UNA APROXIMACIÓN A LA CARACTERIZACIÓN DE LAS...

UNA APROXIMACIÓN A LA CARACTERIZACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS ACERCA DE LA

ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD: EL CASO DE LA UNIVERSIDAD DISTRITAL.

ANGEL RICARDO VARGAS PEÑA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ, COLOMBIA

2016

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UNA APROXIMACIÓN A LA CARACTERIZACIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS ACERCA DE LA

ENSEÑANZA DE LA PROPORCIONALIDAD: EL CASO DE LA UNIVERSIDAD DISTRITAL.

ANGEL RICARDO VARGAS PEÑA

DIRECTORA: DIANA GIL CHAVES

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ, COLOMBIA

2016

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TABLA DE CONTENIDO 1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ................................................................................. 10

1.1. Contextualización de la Investigación ...................................................................................... 10 1.2. Problema de Investigación ........................................................................................................ 11

1.2.1. Pregunta de investigación ..................................................................................................... 13 1.2.2. Preguntas Orientadoras ......................................................................................................... 14

1.3. Objetivos ..................................................................................................................................... 14 1.3.1. General .................................................................................................................................. 14 1.3.2. Específicos ............................................................................................................................ 14

1.4. Antecedentes ............................................................................................................................... 15 1.4.1. El conocimiento didáctico del contenido .............................................................................. 15 1.4.2. Investigaciones sobre concepciones en la formación de profesores de matemáticas ........... 17 1.4.3. Investigaciones sobre la enseñanza de la proporcionalidad .................................................. 18

1.5. Aspectos Metodológicos ............................................................................................................. 20 1.5.1. Tipo de investigación ............................................................................................................ 20 1.5.2. Análisis cualitativo de contenido .......................................................................................... 21 1.5.3. Teoría fundamentada en los datos (TFD) ............................................................................. 21 1.5.4. Fases y Etapas ....................................................................................................................... 22

1.6. Delimitación del Estudio ............................................................................................................ 23 2. REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS ..................................................... 26

2.1. Referentes Teóricos .................................................................................................................... 26 2.1.1. El Conocimiento didáctico del Contenido ............................................................................ 26 2.1.2. Aproximación teórica al concepto de concepciones ............................................................. 31 2.1.3. El sentido de la práctica al interior del proyecto curricular LEBEM .................................... 34 2.1.4. La proporcionalidad como objeto de enseñanza ................................................................... 38

2.2. Referentes Metodológicos .......................................................................................................... 44 2.2.1. Identificación Organizativa de los textos .............................................................................. 44 2.2.2. Identificación y descripción de expresiones escritas sobre la enseñanza de la proporcionalidad en los textos ............................................................................................................ 45 2.2.3. Caracterización de las concepciones locales-subjetivas y locales-epistemológicas ............. 46

2.3. Fuentes de Recolección de Información ................................................................................... 47 2.3.1. Unidades Didácticas del espacio de formación de la práctica intensiva ............................... 47 2.3.2. Syllabus espacios de formación LEBEM .............................................................................. 47

2.4. Categorías de Análisis ................................................................................................................ 48 3. DESARROLLO METODOLÓGICO ................................................................................ 50

3.1. Selección de Unidades de Análisis ............................................................................................ 50 3.1.1. Recolección y Organización de las Unidades de Análisis .................................................... 50 3.1.2. Criterios de selección y reducción de la información. .......................................................... 51

3.2. Identificación y descripción de expresiones escritas en las unidades de contexto seleccionadas .......................................................................................................................................... 61

4. ANÁLISIS ............................................................................................................................ 64 4.1. Descripción general de las unidades estudiadas ...................................................................... 64 4.2. Concepciones locales-subjetivas ............................................................................................... 72

4.2.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la proporcionalidad [EE]. .... 73 4.2.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la proporcionalidad. ........... 79 4.2.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad. .......................... 85 4.2.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad. .................................................... 88

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4.2.5. Aspectos generales concepciones locales-subjetivas ............................................................ 93 4.3. Concepciones locales-epistemológicas ...................................................................................... 96

4.3.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la proporcionalidad. ............. 96 4.3.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la proporcionalidad ............ 98 4.3.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad. ........................ 101 4.3.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad ................................................... 102 4.3.5. Aspectos generales concepciones locales-epistemológicas ................................................ 104

5. CONCLUSIONES Y REFLEXIONES ............................................................................ 107 5.1. Aproximación a la caracterización de las concepciones globales ........................................ 107 5.2. Conclusiones sobre el proceso de investigación ..................................................................... 113

6. REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS .............................................................................. 117

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INDICE DE TABLAS

Tabla No. 1: Descripción de las categorías y sub-categorías para el análisis de la información. ............................. 49 Tabla No. 2: Resultados sobre valoración realizada por apartados de las unidades didácticas. ............................... 56 Tabla No. 3: Organización Espacios de Formación Proyecto Curricular LEBEM. ................................................... 57 Tabla No. 4: Resultados sobre valoración realizada por apartados de los syllabus de formación. ........................... 61 Tabla No. 5: Tabla de identificación por colores y códigos de las sub-categorías ..................................................... 63

INDICE DE GRÁFICOS

Gráfico No. 1: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][D] ....................... 65 Gráfico No. 2: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][G] ....................... 65 Gráfico No. 3: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][E] ........................ 66 Gráfico No. 4: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08] .................. 66 Gráfico No. 5: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09][D] ....................... 67 Gráfico No. 6: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09][E] ........................ 67 Gráfico No. 7: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-09] .................. 68 Gráfico No. 8: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][D] ....................... 68 Gráfico No. 9: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][G] ....................... 69 Gráfico No. 10: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][E] ...................... 69 Gráfico No. 11: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10] ................ 70 Gráfico No. 12: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-02][D] ....................... 71 Gráfico No. 13: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-03][D] ....................... 72 Gráfico No. 14: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [PPMA-03][D] ................. 72

INDICE DE IMÁGENES

Imagen No. 1: Esquema selección de unidades de análisis. ___________________________________________ 51 Imagen No. 2: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de las unidades didácticas. __________ 52 Imagen No. 3: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de justificación de las unidades didácticas. ______ 53 Imagen No. 4: Ejemplo de valoración realizada por apartados de las unidades didácticas. __________________ 54 Imagen No. 5: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de los syllabus de los espacios de formación. __________________________________________________________________________________ 58 Imagen No. 6: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de temáticas de los syllabus de formación. ______ 59 Imagen No. 7: Ejemplo de valoración realizada por apartados de los syllabus de formación. _________________ 59 Imagen No. 8: Ejemplo de identificación de expresiones en las unidades de contexto según las sub-categorías estipuladas. _________________________________________________________________________________ 63 Imagen No. 9: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D] ___________________ 74 Imagen No. 10: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D] ________________ 75 Imagen No. 11: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [ud-08][EE-D] ___________________ 76 Imagen No. 12: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D] __________________ 76 Imagen No. 13: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] __________________ 77 Imagen No. 14: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] _________________ 78 Imagen No. 15: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] __________________ 78 Imagen No. 16: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G] __________________ 79 Imagen No. 17: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] __________________ 80

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Imagen No. 18: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] _________________ 81 Imagen No. 19: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] __________________ 81 Imagen No. 20: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D] ___________________ 82 Imagen No. 21: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G] __________________ 82 Imagen No. 22: Ejemplos segundo y tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G] __________ 83 Imagen No. 23: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E] __________________ 84 Imagen No. 24: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E] _________________ 84 Imagen No. 25: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E] ___________________ 85 Imagen No. 26: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D] __________________ 86 Imagen No. 27: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ ES-D] ________________ 86 Imagen No. 28: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D] ___________________ 87 Imagen No. 29: Ejemplos cuatro y quinto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D] ___________ 87 Imagen No. 30: Ejemplo conjunto des descripciones sub-categoría [UD-08][ES-G] ________________________ 88 Imagen No. 31: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] __________________ 89 Imagen No. 32: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] _________________ 90 Imagen No. 33: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] ___________________ 90 Imagen No. 34: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D] ___________________ 91 Imagen No. 35: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G] __________________ 91 Imagen No. 36: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G] _________________ 92 Imagen No. 37: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G] ___________________ 93 Imagen No. 38:Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D] ____________________ 97 Imagen No. 39: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D] __________________ 97 Imagen No. 40: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D] ____________________ 98 Imagen No. 41: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-D] ___________________ 99 Imagen No. 42: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D] ____________________ 99 Imagen No. 43: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D] _____________________ 99 Imagen No. 44: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-E] __________________ 100 Imagen No. 45: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E] ___________________ 100 Imagen No. 46: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E] _____________________ 101 Imagen No. 47: Ejemplo primer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D] ____________________ 101 Imagen No. 48:Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D] ___________________ 102 Imagen No. 49: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D] __________________ 103 Imagen No. 50: ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D] _________________ 103 Imagen No. 51: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D] ___________________ 103 Imagen No. 52: Ejemplo cuarto conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ER-D] ____________________ 104

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AGRADECIMIENTOS

Al Dios creativo y Todopoderoso por la vida y cada oportunidad

de crecimiento personal y profesional que me ha brindado.

A mis padres y hermanos por su apoyo incondicional

y constante acompañamiento en el proceso.

A Dianita Gil por todo su tiempo invertido,

colaboración, apoyo, comprensión y conocimiento

para lograr culminar este trabajo.

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INTRODUCCIÓN

La presente de investigación se encuentra enmarcada dentro del campo de la educación

matemática y fue desarrollada en el marco de la Maestría en Educación, de la Universidad

Distrital Francisco José de Caldas. El proceso de investigación fue llevado a cabo en los períodos

académicos 2014-II a 2016-I, a partir del análisis de contenido de documentos de tipo

institucional (syllabus de espacios de formación) del proyecto curricular de Licenciatura en

Educación Básica con Énfasis en Matemáticas (LEBEM) de la Universidad Distrital Francisco

José de Caldas y las producciones escritas de la práctica docente de último año de estudiantes

para profesor de matemáticas pertenecientes al programa de formación de LEBEM de Bogotá,

Colombia.

La investigación presenta un reporte sobre un estudio referido a la caracterización de las

concepciones respecto a la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad que poseen los

estudiantes que iniciaron sus estudios en la LEBEM entre el semestre 2009-1 y 2010-3; se toma

como referente teórico y conceptual las perspectivas desarrolladas por Ruíz (1994) y Ponte

(1994). Así mismo, este trabajo tiene una metodología enmarcada en un enfoque cualitativo

encaminado hacia la realización de un estudio descriptivo–interpretativo de las concepciones

como uno de los aspectos que compone el CDC (conocimiento didáctico del contenido), a partir

de un análisis cualitativo de acuerdo a las herramientas comunes que presentan dos técnicas de

investigación documental: El Análisis Cualitativo de Contenido (ACC) y la Teoría

Fundamentada en los Datos (TFD) propuestas por Abella (2003) y Glaser & Strauss, citados por

Vasilachis (2006) respectivamente.

El presente reporte de investigación se estructura en cinco capítulos: El primero describe el

diseño de la investigación, el segundo abarca el marco teórico y metodológico referencia del

estudio, en tercero hace alusión al desarrollo metodológico, el cuatro presenta el análisis de la

información y, por último, el quinto destaca las conclusiones y reflexiones del proceso

investigativo.

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1 . DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

1.1. Contextualización de la Investigación

Dentro del proceso de formación inicial de profesores de matemáticas se estipulan algunos

elementos como la reflexión de la práctica docente, el estudio de los objetos matemáticos que se

abordan en la escuela, el estudio de la didáctica de las matemáticas, entre otros; que hacen que el

estudiante para profesor genere, transforme y/o reflexione frente a sus concepciones sobre la

enseñanza y el aprendizaje de un objeto matemático.

Desde la década de los 90 podemos evidenciar una gran cantidad de estudios en el campo de la

educación matemática que se han interesado por indagar acerca de las concepciones y creencias

que tienen los estudiantes para profesor de matemáticas [EPM] (Ruiz, 1994; Flores, 1998;

Godino, 2009; Llinares, 2004, 2007; Flores, Moreno y Sánchez, 2006; Lupiañez, 2009; Blanco,

Camacho y Zapata, 2012; Pino, 2013, entre otros) como factor fundamental para el desarrollo de

habilidades y destrezas que aportan a su práctica profesional como docente e investigador. Una

característica común en algunos estudios está relacionada con la indagación sobre las

concepciones que tienen los profesores y los EPM sobre los objetos matemáticos y su naturaleza

dejando cuestionamientos importantes frente a las formas en las que se conciben los procesos de

enseñanza de dichos objetos.

Carrillo, citado por Zapata, Blanco & Contreras (2008) destaca la importancia del estudio de las

concepciones de los profesores y/o EPM porque ayuda a desarrollar y mejorar su desempeño

profesional:

11

Las concepciones del profesor son uno de los operadores que actúan en el proceso de transformación del conocimiento a la situación didáctica y en el propio control alumno de la interacción alumno- situación. Por ello resulta natural pensar en las concepciones como eje transversal de la evolución profesional del profesor. (Carrillo, citado por Zapata et al., 2008, p. 110)

De este modo, la actividad que los profesores y/o EPM realizan en sus prácticas, parece estar

orientada por sus concepciones acerca del contenido, la metodología, la enseñanza, el

aprendizaje y la evaluación de los objetos que aborda, postura que comparte Moreno & Azcárate

(2003).

En Colombia, por ejemplo, se han abordado diversos estudios e investigaciones relacionadas

con la indagación de las concepciones de EPM y cómo estas se movilizan en el proceso inicial

de aprendizaje a lo largo de los primeros espacios de formación que ofrecen instituciones

universitarias, por ejemplo la investigación realizada por el grupo MESCUD (2002) permite

determinar la influencia que tiene la formación inicial de profesores de matemáticas en la

transformación de las concepciones sobre la enseñanza de los objetos matemáticos y las

matemáticas mismas.

En este sentido, las concepciones juegan un papel importante para la formación de conocimiento

en futuros profesores de matemáticas. Por ende se plantea realizar una indagación frente a las

concepciones que poseen los estudiantes que se encuentran en el último semestre de práctica de

su proceso de formación inicial como profesores de matemáticas en el programa de Licenciatura

en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas (LEBEM) de la Universidad Distrital

Francisco José de Caldas con relación a la proporcionalidad.

1.2. Problema de Investigación

Cuando una persona, después de haber cursado la educación básica y la media, entra como

estudiante a un programa de formación inicial de profesores de matemáticas, posee unas

concepciones y creencias sobre lo que es ser profesor, ser estudiante, sus formas de actuación en

el aula, la forma de enseñar y aprender matemáticas, las formas de relación del profesor con los

estudiantes y con el saber matemático, todas construidas a lo largo de su escolaridad. Se espera

que durante su proceso de formación inicial se logre reflexionar, cuestionar y construir nuevas

concepciones.

12

Por tanto, se considera importante la investigación que contribuya a conocer e indagar sobre las

permanencias, los cambios y las transformaciones de las concepciones de los EPM, durante su

proceso de formación.

En el mismo sentido Ernest, citado por MESCUD (2002), afirma que las diferencias en las

concepciones de los estudiantes para profesor pueden depender más de sus modelos mentales de

enseñanza y aprendizaje, que del conocimiento matemático. En éste sentido, dichas formas de

pensamiento son influenciadas, según Ruíz (1994), por aspectos de tipo institucional que hacen

parte de la concepción epistemológica del programa de formación inicial de profesores de

matemáticas en el que se encuentren los estudiantes. De esta forma su sistema de creencias,

nombradas por Ruíz (1994) como concepciones subjetivas, respecto a los procesos de

enseñanza, aprendizaje y sobre los objetos matemáticos en sí, van transformándose según su

proceso de formación.

Dentro de las investigaciones realizadas al respecto, encontramos la de Zapata, Blanco &

Camacho (2012) que se realiza en un programa de formación de profesores de matemáticas en

Perú en el cual se reporta un estudio sobre las concepciones de los EPM entorno a las

matemáticas, sus formas de enseñanza y aprendizaje, retomando el cuestionario de Camacho,

Hernández y Socas (1995) utilizado en una investigación realizada en España sobre el mismo

aspecto. En este estudio, al hacer la comparación entre las dos investigaciones, se concluye que

no existen diferencias importantes en sus concepciones a pesar de la distinta formación de los

profesores de matemáticas en ambos países. Éste tipo de reportes genera algunos

cuestionamientos sobre los aspectos que hacen que las concepciones de los EPM cambien o no.

Otra investigación es la realizada por Llinares y Sánchez (1990) quienes afirman que las

creencias (uno de los elementos que caracteriza a las concepciones) de tipo epistemológico que

un determinado estudiante para profesor tiene sobre la naturaleza de los objetos que enseña, así

como la forma en que comprende las nociones escolares que va a enseñar, pueden constituirse en

variables que ayudan a caracterizar parte de las diferentes interacciones y traslaciones que tienen

lugar durante el período de prácticas de enseñanza, considerándose como una fase en el proceso

de aprender a enseñar o proceso de llegar a ser un profesor. Este proceso forma parte de la

“génesis” del futuro conocimiento profesional del profesor.

13

En el contexto colombiano se encuentra la investigación realizada por el grupo MESCUD

(2002), en ella se realizó un estudio de caso, para establecer una aproximación a las

concepciones iniciales que poseen los EPM que comienzan su proceso de formación inicial y los

cambios que se pudieron identificar al terminar los dos primeros semestres de su formación

inicial, sobre el sentido de la profesión y de las matemáticas; se concluyo que sí existe

movilización del sistema de creencias personales al transformar las metodologías de formación

de los EPM.

La presente investigación desea indagar sobre la relación entre el programa de formación de

profesores de matemáticas y las concepciones de los estudiantes para profesor hacia el final de la

carrera, relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de un objeto matemático específico.

Por otra parte, uno de los elementos didácticos presentes a lo largo del desarrollo curricular a

nivel básico y medio en la escuela es la proporcionalidad. Wheeler (1983) establece un

acercamiento sobre las dificultades que tienen los estudiantes para profesor en cuanto al

tratamiento y profundización sobre los objetos matemáticos y didácticos propios en

matemáticas, en este caso frente a la proporcionalidad. Al respecto, Valverde y Castro (2009)

nombran diversas investigaciones donde se afirma que

El conocimiento matemático de los maestros en formación frecuentemente es descrito como insuficiente (Ball, 1990; Even 1990; Graeber, Tirosh, y Glover, 1989; Reys, 1974; Simon, 1993; Wheeler, 1983) Investigaciones en el contexto de los números racionales (Graeber, Tirosh y Glover, 1989; Harel, Behr, Post y Lesh, 1994, citados en Lamon 2007) han mostrado que el conocimiento que los maestros en formación poseen acerca de este tópico es procedimental y escasamente conectado. (p.2)

Con base en lo anteriormente sustentado, se establece la pertinencia de la realización de una

indagación sobre las concepciones que los EPM tienen al finalizar su proceso de formación

inicial en la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemática [LEBEM] de la

Universidad Distrital, sobre la enseñanza de la proporcionalidad en la educación básica.

1.2.1. Pregunta de investigación

A continuación se plantea la pregunta general de la presente propuesta de investigación:

14

¿Cuáles son las concepciones que expresan los estudiantes para profesor de matemáticas

[EPM] de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas [LEBEM] en las

unidades didácticas durante la práctica intensiva docente sobre la enseñanza y el aprendizaje

de la proporcionalidad en la educación básica?

1.2.2. Preguntas Orientadoras

Algunas preguntas orientadoras del cuestionamiento anterior hacen referencia a:

• ¿Cuáles son los aspectos que se presentan como elementos de reflexión didáctica en

torno a la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en los documentos y/o

escritos referidos a los espacios de formación que propone el proyecto curricular de

Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en matemáticas?

• ¿Cuáles son las concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la

proporcionalidad que se pueden identificar en las unidades didácticas que construyen

los estudiantes de la práctica intensiva (última práctica docente) que iniciaron sus

estudios entre el semestre 2009-1 y 2010-3?

1.3. Objetivos

1.3.1. General

Reportar un estudio referido a la caracterización de las concepciones sobre la enseñanza y

aprendizaje de la proporcionalidad que poseen los estudiantes que iniciaron sus estudios en la

LEBEM entre el semestre 2009-1 y 2010-3.

1.3.2. Específicos

• Identificar y describir las expresiones de reflexión didáctica en torno a la enseñanza y el

aprendizaje de la proporcionalidad en los syllabus oficiales de los espacios de formación

que propone el proyecto curricular de LEBEM de la Universidad Distrital.

• Identificar y describir las expresiones escritas que puedan dar cuenta de concepciones sobre

la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad, presentes en las unidades didácticas

15

elaboradas durante la última práctica por los EPM que iniciaron sus estudios entre el

semestre 2009-1 y 2010-3.

• Describir la relación entre las expresiones que los EPM manifiestan en las unidades

didácticas y las expresiones encontradas en los syllabus oficiales de los espacios de

formación sobre la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad.

1.4. Antecedentes

Los antecedentes de la investigación darán cuenta de los trabajos desarrollados en torno a la

caracterización de las dimensiones y estudios realizados con relación al conocimiento didáctico

del contenido (CDC), una revisión de las investigaciones realizadas sobre las concepciones y

finalmente trabajos e investigaciones relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la

proporcionalidad.

1.4.1. El conocimiento didáctico del contenido

Shulman (1986a) es considerado un investigador pionero en el desarrollo teórico frente a la

caracterización del conocimiento profesional del profesor a nivel general. En sus desarrollos

teóricos establece que, dentro de los siete tipos de conocimiento que se deben desarrollar en los

procesos de formación inicial y/o continua de profesores, se encuentra el llamado Pedagogical

Content Knowlege, traducido al castellano como Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC).

Al respecto, éste se considera un tipo de conocimiento específico del profesor que le permite

entender aspectos que facilitan o dificultan el aprendizaje de los objetos y/o contenidos; conocer

las creencias que los estudiantes poseen acerca de un contenido particular y hacer uso de

estrategias didácticas o formas para hacer posible que otros comprendan los contenidos de

enseñanza.

Aunque el Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC) ha recibido algunas críticas (Bolívar,

1993; Llinares, 2000 entre otros) frente a la falta de conexión entre los aspectos teóricos que se

desarrollan en su investigación y la experiencia de la práctica profesional docente, la

caracterización que realiza Shulman sobre dicho tipo de conocimiento permite situar las

concepciones de los profesores como uno de los componentes de dicho conocimiento.

16

Al respecto, en la investigación elaborada por Bolívar (1993, 2005), al realizar un análisis a

profundidad de los estudios realizados por Shulman, el autor contextualiza y describe dicho

enfoque y realiza un análisis para determinar en qué medida puede servir para fundamentar la

conformación de las didácticas específicas en las diferentes ciencias y disciplinas del

conocimiento. Un aporte importante de ésta investigación se encuentra en la forma en la que

Bolívar reporta los componentes del CDC, dentro de los que se encuentran las concepciones.

Éste referente se constituye como elemento que permite construir el soporte teórico de la

investigación sobre el CDC y su relación con las concepciones de los EPM.

Lurduy (2013) realiza una investigación alrededor de la identificación, conceptualización,

caracterización y evaluación de las competencias de reflexión, semiosis y análisis didáctico

expresadas en los textos que dan cuenta del proceso de investigación de un estudio didáctico, en

el programa de formación de profesores de matemáticas la LEBEM en la Universidad Distrital a

partir de una investigación documental en la cual se realiza un análisis de contenido de las

unidades didácticas que desarrollan los EPM en sus prácticas docentes. En éste estudio se

reportan aquellos aspectos referidos a los objetos didácticos de diseño, gestión y evaluación de

los procesos de enseñanza y aprendizaje de un objeto matemático. Este referente utiliza

herramientas del proceso metodológico que permite, a partir de varias lecturas (intensiva,

extensiva) de los textos, codificar la información de tal manera que se analiza a profundidad el

significado incluido en las expresiones textuales definidas en cada unidad de análisis, así como

la definición de criterios de selección, sistematización y reducción de la información.

Otro reporte que se encuentra como antecedente es el trabajo de grado de maestría desarrollado

por Cruz (2015) “Una aproximación al conocimiento del contenido didáctico en la formación

inicial de docentes de matemáticas: El caso de dos licenciaturas” se reporta un proceso de

investigación alrededor del estudio de los significados institucionales de tipo referencial y

pretendido en dos syllabus de formación inicial de docentes de matemáticas desde los cuales se

caracteriza el enfoque del CDC (conocimiento didáctico del contenido), para ello se realiza una

investigación documental de los syllabus de estudio de los espacios de formación del eje de

didáctica y los documentos de acreditación como referentes de tipo curricular que permiten

establecer una conceptualización de los objetos didácticos de diseño, gestión y evaluación en

términos de los sistemas de prácticas de tipo discursivo, operativo y normativo que se expresan

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en estos documentos dando cuenta de elementos que conceptualizan el ser, el actuar y el saber

del docente de matemáticas desde lo declarado en estos syllabus de formación.

1.4.2. Investigaciones sobre concepciones en la formación de profesores de

matemáticas

Una de las investigaciones que se constituyen en un antecedente frente a los trabajos realizados

al interior del proyecto curricular LEBEM de la Universidad Distrital es la desarrollada por el

grupo MESCUD (2002). En ella se reporta un proceso de investigación frente al sentido de la

profesión docente con relación a la forma en la que se movilizan las concepciones y/o sistemas

de creencias de los EPM que ingresan al proyecto inicial de formación de profesores de

LEBEM. Se realiza un análisis de las concepciones iniciales de los EPM y se estudia lo que

ocurre con ellas una vez transcurren los EPM por dos espacios de formación. Se concluye que

las concepciones de los estudiantes cambian al participar de espacios de formación que

posibilitan la reflexión frente a las matemáticas escolares, aspecto que permite argumentan la

importancia que tienen los espacios de formación en un programa de formación inicial de

profesores de matemáticas en la consolidación de las concepciones de los EPM.

Por su parte Llinares (1994) realiza un reporte sobre una de las investigaciones desarrolladas

frente al conocimiento profesional del profesor de matemáticas y las relaciones entre creencias,

concepciones y conocimiento frente a la función. En dicho reporte, se pueden encontrar algunas

aproximaciones teóricas sobre los trabajos realizados por Thompson (1992), Ponte (2012),

Pajares (1992) y Fenstermacher & Soltis (1989), para lograr establecer la relación entre

creencias y conocimiento., Llinares concluye que “[…] las concepciones son entendidas como

un plano organizador de conceptos y se ven condicionando la forma en que se abordan la

realización de las tareas.” (p. 12).

En otra investigación, Becerra (2010) reporta en su trabajo de grado de maestría titulado

“Concepciones sobre Didáctica de las Matemáticas en Profesores de Educación Básica y Media”

un estudio donde se describen las formas en las que conciben las matemáticas en general y las

matemáticas escolares profesores en ejercicio de un colegio de Bogotá, Colombia tomando como

instrumentos de recolección de información un cuestionario y una serie de entrevistas semi-

estructuradas. A manera de recomendación, el autor establece la importancia sobre el desarrollo

18

de futuras investigaciones que estén encaminadas a realizar aportes significativos frente a las

concepciones de los profesores con relación a la enseñanza de las matemáticas, ya que en

muchos casos solo se determinan cierto tipo de indagaciones frente a los objetos matemáticos o

las matemáticas en general, sin profundizar sobre las formas de concebir los procesos de

enseñanza y aprendizaje de los mismos.

Por otra parte, Zapata, Blanco & Camacho (2012) reportan un proceso investigativo llevado

acabo con estudiantes para profesores de matemáticas de la Universidad de Piura, en Perú frente

a sus concepciones sobre las matemáticas En éste reporte se retoma el cuestionario propuesto en

la investigación desarrollada por Camacho, Hernández y Socas (1995) para indagar las

concepciones de EPM sobre las matemáticas en general. En este estudio, al hacer la

comparación entre la investigación realizada en España y Perú, se concluye que no existen

diferencias importantes en las concepciones a pesar de los distintos contextos en los que se

realiza la formación de los profesores de matemáticas en ambos países.

En las investigaciones y trabajos expuestos anteriormente se puede identificar que predomina, a

nivel metodológico, el uso del cuestionario como estrategia para recolectar información sobre

las concepciones de profesores y/o EPM sobre las matemáticas y/o la didáctica de las

matemáticas. En la mayoría hay una preocupación común por identificar y describir

concepciones sobre las matemáticas más que identificar las concepciones sobre los procesos de

enseñanza y aprendizaje en el ámbito escolar. Éste hecho permite justificar la importancia de

desarrollar trabajos de indagación en torno al análisis, descripción y caracterización de la forma

en la que los EPM o los profesores en ejercicio conciben dichos procesos.

1.4.3. Enfoques en la investigación sobre la enseñanza de la proporcionalidad

Para el caso de la enseñanza de la proporcionalidad existe una gran cantidad de trabajos que

abordan éste tema de investigación. A continuación se presentan algunos referentes como

antecedentes que permiten justificar la propuesta de investigación sobre las concepciones de los

EPM frente a la enseñanza de la proporcionalidad sin desconocer que se puede encontrar otro

tipo de reportes al respecto.

Existen investigaciones como las presentadas por Ball, Even, Graeber, Tirosh, y Glover, Reys,

Simon, Wheeler, citadas por Valverde & Castro (2009) en torno a las dificultades que tienen los

19

estudiantes para profesor en cuanto al tratamiento y profundización sobre los objetos

matemáticos y didácticos propios en matemáticas, en este caso frente a la proporcionalidad. Ante

este objeto de reflexión didáctica, Valverde et al. (2009) establece la necesidad de tener una

consciencia clara frente a la relevancia que tiene el análisis de las actuaciones de los EPM en

cualquier tópico de las matemáticas. Para tal caso, la autora expresa la importancia que tiene

establecer una reflexión didáctica y pedagógica entorno a la proporcionalidad dado que es parte

relevante del currículo, tanto por su uso en la resolución de problemas de la vida cotidiana, como

por las relaciones que se pueden establecer con el desarrollo de otros objetos matemáticos

escolares.

Ahora bien, estudios recientes como los presentados por Obando, Vasco y Arboleda (2013)

donde se presenta un estado del arte en el que se encuentran algunas investigaciones recientes

sobre razón, proporción y proporcionalidad frente a la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas en la escuela.

En este sentido, el recorrido que proponen dichos autores a manera de revisión sobre las

investigaciones de esta temática se centra en tres aspectos: el aspecto cognitivo, el epistémico y

el semiótico antropológico. Dichos aspectos son tomados en cuenta como elementos en el

apartado destinado al marco teórico de la presente investigación.

Los aportes que se logran establecer a través del reporte anterior estan relacionados con la forma

en la que se han llevado acabo las investigaciones sobre la enseñanza de la proporcionalidad en

la escuela, pero llama la atención que en dicho proceso de revisión documental, no se establece

una aproximación a trabajos donde se aborde el tratamiento de dicho objeto matemático en la

formación de profesores. Lo que si es claro es que la forma en la que se conciba la enseñanza de

la proporcionalidad determina desicivamente la práctica profesional docente.

Ante tal caso, se han encontrado reportes de investigaciones realizadas por Guacaneme, Perry,

Escobar & Hernandez (2003) donde desarrollan un proyecto de formación de profesores de

matemáticas frente a la enseñanza de la proporcionalidad en Colombia. Se presentan detalles de

la tercera versión de una estrategia de desarrollo profesional, utilizada para involucrar a

profesores de matemáticas en una experiencia de aprendizaje y acción sobre su práctica que se

aleja de lo que es habitual en el quehacer docente y en la formación de maestros. Tal estrategia

20

compromete a los profesores en acciones tales como diseñar, planear, observar, analizar,

reportar, socializar, acciones que les permiten comprender mejor su práctica y reconceptualizar

su conocimiento matemático y didáctico. Los autores afirman que haber enfocado el trabajo en

un mismo tema matemático, como lo es la proporcionalidad, para todos los participantes ayudó a

sacar mejor provecho de la experiencia. Dentro de los resultados, se establece que es importante

generar espacios de reflexión sobre los procesos de diseño, gestión y evaluación de secuencias

de actividades frente a la proporcionalidad en los profesores en ejercicio, pero se afirma que ésta

fue solo una etapa inicial en el proceso de formación continua de profesores. Ante ello, se

estblece la pertinencia en que, desde los procesos de formacion inicial, sean objeto de estudio las

deferentes reflexiones que los EPM pueden establecer al diseñar, planear y evaluar una

determinada secuencia de actividade frente a la proporcionalidad.

1.5. Aspectos Metodológicos

1.5.1. Tipo de investigación

El presente trabajo se enmarca dentro de la investigación cualitativa. Es decir, se busca como lo

plantea Vasilachis (2006), indagar en contextos naturales, “intentando dar sentido o interpretar

los fenómenos en los términos del significado que las personas les otorgan” (p, 24). Ésta se

caracteriza porque:

• Su objetivo es la comprensión de los fenómenos sociales a profundidad con base en la

indagación de hechos.

• Describe e interpreta fenómenos educativos como parte de los fenómenos sociales.

• Intenta estudiar los sujetos como un todo e el contexto de su pasado y de las situaciones

en las que se hallan.

Desde la perspectiva de Vasilachis (2006), citando a Strauss y Corbin, los tres componentes

principales de éste tipo de investigación son: “Los datos…; los diferentes procedimientos

analíticos e interpretativos de estos datos para arribar a resultados o teorías; y, por último, los

informes escritos o verbales” (p. 29)

La investigación presenta una metodología enmarcada en un enfoque cualitativo encaminado

hacia la realización de un estudio descriptivo–interpretativo de las concepciones sobre la

21

enseñanza de la proporcionalidad a partir de un tipo de análisis cualitativo de acuerdo a las

herramientas comunes que presentan dos técnicas de investigación documental como el Análisis

Cualitativo de Contenido (ACC) y la Teoría Fundamentada en los Datos (TFD) propuestas por

Lurduy (2013).

Para ello se realiza una descripción de cada una de estas técnicas de investigación documental:

1.5.2. Análisis cualitativo de contenido

Inmerso en el enfoque de tipo cualitativo una de las técnicas de investigación documental es el

análisis cualitativo de contenido (ACC) según la posturas de Abela (2003) es entendido como

[…] una técnica de interpretación de textos, ya sean escritos, grabados, pintados, filmados,…,u otra forma diferente donde puedan existir toda clase de registros de datos, transcripción de entrevistas discursos, protocolos de observación, documentos, videos,…, el denominador común de todos estos materiales es su capacidad para albergar un contenido que leído e interpretado adecuadamente nos abre las puertas al conocimiento de diversos aspectos y fenómenos de la vida social. (p. 2)

Es a partir de ésta técnica que se pueden determinar indicadores, describir situaciones y hacer

inferencias asociadas con el propósito de la investigación. Por su parte Pérez (1994) plantea que

existen dos tipos de análisis de contenido: El primero está relacionado a lo que el sujeto

manifiesta sin realizar ningún tipo de suposición, denominado manifisesto; el segundo, donde el

investigador trata de inferir el significado implícito de la respuesta o del texto, denominado

como latente. De acuerdo a este tipo de clasificación, el análisis de contenido que se realiza en

éste proceso de investigación es el manifiesto a nivel semántico, ya que se empelan categorías

para codificar lo que los EPM expresan por escrito en sus unidades didáctica en la última

práctica dentro del proceso de formación inicial en el programa de la LEBEM.

1.5.3. Teoría fundamentada en los datos (TFD)

Es una metodología de análisis, unida a la recolección de datos, que utiliza un conjunto de

métodos, sistemáticamente aplicados, para generar una teoría inductiva sobre un área sustantiva.

El producto de investigación final constituye una formulación teórica, o un conjunto integrado

de hipótesis conceptuales, sobre el área substantiva que es objeto de estudio. (Glaser, citado por

22

Torre et al, s.f). Este tipo de técnica permite generar desde los datos categorías que se pueden

relacionar con la teoría y permite definir relaciones entre las mismas.

1.5.4. Fases y Etapas

A continuación se presentarán las diferentes fases que comprenden el desarrollo de la

investigación teniendo en cuenta los aspectos estipulados anteriormente:

Fase 1: Revisión teórica y selección de las unidades de análisis

Realización de una revisión documental acerca de la formación de docentes de matemáticas

sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad. La forma de registro de la

información se realizará a partir de las fichas bibliográficas y descriptivas desde la perspectiva

de Abela (2003).

Selección de las unidades de análisis de acuerdo a los siguientes criterios.

• Las unidades didácticas, realizadas por los estudiantes, que iniciaron sus estudios entre el

semestre 2009-1 y 2010-3, relacionadas con proporcionalidad en el espacio de formación

de la práctica intensiva.

Serán tenidas en cuenta las producciones finales (unidades didácticas) de los estudiantes del

programa de formación de docentes de matemáticas LEBEM de la Universidad Distrital

Francisco José de Caldas que hayan tomado el espacio académico de formación “Práctica

intensiva” en el primer y segundo semestre de 2009, primer y segundo semestre de 2010. Se

seleccionaran todas las unidades didácticas que realicen su práctica intensiva con estudiantes de

la educación básica sobre la proporcionalidad.

• Los syllabus de los espacios de formación que hacen parte del documento de

Acreditación y Autoevaluación del proyecto curricular de LEBEM del año 2010. Serán

tenidos en cuenta los syllabus entregados como anexo.

Fase 2: Diseño de la estrategia para la recolección de la información en las unidades de

análisis seleccionadas

Construcción de categorías iniciales de análisis teniendo en cuenta la fase anterior.

23

• Revisión de las siguientes unidades de análisis desde la propuesta curricular LEBEM de

acuerdo a las categorías de análisis definidas.

o Unidades didácticas seleccionadas. Se elaborará una matriz con la información de las

expresiones que hagan referencia a la enseñanza de la proporcionalidad.

o Los syllabus de los espacios de formación que plantea el proyecto curricular de

LEBEM que hacen parte del documento de acreditación y autoevaluación del año

2010. Se elaborará una matriz de organización de la información sobre los elementos

de reflexión didáctica en torno a la enseñanza de la proporcionalidad.

o Las producciones de los EPM ya seleccionados. Se elaborará una matriz con la

información sobre las expresiones que hagan referencia a la enseñanza de la

proporcionalidad.

Fase 3: Análisis de la información.

De acuerdo a la organización de la información recolectada y con base en las categorías y sub-

categorías de análisis elaboradas, se realiza el respectivo análisis de los datos.

Fase 4: Elaboración de informe final

Conclusiones y reflexiones frente a los resultados encontrados y analizados dando respuesta a

los objetivos propuestos y elaboración de informe final.

Con la culminación a cabalidad de estas seis fases metodológicas se espera lograr responder a

los objetivos propuestos y generar aportes significativos a la pregunta de investigación

planteada, preguntas orientadoras y problema de investigación.

1.6. Delimitación del Estudio

Se plantea el estudio de las producciones escritas de los EPM pertenecientes al proyecto

curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas que participaron del

espacio de formación de práctica intensiva durante los semestres comprendidos entre 2013-1 y

2014-2.

24

Los criterios que permitieron focalizar el estudio en el programa LEBEM de la Universidad

Distrital fueron:

• Uno de los referentes públicos en la ciudad de Bogotá que más educadores ha formado.

• Carácter público.

• Acreditación de Alta Calidad de programa de formación otorgada inicialmente por cinco

años, en el año 2005, y renovada por siete años más, en el año 2011.

• Propuesta educativa concebida como proyecto de investigación innovador frente a la

formación inicial de profesores de matemáticas escolares para población infante y juvenil

(Aguilar, 2005). Está sustentada por cuatro núcleos problémicos entendidos como “El

conjunto de conocimientos afines que posibiliten definir líneas de investigación en torno

al objeto de transformación, estrategias metodológicas que garanticen la relación teoría -

práctica y actividades de participación comunitaria” (López, citado en Documento Re-

acreditación y Autoevaluación, 2010, p. 8). Estos núcleos se justifican desde los procesos

administrativos curricularmente en cuatro ejes de formación: El eje de problemas y

pensamiento matemático avanzado, eje de didáctica de las matemáticas, eje de práctica y

el eje de contextos profesionales.

Los criterios que permitieron focalizar el estudio en el espacio de formación de práctica

intensiva fueron:

• El eje articulador de todo el proceso de formación está centrado en la práctica docente.

En ella se propende por la contribución al desarrollo del CDC de los EPM en contextos

de aprender a enseñar matemáticas para la educación básica en forma de conocimiento

práctico y razonamiento pedagógico. Así mismo, apoya la construcción de un modelo de

profesor reflexivo y crítico de su práctica docente y, desde lo que se declara en el

Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010), contribuye a la transformación

de las concepciones que tiene el EPM sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática

a partir de la integración que se hace en la práctica docente de los distintos saberes

pedagógicos y didácticos que conforman el conocimiento profesional del profesor de

matemáticas. Por otra parte promueve entre los EPM procesos de innovación e

investigación en el aula a partir del desarrollo y sistematización de secuencias de

enseñanza.

25

• La aproximación teórica argumentada por Ruiz (1994) y Pajares (1992) frente a la

conceptualización de concepciones. En éste caso, son descritas como uno de los

elementos que caracterizan y conforman, según Bolívar (2005), el CDC; a su vez, son

consideradas como un plano organizador de conceptos y condicionan la forma en que se

abordan las tareas, son esencialmente de tipo cognitivo y no son estáticas sino que se

movilizan (MESCUD, 2002) o transforman a medida que el sujeto aprende y/o adquiere

conocimiento.

• Según Artigue, El Bouazoui y Vergnaud, citados por Flores (1998), existen concepciones

de tipo subjetivo (ligadas al sistema de creencias de los sujetos) y de tipo epistemológico

(tipologías de conocimiento existente en un cierto período histórico, o circunscrito a los

syllabus de cierto nivel de enseñanza).

En este orden de ideas, el estudio de las producciones escritas como producto de todo un proceso

de reflexión teórica, didáctica y matemática por parte de los EPM permitirá un acercamiento a la

caracterización de las concepciones frente a la enseñanza de la proporcionalidad. No se

desconocen diferentes posibilidades de recolección de información para poder analizar las

concepciones, pero el estudio reduce sus alcances al reporte sobre las concepciones globales que

se pueden identificar y describir en las producciones escritas mencionadas anteriormente.

26

2 . REFERENTES TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS

2.1. Referentes Teóricos

2.1.1. El Conocimiento didáctico del Contenido

En el contexto de la formación inicial de profesores de matemáticas, existen diversas

investigaciones y reflexiones realizadas por Lupiañez (2009), Gómez (2007), Llinares (2004,

2007), Godino (2009), Flores (1998), Flores, Moreno y Sánchez (2006), Shulman (2001), entre

otros, que destacan la importancia sobre el desarrollo de trabajos sobre el conocimiento

profesional que debe tener el profesor de matemáticas. Ruiz (2010) afirma que “La formación de

profesores de Matemáticas es un tema central dentro de la comunidad de la Educación

Matemática” (p.2).

Uno de los autores mayormente citado y analizado en el campo de la formación de profesores y

del conocimiento profesional del profesor es Lee Shulman. El proyecto de investigación

realizado por Shulman (1986) pretendía desarrollar un marco teórico que permitiera explicar y

describir los componentes del “conocimiento base” de la enseñanza, entre los cuales destaca: El

conocimiento del contenido, conocimiento pedagógico, conocimiento del curriculum,

conocimiento de los alumnos y el aprendizaje, conocimiento del contexto de enseñanza y el

conocimiento didáctico del contenido (CDC). Dentro del reporte, se realiza una caracterización

sobre el PCK (Pedagogical Content Knowlege) el llamado “conocimiento didáctico del

contenido” (CDC) aceptado en algunos casos como la traducción del término.

27

Al respecto, Marcelo, citado por Valbuena (2007), plantean que el CDC “se configura como una

de las contribuciones más poderosas y actuales de la investigación didáctica para la formación

del profesorado” (p.34). En este sentido, como lo señalan Marks (1989) y Shulman (1986), es

necesario desarrollar más investigaciones sobre los diferentes componentes, categorías,

características, dimensiones e indicadores del CDC para seguir generando un cuerpo de

conocimientos que fundamente y oriente la formación inicial y permanente de los docentes de

matemáticas.

Shulman (1986) caracterizó el CDC en tres aspectos: la comprensión de los aspectos que

facilitan el aprendizaje del contenido de un tópico específico; el conocimiento de las

concepciones de los alumnos de diversas edades y procedencia acerca de un contenido particular;

y la utilización de estratégicas por parte del profesor “analogías, ejemplos, explicaciones,

demostraciones, es decir, formas de representación y formulación para facilitar el aprendizaje de

un contenido” (1986, p. 9)

En éste sentido, Marks (1989) y Grossman (1990), determina cuatro componentes que

caracterizan al CDC partiendo de las ideas expuestas por Shulman (1986):

1) conocimiento de la comprensión de los alumnos: modo cómo los alumnos comprenden un tópico disciplinar, sus posibles malentendidos y grado de dificultad; 2) Conocimiento de los materiales curriculares y medios de enseñanza en relación con los contenidos y alumnos; 3) Estrategias didácticas y procesos instructivos: representaciones para la enseñanza de tópicos particulares y posibles actividades/tareas; y 4) Conocimiento de los propósitos o fines de la enseñanza de la materia: concepciones de lo que significa enseñar un determinado tema (ideas relevantes, prerrequisitos, justificación, etc.) (p. 7)

Dichos componentes se originan, según Grossman (1990), a partir de los preconceptos sobre el

conocimiento que tiene el profesor a través de su experiencia en la enseñanza de un determinado

contenido, aspecto que genera resistencia en una formación posterior del profesor. Otra fuente de

origen es el manejo disciplinar que tiene el profesor, especialmente válido para los profesores

que se encuentran en ejercicio. Finalmente, otras fuentes donde emerge este tipo de componentes

están asociadas a la formación inicial del profesor, aspecto que compete directamente a la

presente investigación, ya que es en esta primera etapa de formación donde los estudiantes

construyen este tipo de conocimiento, bajo el seno de un programa de formación determinado.

28

Por su parte, Bolívar (2005) caracteriza al CDC partiendo de la idea de interrelación existente

entre los siete tipos de conocimiento mencionados anteriormente, ya que no se debe interpretar

como un listado de tipos de conocimiento que se deben desarrollar; por el contrario, se

establecen como todo un conjunto de relaciones entre los siete tipos de conocimiento. Al

interpretar a Shulman, afirma que este tipo de conocimiento se construye con y sobre el

conocimiento del contenido, conocimiento pedagógico general y conocimiento de los alumnos,

éste último, a través de sus concepciones sobre los procesos de enseñanza, procesos de

aprendizaje y formas de concebir los objetos matemáticos.

Al continuar profundizando sobre los componentes y estructuración del CDC, hay contribuciones

frente a las formas en las que se pueden interrelacionar los diferentes tipos de conocimiento

profesional del profesor en la formación inicial y permanente, como en el caso de la contribución

teórica realizada por Magnusson, Krajcik y Borko (1999) donde se argumenta que es necesario

trabajar en la formación y desarrollo de un conocimiento que le permita al profesor transformar e

integrar diferentes tipos de conocimiento con el fin de abordar de forma adecuada aspectos

asociados a las dificultades en el aprendizaje de los alumnos, las formas de evaluar, la

planificación y organización curricular de actividades de enseñanza, entre otros.

Magnusson et al. (1999) identifica cinco dominios del CDC entre los que se encuentran: Las

orientaciones de la enseñanza del contenido, el conocimiento curricular que debe desarrollar el

profesor, el conocimiento de la evaluación y de las estratégicas metodológicas para la enseñanza.

Finalmente, llama la atención que para los autores no solo es necesario conocer las ideas de los

alumnos sobre un tema en particular, sino además es necesario profundizar acerca de las

dificultades en el aprendizaje y proponer alternativas de solución.

En este mismo sentido, Mellado (1998) realiza una aproximación a la definición del CDC como

conocimiento que es desarrollado únicamente por los profesores sobre la forma en la que se

enseña un determinado objeto matemático. Según el autor, el CDC se desarrolla a partir de la

relación entre el conocimiento de la materia y el conocimiento pedagógico con el fin de que el

profesor diseñe diversas formas de representación que sean comprensibles para los estudiantes.

Para tal caso, determina dos componentes del CDC: Dinámicos (surgen y evolucionan a parir de

concepciones y creencias, conocimientos y actitudes del profesor a partir de la experiencia) y

29

estáticos (contenidos teóricos aprendidos sobre las matemáticas, las didácticas específicas y la

psicopedagogía).

La investigación reportada por Climent (2002) realiza una acercamiento a la categorización del

CDC en profesores de matemáticas y genera aportes sobre la distinción clara respecto al

conocimiento disciplinar “de” y “sobre” las matemáticas. Al respecto, la autora establece dos

categorías fundamentales para la caracterización del CDC: El conocimiento didáctico del

contenido respecto a la enseñanza (CDC-E) y el conocimiento didáctico respecto al aprendizaje

(CDC-A). En el conocimiento relativo al aprendizaje y la enseñanza de los contenidos

matemáticos se debe incluir el conocimiento de modos de representación más adecuados para

facilitar su comprensión y el conocimiento de las características del aprendizaje de los

contenidos. La autora termina concluyendo sobre la importancia que se debe dar al conocimiento

sobre el contenido ya que, desde el trabajo abordado y reportado, es necesario trabajar en el

desarrollo de las concepciones particulares sobre los contenidos dado que estas permean en gran

medida el desarrollo del CDC sobre la enseñanza y sobre el aprendizaje.

Por su parte, Lurduy (2012, 2013) introduce el término de conocimiento de contenido didáctico

(CCD). Este tipo de conocimiento es entendido como aquel que permite la conceptualización de

los objetos de tipo didáctico dando cuenta de las relaciones de complejidad presentes en lo que

denomina “sistema didáctico” (profesor, estudiante, saber y entorno) y meta-didáctico que se

desarrollan en la formación de EPM y dan cuenta de los procesos de enseñanza relativos a la

profesión ser profesor. Una contribución importante al trabajo de investigación se asocia a la

importancia y relevancia que se le da a la práctica docente como centro de interés y análisis del

CCD y la definición de los procesos-objetos didácticos invariantes en ella como lo son el diseño,

la gestión y la evaluación.

La presente investigación, si bien considera la existencia de objetos en el ámbito matemático,

también se encuentran objetos en el ámbito didáctico pero éstos se abordarán desde la

perspectiva de Llinares (2000) como procesos, actividades en las fases que hacen parte de la

práctica del profesor como lo son el diseño (en la fase pre-activa) la gestión (en la fase

interactiva) y la evaluación (en la fase pos-activa).

Al presentar algunas aproximaciones teóricas frente a la definición y componentes del CDC, se

30

llega a las siguientes conclusiones: Primero, el desarrollo del CDC se da en profesores

experimentados que tienen un bagaje profesional; segundo, el desarrollo de dicho conocimiento

se puede originar en EPM a partir del proceso de formación inicial, aspecto en el que se centra la

presente investigación. Tercero, el CDC le da identidad a la labor profesional de educar, pues es

un tipo de conocimiento propio de la profesión y permite diferenciar la labor de otros

profesionales de la del educador matemático. Cuarto, el CDC involucra la reflexión permanente

sobre el diseño, la gestión y la evaluación en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas pues es un tipo de conocimiento que se dinamiza a través de la práctica, la reflexión

y la transformación. Como última conclusión, las concepciones de los EPM y/o profesores en

ejercicio son un aspecto que permite estudiar el origen y el desarrollo de dicho tipo de

conocimiento; postura que comparten Climent (2002), Bolívar (2005), Grossman (1990) entre

otros.

Por lo tanto, como lo plantean Pinto y González (2008), para estudiar el CDC es necesario

trabajar sobre las “fuentes de información como creencias y concepciones de los profesores, la

reflexión de la acción…” (p.94) aspectos que son tenidos en cuenta en el desarrollo del presente

trabajo.

Finalmente, las concepciones son un referente conceptual y teórico que define en gran parte el

CDC de los EPM, base para la conformación de marcos organizacionales de conceptos respecto

a cuatro aspectos importantes que derivan de su constitución. Finalmente, las concepciones son

un referente conceptual y teórico que define en gran parte el CDC de los EPM y se constituyen

en la base fundamental en el marco conceptual de actuación, reflexión y transformación de la

práctica como profesor de matemáticas entorno a los siguientes aspectos:

• En primer lugar, respecto a las formas en las que se conciben los procesos de

enseñanza de un determinado objeto matemático, teniendo presentes los estudios de

Bolívar (2005), Grossman (1990) Marks (1989) y Climent (2002)

• En segundo lugar, las formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje, ideas

que los profesores en formación contemplan frente a las posibilidades de acción y

expresión que podrían tener los estudiantes en el aprendizaje acerca de un objeto

matemático, posibles dificultades y formas de tratamiento de las mismas en el aula.

31

Haciendo alusión a las investigaciones realizadas por Climent (2002) y Magnusson et al.

(1999).

• En tercer lugar, las situaciones, problemas, ejercicios y/o ambientes que dispone el

EPM con el fin de llevar acabo una práctica de enseñanza alrededor de un objeto

matemático según una perspectiva teórica y/o didáctica. Desde las ideas que desarrolla

Shulman (2001) y Bolívar (2005).

• En cuarto lugar, los referentes teóricos, didácticos, matemáticos y/o curriculares,

desde los cuales el EPM argumenta su posicionamiento frente a las tres anteriores

formas de concebir los procesos de enseñanza y aprendizaje en el aula. Desde las ideas

desarrolladas por Bolívar (2005), Mellado (1998) y Grossman (1990).

Estas categorías se constituyen como referente fundamental para el estudio de las concepciones

de los EPM cuando enseñan la proporcionalidad.

2.1.2. Aproximación teórica al concepto de concepciones

Al hacer alusión a concepciones en la formación de profesores, se destacan las investigaciones

realizadas Thompson (1992), Blanco, Camacho & Zapata (2012), Pino (2013), Ruíz (1994),

Vergnaud (1990) entre otros; en las que se manifiesta una preocupación común asociada a las

concepciones y sistemas de creencias que poseen y/o desarrollan los EPM a lo largo de su

proceso de formación inicial. Éste aspecto constituye un elemento de gran importancia frente al

análisis del CDC, desde las ideas expuestas por Grossman (1990) y Bolívar (1993, 2005), dado

que según las formas en las que el estudiante para profesor conciba los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas, así mismo se reflejará dicha concepción en su práctica

profesional.

Con el fin de lograr esclarecer las diferencias entre concepción y creencias, varios autores

coinciden en afirmar que al hablar de concepciones implícitamente se está haciendo referencia a

un sistema de creencias de los sujetos, postura que comparte Pino (2013), D’Amore y Fandiño

(2004). Por su parte Flores (1998) afirma que aunque varios autores como Ruíz, Ponte, Sfard y

otros han tratado de hallar las diferencias terminológicas y epistemológicas, aun no es posible

clarificar dichas diferencias. En las investigaciones anglosajonas, la palabra “beliefs” hace

alusión a creencias y concepciones, tomándolas como sinónimos, mientras que en las

32

investigaciones de corte español y latinoamericano si se hace la distinción. Al respecto Ponte

estipula que:

Creencias son las "verdades" personales indiscutibles llevadas por cada uno, derivadas de la experiencia o de la fantasía, teniendo una fuerte componente evaluativa y afectiva (Pajares 1992). Concepciones son los marcos organizadores implícitos de conceptos, con una naturaleza esencialmente cognitiva. Ambos, creencias y concepciones forman parte del conocimiento. (Ponte, 1994, pp. 199)

Ponte (1994) permite determinar el interés por el estudio de las concepciones en la aceptación de

que, como un substrato conceptual, ellas juegan un papel esencial en el pensamiento y la acción.

En vez de referirse a conceptos específicos, constituyen una forma de ver el mundo y organizar

el pensamiento. Sin embargo, no pueden ser reducidas a los aspectos más inmediatamente

observables de conducta y no se revelan fácilmente.

Con el fin de realizar una caracterización sobre los elementos y/o componentes que se pueden

estudiar en las concepciones, Ruiz presenta tres aspectos importantes al respecto:

• Los invariantes que el sujeto reconoce como notas esenciales que determinan el objeto;

• El conjunto de representaciones simbólicas que le asocia y utiliza para resolver las situaciones y problemas ligados al concepto;

• El conjunto de situaciones, problemas, etc. que el sujeto asocia al objeto, es decir para las cuales encuentra apropiado su uso como herramienta. (Ruiz, 1994, p. 72)

Azcárate, García y Moreno (2006) realizan un trabajo de investigación sobre las concepciones

afirmando que están vinculadas a la estructura que cada profesor de matemáticas da a sus

conocimientos y juegan un papel fundamental en la enseñanza y el aprendizaje. Así mismo, los

autores destacan algunas características como son: forman parte del conocimiento, son producto

del entendimiento y actúan como filtros en la toma de decisiones e influyen en las formas de

razonamiento.

Por su parte, Bohórquez (2013) presenta a manera de comunicación breve un reporte sobre el

estudio de concepciones de EPM de la Universidad Distrital sobre la resolución de problemas. Al

respecto, realiza una revisión conceptual sobre algunas de las investigaciones evocadas hasta el

momento y plantea la identificación y caracterización de cambios en las concepciones de los

estudiantes para profesor sobre su gestión del proceso de enseñanza aprendizaje en un ambiente

33

de resolución de problemas. Al implementar un instrumento de recolección e información

propuesto por D’Amore y Fandiño (2004) Titulado “invitación a declarar sobre las concepciones

de la gestión en el aula” en un curso de didáctica de la variación al comenzar y al terminar dicho

curso, se pudo establecer que los resultados permiten evidenciar que los EPM tienen una idea de

gestión del profesor en un ambiente fundamentado en la resolución de problemas como aquella

en donde se debe orientar el proceso de aprendizaje, pero sin establecer de qué manera debe

hacerlo o cómo. Para tal caso, los EPM afirman que es necesario que se conozca plena y

conscientemente el objeto matemático en cuestión que se desea abordar a través de un ambiente

de resolución de problemas y el EPM debe ser mediador del proceso de aprendizaje a través de la

elaboración de preguntas conducentes al desarrollo del objeto en los estudiantes. Finalmente, en

el reporte no se logra evidenciar el cambio de concepciones de los EPM al finalizar el curso dado

que solamente se presenta una etapa inicial del proceso de análisis de la información.

Por otra parte, en la investigación realizada por Lurduy (2013) al interior del proyecto curricular

LEBEM se afirma que las concepciones y creencias sobre el profesor, sobre su conocimiento de

las matemáticas y sobre su conocimiento profesional, “…caracterizan en gran medida la

actuación como docente de los estudiantes para profesor.” (p. 32). Así mismo, define unos tipos

de prácticas sobre objetos didácticos como los son: las prácticas discursivas, normativas y

evaluativas. Al describirlas, afirma que estos sistemas dinámicos dependen de las creencias,

percepciones, afectividades; actuaciones, funciones, relaciones; concepciones, saberes,

conocimientos.

En la revisión de antecedentes de su tesis doctoral, Flores (1998) hace un análisis de las

investigaciones realizadas por Pajares (1992), Ruíz (1994) y Thompson (1992) en las que se

hace alusión a dos dimensiones para situar las concepciones: En primera medida, diferencia las

concepciones subjetivas o cognitivas de las epistemológicas, y en segunda medida, las

concepciones locales de las globales. Las concepciones subjetivas según Ruíz, citado por Flores

(1998), “[…] se refieren al conocimiento y creencias de los sujetos… las concepciones

epistemológicas se refieren a tipologías de conocimiento existente en un cierto período histórico,

o circunscrito a los textos o syllabus de cierto nivel de enseñanza.” (p. 29). Al hacer referencia a

las concepciones locales y globales, se afirma que “Las concepciones globales describen

34

holísticamente las concepciones ligadas a un concepto u otro objeto, y las locales tienen en

cuenta aspectos parciales de los sistemas anteriores". (Ruiz, 1994, p. 45).

Esta revisión presentada hasta el momento permite situar este trabajo de investigación en el

campo del estudio, de uno de los elementos que hace parte y permite el desarrollo del CDC en la

formación inicial de los EPM, como son las concepciones no vistas desde una perspectiva de

sistema de creencias de tipo afectivo, actitudinal y emocional, como lo propone MCleod (1992),

sino desde la perspectiva que propone Ponte (1994) al definirlas como:“…los marcos

organizadores implícitos de conceptos, con una naturaleza esencialmente cognitiva.” (p. 199) y

que así mismo, forman un elemento fundamental para el desarrollo del conocimiento. Desde esta

perspectiva adquiere un sentido muy valioso los aportes que presenta Thompson (1992) y Flores

(1998) en cuanto a las ideas respecto a las concepciones de tipo local-subjetivo, las cuales

conforman los sistemas de creencias en los sujetos (Ponte, 1994) y las de tipo local-

epistemológico, las cuales hacen parte de los aspectos curriculares que se declaran en los

syllabus de formación e influyen directamente en las formas en las que los estudiantes para

profesor conciben los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

2.1.3. El sentido de la práctica al interior del proyecto curricular LEBEM

El proyecto curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas

(LEBEM) de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas (UD), en Bogotá Colombia; es un

programa de formación inicial de profesores de matemáticas con una duración de diez semestres

en modalidad presencial; cuenta con el reconocimiento de ser un programa Acreditado de alta

calidad en los años 2005 y 2011 (por seis años) otorgada por la Comisión Nacional de

Acreditación (CNA). Según el documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010)

elaborado por LEBEM, se asume como propósito fundamental la formación de profesores de

matemáticas que

[…] se desempeñen en la educación básica, a partir de la consideración del profesor como un profesional que investiga su práctica y que reflexiona sobre ella, aspecto que le permite contribuir a la formación de los niños, niñas y jóvenes en el marco del ingreso a una cultura matemática no segregacionista, que promueva un aula en que el hacer matemáticas reemplace las prácticas pedagógicas escolares predominantes, caracterizadas por un hacer repetitivo y sin sentido. (Documento de Re-acreditación y Autoevaluación,

35

2010, p. 5)

La propuesta curricular está sustentada por cuatro núcleos problémicos entendidos como “El

conjunto de conocimientos afines que posibiliten definir líneas de investigación en torno al

objeto de transformación, estrategias metodológicas que garanticen la relación teoría - práctica y

actividades de participación comunitaria” (López, citado en Documento Re-acreditación y

Autoevaluación, 2010, p. 8). Estos núcleos se justifican desde los procesos administrativos

curricularmente en cuatro ejes de formación: El eje de problemas y pensamiento matemático

avanzado, eje de didáctica de las matemáticas, eje de práctica docente y el eje de contextos

profesionales.

El eje de práctica docente, articula el proceso de formación en la que se propende por la

contribución al desarrollo del CDC de los EPM en contextos de aprender a enseñar matemáticas

para la educación básica en forma de conocimiento práctico y razonamiento pedagógico. Así

mismo, apoya la construcción de un modelo de profesor reflexivo y crítico de su práctica docente

y, desde lo que se declara en el Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010),

contribuye a la transformación de las concepciones que tiene el EPM sobre la enseñanza y

aprendizaje de la matemática a partir de la integración que se hace en la práctica docente de los

distintos saberes pedagógicos y didácticos que conforman el conocimiento profesional del

profesor de matemáticas. Por otra parte promueve entre los EPM procesos de innovación e

investigación en el aula a partir del desarrollo y sistematización de secuencias de enseñanza. De

esta forma, se pone en manifiesto que es en la práctica educativa donde convergen los diferentes

ejes de formación en la puesta en escena y análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de

un determinado objeto matemático, elementos de reflexión teórica que han sugerido

constantemente diversos autores como Llinares (2000), Guerrero, Lurduy y Sánchez (2009),

Escudero & Sánchez (1999), Lurduy (2013), entre otros.

En concordancia con lo planteado en los principios orientadores al interior del proyecto

curricular LEBEM, los espacios de formación del eje de práctica docente, parten de un proceso

práctico y formativo inicial, de primero a cuarto semestre, luego se realizan las prácticas

intermedias desde cuarto hasta octavo semestre (cuyos énfasis son respectivamente el diseño y

planeación, recursos didácticos, gestión en el aula, evaluación y referentes curriculares) y una

práctica docente estipulada como intensiva en noveno semestre en la que se evidencia la puesta

36

en escena de todos los aspectos aprendidos y profundizados en las prácticas anteriores. Todo el

conjunto de prácticas dirigen sus secuencias de actividades a niños, niñas y jóvenes de la

educación básica en colegios públicos de Bogotá. Al respecto Lurduy (2014) afirma que al

interior del proyecto LEBEM se interpreta

[…] la formación de profesores de matemáticas como el sistema de creencias, acciones, conceptualizaciones y sus relaciones sobre la naturaleza de la escolarización, la educación, la pedagogía, las didácticas (generales, regionales y locales), que conforman prácticas específicas de configuración, identidad y valoración, como profesores de matemáticas para los diferentes niveles de la educación y en relación con los procesos de estudio didáctico-matemático (p. 15).

De acuerdo con Lurduy (2009; 2012), la práctica docente se concibe como el proceso en que

interviene un sistemas de actividades didácticas, una reflexión sobre ellas y el compromiso por la

apropiación y transformación de las prácticas realizadas; la resolución de problemas abordados

con los objetos didácticos, matemáticos escolares, y la descripción y reflexión de las

implicaciones tanto personales como colectivas de los procesos de enseñanza. De este modo, la

práctica docente adquiere una importancia fundamental en la formación de capacidades,

destrezas, habilidades, saberes didácticos y pedagógicos, en términos de los conocimientos,

acciones y hábitos apropiados por los EPM. Así mismo,

[…] se entiende como el contexto en que se pone en juego la profesionalización, la investigación y la formación, que se aborda frente a diversos temas matemáticos, didácticos, sociales, políticos, pedagógicos, y que es direccionada a la infancia y la juventud niños y niñas entre 5 a 16 años de edad. (p. 61)

Como resultado del proceso llevado acabo en cada uno de las prácticas, los EPM generan un

documento titulado como “Unidad Didáctica” en el que se da cuenta de todo el proceso de diseño

de secuencias de actividades, gestión de las mismas y sistematización de lo ocurrido a través de

protocolos y reflexiones sobre el proceso de evaluación formativo, constante y sumativo llevado

acabo a lo largo del proceso (Lurduy, 2013). En dicho informe final se presentan, los problemas

derivados de la implementación de actividades, las soluciones dadas y sus significados

construidos para/en/sobre la acción. Es decir una Unidad es:

[…] un modelo de informe del diseño, gestión y evaluación de la secuencia de actividades llevada a cabo en los espacios de la práctica docente en los grados de 0 a 9o y

37

en los que están implicados infantes y jóvenes de la educación básica. Es el resultado de la intervención didáctica que los EPM registrarán en el diseño de instrumentos y evidencias de la gestión de la clase y del trabajo de los alumnos, que posteriormente se analizan y evalúan. (Lurduy, 2013, p. 62)

De esta manera, la guía del profesor estipulada en el diseño de las secuencias de actividades, los

protocolos de gestión de la clase y las reflexiones pedagógicas son un elemento constitutivo de la

unidad didáctica.

Finalmente, el último espacio de formación del eje de práctica tipificado como la práctica

intensiva reúne todos los elementos abordados y profundizados en las prácticas anteriores

(diseño y planeación, recursos didácticos, gestión en el aula, evaluación y referentes curriculares)

y posibilita el proceso de recolección de información frente a las propuestas de trabajos de grado

que los EPM abordan como proceso final de formación.

Del mismo modo, según Lurduy, Guerrero y Sánchez (2009) la práctica intensiva constituye el

cierre del proceso de reflexión al interior de los demás espacios de formación y pone en juego los

conocimientos disciplinares, curriculares, didácticos y pedagógicos abordados a lo largo de todo

el proceso de formación inicial por medio de la resolución de problemas estipulada como

herramienta metodológica al interior del proyecto LEBEM. De este modo el proceso de

indagación sobre las concepciones locales-subjetivas que poseen los EPM sobre la enseñanza de

la proporcionalidad evidenciada en las Unidades Didácticas del último semestre de práctica que

ofrece el programa de formación permite determinar. Es por estas razones que hay una

pertinencia clara y definida frente al análisis de las expresiones escritas que los EPM realizan en

las unidades didácticas sobre la enseñanza de la proporcionalidad al interior del espacio de

formación de la práctica intensiva, dado que se fundamenta como un punto de partida para la

identificación, descripción y caracterización de las concepciones subjetivas (desde la perspectiva

de Ruíz, 1994) por parte de los EPM.

Conforme a lo anteriormente mencionado, se evidencia una concepción local-epistemológica

(desde la perspectiva de Ruíz, 1994) innovadora con relación a la manera en la que se desarrollan

los procesos de formación inicial de profesores partiendo de las formas de concebir las

matemáticas, sus procesos de enseñanza y aprendizaje, la práctica docente profesional y la

reflexión sobre el ser profesor como profesional de la educación. Llama la atención la

38

importancia constante que, desde lo declarado, se le da a la transformación de las concepciones

de los EPM en su proceso de formación, aspecto importante en el proceso de indagación sobre

las concepciones que los EPM expresan sobre la enseñanza de la proporcionalidad.

2.1.4. La proporcionalidad como objeto de enseñanza

El presente apartado expone un acercamiento a los planteamientos teóricos que fundamentan y

caracterizan el presente trabajo de investigación en torno a la enseñanza de la proporcionalidad

en dos sentidos: respecto al estudio del objeto proporcionalidad en la enseñanza de las

matemáticas escolares y en la formación de profesores de matemáticas.

Estudios recientes como los presentados por Obando, Vasco & Arboleda (2014) establecen un

estado del arte donde se revisan y comentan algunas investigaciones recientes sobre razón,

proporción y proporcionalidad frente a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la

escuela. Al respecto afirman que

A pesar de los importantes avances logrados en la investigación en didáctica de las matemáticas (caracterizaciones finas de los problemas cognitivos y didácticos) aún no se logran consolidar propuestas que modifiquen la forma como las razones, proporciones y la proporcionalidad se abordan en los contextos escolares (p. 61).

En este sentido, el recorrido que proponen dichos autores a manera de revisión sobre las

investigaciones alrededor de esta temática se han centrado desde tres aspectos particularmente: el

aspecto cognitivo, epistémico y semiótico antropológico.

En el aspecto cognitivo, los trabajos iniciales se centraron sobre la idea del desarrollo del

pensamiento entorno a la proporcionalidad, entendiéndose como razonamiento proporcional

(Piaget & Inhelder, citados por Obando et al., 2014). Este tipo de trabajos e investigaciones

iniciales se fundamentaron sobre las ideas desarrolladas por Piaget frente a la proporcionalidad

como elemento que determina el paso de las operaciones concretas a las formales en los

individuos en dos sentidos: El primero como aspecto lógico, donde la proporcionalidad es

entendida como un esquema en el que se establecen relaciones entre relaciones, aspecto que

implica una lógica de segundo orden. El segundo a nivel matemático, la comprensión de la

proporcionalidad establece un conjunto de compensaciones cuantitativas que asumen una forma

39

de esquemas proposicionales de equivalencia que permiten garantizar, según Obando et al.

(2014), que el proceso de variación se conserve invariante entre cociente o producto.

De esta manera, sobre las bases anteriormente mencionadas, se empieza un desarrollo

investigativo alrededor de la forma en que se deben enseñar las razones, proporciones y

proporcionalidad en la escuela. Al respecto Obando et al. (2014) cita investigaciones como las

desarrolladas por Karplus, Pulos, & Stage; Noelting; Pulos & Tourniaire; Tourniaire, entre otros;

donde se privilegian estrategias para el desarrollo del razonamiento proporcional, los tipos de

situaciones que implican dicho tipo de razonamiento, las variables de tarea centradas en las

acciones de los estudiantes y/o las situaciones a usar en su enseñanza. Según Obando et al.

(2014) estas investigaciones permitieron identificar elementos importantes para comprender los

procesos de enseñanza y aprendizaje en la escuela pero no realizaron un cuestionamiento sobre el

conocimiento matemático que se enseña.

En cuanto al aspecto epistémico, Obando et al. (2014) establece que, durante los años 90, las

investigaciones frente al razonamiento proporcional empiezan a considerar otras de tipo

epistémico relativas a la estructura, organización y naturaleza del conocimiento matemático, en

este caso frente a la proporcionalidad. Según los autores, los aportes en este periodo se

caracterizaron por el estudio de los procesos cognitivos que están presentes en el aprendizaje de

los números racionales (Behr, Harel, & Post; Behr, Khoury, Harel, Post, & Lesh; Kieren;

Ohlsson, citados por Obando et al., 2014), el razonamiento proporcional en los procesos de

aprendizaje en niños de edad escolar (Confrey & Smith; Harel, Behr, Lesh, & Post; Hart;

Lamon; Schliemann, Carraher, & Brizuela; Steffe, citados por Obando et al., 2014), la aritmética

de cantidades (Schwartz, citado por Obando et al., 2014), la estructura cognitiva, didáctica del

pensamiento multiplicativo (Kaput & West; Spinillo & Bryant, citados por Obando et al., 2014)

y el campo conceptual de estudio sobre las estructuras multiplicativas (Vergnaud, citado por

Obando et al., 2014).

Uno de los aportes significativos en este segundo aspecto mencionado en el estado del arte

presentado por Obando et al. (2014) está relacionado con la precisión que se logra a través de

éste tipo de investigaciones frente al paso de la comprensión del razonamiento proporcional

“[…] como la habilidad para utilizar significativamente conceptos propios de las razones y las

40

proporciones en la solución de situaciones típicas de proporcionalidad directa a definir aspectos

cognitivos y metacognitivos implicados en este tipo de razonamiento” (p. 68)

Frente al aspecto semiótico antropológico, los autores hacen alusión a la primera mitad de la

década de los años novena como tiempo en el que se destacan dos tipos de enfoques teóricos que

proporcionan nuevas formas de abordar la investigación en didáctica de las matemáticas. Se

destaca el enfoque titulado “Teoría Antropológica de lo Didáctico” (TAD) en el que las razones,

proporciones, proporcionalidad y los números racionales se comprenden en términos de

organizaciones matemáticas complejas, aspectos propios de la teoría, las cuales están definidas

por tipos de situaciones, prácticas matemáticas, técnicas, tecnologías y teorías que estructuradas

alrededor de praxeologías. Obando et al. (2014) mencionan investigaciones realizadas por Bosch,

García y Hersant frente a la proporcionalidad dentro de la TAD.

Al respecto, los trabajos de Bosch y García, citados por Obando et al. (2014), hacen alusión a

dos elementos que desencadenan algunas problemáticas causantes de dificultades en estudiantes

de la básica frente a la comprensión de la proporcionalidad: por una parte se encuentra la

homogenidad de las propuestas para su enseñanza, centrándose en el estudio netamente numérico

y separándola de las relaciones funcionales y otras área curriculares; por otra parte se han

realizado estudios frente a la acción de los sujetos alrededor de la proporcionalidad inversa,

compuesta y directa pero no se integran estudios globales con mayor coherencia teórica, es decir,

se consideran como elementos aislados con un bajo nivel de algebrización.

Investigaciones realizadas por Hersent, citado por Obando et al. (2014) determinan dos tipos de

teorías que han permitido hacer un acercamiento a las razones, proporciones y la

proporcionalidad: Una permite describir la proporcionalidad en términos de razones y

proporciones y la otra en términos de funciones lineales. Para tal caso se evidencia una crítica

por parte de esta autora frente al hecho de que los modelos de aproximación a este objeto en la

escuela sean más aritméticos que algebraicos. Aquí es donde cobra sentido a idea de las

representaciones semióticas pues, según Hersent, se deben propiciar espacios de aprendizaje

donde se establezcan diferentes tipos de situaciones físico-empíricas a partir de marcos de

representaciones diversos (gráficos y notacionales) con el fin de que los estudiantes doten

sentido al objeto en cuestión.

41

Finalmente, Obando, et al. (2014) presenta a manera de conclusiones la importancia que debe

tener el estudios de las diferentes rupturas entre el desarrollo de la estructura aditiva y la

multiplicativa dado que “esta complejidad se evidencia en la diversidad de marcos conceptuales

elaborados para intentar comprender los conceptos, las situaciones y los procedimientos…, y en

la falta de orientaciones claras a los docentes para su acción en el aula.” (p. 72)

Por otra parte, se destacan las investigaciones realizadas por Valverde & Castro (2008, 2009,

2013), frente al empleo del análisis didáctico en un experimento de enseñanza con futuros

maestros de educación primaria, donde se establecen los conocimientos puestos en juego durante

la enseñanza de la proporcionalidad en estudiantes para profesor de primaria de la Universidad

de Costa Rica.

Al respecto, Valverde & Castro (2013) destacan la necesidad de analizar los procesos didácticos

que se generan al interior de los syllabus de formación con relación a la proporcionalidad, dado

que, este es un objeto matemático que se aborda en muchos espacios de la escuela primaria y se

establece como un punto de referencia para el desarrollo de otro tipo de objetos matemáticos

como las relaciones funcionales directas, co-variaciones, entre otros.

Existen investigaciones como las expuestas por Ball, Even, Graeber, Tirosh, y Glover, Reys,

Simon, Wheeler, citadas por Valverde et al. (2009) en torno a las dificultades que tienen los

EPM en cuanto al tratamiento y profundización sobre los objetos matemáticos y didácticos

propios en matemáticas, en este caso frente a la proporcionalidad. Ante este objeto de reflexión

didáctica, las autoras establecen la necesidad de tener una consciencia clara frente a la relevancia

que tiene el análisis de las actuaciones de los EPM en cualquier tópico de las matemáticas.

Para tal caso, Valverde et al. (2008) expresa la importancia que tiene establecer una reflexión

didáctica y pedagógica sobre la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad en el contexto

escolar, dado que es importante dentro del currículo de matemáticas, puesto que permite, la

resolución de problemas de la vida cotidiana y la construcción y desarrollo de otros objetos

matemáticos escolares. Por ende, se considera que este tipo de análisis debe ser aspecto

fundamental dentro de los procesos de formación inicial de los EPM de matemáticas.

Del mismo modo, las investigaciones realizadas por el grupo MESCUD (2005) sobre las rutas de

42

estudio y aprendizaje de las matemáticas, muestran la relación directa entre el desarrollo de la

estructura multiplicativa y el razonamiento proporcional. Al respecto, tomando como referente la

teoría de los campos conceptuales desarrollada por Vergnaud (1994), se construye y analiza una

ruta de estudio para el desarrollo de al estructura multiplicativa en estudiantes de grado séptimo

de la educación básica del Distrito Capital, cuyo motivo fundamental de análisis fueron las

interacciones entre estudiantes y docentes a propósito de las prácticas pedagógicas como

espacios dinámicos donde se llevan acabo los procesos de enseñanza y aprendizaje. Un aspecto

importante que permite nutrir el referente teórico del presente estudio está asociado con la

reflexión sobre la práctica pedagógica y didáctica al desarrollar secuencias de actividades sobre

la proporcionalidad.

De forma complementaria al estudio, el proyecto curricular LEBEM ha realizado constantes

reflexiones frente a la coherencia, conexión y complejidad entre los ejes que fundamentan la

propuesta. Al respecto se encuentran algunas reflexiones del grupo de profesores del eje de

problemas y pensamiento matemático avanzado presentadas en el Encuentro Colombiano de

Matemática Educativa (2012) sobre la forma en la que se evidencian los tres aspectos

mencionados con relación a la medida y la proporción. Al respecto, Mancera, González &

Fonseca (2012) establecen como fin fundamental del proceso de reflexión sobre la relación de

horizontalidad del eje

[…] hacer evidente las diferentes relaciones entre los espacios de formación y la progresión de los mismos a partir de los conceptos de proporcionalidad y medida, que permiten no sólo ver la relación entre los propósitos de cada espacio de formación con los del eje, sino también ver reflejados estos propósitos en acciones concretas que posibilitan el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes, a la vez que les permite reflexionar sobre la actividad matemática a través de la resolución de problemas. (p. 6)

Para tal caso, se establecen tres grandes conjuntos de espacios de formación con el fin de

analizar la forma en la que se conecta y se complejiza el desarrollo del objeto de estudio “la

medida” y “la proporcionalidad” en la formación de EPM a propósito de la correlación de los

propósitos de formación y las temáticas: Conjunto I, integrado por los EF de problemas

aritméticos I, problemas aritméticos II, problemas aritméticos III y problemas de álgebra

geométrica; Conjunto II, conformado por matemática del movimiento I, matemática del

movimiento II, matemática del movimiento III y taller de ciencias; Conjunto III: integrado por

43

problemas del continuo, problemas de aleatoriedad, extensiones numéricas y validez y modelos.

Con relación a las reflexiones que Mancera et al. (2012) presentan sobre cada conjunto de

espacios de formación, se contempla lo siguiente: En el conjunto I, según el grupo de profesores,

se apunta a consolidar algunas nociones, significados y representaciones que fundamentan la

construcción de la proporcionalidad y la elaboración de significados en torno a la medida. En el

Conjunto II se lleva a que los EPM reflexionen sobre la proporcionalidad y a la medida desde el

estudio complejo de la razón de cambio donde emergen las relaciones variacionales dándole

dinamicidad a los objetos y sus relaciones. En cuanto al conjunto III, la determinante está

asociada al tratamiento que se da al objeto “medida” y “proporción” desde su extrapolación

abstracta a otro tipo de objetos como es estudio de los espacios métricos, topológicos,

vectoriales, entre otros.

Desde la construcción, elaboración de estructuras, relaciones entre los mismos, formalización del

lenguaje presente se propende por el desarrollo del pensamiento avanzado a partir del conjunto

III, entendido como el pensamiento encargado de generalizar, demostrar, formalizar, aplicar y

modelar matemáticamente situaciones que conviven con elementos de un cierto grado de

abstracción, donde se estudian otro tipo de representaciones a las ya conocidas por los EPM,

cognitivamente hablando, que complejizan tanto el objeto matemático como su comprensión.

Finalmente, a manera de conclusión Mancera et al. (2012) afirman que los objetos matemáticos a

medida que se van abordando en los EF del eje se van robusteciendo gracias a la relación con

otros y a su fenomenología en distintos contextos, por ejemplo, el tratamiento del número ½, que

se puede ver como fracción, como número racional (clase de equivalencia), como expresión

equivalente a 50%, como la probabilidad de ocurrencia de un evento, como razón, como

operador escalar o funcional, como elemento geométrico, entre otros; y en cada representación se

requiere de otros elementos que lo van haciendo cada vez más complejo, como es el caso de la

medida y la proporción.

En cuanto a la reflexión al interior del proyecto LEBEM sobre la enseñanza de la

proporcionalidad, según el Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010), a través del

los diferentes espacios de formación (EF) del eje de didáctica, los EPM realizan un acercamiento

al análisis de elementos, estrategias, dificultades, estudio de obstáculos epistemológicos y de tipo

44

didáctico frente a los objetos matemáticos que se han abordado desde el eje de problemas y

pensamiento matemático avanzado, de tal forma que la reflexión permanente sobre el quehacer

en el aula frente a los procesos de diseño, gestión y evaluación de actividades, secuencias y/o

tipos de problemas para el tratamiento de un determinado objeto, hace parte del propósito de

formación del eje en cuestión. Por ende, se esperará que los EPM implementen todo un

constructo de conocimientos pedagógicos, didácticos y matemáticos desarrollados,

comprendidos y reflexionados al interior de los diferentes espacios de formación de los ejes de

didáctica, problemas y pensamiento matemático avanzado y contextos profesionales en los

espacios articuladores e integradores de la práctica docente.

2.2. Referentes Metodológicos

La propuesta metodológica utiliza dos técnicas de investigación documental y de contenido

textual como son: el Análisis Cualitativo de Contenido (ACC) y Teoría Fundamentada en los

Datos (TFD). Combinadas y articuladas ellas permiten la identificación, descripción y

caracterización de las concepciones que tienen los EPM sobre la enseñanza de la

proporcionalidad.

Esta investigación realiza el estudio en la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en

Matemáticas (LEBEM) de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Centra el estudio en

el análisis de: las producciones encontradas en las unidades didácticas que son elaboradas por los

EPM cuando cursaron el espacio de formación de práctica intensiva durante los semestres 2013-

1 y 2014-2; las producciones de los docentes de la LEBEM encontradas en los syllabus de los

espacios de formación (EF) cuando hacen referencia a la enseñanza de la proporcionalidad; y las

producciones orales de los profesores y los EPM que construyeron dichos documentos.

A continuación se realiza una descripción de los procesos que se llevarán a cabo relacionando las

técnicas de investigación documental nombradas anteriormente:

2.2.1. Identificación Organizativa de los textos

Para el estudio de los documentos se establece una relación entre las técnicas de Teoría

Fundamentada en los Datos y le Análisis Cualitativo de Contenido ya que a partir de una primera

lectura de los documentos recolectados se realiza una codificación abierta de unidades de

45

muestreo entendidas como “porciones de la realidad observada o de la secuencia de expresiones

de la lengua fuente, que se consideran independientes unas de otras” (Kripendorff, 1990, p. 82)

en las cuales se evidencia una estructura organizativa de los textos y se define por tanto la

existencia de información pertinente y suficiente para el desarrollo de la investigación.

Lo anterior permite definir las unidades de muestreo que corresponde, de acuerdo a los

planteamientos de Kripendorff (1990) y Abela (2003), al conjunto total de textos disponibles y

pertinentes para el proceso de investigación. Este proceso implica una lectura extensiva

(gramática-descriptiva del contenido de los textos) en la que es posible una identificación y

descripción primaria de la estructura organizativa de los textos, el hallazgo de planos de análisis,

niveles de rangos de expresión didáctica y rasgos comunes y la definición de los documentos

estudiados.

2.2.2. Identificación y descripción de expresiones escritas sobre la enseñanza de la

proporcionalidad en los textos

Para la identificación de los elementos asociados a expresiones explícitas que se puedan

encontrar en los textos que apunten a la descripción y caracterización de las concepciones de los

EPM sobre la enseñanza de la proporcionalidad, se realiza una focalización de la información a

partir de los procesos didácticos diseño, gestión y evaluación, como los aspectos esenciales en el

análisis de los documentos escogidos en la primera fase, para ello se plantea una codificación

axial de los textos.

En esta fase se definen unidades de registro entendidas como “partes de una unidad de muestreo

que es posible analizar de forma aislada. Son resultado de un trabajo descriptivo”. De éste modo,

resulta un subconjunto de unidades de análisis de la primera reducción de la información. Ellas

son descritas como referidas a la determinación de elementos focalizados y característicos del

contenido de los textos que están relacionados al contexto de la investigación: Unidades

didácticas de la práctica intensiva elaboradas entre los semestre 2013-1 y 2014-2 que abordan y/o

privilegian en su informe la enseñanza de la proporcionalidad y los syllabus de los espacios de

formación del proyecto curricular LEBEM que abordan el objeto proporcionalidad; determinadas

a través de una lectura descriptiva y global sobre su estructura.

46

Una vez seleccionadas las unidades de registro, se realiza la identificación de citas (expresiones

escritas) en cada uno de los apartados de la unidad de registro (documentos seleccionados como

unidades que brindan información suficiente y pertinente respecto al foco de estudio) con el fin

de determinar una serie de nuevas unidades, tipificadas como unidades de contexto. Éstas son

entendidas como “aquella porción del material simbólico que debe examinarse para caracterizar

a la unidad de registro… permiten extraer significados” (Kripendorff, 1990, p. 85) estipuladas

por medio de corchetes y definidas como “citas”. Así mismo, estas unidades no necesitan ser

independientes ni descriptibles de forma aislada, pueden superponerse.

Según la categoría y sub-categoría a la que pertenezcan con el color asociado a la misma se

realiza la respectiva identificación de expresiones, se comienza con una descripción particular de

cada una y finalmente, se realiza una descripción global agrupándolas por conjuntos. Este

segundo proceso conformará la descripción global sobre las expresiones encontradas a lo largo

del diseño, gestión y evaluación para cada categoría.

2.2.3. Caracterización de las concepciones locales-subjetivas y locales-

epistemológicas

Finalmente, en la última fase, con base a la teoría fundamentada en los datos, se plantea una

comparación entre los conjuntos de descripciones de cada sub-categoría que se generaron para

las unidades didácticas seleccionadas (expresiones que hacen alusión a las concepciones

subjetivas) y los syllabus de los espacios de formación seleccionados (expresiones que hacen

alusión a las concepciones epistemológicas). Nuevamente se realiza una comparación de los

conjuntos de descripción entre las dos fuentes de información con el fin de establecer aspectos

comunes y no comunes de las mismas, lo que permitirá una aproximación a las concepciones

globales que los EPM tienen sobre la enseñanza de la proporcionalidad.

Este proceso de relación entre los datos emergentes del proceso de codificación y agrupamiento

de descripciones apuntará a la caracterización de las concepciones locales-subjetivas y locales-

epistemológicas sobre la enseñanza de la proporcionalidad.

47

2.3. Fuentes de Recolección de Información

Teniendo en cuenta que en esta investigación se realiza un análisis de contenido textual en torno

a las concepciones de los EPM alrededor de los procesos didácticos (diseño, gestión y

evaluación), se indagan los siguientes textos que permiten dar cuenta de las expresiones que

hacen referencia a concepciones subjetivas y epistemológicas sobre la enseñanza de la

proporcionalidad.

El proceso de recolección de datos se realizó teniendo presentes las fuentes de información antes

mencionadas, la implementación y selección de registros de cada una de ellas. A continuación se

describe el proceso desarrollado:

2.3.1. Unidades Didácticas del espacio de formación de la práctica intensiva

Para el proceso de investigación son considerados los productos finales del EF de práctica

intensiva estipulada en la organización curricular del proyecto LEBEM como la última práctica

propuesta en la formación inicial del EPM. Dichos productos finales son llamados unidades

didácticas, en las cuales se evidencia un reporte sobre el diseño, gestión y evaluación de una

secuencia de actividades realizada en una institución de carácter público con el fin de desarrollar

la enseñanza de un(os) objeto(s) matemático(s) específico(s). Se ha determinado seleccionar el

conjunto de unidades didácticas elaboradas durante la práctica intensiva entre los semestre 2013-

1 y 2014-2 ya que dichos estudiantes fueron los primeros en ser formados bajo la figura de

créditos académicos. Cada unidad Didáctica está codificada como [UD] precedida de una

numeración estipulada para la investigación.

2.3.2. Syllabus espacios de formación LEBEM

Los syllabus de los espacios de formación considerados como planes para un curso completo.

Este plan suele incluir las metas y justificaciones del curso, los temas cubiertos, los recursos

utilizados, las tareas asignadas y las estrategias de evaluación recomendadas. En ocasiones los

syllabus de los espacios de formación también incluyen los objetivos y las actividades de

aprendizaje y las preguntas de estudio. En consecuencia el syllabus representa el plan para un

curso con elementos de los fines y los medios del curso. (Posner, 2005)

48

En este sentido, se recolectan un total de 40 syllabus de los espacios de formación que hacen

referencia a los cuatro ejes de formación que sustentan la propuesta. El código de descripción

global de dichos textos comienza por el código [LEBEM] precedido de la letra que constituye la

asignación del eje: Problemas y pensamiento matemático avanzado [PPMA], didáctica [DI],

práctica [PR] y contextos profesionales [CO]. Para cada texto se le asigna un número que

permite la organización de los documentos.

2.4. Categorías de Análisis

Con el fin de identificar, describir y caracterizar las concepciones que tienen los EPM sobre la

enseñanza de la proporcionalidad, se utilizan dos categorías que surgen del proceso de revisión

teórica, para cada una se determinan cuatro sub-categorías como se muestra en la siguiente tabla:

CATEGORÍA SUB-CATEGORÍA UNIDADES DE ANÁLISIS

CO

NC

EPC

ION

ES L

OC

ALE

S-SU

BJE

TIV

AS

Comprensión de los estudiantes: Modo cómo los estudiantes aprenden o aprenderían, comprenden o comprenderían ideas y/o nociones asociadas a la proporcionalidad, sus posibles malentendidos y/o dificultades.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en la UD.

Estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el EPM asociadas al proceso de enseñanza de la proporcionalidad.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre la enseñanza de la proporcionalidad en la UD.

Tipos de situaciones y/o problemas que propone el EPM en su unidad didáctica para enseñar proporcionalidad.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre situaciones, ejercicios, problemas emergentes y/ó prediseñadas para enseñar proporcionalidad en la UD.

Referentes bibliográficos que usan los EPM asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación sobre el uso de referentes bibliográficos asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad en la UD.

CO

NC

EPC

ION

ES L

OC

ALE

S-EP

ISTE

MO

LÓG

ICA

S

Comprensión de los EPM: Modo cómo los EPM aprenden o aprenderían, comprenden o comprenderían ideas y/o nociones asociadas a la proporcionalidad, sus posibles malentendidos y/o dificultades.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen alusión al aprendizaje de la proporcionalidad en el EF.

Estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el docente del EF asociadas al proceso de enseñanza de la proporcionalidad.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen alusión a la enseñanza de la proporcionalidad en el programa del EF.

Actividades, tipos de situaciones y/o problemas que propone el docente del EF en su programa de formación para enseñar proporcionalidad.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen alusión a situaciones, ejercicios, problemas para enseñar proporcionalidad en el programa del EF.

49

Referentes bibliográficos que usan los docentes de los espacios de formación asociados a la enseñanza de la proporcionalidad.

Expresiones que hacen referencia al diseño, la gestión o la evaluación y hacen uso de referentes bibliográficos asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad en el programa del EF.

Tabla No. 1: Descripción de las categorías y sub-categorías para el análisis de la información.

Dicha tabla de categorías será tomada en cuenta a lo largo del proceso de análisis de la

información con el fin de lograr caracterizar las concepciones de los EPM sobre la enseñanza de

la proporcionalidad.

50

3 . DESARROLLO METODOLÓGICO

3.1. Selección de Unidades de Análisis

3.1.1. Recolección y Organización de las Unidades de Análisis

Los criterios de selección de información y recolección de los textos que se tuvieron en cuenta

toman algunos aspectos mencionados por Krippendorff (1990), quien plantea que los

documentos deben ser seleccionados de acuerdo a criterios temporales y estructurales como los

definidos en el capítulo No. 1 del presente trabajo de investigación. En este sentido, las

concepciones que tienen los EPM sobre la enseñanza de la proporcionalidad, desde la

perspectiva de Ruíz (1994), están compuestas por dos tipos: Concepciones locales-subjetivas y

concepciones locales-epistemológicas.

Para recolectar y seleccionar los documentos que permiten analizar las concepciones locales-

subjetivas (conforman los sistemas de creencias en los sujetos) se toman en cuenta las Unidades

Didácticas (UD) escritas por los EPM entre los semestres 2013-1 y 2014-2 que se encuentran en

el laboratorio de didáctica del proyecto curricular LEBEM de la Facultad de Ciencias y

Educación de la Universidad Distrital. Para el caso de las concepciones locales-epistemológicas

(aspectos curriculares que se declaran en los syllabus de formación) se toman en cuenta los

documentos escritos de tipo curricular del programa de formación LEBEM, en éste caso, los

syllabus de los espacios de formación declarados como básicos obligatorios dentro del plan de

estudios del proyecto curricular de formación inicial presentados para el último proceso de

acreditación, año 2010. De ésta manera, se define cada documento como unidad de análisis que

51

permitirá identificar y describir las concepciones locales (epistemológicas y subjetivas) con el fin

de llegar a la caracterización de las concepciones globales, a través del análisis comparativo de

ambos tipos de concepciones como se muestra en el Esquema No. 1.

Los documentos fueron organizados a través de un proceso de codificación inicial. Se definen los

códigos de identificación de los documentos de la siguiente manera: para las unidades didácticas,

entre corchetes se usa la sigla UD, precedida de un número que designa un orden conforme al

semestre en el cual fue presentada cada una. En cuanto a los documentos asociados a los syllabus

de los diferentes espacios de formación del proyecto curricular LEBEM, se asigna una sigla entre

corchetes que identifica al programa de formación con el respectivo eje al que pertenece

precedido por un número conforme al orden estipulado por el documento de Acreditación y

Autoevaluación (2010).

Imagen No. 1: Esquema selección de unidades de análisis.

3.1.2. Criterios de selección y reducción de la información.

A continuación se realiza una descripción detallada de los documentos recopilados:

Para el caso de las concepciones locales-subjetivas, se compilan las Unidades didácticas [UD]

elaboradas por los EPM como informe final en el espacio de formación de Práctica intensiva (IX

52

semestre). Se establece como parámetro de reducción de información temporal, las [UD]

realizadas entre los semestres 2013-1 y 2014-2.

Para la reducción y selección inicial de los documentos se realiza una organización en unidades

de muestreo (Ver Anexo No. 1) que corresponde, de acuerdo a los planteamientos de Lurduy

(2013), al conjunto total de textos disponibles. A partir de una lectura extensiva (gramática-

descriptiva del contenido) se realiza una identificación y descripción de la estructura organizativa

común de los textos y la definición de los documentos a estudiar, en éste caso, de 19 unidades

didácticas preseleccionadas por el criterio de reducción temporal. (Ver Imagen No. 2).

Imagen No. 2: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de las unidades didácticas.

Al realizar una lectura global y determinar la estructura organizativa, se encontraron los

siguientes apartados comunes: Justificación de la unidad, objetivos (generales y específicos),

problema motivo de investigación, pregunta(s) orientadora(s), matriz o malla de planeación de

actividades, ideograma y/o ruta de aprendizaje, marco teórico, diseño secuencia de actividades,

protocolos reportes de lo acontecido en el aula, evaluación de la secuencia y/o unidad,

reflexiones finales, conclusiones finales.

Con el fin de reducir el número de unidades didácticas para poder hacer un análisis más profundo

sobre aquellas que trabajen la enseñanza de la proporcionalidad, entendidas como unidades de

contexto, se definen dos criterios: Criterio de suficiencia y criterio de pertinencia, desde los

planteamientos metodológicos desarrollados por Lurduy (2013) así:

53

• Criterio de suficiencia (Cantidad de información apta): Dicho criterio hace alusión a las

unidades de análisis que, en sus diferentes apartados hagan una mayor alusión explícita a

la proporcionalidad, los procesos de enseñanza y/o aprendizaje de la misma, dificultades

en su tratamiento en el aula, entre otros.

• Criterio de pertinencia (Información adecuada): Este criterio hace referencia al nivel de

generalidad, coherencia y expresión gramática que se evidencia al interior de los

apartados de la unidad de análisis sobre la proporcionalidad, los procesos de enseñanza

y/o aprendizaje de la misma, dificultades en su tratamiento en el aula, entre otros.

De este modo, se construye una matriz de valoración (ver imagen No. 3) para cada uno de los

doce apartados que componen la UD tomando en cuenta los dos criterios mencionados

anteriormente.

Imagen No. 3: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de justificación de las unidades didácticas.

Luego se procede a realizar una lectura intensiva para cada uno de los apartados que componen

las unidades preseleccionadas haciendo uso de la matriz de valoración que se muestra en la

imagen No. 2. A continuación se explica el significado de la valoración cuantitativa para cada

apartado del documento:

• Valoración NA: la sigla refiere a que la unidad de muestreo no contiene el apartado a ser

evaluado, por ende no aplica para una valoración.

• Valoración de 1: No se evidencian expresiones escritas sobre el desarrollo de procesos de

enseñanza y/o aprendizaje de un objeto matemático ó las matemáticas en general. No

54

cumple el criterio de suficiencia, por lo tanto no hay posibilidad de valoración sobre la

pertinencia de la información en el apartado.

• Valoración de 2: Hay expresiones escritas sobre el desarrollo de procesos de enseñanza

y/o aprendizaje de un objeto matemático ó las matemáticas en general y, en cuanto la

pertinencia, no hay claridad respecto a la coherencia del apartado con relación a la

enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad.

• Valoración de 3: Hay expresiones escritas sobre el desarrollo de procesos de enseñanza ó

aprendizaje de la proporcionalidad, por lo tanto cumple con el criterio de suficiencia

pero en cuanto al criterio de pertinencia, solamente hace referencia a la enseñanza ó al

aprendizaje manteniendo una coherencia frente a la relación directa entre el nombre del

apartado y su contenido textual.

• Valoración de 4: Cumple el criterio de suficiencia en cuanto se evidencian expresiones

escritas sobre el desarrollo de procesos de enseñanza y/ó aprendizaje de la

proporcionalidad. Respecto al criterio de pertinencia, las expresiones hacen referencia a

la enseñanza y al aprendizaje manteniendo una coherencia frente a la relación directa

entre el nombre del apartado y su contenido textual.

De esta manera, se le asigna una puntuación a cada apartado y se promedian dichos valores como

se muestra en la imagen No. 4.

Imagen No. 4: Ejemplo de valoración realizada por apartados de las unidades didácticas.

55

Una vez valoradas las 19 unidades preseleccionadas (ver Tabla No. 2), se escogen las unidades

de muestreo que mayor puntaje obtuvieron, definiéndose tres unidades de contexto: La unidades

con códigos [UD-08] [UD-09] [UD-10] con puntajes de 2.8, 2.5 y 2.7 respectivamente.

• [UD-08] es una unidad didáctica efectuada en el semestre 2014-2, implementada con

estudiantes de quinto de primaria, aborda el desarrollo del pensamiento variacional,

geométrico-espacial, estadístico y usa como modelo de secuencia didáctica la teoría de

situaciones didácticas (TSD). Los contenidos centrales de la unidad están asociados a

polígonos y poliedros, área y volumen, recolección de datos, representaciones y medidas

de tendencia central, multiplicación y división de números decimales, fracción como

parte-todo.

• [UD-09] es una unidad didáctica efectuada en el semestre 2014-2, implementada con

estudiantes de tercero de primaria, aborda el desarrollo del pensamiento numérico,

geométrico, estadístico y usa como modelo de secuencia didáctica la teoría de situaciones

didácticas (TSD). Los contenidos centrales de la unidad están asociados a división de

números naturales, razones y proporciones, proporcionalidad directa e inversa,

fracciones, adición y sustracción de fracciones, recolección y organización de datos,

gráficos estadísticos.

• [UD- 10] es una unidad didáctica efectuada en el semestre 2014-2, implementada con

estudiantes de quinto de primaria, aborda el desarrollo del pensamiento numérico,

variacional, espacial y usa como modelo de secuencia didáctica al grupo DECA. Los

contenidos centrales de la unidad están asociados a sólidos geométricos, volumen,

adición, sustracción, producto y división de decimales, regla de tres simple e inversa,

recolección y organización de datos, gráficos estadísticos.

CODIGO

ASIGNADO CÓDIGO

LABORATORIO PUNTAJE CODIGO ASIGNADO

CÓDIGO LABORATORIO PUNTAJE

[UD-4] 210 2,2 [UD-15] 212 2,0

[UD-5] 213 2,5 [UD-16] 214 2,0

[UD-8] 429 2,8 [UD-17] 427 2,0

[UD-9] 430 2,7 [UD-18] 433 2,0

[UD-10] 432 2,5 [UD-19] 446 2,0

56

[UD-11] 441 2,0 [UD-20] 449 2,0

[UD-12] 452 2,0 [UD-21] 455 2,0

[UD-13] 459 2,1 [UD-22] 456 2,0

[UD-14] 21 2,0 [UD-23] 457 2,0

[UD-24] 458 2,0 Tabla No. 2: Resultados sobre valoración realizada por apartados de las unidades didácticas.

Por otra parte, para el caso de las concepciones locales-epistemológicas, se compilan los syllabus

de los espacios de formación del proyecto curricular de LEBEM, declarados como básicos

obligatorios dentro del plan de estudios del proyecto curricular presentados para el proceso de re-

acreditación, año 2010, puesto que en ellos se fundamentan los propósitos y los objetivos con los

cuales se organizan y desarrollan los espacios de formación correspondientes a cada uno de los

ejes de formación.

La reducción y selección inicial de los documentos se realiza con base en una revisión del

pensum del programa de formación (Ver Anexo No. 5). Al interior del proyecto curricular

LEBEM se oferta un total de 40 EF considerados como espacios obligatorios referidos a la

formación profesional de un profesor de matemáticas. Estos espacios están organizados en cuatro

ejes de formación: Problemas y Pensamiento Matemático Avanzado, Didáctica, Práctica docente

y Contextos Profesionales (Ver Tabla No.3).

ESPACIOS DE FORMACION PROYECTO CURRICULAR LEBEM

SEM.

EJE DE PROBLEMAS

EJE DE DIDACTICA EJE DE PRACTICA EJE DE

CONTEXTOS Código

Espacio de Formación

No. Créd.

Código Espacio de Formación

No. Créd.


No. Créd.


No. Créd.

I [PPMA-01] 4 [DI-01] 4 [PR-01] 2 [CO-01] 3 II [PPMA-02] 4 [DI-02] 4 [PR-02] 2 [CO-02] 3

III [PPMA-03] 3 [DI-03] 4 [PR-03] 2 [CO-03] [CO-04]

3 2

IV [PPMA-04] 4 [DI-04] 4 [PR-04] 3 [CO-05] 3

V [PPMA-05] [PPMA-06]

4 1 [DI-05] 5 [PR-05] 3 [CO-06] 3

VI [PPMA-07] [PPMA-08]

3 3 [DI-06] 5 [PR-06] 3 [CO-07] 3

VII [PPMA-09] [PPMA-10]

2 3 [DI-07] 4 [PR-07] 3

57

VIII [PPMA-11] [PPMA-12]

2 3

[PR-08] 4 [CO-08] 2

IX [PR-09] [PR-10]

4 2

X [PPMA-13] 3 [DI-08] 3 [PR-11] 3 TOT. 39 33 31 22

Tabla No. 3: Organización Espacios de Formación Proyecto Curricular LEBEM.

Cada uno de estos ejes es descrito en el documento de reacreditación (2010) de la siguiente

manera:

• Eje de problemas y pensamiento matemático avanzado: Se busca que el EPM esté en

capacidad de “conocer, cuestionar y transformar las concepciones reduccionistas sobre las

matemáticas escolares, hacia presupuestos abiertos y de resolución de problemas” (Polya,

citado en Documento de Re-acreditación y Autoevaluación, 2010, p. 8). Así mismo, el interés

de los diferentes EF del eje propenden por el desarrollo de la reflexión sobre su práctica

como resolutor de problemas de matemáticas. Estas reflexiones deben ir no solo sobre las

matemáticas y la naturaleza de las mismas, sino que también sobre en la capacidad de

entender, interpretar y complejizar las producciones propias, de sus compañeros y por

supuesto de sus estudiantes de la práctica docente y sus futuros estudiantes como profesores

en ejercicio.

• Eje de didáctica: Considera como objeto de estudio y reflexión distintas perspectivas teóricas

que intentan explicar, describir y/o comprender los procesos de enseñanza y aprendizaje de

las matemáticas. Al interior del eje, cada uno de los EF se desarrollan sobre el trabajo en

torno a la conceptualización sobre los procesos que intervienen para el aprendizaje, la

enseñanza y la evaluación del conocimiento matemático en un determinado espacio escolar.

Si bien aborda la didáctica de las matemáticas desde didácticas específicas (de la aritmética,

del álgebra, de la geometría, de la variación, de la estadística, entre otras).

• Eje de práctica docente: Propende por la contribución al desarrollo del CDC de los EPM en

contextos de aprender a enseñar matemáticas para la educación básica en forma de

conocimiento práctico y razonamiento pedagógico. Así mismo, apoya la construcción de un

el modelo de profesor reflexivo y crítico de su práctica docente y, desde lo que se declara en

el Documento de Re-acreditación y Autoevaluación (2010,) contribuye a la transformación

58

de las concepciones que tiene el EPM sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática a

partir de la integración que se hace en la práctica docente de los distintos saberes

pedagógicos y didácticos que conforman el conocimiento profesional del profesor de

matemáticas. Por otra parte promueve entre los EPM procesos de innovación e investigación

en el aula a partir del desarrollo y sistematización de secuencias de enseñanza.

• Eje de contextos profesionales se orienta a los EPM frente a sus acciones en la constitución

del ellos profesores, con identidad profesional construida a partir de: conocer los saberes y

relaciones propios de la pedagogía, el reconocimiento del compromiso ético, social, cultural,

económico y político que tiene la profesión docente, conocer la política educativa nacional e

internacional como una forma de elaborar posturas propias sobre las perspectivas educativas

y la visión de futuro en nuestra sociedad, y el reconocimiento de las características,

complejidades y particularidades del contexto escolar, como espacio de realización de la

práctica pedagógica.

A partir de una lectura extensiva (gramática-descriptiva del contenido de los textos) se realiza

una identificación y descripción de la estructura organizativa común de las 40 unidades de

muestreo y la definición de los documentos a estudiar, como se muestra en la imagen No. 5.

Imagen No. 5: Ejemplo identificación y organización sobre la estructura de los syllabus de los espacios de

formación.

Al realizar una lectura global y determinar la estructura organizativa, se encontraron los

siguientes apartados comunes en los syllabus: Introducción/presentación, propósitos de

formación y/o objetivos, justificación, problema y/o preguntas, marco de referencia, núcleos

temáticos y/o contenidos, metodología, evaluación general, referencias bibliográficas. Con el fin

59

de reducir la información obtenida por los unidades de muestreo para seleccionar los syllabus de

formación que aborden la enseñanza de la proporcionalidad, entendidos como unidades de

contexto, se recurre a los criterios de suficiencia y pertinencia definidos anteriormente. Así

mismo, se construye una matriz de valoración (ver imagen No. 6) para cada uno de los nueve

apartados que componen los syllabus de los espacios de formación.

Imagen No. 6: Ejemplo matriz de valoración para el apartado de temáticas de los syllabus de formación.

Luego se procede a realizar una lectura a profundidad para cada uno de los apartados que

componen las unidades de muestreo haciendo uso de la matriz de valoración que se muestra en la

imagen No. 6. De esta manera se le asigna una puntuación promedio a cada unidad de muestreo

conforme a la valoración efectuada por apartado como se muestra en la imagen No. 7.

Imagen No. 7: Ejemplo de valoración realizada por apartados de los syllabus de formación.

Finalmente, una vez valoradas las 40 unidades de muestreo (ver Tabla No. 4), se escogen las

unidades que mayor puntaje obtuvieron, definiéndose tres unidades de contexto: La unidades con

códigos [DI-02] [DI-03] y [PPMA-02] con puntajes de 2.5, 2.3 y 2.8 respectivamente.

60

• [DI-02] Está asociado al eje de didáctica, hace referencia al programa del espacio de

formación de “Didáctica de la Aritmética II”. Las temáticas estipuladas en el documento

son: Clasificación y evolución de los juegos. El juego y el desarrollo del pensamiento del

niño. Los juegos estructurados y el desarrollo de sentido numérico. Las situaciones

aditivas y sus demandas cognitivas. Las situaciones multiplicativas y sus demandas

cognitivas. La proporcionalidad y el desarrollo de las magnitudes. Las operaciones

aritméticas. Las propiedades de los números y la construcción de sistemas numéricos.

Etapas en el aprendizaje de las operaciones. La modelación y las situaciones

multiplicativas y aditivas. El desarrollo de los algoritmos. El razonamiento inductivo. Los

procesos de generalización. Reformas curriculares 1903 -1950. Situaciones y recursos

didácticos. Los problemas aritméticos. Los materiales didácticos: Potencialidades y

limitaciones. Abaco, regletas, calculadora, pentominos. Los diseños didácticos.

• [DI-03] Está asociado al eje de didáctica, hace referencia al programa del espacio de

formación de “Transición Aritmética- Álgebra”. Las temáticas estipuladas en el

documento son: La letra como incógnita (simbolización y manipulación de la incógnita y

formulación de ecuaciones), sistemas de ecuaciones, sucesiones y series. Ecuaciones de

variable entera. Requerimientos epistemológicos, cognitivos e interacciónales para el

desarrollo de pensamiento algebraico desde pensamiento multiplicativo ligado a unidades

múltiples, Universos densos, desarrollo de pensamiento algebraico desde pensamiento

multiplicativo ligado a unidades similares. Sistemas de ecuaciones lineales; Locus,

cónicas y su algebraización; algunos aspectos de linealidad; problemas de transporte.

• [PPMA-03] Está asociado al eje de problemas y pensamiento matemático avanzado, hace

referencia al programa del espacio de formación de “Problemas Aritméticos II”. Las

temáticas estipuladas en el documento son: Bases para los números racionales, problemas

de medición de áreas, razón, proporción y proporcionalidad, teorema de Thales, teorema

de Pitágoras, construcción conjuntista de los números enteros y racionales.

PROGRAMA VAL. PROGRAMA VAL. PROGRAMA VAL. PROGRAMA VAL. [PPMA-01] 2,0 [PPMA-11] 2,0 [DI-08] NA [PR-02] 1,2 [PPMA-02] 2,0 [PPMA-12] 2,0 [CO-01] 1,0 [PR-03] NA [PPMA-03] 2,8 [PPMA-13] 2,0 [CO-02] 1,0 [PR-04] 2,0

61

[PPMA-04] 2,0 [DI-01] 2,0 [CO-03] 1,0 [PR-05] 2,0 [PPMA-05] 2,0 [DI-02] 2,5 [CO-04] 1,0 [PR-06] 2,0 [PPMA-06] NA [DI-03] 2,3 [CO-05] 1,0 [PR-08] 2,0 PPMA-07] 2,0 [DI-04] 2,0 [CO-06] 1,0 [PR-09] 2,0 [PPMA-08] 2,1 [DI-05] 2,0 [CO-07] 1,0 [PR-10] NA [PPMA-09] 2,0 [DI-06] NA [CO-08] 1,0 [PR-11] NA [PPMA-07] 2,0 [DI-07] 2,0 [PR-01] 1,0

Tabla No. 4: Resultados sobre valoración realizada por apartados de los syllabus de formación.

3.2. Identificación y descripción de expresiones escritas en las unidades de contexto

seleccionadas

Una vez identificadas las unidades de contexto de la investigación a tener en cuenta para el

análisis de las concepciones locales-subjetivas, [UD-08], [UD-09], [UD-10], y locales-

epistemológicas, [DI-02] [DI-03] y [PPMA-03]; se realiza una codificación por colores según las

cuatro sub-categorías, definidas desde la revisión teórica que se planteó en el capítulo anterior,

con el fin de realizar una identificación de expresiones textuales que están asociadas a dichas

sub-categorías respecto al reporte declarado sobre el diseño, la gestión y evaluación de

actividades para cada uno de los apartados de los documentos seleccionados.

Para el caso de la identificación de expresiones textuales presentadas en la unidades didácticas

seleccionadas, las sub-categorías que se relacionan con el diseño se determinaron desde el

apartado declarado como “diseño de actividades”, las que se asocian a la gestión desde el

apartado declarado como “reporte de protocolos sobre actividades implementadas” y, para el

caso de la evaluación, se recurrió a la observación de los apartados titulados como evaluación en

el diseño de las actividades, el apartado de evaluación en el reporte de los protocolos y la

evaluación final de la unidad didáctica (Ver Anexo No. 2, No. 3 y No. 4).

Respecto a la identificación de las expresiones textuales presentadas en los syllabus de los

espacios de formación seleccionados, las sub-categorías que se asocian al diseño se determinaron

a partir de los apartados declarados como objetivos/presentación, justificación, metodología,

temáticas/contendidos y recursos; las que se relaciona con evaluación se determinaron desde el

apartado declarado como evaluación (Ver Anexo No. 6, No. 7 y No. 8).

62

Así mismo, los criterios que permitieron identificar las expresiones textuales, denominadas como

citas, en cada una de las unidades de contexto se establecen desde el análisis gramático-textual

de las expresiones: Aquellas que hacen alusión al aprendizaje de los estudiantes, desde lo

textualmente declarado, están catalogadas con el código [EA]; aquellas que están relacionadas

con la enseñanza, acciones que el profesor realizó o realizará con el fin de promover un

ambiente de aprendizaje sobre la proporcionalidad estarán catalogadas con el código [EE]; las

expresiones que describen textualmente problemas y/o situaciones que el docente propone o

que surgen en el contexto de la clase para trabajar proporcionalidad están etiquetadas con el

código [ES] y, finalmente, las expresiones textualmente declaradas donde se hace uso de algún

tipo de referente teórico, didáctico y/o matemático para justificar, argumentar, reportar y/o

ejemplificar alguna situación referida a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad están

etiquetadas con el código [ER].

Todas las citas identificadas con el respectivo código según la sub-categoría a la que pertenezcan

están precedidas por una letra mayúscula según su ubicación en el documento: si hacen parte del

apartado de diseño de actividades tendrán la letra [D], gestión a través del reporte de los

protocolos sobre lo acontecido en la clase tendrán la letra [G] y sobre la evaluación, tendrán la

letra [E] (Ver tabla No. 5). Finalmente, se hace una asignación numérica ordinal conforme a la

lectura a profundidad del documento, el código completo se estipula en corchetes.

SUB-CATEGORÍA CÓDIGO

Comprensión de los estudiantes: Modo cómo los estudiantes aprenden o aprenderían, comprenden o comprenderían ideas y/o nociones asociadas a la proporcionalidad, sus posibles malentendidos y/o dificultades.

Diseño [EA-D- ]

Gestión [EA-G- ]

Evaluación [EA-E- ]

Estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el EPM asociadas al proceso de enseñanza de la proporcionalidad.

Diseño [EE-D- ]

Gestión [EE-G- ]

Evaluación [EE-E- ]

Tipos de situaciones y/o problemas que propone el EPM en su unidad didáctica para enseñar proporcionalidad.

Diseño [ES-D- ]

Gestión [ES-G- ]

Evaluación [ES-E- ]

Referentes bibliográficos asociados a la enseñanza y/o aprendizaje de la proporcionalidad.

Diseño [ER-D- ]

Gestión [ER-G- ]

63

Evaluación [ER-E- ]

Tabla No. 5: Tabla de identificación por colores y códigos de las sub-categorías

A manera de ejemplo, en la Imagen No. 8, se presenta una cita identificada en la unidad de

contexto [UD-08] que corresponde a la sub-categoría relacionada con las expresiones asociadas a

las estrategias didácticas propuestas y/o ejecutadas por el EPM asociadas al proceso de

enseñanza de la proporcionalidad observada en el diseño de actividades con la asignación

numérica respectiva.

[Inicialmente se llevaran unas pelotas y unos frijoles, se hará la simulación de que se “venderán” las pelotas o frijoles, a cualquier estudiante, con el fin de involucrarlos en la actividad, se buscaran ejemplos, para que puedan comprender la regla tres simple después se darán a resolver dos ejercicios con la regla de tres simple a partir de la actividad realizada.] (p. 15, descripción de la actividad 1)

[UD-08][EE-D-03] Imagen No. 8: Ejemplo de identificación de expresiones en las unidades de contexto según las sub-categorías

estipuladas.

Una vez se realiza la identificación de las expresiones según las sub-categorías en cada una de

las unidades de contexto, se procede a la realización de la(s) descripción(es) en cada sub-

categoría según el diseño, la gestión y/o la evaluación. Dichos tipos de descripciones permitirán

realizar una agrupación de códigos con el fin de generar conjuntos de descripción. Dichas

agrupaciones se realizarán con base en la coherencia y puntos comunes a nivel gramatical y

textual que presentan las expresiones referidas a una misma forma de acción declarada sobre

cada una de las sub-categorías, proceso que será reportado en el capítulo de análisis de la

información.

Así mismo, se tomarán en cuenta descripciones desde un análisis de tipo cuantitativo (frecuencia

de aparición de cada sub-categoría codificada en cada unidad de contexto) y un análisis

cualitativo (información dispuesta en cada unidad de contexto de acuerdo al tipo de

descripciones en cada sub-categoría). Finalmente, la comparación entre los conjuntos de

descripción de cada unidad de contexto referida a las concepciones locales-subjetivas, con los

conjuntos de descripción de cada unidad de contexto referida a las concepciones locales-

epistemológicas permitirá una caracterización de las concepciones globales sobre la enseñanza

de la proporcionalidad que poseen los EPM al interior del proyecto curricular LEBEM.

64

4. ANÁLISIS

4.1. Descripción general de las unidades estudiadas

Una vez identificadas las expresiones seleccionadas para cada una de las sub-categorías, con

base en la lectura a profundidad de las unidades de contexto, para la caracterización de las

concepciones locales-subjetivas y locales-epistemológicas, a continuación se realiza un análisis

cuantitativo respecto a las expresiones asociadas a los procesos didácticos de diseño, gestión y

evaluación.

A continuación se presenta una primera descripción cuantitativa de para el caso del estudio de las

concepciones locales-subjetivas a través de las unidades de contexto [UD-08], [UD-09] y [UD-

10] se encontró lo siguiente:

En la [UD-08] (ver Gráfico No. 1) se puede apreciar que el 37,2% de las expresiones encontradas

sobre el diseño de las actividades hacen alusión a la enseñanza de la proporcionalidad y las

instrucciones que los EPM prevén ejecutar con el fin de implementar actividades para trabajar

proporcionalidad en el aula. El 16,3% de las expresiones están relacionadas con el rol que los

estudiantes tendrán a lo largo de cada una de las actividades planeadas. El 12,4% de las

expresiones hace mención de las situaciones específicas que se usarán para abordar el tema de

proporcionalidad y el 11% de las expresiones hacen referencia al uso específico de referentes

didácticos y teóricos que argumentan, justifican y/o sustentan el trabajo previsto para ser

implementado respecto al objeto proporcionalidad.

65

Gráfico No. 1: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][D]

Con relación al proceso didáctico de gestión (Ver Gráfico No. 2) se puede determinar que se

encontró mayor cantidad de expresiones asociadas a la enseñanza de la proporcionalidad, ya que

el 56,7% de estas expresiones hacen referencia a la forma en la que el EPM ejecutó las acciones

previstas y no previstas al trabajar proporcionalidad. El 24,3% de las expresiones hace uso de

referentes bibliográficos que son usados como contraste comparativo entre los desarrollos

teóricos mencionados respecto al desarrollo del objeto proporcionalidad en la escuela y lo que

efectivamente sucedió en el aula. Finalmente, las expresiones sobre las situaciones y sobre el

aprendizaje de los estudiantes fueron poco identificadas a lo largo de los reportes de la gestión.

Las expresiones indican que hubo mayores reflexiones sobre las acciones del profesor que

posibilitaron el aprendizaje de la proporcionalidad que sobre las acciones del estudiante para

aprender.

Gráfico No. 2: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][G]

Para el proceso de evaluación, el 88% de las expresiones se asocian a la evaluación de los

estudiantes a partir de los niveles de desarrollo procedimental, conceptual y actitudinal sobre el

aprendizaje de la proporcionalidad. El 12% de las expresiones hacen referencia a la enseñanza de

la proporcionalidad como se puede identificar en el gráfico No. 3.

66

Gráfico No. 3: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08][E]

Se puede afirmar que la [UD-08] se caracteriza por: el 68,75% de las expresiones hacen

referencia al diseño de actividades relacionadas con la enseñanza de la proporcionalidad, en el

reporte respectivo de los diseños de las actividades se identificó el 25,7% de las para las cuatro

sub-categorías están ubicadas en la gestión que el EPM realizó. Finalmente, el 8% de las

expresiones encontradas en la unidad hacen referencia a la evaluación frente al proceso de

aprendizaje de la proporcionalidad (Ver gráfico No. 4).

Gráfico No. 4: Descripción cuantitativa global de las expresiones identificadas en la unidad [UD-08]

Para el caso de la unidad [UD-09], a través del gráfico No. 5 se puede apreciar que el 44,45% de

las expresiones sobre el diseño de las actividades hacen alusión a la enseñanza de la

proporcionalidad. El 26,67% están asociadas al rol que los estudiantes tendrán a lo largo de cada

una de las actividades planeadas. El 2,3% de las expresiones hace referencia a las situaciones

que se usarán para abordar el tema de proporcionalidad en el aula. El 26,67% refieren al uso de

referentes didácticos y teóricos que argumentan, justifican y/o sustentan el trabajo previsto para

ser implementado respecto al objeto proporcionalidad.

67


Respecto al proceso didáctico de gestión en el aula no hay expresiones identificadas acerca de la

enseñanza, el aprendizaje, el uso de referentes y/o situaciones que se abordaron a la hora de

implementar el trabajo propuesto sobre proporcionalidad en el aula. Se evidencia que la unidad

de contexto no posee todos los protocolos sobre los diseños de las actividades implementadas.


En cuanto al proceso de evaluación, (Ver gráfico No. 6) se puede afirmar que el 40% de las

expresiones hacen referencia a la reflexión sobre la enseñanza de la proporcionalidad desde lo

acontecido en la práctica docente. El 60% de las expresiones hacen referencia al proceso

evaluativo del aprendizaje de los estudiantes a nivel procedimental, conceptual y actitudinal en el

cual el EPM propone niveles de desarrollo para cada uno. No se encontraron expresiones

relacionadas con el uso de referentes teóricos para argumentar las reflexiones realizadas por el

EPM sobre el proceso de general de evaluación. Tampoco se encontraron expresiones sobre las

situaciones y/o problemas que podría haber propuesto el EPM para evaluar el proceso llevado a

cabo en la práctica sobre proporcionalidad.

68


Finalmente, a manera de descripción general (Ver gráfico No. 7) de los datos encontrados en la

unidad de contexto [UD-09], se pudo determinar que el 75% de las expresiones están asociadas

al diseño de actividades relacionadas con la enseñanza de la proporcionalidad no se encontraron

expresiones que permitieran conocer las actividades diseñadas para abordar la proporcionalidad

en el aula de clase. El 25% de las expresiones encontradas en la unidad hacen referencia a la

evaluación. De esta manera, para el EPM hay una mayor descripción y trabajo sobre la

proporcionalidad a través del diseño de las actividades, aspecto que también se evidenció en la

unidad [UD-08].


Con relación a la unidad [UD-10], (Ver gráfico No. 8) se pudo encontrar que el 50% de las

expresiones sobre el diseño de las actividades, hacen alusión a la enseñanza de la

proporcionalidad; estas se enmarcan en los objetivos que los EPM diseñan con el fin de

implementar actividades para trabajar dicho objeto en el aula. El 50% restante de las expresiones

69

está asociado a la identificación del uso de soportes teóricos que usan los estudiantes como base

para argumentar ideas y supuestos de enseñanza y aprendizaje sobre proporcionalidad. No se

identificaron expresiones que hicieran alusión al aprendizaje por parte de los estudiantes, ni se

encuentran expresiones que permitan conocer las situaciones que se planearon para abordar la

proporcionalidad en el aula.

Gráfico No. 9: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [UD-10][G]

Frente al proceso didáctico de gestión en el aula (Ver gráfico No. 9), se encontró que el 32% de

las expresiones están asociadas a las afirmaciones y/o declaraciones que el EPM hizo frente a los

procesos instructivos y acciones previstas con el fin de abordar la proporcionalidad en el aula de

clase. El 28% de las expresiones identificadas hacen alusión a las formas en las que el EPM

considera aprenden los estudiantes sobre el objeto en cuestión, haciendo énfasis en las acciones y

los roles previstos del estudiante que posibilitan el aprendizaje. El 20% de las expresiones hacen

referencia al uso de soportes didácticos usados para justificar la importancia sobre el desarrollo

del trabajo enfocado hacia a proporcionalidad en la escuela y la forma en la que se considera, se

aborda el objeto a nivel matemático en el aula. El restante 20% de las expresiones están

asociadas a las situaciones que implementaron para el trabajo diseñado.


70

Frente al proceso de evaluación, la unidad de contexto [UD-10] (Ver gráfico No. 10) se

encuentra que el 58,4% de las expresiones hace referencia a la enseñanza de la proporcionalidad

desde lo acontecido en la práctica docente, destacando acciones a mejorar por parte del EPM. El

33,3% de las expresiones están asociadas al proceso evaluativo del aprendizaje de los estudiantes

a nivel procedimental, conceptual y actitudinal en el cual el EPM propone niveles de desarrollo

para cada uno. No se encontraron expresiones que hagan referencia a: las situaciones diseñadas,

las situaciones implementadas en las clases y las situaciones utilizadas para evaluar los saberes

en los estudiantes.


Finalmente, a manera de descripción general (Ver Gráfico No. 11) de los datos encontrados en la

unidad de contexto, se pudo determinar que el 13,9% de las expresiones encontradas están

asociadas al diseño de actividades para la enseñanza de la proporcionalidad y el 58,13% de las

expresiones fueron identificadas en el reporte sobre la gestión en el aula. El 23% de las

expresiones encontradas en la unidad hacen referencia a la evaluación. De esta manera, para el

EPM hay una mayor descripción y trabajo sobre la proporcionalidad a través del reporte de la

gestión de las actividades, aspecto que no se evidencia en las anteriores unidades de contexto.

Finalmente, a continuación se presenta una primera descripción cuantitativa para el caso del

estudio de las concepciones locales-epistemológicas a través de las unidades de contexto [DI-

02], [DI-03] y [PPMA-03] se encontró lo siguiente:

En la unidad [DI-02] (Ver gráfico No. 12) se puede apreciar que el 24% de las expresiones

encontradas sobre el diseño de las actividades hacen alusión a la enseñanza de la

proporcionalidad desde el estudio de la estructura aditiva y multiplicativa en el espacio de

71

formación. El 16% de las expresiones están relacionadas con el rol que los EPM tendrán a lo

largo de cada una de las actividades planeadas en el espacio de formación. El 6% de las

expresiones hace mención sobre las situaciones específicas que se usarán por parte del docente

titular del espacio de formación y el 54% de las expresiones hacen referencia a la identificación y

descripción de referentes bibliográficos que se propone abordar con el EPM a lo largo del

desarrollo del espacio de formación.

Gráfico No. 12: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-02][D]

Con relación a las sub-categorías asociadas a la gestión del espacio de formación, no se

identificaron expresiones en ninguno de los syllabus ya que en los documentos únicamente se

aborda el diseño del espacio de formación mas no reflexiones sobre lo acontecido en el mismo.

En cuanto al proceso de evaluación, el 100% de las expresiones se asocian a la evaluación de los

EPM a partir de rangos de desarrollo cognitivo “bajo”, “medio” y “alto” con relación a la

apropiación y manejo de conceptos y objetos matemáticos y didácticos frente a la

proporcionalidad dentro del desarrollo y reflexión de la estructura aditiva y multiplicativa a nivel

escolar.

Con relación a la unidad [DI-03], (Ver gráfico No. 13) se pudo encontrar que el 21% de las

expresiones sobre el diseño de las actividades, hacen alusión a: la enseñanza de los objetos

matemáticos y su reflexión didáctica por parte del docente titular de espacio de formación. El

15% de las expresiones hacen alusión al aprendizaje de la proporcionalidad en el EPM y los

procesos de reflexión didáctica sobre la misma. El 12% hace alusión a las actividades y

situaciones vinculadas a la metodología del espacio de formación y el restante 54% hace

mención a los referentes bibliográficos del syllabus de formación.

72

Gráfico No. 13: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [DI-03][D]

En cuanto al proceso de evaluación, el 100% de las expresiones se asocian a la evaluación de los

EPM a partir de categorías de valoración cognitivas, comunicativas y epistemológicas con el fin

de medir el desarrollo y reflexión de la estructura aditiva y multiplicativa a nivel escolar.

Finalmente, respecto a la unidad [PPMA-03] (Ver gráfico No. 14) se pudo encontrar que el 31%

de las expresiones sobre el diseño de las actividades, hacen alusión a: la enseñanza de los objetos

matemáticos y su reflexión didáctica por parte del docente titular de espacio de formación. El

25% hace alusión a las actividades y situaciones vinculadas a la metodología del espacio de

formación y el restante 44% hace mención a los referentes bibliográficos del programa de

formación. No se identificaron expresiones relacionadas con procesos de aprendizaje de los EPM

sobre proporcionalidad; así mismo para las sub-categorías relacionadas con el proceso didáctico

de gestión y evaluación.

Gráfico No. 14: Descripción cuantitativa de las expresiones identificadas en la unidad [PPMA-03][D]

4.2. Concepciones locales-subjetivas

A continuación se presentan las descripciones de las sub-categorías que permitirán conocer las

concepciones locales subjetivas en cada una de las unidades [UD-08], [UD-09] y [UD-10] a

73

partir del estudio de las expresiones encontradas en ellas. Éste ejercicio permitió determinar

conjuntos de descripción comunes a cierto grupo de expresiones respecto a una sub-categoría

determinada, aspecto que, desde la TFD propuesta por Glaser & Strauss, citados por Vasilachis

(2006), se conoce como el proceso de saturación de la información. De esta manera, dichas

expresiones, palabras y frases reiterativas permiten realizar una aproximación a la

caracterización de las concepciones locales-subjetivas que poseen los EPM que realizaron dichas

unidades didácticas sobre la enseñanza de la proporcionalidad, desde los planteamientos

propuestos por Ruíz (1994).

4.2.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la

proporcionalidad [EE].

Una vez descritas cada una de las expresiones encontradas para la sub-categoría [EE] (Ver anexo

No. 9, No. 10 y No. 11), se estipularon conjuntos de expresiones que pertenecían a un mismo

tipo de descripción. A continuación se presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de

descripción encontrados tomando como ejemplo la unidad [UD-08]. Las descripciones sobre las

expresiones identificadas en las unidades [UD-09] y [UD-10] se presentan en el anexo No. 15

titulado “Consolidado de los conjuntos de descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.

Para el caso de la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [EE-D] (Expresiones sobre la

enseñanza de la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron cuatro

grandes conjuntos de descripciones respecto a las citas identificadas frente a la enseñanza de la

proporcionalidad:

El primer conjunto de descripciones está asociado a las explicaciones que contempla hará el

EPM en el diseño de las actividades. Como se puede evidenciar en la imagen No. 9, las citas

declaran un proceso instructivo y unidireccional de la enseñanza hacia los estudiantes; se puede

dimensionar un rol activo en dicho proceso por parte del EPM. Algunas de las acciones

declaradas como “explicaciones” se estipulan dentro del momento de institucionalización de la

enseñanza desde la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD), ya que es el modelo de secuencia

de actividades declarado en la Unidad. De igual forma, desde lo declarativo en la unidad, el EPM

se describe como aquel que “introduce”, “fortalece”, “guía” y “refuerza” el conocimiento a los

estudiantes mediante su gestión en el aula evidenciado en las expresiones. Se identifica un ciclo

74

de explicación de la temática, ejemplificación y solución de situaciones similares a las explicadas

en las citas [EE-D-3], [EE-D-38] y [EE-D-39]. 22 de las 48 expresiones componen este conjunto

y representan el 46% de las citas para esta sub-categoría.

Imagen No. 9: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D]

El segundo conjunto de expresiones (Ver Imagen No. 10) describen un posible ciclo de clase que

el EPM expresa en el diseño de las actividades. Dicho ciclo está asociado a rutinas reiterativas

para cada una de las sesiones planeadas como por ejemplo: Organización del aula de clase,

determinación de objetivos para cada sesión, un momento de desarrollo de la clase sobre lo

planeado por el EPM y un momento de cierre de la actividad que por lo general es descrito como

proceso de “validación” y/o “socialización” sobre el trabajo desarrollado por los estudiantes. 7

de las 48 expresiones componen este conjunto y representa el 14,6% de las citas para esta sub-

categoría.

75

Imagen No. 10: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D]

En el tercer conjunto de expresiones (ver imagen No. 11) se evidencian expresiones relacionadas

con las interacciones que el EPM describe en su planeación de actividades entre: estudiante -

EPM, estudiante – estudiante y estudiante – saber; aspectos que aborda la TSD a nivel teórico.

Las interacciones estudiante – EPM hacen alusión a la solución de preguntas que propone el

EPM hacia el estudiante a propósito de una situación sobre proporcionalidad directa y/o inversa

y al rol de observador que tiene el EPM respecto a las estrategias de solución de los estudiantes.

Las interacciones entre estudiantes son expresadas desde la conformación de grupos de trabajo

que el EPM describe como “colaborativos” en el que los estudiantes se apoyan mutuamente a la

hora de la solución de alguna situación propuesta por el EPM. Las interacciones entre estudiante

– saber se describen en las expresiones a partir de un medio o recurso; éste es mencionado por el

EPM como “la(s) situación(es), la(s) guía(s) y los instrumentos manipulativos tangibles. 17 de

las 48 expresiones componen este conjunto y representa el 35,4% de las citas para esta sub-

categoría.

76

Imagen No. 11: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [ud-08][EE-D]

En el cuarto conjunto de expresiones (ver Imagen No. 12) se describen citas en las que el EPM

enfatiza en el uso de contextos acercanos a los estudiantes para enseñar proporcionalidad y se

eviencia que el EPM reconoce un contexto global como situación fundamental. El EPM afirma

que la resolución de problemas constituye una ayuda para posibilitar la comprensión en los

estudiantes sobre la proporcionalidad. 2 de las 48 citas componen este conjunto y representa el

4% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 12: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-D]

Por otra parte, se encontraron cuatro conjuntos de descripciones respecto a las expresiones

identificadas para la sub-categoría [EE-G] (Expresiones sobre la enseñanza de la

proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión):

77

El primer conjunto de expresiones está asociado a las explicaciones que el EPM reporta en los

protocolos sobre la gestión de las actividades planeadas. Como se puede evidenciar en la imagen

No. 13, en las expresiones se reporta un proceso instructivo y unidireccional de la enseñanza

hacia los estudiantes; se puede identificar un rol activo en dicho proceso por parte del EPM. Se

declaran pasos explicados por el EPM para la solución de situaciones que permitieron abordar la

proporcionalidad directa. Las descripciones sobre las expresiones identificadas para esta

subcategoria guardan una relación directa con el primer conjunto de expresiones evidenciado en

el proceso de diseño de las actividades. 13 de las 21 expresiones componen este conjunto y

representan el 62% de las citas para esta sub-categoría.

Imagen No. 13: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]

El segundo conjunto de citas (ver Imagen No. 14) se agrupa bajo las mismas descripciones

realizadas para el segundo conjunto de expresiones sobre el proceso de diseño de las actividades.

En éste caso, el EPM realiza un reporte sobre el ciclo de clase propuesto en el respectivo diseño

de las actividades; se dimensiona el reporte operativo sobre las acciones del EPM a lo largo de

las sesiones como por ejemplo: Reportar la cantidad de estudiantes para la sesión de clase, hora

de inicio de la sesión, brindar las situaciones, problemas y/o ejercicios a los estudiantes. 2 de las

21 expresiones componen este conjunto y representan el 9,5% de las citas para esta sub-

categoría.

78

Imagen No. 14: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]

En el tercer conjunto de expresiones (ver Imagen No. 15) se evidencian citas relacionadas con

los reportes sobre las actitudes de los estudiantes frente a las actividades propuestas por el EPM

ausando como recurso las resolución de problemas, dialogos entre el EPM y los estudiantes a

propósito de preguntas que emergieron de la actividad propuesta, las afirmaciones textuales que

hicieron los estudiantes en las actividades propuestas por el EPM y reflexiones sobre el uso de

recursos que sean manipulados por los estudiantes dado que, según el EPM permite desarrollar

un proceso de enseñanza eficaz. 5 de las 21 expresiones componen este conjunto y representan el

23,8% de las citas para esta sub-categoría.

Imagen No. 15: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]

79

En el cuarto conjunto de expresiones (ver Imagen No. 16) unicamente se identifica una

expresión. En ella el EPM reporta en su gestión de la actividad que es necesario tomar contextos

familiares a los estudiantes con el fin de generar un proceso de enseñanza eficaz sobre la

proporcionalidad. 1 de las 21 citas componen este conjunto y representa el 4,7% de las

expresiones para esta subcategoria.

Imagen No. 16: Ejemplos cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EE-G]

Finalmente, se encontró una única expresión identificada para la sub-categoría [EE-E]

(Expresiones sobre la enseñanza de la proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación).

En dicha expresión, el EPM reporta, a manera de reflexión sobre el proceso de enseñanza, que es

necesario explicar por su parte las relaciones de variación directamente proporcional e

inversamente proporcional porque así permite una comprensión adecuada sobre dicho fenómeno

en los estudiantes.

4.2.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la

proporcionalidad.

Este apartado hace referencia a los conjuntos de expresiones que pertenecen a un mismo tipo de

descripción para la sub-categoría [EA] (Ver anexo No. 9, No. 10 y No. 11). A continuación se

presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados tomando como

ejemplo la unidad [UD-08]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades

[UD-09] y [UD-10] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de

descripciones en las unidades de contexto estudiadas”.

En la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [EA-D] (Expresiones sobre el aprendizaje de la

proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron cuatro grandes conjuntos de

descripciones.

80

El primer conjunto de descripciones está asociado a las acciones que el EPM contempla hará el

estudiante en el diseño de las actividades. Como se puede evidenciar en la imagen No. 17, las

expresiones declaran un proceso de ejecución instructivo sobre lo que plantea el EPM, el

estudiante es observador de las acciones del EPM para el desarrollo del aprendizaje sobre la

proporcionalidad directa; se puede identificar un rol pasivo en dicho proceso por parte del

estudiante. En éste sentido, el estudiante se describe como aquel que responde adecuadamente a

las preguntas que realiza el EPM. De igual forma, desde lo declarativo en la unidad, el estudiante

es descrito por el EPM como aquel que “escucha”, “observa”, “responde” y “ejecuta” lo que el

EPM propone para la clase respecto al trabajo sobre proporcionalidad. 14 de las 21 expresiones

componen este conjunto y representan el 66,67% de las citas para esta sub-categoría.

Imagen No. 17: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]

El segundo conjunto de expresiones (Ver Imagen 18) describen un posible ciclo de clase donde

se describen los objetivos que el EPM expresa para los estudiantes en el diseño de las

actividades. Uno de ellos es que los estudiantes se involucren en el problema y el otro es que

diferencien proporcionalidad directa e inversa. Únicamente 1 de las 21 expresiones componen

este conjunto y representa el 4,7% de las citas para esta sub-categoría.

81

Imagen No. 18: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]

En el tercer conjunto de expresiones (Ver Imagen No. 19) estan relacionadas con las

interacciones que el EPM describe en su planeación de actividades entre: estudiante – estudiante

y estudiante – saber; aspectos que aborda la TSD a nivel teórico. El EPM describe en el diseño

las actitudes deseables en los estudiantes frente a la sesión de clase para generar un ambiente de

aprendizaje y él mismo se describe como “ayuda” en dicho proceso. En éste conjunto de

expresiones el EPM acude a la valoración cuantitativa sobre la participación de los estudiantes

con el fin de generar interés por exteriorizar sus ideas sobre las situaciones propuestas y propone

un guía como herramienta para desarrollar aprendizaje en el proceso de solución. 4 de las 21

expresiones componen este conjunto y representa el 28,6% de las citas para esta sub-categoría.

Imagen No. 19: Ejemplos tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]

En el cuarto conjunto (Ver Imagen No. 20) se describen expresiones en las que el EPM afirma

que la resolución de problemas constituye una herramienta para posibilitar el aprendizaje sobre

82

la proporcionalidad. 2 de las 21 citas componen este conjunto y representa el 9,52% de las

expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 20: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-D]

Con relación a la sub-categoría [EA-G] (Expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad

en el proceso didáctico de gestión), se encontraron tres conjuntos de descripciones respecto a las

expresiones identificadas: El primer conjunto de descripciones (Ver imagen No. 21) se

identificaron expresiones en dos sentidos: citas en las que el EPM reporta la forma en la que los

estudiantes proceden a la hora de solucionar una situaciones donde se comparan dos espacios de

medida diferentes (cantidad de galletas que una persona come en un determinado tiempo medido

en horas); expresiones en las que el EPM reporta la comprensión de los estudiantes al interpretar

las relaciones inversamente proporcionales entre dos magnitudes diferentes. Este aspecto lo

institucionaliza a través de las respuestas brindadas por los estudiantes a las preguntas como:

“¿que sucede con ésta magnitud si aumenta?”. 3 de las 5 citas componen este conjunto y

representa el 60% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 21: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G]

En el caso del segundo y tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 22) se identificó

únicamente una expresión en cada uno. Para el segundo conjunto hay una expresión en la que el

83

EPM reporta que un estudiante posee “baja comprensión” sobre las relaciones de

proporcionalidad directa e inversa y explica que aplica un algoritmo en cualquier contexto sin

examinar las relaciones entre los diferentes espacios de medida que se comparan. La baja

comprensión se atribuye a una ausencia de conocimiento, no se hace reflexión obre el proceso

del estudiante. En el tercer conjunto se sitúa una expresión donde el EPM reporta las expresiones

que los estudiantes exteriorizan frente a una situación que propone respecto a dos espacios de

medida: días y frijoles. Cada conjunto representa el 20% de las expresiones encontradas para esta

sub-categoría.

Imagen No. 22: Ejemplos segundo y tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-G]

Finalmente, con relación a la sub-categoría [EA-E] (Expresiones sobre el aprendizaje de la

proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación), se encontraron tres conjuntos de

descripciones respecto a las expresiones identificadas: En el primer conjunto de descripciones

(Ver Imagen No. 23) se identificaron expresiones en las que el EPM describe niveles de

evaluación conceptual. En ellas siempre se describen dos niveles conceptuales de evaluación en

los que el EPM hace alusión a que los estudiantes fortalecen los conceptos y/o nociones

asociadas a la proporcionalidad. La diferencia entre ambos niveles radica en lo que el EPM

declara “se realiza con dificultad” y lo que no por parte del estudiante. 3 de las 7 citas componen

este conjunto y representa el 42,8% de las expresiones para esta sub-categoría.

84

Imagen No. 23: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E]

En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 24) se identificaron expresiones en las

que el EPM describe niveles de evaluación procedimental. Se describen dos niveles

procedimentales de evaluación en los que el EPM hace alusión a que los estudiantes desarrollan

procesos de razonamiento e identificación de estrategias para resolver situaciones problema que

se proponen para la sesión de clase. La diferencia entre ambos niveles radica en lo que el EPM

declara como “la solución de la mayoría de los procesos” para dar respuesta a una problema y

establece un juicio de valor “aceptable” para el razonamiento de los mismos. 3 de las 7 citas

componen este conjunto y representa el 42,8% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 24: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E]

En el tercer conjunto de descripción (Ver Imagen No. 25) se identificó una expresión en la que el

EPM realiza una reflexión sobre la importancia del trabajo colaborativo entre estudiantes y sobre

el uso de contextos en los que los estudiantes estén familiarizados para desarrollar el trabajo

85

sobre proporcionalidad en el aula. Esta expresión representa el 14,4% de las citas para esta sub-

categoría.

Imagen No. 25: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][EA-E]

4.2.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad.


descripción para la sub-categoría [ES] (Ver anexo No. 9, No. 10 y No. 11). A continuación se





En la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [ES-D] (Expresiones sobre situaciones para

enseñar la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron cinco grandes

conjuntos de descripciones:

En el primer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 26) se identificaron expresiones en las

que el EPM estipula que un recurso y/o herramienta de aprendizaje se basa en las situaciones que

permite que los estudiantes formulen sobre proporcionalidad o aquellas que el EPM lleva

preparadas con antelación. Así mismo el EPM describe la situación fundamental, planteada

desde la TSD, como un contexto sobre el cual se desarrollan diferentes situaciones, problemas

y/o ejercicios para trabajar la proporcionalidad; en ella se toman en cuenta los intereses de los

estudiantes. 6 de las 16 citas componen este conjunto y representa el 37,5% de las expresiones

para esta sub-categoría.

86

Imagen No. 26: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D]


que el EPM menciona situaciones contextualizadas en las que se plantean dos espacios de

medida comparados y se realizan preguntas sobre la unidad de medida o una tercera cantidad.

Los espacios de medida comparados son: cantidad de pelotas y cantidad de frijoles que se

entregan a un estudiante, cantidad de fríjoles que se venden en un determinado tiempo medido

en horas, cantidad de pelotas que se entregan en un determinado tiempo medido en días. 4 de las

16 citas componen este conjunto y representa el 25% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 27: Ejemplos segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ ES-D]

87

En el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 28) se identificaron expresiones en las

que el EPM menciona situaciones contextualizadas de repartición en las que intervienen dos o

más espacios de medida comparados. Los espacios de medida usados son: cantidad de personas

para repartir cantidad de chocolatinas y cada chocolatina contiene cierta cantidad de cuadros. 4

de las 16 citas componen este conjunto y representa el 25% de las expresiones para esta sub-

categoría.

Imagen No. 28: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D]

En el caso del cuarto y quinto conjunto (Ver Imagen No. 29) de descripciones se identificó

únicamente una expresión en cada uno. Para el cuarto conjunto hay una expresión en la que el

EPM propone "ejercicios" para trabajar la proporcionalidad en el aula. En el quinto conjunto se

sitúa una expresión donde la situación que plantea el EPM es la discusión sobre cambios de

medida que se presentan a través de una tabla. Cada conjunto representa el 6,25% de las

expresiones encontradas para esta sub-categoría respectivamente.

Imagen No. 29: Ejemplos cuatro y quinto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ES-D]

Con relación a la sub-categoría [ES-G] (Expresiones sobre situaciones para enseñar la

proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión), se encontró un conjunto de descripciones

88

respecto a las expresiones identificadas. Dicho conjunto (Ver Imagen No. 30) hace alusión a dos

expresiones en las que el EPM reporta en su gestión la situación problema que asocia el tiempo

en días y la cantidad de frijoles al igual que aquella que relaciona el tiempo en horas y la

cantidad de galletas que se come una persona.

Imagen No. 30: Ejemplo conjunto des descripciones sub-categoría [UD-08][ES-G]

Finalmente, para el caso de la sub-categoría [ES-E] (expresiones sobre situaciones para enseñar

la proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación) no se identificaron expresiones

asociadas a esta categoría en la unidad [UD-08] al igual que en las unidades [UD-09] Y [UD-10].

4.2.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad.


descripción para la sub-categoría [ER] (Ver anexo No. 9, No. 10 y No. 11). A continuación se

presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de descripción encontrados, tomando como




En la unidad [UD-08] frente a la sub-categoría [ER-D] (expresiones sobre referentes teóricos

usados por el EPM sobre proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron

cuatro grandes conjuntos de descripciones:

En el primer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 31) se identificaron expresiones en las

que el EPM hace uso de autores como Vergnaud, Godino, el grupo Edumat-Maestros, Martínez,

Parra y Kieren con el fin de justificar y/o argumentar la importancia y/o necesidad sobre el

tratamiento de la proporcionalidad en el aula. Uno de los autores mayormente citado fue

Vergnaud; el EPM toma su perspectiva con el fin de argumentar la forma en la que se debe

89

abordar la proporcionalidad en el aula enumerando tres orientaciones que ayudan a los

estudiantes a desarrollar el pensamiento proporcional; otros autores son mencionados con el fin

de destacar la importancia de cierto tipo de situaciones para enseñar proporcionalidad y formas

de aprendizaje por parte de los estudiantes. 8 de las 14 citas componen este conjunto y representa

el 57,14% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 31: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]


que el EPM realiza afirmaciones relacionadas como formas de abordar la proporcionalidad en el

aula, aspectos fundamentales sobre la comprensión de los estudiantes sobre la proporcionalidad y

la importancia del juego en los procesos de enseñanza. No hay ningún autor evocado para

realizar dichas afirmaciones pero es notoria la relación entre las ideas planteadas por el EPM y

los autores citados en el primer conjunto de expresiones. 3 de las 14 citas componen este

conjunto y representa el 21,42% de las expresiones para esta sub-categoría.

90

Imagen No. 32: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]


que el EPM cita a autores como Armando Meza y Antonio Barrios con el fin de mencionar los

obstáculos y formas de enseñanza en el paso del conjunto numérico Natural al Racional. Se

evidencian citas que destacan ideas asociadas a la comprensión de la división de la unidad y el

concepto de fracción en los estudiantes. 2 de las 14 citas componen este conjunto y representa el

14,3% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 33: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]

Finalmente, en el cuarto conjunto se ubica una expresión realizada por el EPM en el que cita a

Gheverghese como referente histórico usado para describir ideas asociadas al desarrollo de la

proporcionalidad en China, aspecto que le permite concluir que “[…] la regla de tres es un

proceso matemático que tiene unas reglas a seguir, por ello, se deben explicar estos pasos a los

estudiantes y hacerles entender porque van los pasos que se deben seguir para que nos de la

respuesta correcta, de acuerdo al problema específico que se asigne” (Expresión textual

encontrada en UD-08). 1 de las 14 citas componen este conjunto y representa el 7,14% de las


91

Imagen No. 34: Ejemplo cuarto conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-D]

Con relación a la sub-categoría [ER-G] (expresiones sobre referentes teóricos usados por el EPM

sobre proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión), se encontraron tres conjuntos de

descripciones respecto a las expresiones identificadas: Para el primer conjunto de descripciones

(Ver Imagen 35) se identificaron expresiones en las que el EPM evoca autores como Horacio

Itzcovich y Claudia Broitman, Castaño, Brousseau y Espinosa con el fin de contrastar los

aspectos evidenciados en la gestión de actividades sobre la comunicación de ideas por parte de

los estudiantes, las conexiones que se generaron con otros contextos a los trabajados en los que

se usa proporcionalidad y una comparación entre las dificultades en el aprendizaje reportadas por

algunos de los autores citados y las evidenciadas en la(s) sesión(es) de clase. 4 de las 9 citas


Imagen No. 35: Ejemplos primer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G]

92


que el EPM cita autores como Gheverghese, Euclides citado por Gómez. En el caso particular de

las ideas propuestas por Gheverghese que menciona el EPM, se evidencia la misma cita textual

mencionada en el diseño de las actividades pero, para el reporte de la gestión en el aula, el EPM

la usa para afirmar que “Por eso los estudiantes debían seguir los pasos que el EPM titular había

informado, se utilizan objetos tangibles con el fin de familiarizar más al estudiante con la

situación de la comida para los integrantes del circo que visitan su colegio” (Expresión textual

encontrada en UD-08). 3 de las 9 citas componen este conjunto y representa el 33,34% de las


Imagen No. 36: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G]


que el EPM cita a dos autores: A Brousseau para determinar el respectivo reporte sobre los

errores o dificultades en el aprendizaje del concepto de la proporcionalidad evidenciando en

procedimientos tipificados como erróneos de los estudiantes y a Vigotsky para comparar el

estadio de desarrollo real y potencial, a propósito de la interacción entre los estudiantes, y el

proceso de movilización cognitivo del estudiante de una hacia la otra. 2 de las 9 expresiones


93

Imagen No. 37: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [UD-08][ER-G]

Finalmente, para el caso de la sub-categoría [ER-E] (expresiones sobre referentes teóricos usados

por el EPM sobre proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación) no se identificaron

expresiones asociadas a esta categoría en la unidad [UD-08] al igual que en la unidad [UD-09].

Para el caso de la unidad [UD-10], se identificó una expresión únicamente.

4.2.5. Aspectos generales concepciones locales-subjetivas

Con base en los conjuntos de descripción identificados en el proceso de análisis de las

expresiones seleccionadas para cada una de las sub-categorías, respecto a las concepciones

locales-subjetivas; a continuación se presentan algunos aspectos generales de las tres unidades de

contexto estudiadas:

Para el caso de las expresiones sobre la enseñanza de la proporcionalidad en los procesos

didácticos de diseño, gestión y evaluación de actividades, ([EE-D], [EE-G] y [EE-E]) se pudo

determinar que: se privilegia en las tres unidades de contexto conjuntos de descripciones

asociados a los procesos instructivos y unidireccionales por parte de los EPM, aspecto que

conduce a una concepción tradicional de la enseñanza de la proporcionalidad con una mayor

porcentaje de expresiones encontradas. Así mismo, fueron reiterativos los conjuntos de

descripciones asociados a aspectos de ciclo de clase (rutinas de llamado a lista, expresar

objetivos de las sesiones de clase y cierre de las mismas a través de la recolección de las

producciones de los estudiantes, entre otras); aspecto que permite concebir y dimensionar, en los

EPM, que el proceso de enseñanza se sitúa dentro de un esquema organizativo y/o operativo

invariante usado durante las sesiones de clase que se describe en el diseño y en los reportes de la

gestión en el aula. Finalmente, hay conjuntos de descripción comunes para las unidades [UD-08]

94

y [UD-09] en el que se realiza una énfasis a lo largo del proceso de diseño y gestión de

actividades enfocado hacia el uso de contextos, recursos y/o situaciones cotidianas a los

estudiantes para enseñar proporcionalidad; de éste modo se concibe al proceso de enseñanza

como aquel en el que el saber matemático debe ser contextualizado por el EPM tomando en

cuenta diferentes recursos como medios de enseñanza. Esta concepción está asociada a la

perspectiva didáctica que en efecto se describe a lo largo de las tres unidades de contexto desde

la teoría de situaciones didácticas desarrollada por Brousseau.

Con relación a las expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en los procesos

didácticos de diseño, gestión y evaluación de actividades, ([EA-D], [EA-G] y [EA-E]) se pudo

determinar que: Para las unidades [UD-08] y [UD-09] hay una concepción de las acciones de los

estudiantes encaminada hacia un proceso de ejecución instructivo sobre lo que plantea el EPM

dimensionado con mayor frecuencia en la expresiones identificadas. Así mismo, en dichas

unidades se encuentra un conjunto común de descripciones asociado a las interacciones que el

EPM describe en la planeación de las actividades entre estudiante-estudiante, estudiante-saber y

se destacan expresiones asociadas a las actitudes deseables en los estudiantes previstas por el

EPM. En el caso del proceso didáctico de gestión hay conjuntos de descripción que realizan

énfasis en dos aspectos: La resolución de problemas como herramienta que posibilita el

aprendizaje de la proporcionalidad y el reporte sobre las producciones verbales y escritas

efectuadas por los estudiantes y analizadas por el EPM en las que se determinan niveles de

compresión sobre la proporcionalidad que logran desarrollar los estudiantes. En cuanto al

proceso de evaluación se dimensiona a partir de juicios valorativos sobre las producciones

tangibles y susceptibles a verificación realizadas por los estudiantes a lo largo de las sesiones de

clase; se establecen niveles de evaluación conceptual y procedimental que valoran la

comprensión cognitiva en los estudiantes sobre la proporcionalidad y un nivel actitudinal

enfocado hacia la valoración cualitativa del desempeño del estudiante sobre el seguimiento de

instrucciones y las interacciones entre sus compañeros.

Para el caso de las expresiones sobre el uso de situaciones, problemas y/o contextos para la

enseñanza de la proporcionalidad en los procesos didácticos de diseño, gestión y evaluación de

actividades, ([ES-D], [ES-G] y [ES-E]) se pudo determinar que: En primer lugar, los EPM en las

tres unidades de contexto conciben a los contextos familiares a los estudiantes como situaciones

95

fundamentales desde la teoría de situaciones didácticas. En segundo lugar, en los conjuntos de

descripciones de las tres unidades se privilegian las situaciones donde se evidencia una

comparación entre espacios de medida como parte de situaciones problema contextualizadas y

presentadas a los estudiantes a lo largo de las sesiones de clase. No hay en los tres documentos

expresiones que hagan alusión a situaciones, problemas y/o ejercicios que desarrollen el

razonamiento proporcional desde tipos de pensamiento diferente al numérico-variacional. Hay

conjuntos de descripción en los que el EPM reporta el uso de “ejercicios”, entendido como

situaciones descontextualizadas y que privilegian el uso de algoritmos para encontrar valores

desconocidos que permitan determinar proporcionalidad entre dos razones. Por otra parte, no

hubo identificación de situaciones, problemas y/o ejercicios usados por el EPM para enseñar

proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación.

Finalmente, para el caso de las expresiones sobre el uso de referentes bibliográficos usados por

el EPM para la enseñanza de la proporcionalidad en los procesos didácticos de diseño, gestión y

evaluación de actividades, ([ER-D], [ER-G] y [ER-E]) se pudo determinar que: En las tres

unidades de contexto se toma como referente central y primario a Vergnaud con el fin de

justificar y/o argumentar la importancia de trabajar la proporcionalidad en el aula. Así mismo, se

evidencia el uso de autores para reportar dificultades en el aprendizaje de la proporcionalidad en

el proceso didáctico de gestión; se identifican conjuntos de descripción comunes en los que se

reportan las observaciones y desarrollos realizados durante las sesiones de clase por parte de los

estudiantes. En las tres unidades hay un uso reiterativo de las mismas expresiones en otros

apartados de la unidad didáctica para justificar diferentes actividades enfocadas al tratamiento de

la proporcionalidad en el aula. Por otra parte, hay expresiones encontradas en las tres unidades

donde se define la proporcionalidad sin hacer el uso respectivo del referente sobre el cual se está

tomando dicha definición. Finalmente, se pudo de terminar que, si bien los referentes usados por

los EPM a lo largo de las unidades didácticas permiten fundamentar la concepción sobre la

proporcionalidad, su proceso de enseñanza y aprendizaje a nivel escolar, son las ideas y

expresiones desarrolladas por los EPM que se ajustan a la búsqueda y lectura de referentes

bibliográficos que las respaldan, sustentan y/o argumentan, aspecto que permite determinar que

los referentes bibliográficos inciden de forma directa en las expresiones que conducen a las

concepciones de los EPM sobre la enseñanza de la proporcionalidad.

96

4.3. Concepciones locales-epistemológicas

A continuación se presentan las descripciones de las sub-categorías que permitirán conocer las

concepciones locales-epistemológicas en cada una de las unidades [DI-02], [DI-03] y [PPMA-

03] a partir del estudio de las expresiones encontradas en ellas. Éste ejercicio permitió

determinar conjuntos de descripción comunes a cierto grupo de expresiones respecto a una sub-

categoría determinada, aspecto que, desde la TFD propuesta por Glaser & Strauss, citados por

Vasilachis (2006), se conoce como el proceso de saturación de la información. De esta manera,

dichas expresiones, palabras y frases reiterativas permiten realizar una aproximación a la

caracterización de las concepciones locales-epistemológicas que poseen los EPM que cursaron

los espacios de formación en los que se abordo y reflexionó sobre la enseñanza de la

proporcionalidad, desde los planteamientos propuestos por Ruíz (1994).

4.3.1. Formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la

proporcionalidad.

Una vez descritas cada una de las expresiones encontradas para la sub-categoría [EE] (Ver anexo

No. 12, No. 13 y No. 14), se estipularon conjuntos de expresiones que pertenecían a un mismo

tipo de descripción. A continuación se presenta el respectivo análisis sobre dichos conjuntos de

descripción encontrados tomando como ejemplo la unidad [DI-02]. Las descripciones sobre las

expresiones identificadas en las unidades de contexto [DI-03] y [PPMA-03] se presentan en el

anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de descripciones en las unidades de

contexto estudiadas”.

Para el caso de la unidad de contexto [DI-02] frente a la sub-categoría [EE-D] (Expresiones

sobre la enseñanza de la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron tres

conjuntos de descripciones respecto a las expresiones identificadas referidas a la enseñanza de la

proporcionalidad.

El primer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 38) está asociado a expresiones

conducentes a la reflexión didáctica sobre la aritmética. En ellas se establece una construcción de

sentido numérico en las personas, lo que permite consolidar lo que en el programa de formación

se llama "competencia numérica" para el EPM. De esta forma, según lo declarado, se entiende

que la cualificación de la acción didáctica que se aborda en el espacio de formación sobre la

97

aritmética parte de dos aspectos fundamentales: el sentido de lo numérico y el sentido simbólico

por parte de los EPM; de igual forma, se plantean tres rutas de entrada para profundizar en la

formación didáctica de la aritmética. 2 de las 9 expresiones componen este conjunto y

representan el 22,23% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 38:Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D]


que el programa de formación hace alusión al desarrollo de habilidades respecto a los objetos

propiamente matemáticos a través de la resolución de problemas aritméticos. 3 de las 9 citas


Imagen No. 39: Ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D]

Finalmente, en el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 40) se determinaron

expresiones relacionadas con la identificación, caracterización y reflexión de instrumentos,

dispositivos didácticos y/o recursos para la enseñanza de la aritmética, en este caso, la enseñanza

de la proporcionalidad. 4 de las 9 citas componen este conjunto y representa el 44,44% de las


98

Imagen No. 40: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EE-D]

Con relación a las sub-categorías [EE-G] (Expresiones sobre la enseñanza de la proporcionalidad

en el proceso didáctico de gestión) y [EE-E] (Expresiones sobre la enseñanza de la

proporcionalidad en el proceso didáctico de evaluación) no se identificaron expresiones

asociadas a las mismas en ninguna de las unidades estudiadas. Esto debido a que la identificación

y descripción de expresiones en los syllabus de los espacios de formación se refieren únicamente

al proceso didáctico de diseño y evaluación.

4.3.2. Formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la

proporcionalidad


descripción para la sub-categoría [EA] (Ver anexo No. 12, No. 13 y No. 14). A continuación se


ejemplo la unidad [DI-02]. Las descripciones sobre las expresiones identificadas en las unidades

[DI-03] y [PPMA-03] se presentan en el anexo No. 15 titulado: “Consolidado de los conjuntos de


En la unidad [DI-02] frente a la sub-categoría [EA-D] (Expresiones sobre el aprendizaje de la

proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron tres grandes conjuntos de

descripciones.

El primer conjunto de descripciones (ver Imagen No. 41) está asociado a las expresiones donde

se hacen reflexiones didácticas respecto al aprendizaje de las matemáticas, el desarrollo del

pensamiento variacional y el razonamiento proporcional en los EPM; así mismo, se pone de

manifiesto necesidades básicas de desarrollo intelectual que le exigen al EPM aprender sobre los

fenómenos de la enseñanza y el aprendizaje de la aritmética, las condiciones para transmitirla

como un saber cultural desarrollado y las condiciones para la elaboración del conocimiento

99

aritmético en la escuela. 4 de las 6 expresiones identificadas componen este conjunto y

representan el 66,67% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 41: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-D]


que se hace alusión al aprendizaje y desarrollo de objetos matemáticos asociados a la

proporcionalidad en el espacio de formación; de esta forma se plantea que el EPM realice

procesos con el fin de adquirir habilidades para contar, ordenar, estimar, calcular, medir y

resolver problemas en el campo aditivo. 1 de las 6 expresiones componen este conjunto y

representa el 16,67% de las expresiones para esta sub-categoría.

[En este semestre además de continuar con la cualificación de la acción didáctica a partir de un espacio de formación y reflexión sobre: Los procesos que permiten el desarrollo de habilidades para contar, ordenar, calcular, estimar, medir, resolver problemas aritméticos en el campo aditivo.] (apartado de Justificación p. 412)

[DI-02][EA-D-01] Imagen No. 42: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D]

Finalmente, en el tercer conjunto de descripciones (ver Imagen No. 43) se determinaron

expresiones que hacen mención a la reflexión sobre los instrumentos, dispositivos didácticos y/o

recursos que se analizan y generan aprendizaje de tipo didáctico en los EPM. 1 de las 6

expresiones componen este conjunto y representa el 16,67% de las expresiones para esta sub-

categoría.

[En este semestre además de continuar con la cualificación de la acción didáctica a partir de un espacio de formación y reflexión sobre: Los diseños que dinamizan el desarrollo de estructuras aditivas.] (apartado de Justificación p. 412)

[DI-02][EA-D-02] Imagen No. 43: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-D]

Con relación a la sub-categoría [EA-G] (Expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad

en el proceso didáctico de gestión) no se identificaron expresiones asociadas a la misma.

100

En cuanto a la sub-categoría [EA-E] (Expresiones sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en

el proceso didáctico de evaluación) se identificaron tres conjuntos de descripción:

En el primer conjunto de descripciones (ver imagen No. 44) se encuentran expresiones que hacen

alusión a la evaluación desde el desarrollo de habilidades cognitivas en el EPM. Para ello, en el

programa de formación se describen niveles de desarrollo por rangos etiquetados como “alto”,

“medio” y “bajo”. 2 de las 4 expresiones componen este conjunto y representa el 50% de las


Imagen No. 44: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][EA-E]


que se hace mención de las actividades generales en las que se describe el desarrollo del espacio

de formación, como por ejemplo: tareas orales y escritas, construcción de mapas conceptuales,

resolución de problemas propuestos por el docente titular y cuestionarios con preguntas abiertas.

1 de las 4 expresiones componen este conjunto y representa el 25% de las expresiones para esta

sub-categoría.

¿Como se evalúa? Con: i) la aplicación de instrumentos de evaluación como: tareas orales y escritas, elaboración de mapas conceptuales, resolución de problemas, cuestionarios de preguntas abiertas, autor reguladores de los estudiantes. ii) la valoración de los resultados según criterios de corrección, adecuación y pertinencia.] (apartado de evaluación del programa de formación, p. 415

[DI-02][EA-E-02] Imagen No. 45: Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E]

Para el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 46) se identificaron expresiones en las

que el programa de formación estipula criterios de evaluación de los instrumentos o medios

usados, como por ejemplo: la corrección, adecuación y pertinencia de los trabajos que

desarrollen los EPM. 1 de las 4 expresiones componen este conjunto y representa el 25% de las


101

[¿Como se evalúa? Con:... ii) la valoración de los resultados según criterios de corrección, adecuación y pertinencia.] (apartado de evaluación del syllabus de formación, p. 415)

[DI-02][EA-E-03] Imagen No. 46: Ejemplo tercer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][EA-E]

4.3.3. Uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad.


descripción para la sub-categoría [ES] (Ver anexo No. 12, No. 13 y No. 14). A continuación se





En la unidad [DI-02] frente a la sub-categoría [ES-D] (Expresiones sobre situaciones para

enseñar la proporcionalidad en el proceso didáctico del diseño) se encontraron dos conjuntos de

descripciones:

En el primer conjunto de descripciones (ver imagen No. 47) se encuentra una expresión que hace

alusión a cuatro grandes tipos de actividades en el espacio: El taller, el seminario, el panel y la

exposición magistral por parte del docente que dirija el espacio. 1 de las 2 expresiones componen

este conjunto y representa el 50% de las expresiones para esta sub-categoría.

[Las estrategias didácticas que se desarrollaran en la asignatura son el taller, el seminario, el panel y la exposición magistral. En el cronograma de actividades se detalla, la forma de organización de las estrategias según necesidades de desarrollo de los contenidos de formación.] (Apartado de metodología del espacio de formación, p. 414)

[DI-02][ES-D-01] Imagen No. 47: Ejemplo primer conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D]

En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 48) se identificó una expresión en la

que se hace mención de cuatro situaciones didácticas a lo largo de las sesiones de formación de

los EPM: situaciones de exploración, de cuestionamiento de identificación de problemas, las

situaciones de elaboración que pasan de la elaboración individual a la de grupos pequeños y a la

colectiva, las situaciones de validación de saberes elaborados y finalmente las situaciones de

Institucionalización. Dichas situaciones son tomadas desde la perspectiva de Brousseau. 1 de las

2 expresiones componen este conjunto y representa el 50% de las expresiones para esta sub-

categoría.

102

[Las anteriores estrategias estarán fundamentadas en cuatro situaciones didácticas: La situaciones de exploración, de cuestionamiento de identificación de problemas, las situaciones de elaboración que pasan de la elaboración individual a la de grupos pequeños y a la colectiva, las situaciones de validación de saberes elaborados y finalmente las situaciones de Institucionalización.] (Apartado de metodología del espacio de formación, p. 415)

[DI-02][ES-D-02] Imagen No. 48:Ejemplo segundo conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ES-D]

Con relación a la sub-categoría [ES-G] (Expresiones sobre situaciones para enseñar la

proporcionalidad en el proceso didáctico de gestión) y [ES-E] (Expresiones sobre situaciones

para enseñar la proporcionalidad en el proceso didáctico evaluación), no se identificaron

expresiones asociadas a la misma.

4.3.4. Uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad


descripción para la sub-categoría [ER] (Ver anexo No. 12, No. 13 y No. 14). A continuación se





En la unidad [DI-02] frente a la sub-categoría [ER-D] (Expresiones relacionadas con el uso de

referentes teóricos, didácticos, matemáticos y/o curriculares sobre proporcionalidad en el

diseño) se encontraron cuatro conjuntos de descripciones: En el primer conjunto de descripciones

(ver imagen No. 49) se encuentras expresiones en las que se describen referentes bibliográficos

cuya característica común se encuentra en que abordan, algunos desde diferentes perspectivas,

reflexiones y desarrollos didácticos con relación a diversos objetos matemáticos, entre ellos la

proporcionalidad. 12 de las 20 expresiones componen este conjunto y representa el 60% de las


103

Imagen No. 49: Ejemplo primer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D]

En el segundo conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 50) se identificaron expresiones en la

que se hace mención a reflexiones y desarrollos de tipo didáctico enfocados a los recursos,

instrumentos y/o dispositivos didácticos para la enseñanza y el aprendizaje de la

proporcionalidad. 4 de las 20 expresiones componen este conjunto y representa el 20% de las


Imagen No. 50: ejemplo segundo conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D]

Para el tercer conjunto de descripciones (Ver Imagen No. 51) se identificaron expresiones

asociadas a referentes bibliográficos que abordan el desarrollo de objetos matemáticos frente a la

estructura aditiva y multiplicativa. 3 de las 20 expresiones componen este conjunto y representa

el 15% de las expresiones para esta sub-categoría.

Imagen No. 51: Ejemplo tercer conjunto de descripciones sub-categoría [DI-02][ER-D]

Finalmente, en el cuarto conjunto de descripción (Ver Imagen No. 52) se identificó una

expresión que, si bien no hace uso de referentes bibliográficos, se determina como postura

teórica respecto a la justificación sobre la pertinencia de la asignatura de didáctica de la

aritmética; en ella se argumenta "…porque los sistemas de números y las magnitudes. son

herramientas básicas para dar sentido al mundo, por cuanto el sentido del mundo se construye

desde la acción en él, su comprensión y su transformación.". Ésta es considerada una postura

104

filosófica sobre el mundo, y la comprensión del mismo por parte del hombre. Dicha expresión

representa el 5% de las expresiones encontradas para esta sub-categoría.

[Por todo lo anterior (hablando de las tres rutas de entrada a la aritmética) la respuesta a ¿por qué una didáctica de la aritmética?, es precisamente: porque los sistemas de números y las magnitudes. son herramientas básicas para dar sentido al mundo, por cuanto el sentido del mundo se construye desde la acción en él, su comprensión y su transformación.] (apartado de Justificación p. 413)

[ER-D-01] Imagen No. 52: Ejemplo cuarto conjunto de descripción sub-categoría [DI-02][ER-D]

Con relación a la sub-categoría [ER-G] (Expresiones relacionadas con el uso de referentes

teóricos, didácticos, matemáticos y/o curriculares sobre proporcionalidad en gestión) y [ER-E]

(Expresiones relacionadas con el uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad en

evaluación), no se identificaron expresiones asociadas a la misma.

4.3.5. Aspectos generales concepciones locales-epistemológicas

Con base en los conjuntos de descripción identificados en el proceso de análisis de las

expresiones seleccionadas para cada una de las sub-categorías, respecto a las concepciones

locales-epistemológicas; a continuación se presentan algunos aspectos generales de las tres

unidades de contexto estudiadas:

Para el caso de las expresiones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en el

proceso didáctico de diseño, [EE-D] y [EA-D], al igual que en las expresiones en las que se hace

uso de referentes bibliográficos, [ER-D], se pudo determinar que: para las tres unidades de

contexto estudiadas hay un mismo conjunto de descripción basado en la identificación de

expresiones donde se hace referencia al tratamiento y/o desarrollo de objetos matemáticos

asociados a la proporcionalidad, habilidades de pensamiento a través de la resolución de

problemas aritméticos y referentes teóricos como ayudas al estudio. Así mismo, hay otro

conjunto de descripciones comunes asociado a expresiones conducentes a la reflexión didáctica

sobre la aritmética en las que se establece una construcción de sentido numérico, lo que permite

consolidar lo que en los syllabus de formación se llama "competencia numérica" y expresiones

donde se hace referencia al desarrollo del saber didáctico en los EPM precedido por referentes

bibliográficos propuestos como ayudas al estudio. Así mismo, se ponen de manifiesto

necesidades básicas de desarrollo intelectual que le exigen al EPM aprender sobre los fenómenos

de la enseñanza y el aprendizaje de la aritmética, las condiciones para transmitirla como un

105

saber cultural desarrollado y las condiciones para la elaboración del conocimiento aritmético

en la escuela.

Por último, se establece un conjunto común de descripciones asociado a expresiones que hacen

alusión a la resolución de problemas como metodología de enseñanza al interior del espacio de

formación y expresiones relacionadas con la identificación, caracterización y reflexión de

instrumentos, dispositivos didácticos y/o recursos para la enseñanza de la proporcionalidad.

Éstos tres aspectos comunes encontrados en las unidades de contexto permiten determinar que

los tres espacios de formación, donde se abordan objetos y reflexiones asociadas a la

proporcionalidad, conciben que el desarrollo de los objetos matemáticos y la reflexión y

desarrollo del saber didáctico sobre éstos constituye un aspecto importante para la conformación

del conocimiento didáctico del contenido en los EPM que será implementado a lo largo de las

prácticas y en su desarrollo profesional. Así mismo, se concibe una necesidad común sobre el

reconocimiento y reflexión de los recursos, dispositivos didácticos y la resolución de problemas

como elementos que deben estar presentes en los espacios de formación. No se evidencian

afirmaciones donde se privilegie o sea prerrequisito el desarrollo del objeto matemático en los

EPM para poder desarrollar un saber didáctico determinado.

En cuanto a las expresiones encontradas sobre el aprendizaje de la proporcionalidad en el espacio

de formación para el proceso didáctico de evaluación [EA-E], se identificaron dos conjuntos

comunes de descripciones: el primero se asocia a los aspectos operativos sobre la distribución de

porcentajes de valoración cuantitativa por cortes en los que se dimensiona un proceso de

evaluación sumativa por medio de parciales, exposiciones, entrega de trabajos e informes

escritos, ensayos, quices y exámenes finales. En el segundo está relacionado con las expresiones

donde se proponen niveles de desarrollo de habilidades de tipo cognitivo, comunicativo,

epistemológico e interaccional (según la unidad de contexto) aspecto que comporta una

evaluación desde lo formativo en los EPM que promueve el desarrollo de habilidades de

pensamiento y razonamiento proporcional.

Para el caso particular de las expresiones relacionadas con las situaciones, problemas y/o

actividades que los syllabus de formación proponen en el proceso didáctico del diseño, [ES-D] se

pudo determinar que: En primer lugar, hay un conjunto común de descripciones en las tres

106

unidades de contexto asociado a expresiones que hace alusión a cuatro grandes tipos de

actividades en el espacio: El taller, el seminario, el panel y la exposición magistral por parte del

docente que dirija el espacio como también se detallan exposiciones, trabajos, exámenes

parciales, quices y examen conjunto. En segundo lugar, se identificó un conjunto de

descripciones común asociado a expresiones en la que se hace mención de cuatro situaciones

didácticas a lo largo de las sesiones de formación de los EPM similares a las que se proponen en

la TSD y expresiones en las que se hace referencia a las técnicas y nociones que emergen en el

proceso de resolución de problemas y las actitudes que los EPM deben adoptar como resolutores.

En tercer lugar, se identificó un conjunto de descripciones en el que se encuentran expresiones

que hacen alusión problemas y situaciones para el desarrollo de objetos matemáticos

relacionados con la proporcionalidad, desde la unidad [DI-02] se abordan tres miradas:

Situaciones problema, el aspecto histórico desde los Babilonios y desde Euclides. De esta forma,

se concibe que en el desarrollo de los espacios de formación, aunque se desarrollan desde la

resolución de problemas como metodología de clase, no hay un desconocimiento sobre el

desarrollo de sesiones de clase magistrales que enriquecen los espacios de formación y si se

establece una participación activa por parte de los EPM a lo largo de los seminarios que se

plantean.

107

5 . CONCLUSIONES Y REFLEXIONES

La presentación de las conclusiones se organizan a partir de dos partes: En la primera parte, se

presentan los alcances del proceso investigativo a partir de los objetivos y la pregunta de

investigación; en la segunda parte, se muestran algunas inferencias sobre el proceso investigativo

llevado acabo y los aportes de la investigación al problema de investigación y al campo de la

formación inicial de profesores de matemáticas.

5.1. Aproximación a la caracterización de las concepciones

Con el fin de dar cumplimiento a los objetivos propuestos en la investigación, se hace necesario

retomar dos aspectos orientadores del estudio: En primer lugar, se planteó la pregunta de

investigación: ¿Cuáles son las concepciones que expresan los estudiantes para profesor de

matemáticas [EPM] de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en Matemáticas

[LEBEM] en las unidades didácticas durante la práctica intensiva docente sobre la

enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en la educación básica? Y las siguientes

preguntas orientadoras:

• ¿Cuáles son los aspectos que se presentan como elementos de reflexión didáctica en

torno a la enseñanza de la proporcionalidad en los documentos y/o escritos referidos a

los espacios de formación que propone el proyecto curricular de Licenciatura en

Educación Básica con Énfasis en matemáticas?

• ¿Cuáles son las concepciones sobre la enseñanza de la proporcionalidad que se pueden

identificar en las unidades didácticas que construyen los estudiantes de la práctica

108

intensiva (última práctica docente) que iniciaron sus estudios entre el semestre 2009-1 y

2010-3?

En segundo lugar, definición de concepciones asumida en esta investigación desde la perspectiva

de Ponte (1994): “las concepciones son marcos organizadores implícitos de conceptos, con una

naturaleza esencialmente cognitiva…” (p. 199). Así mismo, se evoca la perspectiva de Ruíz

(1994) donde se afirma que, para determinar las concepciones globales de los sujetos, es

necesario analizar dos tipos de concepciones locales: las subjetivas y las epistemológicas

(descritas en la página 32).

Con esta visión teórica, se diseñaron cuatro sub-categorías dimensionadas en los procesos

didácticos de diseño, gestión y evaluación tomando como punto de partida la revisión teórica y

conceptual de la investigación: Expresiones asociadas a estratégicas didácticas relacionadas con

el proceso de enseñanza, expresiones sobre la comprensión de los estudiantes que hacen alusión

con el proceso de aprendizaje, expresiones relacionadas con tipos de situaciones y/o problemas

que se proponen para enseñar proporcionalidad y, por último, expresiones donde se hace uso de

referentes bibliográficos asociados a la enseñanza de la proporcionalidad. En las secciones 4.2.5

y 4.3.5 del capítulo anterior se muestra una descripción de los resultados para cada tipo de

concepción local determinando unos conjuntos de descripciones generales para las unidades de

contexto analizadas para cada sub-categoría. Tras un análisis de éstos resultados, a continuación

se presenta un esbozo de las concepciones globales de los EPM desde las producciones escritas

estudiadas.

Con relación a las formas en las que se conciben los procesos de enseñanza de la

proporcionalidad:

• Hay una concepción organizativa del proceso de enseñanza dimensionado en los

conjuntos comunes de descripciones sobre las expresiones encontradas en las unidades

[UD-08], [UD-09] y [UD-10]. Se le llama ciclo de clase, a manera de interpretación sobre

rutinas y acciones invariantes que el EPM describe a lo largo del diseño de actividades y

reporta en los protocolos sobre su gestión. Éste aspecto no es descrito para los conjuntos

de expresiones identificados en los syllabus de formación, de esta manera no hay una

109

incidencia y/o relación desde dichos syllabus estudiados con lo que se dimensiona en la

unidades didácticas para éste aspecto particular.

• Se puede determinar que hay una concepción de enseñanza como proceso instructivo y

unidireccional en el que el EPM es aquel que posee el control de la actividad de clase y

da las explicaciones necesarias para que se origine una comprensión en los estudiantes,

fortalece y/o guía procesos de reconocimiento del objeto proporcionalidad. Este aspecto

guarda estrecha relación con lo que se propone en los conjuntos de expresiones

encontradas en los syllabus de formación, ya que en ellos se establece una necesidad

básica de desarrollo intelectual en el EPM quien aprende sobre los fenómenos de la

enseñanza y el aprendizaje de la aritmética, las condiciones para transmitirla como un

saber cultural desarrollado y las condiciones para la elaboración del conocimiento

aritmético en la escuela. Si bien no se desconoce un proceso de transmisión de

conocimiento en uno de los syllabus de formación estudiados, se privilegia la resolución

de problemas como metodología de clase en la que se plantea al profesor como guía u

orientador en el proceso de enseñanza y lo sitúa como mediador entre los estudiantes y un

saber matemático y/o didáctico específico. Ahora bien, se determina la importancia, en

los syllabus de formación, sobre la reflexión y desarrollo de los objetos matemáticos y su

mirada desde aspectos didácticos asociados con su enseñanza, aspecto que se dimensiona

claramente en las unidades didácticas estudiadas, ya que se encuentran expresiones

orientadas hacia la reflexión sobre las acciones que el EPM realizó y sus implicaciones en

el proceso de aprendizaje. Finalmente, tanto en las concepciones locales-subjetivas como

en las locales-epistemológicas se concibe a la enseñanza como proceso separado al del

aprendizaje donde una no necesariamente implica la otra, aunque no se reconoce el

proceso de enseñanza sin el de aprendizaje.

• Se concibe que el proceso de enseñanza no se da por si sólo con las acciones,

declaraciones, explicaciones y/o intervenciones del EPM sino que en él intervienen

contextos, recursos, dispositivos didácticos que son puestos en juego como mediadores

para lograr un proceso de enseñanza efectivo. En las unidades didácticas estudiadas se

concibe al proceso de enseñanza como aquel en el que el saber matemático debe ser

contextualizado por el EPM. Esta concepción está asociada a la perspectiva didáctica que

110

en efecto se describe a lo largo de las tres unidades didácticas desde la teoría de

situaciones didácticas desarrollada por Brousseau. En este mismo sentido, en los syllabus

de los espacios de formación [DI-02] y [DI-03] se dimensionan expresiones enfocadas

hacia el estudio de diferentes recursos para la enseñanza de la aritmética desde la

reflexión y los contextos de aplicabilidad de los mismos. No hay afirmaciones en los

syllabus de formación donde se manifieste la necesidad de desarrollar un estudio inicial

sobre los objetos matemáticos asociados a la proporcionalidad para luego poder

desarrollar un tipo de saber didáctico sobre los mismos; por el contrario, los desarrollos

son a la par y se identifican en los objetivos de los syllabus estudiados.

Respecto a las formas en las que se conciben los procesos de aprendizaje de la proporcionalidad:

• Se identifica una concepción de las acciones de los estudiantes encaminada hacia un

proceso de ejecución instructivo sobre lo que plantea el EPM dimensionado con mayor

frecuencia en las expresiones identificadas en las unidades [UD-08] y [UD-09]. Este

aspecto guarda coherencia con la concepción de enseñanza descrita anteriormente. Por su

parte, en los syllabus de formación estudiados no se logra identificar al aprendizaje en

dicho sentido, por el contrario, se asocia al proceso de adquisición de habilidades a través

de las resolución de problemas como metodología de los espacios de formación. Se

describe al EPM en el rol de resolutor de situaciones problemas propuestas por el docente

titular; de este modo, hay un rol activo del EPM en el proceso de aprendizaje pero no se

dimensiona con mayor frecuencia en las expresiones identificadas y descritas en las

unidades didácticas.

• Para los EPM, hay una concepción común del proceso de aprendizaje como aquel que

permite determinar dificultades en los estudiantes y estudiar las interacciones entre

estudiantes-estudiante, estudiante-saber. Estos aspectos son previstos en el diseño de las

actividades y son reportados como oportunidades para el ajuste de la planeación y las

secuencias de actividades. La observación y reflexión sobre las acciones, discusiones y

producciones de los estudiantes es una determinante a lo largo de las unidades didácticas

estudiadas y, en los syllabus de formación se identifica a partir de las expresiones

111

orientadas a la reflexión didáctica sobre los objetos matemáticos asociados a la

proporcionalidad, los recursos y dispositivos didácticos.

• La evaluación se concibe como la estructuración de niveles de desarrollo cognitivo a

nivel conceptual y procedimental sobre las producciones de los estudiantes a nivel

individual y grupal según la actividad propuesta por el EPM; se encontraron expresiones

en las tres unidades didácticas donde se reconoce un proceso de evaluación formativo y

constante pero para todas las actividades no habían unos criterios de evaluación

estructurados y tampoco se encontraron expresiones sobre las acciones realizadas por los

EPM respecto a la forma en la que se llevaron acabo dichos procesos alternos de

evaluación. Por su parte, en los syllabus de formación hay dos concepciones de

evaluación: la primera se asocia a las expresiones donde se describen niveles de

desarrollo cognitivo y comunicativo de los EPM, aspecto evidenciado en las unidades

didácticas; la segunda se basa en aquellas expresiones asociadas a procesos de evaluación

sumativa, por cortes de tiempo, donde se evalúa la producción y comprensión que van

adquiriendo los EPM en los espacios de formación sobre los objetos matemáticos y

saberes didácticos.

Frente al uso de situaciones, problemas, ejercicios para enseñar proporcionalidad:

• Se determina una concepción de situación fundamental como un contexto o un grupo de

contextos familiares a los estudiantes desde la teoría de situaciones didácticas que se

dimensionan, para el caso de la proporcionalidad, únicamente para el desarrollo del

pensamiento numérico-variacional. En cambio, en los syllabus de formación se menciona

un trabajo constante sobre situaciones problema propuestas por el docente titular que, en

algunos casos, son descritas dentro del contexto histórico y evolutivo con el fin de

analizar desarrollos matemáticos de civilizaciones como los babilonios, estudio de los

elementos de Euclides, entre otros.

• En los conjuntos de descripciones de las tres unidades didácticas se privilegian las

situaciones donde se evidencia una comparación entre espacios de medida como parte de

situaciones problema contextualizadas y presentadas a los estudiantes a lo largo de las

sesiones de clase. Se identifica una concepción de “ejercicios” usados como situaciones

112

descontextualizadas y que privilegian el uso de algoritmos para encontrar valores

desconocidos que permitan determinar proporcionalidad entre dos razones. En cuanto a

los syllabus de formación, se identificaron expresiones que se asocian a actividades

generales comunes que estructuran los tres espacios de formación: Talleres, exposiciones

magistrales por parte del docente titular, exposiciones que realizan los EPM, panales y

seminarios; de esta forma, no se encontraron descripciones particulares acerca de las

situaciones problema propuestas para ser abordadas en los espacios de formación.

Únicamente la unidad [DI-02] menciona tres contextos centrales para el desarrollo del

espacio: Trabajo sobre el libro de los elementos de Euclides, documento sobre desarrollos

históricos de los Babilonios y situaciones problema propuestas por el docente titular. En

las unidades didácticas no se describen situaciones y/o problemas a nivel histórico para la

enseñanza de la proporcionalidad.

Con relación al uso de referentes bibliográficos sobre proporcionalidad:

• Algunos de los referentes sugeridos en los syllabus de formación fueron usados por los

EPM con el fin de: justificar, argumentar la importancia de trabajar la proporcionalidad

en el aula y reportar dificultades en el aprendizaje de la proporcionalidad en el proceso

didáctico de gestión. Uno de los referentes mayormente usado es Vergnaud y su libro “El

niño, las matemáticas y a realidad”, al igual se encuentran referentes comunes en los

syllabus de formación y las unidades didácticas como lo son: Gómez, Dickson,

Brousseau y Euclides. Este aspecto permite determinar que, para los EPM, hay una

necesidad de documentar su proceso de diseño, gestión y evaluación de actividades para

la enseñanza de la proporcionalidad, a través de referentes validados por la comunidad

científica de educación matemática. Así mismo, los referentes son ajustados a los

discursos y producciones que efectúan los EPM en las unidades didácticas; de esta forma,

la indagación de perspectivas y autores a nivel bibliográfico no se reflejan en las

concepciones de enseñanza encontradas pero sí se dimensionan al reportar los procesos

de aprendizaje que emergieron a lo largo de las sesiones de clase reportadas en las

unidades didácticas.

113

• En las tres unidades didácticas estudiadas aunque se define la forma en la que se

comprende la proporcionalidad, entendida por los EPM como “igualdad entre dos

razones”, no hay uso de referentes teóricos que desarrollen y/o sustenten a profundidad

dicha definición; aspecto que implica una concepción sobre la definición del objeto

matemático construida a lo largo de su proceso de aprendizaje, a través de los espacios de

formación del proyecto LEBEM, y las pre-concepciones construidas desde su formación

escolar. En cuanto a las expresiones encontradas en los syllabus de formación, hay

expresiones en las tres unidades de contexto estudiadas donde se dimensionan posturas

teóricas sobre las implicaciones del estudio y desarrollo del razonamiento proporcional

en los EPM, pero no hay sustentos teóricos mencionados que las respalden.

• Finalmente, en los syllabus de formación se dimensiona, en los referentes bibliográficos

propuestos y usados, una necesidad sobre el estudio y reflexión del desarrollo histórico de

los objetos matemáticos asociados a la proporcionalidad, análisis de aportes de otras

culturas y las implicaciones que se pueden determinar para el desarrollo de los procesos

de enseñanza y aprendizaje a nivel escolar. Éste aspecto no se evidencia en las unidades

didácticas [UD-09] y [UD-10] ya que no se toma en cuenta el desarrollo epistemológico

del objeto proporcionalidad y sus implicaciones en los procesos de enseñanza y

aprendizaje a nivel escolar.

De esta manera, se da respuesta a los cuestionamientos orientadores y los objetivos de la

investigación.

5.2. Conclusiones sobre el proceso de investigación

Con el fin de dar respuesta a la pregunta general, a las preguntas orientados mencionadas

anteriormente y cumplimiento a los objetivos de investigación propuestos, se determinaron

cuatro fases para el desarrollo metodológico de la investigación: Fase de revisión teórica y

selección de unidades de análisis, fase de diseño de la estrategia metodológica para la

recolección de la información en las unidades seleccionadas, fase de análisis de la información y

la fase asociada a la elaboración del informe final. A continuación se presentan las conclusiones

y principales aportes sobre dicho proceso de investigación implementado:

114

En primera instancia, a través del proceso de revisión teórica se construyó una red categorial que

se pudo validar a través del proceso de identificación y descripción de: Expresiones de reflexión

didáctica en torno a la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad en los syllabus

oficiales de los espacios de formación que propone el proyecto curricular de LEBEM de la

Universidad Distrital y, las expresiones escritas que pudieron dar cuenta de concepciones sobre

la enseñanza y el aprendizaje de la proporcionalidad, presentes en las unidades didácticas

elaboradas durante la última práctica por los EPM que iniciaron sus estudios entre el semestre

2009-1 y 2010-3. De esta forma se lograron cumplir con los objetivos específicos de la

investigación.

En segunda instancia, a través de la implementación de dos técnicas de investigación

documental como lo son el análisis cualitativo de contenido (ACC) y la teoría fundamentada en

los datos (TFD) se pudo determinar: El conjunto total de unidades disponibles para el análisis de

las concepciones locales-subjetivas y locales epistemológicas, realización de una lectura

extensiva de cada documento e intensiva respecto a cada una de las partes de los mismos,

reducción y delimitación de las unidades que mayor información tuviesen respecto al

tratamiento de la proporcionalidad y, realización de un proceso de codificación abierta y

aproximación a un proceso de codificación axial dimensionando las sub-categorías en cada uno

de los documentos seleccionados.

En tercera instancia, a través del proceso de agrupamiento de las expresiones que tenían

descripciones similares, se logró realizar una descripción de los aspectos generales de las

concepciones locales-subjetivas y locales-epistemológicas efectuada en los apartados 4.2.5 y

4.3.5 del presente informe. Este aspecto permitió realizar una aproximación a las concepciones

globales, a partir de la comparación de los elementos descriptivos generales de cada tipo de

concepción, estableciendo aspectos comunes y diferenciadores que son descritos en el apartado

5.1 de éste capítulo. De esta forma, se da solución a la pregunta general, las preguntas

orientadoras y el tercer objetivo específico de la investigación.

Por otra parte, a lo largo del proceso de investigación se determinó la importancia sobre el

estudio de las concepciones que poseen los EPM sobre la proporcionalidad porque:

• Son un elemento fundamental para la construcción del CDC en los procesos de formación

inicial de profesores de matemáticas.

115

• Hay estudios encontrados como los reportados por Zapata Blanco & Camacho (2012) en

los que las concepciones no dependen del programa de formación sino de otros factores

como la comprensión sobre los objetos matemáticos y su trabajo en el aula de clase.

• Hay una necesidad, reportada en los estudios de Valverde (2009), por estudiar y

profundizar sobre la formación que están teniendo los EPM sobre la proporcionalidad ya

que se ha catalogado como superficial, algorítmica, procedimental y poco conectada.

• Hay una hipótesis determinada en las investigaciones realizadas por Llinares & Sánchez

(1990) donde se afirma que la génesis del conocimiento profesional del profesor se

encuentra en las creencias de tipo epistemológico que tienen los EPM sobre los objetos

matemáticos y su comprensión sobre las nociones escolares que enseñan a través del

periodo de prácticas.

Al respecto, el proceso de investigación llevado a cabo sobre las concepciones que poseen los

EPM acerca de la enseñanza de la proporcionalidad permite aportar al campo de la formación de

profesores de matemáticas y problema de investigación algunas reflexiones:

• Si bien la concepción de profesor de matemáticas que propone el programa de formación

influye en las concepciones que los estudiantes van generando sobre los objetos

matemáticos, sus procesos de enseñanza y aprendizaje, hay un fuerte componente ligado al

sistema de creencias de los EPM que determina la forma en la que se actúa en la práctica. La

reflexión sobre la acción y la necesidad de generar espacios de enseñanza y a aprendizaje

basados en la resolución de problemas son aspectos que son de resaltar en el proyecto

LEBEM. Sin embargo, hay una serie de cuestionamientos que surgen desde los resultados

encontrados, como por ejemplo: ¿De qué forma se establecen procesos de articulación entre

los diferentes ejes de formación para poder evidenciar en la práctica docente una puesta

innovadora para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas escolares? ¿Cómo se

establece el acompañamiento del proyecto curricular para la consecución de las prácticas que

posibilite la reflexión de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

escolares y cómo incide en las concepciones de los EPM? ¿De qué forma se surgen las

concepciones locales-subjetivas en el proceso de gestión del diseño de actividades en

116

ambientes escolares dispuestos en el espacio de práctica y cómo se relacionan con las

unidades didácticas que se plantean al final del espacio de formación?.

• Con relación a los planteamientos de Llinares (1990) presentados en el problema de

investigación, se evidencia que los desarrollos, trabajos y reflexiones que se construyen a

través de los espacios de formación que plantea el proyecto LEBEM proponen el aprendizaje

de los objetos matemáticos de la mano con la construcción y reflexión de saberes didácticos

en los EPM, aspecto que posibilita una visión amplia y complementaria a la que plantea

Llinares.

• Como contribución al campo de estudio sobre las concepciones, a través de técnicas de

análisis documental diferentes a las conocidas y reportadas en estudios anteriores sobre

concepciones, se pudo identificar, describir y comparar las expresiones sobre la enseñanza y

el aprendizaje de la proporcionalidad en los procesos didácticos de diseño, gestión y

evaluación, siendo este último el de menor información encontrada ya que en las unidades

didácticas y en los syllabus de formación se realiza un énfasis sobre los procesos de

evaluación del aprendizaje. Así mismo, las concepciones, más allá de considerarse marcos

organizadores implícitos de conceptos, son aspectos determinantes que modelan y

estructuran la acción del profesor, son una amalgama entre el sistema de creencias de los

sujetos derivado de la experiencia de aprendizaje en las instituciones de formación inicial

superior y la experiencia de la práctica en instituciones escolares básicas y secundarias.

Finalmente, los resultados encontrados en la presente investigación abren paso al estudio de las

concepciones que se pueden evidenciar a través de una red categorial construida y validada tanto

teórica como metodológicamente en el campo. El análisis de las acciones, gestos y expresiones

que emergen en la práctica a través de la observación directa del proceso de gestión del profesor

o EPM en el aula de clase se traduce en posibilidades para nuevos estudios; ya que, por aspectos

logísticos del trabajo, no fue posible dicha observación aunque se logró analizar el proceso

didáctico de gestión reportado en los protocolos que se encuentran en las unidades didácticas y

se encontraron aspectos importantes. Se reconoce la existencia de otro tipo de trabajos que

estudian las concepciones desde las acciones del profesor y están siendo desarrollados al interior

del proyecto curricular de LEBEM; los resultados de este trabajo podrían generar aportes a

dichos estudios sobre las concepciones y la reflexión sobre los programas de formación de EPM.

117

6. REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS

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