Una desigualdad es una oración conteniendo < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que) o ≠ (no es igual) .

Ejemplos: -2 < a, x > 4, x + 3 ≤ 6, 6 – 7x ≥ 10y - 4

o 5x ≠ 10

Desigualdades

Desigualdades

•Cualquier reemplazo por las variables que haga una desigualdad cierta, se llama una solución.

•El conjunto de todas las soluciones se llama el conjunto de solución.

•Cuando todas las soluciones de una desigualdad se han encontrado, decimos que hemos resuelto la desigualdad.

Desigualdades• Ejemplos: Determine si el número dado

es una solución de la desigualdad.1. Verifique si 5 es una solución de x + 3 < 6.

5

3 6

3 6

8 6

x

Sustituimos por 5

Encontramos que 5 no es una solución

Falso

Desigualdades2. Verifique si 1 es una solución de la ecuación

2x – 3 > -3.

2. Verifique si 3 es una solución a la ecuación 4x – 1 ≤ 3x + 2.

2 3 3

12 3 3

1 3

x

Sustituimos

Cierto

Por lo tanto Por lo tanto 11 es una solución es una solución

4 1 3 2

4 1 3

11 1

3 23

1

x x

Sustituimos

Cierta

Por lo tanto Por lo tanto 33 es una solución es una solución

Desigualdades y Notación de Intervalo

• La gráfica de una desigualdad es un dibujo que representa su solución.

• Una desigualdad en una variable se puede graficar en la recta numérica.Ejemplos:

4. Trace x < 4 en la recta numérica.– Primero escribimos el conjunto de solución:

4x x

Esto lee como ““el conjunto de todas las el conjunto de todas las xx tal que tal que xx es menor que 4.” es menor que 4.”

Desigualdades y Notación de Intervalo▫ Otra manera de escribir la solución es usando

notación de intervalo y se representa así: (-∞ , 4)

▫ Luego trazamos la gráfica en la recta numérica como sigue:

Donde la solución es todos los números reales menor que 4 y:sombreamos todos los números menor que 4,e indicamos que el 4 no es una solución usando unparéntesis derecho “)” en 4.

)

Desigualdades y Notación de Intervalo•Notación de intervalo es otra manera de

representar la solución a una desigualdad.▫La notación de intervalo usa paréntesis ( ) y

corchetes [ ]. Los paréntesis indican que los puntos finales no

están incluidos. Los corchetes indican que los puntos finales

están incluidos.

Desigualdades y Notación de IntervaloA continuación ilustraremos como

representar varias soluciones a desigualdades:▫Si a y b son números reales tal que a < b,

definimos el intervalo (a, b) como el conjunto de todos los números entre pero no incluyendo a a y b; esto es, el conjunto de todas las x por la cual a < x < b. Entonces:

,a b x a x b )((a, b)

a b

Los puntos a y b son puntos finales. Los paréntesis indican que los puntos finales no están incluidos en la gráfica.

Desigualdades y Notación de Intervalo

▫El intervalo [a, b] es definido como el conjunto de todos los números x por el cual a ≤ x ≤ b. Entonces,

,a b x a x b ][[a, b]

a b

Los corchetes indican que los puntos finales están incluidos en la gráfica.

Desigualdades y Notación de Intervalo

•Los siguientes intervalos incluyen un punto final y excluye el otro:▫La gráfica excluye el punto a e incluye el punto b:

▫La gráfica incluye el punto a y excluye el punto b:

,a b x a x b

)[[a, b)

a b ,a b x a x b

]((a, b]

a b

Desigualdades y Notación de Intervalo•Algunos intervalos se extienden sin límite

en una o ambas direcciones.▫Usamos el símbolo ∞, lee “infinito”, y -∞, lee

“negativo infinito”, para nombrar estos intervalos.

▫La notación (a, ∞) representa el conjunto de todos los números mayor que a; esto es:

,a x x a (a

(a, ∞)

Desigualdades y Notación de Intervalo▫La notación (-∞, a) representa el conjunto de

todos los números menor que a, esto es:

▫Las notaciones [a, ∞) y (-∞, a] se usan cuando queremos incluir los puntos finales.

▫El intervalo (-∞, ∞) nombre el conjunto de todos los números reales.

, a a x a )(-∞, a)

, x x es un número real

Notación de Intervalo

Conjunto de Notación Gráfica

(a, b)

[a, b]

[a, b)

(a, b]

(a, ∞)

[a, ∞)

(-∞, b)

(-∞, b]

(-∞, ∞)

x a x b

x a x b

x a x b

x a x b

x x a

x x a

x x b

x x b

x x es un número real

( )a b

[ ]a b

[ )a b

( ]a b

(a

[a

)b

]b

Desigualdades y Notación de Intervalo

• Ejemplos:5. Escriba la notación de intervalo del

conjunto

6. Escriba la notación de intervalo del conjunto

4 5x x . 4 5 4,5x x

2x x .

2 2,x x

Desigualdades y Notación de Intervalo

7. Escriba la notación de intervalo para la gráfica:

8. Escriba en notación de intervalo:

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

( ]

= (-2, 4]

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

)

= (-∞, -1)

Resolviendo Desigualdades

•El principio de suma para desigualdades:▫Para cualquier número a, b y c : a < b es equivalente a a + c < b + c a > b es equivalente a a + c > b + cSimilar expresión se mantiene para ≤ y ≥ .

•Dado que restando c es lo mismo que sumando –c, no hay necesidad para un principio separado de resta.

Resolviendo Desigualdades

9. Resuelva y trace la gráfica: x + 5 > 1 .

5

5 1

5

4

51

x

x

x

Usando el principio de suma: sumando -5 o restando 5

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4, 4x x Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

( Gráfica

Resolviendo Desigualdades

10.Resuelva y trace la gráfica: 4x – 1 ≥ 5x – 2 .

4 1 5 2

4 1 5 2

4 1 5

4 1 5

2

4

1

2

4

x x

x x

x x

x xx x

x

Sumando 2

Simplificando

Restando 4x

Simplificando

,1 1x x

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

]

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

Gráfica

Resolviendo Desigualdades• El principio de multiplicación para desigualdades:

▫Para cualquier número real a y b, y cualquier número positivo c:

a < b es equivalente a ac < bc ; a > b es equivalente a ac > bc .

▫Para cualquier número real a y b, y cualquier número negativo c:

a < b es equivalente a ac > bc ; a > b es equivalente a ac < bc .

Expresiones similares se mantienen ciertas para ≤ y ≥ .

• Dado que división por c es lo mismo que multiplicación por 1/c, no hay necesidad para un principio de división separado.

Resolviendo Desigualdades11.Resuelva y trace la gráfica:

33

4y

33

43

31 1

3 3 41

4

y

y

y

Multiplicando por . El símbolo se mantiene igual. 1

3

1 1,4 4

y y

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

)1

4

Notación de Intervalo y Conjunto de Solución

Gráfica

Resolviendo Desigualdades12.Resuelva y trace la gráfica: -5x ≥ -80 .

5

5 80

5 80

165

x

x

x

Dividimos por -5. El símbolo tiene que ser invertido.

,16 16x x

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16

]

Resolviendo Desigualdades13.Resuelva: 16 – 7y ≥ 10y - 4 .

16 7 10 4

16 7 10 4

7 10

16 16

10

20

7 10 20

17 20

17 20

2

10

17 170

17

y y

y y

y y

y y

y

y

y

y y

Sumando -16

Coleccionando términos iguales

Sumando -10y

Dividiendo por -17. El símbolo tiene que ser invertido.

Simplificando

20 20,17 17

y y

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

20

17

]

Resolviendo Desigualdades•Resuelva: -3(x + 8) -5x > 4x - 9

3 8 5 4 9

3 24 5 4 9

24 8 4 9

24 8 4 9

24 12 9

24 12 9

15 12

15 12

5

4

8 8

9 9

12 12

x x x

x x x

x x

xx x

x

x

x x

x

x

x

Usando la ley distributiva

Coleccionando términos igualesSumando 8x

Coleccionando términos iguales

Sumando 9Simplificando

Dividiendo por 12. El símbolo se queda igual.

5 5,

4 4x x

0-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

)

5

4