 27,59% 34,48% 33,33% 33,33% 50,00%

SI 3,45% 10,34% 0,00% 16,67% 0,00% 0,00%

PI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

Tabla 10: Resultado Ítem 3.


1 44,83% 50,00%

0 13,79% 16,67%

NJ 0,00% 0,00%

NR 41,38% 33,33%

SI 0,00% 0,00%

PI 0,00% 0,00%



Tabla 11: Resultados ítem 4.


𝑥2𝑦𝑤2 + 4𝑥𝑦

− 2𝑥𝑤2 = 8𝑦 10𝑎𝑏𝑐 − 5𝑎𝑏= 5𝑎𝑏(2𝑐 − 1)

𝑥2𝑦𝑤2 + 4𝑥𝑦

− 2𝑥𝑤2 = 8𝑦 10𝑎𝑏𝑐 − 5𝑎𝑏= 5𝑎𝑏(2𝑐 − 1)

1 6,90% 0 16,67% 0,00%

0 17,24% 20,69% 16,67% 16,67%

NJ 6,90% 3,45% 0,00% 0,00%

NR 65,52% 72,41% 66,67% 83,33%

SI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

PI 3,45% 3,45% 0,00% 0,00%

Tabla 12: Resultados Ítem 5.


3𝑥 + 25𝑦 + 15𝑥 − 30𝑦 21𝑎 − 15𝑏 + 2𝑎 3𝑥 + 25𝑦 + 15𝑥 − 30𝑦

21𝑎 − 15𝑏 + 2𝑎

1 37,93% 37,93% 16,67% 16,67%

0 17,24% 13,79% 0,00% 0,00%

NJ 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

NR 44,83% 48,28% 83,33% 83,33%

SI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

PI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

Tabla 13: Resultados ítem 6


3𝑥 + 2 = −1 −4𝑥 − 2 = 6𝑥 + 8 3𝑥 + 2 = −1 −4𝑥 − 2 = 6𝑥 + 8

1 31,03% 10,34% 0,00% 0,00%

0 0,00% 3,45% 16,67% 16,67%

NJ 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

NR 68,97% 82,76% 83,33% 83,33%

SI 0,00% 3,45% 0,00% 0,00%

PI 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

C. Anexo: Actividad 1



Primera parte

1.

a) A continuación se observan 5 figuras diferentes, usa una fracción para expresar en

cada caso, la parte sombreada del área de la figura.



b) Sombrea en cada figura la parte de área indicada

c) Observa las siguientes figuras

• Si la figura 1 representa la quinta parte del área de un polígono, dibuja el polígono

completo.

• Si la figura 2 representa las tres cuartas partes del área de un polígono, dibuja el

polígono completo.

• Si la figura 3 representa las cuatro séptimas partes del área de un polígono, dibuja

el polígono completo.

• Si la figura 4 representa las cinco séptimas partes del área de un polígono, dibuja

el polígono completo.

d. Observa los círculos que se presentan en el siguiente dibujo. Indica qué parte del

total de círculos corresponde a los sombreados en el dibujo

Anexo C. Actividad 1 127

e. Observa a continuación un conjunto de cámaras de video. Señala las dos quintas

partes (2/5) del total de cámaras de video que se presentan en el dibujo.

f. En el siguiente dibujo se ha representado la sexta parte (1/6) de un conjunto de

vestidos que deben empacarse en una caja. Dibuja el conjunto total (todo) de

vestidos que se van a empacar.

2. Si tienes dos barras de chocolate y las quieres repartir de forma equitativa entre los

integrantes de tu grupo (el conformado para la actividad del taller de matemáticas),

incluyéndote. ¿Qué cantidad de chocolate le corresponderá a cada uno?

3. Uno de tus compañeros invitó a tomar onces a su casa a cinco amigos. Si cada persona,

incluyéndolo a él, recibió dos terceras partes (2/3) de torta ¿Mínimo, cuántas tortas

había para las onces?



4. Un profesor llevó 3 pizzas del mismo tamaño para compartir con algunos estudiantes y

cada uno recibió las tres quintas(3/5) partes de una pizza ¿Para cuántos estudiantes

alcanzaron las tres pizzas? ¿Sobró alguna parte de la pizza?

5. En un salón de clase, por cada 2 niños hay 5 niñas, si en total hay 35 estudiantes,

¿cuántos niños y cuántas niñas hay en el salón?

6. Un niño compró 3 dulces por 600 pesos y otro niño compró 4 dulces del mismo tipo

por 700 pesos. ¿Quién compró los dulces más baratos?

7. 1001 y 1002 realizarán una venta de chocolatinas. A cada grupo se le entregarán en

total 120 chocolatinas. Hay dos tipos de chocolatinas, blancas y negras. 1001 decide

hacer paquetes de tres chocolatinas, de tal forma que por cada chocolatina blanca hay

dos negras. 1002 hace paquetes de tal forma que por cada dos blancas hay tres negras.

• ¿Cuántas chocolatinas blancas y cuántas negras recibió 1001?

• ¿Cuántas chocolatinas blancas y cuántas negras recibió 1002?

• 1001 decide vender su paquete a 1500 pesos y 1002 decide vender su

paquete a 1700 pesos ¿Cuál de los paquetes es más costoso?

• ¿Cuántos paquetes de chocolatina tiene para la venta 1001?

• ¿Cuántos paquetes de chocolatina tiene para la venta 1002?

• Si cada curso vende el total de paquetes ¿quién obtuvo mayor cantidad de

dinero en sus ventas?

8. Cierto vehículo recorrió 5 kilómetros en 4 minutos. Si el vehículo conserva la misma

velocidad, completa la siguiente tabla

Kilómetros (d) 5 15 D

Minutos (t) 4 8


9. Un auto A recorrió 5 kilómetros en 4 minutos y un auto B recorrió 6 kilómetros en 5

minutos. ¿Qué auto tiene mayor velocidad?

Segunda parte

10.

a) En la siguiente figura observas un rectángulo R.

En las figuras A, B y C el rectángulo se ha dividido en regiones de la misma área.

• Usa fracciones para representar el área del rectángulo R, coloreada en las

figuras A y B.

• ¿El área coloreada en los dos casos es la misma?, ¿sí?, ¿no? Explica tu

respuesta. ¿Qué concluyes acerca de las fracciones?

• ¿Qué parte del área debes colorear en la figura C, para obtener una fracción

equivalente a la identificada en A?

b) En la siguiente figura observas un rectángulo S.



En las figuras A, B y C el rectángulo S se ha dividido en regiones de la misma área

¿Qué fracción del área del rectángulo S se debe colorear en A y en B para representar

un área equivalente a la ilustrada en C?

11. Observa la siguiente figura, en ella se ha representado una unidad (rectángulo

sombreado) y fracciones de esta unidad.


a)

• ¿Cuáles de las fracciones representadas son equivalentes a la

mitad (1/2) de la unidad?

1

2= = =

• Analiza el numerador y el denominador de las fracciones que

identificaste en el punto anterior, ¿cómo podrías expresar de

manera general una fracción equivalente a la fracción 1

2?

b)

• ¿Cuáles de las fracciones representadas son equivalentes 2/3 de

la unidad?

2

3= = =

• Analiza el numerador y el denominador de las fracciones que

identificaste en el punto anterior, ¿cómo podrías expresar de

manera general una fracción equivalente a la fracción 2

3

c) ¿Qué fracciones son equivalentes a 10/4?

10

4= = =

d) ¿Qué fracciones son equivalentes a 18/6?

18

6= = =

e) Completa los términos que faltan en las siguientes fracciones para que

sean todas equivalentes

• 1

3=2

6=

4=

6=15

• Determina una expresión general que permita expresar todas las

fracciones equivalentes a 1

3

f) Argumenta porque 2

3 y

6

8 NO son fracciones equivalentes.



12.

a) En la siguiente figura encontrarás cuatro rectas numéricas, en todas se seleccionó

la misma unidad

• La unidad en la recta 2 está dividida en dos partes iguales, la unidad en la

recta 3 está dividida en terceras partes iguales. ¿En cuántas partes iguales

está dividida la unidad en la recta 4?

• Escribe las fracciones que corresponden a los puntos señalados en cada

recta numérica.

b) Observa la siguiente recta numérica y responde las preguntas.

• ¿En cuántas partes está dividida la unidad en la recta numérica

• Escribe la fracción que corresponde a los puntos señalados (rojos) en la

recta numérica.

13.

a)

• Ubica en la recta numérica las siguientes fracciones:


• De las fracciones anteriores, ¿cuál es la mayor y cuál es la menor? ¿Cómo

llegaste a esa conclusión?

b) Explica cómo harías para determinar, ¿cuál de las siguientes fracciones es mayor

5

4 𝑜

10

4?

c) El método que encontraste en el punto anterior te es útil para determinar cuál de las

siguientes fracciones es mayor 5

3 𝑜

10

5 . Argumenta tu respuesta.

d) Observa la siguiente expresión, falta un término de la fracción para completarla

6>8

3

Completa para que se cumpla la relación del enunciado, explica tu respuesta.

e) Encuentra un método general que permita determinar, de dos fracciones dadas cuál

es la mayor. Puedes utilizar las siguientes fracciones para explicar tu método.

• ¿Qué fracción es mayor?

5

6

8

3

4

2

6

3

5

8

5

10 −

1

6 −

2

6

Tercera parte

14.

a) En la siguiente figura se observa un rectángulo dividido en diferentes regiones

• ¿Qué fracciones del área del rectángulo total representan las regiones I, II, III, IV y V?

• Calcula la fracción que representa la suma de las áreas de las regiones

en los casos siguientes:

o I + II o I + III + IV



o II + III + V

b) Observa la siguiente figura, en ella se ha representado una unidad (rectángulo

sombreado) y fracciones de esta unidad.

c)

Calcula la suma de las siguientes fracciones, utiliza la imagen como ayuda.

• 𝟑

𝟖+𝟕

𝟖=

• 𝟒

𝟑+𝟕

𝟔=

• 𝟏

𝟐+𝟏

𝟑+𝟑

𝟐=

• 𝟏𝟎

𝟒−𝟑

𝟐=

d) Explica porque NO es correcta la siguiente igualdad.

𝟑

𝟐+𝟏

𝟒=𝟒

𝟔

e) Usa una imagen o aplica algún método que conozcas, para determinar la adición

de las siguientes fracciones, explica.

𝟒

𝟕+𝟏

𝟑=

15.

a) Si Carlos reparte 1/4 de litro de jugo de naranja, a cada uno de sus seis amigos,

¿Cuántos litros de jugo de naranja repartió en total?

b)

• Carlos, María, Esteban, Daniela y Jorge están coleccionando fichas para

un juego. Carlos tiene 24.


• María tiene el doble de las que tiene Carlos, 2 veces el número de fichas

que tiene Carlos, 2x24

• Esteban tiene el triple de las que tiene Carlos, 3 veces 24: 3x24

• Daniela tiene la cuarta parte de las que tiene Carlos (1/4) de 24: (1/4)x24

• Y Jorge tiene 5/6 de las que tiene Carlos, (5/6)x24

¿Cuántas fichas tiene cada uno? Explica tu procedimiento

c) El director de curso de 803 quiere hacer un compartir con sus estudiantes para

felicitarlos por su buen comportamiento durante el primer periodo, para ello, decide

comprar una pizza y media. Cada pizza completa, por lo general la dividen en ocho

porciones iguales. Como en total son 34 estudiantes, el profesor decide dividir cada

porción en tres partes iguales, para que alcance para todos.

• Escribe una fracción que represente que porción de pizza comió cada

estudiante

• Escribe una fracción que represente la porción de pizza que sobró.

d) A la fiesta de 15 años de Laura asistieron 96 personas. La mitad de los asistentes

son adultos y 5/8 de los adultos son mujeres. De los que no son adultos, 3/4 son

niñas.

• ¿Cuántos hombres adultos hay en la fiesta?

• ¿Cuántos niños hay en la fiesta?

• ¿Cuántas mujeres adultas hay en la fiesta?

• ¿Cuántas niñas en la fiesta?

Para la fiesta, los padres de Laura compraron 4 tortas del mismo tamaño y

guardaron 1/3 de una de las tortas para los invitados que no pudieron asistir, el resto

lo repartieron equitativamente entre los 96 asistentes.

• ¿Qué fracción de torta les correspondió en total a los hombres adultos y a

los niños?

• ¿Qué fracción de torta les correspondió a las mujeres adultas?

• ¿Qué fracción de torta les correspondió a las niñas?

D. Anexo: Actividad 2.



1. Recuerda, para determinar el área de un rectángulo multiplicas las dos dimensiones

(base y altura).

En la siguiente figura puedes identificar 3 rectángulos. Observa el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 ,

Sus dimensiones son: 7 y 4 unidades y su área es entonces: 7 × 4 = 28 unidades

cuadradas

Otra expresión que permite calcular el área de este rectángulo se muestra en la parte

inferior de la figura. Explica, a partir de la figura por qué esta igualdad es correcta.

2. Observa la siguiente figura e identifica las dimensiones del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷

• ¿Cuál es la medida del lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ? Y ¿cuál la del lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ?

Anexo D. Actividad 2 137

• Completa la siguiente igualdad:

El área del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es: 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐 = ¿ ? . Explica tu respuesta.

3. Dibuja un rectángulo cuya área se pueda obtener con la siguiente expresión:

5 ∙ (6 + 4) = 5 ∙ 6 + 5 ∙ 4

4. En la siguiente figura se han representado un conjunto de piezas de forma

cuadrada y rectangular: un cuadrado de lado x unidades, rectángulos de lados x y

1 unidad y cuadrados de lado 1 unidad.

a) Utiliza las piezas necesarias para construir un rectángulo cuya

base mida 𝑥 + 2 y cuya mida altura 𝑥 + 1 unidades. ¿Cuál es el

área del rectángulo que construiste?

b) Determina el área de cada una de las piezas que utilizaste,

compara la suma de las áreas de las piezas con el área del

rectángulo que construiste, ¿qué concluyes?

c) Completa ahora la siguiente igualdad: ¿ ? = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)

d) Con piezas como las mostradas construye un rectángulo cuya área

esté dada por la expresión 𝑥2 + 5𝑥 + 6

¿Cuáles son las dimensiones de este rectángulo?

Completa la siguiente igualdad 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = ¿ ?



5.

a) La siguiente imagen muestra una secuencia de triángulos equiláteros

• Determina el perímetro de cada uno de estos triángulos

• Calcula el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide 8 unidades

• Completa la siguiente tabla y construye, en el plano cartesiano, una gráfica

de esta relación. Ubica en el eje 𝑥 la medida de los lados y en el eje 𝑦 el

perímetro de los triángulos.

Medida del lado Perímetro

1

2

3

4

5

6

• Calcula el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mida 𝑛 unidades

b) En la secuencia de rectángulos que observas a continuación cambian las

dimensiones, compara y determina la secuencia.

5

Anexo D. Actividad 2 139

• Continua la secuencia y calcula el perímetro del rectángulo cuya medida del

lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 11 unidades

• Completa la tabla y construye la gráfica de esta relación en el plano

cartesiano. Ubica en el eje 𝑥 la medida de los lados y en el eje 𝑦 el perimetro

Medida del

lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅

Perímetro

1

2

3

4

5

6

8

10

11

• Determina el perímetro del rectángulo cuya medida del lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑛

c) Observa la secuencia de polígonos

• Calcula el perímetro de cada uno de los polígonos

• Continua la secuencia y calcula el perímetro del polígono cuya medida del lado 𝐴𝐵

es 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑛 unidades.

6. Observa el siguiente rectángulo



• Calcula el perímetro del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷

• ¿Cuál o cuáles pueden ser los valores de a y b, si el perímetro del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷

es 16 unidades?

• Construye la gráfica de la relación que se determina entre los valores de a y b.

Ubica en el eje 𝑥 los valores de a y en el eje 𝑦 los valores de b.

E. Anexo: Actividad 3.



ACTIVIDADES

1.

a) En el juego de caminos que observas en el esquema, debes colocar un número

en la salida “S”, seguir las flechas eligiendo un camino (C1 o C2) y efectuar las

operaciones que se indican, el resultado de las operaciones lo debes escribir

en la meta “M”. El objetivo del juego, en este caso, es elegir “S” de tal forma

que el resultado final por los dos caminos sea el mismo.

¿Cuál es el número?

b) Observa el siguiente esquema



• Si el valor de 𝑀 es 17 ¿cuál es el valor de 𝑆?

• Explica ¿cómo encontraste el valor de S?

c) Observa el siguiente esquema

El esquema anterior se puede expresar de la siguiente forma:

𝐶1: 6 × 𝑆 − 50

𝐶2: 2 × 𝑆 + 2

Como el resultado del camino 1 debe ser igual al resultado del camino 2, se

puede expresar de la siguiente forma

Resultado de camino 1 = Resultado de camino

6 × 𝑆 − 50 = 2 × 𝑆 + 2

¿Cuál es el valor de 𝑆?

2.

a) Todos los libros de matemáticas que observas en la balanza representada tienen

el mismo peso. La balanza está en equilibrio y observa que se usó para ello un

conjunto de pesas de un kilogramo cada una.

Anexo E. Actividad 3 143

• ¿Cuánto pesa cada uno de los libros de matemáticas representados?

• Describe paso a paso, con dibujos, palabras o con símbolos cómo llegaste

a esta respuesta.

• Si 𝑛 representa el peso de uno de estos libros. ¿Cómo expresarías

algebraicamente la situación que observas en esta balanza?

b) La siguiente balanza está en equilibrio, cada una de las botellas representadas

pesa lo mismo. Observas además un conjunto de pesas de una libra cada una.

• ¿Cuál de las siguientes acciones mantendría la balanza equilibrada? Explica cada

respuesta.

✓ Pasar dos libras del platillo izquierdo al derecho

✓ Quitar tres botellas del platillo del lado derecho

✓ Quitar una libra de cada lado de la balanza

✓ Agregar una botella al platillo izquierdo de la balanza

✓ Agregar dos libras a cada lado de la balanza.

• Quitando o agregando objetos a la balanza anterior, de tal forma que permanezca

equilibrada, determina el peso (en libras) de cada botella



• Si 𝑚 representa el peso de una botella, expresa algebraicamente la situación que

se representa en la balanza.

c) Si 𝑥 representa el peso (en libras) de una bolsa de arroz,

• representa en la siguiente balanza una situación que corresponda a la

ecuación: 5𝑥 + 2 = 4𝑥 + 5.

• ¿Cuál es entonces el peso de una bolsa de arroz?

3. La ecuación 4𝑎 + 3 = 23 se puede representar por medio del siguiente diagrama

• Para hallar la solución de esta ecuación, se puede utilizar un diagrama

inverso, como el que se observa en la imagen. ¿Qué operaciones se deben

realizar para solucionar la ecuación?


4.

a) El siguiente cuadro tiene dos columnas, en la primera columna se muestra la

representación de una situación con el modelo de balanza y en la segunda

columna se muestra la representación simbólica de la situación.

• Completa la tabla

Modelo balanza Representación simbólica

𝑏 representa el peso de cada barril

5𝑏 + 4 = 2𝑏 + 16

5𝑏 + 4 − 4 = 2𝑏 + 16 − 4

5𝑏 = 2𝑏 + 12

𝑏 =?



b) En la siguiente tabla encuentras pasos que puedes seguir para solucionar una

ecuación lineal. Observa, en el paso 1 se efectuó una operación en los dos

miembros de la ecuación 1, para obtener la ecuación 2.

• ¿Qué operación se realizó en el paso 1?

• ¿Qué operación se realizó en el paso 2 para obtener la ecuación 3?

• ¿Qué operación se hizo en el paso 3 para obtener el resultado final?

Pasos Ecuaciones

resultantes

Ecuación 1 2𝑦 + 27 = 5𝑦 + 6

Paso 1 ¿?

Ecuación 2 2𝑦 + 21 = 5𝑦

Paso 2 ¿?

Ecuación 3 21 = 3𝑦

Paso 3 ¿?

Resultado final 7 = 𝑦

c) La ecuación 2𝑥 + 3 = 4𝑥 − 4 se transformó para obtener el valor de x,

utilizando el procedimiento realizado en el literal b), escribe las operaciones que

se efectuaron, en los dos lados de la ecuación, en cada paso.

2𝑥 + 3 = 4𝑥 − 4

¿?

2𝑥 + 7 = 4𝑥

¿?

7 = 2𝑥

¿?

7

2= 𝑥


d) Teniendo en cuenta los procedimientos observados en los literales b) y c),

soluciona las siguientes ecuaciones

• 6𝑥 + 2 = 3𝑥 + 4

• 4𝑥 − 5 = 26

5. Soluciona los siguientes problemas

a) La suma de tres números enteros consecutivos es 102 ¿Cuáles son estos tres

números?

b) La base de un rectángulo mide 18 unidades más que su altura y su perímetro

es de 76 unidades. ¿Cuáles son las dimensiones de este rectángulo?

c) Andrés pensó un número y lo multiplicó por 5, al resultado le sumo 6 y le dio

como resultado 36. ¿Qué número pensó Andrés?

d) Plantea un problema que se pueda resolver solucionando la ecuación

6𝑏 + 3 = 57

6.

a) Completa la tabla

Enunciado verbal Modelo balanza Expresión algebraica

Dos bolsas de naranjas

y dos bolsas de

manzanas pesan juntas

48 kg

• Si cada bolsa de naranja tiene el mismo peso y cada bolsa de manzana

tiene el mismo peso ¿cuánto pesa cada bolsa de naranja y cuánto cada

bolsa de manzana?

• ¿Cuántas soluciones tiene el problema? Escribe cada solución que

encuentres.

• Grafica en GeoGebra la relación entre el peso de la bolsa de naranjas y el

peso de la bolsa de manzanas, ubica en el eje x el peso de la bolsa de

naranjas y en el eje y el peso de la bolsa de manzanas.



• Abre la vista algebraica de GeoGebra y compara la expresión algebraica

que escribiste en la tabla anterior con la expresión obtenida por el software.

7. Grafica las siguientes ecuaciones lineales en GeoGebra.

a) 4𝑥 + 5𝑦 = 20. Agrega color rojo a la grafica

b) Si sumamos a la ecuación anterior la expresión (-4x) se obtiene la ecuación

(equivalente): (−4𝑥) + 4𝑥 + 5𝑦 = (−4𝑥) + 20 → 𝟓𝒚 = −𝟒𝒙 + 𝟐𝟎. Agrega

color azul a la gráfica.

c) Si se multiplica por 1/5 la última ecuación del literal b), la nueva ecuación es:

1

5(5𝑦) =

1

5(−4𝑥 + 20) → 𝑦 = −

𝟒𝒙

𝟓+ 𝟒. Agrega color verde a la gráfica.

d) ¿Observas alguna relación entre las tres graficas?

8. Dada la ecuación lineal 2𝑥 + 2𝑦 = 16, encuentra tres ecuaciones cuya

representación gráfica corresponda a la misma recta, puedes graficar en

GeoGebra.

Al terminar el taller se les indicará que, si las tres ecuaciones corresponden a una misma

recta, es porque que las ecuaciones son equivalentes, ya que tienen el mismo conjunto

solución.

F. Anexo: Actividad 4.



1.

a) A continuación se plantean tres sistemas de ecuaciones lineales.

{𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 = −1

{2𝑥 − 3𝑦 = 16𝑥 − 9𝑦 = 3

{−3𝑥 + 𝑦 = 2−𝑥 − 3𝑦 = 5

Para cada uno de los sistemas realiza las siguientes tareas

• Representa utilizando GeoGebra, las dos ecuaciones lineales que

conforman el sistema.

• En cada caso determina si las rectas que representan las ecuaciones

lineales: se intersecan en un punto, o son paralelas

• ¿Qué se puede afirmar de la solución de cada uno de los sistemas?

Justifique su respuesta.

2. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

{2𝑥 + 5𝑦 = 34𝑥 + 𝒂𝑦 = 𝒃

• Observa, en la segunda ecuación un coeficiente y el término independiente

no están determinados. Analiza: ¿Qué condiciones debe satisfacer el

coeficiente, 𝒂 y el término independiente, 𝒃 para que el sistema no tenga

solución?

• ¿Qué condiciones deben satisfacer 𝒂 y 𝒃 para que el sistema tenga

infinitas soluciones?



• ¿Qué condiciones deben satisfacer 𝒂 y 𝒃 para que el sistema tenga

solución única?

3.

a) En la columna izquierda de la siguiente tabla encontrarás un sistema de dos

ecuaciones lineales, y en la parte derecha aparece su interpretación geométrica,

el punto de intersección de las dos rectas corresponde a la solución del sistema.

Representación algebraica Interpretación geométrica

2𝑥 + 3𝑦 = 12 (1)2𝑥 + 𝑦 = 8 (2)

La solución del sistema 𝑥 = 3,

𝑦 = 2 porque el punto de

intersección de las dos rectas es

(3, 2)

Vamos a multiplicar la ecuación 1

por 1

2 y vamos a multiplicar la

ecuación 2 por −1

2, para obtener

ecuaciones equivalentes.

1

2(2𝑥 + 3𝑦 = 12) (1)

−1

2(2𝑥 + 𝑦 = 8) (2)

Nuestras nuevas ecuaciones son

𝑥 +3

2𝑦 = 6 (3)

−𝑥 −1

2𝑦 = −4 (4)

Anexo F. Actividad 4 151

Grafica las rectas de este nuevo

sistema de ecuaciones e

identifica su solución.

Ahora vamos a sumar la

ecuación 3 con la ecuación 4

𝑥 +3

2𝑦 = 6 (3)

−𝑥 −1

2𝑦 = −4 (4)

0 + 𝑦 = 2 (5)

Dejamos la ecuación 3 igual y la

ecuación 4 la remplazamos por la

ecuación 5 y nuestro nuevo

sistema seria

{𝑥 +

3

2𝑦 = 6 (3)

0 + 𝑦 = 2 (5)

Grafica este nuevo sistema de

ecuaciones e indica el conjunto

solución.

Como observas, la ecuación 5

nos dice que 𝑦 = 2, entonces

vamos a reemplazar este valor

en la ecuación 3

𝑥 +3

2(2) = 6

𝑥 + 3 = 6

Sumamos −3 a ambos lados de

la ecuación

𝑥 + 3 − 3 = 6 − 3

𝑥 + 0 = 3 (6)

Reemplazamos la ecuación 3 por

la ecuación 6 y nuestro nuevo

sistema es



{𝑥 + 0 = 3 0 + 𝑦 = 2

(6) (5)

Grafica el sistema de ecuaciones

y halla el conjunto solución.

• Compara la interpretación geométrica de los cuatro sistemas de

ecuaciones, obtenidos en la tabla, e indica qué puedes concluir de la

solución de cada sistema.

b) Observa ahora el siguiente sistema de ecuaciones

{−2𝑥 − 𝑦 = −3 −5𝑥 + 𝑦 = −11

(1) (2)

• Grafica las ecuaciones en GeoGebra y compara la solución con la obtenida

algebraicamente.

c) A continuación encuentras tres sistemas de ecuaciones lineales

{5𝑥 + 2𝑦 = 1−3𝑥 + 3𝑦 = 5

{5𝑥 − 𝑦 = 2

−2𝑥 + 4𝑦 = −12 {

−2𝑥 + 4𝑦 = 112𝑥 − 3𝑦 = 12

• Debes introducir los dos primeros sistemas de ecuaciones en la página

http://matrixcalc.org/es/slu.html y determinar la solución con la instrucción:

“solución por el método de Gauss-Jordan”.

• Con ayuda del docente observa el paso a paso para la solución de los sistemas

de ecuaciones.

• Intenta solucionar sin ayuda y con el método de Gauss-Jordan el tercer sistema

de ecuaciones lineales.

4. En el planteamiento y solución de problemas en diferentes áreas y contextos se

utilizan los sistemas de ecuaciones lineales.

Resuelve los siguientes problemas.

a) Dos de las fotocopiadoras que están cerca del colegio, la fotocopiadora

Francy y la fotocopiadora Carlitos, ofrecen un plan especial para el colegio,

que incluye un cargo fijo mensual.

En las siguientes tablas encuentras información sobre el cargo fijo y el

precio de diferentes cantidades de copias, en cada una de las

fotocopiadoras.



FRANCY CARGO FIJO $4000 CARLITOS, CARGO FIJO $10000

Cantidad

FOTOCOPIA

(X)

PRECIO

(Y)

1 4060

2 4120

3 4180

4 4240

X Y=

Cantidad

FOTOCOPIA

(X)

PRECIOS

(Y)

1 10050

2 10100

3 10150

4 10200

X Y=

• Utiliza GeoGebra para ubicar en un mismo plano los valores que

se dan en las tablas, para cada fotocopiadora.

• Une con una línea recta roja los puntos que corresponden a los

datos de la fotocopiadora Francy y con una línea recta azul, los

puntos que corresponden a los datos de la fotocopiadora

Carlitos.

• Las rectas que trazaste se intersecan en un punto, determina las

coordenadas de este punto. Explica cómo se puede interpretar

este punto en el problema.

• ¿Cuál de las dos fotocopiadoras le convendría seleccionar al

colegio, si desean sacar 300 copias de una hoja de ejercicios de

matemáticas? ¿Cuál de las fotocopiadoras si el colegio desea

sacar 1000 copias?

• Si el colegio quiere reducir costos, ¿en qué caso y a partir de qué

cantidad de fotocopias, una de las fotocopiadoras es más

conveniente que la otra?

b) Lee, analiza y plantea el siguiente problema

Kevin utiliza dos medios de transporte para llegar al colegio, Transmilenio y

SITP. El pasaje del Transmilenio cuesta $2500, el pasaje del SITP cuesta

$2300. Si en una semana gastó $59700 en pasajes y se sabe que utilizó el



transporte 20 veces en la semana, ¿cuántas veces utilizó Transmilenio y

cuántas veces utilizó SITP?

Para resolver el problema se requiere expresar algebraicamente la

situación planteada. Podemos determinar dos variables (incógnitas)

en este problema: cantidad de pasajes de Transmilenio y cantidad

de pasajes del SITP. Vamos a representar con la letra T la cantidad

de pasajes utilizados de Transmilenio y con la letra S la cantidad

pasajes del SITP.

• Con ayuda del docente plantea el sistema ecuaciones de la

situación.

• Soluciona el sistema utilizando el método de Gauss-Jordan.

5. Lee y analiza el siguiente problema

a) La ecuación general de una parábola se puede expresar en la forma

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Determinar la ecuación de una parábola que pasa por los puntos

(−3,5), (−2,−2) y (1,1).

• Como cada uno de estos puntos pertenecen a la parábola deben satisfacer

la ecuación, debes entonces reemplazar cada punto, en la ecuación

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, recordemos que la primera componente de la

coordenada del punto es 𝑥 y la segunda es 𝑦. Debemos determinar los

valores de los coeficientes de la ecuación: 𝑎, 𝑏, 𝑐.

• Al reemplazar estas coordenadas obtenemos un sistema de ecuaciones,

3 × 3, cuyas incógnitas son 𝑎 , 𝑏 y 𝑐. Introducimos este sistema en la

página http://matrixcalc.org/es/slu.html, y seleccionamos en “solución por

el método de Gauss-Jordan”

• Con ayuda del docente, intenta comprender el paso a paso que se generó

en la página.

• Por último, reemplaza los valores obtenidos para determinar ecuación de

la parábola.

b) En el colegio se celebró el día del género con diferentes actividades. Como

actividad final, el colegio le obsequió a cada estudiante un helado de tres

sabores, vainilla, arequipe y brownie. Contrató para ello una empresa que

ofrece precios especiales según el sabor y la sección del colegio. Para



preescolar: vainilla $100, arequipe $300 y brownie $1500. Para primaria:

vainilla $100, arequipe $550 y brownie $2500 y para bachillerato: vainilla $120,

arequipe $540 y brownie $2670. Si el colegio gastó en los helados de

preescolar $1.304.000, $2.184.000 en los de primaria y $2.306.400 para

bachillerato, ¿cuántos helados compró el colegio para cada sección?

• Puedes utilizar la siguiente tabla como ayuda para expresar

algebraicamente la situación.

• Usando la tabla concluyes que la ecuación para preescolar es:

100𝑥 + 300𝑦 + 1500𝑧 = 1.304.000

Explica por qué esta es la ecuación correcta y construye las otras

ecuaciones.

• En GeoGebra, seleccionas la vista 3D y agregas las ecuaciones

obtenidas.

• Puedes observar tres planos que corresponden a las ecuaciones

obtenidas, ubica el punto de intersección de los tres planos.

• En vista algebraica, observa los valores del punto de intersección. Las

coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) del punto de intersección corresponden a la

solución del problema.

SABORES

SECCIONESVainilla (x) Arequipe(y) brownie (z) total

Preescolar

Primaria

Bachillerato

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