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1

Un tren circula a velocidad constante de 10m/s sobre una vía horizontal. Una persona lanza

una pelota al aire formando un ángulo de 30o con la horizontal. En el exterior hay un

observador en reposo, el cual ve que la pelota sale vertical. ¿Qué altura alcanzará la pelota?

Solución:

Para que el observador no vea velocidad horizontal, el lanzamiento ha debido ser en sentido

contrario a la velocidad del tren y con la misma velocidad horizontal. Con lo cual:

Vx = V cos 30 = 10

Vy = V sin 30 = 10 tg 30

H = ����� = 1.7 m

2

2

Un skater de masa M, se construye una monopatín con una báscula incorporada. Se lanza desde

el punto A, situado a una altura H, a una pista circular e intenta hacer un looping.

a. Hallar la velocidad mínima que debe llevar en la parte inferior de la pista para que pueda

describir el looping.

En esta caso

b. ¿Cuánto marcará la báscula que incorpora el patín en el punto más bajo?

c. ¿Qué velocidad deberá llevar en el instante inicial?

Solución:

En la parte más alta de la pista, N=0 con lo cual �� � . Ahora aplicando la conservación de

energía entre el punto más bajo y el más alto, la velocidad en el punto más bajo será �� �5 ⇒ v = 9.9 m/s

La báscula marcará: N- mg = m�� ⇒ N = 6 mg = 3528 N

Desde el punto de lanzamiento, aplicando conservación energía v = 8.8 m/s

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3

Primer día de enero de este año, la sonda New Horizons sobrevuela el objeto del cinturón de

Kuiper (486958) 2014 MU69, más conocido como Ultima Thule. Las primeras imágenes nos

muestran claramente que se trata de un objeto formado por dos cuerpos prácticamente

esféricos y hechos del mismo tipo de material. La NASA ha denominado Ultima al mayor y Thule

al menor. Aproximadamente el radio de Ultima es RU=10 km y el radio de Thule es RT=5 km.

Aunque no lo sabemos con exactitud, podemos suponer que su densidad ρ no será muy alta.

Tomaremos aquí el valor � � 1g/cm�.

También sabemos que Ultima Thule rota sobre sí mismo alrededor de un eje perpendicular a la

línea que une los centros de Ultima (U) y Thule (T) y que pasa por el centro de masas CM del

sistema, tal y como se muestra en la figura. El periodo de rotación es aproximadamente 15 h. El

CM del sistema se encuentra a una distancia de 5/3 km del centro de U.

a. Determinar si la atracción gravitatoria entre Ultima y Thule es suficiente para

mantenerlos unidos o si por el contrario es necesario encontrar algún otro tipo de

justificación que explique por qué no se separan debido a la rotación.

Para resolver el problema supondremos que Ultima y Thule son dos esferas perfectas en

contacto (Al parecer, y según los análisis recientes, su forma se parece más a lentejas gruesas)

Solución:

Aunque se ha dado como dato la posición del Cm, su cálculo sería como sigue:

El CM del sistema estará más cerca de U que de T, pues el tamaño y la masa de Última (��) es

mayor que el tamaño y masa (��) de Thule. Suponiendo ambos cuerpos esféricos y de radios � y � conocidos, sus masas se pueden obtener conociendo la densidad �

�� � 43����,�� � 43����

Casualmente � � 2�, por tanto ��/�� � ��/��� � 2� � 8 , es decir �� � 8��.

Ambas relaciones simplificarán las expresiones.

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Para encontrar la posición del CM del sistema tomemos el eje que une los centros de Ultima

(U) y Thule (T) y llamemos X a la posición del CM sobre dicho eje, contada desde U. Si las

posiciones de U y T en el eje son � � 0 y � � � " � � 3� � 15km, entonces

� 1�� "�� ��� � "�� �� � �� ��� "�� � �� �8�� "�� � �9 � 3�9 � �3 � 53 km Para saber si la fuerza gravitatoria es suficiente para mantenerlos unidos, debemos comprobar

que es suficiente para proporcionar la aceleración centrípeta a la que están sometidos debido

a su giro alrededor del CM. La fuerza gravitatoria vendrá dada por la Ley de Gravitación

Universal de Newton teniendo en cuenta la distancia entre sus centros � " � � 3� y sus

masas �� � 8��

% � & ������ " ��� � & 8�����3��� � & 89����� Fijándonos por ejemplo en el caso de Thule podemos calcular la aceleración gravitatoria

usando la segunda ley de Newton

� %�� � & 89���� � & 89 '43����(�� � & 3227���

La aceleración centrípeta correspondiente a la rotación será *+ � ,�-, siendo , la velocidad

angular y - el radio de giro, que es distinto para cada cuerpo. Tomando por ejemplo el caso de

Thule, el radio de giro es - � 3� . �/3 � 8�/3 y la aceleración centrípeta

*+ � ,�- � ,� 8�3 Donde la velocidad angular puede calcularse sabiendo el periodo / � 15h � 54000s

, � 2�/ � 2�54000 � 1.16 ∙ 1056rad/s Para que el sistema permanezca unido, basta con que sea mayor que *+, es decir /*+ : 1.

Este cociente es (usando � � 1g/cm� � 1000kg/m�, & � 6.67 ∙ 105;;Nm�/kg�)

= *+>�?@AB �& 3227���,� 8�3 � & 49� �,� � 6.67 ∙ 105;; 49� 1000�1.16 ∙ 1056�� � 6.9

En el caso de Última, la fuerza es la misma pero � %/�� es 8 veces menor que en el caso de

Thule. La aceleración centrípeta será *+ � ,�- con - � �/3, es decir, también 8 veces

menor. Por tanto tenemos el mismo valor para el cociente /*+ (como debe ser, dado que

evidentemente la condición de separarse ha de ser la misma).Como el cociente es

sobradamente mayor que 1, el sistema permanece unido simplemente por su atracción

gravitatoria. Nótese que la condición de separación depende de la densidad � . El hecho de

que permanezcan juntos implica un valor mínimo de �.

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4

Dos partículas iguales de masa m están unidas a dos resortes de constantes elásticas k1 y k2. En

el mismo instante a la masa que está unida al primer resorte se le comunica, estando situada

en su posición de equilibrio, una velocidad vo hacia la derecha, y la masa que está unida al

segundo resorte se suelta desde una distancia xo a la izquierda de su posición de equilibrio, tal

y como se indica en la figura. Calcular:

a. La ecuación del movimiento de cada partícula respecto a la posición de equilibrio

b. La relación que debe existir entre k1 y k2 para que ambas partículas alcancen por

primera vez su máxima elongación al mismo tiempo

Solución:

a) C;DE;FGH�,;I " JK;� ,; � LMNO

�;DE;,; cos�,;I " JK;� I � 0 Q C; � 0 →JK; � 0, ��; � �S � "E;,; → JK; � 0

E; � �TUN � �KLOMN

C; � �SVWX; FGH�VX;W I� C�DE�FGH�,�I " JK�� ,; � LMNO

��DE�,� cos�,�I " JK�� I � 0 YC� � .CK � E�FGHJK� Z 0 → E� � CK�� � 0 → JK� � [� , . [� → JK� � . [�

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C� � CSFGH�VX�W I . �2� b) En el mismo instante t, C;DE; y C�DE� → LMNO I � [� � LM�O I . [� → LMNO I �

[� ,LMNO I � �

M�MN � 4. (La masa del resorte k1 ha utilizado un cuarto de periodo, T1/4, y la de k2 medio

periodo, T2/2)

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5

Una nave industrial tiene un grupo de máquinas de distintas características que están

distribuidas en tres filas y siete columnas, como se muestra en la figura. La separación entre dos

filas o dos columnas cualesquiera es 4 m. El punto A se encuentra alineado con la segunda

columna de máquinas y a 4 m de la primera máquina de esa columna.

Cuando todas las máquinas funcionan, el nivel de intensidad sonora en A es 90 dB. En un

momento dado la máquina señalada con la letra M se detiene y entonces se constata que el

nivel de intensidad sonora en A se reduce a 87 dB.

a. Suponiendo que la fuente de sonido es isótropa, calcular la potencia acústica (en W/m2)

emitida por la máquina M. (Intensidad correspondiente al umbral de audición: 10-12

W/m2)

Solución:

El nivel de intensidad sonora \ viene dado por

\ � 10]^ = __K>

Con _K � 105;�W/m�. En nuestro caso tenemos dos situaciones. En la situación 1 todas las máquinas funcionan y el

nivel de intensidad sonora es \; � 90dB. A este nivel le corresponderá una intensidad sonora _; que se obtiene de la ecuación anterior.

_; � _K10bN ;K⁄ � 105;� ∙ 10dK ;K⁄ � 105�W/m�En la situación 2, con la máquina M apagada, el nivel de intensidad sonora es \� � 87dB que

se corresponde con una intensidad _�

_� � _K10b� ;K⁄ � 105;� ∙ 10ef ;K⁄ � 5.012 ∙ 1056W/m� g 5 ∙ 1056W/m�Si llamamos _h a la intensidad en A debida exclusivamente a la máquina M, entonces

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_h � _; . _� � 105� . 5 ∙ 1056 � 5 ∙ 1056W/m� La relación entre intensidad acústica _ y potencia i para una fuente puntual isótropa es

_ � i4�j�

Y a partir del dibujo la distancia jentre A y M es

j � k12� " 16� � 20m Luego la potencia acústica de la máquina ih

ih � 4�j�_h � 4� ∙ �20m�� ∙ 5 ∙ 1056W/m� � 2.5W

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6

Tres cargas puntuales l; , l� y l� se hallan en los

vértices de un cuadrado de 2 cm de lado tal y como se

muestra en la figura. La carga l; tiene un valor de .10mn y el campo eléctrico en el vértice V (2cm, 2cm),

no ocupado por carga alguna, es cero.

a) Determinar el valor de las cargas l� y l�

Dejamos libre una carga l = "1mn cuya masa es de 1

en el centro C del cuadrado,

b) ¿En que dirección se moverá la carga? Razonar la

respuesta

c) ¿qué velocidad tendrá cuando recorra una distancia j � √2pW?

Solución:

a) qrsssst � q;sssst " q�sssst " q�sssst � 0

Para que se anule el campo en V, la carga l�debe ser

negativa y l� positiva como indica la figura

qru � |q�|p^F45 . |q;| � 0

qrw � |q�|FGH45 . |q�| � 0

|q�| � X l�-�� , |q�| � X |l�|-�� , |q;| � X |l;|-;� , -; �-� � 2pW, -� � 2√2pW

|q;| � |q�| → l; � l� � .10mn

X l�-�� p^F45 � X |l�|-��

l� � =-�-�>� |l�|p^F45 � 28,28mn

Q1

Q2

Q3

C

2 cm

2 cm V

X(cm)

Y(cm)

-� qst;

qst�

qst�

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b) Estudiamos la fuerza %t � lqxsssst que experimenta la

carga Q en el punto C

qxsssst � q;xsssssst " q�xsssssst " q�xsssssst � q�xsssssst La carga se moverá hacia V

c) Cuando recorra √2W habrá alcanzado el punto V.

Por conservación de la energía

ly+ " 12W�x� � ly� " 12W�r�

�r� � 2lW �yx . yr� Calculamos potenciales: -;x � -�x � -�x � √2pW -;r � -�r � 2pW, -�r � 2√2pW

yx � X l;-;x " X l�-�x " X l�-�x � 9 z 10d z 10� z 105{√2 �.10 . 10 " 28,28� � 5,27 z 10{y

yr � X l;-;r " X l�-�r " X l�-�r � 9 z 10d z 10� z 105{ =.102 . 102 " 28,282√2 > � 0y

La velocidad

�r � L�|O �yx . yr� � L�z;K}~;K}� �5,27 z 10{� � 102,7O�

Q1

Q2

Q3

2 cm

2 cm

V

C

X(cm)

Y(cm)

qst�x

qst;x

qst�x

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7

Una partícula de 1 ng de masa y con una carga de 3 µC entra en una región del espacio de 10 cm

de espesor donde existe un campo magnético uniforme de 0,01 T, perpendicular a la dirección

de la velocidad de la partícula. A la salida de dicha región la velocidad de la partícula forma un

ángulo de 30o respecto de la dirección original de su movimiento. Calcular:

a) La velocidad de la partícula

b) El tiempo que tarda en atravesar la región donde existe campo magnético.

Solución:

a) En la región donde existe un campo magnético la

partícula experimentará una fuerza magnética,

obligándole a describir un arco de circunferencia, con una

aceleración centrípeta ��/. Sabiendo que

�%tO� � ���t � �st� � ���

Siendo � el valor absoluto de la carga. La segunda Ley de

Newton nos dice que

��� � W��

Y por tanto

�� � W �

De la geometría del problema sabemos que sen� � j/ y por tanto � ����� � 2j � 0.2m

con lo que nos queda

� � �� ∙ 2jW � 3105{C ∙ 0.01T ∙ 2 ∙ 0.1m105dkg � 6m/s Para calcular el tiempo I que tarda en salir podemos usar la longitud de arco � � ∙ � y tener

en cuenta que el módulo de la velocidad � es constante.

� � �I ⇒ I � �� � ∙ ��

Donde � � [{ rad, � 0.2m

I � 0.2m6m/s z �6 � 0.0175s

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8

Una persona se encuentra haciendo gimnasia en una sala con un espejo. De repente ve pasar un

dron por la ventana y desaparecer 1,5 segundos después. Si el dron se mueve con velocidad

constante en una trayectoria horizontal paralela a la pared exterior de la sala.

a) ¿Cuál es la velocidad del dron?

b) ¿Cuánto tiempo pasará hasta que lo vea reflejado en el espejo?

c) ¿Cambiaría este tiempo si la distancia “d” entre la trayectoria del dron y la pared fuese

mayor o menor que la indicada?

d) ¿Existiría alguna distancia d a la que pudiera ver el dron y su reflejo al mismo tiempo?

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Solución:

Si llamamos xi a la distancia entre la parte derecha de la ventana al punto donde comienza a ver

el dron:

tan�; � 2,53,5 � jC� Si llamamos xf a la distancia entre la parte izquierda de la ventana al punto donde deja de ver el

dron:

tan�� � 2,52,75 � jC�

Siendo d = 1m

C� � 1,4m;C� � 1,1m; Por lo tanto C� . C� . anchuradelaventanaes la distancia que recorre en 1,5 s

� � FI � 1,4 . 1,1 " 0,751,5 � 1,051,5 � 0,7W F⁄

Si llamamos C a la distancia entre el punto en que se verá el reflejo del dron y la parte derecha

de la ventana:

tan �� � 2,56,5 � jC ⇒ C � 2,6W

Juntando todo, el espacio que habrá recorrido el dron, desde donde desapareció de la vista hasta

donde aparece su reflejo es:

2,6 " 1,1 . 0,75 � 2,95W

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Y por lo tanto, sabiendo que su velocidad es 0,7 m/s, el tiempo que tarda en verse su reflejo es:

I � 2,950,7 � 4,21F

Del propio dibujo y de las ecuaciones se puede deducir que si la distancia d cambia, cambiarán

los resultados, existiendo incluso un punto en el que se puede ver el dron y su reflejo al mismo

tiempo, el punto de corte entre el rayo reflejado y la línea que une la posición de la persona con

el punto en el que desaparecía de la vista el dron.

Llamando “y” a la distancia de este punto a la pared del edificio, volvemos a repetir los cálculos

para hallar su valor (el cálculo es simple sustituyendo el valor “d” por “y” en las ecuaciones

(número)

y encontrando los nuevos valores de C� y C

tan�� � 2,52,75 � �C�

tan�� � 2,56,5 � �C

C � 0,75 . C� ⟹ � � 0,2m