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8/10/2019 Un poco de historia y el nacimiento del Clculo.docx

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Un poco de historia y el nacimiento delClculo

Introduccin

El Clculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de lahumanidad. Una vez construido, la historia de la matemtica ya no fue igual: lageometra, el lgebra y la aritmtica, la trigonometra, se colocaron en una nuevaperspectiva terica. Detrs de cualquier invento, descubrimiento o nueva teora,existe, indudablemente, la evolucin de ideas que hacen posible su nacimiento. Esmuy interesante prestar atencin en el bagaje de conocimientos que se acumula,desarrolla y evoluciona a travs de los aos para dar lugar, en algn momento enparticular y a travs de alguna persona en especial, al nacimiento de una nuevaidea, de una nueva teora, que seguramente se va a convertir en undescubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tantomerece el reconocimiento. El Clculo cristaliza conceptos y mtodos que lahumanidad estuvo tratando de dominar por ms de veinte siglos. Una larga listade personas trabajaron con los mtodos "infinitesimales" pero hubo que esperarhasta el siglo XVII para tener la madurez social, cientfica y matemtica quepermitira construir el Clculo que utilizamos en nuestros das.

Sus aplicaciones son difciles de cuantificar porque toda la matemtica moderna,de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes delandamiaje matemtico interactan constantemente con las ciencias naturales y latecnologa moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del clculo pero representan uneslabn en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienesdieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesoresinmediatos,Barrowy Fermat, la unidad algortmica y la precisin necesaria comomtodo novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estosdesarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli,

Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operacionesiniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron tambin resultadodirecto de las contribuciones de Oresme, Arqumedes y Eudoxo. Finalmente eltrabajo de estos ltimos estuvo inspirado por problemas matemticos y filosficossugeridos por Aristteles, Platn, Tales de Mileto, Zenn y Pitgoras. Para tener laperspectiva cientfica e histrica apropiada, debe reconocerse que una de lascontribuciones previas decisivas fue la Geometra Analtica desarrolladaindependientemente por Descartes y Fermat.
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Sin la contribucin de stos y de muchos otros hombres ms, el clculodeNewtonyLeibniz seguramente no existira. Su construccin fue parteimportante de la revolucin cientfica que vivi la Europa del siglo XVII.Los nuevosmtodos enfatizaron la experiencia emprica y la descripcin matemtica denuestra relacin con la realidad. La revolucin cientfica supuso una ruptura con

las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casiabsolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en lahistoria del conocimiento estuvieron precedidos por las importantestransformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimientoy la Reforma Protestante. El Clculo Diferencial e Integral estn en el corazn deltipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somosparte.

El extraordinario avance registrado por la matemtica, la fsica y la tcnica durantelos siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Clculo infinitesimal y por eso sepuede considerar como una de las joyas de la creacin intelectual de la que elhombre puede sentirse orgulloso.

El siglo XVII y la disputa por la creacin del clculo

En sus comienzos el clculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemascientficos y matemticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto.

Encontrar el valor mximo o mnimo de una cantidad.

Encontrar la longitud de una curva, el rea de una regin y el volumen de unslido.

Dada una frmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquiertiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleracin del cuerpo encualquier instante. Recprocamente, dada una frmula en la que seespecifique la aceleracin o la velocidad en cualquier instante, encontrar ladistancia recorrida por el cuerpo en un perodo de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes ms brillantes de estesiglo, concluyendo en la obra cumbre del filsofo-matemtico alemn GottfriedWilhelm Leibniz y el fsico-matemtico ingls Issac Newton: la creacin delclculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultnea pero susenfoques son diferentes. Los trabajos de Newton estn motivados por sus propiasinvestigaciones fsicas (de all que tratara a las variables como "cantidades que
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fluyen") mientras que Leibniz conserva un carcter ms geomtrico y,diferencindose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, yno como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementosinfinitamente pequeos, a los que llama diferenciales. Un incremento de xinfinitamente pequeo se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre

para y (con notacin dy). Lo que Newton llam fluxin, para Leibniz fue uncociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difcil imaginar que, al no poseer enesos tiempos un concepto claro de lmite y ni siquiera de funcin, los fundamentosde su clculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el clculo defluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas pococonvincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extraasque, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor,muy alejada del carcter perfeccionista de la poca griega, fue muy usual en lapoca post-renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron hasta que lasdesprolijidades en los fundamentos del clculo infinitesimal se solucionaron, y hoyaquel clculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los msprofundos hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polmica desatada a raz de laprioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realiz en el marco de lacortesa pero al cabo de tres dcadas comenz a ser ofensiva hasta que en elsiglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polmica se torncada vez mayor y finalmente se convirti en una rivalidad entre los matemticosbritnicos y los continentales.

La discusin sigui hasta mucho despus de la muerte de los dos grandesprotagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido inters y la posteridad hadistribuido equitativamente las glorias. Hoy est claro que ambos descubrieroneste clculo en forma independiente y casi simultnea entre 1670 y 1677, aunquefueron publicados unos cuantos aos ms tarde.

La difusin de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicacionesescasas. Los nuevos mtodos tuvieron cada vez ms xito y permitieron resolvercon facilidad muchos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severascrticas, la justificacin y las explicaciones lgicas y rigurosas de losprocedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuandoaparecieron otros matemticos, ms preocupados por la presentacin final de losmtodos que por su utilizacin en la resolucin de problemas concretos.

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El siglo XVIII
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Durante buena parte del siglo los discpulos deNewtonyLeibnizse basaron ensus trabajos para resolver diversos problemas de fsica, astronoma e ingeniera,lo que les permiti, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de lasmatemticas. As, los hermanos Bernoulli inventaron el clculo de variaciones y elmatemtico francs Monge la geometra descriptiva. Lagrange, tambin francs,

dio un tratamiento completamente analtico de la mecnica, realiz contribucionesal estudio de las ecuaciones diferenciales y la teora de nmeros, y desarroll lateora de grupos. Su contemporneo Laplace escribi Teora analtica de las

probabilidades(1812) y el clsico Mecnica celeste(1799-1825), que le vali elsobrenombre de "el Newton francs".

Sin embargo el gran matemtico del siglo fue el suizo Euler, quien aport ideasfundamentales sobre el clculo y otras ramas de las matemticas y susaplicaciones. Euler escribi textos sobre clculo, mecnica y lgebra que seconvirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estasdisciplinas. El xito de Euler y de otros matemticos para resolver problemas tantomatemticos como fsicos utilizando el clculo slo sirvi para acentuar la falta deun desarrollo adecuado y justificado de las ideas bsicas del clculo. La teora deNewton se bas en la cinemtica y las velocidades, la de Leibniz en losinfinitsimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico ybasado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eraninadecuados en comparacin con el modelo lgico de la geometra griega, y esteproblema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

A los matemticos de fines del siglo el horizonte matemtico les pareca obstruido.Se haba llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se lesconoca o vea un alcance claro. Los sabios sentan la necesidad de estudiarconceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

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El siglo XIX

Un problema importante fue definir el significado de la palabra funcin. Euler,Lagrange y el matemtico francs Fourier aportaron soluciones, pero fue el

matemtico alemn Dirichlet quien propuso su definicin en los trminos actuales.En 1821, un matemtico francs, Cauchy, consigui un enfoque lgico yapropiado del clculo y se dedic a dar una definicin precisa de "funcincontinua". Bas su visin del clculo slo en cantidades finitas y el concepto delmite. Esta solucin plante un nuevo problema, el de la definicin lgica denmero real. Aunque la definicin de clculo de Cauchy estaba basada en esteconcepto, no fue l sino el matemtico alemn Dedekind quien encontr una
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definicin adecuada para los nmeros reales. Los matemticos alemanes Cantor yWeierstrass tambin dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Adems de fortalecer los fundamentos del anlisis, nombre dado a partir deentonces a las tcnicas del clculo, se llevaron a cabo importantes avances en

esta materia. Gauss, uno de los ms importantes matemticos de la historia, diouna explicacin adecuada del concepto de nmero complejo; estos nmerosformaron un nuevo y completo campo del anlisis, desarrollado en los trabajos deCauchy, Weierstrass y el matemtico alemn Riemann. Otro importante avancefue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonomtricas,herramientas muy tiles tanto en las matemticas puras como en las aplicadas,hecho por Fourier. Cantor estudi los conjuntos infinitos y una aritmtica denmeros infinitos. La teora de Cantor fue considerada demasiado abstracta ycriticada. Encontramos aqu un espritu crtico en la elaboracin de estas nocionestan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a losmatemticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjarnuevos mtodos de clculo, sino de analizar conceptos considerados hastaentonces intuitivos.

Gauss desarroll la geometra no euclideana pero tuvo miedo de la controversiaque pudiera causar su publicacin. Tambin en este siglo se pasa del estudiosimple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemtica fueron completamente transformados duranteel siglo XIX, sobre todo por el matemtico ingls Boole en su libro Investigacinsobre las leyes del pensamiento(1854).

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Siglo XX y nuestros das

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integracin y a lateora de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas pormatemticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemticos que tuvo lugar en Pars en 1900,el matemtico alemn David Hilbert, quien contribuy de forma sustancial en casitodas las ramas de la matemtica retom veintitrs problemas matemticos que lcrea podran ser las metas de la investigacin matemtica del siglo que recincomenzaba. Estos problemas fueron el estmulo de una gran parte de los trabajosmatemticos del siglo.


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El avance originado por la invencin del ordenador o computadora digitalprogramable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemtica, como elanlisis numrico y las matemticas finitas, y gener nuevas reas deinvestigacin matemtica como el estudio de los algoritmos. Se convirti en unapoderosa herramienta en campos tan diversos como la teora de nmeros, las

ecuaciones diferenciales y el lgebra abstracta. Adems, el ordenador permitiencontrar la solucin a varios problemas matemticos que no se haban podidoresolver anteriormente.

El conocimiento matemtico del mundo moderno est avanzando ms rpido quenunca. Teoras que eran completamente distintas se han reunido para formarteoras ms completas y abstractas. Aunque la mayora de los problemas msimportantes han sido resueltos, otros siguen sin solucin. Al mismo tiempoaparecen nuevos y estimulantes problemas y an la matemtica ms abstractasencuentra aplicacin.

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Conclusiones

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a travs de una trayectoriaperfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en laconstruccin son desechados, reformulados o agregados. Las concepcionesfilosficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepcionessobre las caractersticas que debe reunir el conocimiento matemtico para ser

considerado como conocimiento cientfico, determinaron los enfoques realizadosen cada poca. El impacto que tuvieron los personajes y las contribucionesconsignadas en la historia difcilmente puede ser comprendida cabalmente siestas consideraciones no se toman en cuenta.

Este es un resumen de algunos de los momentos y logros histricos msimportantes y pretende motivar para una indagacin e investigacin ms

profunda sobre las ideas y los hechos presentados.


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Los contribuyentes al Clculo

A lo largo de la historia de los tiempos, numerosos matemticos, fsicos, filsofos yastrnomos entre otros, contribuyeron de alguna u otra forma al nacimiento,desarrollo y consolidacin del clculo. A continuacin aparecen los nombressurgidos en las diferentes pocas, los logros ms importantes de algunos de ellosy reseas biogrficas de quienes realizaron los aportes ms relevantes alnacimiento del clculo y la integral definida.

Antes de Cristo

THALES DE MILETO (624-547 a.C.)

PITGORAS de SAMOS (580-500 a.C.)

ZENN DE ELEA (490-425 a.C.)PLATN (427-347 a.C.)

EUDOXO de CNIDUS (408-355 a.C.): creador del mtodo de exhaucin

ARQUMEDES (287-212 a.C.): nativo de Siracusa, Sicilia estudi enAlejandra. Desarroll mtodos infinitesimales. Hizo una de las mssignificativas contribuciones griegas, utiliz el mtodo de exhaucin paraencontrar el valor aproximado del rea de un crculo.

Siglo XVI

LUCA VALERIO (1552-1618)

SIMON STEVIN (1548-1620)

GALILEO GALILEI (1564-1642)JOHANNES KEPLER (1571-1630)

REN DESCARTES (1596-1650)

BONAVENTURA CAVALIERI (1598-1647): desarroll un mtodo de loindivisible, el cual lleg a ser un factor en el desarrollo del ClculoIntegral. Su mtodo consiste en comparar proporcionalmente losindivisibles de volmenes o reas de cuerpos o figuras por encontrar, conlos respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas reas o volmenesse conocen.

Siglo XVII

PIERRE DE FERMAT (1601-1665): desarroll mtodos ingeniosos ytiles para encontrar mximos y mnimos. Trata de encontrar pruebasms o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri.

GILLES DE ROBERVAL (1602-1675)

EVANGELISTA TORRICELLI (1608-1647): volmenes generados por larotacin de ciertas curvas. Discpulo de Galileo Galilei.

JOHN WALLIS (1616-1703): tuvo una influencia decisiva en los primeros


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desarrollos del trabajo matemtico de Newton

BLAIS PASCAL (1623 -1662)

CRISTIAN HUYGENS (1629-1695)

ISAAC BARROW(1630-1677)

ISAAC NEWTON(1643-1727)

GOTTFRIED LEIBNIZ(1646-1716)

MICHEL ROLLE (1652-1719)

JACOB BERNOULLI (1654-1705): matemtico suizo que se carteaba confrecuencia con Leibniz, acu la palabra integral como trmino delclculo en el ao 1690.

GUILLAUME FRANCOIS ANTOINE MARQUIS LHOPITAL (1661-1704):escribi el primer libro de clculo en el ao 1696 influenciado por laslecturas que realizaba de sus profesores Bernoulli y Leibniz.

JOHANN BERNOULLI (1667-1748)BROOK TAYLOR (1685-1731)

COLIN MACLAURIN (1698-1746)

Siglo XVIII

LEONARD EULER (1707-1783)

THOMAS SIMPSON (1710-1761): sus principales trabajos se refieren ainterpolacin y mtodos numricos de integracin.

ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT (1713-1765)

MARIA GATANA AGNESI (1718-1799)

JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736-1813)MARQUS DE CONDORCET (1743-1794)

GASPARD MONGE (1746-1818)

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827)

ADRIEN LEGENDRE (1752-1833)

LAZARE CARNOT (1753-1823)

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1813)

BERNARD BOLZANO(1781-1848)

AGUSTIN-LOUIS CAUCHY (1789-1857): trabaj en la tarea de dar una

definicin precisa de "funcin continua".GEORGE GREEN (1793-1841)

Siglo XIX

NIELS ABEL (1802-1829)

KARL WEIERSTRASS (1815-1897)

GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903)

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866)
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RICHARD DEDEKIND (1831-1916)

JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903)

GEORG CANTOR (1845-1918)

SOFA KOVALEVSKY (1850-1891)

HENRI LON LEBESGUE (1875-1941)

Siglo XX

ANDREY NIKOLAEVICH KOLMOGOROV (1903-1987)

JOHN VON NEUMANN (1903-1957)

JEAN ALEXANDRE EUGEN DIEUDONN (1906-1992)

NICOL S BOURBAKI (1939-1967): seudnimo adoptado por ungrupo de matemticos franceses.


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OBJETIVOSObjetivos generales propuestos en la obra

Que el estudiante:

comprenda la relacin existente entre el Clculo Diferencial y el ClculoIntegral.

descubra la integral definida y conozca la importancia y dependencia de lavida moderna en relacin con ella.

utilice adecuadamente la terminologa y simbologa especfica.

reflexione sobre la importancia de los contenidos.

desarrolle creatividad, espritu crtico y capacidad de adquirir nuevosconocimientos en forma autnoma.

asuma la responsabilidad de su propio aprendizaje y logre la capacidad deanalizar y elaborar conocimientos por s mismo.

utilice la matemtica como herramienta para comprender, interpretar y

modelizar situaciones concretas.

mejore su proceso de abstraccin a travs del planteo e interpretacin delos resultados de los problemas.

adquiera capacidad para consultar la bibliografa a fin de ampliar,profundizar y afianzar los conocimientos.

afiance sus conocimientos y habilidades para la mejor recepcin y manejode la informacin cientfica

Objetivos especficos

Que el estudiante sea capaz de:

conocer la definicin formal de la integral definida de una funcin.


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utilizar la definicin mediante sumas de Riemann para calcular la integraldefinida.

comprender el concepto de integral definida de una funcin.

usar la definicin para probar algunas propiedades bsicas de la integraldefinida.

dominar las tcnicas fundamentales para el clculo de integrales definidas.

comprender, interpretar y aplicar el Teorema Fundamental del clculo.

comprender, interpretar y aplicar el Teorema del Valor Medio paraintegrales.

calcular integrales definidas mediante los mtodos de sustitucin, por partesy aproximacin.

calcular reas de regiones planas delimitadas por curvas.

aplicar los conocimientos adquiridos a la resolucin de problemas ysituaciones concretas.


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Contenidos reasyDistancias

Teorema del Valor Medio paraintegrales

La Integral Definida Integracin aproximada

Propiedades y Teoremas de laintegral definida

Aplicaciones

El Teorema Fundamental delClculo

EjerciciosyProblemas

Mtodos de integracin:sustituciny partes

Sugerencias de revisin

Clculo de reas
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EL PROBLEMA DEL REA

Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el rea de una figura geomtricaes la medida que proporciona el tamao de la regin encerrada por dicha figura. Elrea de un polgono puede definirse como la suma de las reas de los tringulosen que puede ser descompuesto y se puede demostrar que el rea obtenida esindependiente de cmo se descompuso el polgono en tringulos. Esta idea detrabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego Antifnalrededor del ao 430 a.C. y se conoce como el "mtodo del agotamiento".

Un problema mucho ms difcil es hallar el rea de una figura curva. El mtodogriego del agotamiento consista en inscribir polgonos en la figura y circunscribirotros polgonos en torno a ella, aumentar el nmero de los lados de los polgonosy hallar el rea buscada. Eudoxo consigui de esta manera encontrar la frmulapara calcular el rea de un crculo. Teniendo en cuenta el uso del mtodo dadopor Eudoxo, se lo conoce como mtodo de exhaucin de Eudoxo y el mismo fueempleado tiempo despus por Arqumedes para resolver problemas de este tipo.

Hasta aqu tenemos una idea intuitiva de lo que es el rea de una regin y que,calcular reas de regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no esfcil hallar el rea de una regin limitada por lados que son curvos. Tambinpodemos observar, sin mayores inconvenientes que:

el rea de una regin plana es un nmero (real) no negativo, regiones congruentes tienen reas iguales, el rea de la unin de dos regiones que se superponen slo por un

segmento es la suma de las reas de las dos regiones y si una regin est contenida en una segunda el rea de la primera es menor

o igual que el rea de la segunda.


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El problema que comenzamos a tratar es hacer que estaidea sea precisa dando una buena y exacta definicin de

rea.

Para esto podemos analizar dos ejemplos:

TRABAJAMOS EN CIENCIAS NATURALES. La fotosntesis

TRABAJAMOS EN GEOMETRA. Clculo de un rea encerrada por lagrfica de una funcin y los ejes coordenados

TRABAJAMOS EN CIENCIAS NATURALES. Lafotosntesis

La fotosntesis es la transformacin de la energa luminosa en energa qumica. Suimportancia no es de ndole menor, pues prcticamente toda la energa consumidapor la vida de la bisfera terrestre procede de la fotosntesis. La fotosntesisconsta de dos etapas o fases: la fase inicialo lumnica, y lafasesecundaria u oscura.

Primera fase o lumnica: en ella participa la luz solar. Laclorofila - que es una sustancia orgnica - capta la energasolar(luz) y la luz provoca la ruptura de la molcula deagua y se rompe el enlace qumico que une el hidrgenocon el oxgeno. Debido a esto, se libera oxgeno hacia elmedio ambiente. La energa no ocupada se almacena enuna molcula especial llamada ATP. El hidrgeno que seproduce al romperse la molcula de agua se guarda, aligual que el ATP, para ser ocupado en la segunda etapa

de la fotosntesis.

Segunda fase u oscura: en esta etapa no se ocupa la luz, a pesar de estarpresente, dado que ocurre en los cloroplastos. El hidrgeno y el ATP, formados enla etapa lumnica, se unen con el CO2(Anhdrido Carbnico) y comienza a ocurrir
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Lafotosintesis.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Lafotosintesis.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Lafotosintesis.htm


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una serie de reacciones qumicas, en las cuales se van formando compuestoshasta llegar a formar la glucosa. La glucosa participa en una serie de reaccionesque llevan a la formacin del almidn que tambin es un compuesto orgnico.

La fotosntesis es seguramente el proceso bioqumico ms importante de la

bisfera por varios motivos:

La sntesis de materia orgnicaa partir de la inorgnica se realizafundamentalmente mediante la fotosntesis; luego ir pasando de unosseres vivos a otros mediante las cadenas trficas, para ser transformada enmateria propia por los diferentes seres vivos.

Produce la transformacin de la energa luminosa en energa qumica,necesaria y utilizada por los seres vivos

En la fotosntesis se libera oxgeno, que ser utilizado en la respiracinaerobia como oxidante.

La fotosntesis fue causante del cambio producido en la atmsfera primitiva,que era anaerobia y reductora.

De la fotosntesis depende tambin la energa almacenada en combustiblesfsilescomo carbn, petrleo y gas natural.

El equilibrio necesario entre seres auttrofos y hetertrofos no sera posible

sin la fotosntesis.

Se puede concluir que la diversidad de la vida existente en la Tierra dependeprincipalmente de la fotosntesis.

Podemos, despus de algunas observaciones hechas sobre la fotosntesis, decirque es un proceso mediante el cual una planta convierte luz en alimento. Laproduccin de alimento por parte de una planta es una funcin de la cantidad deluz que recibe. La cantidad de luz recibida se mide en luxhora. Si una planta estexpuesta a 1000 lux por el espacio de una hora recibe 1000 luxhora, si est

sujeta 500 lux durante dos horas tambin recibir 500 x 2 1000 luxh.

En la tabla siguiente se registra la magnitud de la intensidad de la luz, registradaen intervalos de una hora y obtenida de las lecturas del medidor de lux(luxmetro). Se considera la hora 0 el amanecer.

Hora Intensidad de la luz Hora Intensidad de la luz Hora Intensidad de la luz


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en lux en lux en lux

1 480 7 2016 13 1248

2 896 8 2048 14 896

3 1248 9 2016 15 4804 1536 10 1920 16 0

5 1760 11 1760

6 1920 12 1536

(Datos obtenidos en Clculo Aplicado de Baum y otros)

Cul es la intensidad de luz acumulada durante el perodo de diecisis horas?

En la grfica aparecen los datos de la tabla suponiendo que la intensidad de la luzpermanece constante en los intervalos de una hora entre dos medicionesconsecutivas. Sabemos, segn lo definimos, que la intensidad de la luz acumuladaen cada perodo de una hora es el producto entre la lectura realizada en elluxmetro y el tiempo transcurrido. De esta forma, para el perodo completo de

diecisis horas, la intensidad de luz acumulada es el rea total es decir, la sumade las reas de los rectngulos que se muestran.

Luz acumulada rea total 480 . 1 + 896 . 1 + 1248 . 1 + 1536 . 1 + 1760 . 1 +1920 . 1 + 2016 . 1 + 2048 . 1 + 2016 . 1 + 1920 . 1 + 1760 . 1 + 1536 . 1 + 1248 .1 + 896 . 1 + + 480 . 1 + 0 . 1 21760 luxhora.


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Podemos conocer con mejor precisin la intensidad de la luz acumulada?

Como la intensidad de la luz es una funcin continua en el tiempo, se puedeestablecer una aproximacin ms precisa de la intensidad de la luz acumulada,haciendo las mediciones en intervalos de 30 minutos (0,5 hora).

En la grfica siguiente se muestran en forma ms detallada los datos y es posiblehallar la intensidad de luz acumulada en cada perodo de media hora como elproducto de la intensidad dela luz (en lux) y el tiempo, en este caso 0,5 hora. Deesta forma podemos asegurar que la intensidad de luz acumulada durante lasdiecisis horas resulta de resolver:

Luz acumulada rea total suma del rea de cada rectngulo

Rectngulo Base Altura rea Rectngulo Base Altura rea

1 0,5 248 124 17 0,5 2040 1020

2 0,5 480 240 18 0,5 2016 1008

3 0,5 696 348 19 0,5 1976 988

4 0,5 896 448 20 0,5 1920 960

5 0,5 1080 540 21 0,5 1848 924

6 0,5 1248 624 22 0,5 1760 880

7 0,5 1400 700 23 0,5 1656 828

8 0,5 1536 768 24 0,5 1536 768

9 0,5 1656 828 25 0,5 1400 700

10 0,5 1760 880 26 0,5 1248 624

11 0,5 1848 924 27 0,5 1080 540

12 0,5 1920 960 28 0,5 896 448

13 0,5 1976 988 29 0,5 696 348

14 0,5 2016 1008 30 0,5 480 240

15 0,5 2040 1020 31 0,5 248 124

16 0,5 2048 1024 32 0,5 0 0

rea total 21824


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Esto significa que la intensidad de luz acumulada durante el perodo de diecisishoras es 21824 luxhora.

Si queremos encontrar una mejor aproximacin a valor de intensidad de luzacumulada, as como lo hicimos en el caso anterior, podemos ahora considerarmediciones realizadas cada quince minutos, es decir 0,25 hora.

Estas mediciones son las que aparecen en la siguiente tabla y se visualizangrficamente:

HoraIntensidad dela luz en lux




0,25 130 4,25 1590 8,25 2046 12,25 1470

0,5 248 4,5 1656 8,5 2040 12,5 1400

0,75 366 4,75 1710 8,75 2030 12,75 1326

1 480 5 1760 9 2016 13 1248

1,25 590 5,25 1804 9,25 1996 13,25 1164

1,5 696 5,5 1848 9,5 1976 13,5 1080

1,75 796 5,75 1884 9,75 1950 13,75 980

2 896 6 1920 10 1920 14 896

2,25 980 6,25 1950 10,25 1884 14,25 796

2,5 1080 6,5 1976 10,5 1848 14,5 696


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2,75 1164 6,75 1996 10,75 1804 14,75 590

3 1248 7 2016 11 1760 15 480

3,25 1326 7,25 2030 11,25 1710 15,25 366

3,5 1400 7,5 2040 11,5 1656 15,5 2403,75 1470 7,75 2046 11,75 1590 15,75 130

4 1536 8 2048 12 1536 16 0

Si reiteramos los clculos realizados en los casos anteriores surge ahora que elrea total, es decir, la suma de las reas de cada uno de los rectngulos de base0,25 y altura igual a la intensidad de la luz en cada perodo, es igual a 21826. Estosignifica que la intensidad de luz acumulada llega a 21826 luxhora.

Es de esperar que, con intervalos ms pequeos y ms lecturas de medicin delluxmetro, se obtenga una respuesta ms precisa para estimar la intensidad deluz acumulada para las diecisis horas. Aunque fsicamente es prcticamenteimposible obtener un nmero grande de medidas sera deseable que la sumatenga el mayor nmero de trminos.

Hasta ahora se obtuvo una aproximacin de la intensidad de la luz acumulada enun cierto experimento sobre fotosntesis. La primera aproximacin se obtuvoutilizando intervalos de una hora para un perodo de diecisis horas, despus seutilizaron las lecturas observadas cada media hora y, por ltimo, las realizadascada quince minutos. En cada caso los sumandos se obtuvieron multiplicando la


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longitud del intervalo de tiempo por la lectura del luxmetro al final de cadaintervalo.

Observamos que el valor de la intensidad de la luz acumulada resulta ms exactoa medida que hacemos ms mediciones.

La grfica de los datos sugiere, que se puede trazar una curva continua a travsde los puntos que representan esos datos. Esa curva resulta una funcin desegundo grado de ecuacin f(t) 512t 32 t2cuya representacin grfica, comovemos es una parbola.

Podemos decir entonces, en nuestro problema de fotosntesis que el reacomprendida entre el eje horizontal y la curva f(t) 512t 32 t2representa laintensidad de la luz acumulada en el perodo desde t 0 hasta t 16. Peropodemos obtener exactamente ese valor?

Es b ueno saber que el mtod o d e apro xim acin usado es bsic o p ara lacompren sin int uit iva del Clcu lo Integral.

Se puede calcular el rea total considerando el intervalo [0, 16] dividido en nsubintervalos y calculando la suma de las reas de cada uno de los rectngulos

que la aproximan. La medida de la base de cada rectngulo es y como alturase puede considerar el valor de la funcin en el extremo derecho, en el extremoizquierdo o bien en algn punto de cada subintervalo.


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Caso 1: suponemos que y consideramos el extremo izquierdo de cada

intervalo. Tenemos que calcular el valor de la funcin en ti (i 1).

f 512. (i 1) 32 .

Podemos pensar el rea total aproximadamente igual a la suma de las reas de

los rectngulos de base y altura f .

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

y

164

164 164


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Caso 2: sabemos que y consideramos el extremo derecho de cada

intervalo. Calculamos el valor de la funcin en ti .

f 512. 32 . 512 . 16 . 32 . 162

Otra vez podemos pensar el rea total como la suma de las reas de los

rectngulos de base y altura f .

164

164 164

Investigue por su cuenta qu ocurre si se elige como altura de cada rectngulo elvalor de la funcin en el punto medio del intervalo.

Ya logramos aproximaciones del rea considerando las sumas ysugerimos que la longitud de cada intervalo se hiciera cada vez ms pequea(es decir deber ser el nmero de intervalos n cada vez ms grande). En ese caso

la aproximacin es mejor.

Parece razonable que el lmite de la suma (cuando y por lo tanto )representara el rea total bajo la curva f(t) es decir la intensidad de la luzacumulada durante las diecisis horas.


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Podemos decir que rea

Caso 1: .

Esto significa que la intensidad de luz acumulada llega a 21845 luxhora.

Caso 2: .

Esto significa que la intensidad total de luz acumulada es de 21845 luxhora.

Las estimaciones obtenidas fueron cada vez mejores y el clculo del rea delsector comprendido entre la grfica de la funcin f(t) 512t 32t2 y el eje x nosindica un total acumulado, la intensidad de la luz acumulada durante las diecisishoras.


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EL PROBLEMA DE LA DISTANCIA

La velocidad de una partcula o de un mvil es la razn de cambio del espaciorecorrido con respecto al tiempo. Consideremos el problema de hallar la distanciarecorrida por un mvil durante cierto perodo si se conoce la velocidad del objetoen todos los momentos.

Podemos estudiar distintos casos que nos conducen a resolver este problema.

Situacin 1El clculo de efectos de cambio con razn de cambio constante en todo eldominio.

Situacin 2El clculo de efectos de cambio con razones de cambio constantes enintervalos de igual longitud.

Situacin 3 El clculo de efectos de cambio con razones de cambio constantes enintervalos de distinta longitud.

Situacin 4 El clculo de efectos de cambio con razones de cambio variables.

Situacin 5El clculo de efectos de cambio con razones de cambio variables. Seconoce la relacin funcional que vincula la velocidad con el tiempo.

Situacin 1. El clculo de efectos de cambio con razn de cambio constanteen todo el dominio.

Suponga que un auto viaja a lo largo de un camino recto a velocidad constante de60 km/h. La velocidad del auto en el tiempo t (en horas) est dada por la funcinconstante v(t) 60 cuya grfica es una recta horizontal. cuntos kilmetrosrecorre el auto entre t 1 y t 7?

Como ste es un perodo de seis horas y la velocidad es constante podemosasegurar que el mvil recorri 60. 6 360 kilmetros.

Si representamos grficamente la situacin planteada observamos que 360 es elvalor del rea del rectngulo sombreado. Se observa que 360 es precisamente elrea bajo la grfica de la funcin velocidad v(t) entre t 1 y t 7 y el eje t.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia1.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia2.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia3.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia5.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia5.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia3.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia2.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia1.htm


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Sabemos que la funcin velocidad v(t) es la razn de cambio de la distancia conrespecto al tiempo, es decir, la razn de cambio de la funcin espacio e(t) (que dael espacio o distancia recorrida por el auto en el tiempo t). Ahora el espaciorecorrido del tiempo t 1 a t 7 es la cantidad que la distancia ha cambiado det 1 a t 7.

Podemos decir que el cambio total en distancia de t 1 a t 7 es el rea bajo la grficade la funcin velocidad entre esos valores.

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Situacin 2. El clculo de efectos de cambio con razones de cambioconstantes en intervalos de igual longitud.

La tabla muestra las diferentes velocidades que alcanza una persona que transitaen bicicleta por una ruta en la provincia de Santa Fe. Suponemos que en cadaintervalo de tiempo la velocidad se mantiene constante.

Hora Velocidad (km/h)

9 - 10 14

10 - 11 12

11 - 12 8

12 - 13 Descanso

13 - 14 12

14 - 15 10

Seguramente a la persona le interesar saber cuntos kilmetros recorri al finalde su paseo es decir, la distancia total recorrida.

Se podra pensar, utilizando el lenguaje del clculo que interesa no slo los"efectos de los cambios" sino tambin el "efecto total".
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntDef.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia.htm


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Si consideramos t 0 el momento en el que comienza el viaje, graficamos la velocidadutilizando los datos tabulados:

Podemos determinar la distancia que recorri el ciclista entre las 9 y las 15. Paraello debemos multiplicar la razn de cambio de la posicin de la bicicleta, es decirla velocidad en cada intervalo por el tiempo transcurrido.

Distancia 14 . 1h + 12 . 1h + 8 . 1h + 12 . 1h + 10 . 1h 56 km.

En la grfica de la distancia en funcin del tiempo el ltimo punto representa ladistancia total recorrida es decir el resultado total del cambio.

Para formalizar este procedimiento podemos introducir una notacin especial yuna tabla que ayude a manejar la informacin:


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HoraTiempo

constanteen horas

Velocidadpromedio

Distanciarecorrida

porintervalo

Distancia acumulada

9 -10 1 v1 d1v1.1 d1v1.110 -11 1 v2 d2v2.1 d2v1.1+ v2.1

11 -12 1 v3 d3v3.1 d3v1.1+ v2.1 + v3.1

12 -13 1 v4 d4v4.1 d4v1.1+ v2.1 + v3.1 + v4.1

13 -14 1 v5 d5v5.1 d5v1.1+ v2.1 + v3.1 + v4.1 + v5.1

14 -15 1 v6 d6v6.1 d6v1.1+ v2.1 + v3.1 + v4.1 + v5.1 + v6.1

Qu podemos decir con respecto a la distancia y el rea de los seis

rectngulos de base uno y altura coincidente con el valor de la velocidad encada intervalo?

Situacin 3.El clculo de efectos de cambio con razones de cambioconstantes en intervalos de distinta longitud.

Una familia viaja desde una ciudad a otra y en su diario de viaje escriben una serie

de datos a fin de compartir con sus amigos algunos detalles del mismo. En laprimera hoja construyen una tabla donde registran toda la informacin deldesarrollo del viaje y los lugares por donde pasaron.

Lugar Ciudad A Parador 1 Parador 2 Ciudad B

Hora 10 11 11:30 12:15

Velocidad 35 km/h 45 km/h 40 km/h

Consideramos t 0 el momento en el que comienza el viaje.

Para encontrar la distancia total recorrida por la familia entre la ciudad A y laciudad B podemos resumir la informacin en una tabla

Lugar HoraTiempo (en

horas)Velocidad (en

km/h)

Distanciarecorrida en el

intervalo (en km)

Distancia totaacumulada (e

km)


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Ciudad A 10 0

1 3030

Parador 1 11 30

0,5 4522,5

Parador 2 11:30 52,5

0,75 4030

Ciudad B 12:15 82,5

Podemos graficar la velocidad en funcin del tiempo.

Podemos graficar la distancia recorrida en funcin del tiempo.


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La distancia total recorrida por la familia es de 82,50 km.

En este caso tambin podemos formalizar este procedimiento y generalizarloutilizando simbologa adecuada.

Lugar TiempoLongitud del

intervalo

Velocidadconstante encada intervalo

Distanciarecorrida en

cada intervalo

Distancia totalrecorrida (distancia

acumulada)

A t0

t1t0t1 v1 d1 v1 . t1 dtd1

B t1

t2t1 t2 v2 d2 v2 . t2 dtd1+ d2

C t2

t3t2 t3 v3 d3 v3 . t3 dtd1+ d2+ d3

D t3

Qu podemos decir con respecto a la distancia y el rea de los tresrectngulos de base igual a la longitud de cada intervalo y altura coincidente

con el valor de la velocidad en cada uno de ellos?

Este clculo se puede generalizar para un nmero n de intervalos de la


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siguiente manera:

dt v1 . t1 + v2 . t2 + v3 . t3 + ........... + vn . tn

Situacin 4. El clculo de efectos de cambio con razones de cambio

variables.

Supongamos que el marcador de la distancia recorrida del automvil de Juan nofunciona y desea estimar la distancia recorrida en 30 minutos. Para eso, observael velocmetro y anota en una tabla las lecturas realizadas cada cinco minutos.

Tiempo

(minutos)0 5 10 15 20 25 3

Velocidad

(km/h)72 84 66 69 78 60 75

Para trabajar el tiempo y la velocidad en unidades que sean coherentesconvertimos las diferentes lecturas de la velocidad en kilmetros por minuto.

Tiempo

(minutos)0 5 10 15 20 25 30

Velocidad

(km/minuto)1,2 1,4 1,1 1,15 1,3 1 1,25

Podemos suponer que, durante cada intervalo la velocidad no cambia demasiado.Estamos en condiciones estimar la distancia recorrida durante ese tiempo alsuponer que la velocidad se mantiene constante.

Podramos suponer que, durante el primer intervalo la velocidad

se mantiene igual a la inicial esto es 1,2 . Esto nos permite asegurar que ladistancia recorrida durante los primeros cinco minutos ser

d11,2 . 5 min 6 km.

De la misma manera podemos encontrar la distancia en cada intervalo yfinalmente la distancia total recorrida


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Intervalo Distancia (en kilmetros)

1 1,2 . 5 6

2 1,4 . 5 7

3 1,1 . 5 5,5

4 1,15 . 5 5,75

5 1,3 . 5 6,5

6 1 . 5 5

Distancia total recorrida: 35,75 km

De la misma manera podemos hacer los clculos utilizando la velocidad al final decada perodo.

Intervalo Distancia (en kilmetros)

1 1,4 . 5 7

2 1,1 . 5 5,5

3 1,15 . 5 5,75

4 1,3 . 5 6,5

5 1 . 5 5

6 1,25 . 5 6,25

Distancia total recorrida: 36 km

Tambin podemos considerar otro valor de la velocidad en un tiempo intermedioentre el inicio y el final en cada uno de los intervalos, por ejemplo

Intervalo

Velocidad

(en kilmetros por

minuto)

Distancia (en kilmetros)

1 1,30 1,30 . 5 = 6,50

2 1,25 1,25 . 5 = 6,25

3 1,13 1,13 . 5 = 5,65

4 1,22 1,22 . 5 = 6,10

5 1,15 1,15 . 5 = 5,75


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6 1,12 1,12 . 5 = 5,60

Distancia total recorrida: 35,85 km

Si realizamos las grficas de la velocidad con respecto al tiempo en cada

uno de los casos planteados, qu podemos decir con respecto a ladistancia y el rea de los rectngulos de base igual a la longitud de cadaintervalo y altura coincidente con el valor conocido de la velocidad en cada

uno de ellos?

El rea del primer rectngulo "medida de la base por medida de la altura" (1,2 . 5= 6) coincide con la distancia recorrida en los primeros cinco minutos, si tomamosla velocidad inicial como constante en todo el intervalo (segn los primerosclculos). Podemos interpretar el rea de cada rectngulo como una distancia

dado que la altura representa la velocidad y la base el tiempo. La suma de lasreas de todos los rectngulos es 35,75 y coincide con la primer estimacinrealizada de la distancia total recorrida.

De la misma manera podemos hacer el anlisis tomando la velocidad final de cadaintervalo o bien la velocidad en un tiempo intermedio.

Para una mejor estimacin debemos considerar intervalos de tiempo cada vezms pequeos.

Obtuvimos tres estimaciones de la distancia buscada. Si quisiramos unaestimacin ms exacta podramos que tomar las lecturas de la velocidad cada dosminutos, un minuto, treinta segundos, diez, cinco, tres, dos, uno o fracciones desegundo cada vez ms pequeas. Para una mejor estimacin debemos considerarintervalos de tiempo cada vez ms pequeos y la cantidad de sumandos en e1lclculo de la distancia acumulada ser cada vez mayor.

Podemos concluir que la distancia recorrida en cada intervalo resulta d ivi. ti

La distancia total recorrida, es decir los resultados acumulados para razones de

cambio variables (velocidad) es dtv1. t1+ v2. t2+ v3. t3+ ........... +vn. tndonde tes una nmero cada vez ms pequeo y por lo tanto la cantidad n deintervalos tiende a infinito. Por esto resulta:


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Distancia total recorrida dt dondevipuede ser la velocidad al inicio, al final o en un tiempo intermedio en cada uno de lossubintervalos considerados.

Para tener en cuenta: para hallar la distancia recorridapor un mvil si se conoce la velocidad del mismo entodos los momentos necesitamos resolver un tipo

especial de lmite.Situacin 5. El clculo de efectos de cambio con razones de cambio

variables. Se conoce la relacin funcional que vincula la velocidad con eltiempo.

Un joven entrena para su competencia en los prximos juegos deportivos de laciudad en una bicicleta fija durante una hora cada da de modo que en cualquiertiempo t, medido en horas, su velocidad es v(t) 36t2+ 3 kilmetros por hora. Siqueremos hallar la distancia ficticia recorrida por el ciclista durante su hora deentrenamiento podemos subdividir la hora en minutos, segundos, fracciones desegundo e ir calculando la distancia recorrida en cada perodo. La suma de lasdistancias en cada intervalo de tiempo nos dar la distancia total que recorreradurante la hora completa. Dado que el momento inicial se considera en

t trabajamos en el intervalo [0, 1].

Podemos pensar que, la longitud de cada subintervalo es t donde n indica lacantidad de subdivisiones del intervalo, es decir la cantidad de rectngulos queformamos si hacemos el mismo razonamiento que en lasituacin 4.

Surge ahora la posibilidad de utilizar el valor de la funcin en el extremo izquierdo,en el extremo derecho , por ejemplo, en el punto medio de cada intervalo. Elsubndice iindica cada uno de los nsubintervalos considerados.

1. Extremo izquierdo de cada subintervalo ti

2. Extremo derecho de cada subintervalo ti
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htm#situacion4http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htm#situacion4http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Distancia4.htm#situacion4


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3 . Punto medio de cada subintervalo ti

Calculamos la distancia recorrida en cada subintervalo

1. Utilizando el valor de la funcin en el extremo izquierdo del intervalo:

div(ti) . t

di

2. Utilizando el valor de la funcin en el extremo derecho del intervalo:

div(ti) . t

di

3. Utilizando el valor de la funcin en el punto medio del intervalo:

div(ti) . t

Para obtener el valor de la distancia total debemos sumar las distancias recorridasen cada intervalo. Planteamos en cada caso la sumatoria correspondiente:

1. Distancia total

En el desarrollo tenemos en cuenta que y

Distancia total


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Distancia total

Distancia total

Distancia total

2. Distancia total

Distancia total

Distancia total

3. Distancia total

Distancia total

Distancia total

Distancia total

Si en los tres casos consideramos el valor que t tiende a cero, es decir queconsideramos una cantidad lo suficientemente grande de rectngulos, n tiende ainfinito podemos asegurar que en los tres casos la distancia total recorrida es de15 km. dado que:

1. 15


36/139

2. 15

3. 15

Si realizamos la grfica de la velocidad con respecto al tiempo en el intervalo[0, 1] en cada uno de los casos planteados, qu podemos decir con

respecto a la distancia y el rea de los rectngulos de medida de la baseigual a t y altura coincidente con el valor de la velocidad definida en algnpunto del subintervalo cuando la cantidad de rectngulos tiende a infinito?

Para tener en cuenta: para hallar la distancia recorrida por un mvil si seconoce la velocidad del mismo en todos los momentos necesitamos resolver

un tipo especial de lmite.

Cmo encontramos el rea de una regin limitada por los ejes coordenadospositivos si conocemos la expresin analtica de la funcin que la limita?

El desafo es encontrar el rea bajo la grfica de f(x) + de x 0 a x 3.

Debemos encontrar el valor del rea representada grficamente.


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Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arqumedes unaaproximacin de esta regin se puede encontrar usando dos rectngulos. Laaltura del primer rectngulo es f(0) 3 y la altura del segundo rectngulo es

f(1,5) . El ancho de cada rectngulo es 1,5

El rea total de los dos rectngulos es:

A 3 . 1,5 + . 1,5 8,397114317 unidades cuadradas.

Como observamos en la grfica esta aproximacin es mayor que el rea real.Para lograr una mejor aproximacin podemos dividir el intervalo [0, 3] en trespartes iguales, cada uno de una unidad de ancho.

La altura del primer rectngulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2).En todos los casos el ancho del subintervalo es 1 es decir, la medida de la basees 1 unidad.

El rea total de los tres rectngulos es:


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rea 1 . f(0) + 1 . f(1) + 1 . f(2) 1 . 3 + 1 . + 1 .

rea 8,064495102 unidades cuadradas.

Aqu podemos observar que esta aproximacin se ve mejor que la anterior peroan es mayor que el rea real buscada.

Para mejorar la aproximacin podemos dividir el intervalo en seis partes conanchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectngulo0,5 unidades.

Rectngulo x f(x)Ancho de

la baserea

1 0 3 0,5 1,52 0,5 0,5 1,479019946

3 1 0,5 1,414213562

4 1,5 0,5 1,299038106

5 2 0,5 1,118033989

6 2,5 0,5 0,829156197

rea total 7,63946180

De la misma forma analizamos el rea total considerando rectngulos de medida de base0,25 unidades.

Este proceso de aproximar el rea bajo una curva usando ms y ms rectngulospara obtener cada vez una mejor aproximacin puede generalizarse. Para hacer


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esto podemos dividir el intervalo de x 0 a x 3 en n partes iguales. Cada uno de esos

intervalos tiene ancho de medida y la altura determinada por el valor de la funcin

en el lado izquierdo del rectngulo es decir fi donde i 1, 2 , 3, ....., n. Si utilizamosel ordenador podemos hacer los clculos tomando cada vez ms rectngulos.

n rea

150 7,09714349

2500 7,0703623

10000 7,069030825

45000 7,068683193

175000 ?720000 ?

Debemos seguir haciendo tantos clculos o intentamos buscar otra formams sencilla para resolver este problema ...?

Si visualizamos grficamente esta situacin, a medida que el nmero n derectngulos es cada vez ms grande observamos que la suma de sus reas seacerca cada vez ms al rea real de la regin.

En este caso podemos decir que el rea real es el lmite de esas sumas cuando ncrece indefinidamente, lo que puede escribirse:

rea (suma de las reas de los n rectngulos)


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Esta situacin se puede visualizar en la animacin siguiente.

Es b ueno saber que el mtod o d e apro xim acin usado es bsic o p ara lacompren sin int uit iva del Clcu lo Integral.

Si calculamos el rea utilizando la frmula del rea de un crculo y teniendo encuenta que el rea sombreada es la cuarta parte del rea del crculo de radio 3con centro en el origen resulta:

rea A 9 7,068583471.

Investigue por su cuenta qu hubiese pasado si se elige como altura el valorde la derecha o un punto intermedio del intervalo.

Para tener en cuenta: para hallar el rea debajo de una curva necesitamosresolver un tipo especial de lmite.


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CONCLUSIONES DE LOS DOS PROBLEMASANALIZADOS

El mtodo desarrollado en los dos planteos estudiados al analizar

el problema del rea (clculo del rea bajo la grfica de f(x) + de x 0a x 3 y clculo de la intensidad de la luz acumulada) puede generalizarse paraencontrar el rea bajo la curva y f(x), el eje x y las rectas verticales x a y x bsegn se muestra en los grficos. Para aproximar el rea se puede dividir laregin bajo la curva en un nmero de rectngulos cada vez ms grande. En cadacaso la suma de las reas de los rectngulos de una aproximacin del rea bajo lacurva. Se obtienen mejores aproximaciones al incrementar el nmero n derectngulos. En general procedemos de la siguiente manera. Sea n un enteropositivo. Dividimos el intervalo de a a b en n partes de igual

longitud. El smbolo x se usa tradicionalmente para denotar lalongitud de cada subintervalo. Como la longitud del intervalo entero es (b a),

cada una de las n partes tiene longitud x . Cada una de estaslongitudes representan las medidas de las bases de todos los rectngulos.

Los puntos extremos de los n intervalos son x0, x1, ....., xn.

En cada rectngulo resulta: rea del i-simo rectngulo f(xi) x

Caso 1 Caso 2

Tambin podemos elegir algn punto intermedio en cada uno de los n intervalos ylos llamamos t1, t2, ....., tn. En ese caso el rea del i-simo rectnguloresulta f(ti) x.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso2http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso2http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso2http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso1


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Caso 3

El rea total bajo la curva es aproximada por la suma de las reas de todos los nrectngulos, es decir:

Caso 1: rea f(x0) x + f(x1) x + f(x2) x + + f(xn1) x

rea [f(x0) + f(x1) + f(x2) + + f(xn1)] x

(se utiliza el valor de la funcin en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

Volver

Caso 2 : rea f(x1) x + f(x2) x + f(x3) x + + f(xn) x

rea [f(x1) + f(x2) + f(x3) + + f(xn)] x

(se utiliza el valor de la funcin en el extremo derecho de cada subintervalo)

Volver

Caso 3:rea f(t1) x + f(t2) x + f(t3) x + + f(tn) x

rea [f(t1) + f(t2) + f(t3) + + f(tn)] x

(se utiliza el valor de la funcin en un punto cualquiera de cada subintervalo)

Volver

El rea se define como el lmite de cada una de estas sumas (en caso de que lasmismas existan) cuando el nmero de rectngulos se hace cada vez mayor ytiende a infinito (podemos pensar e imaginar que la medida de la base de cadarectngulo es un punto)
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso3http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso3http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver3http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver3http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver3http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#volver1http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/concluprobarea.htm#Caso3


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rea [f(x0) + f(x1) + f(x2) + + f(xn1)] x

rea [f(x1) + f(x2) + f(x3) + + f(xn)] x

rea [f(t1) + f(t2) + f(t3) + + f(tn)] x

Cuando estudiamos el problema del rea y el problema de la distancia analizamosque tanto el valor del rea debajo de la grfica de una funcin como la distanciarecorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas obien exactamente como el lmite de una suma.

Para tener en cuenta:

para hallar el rea debajo de una curva necesitamos resolver un tipoespecial de lmite.

para hallar cantidades acumuladas necesitamos resolver un tipo especial delmite.

si f(x) es la razn de cambio de una funcin F(x) entonces el cambio total enF(x) cuando x pasa de a a b es el rea entre la grfica de f(x) y el eje x entrex = a y x = b. (f es una funcin tal que f sea continua sobre el intervalo [a, b]

y f(x) 0 para todo x en [a, b]). Esto se conoce como Cambio total en F(x).

Este tipo de lmite aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando fno es necesariamente una funcin positiva. Teniendo en cuenta lo expresadosurge la necesidad de dar un nombre y una notacin a este tipo de lmites.Necesitamos definir:


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LA INTEGRAL DEFINIDA

Cuando estudiamos el problema del reay elproblema de la distanciaanalizamosque tanto el valor del rea debajo de la grfica de una funcin como la distanciarecorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas obien exactamente como el lmite de una suma.

[f(x0) + f(x1) + f(x2) + + f(xn1)] x

(se utiliza el valor de la funcin en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

[f(x1) + f(x2) + f(x3) + + f(xn)] x

(se utiliza el valor de la funcin en el extremo derecho de cada subintervalo)

[f(t1) + f(t2) + f(t3) + + f(tn)] x

(se utiliza el valor de la funcin en cualquier punto de cada subintervalo)

Este tipo de lmites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando fno es necesariamente una funcin positiva. Teniendo en cuenta lo expresadosurge la necesidad de dar un nombre y una notacin a este tipo de lmites.

Definicin 1: Si f es una funcin continua sobre el intervalo [a, b], entonces

la integral definida de f de aa b,que se indica es el nmero:

[f(x0) + f(x1) + f(x2) + + f(xn1)] x o bien

donde x0= a, xn= b y x .

(la funcin se evala en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi1, xi] con i = 1,.., n)
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm


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la integral definida de f de aa b, que se indica es el nmero:

[f(x1) + f(x2) + f(x3) + + f(xn)] x

donde x0a, xnb y x .

(la funcin se evala en el extremo derecho de cada subintervalo [xi1, xi] con i 1,.., n)


la integral definida de f de aa b, que se indica es el nmero:

[f(t1) + f(t2) + f(t3) + + f(tn)] x

donde x0a, xnb y x .

(la funcin se evala en cualquier punto tide cada subintervalo [xi1, xi] con i 1, .., n)

El nmero aes el lmite inferior de integracin y el nmero bes el lmite superiorde integracin .

Notacin y terminologa:


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Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e vala la integral.

La continuidad asegura que los lmites en las tres definiciones existen y dan el

mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismoindependientemente de cmo elijamos los valores de x para evaluar la funcin(extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo).Enunciamos entonces una definicin ms general.

Definicin de integral definida: Sea f una funcin continua definida para

a x b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho x .Sean x0a y xnb y adems x0, x1, ...., xnlos puntos extremos de cada subintervalo.Elegimos un punto tien estos subintervalos de modo tal que t ise encuentra en el i-simosubintervalo [xi1, xi] con i 1, .., n.

Entonces la integral def inida de f de aa bes el nmero .

La integral definida es un nmero que no depende de x. Se puede utilizarcualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definicin bsicamente tiene su motivacin en el problema de clculode reas, se aplica para muchas otras situaciones. La definicin de la integraldefinida es vlida an cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando lagrfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el nmeroresultante no es el rea entre la grfica y el eje x.


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Observacin: La suma que aparece en la definicin de integral definidase llama suma de Riemann en honor al matemtico alemn Bernahrd Riemann.Su definicin inclua adems subintervalos de distinta longitud.

Definicin de las sumas deRiemann:Sea f una funcin definida en el intervalocerrado [a, b] y sea una divisin (particin) arbitraria de dicho intervaloa x0x1x2x3......... xn1xnb donde xi indica la amplitud o longitud del i-simo

subintervalo. Si ties cualquier punto del i-simo subintervalo la suma ,xi1 ti xise llama suma de Riemann de fasociada a la particin .

Si bien la integral definida haba sido definida y usada con mucha anterioridad a lapoca de Riemann l generaliz el concepto para poder incluir una clase defunciones ms amplia. En la definicin de una suma de Riemann, la nicarestriccin sobre la funcin f es que est definida en el intervalo [a, b]. (antessuponamos que f era no negativa debido a que estbamos tratando con el reabajo una curva).

Una pgina interesante para ampliar sobre las sumas de Riemann y visualizar animacionesresultahttp://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/

Ejemplo: Halle

Como f(x) x3es continua en el intervalo [2, 1] sabemos que es integrable.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Riemann.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Riemann.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Riemann.htmhttp://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Riemann.htm


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Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud ypara el clculo de la integral consideramos el

extremo derecho de cada subintervalo ti .

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

Observacin: Esta integral definida es negativa, no representa el rea graficada.Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.

Surgimiento del smbolo

Leibniz cre el smbolo en la ltima parte del siglo XVII. La es una Salargada de summa (palabra latina para suma). En sus primeros escritos us lanotacin "omn." (abreviatura de la palabra en latn "omnis") para denotar laintegracin. Despus, el 29 de octubre de 1675, escribi, "ser conveniente

escribir en vez de omn., as como en vez de omn.l ...". Dos o tres semanas

despus mejor an ms la notacin y escribi en vez de solamente.


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Esta notacin es tan til y significativa que su desarrollo por Leibniz debeconsiderarse como una piedra angular en la historia de la matemtica y la ciencia.

La notacin de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la

misma. El smbolo hace referencia al hecho de que una integral es unlmite de una suma de trminos de la forma "f(x) por una pequea diferencia de x".La expresin dx no se considera por separado sino que forma parte de la notacinque significa "la integral de una determinada funcincon respecto a x". Esto asegura que dx

no tiene significado por si mismo sino que forma parte de la expresin completa . Detodos modos, desde un punto de vista totalmente informal e intuitivo algunos consideran quela expresin dx indica "una porcin infinitesimalmente pequea de x" que se multiplica por unvalor de la funcin. Muchas veces esta interpretacin ayuda a entender el significado de laintegral definida. Por ejemplo, si v(t) (positiva) es la velocidad de un objeto en el instante tentonces v(t) dt se podra interpretar, segn la consideracin hecha, como velocidad . tiempoy esto sabemos que da por resultado la distancia recorrida por el objeto durante un instante,

una porcin de tiempo muy pequea dt. La integral se puede considerar como lasuma de todas esas distancias pequeas que como ya analizamos da como resultado elcambio neto en la posicin del objeto o la distancia total recorrida desde t a hasta t b.

Esta notacin permite adems determinar qu unidades se deben usar para suvalor. Como sabemos los trminos que se suman son productos de la forma "f(x)por un valor muy pequeo de x". De esta manera la unidad de medida

de es el producto de las unidades de f(x) por las unidades de x. Porejemplo:

* si v(t) representa la velocidad medida en y t es el tiempo medido en horas,

entonces la tiene por unidades . h km. La unidad obtenida es kilmetros yes lo que corresponde porque es valor de la integral representa un cambio de posicin.

*si se grafica y f(x) con las mismas unidades de medida de longitud a lo largo de los ejes

coordenados, por ejemplo metros, entonces f(x) y x se miden en metros y

tiene por unidad m . m m2. Esta unidad es la esperada dado que, en este caso laintegral representa un rea.

Es importante tener en cuenta el teorema enunciado a continuacin.


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Teorema:

Si una funcin f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable enese intervalo .

Si f tiene un nmero finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantieneacotada para todo x del intervalo (presenta slo discontinuidades evitables ode salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

Aprendizaje por descubrimiento

Analice el problema planteado y reflexione...

No sera conveniente encontrar una forma ms sencilla para evaluar lasintegrales definidas?

Sera interesante que en estos momentos analice algunas propiedades yteoremas sobre la integral definida

PROBLEMA PARA ANALIZAR Y DISCUTIR

En un laboratorio se observ que la tasa de crecimiento de bacterias vara segnla ley g(t) t2 + 1 donde t se expresa en segundos. Se quiere conocer el nmerode bacterias transcurridos cuatro segundos si la experiencia comenz con 32bacterias.

a) Grafique la tasa de crecimiento y visualice grficamente cmo se obtienecunto creci la poblacin.

b)Teniendo en cuenta lo obtenido en a)indique cuntas bacterias hay a los cuatro

segundos.

PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA INTEGRALDEFINIDA

Propiedades Clculo de reas entre dos curvas
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/decubriintegral.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/decubriintegral.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#propiedadeshttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#propiedadeshttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#areashttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#areashttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#areashttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#propiedadeshttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/decubriintegral.htm


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Teoremas

VerEjemplo

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se enuncian algunas propiedades y teoremas bsicos de las integrales definidasque ayudarn a evaluarlas con ms facilidad.

1) donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientespropiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para ms de dos funciones)

3) Si x est definida para x = a entonces 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f esintegrable en los dos intervalos cerrados definidos

por a, b y c entonces

INTENTE DEMOSTRAR LAS PROPIEDADES ENUNCIADAS

Volver

CONSERVACIN DE DESIGUALDADES
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#teoremashttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#teoremashttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#ejemplohttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#ejemplohttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#ejemplohttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#ejemplohttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#teoremas


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* Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces

Demostracin: Si f(x) 0 entonces representa el rea bajo la curva de f de

modo que la interpretacin geomtrica de esta propiedad es sencillamente el rea.(Tambin se deduce directamente de la definicin porque todas las cantidadesson positivas).

* Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] con f(x) g(x) para todo x en

[a, b] entonces

Demostracin: Si f(x) g(x) podemos asegurar que f(x) g(x) 0 y le podemos

aplicar la propiedad anterior y por lo tanto . De aqu

0 y de esta manera .

Supongamos que m y M son constantes tales que m f(x) M para a x b. Sedice que f est acotada arriba por M y acotada abajo por m, la grfica queda entrela recta y = m y la recta y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema:

* Si f es integrable y m f(x) M para a x b entonces m

(b a) M (b a).


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(La grfica ilustra la propiedad cuando f(x) 0)

Si y f(x) es continua y m y M son los valores mnimos y mximos de la misma en elintervalo [a, b] grficamente esta propiedad indica que el rea debajo de la grfica de f esmayor que el rea del rectngulo con altura m y menor que la del rectngulo con altura M.

En general dado que m f(x) M podemos asegurar, por la propiedad anteriorque

.

Si se evalan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta m

(b a) M (b a).

SIMETRA

El siguiente teorema permite simplificar el clculo de integrales de funciones queposeen propiedades de simetra.

Sea f una funcin continua sobre el intervalo [a, a]

a) Si f es par .

b) Si f es impar .

Demostracin: tenemos en cuenta que a la podemos descomponer endos nuevas integrales

+

+

En la primera integral sustituimos u x du dx, adems si x a u a.

con esto la ecuacin original resulta:


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En el caso a) si la funcin es par f(u) f(u) entonces

Mientras que en el caso b)si la funcin es impar f(u) f(u)

0.

Ejemplo:Sabiendo que , calcule las siguientes integrales.

a) b) c) d)

Utilizando propiedades de las integrales resulta:

a) Como x2es una funcin par:

b) Como x2es una funcin par: 2

c) 3 8

d)

Volver

REA DE REGIN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x) f(x) x [a, b], entonces elrea de la regin limitada por las grficas de f y g y las rectas verticales x a y

x b es
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volver


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Demostracin: Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno deancho x y dibujamos un rectngulo representativo de alto f(xi) g(xi) donde x esten el i-simo intervalo.

rea del rectngulo i [f(xi) g(xi)] x

Sumando las reas y considerando que el nmero de rectngulos tiende a infinitoresulta que el rea total es

Como f y g son continuas en el intervalo, la funcin diferencia f g tambin los es yel lmite existe.

Por lo tanto el rea es rea

E s importante darse cuenta que la validez de la frmula del rea depende slo de que f y gsean continuas y de que g(x) f(x). Las grficas de f y g pueden estar situadas de cualquier

manera respecto del eje x.


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Integracin respecto al eje y

Si algunas regiones estn acotadas por curvas que son funciones de y o bien se puedentrabajar mejor considerando x como funcin de y los rectngulos representativos para laaproximacin se consideran horizontales en lugar de verticales. De esta manera, si unaregin est limitada por las curvas de ecuaciones x f(y), x g(y), y c y la recta horizontaly d, donde f y g son continuas y f(y) g(y) para c y d, entonces su rea

resulta .

A modo de resumen:

rea A (en la variable x, se consideranrectngulos verticales)


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donde a y b son las abscisas de dos puntos de interseccin adyacentes de las dos curvas opuntos de las rectas fronteras que se especifiquen.

rea A (en la variable y, se consideran

rectngulos horizontales)

donde c y d son las ordenadas de dos puntos de interseccin adyacentes de las dos curvaso puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.

Volver

Ahora sera bueno que se interese por investigar el Teorema Fundamental delClculo
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volverhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremafundamental.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremafundamental.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremafundamental.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremafundamental.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremafundamental.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm#volver


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HACIA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DELCLCULO

Vimos que cuando f(x) es la razn de cambio de la funcin F(x) y f(x) 0 en [a, b]entonces la integral definida tiene la siguiente interpretacin:

cambio total en F(x) cuando x cambia de aa b.

Decir que f(x) es la razn de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada deF(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x)cuando x cambia de aa bes la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F

al principio, es decir, F(b) F(a). Podemos definir F(b) F(a).

Esta definicin o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en lasciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:

Si v(t) es el volumen de agua de un depsito, en el instante t, entonces suderivada v'(t) es la razn a la cual fluye el agua hacia el depsito en el instante t.

As v(t2) v(t1) es el cambio en la cantidad de agua en el depsito entre losinstantes t1 y t2.

Si [c](t) es la concentracin del producto de una reaccin qumica en el instante tentonces la velocidad de reaccin es la derivada [c]'(t). De esta

manera [c](t2) [c](t1) es el cambio en la concentracin [c] desde el instantet1 hasta el t2.

Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x)

entonces la densidad lineal es (x) m'(x). De esta manera m(b) m(a) esla masa del segmento de la varilla entre x a y x b.

Si la tasa de crecimiento de una poblacin es entonces p(t2) p(t1) esel aumento de poblacin durante el perodo desde t1 hasta t2.


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Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artculo, entonces el costo

marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente c(x2) c(x1) es elincremento en el costo cuando la produccin aumenta desde x1hasta x2unidades.

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con funcin de posicin s(t) ,

entonces su velocidad es v(t) s'(t) de modo que s(t2) s(t1) es el cambio dela posicin, o desplazamiento, de la partcula durante el perodo desde t 1 hasta t2.

Dado que la aceleracin de un objeto es a(t) v'(t), podemos asegurar que laexpresin

v(t2) v(t1) es el cambio en la velocidad en el instante t1 hasta el t2.

La potencia P(t) indica la razn de cambio de la energa E(t). Esto permite decir

que P(t) E'(t) y por lo tanto resulta E(t2) E(t1) indica la energa utilizada en eltiempo entre t1 y t2.

La definicin que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar laintegral de funciones sencillas pero en la mayora de los casos el clculo del lmitede sumas resulta complicado.

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO FUNCIN

APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTOAnalice los problemas planteados y reflexione sobre sus

resultados ...

PROBLEMAS PARA ANALIZAR YDISCUTIR

PROBLEMA 1

La velocidad en m/seg de un mvil vara segn la ecuacin v(t) 0,5t.
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/descubrimiento1.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/descubrimiento1.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/descubrimiento1.htm


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a) Obtenga la grfica de la velocidad durante los ocho primeros segundos.

b) Obtenga el espacio recorrido por el mvil a los 8 segundos (utilice algunafrmula de rea de una figura plana)

c) Escriba la funcin que describe el espacio recorrido en funcin del tiempo.

PROBLEMA 2

En un laboratorio se observ que la tasa de crecimiento de bacterias vara segnla ley g(t) t2 + 1 donde t se expresa en segundos. Se quiere conocer el nmerode bacterias transcurridos cuatro segundos si la experiencia comenz con 32bacterias.

a) Obtenga la funcin que expresa el crecimiento de bacterias en funcin del

tiempo y grafquela.

b) Indique en la grfica qu es lo que pide el problema.

c) Qu cantidad de bacterias hay transcurridos cuatro segundos?

APRENDIZAJE P0R DESCUBRIMIENTO

PROBLEMAS PARA ANALIZAR YDISCUTIR

Analice los problemas planteados y reflexione sobre sus

resultados ...PROBLEMA 1

El caudal de agua recogido en un recipiente es constante e igual a 3 l/seg. Quvolumen haba en el mismo al cabo de un minuto? Dibuja la grfica de la funcincaudal y de la funcin volumen. Escriba una funcin que defina el caudal de agua


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recogido en funcin del tiempo y una funcin que describa el volumen. Quconclusiones puede obtener? Reconoce alguna relacin entre ellas?

PROBLEMA 2

El caudal de agua, en litro por segundo aportado por una canilla est dado por lac(t) 0,01 t.

a) Represente grficamente la funcin caudal.

b) Calcule, utilizando el rea de una figura geomtrica el agua total vertida por lacanilla en los primeros 10 segundos.

c) Calcule (utilizando rea) el volumen de agua recogido en un instante tcualquiera.

d) Derive la expresin obtenida en c)Qu conclusiones puede obtener?

Ser cierto que la funcin F(x) que representa el reabajo la curva de

y f(x) es tal que F'(x) f(x)?

El TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO

Primera Parte

Si f es una funcin continua en [a, b] entonces la funcin dondea x b es derivable y verifica A' (x) f(x) para todo x del intervalo.

APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTOAnalice los problemas planteados y reflexione sobre susresultados ...


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ANALICE LAS SITUACIONES PLANTEADAS1)a) Grafique larecta y 3t utilizando las frmulas de la geometra calcule el rea determinada por la recta,el eje t y las rectas t 2 y t 5.

b) Sea t > 2. Consideramos A(x) la funcin que describe el rea de la regin quese encuentra debajo de la recta y 3t, el eje t y las rectas t 2 y t x. Dibuje unesquema de esta regin y use la geometra con el fin de hallar una expresin para la funcin

A(x).

c) Derive la funcin de rea qu conclusin puede obtener?

2)a) Grafique la recta y 3t + 2 utilizando las frmulas de la geometra calcule el readeterminada por la recta, el eje t y las rectas t 2 y t 5.

b) Sea t > 2. Consideramos A(x) la funcin que describe el rea de la regin que

se encuentra debajo de la recta y 3t + 2, el eje t y las rectas

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