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Los límites del crecimiento La forma más sencilla de poner límites al crecimiento exponencial en un modelo de población nos va a llevar al conocido como mapa logístico, lleno de conceptos matemáticos interesantes: caos, atractores, bifurcaciones, universalidad, etc... "El que crea que el crecimiento ilimitado es posible en un mundo de recursos finitos es un loco o un economista" --Kenneth Ewart Boulding-- Un sencillo modelo de poblaciones Cualquier ser vivo tiende a reproducirse siguiendo una progresión geométrica: si cada individuo tiene de media x descendientes, en cada generación la cantidad de individuos se multiplica por un factor constante. Por ejemplo si cada pareja tiene de media 4 descendientes, es decir dos por cada individuo de la pareja, e inicialmente hay 10 individuos, una generación más tarde tendremos 30 (los 10 de antes, más los 20 que han nacido), una generación más tarde 90, una generación más tarde 270, etc... Es el prototipo de crecimiento exponencial. Si llamamos x0 a la población inicial, podemos calcular la población en la generación enésima (xn) a partir de la relación de recurrencia xn = r xn-1 Donde r es la tasa de natalidad más 1: cuantos individuos nacen por cada individuo que existe (2 en el caso del ejemplo anterior), más el que estaba antes. Esta sencilla fórmula nos dice que de una generación a la siguiente la población se multiplica por r (3 en nuestro ejemplo).
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Los límites del crecimiento
La forma más sencilla de poner límites al crecimiento exponencial en un modelo de población nos va a llevar al conocido como mapa logístico, lleno de conceptos matemáticos interesantes: caos, atractores, bifurcaciones, universalidad, etc...
"El que crea que el crecimiento ilimitado es posible en un mundo de
recursos finitos es un loco o un economista" --Kenneth Ewart Boulding--
Un sencillo modelo de poblaciones
Cualquier ser vivo tiende a reproducirse siguiendo una progresión
geométrica: si cada individuo tiene de media x descendientes, en cada
generación la cantidad de individuos se multiplica por un factor
constante. Por ejemplo si cada pareja tiene de media 4 descendientes, es
decir dos por cada individuo de la pareja, e inicialmente hay 10
individuos, una generación más tarde tendremos 30 (los 10 de antes, más
los 20 que han nacido), una generación más tarde 90, una generación más
tarde 270, etc... Es el prototipo de crecimiento exponencial. Si llamamos
x0 a la población inicial, podemos calcular la población en la generación
enésima (xn) a partir de la relación de recurrencia
xn = r xn-1
Donde r es la tasa de
natalidad más 1:
cuantos individuos
nacen por cada
individuo que existe
(2 en el caso del
ejemplo anterior),
más el que estaba
antes. Esta sencilla
fórmula nos dice que
de una generación a
la siguiente la población se multiplica por r (3 en nuestro ejemplo).
Obviamente este no es un modelo de población muy sensato: los
individuos tienden a reproducirse sin ningún límite y además ¡viven para
siempre! Sin embargo es un buen ejercicio para empezar. Cuando
programamos este modelo (exponencial.py) y lo ejecutamos tenemos
gráficas como la de la derecha. Todas son bastante similares: un
crecimiento exponencial de la población.
Modelos de crecimiento
Digamos que los recursos pueden sustentar una determinada población
máxima (ejemplo: pescando podemos alimentar como máximo a
1.000.000 de personas por generación). Resulta cómodo expresar la
cantidad de población en términos relativos a este número máximo. De
esta forma todos los valores de la población xn están entre 0 y 1. Cuando la
población inicial es x0 = 0,5, lo que queremos decir es que la población
inicial es el 50 % de lo que el entorno puede sustentar. En la práctica
puede resultar muy complicado calcular este número, ya que en una
situación realista depende de muchos factores que están relacionados
entre sí, pero obviamente cualquier entorno, por grande que sea tiene
recursos limitados y por lo tanto siempre existe esta población máxima.
Cuando la población supere este límite tenemos que parar nuestra
simulación: no hay recursos para todos y hay que buscar un modelo más
realista.
Lo primero que vamos a incorporar en nuestro modelo es la mortalidad.
Una forma sencilla de tener en cuenta la mortalidad es simplemente decir
que en cada generación muere una parte de la población que llamaremos
tasa de mortalidad m (por ejemplo, si en cada generación mueren un 5 %
de los individuos m = 0,05). Es sencillo darse cuenta de que esta forma de
mortalidad simplemente cambia el valor de la tasa de crecimiento, que en
vez de ser r pasa a ser r-m. De esta forma la tasa de mortalidad
simplemente se combina con la tasa de natalidad para producir una tasa
de reproducción total.
El comportamiento de este modelo es muy básico: si la tasa de
crecimiento total es mayor que 1 (r > 1), el número de individuos crece
hasta que supera la capacidad máxima que el entorno puede sustentar. En
cambio si la tasa de crecimiento total es menor que 1 (cuando la
mortalidad es mayor que la natalidad), la población acaba extinguiendose.
A pesar de lo sencillo y obvio de este modelo, se pueden aprender algunas
cosas. El crecimiento exponencial es sorprendente y muy poco intuitivo.
Imaginemos que empezamos con una población inicial muy pequeña: x0 =
0,0000001, y usamos como tasa de natalidad 1,0, y como mortalidad 0,5
(por lo tanto r = 1,0 + 1,0 - 0,5 = 1,5). (Este es el ejemplo de la figura que
hemos visto antes). ¿Cuándo deben los individuos preocuparse por la
cantidad de recursos que están consumiendo? Veamos lo que dice nuestra
simulación. La población avanza lentamente, y en 20 generaciones la
población es de solo 0,00033, así que les quedan el 99,99966 % de los
recursos sin explotar. En otras 10 generaciones la población crece hasta
alcanzar el valor 0,019. Nada de lo que preocuparse, Al fin y al cabo, han
vivido 30 generaciones y sólo "gastan" un 2 % de los recursos. La hora de
preocuparse ya llegará, siendo muy prudentes cuando queden la mitad de
los recursos o algo así...
Desafortunadamente tan sólo 8 generaciones más tarde ya han pasado de
consumir sólo el 2 % de los recursos a casi la mitad (un 49 %), y tan sólo
dos generaciones más tarde consumen la otra mitad que queda.
Recursos limitados
Sería ideal que nuestro modelo incorporase de forma automática que
cuando la población está cerca del límite que puede sustentar el entorno,
los individuos tienen dificultades para seguir reproduciéndose al mismo
ritmo. Es decir, necesitamos que la tasa total de reproducción dependa a
su vez del valor de la población. Probablemente la forma más sencilla de
incluir este resultado en nuestro modelo sea sustituir r por r(1-x). En otras
palabras, cuando x (la población) es pequeña, r se multiplica por un
número muy cercano a 1 (es decir que casi no se altera), y el modelo
modificado es muy parecido al anterior. Pero cuando el valor de la
población está cerca del valor x = 1 el valor "efectivo" de r disminuye (ya
que lo multiplicamos por (1 - x), que es pequeño). Ahora son las
ecuaciones de nuestro modelo son
xn = r (1-xn-1)xn-1
y nos dicen cómo varía la población de una generación a la siguiente.
Veamos lo que nuestro modelo mejorado nos dice del caso anterior: el
programa (generaciones.py) implementa nuestro nuevo modelo de
población.
Como podemos ver
en la gráfica de la
derecha obtenemos
el efecto deseado. Al
principio la
población crece de
forma exponencial,
muy parecido a
como lo hacía antes,
pero cuando los
recursos empiezan a
escasear la tasa total de reproducción efectiva decrece. Finalmente, la
población llega a un armonioso equilibrio con el entorno: la población se
estabiliza en un valor tal que los recursos se consumen exactamente al
ritmo que el entorno permite. Si la población se desvía un poco de este
valor óptimo, tanto para arriba como para abajo, unas pocas generaciones
más tarde la población vuelve a ajustarse de forma automática al valor de
equilibrio (el lector debe convencerse de esto último jugando con el
modelo).
Sin embargo, esta no
es una predicción
genérica de nuestro
modelo. Si usamos
un valor distinto del
parámetro r, por
ejemplo 3,8,
obtenemos la gráfica
de la derecha. Al
principio el comportamiento es muy similar: un crecimiento exponencial.
Sin embargo, en este caso el valor de la población no parece llegar a un
equilibrio con el entorno. Para empezar el crecimiento se para de una
forma muy brusca: la población pasa de ser 0,9 a ser 0,4. Es un colapso: la
población ha consumido recursos demasiado rápidamente y se ha
"pasado" de población, provocando una escasez de recursos para la
siguiente generación. Además, la población oscila sin ningún patrón
aparente. Hay temporadas en las que la población se mantiene estable
durante un par de generaciones o tres, pero hay ocasiones en que oscila
entre 0,9 y 0,2.
¿Qué cambia en el modelo para que el sistema pase de ser estable a un
comportamiento aparentemente aleatorio? ¿Cómo sucede este cambio?
¿En qué valor del parámetro r? ¿Es el comportamiento aleatorio
realmente aleatorio? Seguiremos explorando este modelo en las siguientes
entradas, pero mientras tanto... ¿qué pensáis vosotros? Una pista: el
secreto está en las derivadas.
Las simulaciones de los modelos de poblaciones son muy antiguas, y en
concreto el sencillo modelo que hemos estudiado hoy, conocido como la
ecuación logística data de 1845 (en realidad el modelo original era
"continuo" en el tiempo. Nuestro modelo discreto se conoce como mapa
logístico). Este modelo es un ejemplo lleno de fenómenos interesantes que
el lector va a descubrir en las siguientes entradas: caos, atractores,
bifurcaciones, etc...
El ser humano no es distinto del resto de los seres vivos en su tendencia a
reproducirse de manera exponencial. La única diferencia es que debido a
nuestra inteligencia somos capaces de obtener recursos para sostener este
crecimiento en una variedad de entornos muy diversa. El ser humano
habita a día de hoy en casi todos los rincones del mundo, y esta
expansión, junto con avances tecnológicos en medicina, agricultura, etc..,
han permitido que la población mundial haya crecido de forma
ininterrumpida durante unos 10.000 años.
La población en la Tierra va a dejar de crecer en algún momento. Nadie
sabe si será consecuencia de nuestras decisiones individuales, la
migración espacial a otros planetas, o una serie de guerras, hambrunas y
un colapso a escala global o localizado. Hay ejemplos históricos de los
que, sin embargo, deberíamos tomar nota, en los que civilizaciones han
colapsado debido, en gran medida, a una sobreexplotación del entorno. El
libro Colapso de Jared Diamond, es sin lugar a dudas muy interesante de
leer. El club de Roma publicó a principios de los años 70 un informe,
basado en unas simulaciones informáticas, titulado Los límites del
crecimiento en el que concluían que: si el actual incremento de la
población mundial, la industrialización, la contaminación, la producción
de alimentos y la explotación de los recursos naturales se mantiene sin
variación, alcanzará los límites absolutos de crecimiento en la Tierra
durante los próximos cien años.
Aunque no faltan críticos, algunas de las predicciones de este modelo han
resultado ser bastante acertadas. Las revisiones de las predicciones del
modelo con datos recientes indican que la humanidad se encamina a un
escenario de colapso en el siglo XXI.
Artículo tomado de https://www.investigacionyciencia.es/blogs/matematicas/33/posts/los-lmites-
del-crecimiento-12361
Avanzado
Pregunta a MaxineP: ¿Es importante el tipo de suelo sobre el que se construye una casa?
R: ¡Sí! Existen muchos suelos diferentes. Hay que estar seguros de que se construye
una casa, una oficina, un colegio o incluso los caminos en un parque sobre el
suelo adecuado. Puedes averiguar qué tipo de suelo y qué suelo es mejor para
tu proyecto visitando tu oficina municipal de protección medioambiental.
Solución del rompecabezas del código secreto CLORMT: “Escarba, los secretos del suelo”
La respuesta a Franklin Roosevelt es:“La nación que destruye su suelo se destruye a sí misma.”- Franklin Delano Roosevelt
Respuestas a “Todos excavamos los suelos”: 1D, 2B, 3F, 4C, 5A, 6E
ESCARBA MÁS PROFUNDO
IMPLÍCATELos suelos hacen posibles nuestras vidas:
• Construimos sobre el suelo.
•Jugamos sobre el suelo.
• Conducimos sobre el suelo.
• Ingerimos alimentos que crecen o han
sido cultivados en el suelo.
• Tomamos medicinas que proceden del
suelo.• Llevamos ropa que no tendríamos si no
hubiera suelo.• Bebemos agua que no estaría limpia si
no hubiera suelo.• Respiramos aire puro del que carecería-
mos sin las plantas y árboles que crecen
en el suelo.Toda la Tierra...todos los ecosistemas...todo
organismo vivo...depende de los suelos. To-
dos los días tomas decisiones que afectan
a los suelos. Piensa en tu patio o tu parque
de juego. Escribe lo que vas a hacer para
proteger o mejorar sus suelos.
Maxine es una empleada de la NACD de 47 años.
Folleto diseñado por Willow Marketing • Escrito por T.D. Southerland • Jefe de Proyecto SM Schultz [email protected]
Agradecimiento especial al equipo Smithsoniano de la exposición ¡Escarba! Los secretos del suelo; Comité SSSA K–12; Comité NACD S&E
Correlaciones con las normas nacionales, guía de educadores y respuestas en: http://nacdnet.org/education
Folleto diseñado para niños de 9 a 11 años
Los materiales educativos ¡ESCARBA! fueron elaborados por la NACD basándose en una exposición organizada por el Museo Nacional de Historia Natural del Instituto Smithsonian y patrocinada por la Sociedad Estadounidense de Ciencias del Suelo y la Fundación Nutrients for Life
National Association of Conservation Districts (NACD)http://nacdnet.org
Soil Science Society of America http://soils.org
Smithsonian Institution
http://forces.si.edu/soils
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¿No crees que tú eres suelo? ¡Piensa de nuevo! ¡Somos suelo! Casi todos
los minerales y nutrientes que necesitamos para la vida, para nutrirnos,
para crecer, para conseguir energía y mantenernos sanos provienen de
prados, jardines, árboles y pastos. Cada planta, hortaliza o fruta que
ingerimos obtiene sus nutrientes del suelo en el que crece. ¡Somos suelo!
Cada animal obtiene sus nutrientes de las plantas que ingieren, quienes
a su vez sacan sus nutrientes de la tierra en la que crecen... ¡así que los
animales y los ecosistemas en los que viven son suelo! Sólo se puede
utilizar una pequeña parte del suelo de la Tierra para cultivar alimentos, y
estamos ya cultivando la mayor parte. Para evitar la amenaza del hambre
en el mundo en el futuro debemos mantener nuestros suelos sanos. ¡Así
que recuerda, no trates el suelo como si fuera basura!
¡ERES SUELO!¡NO LO SOY!¡SÍ LO SOY!
Franklin Roosevelt se pronunciasobre el suelo
RELLENA TODAS LAS CASILLAS SIGUIENDO ESTAS INSTRUCCIONES:
1. Coloca cada grupo de letras en una columna, de arriba a abajo. Mantén el orden de las letras. Ya hemos colocado la primera columna.
2. Los grupos de letras no están ordenados correctamente. Deberás decidir en qué columna debe ir cada grupo.
3. No debes colocar ninguna letra en las casillas en negro. Representan espacios entre palabras.
4. Cuando hayas terminado, escribe la cita que hayas descifrado en las dos líneas que hay debajo del recuadro.
LDDS
IEYOYM
SSAM
NS
CUULU
ÓEEI
AEEÍ
AQRER
NTUT
UEA
SSS
-Franklin Delano RooseveltTrigésimo segundo Presidente de los Estados Unidos de América1933-1945
1882-1945Franklin Delano Roosevelt
El ex presidente de Estados Unidos Franklin Roosevelt daba gran importancia a los suelos. Resuelve este crucigrama para averiguar qué dijo.
Formas en las que depen-do de los suelos1.__________________________________________________________________________________________2.__________________________________________________________________________________________3.__________________________________________________________________________________________
4._________________________________________________________________________________________________________________
¿Puedes pensar en tres formas en las que dependes de los suelos cada día?
Piensa en el lugar en el que vives. Si vives en una casa o en un edificio de viviendas, ¿sobre qué está construido? SUELO.
¿Tu casa o tu edificio de viviendas son de ladrillo? ¿De dónde viene el ladrillo?De la arcilla que hay en el SUELO.
¿Qué has comido hoy? ¿Dónde creció o se cultivó? En el SUELO.
¿Llevas hoy jeans o una camiseta de algodón? ¡Ese algodón se cultivó en el SUELO!
¿Has bebido agua hoy? El agua se limpia y se filtra a través del SUELO.
¿Has estado en un bosque recientemente? ¿De dónde obtienen el agua y los nutrientes los ecosistemas como bosques y humedales? ¡Del SUELO!
¿QUÉ TIENE QUE VER CONMIGO?
L
D
D
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“¡La tierra es mucho más divertida cuando le añades agua!”
-Hank Ketcham, Daniel el Travieso (2004)
© NACD/FAO 2015 © NACD/FAO 20152 7
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CLORMT Rompecabezas del código secretoEscribe las respuestas a las pistas en los espacios en blanco situados a la derecha de cada pista. Después, coloca cada letra en su casilla del cuadro utilizando las coordenadas que figuran debajo de cada espacio en blanco. Cuando hayas terminado el rompecabezas podrás leer un mensaje
A B C D E F G H I J
1
2
3
¡Una mezcla de minerales, aire, agua, restos muertos y podridos de plantas y animales (materia orgánica) y MUCHOS organismos vivos! El suelo está vivo... ¡tiene padres, envejece, respira!
CLORMT es una ecuación para la formación del suelo. Al resolver la ecuación, descubrirás qué secretos ocultos en tu vecindario forman los suelos. Todo empieza cuando las rocas se rompen en pedazos muy pequeños durante un período de varios cientos de años, o los sedimentos son transportados y depositados por el viento, el agua, los glaciares, o incluso la gravedad. ¡Añade un poco de aire, agua, minerales, materia orgánica viva y no viva, y tienes suelo!
CLORMTCLORMTCÓDIGO SECRETO:
CLimaEl suelo se forma cuando las rocas y los minerales se erosionan y descomponen.
La temperatura y la cantidad de lluvia pueden acelerar o ralentizar las reacciones
químicas. Las temperaturas más cálidas normalmente aceleran las reacciones, las
temperaturas más frías las ralentizan. Por ejemplo: empieza con un pedazo de
piedra caliza, déjalo en un sitio bonito y cálido, donde llueva con frecuencia. Espera
unos años y deja que se erosione. ¡Después cultiva un poco de maíz, que ingerirás
en forma de mazorca en una feria y terminará proporcionando a tu cuerpo calcio
de la piedra caliza! ¡ESCARBA!
1. Las raíces de las plantas producen dióxido de carbono que liberan al suelo.
2. Cuando llueve, se produce una reacción química entre el dióxido de carbono del
suelo y el agua de lluvia, formando ácido carbónico.
3. La piedra caliza contiene un mineral llamado calcita. El ácido carbónico disuelve
la calcita en calcio.
4. El calcio es absorbido por las raíces del maíz a medida que crece.
5. Te comes el maíz. ¡ESCARBA!
OrganismoLos animales que cavan madrigueras, las raíces de las plantas, los gusanos,
insectos y microorganismos erosionan física y químicamente el suelo.
RelieveRelieve es la pendiente del terreno o el grado de inclinación de una colina.
Relieve también es la dirección hacia la que está orientada el terreno. El relieve del
terreno influye en el número de horas de sol que llegan al suelo, su temperatura,
la cantidad de agua que evacúa y el número de plantas que viven en él.
Material matrizSí, es verdad, el suelo tiene padres. Los padres de un suelo son las rocas o los
sedimentos originales de los que procede. Las rocas podrían haber sido enormes
piedras que estuvieron allí todo el tiempo, o rocas o sedimentos más pequeños
de arena, limo y arcilla que fueron arrastrados por el viento o el agua.
Tiempo¡Descomponer las rocas y los minerales lleva mucho tiempo! Pero sucede.
Si le das suficiente tiempo, la “erosión” convertirá la roca sólida en suelo.
Hay más organismos en una pala llena de tierra que personas
que viven en el planeta Tierra.SUELO =
O
P
E
T
CLORMT es un acrónimo nemotécnico (un término especial que se utiliza para ayudar a una persona a recordar algo) para la famosa ecuación de estado de Hans Jenny para la formación del suelo.
© NACD/FAO 2015 © NACD/FAO 2015
1. Los padres de un suelo son las rocas o los minerales ______________ de los que procede.
2. La ________________ puede acelerar o ralentizar la erosión.
3. Muchos de ellos viven en el suelo. Puedes llamarlos bichos. ________________ .
4. ________________ las rocas y los minerales lleva mucho tiempo.
5. Relieve es la dirección hacia la que está ________________ el terreno.
6. Cualquier organismo que vive en el suelo lo ________________ .
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
N
E
K3 H2 G1 K1 E3
E1 A3 I2 J2 C1
F1 D3 F2 H3
A1 C2 G2 I3
K2 I1 H1 C3
B1 J1 G3 B2
6 3
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A continuación se muestran diversas imágenes de algunas maneras en las que podrías utilizar los suelos sin ni siquiera saberlo. ¡Dibuja una línea para conectar la imagen de la izquierda con el texto de la derecha que describe cómo TÚ utilizas los suelos!
YO...SUELOS...Tú...SUELOS¡TODOS EXCAVAMOS LOS SUELOS!
A. Las placas que la protegen de un
intenso calor están fabricadas con
arena que viene del suelo.
B. Contiene fibra de algodón que procede
de una planta que crece en el suelo.
C. Los suelos controlan su movimiento,
hacen que esté disponible para las
plantas, la filtran y limpian antes de
que llegue a los arroyos, a los lagos y
a ti.
D. Pueden hacer que te sientas mejor
o incluso pueden salvar tu vida
y muchos de ellos provienen de
microorganismos que viven en los
suelos.
E. Fabricado con arcilla, que es una parte
del suelo.
F. ¡Crece en los suelos antes de terminar
en una caja en un estante de una
tienda, y una vaca comió cultivos que
crecen en el suelo para producir la
leche que te permite acompañarlos y
disfrutarlos!
Un inodoro es algo que seguro utilizas
todos los días. Ahora bien, ¿qué tiene
que ver con los suelos? Observa de cerca
tu inodoro y comprueba después los
siguientes datos:
Suelo residual Dato n.1 La mayor parte del inodoro es de
cerámica. La cerámica está hecha con
arcilla que procede de los suelos.
Suelo residual Dato n.2El asiento del inodoro es de madera. La
madera se obtiene de los árboles que
crecen en los suelos.
Suelo residual Dato n.3La cisterna y la taza del inodoro se llenan
con agua. Los suelos filtran y limpian el
agua antes de que la usemos.
2.
4.
3.
5.
6.
1.
SUELO RESIDUAL
ESCARBA MÁS PROFUNDODESPUÉS DE TIRAR DE LA CADENA¿Qué pasa con el agua en la taza del inodoro cuando
tiras de la cadena? ¿Cómo está relacionada con el
SUELO? Puedes considerar el SUELO como un gran filtro
de agua. Muchos sistemas sépticos utilizan el suelo
para filtrar las aguas residuales. ¡Conviértete en un
joven científico del suelo, investiga, averigua por qué el
suelo y el tipo de suelo son importantes cuando tiras
de la cadena! Pregunta a tu familia o en la oficina local
de sanidad qué tipo de sistema séptico tienes y cómo
interactúa con el suelo. Consulta con los promotores
locales o mira en Internet y busca formas alternativas
para gestionar las aguas residuales en tu zona. Recuerda
que el tipo de suelo donde se encuentran los sistemas
sépticos es importante. Descubrirás cómo localizar tu tipo
de suelo en la sección Pregunta a Maxine.
© NACD/FAO 2015 © NACD/FAO 20154 5
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![Transient Recovery VoltageResultados Tipo de falla TRV [kV] RRRV [kV/us] J12/J13 Barra 3f 262,56 5,1 J12/J13 ATR 3f 404,94 8,7 KT7 Barra 2f 385,57 4,6 KT7 ATR 3f 944,92 11,9 Tercer](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/5f62304b9cb2893ed84565ba/transient-recovery-resultados-tipo-de-falla-trv-kv-rrrv-kvus-j12j13-barra.jpg)
