UN MODELO DINÁMICO PARA EL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS …

Dr. Ing. Francisco GARCIA GUTIERREZ 1

"UN MODELO DINÁMICO PARA EL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS Y SEDIMENTOS EN LECHOS DE

CAUCES NATURALES ALUVIALES”.

- PONENCIA PRESENTADA A LA ACADEMIA PANAMERICANA DE INGENIERIA –

POR:

Francisco Pablo García Gutiérrez.

Ingeniero Civil (Honores). Univ. de Lancaster (Inglaterra), Master of Science en Ing. Hidráulica. Univ. de Newcastle upon Tyne (Inglaterra)

Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Univ. Politécnica de Valencia (España)

Catedrático de Hidráulica, Hidrología e Investigador. Universidad Autónoma Gabriel Rene Moreno.

Santa Cruz - Bolivia.

DIRECCIÓN : Teléfono: (591-3)-3583647 e-mail: [email protected] SANTA CRUZ - BOLIVIA


SUMARIO/ABSTRACTO

En el presente trabajo se presenta el desarrollo de lo que -en conjunto- es más que una ecuación como resultado de la inclusión y consideración de todos los componentes que hacen a la dinámica del movimiento de partículas sólidas y sedimentos en lechos fluviales, -por ello se le ha denominado modelo- ya que a través de la misma se tiende a explicar la compleja dinámica del movimiento de partículas en lechos de cauces fluviales que dan origen a la mayoría de los procesos asociados a la dinámica fluvial. A partir de este modelo se puede apreciar los estados de las partículas en conjunción con el flujo y además, las condiciones y relaciones de dichos estados con la compleja interacción que existe, a su vez, entre la dinámica del flujo y las partículas que forman el lecho. El establecimiento de este modelo ha permitido, entre otros, establecer con claridad las variables que intervienen y que hacen al movimiento incipiente y al umbral del movimiento de partículas, y establecer las condiciones dinámicas generales que dan origen al movimiento y transporte de sedimentos. Por otro lado, la aplicación de la misma permite el estudio de la formación de cauces aluviales y las formas particulares que estos adoptan en conjunción con el flujo, siendo un caso particular las pendientes transversales de equilibrio en meandros y, aplicaciones de carácter más general a través de la velocidad de las partículas en la vecindad del lecho, dando así origen al fenómeno más general de transporte de sedimentos.

Santa Cruz, Bolivia, Julio de 2014


CONTENIDO:

1.- Introducción

2. Consideraciones básicas para el análisis dinámico del movimiento de partículas en cauces naturales aluviales

3. Planteamiento del modelo.

3.1. Fuerzas que actúan sobre la partícula.- 3.2.- Evaluación de fuerzas y sus variables.- 4. Ecuación vectorial del movimiento de partículas. 5. Desarrollo de variables.- 5.1. Fuerza de arrastre o resistencia. 5.2. Fuerza de sustentación y coeficiente de sustentación. 5.3. Velocidad del flujo y tensión de corte en el lecho. 5.4. Consideraciones sobre el cobijamiento y el factor de forma en la tensión de corte. 5.5. Velocidad de la partícula en el lecho. 6.- Ecuación del movimiento de partículas en el lecho.- 6.1. Desarrollo incluyendo efectos de pendiente longitudinal. 7.- aplicaciones.- 7.1. Perfiles estables o perfiles de equilibrio.

7.2.- Curva de Shields o de umbral del movimiento de partículas 7.3.- Transporte de sedimentos.- 8.- Conclusiones.-


1.- INTRODUCCION.- La importancia de la interacción entre el flujo líquido (considerando además de que éste discurre por lo contornos móviles acompañado de cierta cantidad de partículas sólidas) y el movimiento de las partículas - causadas por éste como agente., que forman los contornos de los canales naturales o ríos, radica básicamente en que el primero impone y transmite cierta dinámica a las partículas que componen los límites del canal y éstas, en respuesta a la acción del flujo líquido, tienden a establecer "formas" o "topografía" características. Es de suma importancia analizar el/los mecanismos asociados al movimiento de las partículas que forman el lecho del cauce y que permanecen en él o en su vecindad durante el paso del flujo líquido, esencialmente porque son éstos los mecanismos los que originan el establecimiento y "variación" de la topografía del lecho en canales con meandros o curvas frente a las condiciones que impone el flujo líquido, y viceversa: ya que éstas variaciones de topografía del lecho producen asimismo efectos en el esquema del flujo líquido. Es decir, que de manera general existe una "interacción" entre ambos procesos, y ésta no debe ignorarse en el análisis. De ahí que surge la necesidad de plantear un modelo dinámico del movimiento de partículas sólidas que forman el lecho, que responda a las situaciones impuestas por el flujo y, de manera más general a la convivencia –por así decirlo- entre ambos flujos. Si bien, el trabajo que aquí se presenta tuvo sus orígenes en el año de 1989 en la Universidad Politécnica de Valencia, los postulados y resultados dan origen a una serie de situaciones que en la actualidad son de aplicación general en problemas relacionados al transporte de sedimentos e hidráulica fluvial, los cuales son los que finalmente dan personalidad a los sistemas fluviales que nos rodean. 2. CONSIDERACIONES BASICAS PARA EL ANALISIS DINAMICO DEL

MOVIMIENTO DE PARTICULAS EN CAUCES NATURALES ALUVIALES. Para poder iniciar el análisis es necesario presentar las bases sobre las cuales éste se ha de desarrollar, con el único fin de transmitir al lector de forma clara y concisa desde un principio todo el proceso, de manera que éste pueda seguirlo y apreciarlo en su justa dimensión. Así pues, para emprender el análisis se han de tener en cuenta las siguientes consideraciones: I. Se utilizará un sistema de coordenadas denominado “natural” por el autor, ya que este

permite seguir la trayectoria de las partículas de la manera en que se dan en la naturaleza, y aplicado a un lecho aluvial con características móviles.

De esa manera se plantea un triedro co-ortogonal con sus componentes de acuerdo a lo que se muestra en la Fig. 1.


Figura 1.- Esquema general en Planta y sistema de coordenadas

En este sentido y para generalizar aún más el tratamiento que se dará al tema, se considera que el triedro co-ortogonal s, n, z, está inclinado según el ángulo del perfil transversal del lecho en el punto en consideración. Para visualizar este concepto considere la Figura 2, que muestra la sección transversal A-A' del esquema general de definición del sistema en planta dado en la Figura 1. Así la coordenada “s”, sigue la línea central del canal, la coordenada “n” la transversal y además tangente al lecho en el punto, con lo que “s-n” definen un plano tangente al lecho en el punto en consideración, y finalmente la coordenada “z” con dirección hacia arriba perpendicular al lecho en el punto. Los vectores unitarios asociados a tal sistema són, respectivamente: es, en y ez.

II. En principio se asume que el ángulo que forma el perfil transversal, α, es pequeño, de manera que puede ser aproximado por:

III. En el análisis se considerarán los efectos de la pendiente longitudinal del lecho, φ. (ver

Fig. 2). IV. Se asumirán condiciones completamente móviles. Es decir que no se presenta una

condición estática sin fricción o bajo consideraciones netamente en relación con la tensión de corte crítica o que haga referencia a un balance estático de las fuerzas que intervienen.

sen= = tan (1)


Figura 2.- Sección transversal A-A´ V. En el sentido estricto cuando se está estableciendo la pendiente transversal, la

dirección del movimiento de las partículas en el lecho es hacia la margen interna y consecuentemente la dirección de la tensión de corte. Si se asume que la pendiente transversal ha llegado a alcanzar un equilibrio estático, es decir que no hay movimiento neto de las partículas en dirección transversal, y que se produce una variación en las condiciones hidráulicas (caudal) que llevaron a la situación mencionada del equilibrio; entonces, si adicionalmente se supone que el caudal ha disminuido, las partículas del lecho, siguiendo la disminución del caudal, se desplazarán hacia la margen externa y asimismo la dirección de la tensión de corte en el lecho, hasta alcanzar la nueva situación de equilibrio impuesta por esta última condición hidráulica.

La situación del fenómeno como ha sido planteada, refleja la situación más cercana a la realidad, ya que se toma en cuenta el efecto de la no-permanencia del flujo líquido, hecho que por supuesto es el que presenta en los canales naturales. Así, para establecer el criterio para evaluar la dinámica de las partículas del lecho frente a las condiciones hidráulicas, en el presente trabajo se asumirán situaciones de aplicación general; es decir, que los desplazamientos de las partículas pueden darse tanto hacia la margen interna como hacia la margen externa y consecuentemente las demás variables que intervienen. Es de observar, que la mayoría de los modelos planteados con anterioridad han considerado situaciones dentro de lo que se denomina "flujo curvo completamente


desarrollado" y se ha planteado la situación de equilibrio en la que las partículas se desplazan hacia la margen interna, siguiendo la estructura "clásica" del establecimiento de la pendiente transversal. 3. PLANTEAMIENTO DEL MODELO. Para iniciar el planteamiento es necesario definir las situaciones en las que se encuentran de manera general las partículas o sedimentos en los lechos fluviales. En ese sentido, y con referencia a la Figura 3 se pueden tomar dos situaciones,:

- La primera supone un arreglo de partículas esféricas asentadas sobre un lecho compuesto de similares partículas en geometría y masa.

- La segunda está compuesta por partículas de sedimentos naturales asentadas sobre un lecho también de sedimentos naturales. Es de hacer notar en esta última que los sedimentos de manera general tienen forma muy similar a la esférica pero las tres dimensiones que las definen según ejes perpendiculares son diferentes.

- En ambos casos las partículas se desplazarán sobre lechos compuestos de la misma naturaleza y no sobre lechos lisos.

- Debe tomar en cuenta que los tamaños y distribuciones de las partículas y sedimentos son no-uniformes, en más o menos grado dependiendo del sistema fluvial en particular.

Figura 3.- Arreglo y disposición de partículas esféricas y sedimentos naturales en lechos

de cauces aluviales. 3.1. FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE LA PARTICULA.-


La idea general, con referencia a las figuras 1 y 2, es establecer la relación existente entre el ángulo que forma el perfil transversal en el punto de consideración, “α”, y las variables que intervienen en el proceso. Estas variables serán definidas a lo largo del desarrollo del planteamiento, sin embargo, para ubicar al lector el planteamiento general se basa en lo siguiente (Observe que todas las cantidades son vectoriales):

- La tensión de corte del flujo en el lecho “”, sufre un desviación “δ ” de la coordenada “s”, y de igual manera la velocidad de flujo en la vecindad del lecho “Ub”.

- Las partículas de sedimento siguen una trayectoria que se desvía “β” de la trayectoria dada por la coordenada “s”, y consecuentemente da la dirección de la velocidad de las partículas en el lecho “Vp”.

- La fuerza de arrastre “Fd” que ejerce el flujo sobre la partícula, sufre una desviación “γ”, de “s”.

- La fuerza de sustentación “Fl” sobre la partícula tiene una dirección positiva hacia arriba según la coordenada “z”, es decir perpendicular la plano s-n.

- El peso sumergido de las partículas “ω”, el cual tiene una dirección hacia abajo en la línea que actúa la acción de la gravedad “g”.

- Las Fuerza resistiva “Fr” que es función del peso sumergido y de la fuerza de sustentación, tendrá la dirección opuesta a la fuerza de arrastre.

- En líneas generales lo que se busca es una relación entre todas estas componentes, y sobre todo, una relación que permita llegar a conclusiones sobre la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre las partículas de sedimentos. Es decir una relación entre α, δ, β, y γ. Considere la Figura 4, que es un detalle ampliado de la Figura 2 donde se muestran las fuerzas que actúan sobre una partícula que descansa sobre el lecho.

Figura 4.- Detalle de Fuerzas que actúan sobre la partícula


3.2.- EVALUACION DE FUERZAS Y SUS VARIABLES.- Procedamos pues a evaluar las diversas variables que intervienen en el movimiento de la partícula en consideración. En primer lugar y debido a la presencia de las corrientes secundarias, la orientación de la tensión promedio de corte en el lecho sufre una desviación de la trayectoria media o dirección s que tiende a mover las partículas. Sea pues “δ” la desviación de la tensión media de corte en el lecho de la trayectoria media del flujo dado por s. ( ver Fig. 1 ). Así pues el vector tensión de corte en el lecho con referencia a la Figura 5-A, está dado por:

Donde: τbs = Componente de τ en la dir. s. Asimismo, el vector τ se toma como paralelo a la dirección del flujo evaluado justo encima del lecho, de esa manera la velocidad del flujo cercana al lecho está dada por:

Donde: Ub = Vector velocidad de flujo cerca del lecho. Ubs, Ubn = Componentes del vector velocidad de flujo cerca del lecho en dir.

s y n. Hay que tener en cuenta que la componente vertical se ha despreciado, ya que su efecto no es apreciable en las partículas que permanecen en el lecho.

e + e bs = ns tan (2)

e Ubn + e Ubs = Ub ns (3)


Figura 5.- Componentes de la Tensión de corte y Velocidad de partículas en el lecho. De la consideración mencionada se desprende que:

Para evaluar el vector asociado a la aceleración de la gravedad, g, considere la figura 6.

Figura 6.- Componentes del vector g (fuerza de gravedad)

UbUb =

s

ntan (4)


Se tiene que el plano z-n es perpendicular al plano s-n. Así pues, con relación a la Fig. 5-B, la proyección del vector g sobre el plano z-n es L1, y sobre la paralela a la dir. s es L2. De manera que después de efectuar operaciones se tiene:

Donde: g = Aceleración de la gravedad. φ = Angulo de la pendiente longitudinal. De donde haciendo uso de (1) y asumiendo que cos φ = 1, finalmente se tiene;

Se llega a resultado similar, si se considera la proyección de la aceleración de la gravedad sobre el plano z-s, y la componente en dirección "s". Si la pendiente longitudinal no tuviera efecto sobre el vector gravedad, g, se puede tomar que:

En lo que sigue del desarrollo, se utilizará el vector g de la forma dada por (7), para dar mayor claridad en la manera de presentar el análisis. Sin embargo, en la parte final del mismo se incluirá el efecto de considerar el vector g completo. Continuando con el análisis, se asume que la fuerza de resistencia al avance o fuerza de arrastre ("drag" en la literatura Anglo-sajona) que sufre la partícula en consideración, Fd, tiene una desviación pequeña “γ” de la dirección "s", inicialmente distinta de δ. Observe que generalmente se asume que el arrastre y la tensión de corte tienen la misma dirección. Asimismo, se asume que la dirección de movimiento de la partícula del lecho, o el vector velocidad en el lecho de la partícula, sufre otra pequeña desviación β de la dirección "s", que además no coincide con la dirección de la tensión de corte como lo indican otros autores. Para detalles ver las Figuras 1 y 4. Sea la resistencia al avance o arrastre de la partícula, denotada por Fd. Con relación a la Fig. 4, se tiene que el vector fuerza de arrastre está dado por:

Donde: Fds = Fuerza de resistencia media en dir. "s".

e Seng + e - e Sen g = g szn CosCos (5)

e g - e g + e g = g zns TanTan (6)

e - e g = g znTan (7)

e + e F = F nsDsD Tan (8)


De manera similar, el vector velocidad cercana al lecho de la partícula está dada por: (Ver fig. 5-B):

Donde:

Vps,Vpn = Componentes del vector velocidad en el lecho (Vp) en direcciones s y n, respectivamente. La fuerza media de sustentación o empuje vertical ("lift" en la literatura Anglo-sajona), F1, se asume perpendicular a la superficie del lecho y que actúa hacia arriba en dirección positiva de "z". Así se tiene:

Generalmente la magnitud de F1 está dada por la relación establecida por Chepil (1959), de la forma:

Donde: r = Un coeficiente. Fd = Módulo de la fuerza de arrastre. Esta última relación puede expresarse, de forma alternativa, por:

Las fuerzas resistivas debidas a la colisión de las partículas del lecho con otras partículas deben considerarse, siguiendo lo argumentado en los puntos IV y V de la sec. 1, y puede expresarse en términos de la fuerza de resistencia de Coulomb, que es la que se opone al desplazamiento de las partículas. Esta fuerza tiene, por lo tanto, sentido opuesto al del movimiento de las partículas dado por β, y analíticamente está dada por la siguiente expresión:

Donde: Fr = Fuerza de resistencia (Coulomb). μ = Coeficiente de fricción dinámico de Coulomb. Generalmente se

determina experimentalmente.

e + e Vps = e Vpn + e Vps = Vp nsns Tan (9)

Vps / Vpn = Tan (10)

e F1 = 1F z (11)

Fd r = F1 (12)

e Fds r 1F z (13)

Fz - = Fr (14)


Fz = Resultante de fuerzas sobre la partícula en dirección de "z" hacia abajo y es función del vector “Fl” y del vector peso sumergido “W” que se definirá a continuación. (Es decir: Fr = f(F1, W)).

θ = Vector unitario que dá la dirección del movimiento de las partículas en el lecho.

El peso sumergido de la partícula en el fluido, o dicho de otras palabras la diferencia entre la masa de la partícula y la masa de fluido que ocuparía el mismo volumen, está dada por:

Donde: ω = Peso sumergido de la partícula. ρ = Densidad de fluido. ρs = Densidad de la partícula. g = Aceleración de la gravedad. Ds = Diámetro de la partícula. Si se considera que:

Se tiene que la ecuación (15)A puede expresarse como:

Así, el vector peso sumergido estaría dado por: (con referencia a la Fig. 4):

Que, tomando en cuenta la rel. (1) y que para α pequeño, Cos α = 1, se tiene que:

Si se toma en cuenta el efecto de la pendiente longitudinal, se tiene que (18)A, puede re-escribirse como:

2D g 1 -

34 = s

3s

(15)A

1 - = s

(16)

2D g

34 = s

3

(15)B

e - e Sen = zn Cos (17)

e - e = zn Tan (18)A

e - e + e = zns TanTan (18)B


Para evaluar Fz, la resultante de fuerzas sobre la partícula en dirección "z", se introducen las relaciones (13) y (18)A en (14), y se tiene que:

De la relación (9), se tiene que la dirección de la trayectoria de las partículas está dada por:

Introduciendo (19) y (20) en (14), se tiene que:

Finalmente, es necesario tomar en cuenta, para completar el planteamiento, el efecto de la fuerza centrífuga que se ejerce sobre la partícula en el punto en consideración. Sea pues, Rp el radio de curvatura de la trayectoria que describe la partícula en su movimiento (desviada un ángulo β de la dirección "s"). La partícula se mueve con velocidad Vp, por lo que el módulo de la aceleración centrípeta es Vp2 / Rp. Así, con relación a la Figura 7 adjunta, se tiene que justo encima de la coordenada n, en el plano definido por n y z la proyección de la aceleración centrífuga (dirigida hacia la derecha de la partícula), es:

Y en la dirección s es: (asumiendo β pequeño)

seSenVpAcs 2

(23)

De manera que las relaciones (22) y (23) dan la proyección del vector aceleración centrífuga según las direcciones de s y del plano n-z. Así, la aceleración en el plano n-z puede también proyectarse sobre las componentes n y z para dar:

Con lo que el vector aceleración centrífuga estaría dado por:

abajo Hacia Fds r - = F z (19)

e + e = ns tan (20)

e + e Fds r - - = F nsr tan (21)

Rp

Vp = z - n Ac Cos (22)

e z-n Ac - = Acn nCos (22)A

e Senz-n Ac - = Acz z (22)B


Figura 7.- Efecto de la aceleración centrífuga.

La expresión (23), puede reducirse a la siguiente aproximación haciendo uso de la rel. (1) y de que α y β son pequeños:

La fuerza centrífuga estaría dada por el producto de la expresión (24) y el peso sumergido de la partícula dado por (15)B, es decir que el vector fuerza centrífuga es:

Es de observar que las componentes de esta fuerza en direcciones "s" y "z" son pequeñas en relación con la componente en dirección "n", ya que Tan β y Tan α son pequeños. Tome en cuenta el lector que para un arco cóncavo el signo de las proyecciones cambia.

e Sen - e - e Sen Rp

Vp = Ac zns

2

CosCosCos (23)

e - e - e Rp

Vp = Ac zns

2

TanTan (24)

AcW = Fc (25)


4. ECUACION VECTORIAL DEL MOVIMIENTO DE PARTICULAS. Con lo expresado hasta ahora se está en condiciones de plantear la relación que establece el balance de fuerzas que actúan sobre la partícula, o dicho más apropiadamente, la ecuación vectorial del movimiento de partículas. Así, con referencia a la Figura 4, se tiene que:

Tomando en cuenta que α y φ son pequeños, esta ecuación puede re-escribirse en la forma:

Donde: Fd = Vector fuerza de arrastre. Fr = Vector Fuerza resistiva. ω Tan φ es = Fuerza gravitacional hacia aguas abajo. ω Tan α en = Fuerza gravitacional transversal. Fc = Vector fuerza centrífuga. Así, de las ecuaciones (8) y (21) en (27), se desprende que en la dirección s la ecuación del movimiento es:

De las ecuaciones (8), (21) y de (24) con sus consideraciones dimensionales, se tiene que la ecuación del movimiento en la dirección n es:

Las ecuaciones (28) y (29) representan pues las ecuaciones dinámicas del

movimiento de las partículas en el lecho de un cauce según las direcciones “s” y “n”,

respectivamente.

Es posible, antes de proceder a relacionar las variables que intervienen en el proceso, considerar algunos términos de las ecuaciones (28) y (29). - El término ω Tan φ, se considera muy pequeño, ya que generalmente la pendiente

longitudinal es pequeña, por lo que se despreciará para la primera parte del desarrollo.

0 = Fc + Fr + e Sen + e Sen ns + Fd (26)

0 = Fc + Fr + e Tan + e Tan ns + Fd (27)

Fdsr - = Tan +Fds (28)

Rp

Vp - Tan Fdsr - = Tan Tan

2

+ Fds (29)


Sin embargo, y como se mencionó anteriormente este se incluye en un análisis posterior donde se considera el efecto de la pendiente longitudinal.

- El término Vp2 / Rp que da la aceleración centrífuga es también bastante pequeño:

primero porque el radio de curvatura de la partícula que es del orden de radio de curvatura de la trayectoria, es generalmente muy grande comparado con Vp, y segundo; porque Vp en sí es muy pequeña comparada con Rp. Por lo que, atendiendo a las características morfológicas de los cauces aluviales en consideración, la aceleración centrífuga puede despreciarse de este análisis. Este término es mucho más pequeño que el de la pendiente longitudinal y de los otros términos que intervienen.

Así finalmente de las relaciones (28) y (29) se tiene que: En dirección s:

En dirección n:

5. DESARROLLO DE VARIABLES.- Como se estableció al inicio de la sección 2, la idea básica es la de relacionar el ángulo que forma el perfil transversal “α” con las diversas variables que intervienen en el proceso. Sin embargo, para precisar más el objetivo, observe el lector que lo que se persigue es hallar la relación entre todas las variables, con excepto de aquellas que por medio del análisis se determine su inefectividad. Para ello es necesario definir ciertas variables en el sentido exacto con que se adoptarán e introducirán en el presente estudio, aduciendo a este hecho, el incluir e introducir sobre todo las vertientes más recientes de las investigaciones que en cada caso se hayan realizado. Es así que, a lo largo de este desarrollo se harán paréntesis con el fin de presentarlas y dejarlas claramente establecidas. Como primera tarea, y por inspección de las ecuaciones (30) y (31) se observa que se precisa una definición para la fuerza de arrastre (drag), sin más pues, se procede a ello a continuación. 5.1. FUERZA DE ARRASTRE. Esta se define como el resultado de: "el esfuerzo tangencial que ejerce el fluido sobre la partícula (arrastre en la partícula) o, la diferencia de presiones en la partícula (arrastre de forma), o una combinación de ambas". Esta pues se genera al haber movimiento de fluido relativo a la partícula y su componente es paralelo al de la velocidad de aproximación. La expresión generalmente aceptada está dada por:

Fdsr - = Fds (30)

Tan Fdsr - = Tan Tan + Fds (31)


Donde: Vap = Velocidad relativa de aproximación. Ap = Proyección del área de la partícula en un plano normal al del flujo. Cd = Coeficiente de arrastre, que es función del número de Reynolds de la

partícula (Rw) y de un factor de forma (SF). Para el contexto en el cuál se pretende utilizar esta definición, la más razonable parece la expresión debida a Raudkivi (3), en la cual explícitamente se identifica la velocidad relativa. Así esta expresión, similar a la utilizada por Kikkawa etal.(4) y por Parker (5) es:

Donde: Ds = Diámetro de la partícula. Ub = Velocidad de flujo cercana al lecho. Vp = Velocidad de la partícula en el lecho. Como esta expresión será de utilidad en el desarrollo, es necesario ponerla en una forma más asequible para la manipulación matemática. Así pues, sea:

Donde:

Por la importancia que tendrá dentro del desarrollo de este trabajo el coeficiente de arrastre, es menester precisar un poco más en el criterio adoptado para su aplicación práctica. 5.1.1. Coeficiente de arrastre Su evaluación solo es posible a través de consideraciones en el estado permanente, en el cual no existen aceleraciones inerciales por lo que éste debe evaluarse para todos y cada uno de los caudales que se consideren en un determinado problema no-estacionario. Para su evaluación práctica, se considera la similitud existente entre el fenómeno en cuestión y la de una partícula en caída libre en un fluido en reposo. Así pues, como bien se sabe, una partícula en caída libre en un fluido en reposo, donde además se considera que el recipiente es lo bastante grande como para que su geometría no interfiera con el experimento y viceversa, la partícula alcanzará una velocidad terminal o velocidad de caída en el momento en que la fuerza de arrastre iguale a la componente del peso sumergido de la partícula.

Ap Vap2

Cd = Fd 2 (32)

Vp - Ub Vp - Ub Cd 2D

2 = Fd s

2

(33)

Vp - Ub K1 = Fd (34)

Vp - Ub Cd 2D

2 = K1 s

2

(34)A


Esencialmente en esta experiencia la velocidad relativa de la partícula sería la velocidad terminal (w), ya que la velocidad del fluido es a efectos prácticos nula por estar éste último en reposo. De manera que, en los resultados experimentales, el número de Reynolds de la partícula basado en w, se correlaciona con el coeficiente de arrastre (Cd) para dar como resultado la relación entre éstos, que generalmente se presenta en la literatura de forma gráfica. Análogamente, cuando una partícula está en reposo en el lecho y actúa sobre ella flujo cortante, la velocidad relativa (de la partícula) sería la velocidad de aproximación del flujo mencionada. De manera que se puede obtener el Número de Reynolds de la partícula relacionado con la velocidad del flujo cercana al lecho (Ub), y de la gráfica existente o de alguna relación analítica obtener el coeficiente de arrastre (Cd) buscado. Esta idea está relacionada con los estudios y conclusiones de Coleman (1967). Asimismo, las apreciaciones de Ikeda (6) en las que indica que la velocidad del flujo a nivel de partícula está de acuerdo con la de caída libre brindan evidencia adicional al procedimiento propuesto. La diferencia con la propuesta de Ikeda es que éste relaciona la velocidad de la partícula con la velocidad de corte y, a partir de esta velocidad de corte define un número de Reynolds (Rw*) como “U* D/υ”, argumentando que el coeficiente de arrastre es función única de este último. Quizá la razón detrás de este procedimiento estriba en que éste se apoya más en el sentido físico del fenómeno, ya que Rw* es la relación entre el tamaño de una partícula (D) y la altura de la subcapa laminar δ, ya que δ es proporcional a υ/U*. A efectos prácticos, y una vez que la velocidad de flujo cercana al lecho, o la velocidad a nivel de partícula es conocida, se puede utilizar la siguiente aproximación basada en correlaciones de mejor ajuste y aplicable a esferoides, para determinar el coeficiente de arrastre y dada por C.M. White (7):

Donde: Rew = DUb/υ. Número de Reynolds de la partícula. D = Diámetro medio de la partícula. 5.2. FUERZA DE SUSTENTACION Y COEFICIENTE DE SUSTENTACION. Tanto el arrastre como la sustentación son los componentes de las Fuerzas hidrodinámicas netas y es completamente "irrealístico" el ignorar cualquiera de éstas, como en muchos casos se ha hecho en el pasado. Es por ello importante dedicar unas cuantas líneas a la presentación de la "sustentación" de manera que el lector puede ubicarla en su justa dimensión, ya que hoy, por un lado, es bastante aceptada la existencia del "arrastre", pero en muchos casos la importancia de la "sustentación" no ha sido apreciada completamente.

310 2 Rew 0 ; 0,4 + Rew + 1

6 + Rew24 = Cd (35)


Antes de sacar conclusiones, es útil dentro del marco de este estudio el analizar el desarrollo de las investigaciones en este campo. Uno de los primeros en estudiar la sustentación fue Chepil (1958) mediante la determinación de las fuerzas de sustentación sobre elementos de rugosidad en superficies en un túnel de viento realizando mediciones directas e indirectas. Dentro del rango de sus estudios, se encontró que el coeficiente de sustentación era de 0.85 del valor de la fuerza de arrastre para cualquier tamaño y velocidad del flujo. Posteriormente Coleman (1967), presentó un estudio preliminar de la fuerza de arrastre y sustentación que actúan sobre una esfera que descansa sobre un lecho hipotético, examinando datos para esferas plásticas y de acero. Así demostró, aunque sin explicación, que la sustentación es negativa para Rw* 100, y que ésta se convierte en positiva a partir del límite dado. Christensen (1972), afirma que la relación entre la fuerza de sustentación y arrastre, representadas por r, varía con el número de Reynolds de la partícula (Rw*), el arreglo de las partículas, etc. y demuestra que "r" varía de -0.4 a 0.9. Con lo expresado se está en posición para destacar dos aspectos fundamentales relacionados con la sustentación, a saber: - La sustentación depende fuertemente del “número de Reynolds de la partícula”

dado por:

Donde: U* = velocidad de corte. D = Diámetro de la partícula. υ = viscosidad cinemática del fluido. - Dependiendo del número de Reynolds de la partícula definidos líneas arriba, hay

regiones donde éste es negativo y otras donde es positivo. Por analogía con la relación (32) y (33), la sustentación puede definirse analíticamente por la siguiente expresión:

Donde: C1 = Coeficiente de sustentación. M1 = Coeficiente igual a π/4. ó, de manera alternativa:

D U = wR ** (36)B

Vp - Ub 2

Ds M2C1 = 1F 22 (36)


Donde: Apl = Área proyectada de la partícula en plano paralelo al flujo. Dado que la información concerniente a las fuerzas de sustentación es bastante limitada, de manera general esta se expresa en términos de la fuerza de arrastre, y está relacionada con esta última mediante la relación "r", definida por la ecuación (12). Es de importancia el notar que en la definición de "r", definida por la ecuación (12). Es de importancia el notar que en la definición de "r" se ha asumido que Cl/Cd es aproximadamente igual a F1/Fd, hecho que es bastante aceptado, ya que las magnitudes del arrastre y sustentación están relacionadas por las condiciones de flujo. Atendiendo a las condiciones de flujo, para condiciones hidráulicas suaves (Rw*<5); las partículas están sumergidas dentro de la subcapa viscosa y sujetas solo a fuerzas viscosas; al menos que esta subcapa sea penetrada por "eddies" o corrientes circulares en una explosión turbulenta. Con el fin de poder llegar a conclusiones que permitan cuantificar analíticamente la fuerza de sustentación, y para presentar una visión completa de la situación, a continuación se presenta una relación de las conclusiones más importantes de diversos investigadores: - Chepil (1958): Toma r 0.85 ; 1000 Rw* 14000. - Coleman (1967): Observó valores negativos de "r" y sugiere que estos se convierten en

positivos a valores de Rw* 100. - Watters y Rao (1971): Encontraron valores negativos de "r" en el rango investigado de 20

Rw* 100 para diversas configuraciones en el lecho. - Bagnold (1974): Para esferas en contacto con el lecho; r 0.5 y Rw* 800. - Davis and Samad (1978): En experimentos con esferas en la zona de flujo suave a

transición encontraron que: la sustentación era negativa para Rw* < 5 y positiva para Rw* 5. Demostrando además que "r" incrementa al incrementar Rw*.

En investigaciones recientes realizadas por C.S. James con sedimentos naturales y partículas esféricas, éste nota que los resultados de Apperley y Bagnold corresponden más a las condiciones observadas en sus experiencias y que por lo tanto puede tomarse el valor de "r" = 0.5 para valores relativamente grandes de Rw*. Para valores menores de Rw*, observa que la relación se hace negativa y que los resultados de Watters y Rao indican que la variación depende de manera significante en la naturaleza de la configuración de las partículas. Es de hacer notar que la configuración de sedimentos naturales está más de acuerdo con la realidad

Vap 2

Apl C1 = 1F 2 (36)A


observada en canales aluviales ya que en esta situación el material sólido está menos expuesto que en la condición de partícula esférica. Como quiera que este último análisis, aparte de incluir las teorías mencionadas, toma en cuenta mediciones propias para las condiciones mencionadas llegando así a establecer relaciones analíticas de mejor ajuste, es que se incluye dentro de este estudio como uno de los más concluyentes en el tema y de más actualidad. Así pues las relaciones propuestas por James en 1990 son las que siguen:

- Para sedimentos naturales:

- Para esferas solas en lecho de esferas:

De acuerdo a James, la marcada diferencia entre estas funciones para el número de Reynolds en la región de transición indican la alta sensibilidad del modelo con respecto a la estimación de la fuerza de sustentación. Esta sensibilidad enfatiza el pobre entendimiento que se tiene del fenómeno de "iniciación el movimiento de partículas" ("entrainment" en la literatura Anglo-sajona) en la zona de transición. Con esta última apreciación, se considera que el lector tiene las bases suficientes de la dinámica del fenómeno en cuestión, y por ello es menester en este punto retornar al "desarrollo" de la expresión analítica que ha dado origen a toda esta serie de planteamientos y reflexiones. Continuando; de las relaciones (3) y (9), se tiene que:

- Haciendo uso de (40), (34) y (9) se tiene que:

y,

150. < Rw para;Rw 0.212 + 0.560- = Cl/Cd

150. Rw para0.5; = Cl/Cd

**

*

ln

(38)

15. < Rw para;Rw 1.472 + 3.509- = Cl/Cd

15. Rw para0.5; = Cl/Cd

**

*

ln

(39)

e Vps - Ubn + e Vps - Ubs = Vp - Ub ns tan (40)

Vps - Ubs K1 = Fds (41)


Donde: Fds = Componente del arrastre en dir. "s". Fdn = Componente del arrastre en dir. "n". - De (42) con (41) y (10)A se llega a:

- Y, así se tiene que:

Pero, haciendo uso de las ecuaciones (4) y (10)A; e introduciéndolas en (44) y realizando operaciones, se tiene la relación básica buscada entre las variables que intervienen en el proceso. La misma que resulta de la siguiente forma:

Esta última relaciona el ángulo de desviación de la fuerza de arrastre (γ), el ángulo de desviación de la tensión de corte en el lecho (δ), y del ángulo de desviación de la partícula (β), en función de las componentes en la dirección "s" de la velocidad del flujo en el lecho y de la velocidad de la partícula en el lecho. Observe el lector que de ella se desprende la importante conclusión en cuanto a la diferencia que existe entre unas y otras direcciones de los componentes dinámicos del movimiento de partículas en el lecho. De esta última se desprende el hecho de que la dirección del arrastre es distinta a la del movimiento de partículas, y distinta también de la dirección de la tensión de corte en el lecho. Con esto pues se demuestra lo vertido, en cuanto a la incorrección de la hipótesis de Engelund (9) de que el arrastre es paralelo a la tensión de corte. Para completar la relación dada por (45), es necesario proceder a encontrar una expresión para el término (Ubs - Vps). Así de (30) y (41), y efectuando operaciones se tiene primeramente que:

Y, finalmente:

tantan Fds = Vps - Ubn K1 = Fdn (42)

Vpn - Ubn K1 = Vps - Ubs = K1 tan (43)

Vps - Ubs

Vpn - Vps - Ubs

Ubn = Vps - UbsVpn - Ubn = Tan (44)

Vps - Ubs

Vps - Vps - Ubs

Ubs = TanTanTan (45)

= Vps - Ubs rK1 + Vps - Ubs = K1 (46)A


Esta última relación es similar a la obtenida por Kikkawa et al. (4) y guarda relación con las expresiones obtenidas por Bridge y Dominic en estudios realizados el año 1984. Este punto del análisis merece otro paréntesis con el fin de evaluar y asimismo dar el lugar, que por su importancia tienen, a las variables que faltan para completar la relación (45) es decir: la velocidad del flujo en el lecho en dirección "s" (Ubs) y la velocidad de la partícula a nivel del lecho en dirección "s" (Vps). 5.3. VELOCIDAD DEL FLUJO Y TENSION DE CORTE EN EL LECHO. La velocidad del flujo debe evaluarse al nivel de partícula, entendiendo por "nivel de partícula" a aquél que está justo en la "frontera" entre el lecho inmóvil y el fluido. Atendiendo a esto deben considerarse pues dos situaciones que en la práctica se dan, a saber: - Si no se presentan condiciones de transporte de fondo y la partícula está en reposo

justo en el momento de iniciarse el movimiento de fondo. Así la velocidad (Ubs) se define como la velocidad al nivel del lecho.

- Si se tiene condiciones de transporte de fondo, existirá una capa móvil de cierta

profundidad dentro de la cual se desplazan las partículas justo por encima del lecho inmóvil. Así la velocidad en el lecho debe determinarse por encima del lecho inmóvil, es decir a cierta distancia de la "frontera" establecida entre la capa del lecho que se mueve y la que permanece inmóvil.

Es de hacer notara que no existen medios para determinar analíticamente la "Frontera" aunque su existencia es un hecho. De manera general, a efectos del cálculo del perfil de velocidades se considera al nivel de partícula, como aquél en que la velocidad es cero, es decir: igual al nivel de referencia. Sin embargo, se ha demostrado que el punto en que la velocidad es cero permanece por debajo de cierta porción de los elementos de rugosidad o de las partículas, dependiendo de la configuración del experimento. Así pues efectivamente existe un desplazamiento del nivel de referencia por debajo de las partículas o elementos de rugosidad.

r + 1 K1 = Vps - Ubs

(47)

Insertando los valores de Kl y operando, finalmente se llega a:

r+1Cd

D g 34 = Vps-Ubs s

1/2

(48)


Han existido bastante intentos para determinar este desplazamiento y fijar así la referencia para establecer los perfiles de velocidades. Entre los últimos y más elaborados se puede destacar a los estudios de Kirkgoz. Sin embargo, no se han llegado a resultados que permitan establecer una ley universal para fijar este parámetro, ya que parece que éste depende mucho del tipo y conformación de la rugosidad; por lo que solo son aplicables a las condiciones bajo las cuales fueron concebidas. Por lo expuesto se debe proceder a realizar las siguientes tareas: I. Fijar las bases del nivel de referencia, de manera que éste guarde relación con lo

vertido líneas arriba. II. Establecer un perfil de velocidades que permita la evaluación de la velocidad del flujo

al nivel de referencia. Con relación al primer punto, se puede asumir de manera muy realística que las partículas en consideración descansan sobre un lecho inmóvil formado por partículas similares y que el nivel de referencia está localizado en la parte inferior de la partícula que descansa sobre el lecho. Debido al arreglo y disposición de las partículas que forman el lecho, parte de la mitad inferior de las partículas que descansan sobre él (en el orden D/2 a D/4) estaría por debajo del nivel superior de las partículas que forman el lecho. Así es lógico el adoptar la velocidad del flujo a una altura de D/2 medida desde la parte inferior de la partícula. Con ello además se toma en cuenta el hecho de que en la zona comprendida en la parte inferior de la partícula que descansa sobre el lecho puedan existir situaciones donde el flujo a través de las partículas que forman el lecho esté dominado por efectos viscosos. Para establecer el perfil de velocidades, muchos autores han propuesto perfiles asumiendo condiciones completamente rugosas en la vecindad del lecho, hecho que si se toma en cuenta el nivel de partícula sugerido líneas arriba daría como resultado velocidades adimensionales prácticamente constantes e independientes de la granulometría, lo que además de ser incorrecto desde el punto de vista real violaría la posibilidad de que dependiendo de la configuración y la granulometría puedan darse situaciones en que a nivel del lecho y a través de la zona de carga de fondo del lecho puedan darse flujos dominados por efectos de viscosidad o bien estar en la zona de transición. Es decir que sería necesario establecer un perfil que pueda aplicarse continuamente a través de las diferentes regiones del flujo. A este respecto, y sin más preámbulo, se propone el perfil continuo presentado por Rotta en 1950 (8) basado en consideraciones empíricas y utilizando la teoría de la viscosidad de remolino (eddy viscosity). Así y con la evidencia de que este tipo de perfil ha sido usado en experiencias que involucran condiciones de rugosidad y de desplazamiento de la referencia de velocidad similares a las que son objeto del presente estudio, primero por Ikeda (5) y posteriormente por el autor del presente trabajo (1). En ambos trabajos se considera que “la velocidad local” a una altura “z” de la vertical es una función del parámetro:


Donde: Rex = Forma de número de Reynolds definido por (49). z = Nivel medido desde la referencia. υ = Viscosidad cinemática. U* = Velocidad de corte. Así pues, se tiene que, tomando como referencia para las condiciones de flujo el número de Reynolds (Rw*) definido por (36)B: - Para flujos en la subcapa viscosa: (Rw* < 5.5)

- Para flujos en la zona de transición: (5.5 Rw* < 51)

Donde: u = Velocidad temporal media en z.

K = Coeficiente de Von Karman. - Para flujos en la zona completamente turbulenta: (Rw* 51).

Introduciendo el valor de z = D/2 en la correspondiente ecuación, de acuerdo a las condiciones de flujo, se tiene que u = Ubs. Con lo que se deja establecido de forma clara la evaluación de la velocidad del flujo en dirección "s", a nivel del lecho.

z U = Rex*

(49)

z U = Uu *

* (50)

U +

41 + y +y 2

K1 +

41 + y -

21

Ky1 =

Uu *

22*

ln (51)

/ U L =y * (51)A -z K = L (51)B U / = * (51)C D/ U 2.4671 - 9.7 = * ln (51)D

D U K1 - z U

K1 + 8.5 =

Uu **

*lnln (52)


De las ecuaciones (50) a (52) se desprende que se puede evaluar una cierta variable "a", que dependería de las condiciones de flujo, rugosidad del lecho y viscosidad, de tal manera que se cumpla la siguiente relación:

Donde: a = Variable dependiente de las condiciones de flujo, rugosidad del lecho y

viscosidad y que obedece a la ecuación (53). Figura 8.- Velocidad de flujo en el lecho “Ub” en función del Número de Reylonds de la

partícula (Rep). Haciendo:

E introduciendo (54) en (53) y tomando en cuenta que:

U a = Ubs * (53)

a = c 2 (54)

bs c = Ubs 2 (55)


Introduciendo (55) en (48) se tiene que:

En esencia, la condición crítica para el movimiento de sedimentos es o está cerca de la condición en que Vps = 0 (la velocidad de la partícula es cero) (72), esto implica pues que la tensión de corte en dirección "s" τbs toma su valor crítico τcs (frontera del inicio del movimiento). Así, tomando en cuenta lo mencionado e introduciendo los correspondientes valores se tiene que (56) se convierte en:

Donde: τcs = Tensión de corte crítica en dirección aguas abajo. Alternativamente, la expresión (57), después de realizar operaciones puede ser re-escrita como:

Pero, definiendo a la expresión del miembro de la izquierda mediante la siguiente relación:

Donde: τ* c = Tensión de corte crítica adimensional de Shields. La definición de τ*c, se desprende del hecho de que τcs establece la condición de inicio de movimiento de sedimentos. Con relación a esta última expresión es de importancia hacer notar que en ella se asume implícitamente que el lecho es plano en el entorno en consideración, ya que en presencia de "formas de lecho" τ*c o τcrit no depende del radio hidráulico total, pero de la porción del mismo asociada con la rugosidad de la partícula (Rh') ("grain roughness" en la literatura Anglo-sajona). Es decir que para formas de lecho presentes, de geometría que merezca consideración, τ*c debería definirse a partir de la rugosidad de partícula con su respectivo Radio hidráulico asociado Rh'. De (59) en (58), se tiene que:

Cd r + 1

D g 34 = Vps - bs c s

1/2

(56)

C r + 1D g

34 = cs c

d

s

(57)

cd r + 1c

34 =

D g cs

s

(58)

c = D g

cs *

s

(59)


Observe que en esta última relación. La tensión crítica adimensional de Shields, depende no solo de las condiciones de flujo, como se muestran en las típicas gráficas de Shields, sino de las condiciones dinámicas del movimiento de la partícula que rigen el fenómeno. Introduciendo (60) en (48) se tiene:

Dividiendo (61) entre la expresión resultante para Ubs de (55).Se tiene que:

Pero:

Donde: τ*es ahora la tensión cortante adimensional de Shields en dirección aguas abajo. 5.4. CONSIDERACIONES SOBRE EL COBIJAMIENTO Y EL FACTOR DE

FORMA EN LA TENSION DE CORTE. En la aplicación práctica de la expresión (63), llamada también "fuerza tractiva" en la literatura existente, se deben tomar en cuenta dos aspectos, a saber: Uno de ellos, es el debido a que en la evaluación de la tensión de corte τbs, se deben tomar en cuenta los efectos de la presencia de otras partículas. Esto, se lleva a cabo por medio de la introducción de un coeficiente de "Cobijamiento", que hace relación a las dimensiones relativas de las partículas en el entorno de evaluación de la tensión de corte. El efecto que éste produce, y que fue observado y cuantificado inicialmente por Iwagaki en 1956, es el de reducir efectivamente la tensión de corte que actúa en la partícula en consideración debido a la presencia de otras similares en naturaleza alrededor de ella, esta reducción -de acuerdo a la evaluación de Iwagaki - hace que la tensión de corte sobre la partícula sea aproximadamente 0.35 veces la tensión de corte de aguas abajo. Es decir que en términos analíticos se tendría:

Cd r + 1 c

34 = c*

(60)

c D c = Vps - Ubs s* 1/2 (61)

D bs

c = Ubs

Vps - Ubs

s

*

1/2

(62)

*

s

= D

bs

(63)


Donde: τbs-p = Tensión de corte que actúa sobre la partícula. Como generalmente este coeficiente se utiliza analíticamente relacionado a la raíz cuadrada de la tensión de corte adimensional (ref. (63); se define en ese contexto, por lo que debe introducirse acompañando a la tensión de corte adimensional de aguas abajo en la siguiente forma:

El valor de λo, propuesto por Iwagaki y que se desprende directamente de la consideración de (64) aplicada al contexto dado por (65) es de 0.592. Sin embargo, mediciones más recientes han determinado que su valor es de 2/3 ( 0.666). Por otra parte, se tiene la influencia de la forma de las partículas. En lo que se refiere al inicio del movimiento su efecto es pequeño, y solamente aquéllas de forma aplanada dan valores más altos de la tensión de corte crítica de Shields. Este último toma en cuenta los efectos de la "no esfericidad" de las partículas, se denota por α y se define como la relación entre área proyectada-volumen de una partícula no-esférica dividida por la correspondiente a una "esfera". El valor propuesto por otros autores con relación a los sedimentos que se encuentran en la naturaleza es del 1,27. Como el factor de forma (α) es de alguna manera mayor que uno y λo es menor que la unidad. El factor que afecta a la raíz cuadrada tensión de corte que es el producto de α λ puede tomarse como igual a 1. De ahí que en muchos casos aunque estos hayan sido ignorados se ha encontrado que su efecto no es considerable. Sin embargo, debe hacerse una advertencia en cuanto a su uso práctico, ya que dependiendo del sistema fluvial en análisis, la inclusión de éstos como en realidad corresponde puede tener efectos que influyan en los resultados. Este último hecho ha sido observado por el autor del presente trabajo (1). Retornando pues al análisis en cuestión: Y, de (62) con (63) resulta:

Esta última expresión tiene un sentido físico interesante, pues se observa que al incrementar la tensión de corte de Shields en dirección "s" (τ*), la velocidad de la partícula en movimiento en dirección "s" (Vps) tiende a la velocidad del flujo en el lecho en dirección "s" (Ubs). Bajo estas condiciones, se observa también que considerando la expresión (41) el arrastre tendería a cero.

bs 0.35 = p - bs (64)

* 1/2 o (65)

*

* 1/2c =

UbsVps - Ubs (66)


5.5. VELOCIDAD DE LA PARTICULA EN EL LECHO. Para poder completar la expresión (45) es preciso evaluar la velocidad de la partícula en el lecho en la dirección "s", para ello de (66) se tiene:

Y, ordenando la expresión, ésta queda como:

Se observa nuevamente de esta expresión que al aumentar la tensión de corte de Shields en dir. "s" (τ*), la velocidad de la partícula tiende a la velocidad del flujo en el lecho. 6.- ECUACION DEL MOVIMIENTO DE PARTICULAS EN EL LECHO.- Volviendo a la ecuación (45) y para finalizar su composición analítica se deben introducir las expresiones correspondientes a Ubs y Vps, para ello se hace uso de las expresiones (67) y (66), y al introducirlas en (45) se tiene:

Introduciendo (68) en esta última ecuación, se tiene que:

Antes de continuar, y como ha sido establecido a lo largo del presente análisis, es preciso comentar aspectos relacionados con la expresión (70), sobre todo aquéllos que se refieren a la dependencia de γ y δ; es decir, de las desviaciones del arrastre y de la tensión de corte en la dir. "s". Así pues, se tiene que γ es igual a δ, solo bajo las siguientes condiciones: - Cuando τ* tiende a τ*c: Es decir, justo en la condición de la frontera del inicio del

movimiento de partículas sólidas, ya que por una parte el término Tan β es cero y, la relación (τ*/τ*c) tiende a la unidad por otra. Así de (70) se tiene que Tan γ = Tan δ, con lo que γ = δ.

*

* 1/2c Ubs - Ubs = Vps (67)

*

* 1/2c - 1 Ubs = Vps (68)

c

UbsVps -

c =

*

* 1/2

*

* 1/2

TanTanTan (69)

1 - c

- c

= *

* 1/2

*

* 1/2

TanTanTan (70)


- Cuando δ = β: Es decir, cuando la desviación de la trayectoria de la partícula es igual a la desviación que sufre la tensión de corte. De acuerdo con (70), generalmente γ y δ no coinciden y esto se expresa claramente por la relación que dá el arrastre (33), ya que (70) se comporta efectivamente como la derivada de (33). Observe que este aspecto complementa nuevamente a demostrar la incorrecta hipótesis de Engelund (9) de considerar γ = δ en su modelo. Por otra parte, si se considera el efecto de la pendiente longitudinal del lecho en el análisis, como se verá brevemente, el hecho de que γ no coincide con δ es aún más evidente.

Para encontrar, finalmente, la relación buscada entre Tan α (pendiente transversal) y las variables que intervienen, se hará uso de la ecuación del movimiento de partículas en dirección "n" (transversal) (31). Así introduciendo (70) en (31) da:

(71) Ahora bien, de (30) y (41), resulta:

Introduciendo (30) y (72) en (71) queda:

De (5.15)B para ω y de (48) para (Ubs - Vps) en (71)A resulta:

Tan Fdsr -W = ...

... = Tan W TanTan + 1 - c

- c

Fds *

* 1/2

*

* 1/2

Vps - Ubs K2 = Vps - Ubs K1 = Fds 2 (72)

Tan TanTan - = -

c Vps - Ubs K2

*

* 1/22

(71)A


Simplificando (71)B y operando cambio de signo, se tiene:

ó alternativamente:

Es de notar que si se incluye en estas expresiones el análisis realizado en la sección 4.4. con relación al "cobijamiento" y el "factor de forma" los términos que incluyen la expresión (τ*) deben multiplicarse por α λo. Así este debe multiplicar a todo el miembro de la derecha en la ecuación (72), y en la ecuación (73) dividir al segundo término de la derecha que contiene Tan α. Las relaciones (72) y (73) proporcionan información acerca del sentido físico del fenómeno, ya que en el estado en que Tan α = 0, es decir en el estado inicial, se aprecia que β = δ; es decir que la dirección del movimiento de partículas coincide con la del flujo en el lecho pero solo en el estado inicial y si α = 0. 6.1. DESARROLLO INCLUYENDO EFECTOS DE PENDIENTE LONGITUDINAL. Como se indicó anteriormente, en el análisis presentado no se ha incluido el efecto gravitacional en la partícula debido a la pendiente longitudinal del lecho, ya que generalmente éste es pequeño comparado con los otros términos que intervienen en las ecuaciones del movimiento de las partículas. Sin embargo, y con el ánimo de presentar un análisis completo, en las líneas que siguen se introducirá el efecto de considerar la pendiente del lecho en el desarrollo de los perfiles transversales. Las ecuaciones representativas de la dinámica del proceso serían (28) y (31). En la presentación del desarrollo las expresiones que resulten se denominarán, por simplicidad, con la misma numeración de su similar en el desarrollo anterior (Sec. 4) seguidos por un apóstrofe (').

2

D g 34 - = ...

... = - c

r + 1 Cd

D g 34 K2

s3

*

* 1/2s

Tan

TanTan

(71)B

-

c

r + 1 =

*

* 1/2

TanTanTan

(72)

c r + 1 + =

*

* 1/2

TanTanTan

(73)


Si se introduce ecuación (41) en (28), se tiene que:

Ordenando términos y operando se llega a:

Introduciendo los valores de W y K1, y operando se llega a:

Ahora bien, denominando:

Introduciendo las relaciones (74) en (49)' y dividiendo la ecuación resultante por la expresión que define a Ubs en función de τbs (58), se llega a:

Denominando, por simplicidad en las expresiones resultantes, la expresión entre paréntesis de (69)' por Σ y operando para hallar Vps, se tiene:

La relación establecida (45) es de aplicación general, ya que esta se determina a partir de la definición aplicada de la fuerza de arrastre. Así, introduciendo (68)' y (69)' en (45) y realizando operaciones se tiene que:

Así de ésta última relación se ve más claramente que γ nunca es igual a δ ya que en Σ interviene la pendiente longitudinal, a no ser de que aparte de que se cumpla lo mencionado con la tensión de corte y la igualdad de β y δ, se tenga que la pendiente longitudinal sea nula. Haciendo uso de la ecuación (31) y sustituyendo en ella la expresión (73)' y realizando operaciones, de manera similar que las efectuadas para llegar a la relación (73), se llega finalmente a la siguiente relación:

Vps - Ubs 1Kr - W = Tan W + Vps - Ubs K1 (46)'

r + 1 1K

Tan - W

= Vps - Ubs (47)'

r + 1

- r + 1

Cd

D g 34 = Vps - Ubs s

1/2

Tan (49)'

r + 1

= yM2r + 1

= M1

Tan (74)

M2- M1 c Cd

DS g 34 =

UbsVps - Ubs

bs

1/2

(69)'

1/2 - 1 Ubs = Ubs - Ubs = Vps (68)'

1 - 1- 1 = 1/21/2

TanTanTan

(73)'


La ecuación (75) es igual a la (73) para el caso de pendiente longitudinal despreciable, es decir M2 = 0. Las relaciones (73) o (75) son las que relacionan todas las variables que intervienen en el proceso dinámico del movimiento de partículas en el lecho. 7.- APLICACIONES.- Con el fin de ilustrar, no solo la bondad, sino la aplicación específica a casos reales, se procederá a la aplicación de la ecuación (73) o (75) a casos generales conocidos. 7.1. PERFILES ESTABLES O PERFILES DE EQUILIBRIO. Las relaciones que nos dan la inclinación del perfil transversal a través de (72), (73) o (75), en las que la variación de la inclinación del lecho (α) está relacionada a las variables que intervienen en el proceso dinámico se aplicará al caso de determinar lo que se denomina en la literatura existente “perfil estable transversal o de equilibrio”. Antes de continuar con el desarrollo del tema, es necesario en este punto, establecer el concepto de perfil estable y ubicar el desarrollo realizado hasta ahora dentro del mismo, con el fin de enmarcarse dentro de los conceptos aceptados en la literatura existente. Con referencia a la Figura 9.- se puede apreciar la geometría típica que se observa en la sección de una curva o meandro de un rio. Como bien se sabe se tienen profundidades mayores en la parte externa que en la parte interna de dicha sección, dando origen a una pendiente transversal, como se muestra en dicha figura. Ahora bien, el concepto es que cuando el flujo ha actuado durante un tiempo suficiente sin variar, y asumiendo que la provisión de sedimentos al sistema es también invariable. Se formará dicha sección con una pendiente entre las márgenes internas y externas, y bajo las condiciones indicadas esta se denomina “pendiente estable o de equilibrio”.

c r+ =

1/2

Tantan1

11TanTan *

*

(75)


Figura 9.- Sección transversal típica en un meandro y pendiente estable o de equilibrio.

Una de las tareas de los científicos y expertos ha sido la determinación de esta “pendiente estable” , pues con ella se puede lograr un parámetro adecuado tanto para la actuación del rio, predicción de tasas de migración lateral o el diseño y emplazamiento de obras; logrando determinar la profundidad máxima en las márgenes externas. Dentro de las teorías desarrolladas por otras autores se ha utilizado el concepto de "flujo curvo completamente desarrollado (FCCD)", definiéndolo como aquél en el que las características del flujo no varían en la dirección principal del flujo (dirección "s") a partir de cierta ubicación de la geometría en planta del sistema. En la mayoría de los casos este FCCD se dá o bien a la salida o en la parte final del tramo curvo y su ubicación es imprecisa. Además tiende a ser un concepto erróneo ya que su aplicabilidad se restringe a condiciones de geometría uniforme. Sin embargo, el uso de este concepto ha permitido evaluar ciertas variables que, de otro modo, hubiera sido tedioso sino imposible. Rozooskii y otros autores han encontrado que la desviación de la tensión de corte para condiciones de FCCD responde a una relación del tipo:

Donde: K = Coeficiente adimensional. hc = Prof. local de flujo en la línea central.

Rchc K - = Tan (76)

Pendiente lateral estable


Rc = Radio de curvatura local de la línea central. El signo negativo indica que su dirección es hacia la margen convexa (interna) siguiendo la notación establecida. Rozoovskii establece que K 11; Engelund (9), K 7, etc., y otros atribuyen a K relaciones funcionales con la rugosidad. De la Figura 2, se puede establecer que:

Donde el signo indica que “£” incrementa en el sentido negativo de la coordenada n, y viceversa (aplicada a curva convexa). Para la condición FCCD, y para la determinación de perfil estable la velocidad de la partícula en dirección "n", es decir “Vpn” debe ser nula (no debe existir componente neta de desplazamiento de sedimentos), por lo que atendiendo a la definición de β dada por (5.10)A se tiene que:

Así introduciendo (76), (77) y (78) en (73) se tiente que:

Sea:

Donde: A = Factor de socavación de la curva. ("Bend scour factor" en la literatura Anglo-

sajona). A se define así por la siguiente relación.

Esta es la relación característica en la forma en la que se encuentra en la literatura. Si se considera la pendiente longitudinal, se llega al siguiente resultado introduciendo la condición dada por (78) en la relación (75), de manera que se tiene:

n =

Tan (77)

0 = Tan (78)

n c r + 1 - =

Rchc K

*

* 1/2

(79)

c

r + 1

K = A*

* 1/2

(80)

n

hcRc = A

(81)


Tancr

Tan2/1

*

* tan11

(82)

O, alternativamente:

Si se toma en cuenta que:

Introduciendo (76) y (83) en (82)A se tiene:

O bien,

Tan

c

rRchc K - =

n

1/2

11 *

* (84)B

Así para ambos casos se tienen las relaciones que dan el perfil estable mediante las ecuaciones (82) o (84) considerando la pendiente longitudinal y (79) sin considerarlo. De estas ecuaciones se desprende que la pendiente lateral incrementa con la tensión de corte. En un estudio realizado por el autor del presente trabajo incluyendo ambos efectos en la evaluación de la pendiente transversal de equilibrio (1); y donde las condiciones de flujo han sido evaluadas tomando en cuenta los estudios de Hussein y Smith (10), en los que la estructura del flujo en curva se establece a partir de mediciones de los perfiles de velocidad en dirección longitudinal y transversal al flujo, y de esa manera se evalúa el componente que da la desviación de la tensión de corte en el lecho “” se ha llegado a establecer que:

- El efecto de incluir "cobijamiento" y "factor de forma" puede influir los resultados finales, de manera general se aconseja incluir estos.

- El coeficiente “K”, no es constante como lo plantean Engelund (9), Zimmerman & Kennedy (11) y otros autores (2), sino que varía con la rugosidad, relación Profundidad-ancho y la dinámica del flujo a través del punto en que la velocidad en el lecho es cero.

r + 1

- Ds g c Cd

43 = anbs

1/2

TanTan (82)A

s = So= Tan (83)

r + 1

So+ Ds g c Cd

43

Rchc K - =

n bs

1/2

(84)A


- Dependiendo de la morfología del cauce, no se ha encontrado variación apreciable en la inclusión de la pendiente longitudinal.

- Se ha demostrado que el uso del modelo descrito en este estudio dá muy buenos resultados. En la Figura 10 se muestran gráficamente los datos calculados mediante la metodología descrita y aquéllos medidos por Zimmermann & Kennedy (11). Aunque en forma se ha restringido a evaluar la pendiente transversal de equilibrio, los resultados obtenidos mediante las ecuaciones arriba descritas comparados con datos de mediciones de Zimmermann y Kennedy dan una relación de discrepancia entre valores calculados y medidos de 0.99, con lo que puede concluirse que el modelo es adecuado.

Figura 10.- Pendiente transversal del lecho. Calculada y medida Fuente: F. Garcia-Gutiérrez y Zimmermann & Kennedy (11)

7.2.- CURVA DE SHIELDS O DE UMBRAL DEL MOVIMIENTO DE PARTICULAS Un ejemplo claro en lo que se refiere al estudio del umbral del movimiento de partículas de que este depende de las condiciones dinámicas del flujo y de las partículas, es la famosa curva de Shields. En la forma en que esta se conoce en la región de flujo rugosa su valor es de aproximadamente 0,4; sin embargo haciendo uso de la relación (60), se demuestra que esta no es constante y depende de las condiciones de las condiciones mencionadas. Así con arreglo a las Figuras 11 y 12, tanto para el caso de esferas como para el de sedimentos naturales, se puede apreciar que la relación depende altamente de la dinámica del flujo y de las partículas, sobre todo cuando se considera la sustentación de las partículas.

PENDIENTE TRANSVERSAL

0

0,050,1

0,15

0,20,25

0,3

0 0,1 0,2 0,3

Valores medidos (ST med)

Valo

res

calc

ulad

os

(STc

al)

d=0.21mmd=0,55mm


Figura 11.- Relación del Esfuerzo de corte crítico versus Numero de Reynolds de las partículas – sedimentos naturales.-

Figura 12.- Relación del Esfuerzo de corte crítico versus Numero de Reynolds de las partículas – esferas.-

TCRIT vs Rep - SED NATURALES

0,001

0,01

0,1

1

1 10 100 1000

REP

TCR

IT TCRIT CLIFT vs REP

NO LUFT

TCRIT vs Rep ESFERAS

0,001

0,01

0,1

1

1 10 100 1000

Rep

Tcrit TCRIT LIFT vs REP ESF

NO LIFT


7.3.- TRANSPORTE DE SEDIMENTOS.- Es de observar asimismo, que en el fenómenos de transporte de sedimentos de fondo, es decir de aquéllos sedimentos que viajan en la vecindad del lecho y sin entrar a suspensión, puede llegar a tener componentes importantes en la dirección transversal al del flujo principal, de manera que esta componente puede dimensionarse en función de la relación (73), donde se ve que la desviación de las partículas sólidas “β”, depende de la estructura del flujo y su distribución dada por “”, de las condiciones dinámicas de las partículas, dadas por “μ” y “r” y de la pendiente transversal del lecho “”, de manera que se tiene que: Tanqbsqbn * (85) Donde: -qbs = componente de transporte de sedimentos en dirección de la coordenada “s” por unidad de ancho en m3/s -qbn = componente de transporte de sedimentos en dirección transversal por unidad de ancho en m3/s De manera que el vector transporte de sedimentos está dado por: enqbnesqbsqb (86) Donde: -qb = vector transporte de sedimentos -es, en = Vectores unitarios en las direcciones s y n, respectivamente. 8.- CONCLUSION.- Se ha presentado una ecuación que responde a la dinámica del proceso de movimiento de sedimentos, tomando como elemento las condiciones dinámicas tanto del flujo, como la geometría del cauce fluvial – como elementos que en conjunto son el motor y fuente de energía para los procesos de transporte de sedimentos y de manera más general para la formación y evolución de cauces fluviales – y de las condiciones que estos imponen a las partículas y sedimentos que forman sus fronteras (especialmente el lecho).


REFERENCIAS 1. GARCIA GUTIERREZ, Francisco Pablo & FERNANDEZ BONO, Juan Francisco.

“AN ALTERNATIVE METHOD TO ESTIMATE THE STABLE TRANSVERSE BED SLOPE IN CURVED ALLUVIAL CHANNELS” – THE GARCIA-GUTIERREZ EQUATION”

Proc. XXIV Congress “International Association for Hydraulic Research”, IAHR. Palacio de los Congresos - Madrid – España. 1991. 2. GARCIA GUTIERREZ, Francisco Pablo.

“ESTUDIO DEL FLUJO LIQUIDO Y MASICO Y SUS INTERACCIONES, PARA ALTOS NUMEROS DE FROUDE, EN CAUCES ABIERTOS NATURALES – ALUVIALES CON MEANDROS. ANALISIS Y MODELACION DE LA EVOLUCION DEL LECHO Y MIGRACION DEL CAUCE.” TESIS DOCTORAL (CUM LAUDE) como requisito parcial para el título de “Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos.” Depto. de Ing. Hidráulica y Medio Ambiente. Universidad Politécnica de Valencia, España. 1994.

3. RAUDKIVI, A.J. “LOOSE BOUNDARY HYDRAULICS”. Pergamon Press, Oxford, U.K., 2nd. Ed., 1976.

4. KIKKAWA, H., IKEDA, S., & KITAGAWA, A. “FLOW AND BED TOPOGRAPHY IN CURVED ALLUVIAL CHANNELS”. J.H.D., ASCE., Vol. 102. No. HY9, Sept., 1976, pp. 1327-1342

5. IKEDA,. S.

“LATERAL BED LOAD TRANSPORT ON SIDE SLOPES””. J.H.D., ASCE., Vol. 108. HY11., 1982, pp. 1369-1373.

6. IKEDA,. S.

“INCIPIENT MOTION OF SAND PARTICLES ON SIDE SLOPES””. J.H.D., ASCE., Vol. 108. HY1., 1982, pp. 95-114.

7. PARKER,. G. “LATERAL BED LOAD TRANSPORT ON SIDE SLOPES BY S. IKEDA (DISCUSSION)”. J.H.D., ASCE., Vol. 110. No. 2., 1984, pp. 197-199.

8. WHITE,. F.M.

“VISCOUS FLUID FLOW”. McGraw-Hill Book Co., New York, USA, 1974.

9. ENGELUND,. F. “FLOW AND BED TOPOGRAPHY IN CHANNELS BENDS”. J. FLUID MECHANICS. ASCE., Vol. 113, 1983. p-1-16.


10. Hussein, A.S.A. & Smith, K.V.H. “FLOW AND BED DEVIATION ANGLE IN CURVED OPEN CHANNELS”. J. Hyd. Res., IAHR., Vol 24-No.2. 1986, pp. 93-108.

11. Zimmermann, C & Kennedy, J.F., “TRANSVERSE BED SLOPES IN CURVED ALLUVIAL STREAMS”. J. H. D, ASCE., Vol 104 – HY1, Enero 1978, pp. 33-48.

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