8/19/2019 Un Modelo Para El Coeficiente de Restitución

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Un modelo para el coeficiente de restitución.

En este apartado se describe el impacto del balón

sobre una pared rígida mediante un modelo mecánico

simple.

Cuando el balón impacta sobre una pared rígida,

supondremos que sobre el c.m. del balón actúan dos

fuerzas :

• Una fuerza elástica proporcional al

desplazamiento del c.m. de módulo kx, que

tiende a restaurar al c.m. a su posición de

equilibrio.

• Una fuerza de rozamiento λ v, proporcional a

la velocidad del c.m. que da cuenta de la

 p!rdida de energía del balón durante el

impacto.

"a ecuación del movimiento del c.m., es

ma=-kx-λv

o bien

Esta es la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas,

donde ω 02=k/m es la frecuencia propia o natural del sistema oscilante γ   =λ  / 

#$m% es la constante de amortiguamiento.

E&isten tres posibles soluciones de la ecuación diferencial, de acuerdo con lasraíces de la ecuación característica.

 

Oscilaciones amortiguadas (  

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"as condiciones iniciales determinan los valores de la amplitud inicial A  de

la fase inicial φ . En nuestro caso son: t=' , x=' , y v=v0.

Esta ecuación nos da la posición velocidad del c.m. del balón deformado en

función del tiempo.

"a figura nos muestra la

representación gráfica de la posicióndel c.m. del balón en función del

tiempo. (espu!s de )aber

completado un semiperiodo de

oscilación P *$=π/ω , #línea de color

ro+o% el c.m. del balón se ale+a de la

 pared con una velocidad v dada por 

e define el coeficiente de restitución e como el cociente entre la velocidad

final v tras el c)oque entre la velocidad inicial v0 +ustamente antes del c)oquecon la pared.

-odemos comprobar, que el coeficiente de restitución depende de dos

 parámetros que describen nuestro modelo simplificado, la frecuencia de laoscilación amortiguada la constante de amortiguamiento.

Como podemos apreciar, si la constante de amortiguamiento es cero, γ  ', no

)a rozamiento interno entre las diversas partes del balón, no )a p!rdidas de

energía, el c)oque es perfectamente elástico, e=1.

 

Oscilación crítica ( =  0)

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm#Coeficiente%20de%20restituci%C3%B3nhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm#Coeficiente%20de%20restituci%C3%B3n

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"a solución de la ecuación diferencial es

Con las condiciones iniciales antes mencionadas: t=' , x=' , v=v0. se

transforma en

El c.m. del balón retorna a la posición de partida despu!s de un tiempo

teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, elcoeficiente de restitución es cero, e=0.

 

Oscilación sobreamortiguada ( >  0)

"a solución de la ecuación diferencial es

Con las condiciones iniciales antes mencionadas se transforma en

El c.m. del balón retorna a la posición de partida despu!s de un tiempo

teóricamente infinito, es decir, el balón no rebota, la velocidad final es cero, elcoeficiente de restitución es cero, e='.