Una Introducción a la Mecánica de la Una Introducción a la Mecánica de la Fractura Aplicada al HormigónFractura Aplicada al Hormigón

Prof. José Luiz Antunes de Oliveira e Sousa Prof. José Luiz Antunes de Oliveira e Sousa (UNICAMP)(UNICAMP)

UPC/BarcelonaUPC/Barcelona

Una Introducción a la Mecánica de la Una Introducción a la Mecánica de la Fractura Aplicada al HormigónFractura Aplicada al Hormigón

Prof. José Luiz Antunes de Oliveira e Sousa Prof. José Luiz Antunes de Oliveira e Sousa (UNICAMP)(UNICAMP)

UPC/BarcelonaUPC/Barcelona

Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

•Prof. Túlio Nogueira Bittencourt (USP-SP)Prof. Túlio Nogueira Bittencourt (USP-SP)

•Prof. Sérgio Persival Baroncini Proença (USP-SC)Prof. Sérgio Persival Baroncini Proença (USP-SC)

•Prof. Túlio Nogueira Bittencourt (USP-SP)Prof. Túlio Nogueira Bittencourt (USP-SP)

•Prof. Sérgio Persival Baroncini Proença (USP-SC)Prof. Sérgio Persival Baroncini Proença (USP-SC)

SumarioSumario

Conceptos básicos de la Mecánica de la Fractura

Aplicación: propagación de una fisura en un componente

estructural

Factores de Intensidad de Tensiones, Tasa de Liberación de

Energía Potencial Total, Integral J, Curva R

Aplicación de la Mecánica de la Fractura al hormigón

Estructural

Simulación numérica del proceso de fractura

Mecánica de la Fractura: Conceptos Mecánica de la Fractura: Conceptos BásicosBásicos

Mecánica de la Fractura es una disciplina de Ingeniería que cuantifica las condiciones en las cuales un sólido bajo acción de un cargamento puede ir al colapso debido a la propagación de una fisura contenida en ese sólido

MecánicaAplicada

Ciencia de losMateriales

Mecánica de la Fractura: Conceptos Mecánica de la Fractura: Conceptos BásicosBásicos

Modo de colapso propiedad del material quegobierna el proceso

disciplina que tratadel problema

instabilidad (ex.:pandeo) E InstabilidadElástica

deformación elástica excesiva E Elasticidad

deformación plástica y Plasticidad

Fractura KIc

Tenacidad à Fractura

Mecánica de laFractura

• puntos de iniciación de fisuras

F2

F1

Fn

•cargamento correspondiente a la iniciación

•instabilidad

•trayectoria

Modelación de los Procesos de FracturaModelación de los Procesos de Fractura

Instabilidad: ColumnasInstabilidad: Columnas

c

cE

2

2

r

cA

E1

E2E3

Instabilidad: FisurasInstabilidad: Fisuras

c

cIcK

c a

adetetadoadmissível

c

c

KIc1

KIc2KIc3

2a

Breve HistóricoBreve Histórico

• da Vinci, 1452-1519: resistencia de hilos dependientes de la longitud• Inglis, 1913: concentraciones de tensiones en placas con aberturas• Griffith, 1922: fibras de vidrio

resistencia <==> tamaño de la fisura• Westergaard, 1937: embasamiento matemático - solución utilizando

variables complexas• Irwin, 1948: aplicaciones a la Ingeniería: Ex. Buques de guerra• Rice, 1968: Integral J• J. W. Huchtinson: Mecánica de la Fractura No Lineal e Dinámica• IAFRAMCOS: International Association for Fracture Mechanics

in Concrete and Concrete Structures, 1992-95-98

Z. Bazant, A, Hillerborg, R. De Borst, J. van Mier, J. Mazars,

A. R. Ingraffea, W. Gerstle, R. Gettu, A. Carpinteri, F. Wittmann,

S. Shah, Karihaloo, B., etc.: aplicaciones al Hormigón Estructural

Consecuencias de la FracturaConsecuencias de la Fractura

Accidentes

Vasos de presión, fuselaje de aviones, palas de turbinas, barcos,

componentes mecánicos de máquinas.

Elementos estructurales de Hormigón Armado (puentes,

edificios, centrales eléctricas, etc.)

Elementos estructurales de forma general

Costos

National Bureau of Standards, 1982: US$ 120 mil millones por ano• ahorro de 35 mil millones se tecnología existente

fuese aplicada• ahorro de 28 mil millones por ano se tecnología en

desarrollo fuese aplicada

Mecánica de la Fractura versus Mecánica de la Fractura versus Resistencia de los MaterialesResistencia de los Materiales

P

l b

h

M P

Wbh

factor de seguridad

2

6:

f

fmax

P

bhP

bhyy

2

2

66

P

l b

h

a K ap

bha

K

Pbh K

a

IIc

Ic

112 112

6

6 112

2

2

2

, ,

,

max

Integridad EstructuralIntegridad Estructural

Fractura en régimen elasto-plástico

Fractura en régimen elástico linear

resistencia delos materiales

1/

1/

proyectos de Ingeniería

fmax

y

KK

I

Ic

1

1

Una fisura puede iniciarse y propagarse, ocasionando colapso a niveles de tensiones inferiores a los admitidos por otras consideraciones (Resistencia de Materiales).

¿Por que?

Respuesta: Concentración de TensionesRespuesta: Concentración de Tensiones

2a

2b

b

a21

Tensiones alrededor de la punta Tensiones alrededor de la punta de una fisurade una fisura

2a

r

2

3cos

2

3

2

2

3

21

2cos

2

3

21

2cos

22

sinsin

sinsin

sinsin

r

K

F

F

F

r

aI

xy

y

x

xy

y

x

Westergaard, 1937Irwin, 1948

aKI : fator de intensidad de tensiones

IcK : tenacidad a la Fractura del material

estabilidad de la fisura IcI KK

Modos de FracturaModos de Fractura

IIIxy

IIIy

III

III

IIxy

IIy

II

II

Ixy

Iy

I

I

xy

y

x

F

F

F

r

K

F

F

F

r

K

F

F

F

r

K xxx

222

Modo I Modo II Modo III

Dirección de Propagación de una FisuraDirección de Propagación de una Fisura

Máxima tensión circunferencial - máx Máxima tasa de liberación de energía - máx G

Mínima energía de deformación específica - mín S

Zonas de Procesos InelásticosZonas de Procesos Inelásticos

rpx

fy

rpx

y

fy

Con plasticidad (perfecta)

fy

Material f y (MPa) KIc (MPa m) rp(mm)

ASTM A36 250 220 82AISI 4340 1400 84 1,15metacrilato 70 1,7 0,06

Zonas de Procesos InelásticosZonas de Procesos Inelásticos

rp

y

fu

Materiales con ablandamiento

Ejemplos:Hormigón, rocas

Validad de la Mecánica de la Fractura Validad de la Mecánica de la Fractura Elástica LinearElástica Linear

B2W

2a prf

K

B

aW

a

y

Ic 255,22

2

Material f y (MPa) KIc (MPa m) rp(mm)

ASTM A36 250 220 82AISI 4340 1400 84 1,15metacrilato 70 1,7 0,06

25rp(mm)

205028,81,5

Equilibrio energéticoEquilibrio energético

GriffithGriffith Extensión de la fisuraExtensión de la fisura Conservación de energía Conservación de energía

(1a. Ley de la Termodinámica)(1a. Ley de la Termodinámica)

0 dSddE 0 dSddE

Datos:Datos:

energía potencial total de deformaciónenergía potencial total de deformación

SS energía de decohesión o energía de decohesión o de fde fracturaractura

EE energía total energía total

Equilibrio energéticoEquilibrio energéticoGriffithGriffith

dadS 2 dadS 2

Sea:Sea:

Densidad de energía superficial porDensidad de energía superficial porunidad de áreaunidad de área

2G 2G

2 caras de la fisura2 caras de la fisura

““driving force”driving force” Resisténcia o tenacidadResisténcia o tenacidad

Criterio de propagaciónCriterio de propagación

EquilibrioEquilibrio energético energéticoGrifGrifffitithh

GGcc o 2 o 2

da

dG

da

dG

GG Deriva del potencial Deriva del potencial , como fuerzas conservativas, como fuerzas conservativas

Depende del cargamento e geometríaDepende del cargamento e geometría

Característica Característica ddelel material, tenacidad o material, tenacidad o resistenciaresistencia a laa la extensiónextensión de la fisura de la fisura

G taxa de liberación de energía Potencial TotalG taxa de liberación de energía Potencial Total

*UPU *UPU

a b

P,UU energía de deformaciónenergía de deformación

U*U* energía de deformación energía de deformación complementarcomplementar

Equlibrio energéticoEqulibrio energético

2

PU

2

PU

Teorema de Clapeyron

a c

d

G da

a+da

P

A B

Equlibrio energéticoEqulibrio energético

P fijo:P fijo:

(P)*U , *2

UP

(P)*U , *

2U

P

PP aP

da

dU

da

dG

2

1*

PP aP

da

dU

da

dG

2

1*

Dado (“compliance”)P

C

P

C

da

dC

Cda

dCPG

2

22

2

1

2

da

dC

Cda

dCPG

2

22

2

1

2

11

Equilibrio energéticoEquilibrio energético

fijo:fijo:

2

PU

2

PU

a

P

da

dU

da

dG

2

1

a

P

da

dU

da

dG

2

1

a c-dP

G daa+da

P

A

a

C

Ca

C

a

CG

2

212

1

2

1

2

1

2

1

a

C

Ca

C

a

CG

2

212

1

2

1

2

1

2

1

22

De De yy G independe de las condiciones G independe de las condiciones de cargamento de cargamento

11 22da

dC

Cda

dCPG

2

22

2

1

2

da

dC

Cda

dCPG

2

22

2

1

2

11

Integral J - Integral de contornoIntegral J - Integral de contorno

MateriaMaterialeles elásticos ns elásticos noo lineares lineares

A S

ii dSutWdAa

)( A S

ii dSutWdAa

)(

a

t~

S 0

S u

x 1

x 2

S

G: válida para G: válida para comportamientocomportamiento elástico lineal elástico lineal

Integral J - Integral de contornoIntegral J - Integral de contorno

Definición:

contorno) (en el dnx

uWlimJ j

k

iijn

0k k

k=1, 2 (campo bidimensional)

Relación com los fatores de intensidad de tensionesRelación com los fatores de intensidad de tensiones

0J

Deformación) de plano (Estado )1(E

KGJ

2

2I

1

221 , III KKJ

III KKJ 2

En el caso de Modo I puroEn el caso de Modo I puro

Integral J - Integral de contornoIntegral J - Integral de contorno

A k

iij

jjk

iij

kk qdA

x

u

xx

q

x

u

x

qWJ

A kx

W-dA

TOT

dnqx

uWJ

R

iijkjk j

DominioDominio Equivalente Equivalente

Integral JIntegral J

Curva R - Curva de resistênciaCurva R - Curva de resistênciaCriterioCriterio de Extens de Extensiónión de la Fisura de la Fisura

Rda

dSG

da

dG c

Rda

dSG

da

dG c

““driving driving force”force”

Resistencia a Resistencia a lala propagación propagación

R es constante para EPD R=GIc

G es a tasa de liberación de energía potencial total para el problema de Griffith

E

aG

2

21 E

aG

2

21

Curva R - Curva de Curva R - Curva de resistenciaresistencia

Criterio para ExtensiónCriterio para Extensión de la Fisura de la Fisura

a1

R=G Ic

aa2

G,R

Estados críticos para Estados críticos para llos nos niiveveleles s 11 e e 22

aE

G 22

21

aE

G 21

21

Curva R - Curva de Curva R - Curva de resistenciaresistencia

Criterio para ExtensiónCriterio para Extensión de la Fisura de la Fisura

a1

R=G Ic

aa2ai

G,R

ai=fisura inicial

(EPD)

aE

G 22

21

aE

G 21

21

G,R

R=G Ic (EPD)

a

AB

C

D

H

4

3

2 1

ac

a i

R (EPT)

a 3

33 G > G G > Gic ic EPD fisura en la inminencia de propagación inestable

G=R (pto C) EPT fisura propagaG=R (pto C) EPT fisura propaga aa33

C33

Curva R - Curva de Curva R - Curva de resistenciaresistencia

44 fisura propaga de forma fisura propaga de forma inestable inestable

para EPT o EPD para EPT o EPD RGe

a

R

a

G

DD

44

D

1 1 G < G G < GIcIc fisura no se propaga en EPD o EPT

A11

22 G = G G = Gicic EPD fisura se propaga de forma inestable

EPT fisura EPT fisura no seno se propaga propaga

B22

Rectas:

aE

G i 221

Mecánica de la Fractura Mecánica de la Fractura Aplicación al HormigónAplicación al Hormigón

Desarrollo a partir de la década de 80

Aún no es utilizada en normas de diseño

Varios criterios de normas actuales no presentan un

embasamiento físico consistente

La Mecánica de la Fractura puede proveer criterios

racionales de diseño en los casos en que la aplicación de

la teoría de resistencia de los materiales es insuficiente

Mecánica de la Fractura - Aplicación al Mecánica de la Fractura - Aplicación al HormigónHormigón

Aplicaciones potenciales al análisis e diseño:

Cálculo de flechas de vigas e losas levando en cuenta la

reducción de la resistencia à flexión con el aumento del altura

del elemento estructural (efecto de escala, especialmente en

Hormigón de alto desempeño)

Cálculo de la tasa de armadura de flexión mínima

Explicación do efecto de escala en la resistencia al

cizallamiento de vigas armadas longitudinalmente

Mecánica de la FracturaMecánica de la FracturaAplicación al HormigónAplicación al Hormigón

Ejemplos de estructuras con potencial de aplicación

Diagramas Carga-DesplazamientoDiagramas Carga-Desplazamiento

Hormigón con fibrasHormigón con fibras

Hormigón de alto desempeñoHormigón de alto desempeño

Hormigón convencionalHormigón convencional

Modelo para el Hormigón: Modelo para el Hormigón: Fisura CohesivaFisura Cohesiva

Interfaz Cohesiva::capacidad de transmitir tensiones entre las superficies de la fisura

• intertrabamiento de los áridos• efecto de puente

Modelo de la Fisura CohesivaModelo de la Fisura Cohesiva

cw

F dwwG0

)( cw

F dwwG0

)(

Energía de Fractura::

Modelo de la Banda de FisuraciónModelo de la Banda de Fisuración (Smeared Crack Model) (Smeared Crack Model)

c

dhG yF

0)( c

dhG yF

0)(Energía de Fractura::

Fractura del HormigónFractura del Hormigón

Parámetros de Fractura relevantes para el

Hormigón estructural:

Tenacidad a la Fractura (capacidad de absorber energía)

Energía de Fractura (energía disipada durante la evolución

de la fisura)

Abertura crítica de la fisura

Extensión de la zona de procesos de Fractura

QUEBRA2D : Interfaz gráfica modernaAdministración de entrada e salida de datosGeneración de mallas adaptativasAdministración de los procesos de Fractura FadigaEditor de figuras e animaciónLenguaje C, IUP, CD, LUAPlataforma portátil

FEMOOP (Finite Element Method - Object Oriented Program):Formulación de elementos finitosSolución do sistema de ecuaciones de elementos finitosProgramación orientada a objetosLenguaje C++

Quebra2d

FEMOOP

Quebra2d

Quebra2DQuebra2D

Un Problema RealUn Problema Real

FRANC2DFRANC2D Interfaz gráfica Colocación de condiciones de

contorno: cargas

apoyos Mecánica de la Fractura Elástica

Lineal KI , KII

Integral J G

Propiedades del material Introducción de la fisura Regeneración de la malla Solución por elementos finitos Propagación de la fisura Geometría deformada, contorno

de tensiones, direcciones principales, etc.Malla inicial sin fisura

FRANC2DFRANC2D

Malha Deformada con Fisura Inicial

Malla Deformada después de

2 pasos de propagación de la fisura

FRANC2DFRANC2DFisura Inicial : Tensión I

FRANC2DFRANC2DPropagación : Tensión I

Un ejemplo con FRANC2DUn ejemplo con FRANC2DProbeta de metacrilato ensayada en LTE/UPCProbeta de metacrilato ensayada en LTE/UPC

Sin restricciónhorizontal en la base

Con restricciónhorizontal en la base

FRANC3DFRANC3D

Medio eficiente de representar el modelo sólido Jerarquía de modelos

Utilización de teorías bidimensionales

Simulación de problemas no triviales de propagación de fisuras tridimensionales

FRANC3DFRANC3D Determinación de Factores de

Intensidad de Tensiones: Técnica de la Correlación de

Desplazamientos (Displacement Correlation)

entre las dos caras de la fisura puntos en la vecindad del frente de

la fisura

Dirección de Propagación Puntos discretos a lo largo del frente Planos normales a la tangente por

los puntos Teorías:

Máxima Tensión (()max) Máxima Tasa de Liberación de

energía Potencial (G()max) Mínima Densidad de energía de

Deformación (S()min)

Extensión de Propagación Extensión en cada ponto es función de los

factores de intensidad de tensiones Usuario establece la extensión máxima en

cada paso

FRANC3DFRANC3D

Análisis de tensiones

Fisura inicial

FRANC3DFRANC3D

Malla de la fisura inicial

Fisura después de 3 pasos de propagación

ConclusiónConclusión

han sido presentados los fundamentos básicos de la Mecánica de la Fractura Elástica Lineal y algunos tópicos relativos a la Mecánica de la Fractura No Lineal, esta última para aplicaciones a estructuras de hormigón.

han sido descritas algunas herramientas para análisis numérica, sin las cuales la aplicación de la Mecánica de la Fractura a problemas reales de Ingeniería puede ser extremamente limitada

Mecánica de la Fractura es una disciplina normalmente enseñada en post-graduación en UNICAMP (o en USP) con un mínimo de 45 horas (tres horas semanales, 15 semanas) , para profundizar los tópicos básicos aquí abordados.