Una interesante aproximación histórica al estudio del ...

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15 Una interesante aproximación histórica al estudio del péndulo compuesto. C. Camargo y R. Páez Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia Santa Fe de Bogotá Resumen Este a.Itículo presenta una adaptación de la versión que hace E. Mach de la solución de Huy gens al problema de hallar el período de oscilación de un péndulo compuesto por varias prutículas colocadas en linea, un problema de interés histórico y didáctico. Se propone también una solución intuitiva, que surge de consideraciones semejantes, al problema de hallru· el periodo de oscilación de un aro. Abstract This paper presents a modern adaptation of Mach 's version of the solution given by Huygens to the compound pe ndulum problem, a question of historical and didactical interes t. An intuitivc solution to the problem of finding the period of osciJation of a ring, is al so proposed. l. Introducción El problema de hallru· el-período T de oscilación de un cuerpo cualquiera se resuelve hoy de manera estándru· hallando el momento de inercia I del cuerpo alrededor del eje de oscilación y aplicando la fónnula: (1) donde hes la distancia desde el centro de oscilación al centro de -

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C. Camargo y R. Páez
Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia Santa Fe de Bogotá
Resumen
Este a.Itículo presenta una adaptación de la versión que hace E. Mach de la solución de Huy gens al problema de hallar el período de oscilación de un péndulo compuesto por varias prutículas colocadas en linea, un problema de interés histórico y didáctico . Se propone también una solución intuitiva, que surge de consideraciones semejantes, al problema de hallru· el periodo de oscilación de un aro.
Abstract
This paper presents a modern adaptation of Mach 's version of the solution given by Huygens to the compound pendulum problem, a ques tion of historical and didactical interest. An intuitivc solution to the problem of finding the period of osciJation of a ring, is al so proposed .
l. Introducción
El problema de hallru· el-período T de oscilación de un cuerpo cualquiera se resuelve hoy de manera estándru· hallando el momento de inercia I del cuerpo alrededor del eje de oscilación y aplicando la fónnula:
(1)
donde hes la di stancia desde el centro de oscilación al centro de ~rravedad - ~
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del cuerpo . Esta fórmula resulta de aplicar la segunda ley de Newton para la rotación:
T=la (2)
Donde T es el torque sobre el cuerpo y a la aceleración angular de l mismo. Y considerando que el torque que actúa sobre el cuerpo en cualquier posi­ ción es el torque ejercido por la gravedad. Para ángulos pequeños resulta la ecuación diferencial
- Mghe = 1 d 2
e dt 2 (3)
La que tiene como solución osci laciones armón icas con período igual a (1).
Esta solució n, que a veces se plan tea como un si mple ejercicio en clase, oculta una bonita interpretación física , que descu brimos al estudiar la his­ toria deJa cuestión .
El problema de hallar el período de oscil ación de un péndulo compuesto fué planteado originalmente por Mersenne ( 1588-1648) en términos del centro de o cilac ión, es decir, se p reguntó cómo hallar el punto situado a una distancia del eje igual a la longitud de un péndulo simple que oscilara con período igual al del cuerpo compuesto . Dicha cuestión ocupó a mu­ chos importantes científicos de la época y dió origen al co ncepto de mo­ mento de inercia . Quien primero reso lvió el problema correctamente fué Hu~:gen s ( J 629- 1695) .
Huygens partió de considerar eJ cuerpo osc ilante como un conjun to de péndulos simples obligados a oscilar juntos por la un ión entre sus partes. Ya que los péndulos más cortos o cil an más rápido y los péndulos más largos oscilan má.s lentamente, es natural pensar que el conjunto oscila con un período intermedio. Pero ¿cuál sería la longitud del péndulo que oscila­ ría con período igual al del conjunto? Para resolver este problema Huy gens uti li zó un postulado equivalente al principio de conservación de la energía
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mecánica, o principio de la vis-viva, como se deno minaba ento nces. Este postulado es el siguiente:
Por efecto sólo de la gravedad un cuerpo pesado no puede subir.
En consecuencia, el centro de gravedad de un conjunto de cuerpos no pue­ de subir a una altura mayor de la inicial, cuando se mueven sólo por efecto de su peso. Entonces, cuando los péndulos o cilan unidos, alcanzan una velocidad en la pa1te inferior tal que, ya sea que continúen unidos , o que su unión se di suelva de alguna manera y suban sepa~·adam ente, el centro de gravedad del conjunto sube al mi smo nivel del que pa1tió. Utilizando este principio Huygens resolvió el problema pa~·a e l caso de una va~·illa co lgada de un extremo.
Adaptando la presentación que hace Mach del desarrollo de Huygens, la solución fué la siguiente:
2. Solución de Huygens
La siguiente es la solución que descubrió Huy gens, presentada en lenguaje moderno:
Consideremos un péndulo compuesto constituido por una serie de cuerpos pequeños de masas m; unidos y dispuestos en línea recta, como se muestra en la figura. (Fig 1 ).
Si no hay rozamiento, y se deja libre el conjunto desde la pos ición OA, llega a su posición vertical con alguna velocidad angular w y asciende nuevamente hasta OA' a la derecha, de modo que el centro de gravedad del conjunto alcanza la altura original. Sin emba~·go , si en el punto más bajo se disuelven las ligaduras, los cuerpos individuales no continúa11 alineados y, ya que los péndulos más coitos están siendo a.Jtificialmente frenados por la ligadura con los más Ja~·gos, y viceversa, ahora los más coitos alcanzan una altura menor que los más la~·gos, encontrándose los uno por debajo y
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los otros por encima de la linea OA' (Fig. 1 ). Como consecuencia de la conservación de la energía, que en este caso se traduce, como lo hemos explicado más arriba, en que un cuerpo por acción solo de la gravedad no podría subir, si se detienen los cuerpos en su punto más alto, el centro de gravedad de todos ellos debe encontrarse nuevamente a la misma altura desde la que partió.
- - o
}d
Fíg . 1 Péudulo compuesto de H uygens.
Llamemos: d: distancia que baja el centro de gravedad en el movimiento desde OA hasta OB. r;:distancia del i-ésimo cuerpo a O w: velocidad angular del conjunto en la posición OB a: lo que asciende el centro de gravedad después que se disuelven las ligaduras en OB y los cuer­ pos de masas m; suben hasta su altura máxima a; : lo que asciende cada cuerpo desde su posi-
ción más baja, una vez disueltas las ligaduras h : distancia del centro de gravedad a O.
De la figura (Fig 1 ), vemos que :
d = h(l-cos8)= hk
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(4)
Teniendo en cuenta que la velocidad con que llega cada partícul a a su posición más baja en el movimiento del conjunto desde OA hasta OB, es w r; , y, si la partícula se va a mover libremente de ahí en adelante, la energía cinética en la parte más baja debe ser igual a la energía potenc ial en su punto más alto, tenemos que:
2 ., r úF
(5)
Lo que sube entonces el centro de gravedad en caso de que cada partícula , después de haber llegado a OB con el conjunto, se deje subir sola hasta su punto más alto (y se quede ahí) , es:
"lli¡Cl; "m r2o/ , '111.r 2
a=L..,¡ =L.,¡ 11 =úr ,L.¡ 11 Im; 2Mg 2Mg
o/! a=--
donde: 2Mg
(6)
Así apareció, por primera vez en la historia, esta cantidad a la que Huy gens no dió ningún nombre. Eulcr, un poco más tarde, la llamó momento de
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inercia. Ahora, lo que baja el centro de gravedad desde OA hasta OB es:
d =hk (7)
y, como el centro de gravedad debe subir lo mi smo que bajó, entonces:
entonces:
(8)
(9)
Por otra parte, un péndulo simple cuyo período fuera igual al del péndulo compuesto debe, dejado caer desde la linea OA, llegar a OB con la misma velocidad que éste y a cender con él hasta OA' . Si la longitud de tal péndu­ lo es y, y llamam os a' Jo que asciende desde su punto más bajo, entonces:
a' =ky (10)
Por la conservac ión de la energía mecánica , aplicada a este péndulo sim­ ple:
Entonces:
( 11 )
( 12)
( 13)
Y se concluye que el período de este péndulo y, por Jo tanto, el de l péndulo
compuesto e~ :
Esta es la solución del problema propuesto .
3. El aro como un conjunto de péndulos simples con el mismo período
21
( 14)
Pensando en este problema, nos sorprendimos al encontrar que la longitud del péndulo simple que oscila como un aro colgado de un eje perpendicu­ lar al plano del aro, es igual al diámetro del mjsmo. Esto parecía contrade­ cir la interpretación intuitiva de Huygens de que el péndulo "compuesto", precisamente consiste en la unión de muchos péndulos " simples" de longi- tudes diferentes, lo cual llevaría a conc luir que necesari amente el péndu lo simple que oscilara con período igual debería tener una long itud intenne­ di a y por lo tanto no, como en este caso , la máx ima. Sin embargo, el encontrar en el laboratorio un equipo que permite el estudio del péndulo simple "cambiando la gravedad" con la inclinación, hall amos la clave para una interpretación justa de este prohlcma. y es la siguiente:
El aro se puede considerar como un cuerpo compues to de muchos péndu­ los simples que no oscilan alrededor de l eje ve11ica l, ~ino alrededor de ejes oblicuos. Estos péndulos tienen todos una lo ng itud igual a la de la cuerda de la circunferencia que une el elemento de l aro con el eje de osc il ac ión. (Fig 2)
La "g" para un péndulo simple formado por la cuerda que forma un ángu­ lo 8 con el di ámetro de l aro . y un pequeño elemento del mismo, es gcosS.
Llamemos L la longitud del di ámetro del aro. Como la longitud de la cuer­ da es también LcosS, e l período de di cho péndulo simple, que es un ele­ mento del aro, es:
22
8
,.
Fig. 2 El aro, visto com o un conjunto de péndul os simpl s de longitt
y con "g" diferente.
( 1 5)
Luego no dimo c uen ta de que si esto era así, entonce un péndul o co nsis­ ten te de un egmento de circunferencia, simétri co a!J·ededor del eje ve11ica l tam bién tendría el mi smo período , comprobación que dej amo al lector intere ado.
23
Bibliografía
(1) Mach , E. The Science ofMechanics: A Critica! and Historical Account ofits Development. The Open Court Publishing Company. La Salle Jllinoi s, 1960
(2) Tipler P. Física Editorial Reverté, Barcelona, 1995
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