Un model matematic per a la computacio quantica: …...de processadors, i en concret un augment...

Un model matematic per a la computacio quantica:fonaments, algorismes i implementacions

Juan Jose Rue Perna

Escola Tecnica Superior de Telecomunicacions de BarcelonaFacultat de Matematiques i Estadıstica

Memoria presentada per accedir al tıtold’Enginyer Superior en Telecomunicacions

Treball dirigit per Sebastia Xambo

Curs academic 2006-2007

Existeix una forca motriu mes poderosa queel vapor, l’electricitat i l’energia atomica: la voluntat.

Albert Einstein

Agraıments

Per comencar, voldria agrair en primer lloc com no podria ser d’altra manera a en SebastiaXambo per acceptar la direccio d’aquest projecte, aixı com agrair les multiples i fructıferesdiscussions al respecte del tema tractat, de les que puc afirmar sense cap mena de dubteque he pogut extreure noves visions de la fısica matematica i, a mes a mes, del savoir faireen el mon de la matematica. Per aquestes raons i pels camins que m’ha mostrat i pels quem’ha deixat obrir, moltes gracies.

Agrair tambe al professor Lluis Torner per permetre’m la presentacio d’aquest treball coma projecte de final de carrera en l’escola, ja que altrament tot aquest projecte de recercano hauria estat possible, en un context multidisciplinar com n’era inicialment la seva idea.

Com no, agrair a tota la gent del CFIS la realitzacio del treball: a na Marta, a en Pere,al Sr. Grane i a la resta del personal. Si no fos per aquesta iniciativa, crec que ara mateixno tindria la visio global que he adquirit (amb una mica d’esforc, perque negar-ho!) delmon de la ciencia i de la tecnologia. De fet, aquest projecte, en certa manera, intentarecollir una mica aquest mana multidisciplinar, en aquest cas des de la visio matematicad’un tema profundament aplicat a la informatica.

En quant als meus companys de l’institut i de la infancia, nomes puc dir que en tot momenthe comptat amb el seu recolcament: en Sergi, en Roc, en Joan Ramon, en Marc, en Toni,en David Fabian, a en Litri, a l’Albert, . . . . Com no, les excursions per Prades i lesmultiples escapades al Montsec sempre han estat profitoses!

Tambe recordar a totes aquelles persones que han aparegut en la meva vida en els ultimsmesos i que han permes la realitzacio d’aquest estudi en un ambient harmonios: a naPaloma, a na Gabriela, a na Amaia, a en Luis, a en Jose, a na Laura, a en Dani,. . . . Quiens havia de dir que l’univers conspirava per a que ens trobessim!

Vull agrair especialment la realitzacio d’aquest treball a la meva gent de la FME: a enMarcel, a na Ma Paz, a n’Inma, a na Elena, a en Pucho, a en lo Xous, a na Laura, aen Xevi, a na Marga, a na Vero, a na Maria, a na Lis, . . . i a molts altres que no escricaquı, no per ser menys importants, ans perque no vull estendre’m mes del que toca. Enqualsevol del casos, el seu retrobament sempre em fa recordar els agradables temps com aestudiant de la llicenciatura de matematiques, i els bons moments viscuts a la facultat, lamajoria d’ells fora de les aules!

i

ii

I no em puc oblidar en aquest moment de dedicar aquest treball i agrair el seu especialrecolzament als meus companys de penes telecomats: a l’Spin, a en Molina, a en Nai, aen Pil, a en Max, a en Ricard, a en Bird, a en Roger, a en Txema, a en Jabot, a enBorja i a l’Uri. D’aquesta manera i sense formalitats, com han estat els 6 de convivencia.Espero que en el futur, si les nostres vides es tornen a creuar (malgrat que la expansiode l’univers no pot parar-se!), recordem amb emocio tots aquells moments (alguns bons,altres dolents, pero tots irrepetibles) viscuts durant aquells 6 anys, tant a dins com a forade la universitat. Quan a primer veiem el camı llarg i dur, no ens imaginavem que al finalho acabarıem enllestint!

I finalment, com no podia ser d’altra manera, donar gracies als meus pares; en aquest casespecialment, serien pocs tots els agraıments que pogues escriure.

Lleida, 25 de desembre de 2006

Introduccio

Per aquells que no coneguin les matematiques, es difıcil sentir la bellesa,la profunda bellesa de la natura... Si vols aprendre de la natura,

apreciar la natura, es necessari aprendre el llenguatge en el que parla.

Richard Feynmann

De forma classica, el temps necessari per a la realitzacio de computs pot ser disminuıt mit-jancant l’us de processadors que treballin en paral·lel. Si el que interessa es una disminucioen temps exponencial del temps de comput, es necessari un us d’un nombre exponencialde processadors, i en concret un augment exponencial de la mida fısica de la circuiterianecessaria per a tal efecte.

Aquest fenomen es ja ben conegut des de l’ultim quart del segle passat, i es el que diua grans trets la llei de Moore, es a dir, el fet que les prestacions de diversos dispositiuselectronics es multipliquen per 2 cada 18 mesos.

Es clar que en un context com aquest (de reduccio cada vegada mes de les mides delscomponents, per tal de buscar una major concentracio d’elements per unitat de volum, aixıcom d’un augment de la velocitat dels processadors) sembla natural (tal i com ja va fer-ho elprecursor Richard Feymann) que aquest proces de miniaturitzacio donara lloc a fenomensnaturals de la mecanica quantica. Per tant, si el que es vol es continuar aconseguintexits en quant a l’augment de potencies de calcul, caldra, mes enlla de la mecanica ielectromagnetisme classics, un nou paradigma de treball que incorpori plenament les lleisde la fısica quantica, amb totes les seves potencialitats. Una bona introduccio per al lectorprofa a aquests temes es el llibre divulgatiu [BDMT98].

De fet, coneixer i entendre correctament el funcionament quantic, i molt particularment elfenomen de l’embrollament quantic, ens pot permetre el que s’anomena“paral.lelisme quan-tic” que comporta un increment exponencial de la velocitat dels calculs sense necessitarun creixement exponencial de la circuiteria resultant. Aquesta es una de les altres raonsper les que un estudi del model quantic pot aportar avencos substancials a la computacioamb resultats difıcils de preveure actualment.

Un tal estudi requereix de tres estrats encaixats: inicialment, una proposta d’un modelmatematic del sistema, per passar posteriorment a una comprovacio de la compatibilitat

iii

iv

d’aquest model amb les regles del joc fısiques. Finalment es requereix d’una aplicacioefectiva o tecnologica d’aquest model fısic, que es al final la que pot arribar a la societat,mes aviat o mes tard. Es clar que aquests tres mons no estan aıllats uns dels altres, sinoque requereixen del dialeg constant entre ells. Aixı, un model matematic que expliquiun fenomen fısic es satisfactori mentre no existeixi una prova empırica que el contradigui;altrament, el que cal es replantejar el model per tal que pugui explicar aquesta eventualitat.

Aixı mateix, l’aparicio de problemes fısics reals dona lloc a un enriquiment de la teoriafısica, i del model matematic corresponent: per donar un exemple ben concret, bastaconsiderar el possible soroll que apareix com a consequencia de la decoherencia dels estats,que dona lloc a la necessitat del desenvolupament d’una teoria correctora, i per tant d’unateoria de codis quantics.

Aquesta teoria resulta ser rica i compren, entre altres branques de la matematica, la teoriade representacions de grups lineals, la teoria classica de codis i els dissenys combinatoris.Es pot veure un primer approach al problema en [CRSS97], i ja unes construccions mesespecialitzades en [RHSS97].

L’aplicacio de les teories quantiques. En els ultims anys la inclusio de teories fısiquesper tal de tractar problemes reals, des de punts de vista substancialment diferents, es benconeguda: la criptografia quantica, basada en la celebre propietat de no cloning, es avuien dia una realitat, i fins hi tot ja es pot parlar de sistemes criptografics completamentsegurs. (Una bona visio del tema pot trobar-se en [GRTZ01], tant des de un punt de vistateoric com des del de les implementacions efectives).

Una aplicacio d’aquests conceptes en la teoria de la informacio en el marc quantic donalloc a una manera nova de veure la teoria classica, que de fet necessita ser reformulada ienriquida. Aixo mateix passa, com a cas particular, en la teoria de la computacio classica.

Aquesta memoria. Tal i com ja s’ha dit anteriorment, en aquesta memoria ens preo-cupem pels aspectes mes teorics de la computacio quantica. A diferencia de la majoria detractats en computacio quantica, el que s’ha intentat aquı es separar el model matematicde la computacio quantica de la corresponent realitat fısica, tot explicant detalladamentla correspondencia entre aquests dos aspectes.

La memoria comenca introduint el model abstracte de computacio quantica, formulat enel llenguatge matematic estandard, i sense referencies explıcites a la mecanica quantica.Es passa posteriorment a una descripcio mes visual d’aquesta teoria, mitjancant la nociode circuit quantic, i a algunes aplicacions importants. Posteriorment es comprova que elmodel es correspon exactament amb el d’un sistema quantic de dimensio finita, de maneraque es passa del sistema matematic al fısic mitjancant un simple canvi de llenguatge.Finalment s’expliquen alguns dels algoritmes quantics de mes rellevancia.

Com aquests algoritmes quantics son en la majoria de casos complexos, i en certs puntstecnics (empren nocions delicades de teoria de nombres i d’analisi funcional), en el darrer

v

capıtol se’n presenten tambe implementacions que, malgrat ser inevitablement ineficients,son utils per a una mes cabal comprensio dels fenomens estudiats.

Index

Introduccio iii

I Fonaments 1

1 Model matematic de la computacio quantica 3

1.1 Els q-nombres de n bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Referencia projectiva i producte induıt . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Exemple base: els q-nombres de 1 bit . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Construccio explıcita dels q-nombres de n bits; commutacio amb elproducte tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Computs quantics i portes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Grups algebraics i definicions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Computacions quantiques i q-nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Computs quantics per a q-nombres de 1 bit; portes quantiques ge-neradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4 Computacions i portes controlades: primeres definicions i exemples . 22

1.2.5 Conjunt universal de portes; complexitat d’un comput quantic . . . 24

1.2.6 Aproximacio de portes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Model de mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.1 Conjunt compatible de projectors i models generalitzats de mesura . 37

vii

viii INDEX

1.3.2 Un cas ben particular: l’us de la base natural . . . . . . . . . . . . . 38

1.3.3 Dualitat entre q-nombres i espais de probabilitat finits: p-nombres . 40

1.4 Computacio quantica vs computacio classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.4.1 Un model molt abreujat de computacio classica . . . . . . . . . . . . 41

1.4.2 Reduccio de la computacio classica a un cas ben particular de lacomputacio quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5 Proces general de computacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Circuits quantics i aplicacions 47

2.1 Representacio de q-nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Representacio de computs quantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Computs controlats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.2 Descomposicions canoniques de computs controlats; analisi . . . . . 52

3 Computacio quantica i fısica quantica 63

3.1 Els postulats de la mecanica quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1 Postulat 1: possibles estats del sistema fısic . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.2 Postulat 2: composicio de sistemes quantics . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.3 Postulat 3: observables d’un sistema fısic . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.4 Postulat 4: la mesura d’observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.5 Postulat 5: evolucio del sistema quantic . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Un exemple clau: l’espın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Traduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1 Construccio dels q-nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.2 Computs quantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.3 Model de mesura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Diccionari de traduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

INDEX ix

II Algorismes 75

4 Metodes algorısmics en computacio quantica 77

4.1 Introduccio i motivacio: el problema de Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.1 El paral·lelisme quantic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Tecniques espectrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1 La transformada quantica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.2 El problema de l’estimacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.3 Aplicacio 1: calcul de l’ordre d’un element . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.4 Aplicacio 2: factoritzacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Alguns comentaris sobre les tecniques espectrals . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4 Algorismes de cerca i l’amplificacio de modul . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.1 L’amplificacio de modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.2 Aplicacio 1: algorisme de cerca de Grover . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4.3 Aplicacio 2: cerca de maxims i mınims. . . . . . . . . . . . . . . . . 116

III Implementacions 117

5 Implementacions d’algorismes quantics 118

5.1 Alguns comentaris generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.1.1 Subrutines programades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2 Algorisme d’estimacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Algorisme de cerca de l’ordre d’elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.4 Algorisme de factoritzacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5 Algorisme de Grover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Conclusions 129

x INDEX

IV Apendixs 131

A Analisi funcional i conceptes relacionats 133

A.1 Espais de Hilbert i conceptes relacionats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A.1.1 Espais normats, espais complets i espais de Hilbert . . . . . . . . . . 133

A.1.2 Formes lineals en un espai de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.1.3 Operadors hermıtics, operadors unitaris i projectors . . . . . . . . . 135

A.1.4 Producte tensorial d’espais de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.2 Transformacions de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

A.2.1 Transformada contınua de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.2.2 Transformacions discretes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.2.3 Transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

B Resultats diversos en teoria de nombres 143

B.1 Terminologia i primers resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

B.2 Unitats de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

B.3 Fraccions contınues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

B.3.1 Definicions i consequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

B.3.2 Fraccions contınues per nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . 147

B.3.3 Algoritme de la fraccio contınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Bibliografia 151

Index de figures

1.1 Projeccio estereografica de l’esfera de Riemann, S2, sobre C . . . . . . . . . 10

1.2 Esfera de Riemann i els corresponents angles d’Euler per a un punt d’aquesta. 11

2.1 Diagrama circuital per a denotar un q-nombre de n bits . . . . . . . . . . . 48

2.2 Comput quantic amb representant U segons el diagrama circuital . . . . . . 48

2.3 Diagrames circuitals per les portes Pauli-x, Pauli-y i Pauli-z, respectivament. 49

2.4 Diagrama que representa la porta quantica de Hadamard per a q-nombresde 1 bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Computacio U-Controlada. Es tracta d’una computacio controlada gene-rica. En aquest diagrama es mostren els bits que son susceptibles a sermodificats segons la transformacio [U ], i els bits de control que governen elcomportament de de la porta [CSU ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Diagrama circuital d’una porta Cnot generica . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Diagrama circuital d’una porta Swap i la implementacio amb portes Cnot . 51

2.8 Descomposicio d’una porta quantica XOR classica com a producte de portesquantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9 Descomposicio d’una computacio quantica U en producte d’altres computs. 52

2.10 Descomposicio d’una computacio quantica controlada per un unic bit. . . . 54

2.11 Descomposicio d’una computacio quantica doblement controlada segons unamatriu V per la qual V 2 = U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.12 Diagrama circuital de la porta de Toffoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

xi

xii INDEX DE FIGURES

2.13 Descomposicio d’una computacio quantica controlada per un q-nombre de8 bits en computs que son controlats en, com a molt, q-nombres de 7 bits . 56

2.14 Porta Cnot controlada i la seva porta quantica equivalent, emprant unica-ment portes de Toffoli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.15 Diagrama circuital per la computacio quantica [Uτ ] . . . . . . . . . . . . . . 60

2.16 Diagrama circuital per la computacio quantica relativa a la permutacioindicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1 Diagrama circuital per l’algorisme de Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2 Diagrama circuital per la transformada quantica de Fourier per a q-nombresde 5 bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Esquema circuital de l’estimacio de fase abans de realitzar la transformadaquantica inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4 Comparacio dels p-nombres que s’obtenen al prendre t = 7. . . . . . . . . . 92



4.7 Aspecte d’una iteracio per al calcul que s’esta realitzant. . . . . . . . . . . . 101

4.8 Aspecte d’una iteracio de la cerca d’ordres d’elements amb el programadesenvolupat amb llenguatge LabView. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.9 Una iteracio de l’amplificacio del modul: en vermell tenim els estats quecompleixen la propietat. En la segona figura, en blau s’indica el valor miginicial, i en negre el que s’obte despres d’haver invertit els estats vermells. . 111

5.1 Un modul implementat en LabView per al tractament espectral d’una tar-geta d’adquisicio de dades pel Gran Telescopi de Canaries. . . . . . . . . . 119

5.2 Fragment del mode de programacio del programa de factoritzacio de nom-bres enters. Es pot observar la filosofia circuital del programa. . . . . . . . 119

5.3 Aspecte del modul de l’algorisme d’estimacio de fase, pel cas de l’estimaciod’una fase de valor 2π · 0.743. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4 Fragment del codi corresponent al modul d’estimacio de fase. Per la bran-ca superior es realitza la estimacio exacta, i per la de sota la estimacioaproximada. Observar l’us de dos moduls corresponents a la transformadaquantica inversa de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

INDEX DE FIGURES xiii

5.5 Aspecte del modul de cerca de l’ordre d’elements, despres d’una iteracio dela cerca de l’ordre de 4 en Z/37Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.6 Aspecte del modul de factoritzacio, despres d’haver trobat un factor propide 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.7 Detall del punt clau en la cerca d’un factor propi de l’algorisme de factorit-zacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.8 Aspecte del modul de cerca de cerca de Grover, durant una iteracio parcial 126

Part I

Fonaments

1

Capıtol 1

Model matematic de lacomputacio quantica

Amb aquest primer capıtol es preten introduir uns fonaments abstractes per a la teoriade computacio quantica, de manera paralel·la (que no independent) a la visio fısica delproblema.

El lector podria pensar que aquesta abstraccio, en primera instancia, pot resultar nociva,ja que es podria realitzar algun “abus matematic” que posteriorment fos incompatible ambla teoria fısica. Com es veura posteriorment, aixo no succeira.

El desenvolupament d’aquest capıtol i dels que seguiran pot veure’s de la seguent manera:inicialment el que realitzarem aquı sera introduir un model purament matematic d’unsistema de computacio quantica, per passar posteriorment a una consolidacio fısica delmateix emprant els postulats propis de la fısica quantica. A mig nivell entre els dosnivells existira un llenguatge (el qual es podria anomenar llenguatge circuital) similar alsdiagrames emprats en el context de l’electronica digital i de les portes circuitals binaries.

Si el lector esta mes familiaritzat amb els principis de la fısica quantica i fins hi tot endisciplines aplicades (electronica, disseny circuital), observara que aquest desenvolupamentmatematic esta inspirat fortament en dos punts ben remarcats:

1. La formalitzacio matematica de la computacio digital. En el nostre cas els elements,operacions i altres son mes complexos. De fet, el que veurem posteriorment es que lacircuiteria digital (que podrem anomenar “electronica discreta” o “computacio clas-sica”, en contraposicio de la “computacio contınua” que representara la computacioquantica) sera un cas ben particular del que nosaltres estarem estudiant.

En concret, posteriorment s’introduiran circuits quantics (de la mateixa manera queen els circuits digitals) per a modelar els diferents sistemes.

2. El desenvolupament dels postulats de la mecanica quantica. No s’ha d’oblidar queen el tema que volem tractar existeix un dialeg bidireccional entre fısica i matema-

3

4 CAPITOL 1. MODEL MATEMATIC DE LA COMPUTACIO QUANTICA

tiques. Inicialment, pero, no mesclem les dues disciplines (son paral·lels pero noindependents).

En qualsevol dels casos, s’ha intentat que la teoria que aquı segueix cobreixi punts que, avisio de l’autor, no son suficientment clars en la majoria de bibliografia sobre el tema, o simes no s’ha intentat tractar amb mes rellevancia aspectes que en la bibliografia empradason tractats amb poca extensio o poca profunditat.

1.1 Els q-nombres de n bits

En el que aquı segueix s’introdueix el conjunt dels elements amb els que voldrem operar.

El desenvolupament que s’usara en la disquisicio es el seguent: s’introdueixen els possibleselements amb els que treballar, es passa a estudiar amb detall el conjunt d’elements messimple i finalment es construeix de manera adequada la resta de famılies d’elements mescomplexos a partir d’aquesta famılia basica.

Per al nostre proposit, en tot el que seguira es prendra l’espai de Hilbert H = C2n '(C2

)⊗n (on el valor de n es enter i positiu), amb el producte escalar hermıtic habitual,que denotarem indistintament per (·, ·) o be 〈·|·〉1. Malgrat que el desenvolupament espodria realitzar sense dotar l’espai C2n

d’un producte escalar (ja que en tot espai vectorialde dimensio pot definir-se un producte escalar de forma natural i de manera intrınseca)prenem aquest punt de vista per simplificar el fil de la disquisicio.

Partint d’aquesta estructura basica, podem definir el nostre espai de treball. Mes enconcret:

Definicio 1.1.1 Un q-nombre de n bits (o mes abreujadament, un q-nbit) es un elementde P(C2n

). Al conjunt de q-nombres de n bits el denotarem per Qn.

Si el context ho permet, anomenarem a un d’aquests estats simplement q-nombre, elimi-nant el valor de n corresponent.

Es escaient utilitzar en aquest context la notacio de Dirac usant bras i kets degut a laseva generalitat: donada una parella z , z ′ ∈ C2n

diferents del vector nul, la definicio deq-nombre ens diu que |z 〉 = |z ′〉 si i nomes si z = λz ′, per a un cert λ ∈ C. En aquestasituacio tambe direm que els vectors z i z ′ representen el mateix q-nombre |z 〉.

De la mateixa manera que hem definit els q-nombres, es natural fer una cosa semblantsobre el conjunt d’operadors lineals H∗ (anomenat espai dual de H). En concret, enespais vectorials de dimensio finita, existeix un antiisomorfisme no canonic entre H i H∗.

1Per al lector que no estigui familiaritzat amb els conceptes necessaris relatius a espais de Hilbert,consultar l’apendix “Analisi funcional i conceptes relacionats”.

1.1. ELS Q-NOMBRES DE N BITS 5

Amb aquesta observacio, tenim:

Definicio 1.1.2 Un q-nombre dual de n bits (o mes abreujadament, un q-nbit dual) esun element de P(

(C2n)∗) = P(C2n

). Al conjunt de q-nombres duals de n bits el denotaremper Q∗

n.

En el cas dels q-nombres duals, el que fem es una cosa semblant, pero emprant un resultatben conegut en algebra lineal: fixant un element no nul z ∈ H, l’espai H admet unadescomposicio en subespais lineals ortogonals de la forma

H = 〈z 〉 ⊕ 〈z 〉⊥ (1.1)

on 〈z 〉 denota el subespai vectorial general per z . Aleshores, podem definir la forma linealαz segons:

αz (z ) = ‖z‖2

αz (z ′) = 0, z ′ ∈ 〈z 〉⊥ (1.2)

de fet, no es difıcil comprovar que tot element de l’espai dual es pot escriure d’aquestaforma. Aixı doncs, tota forma lineal no nul·la es de la forma z ∗ = αz per algun z ∈ (

C2n)∗,i podem escriure |αz 〉 ≡ 〈z|. De fet, el producte hermıtic definit ens permet escriureαz (z ′) = 〈z |z ′〉. Es a dir, tot element del dual pot veure’s com el producte hermıtic perun element de l’espai de Hilbert.

Per tant, en el cas de q-nombres duals, emprarem la notacio bra amb ındex en C2n: dos

elements z i z ′ ∈ C2ndistints del vector zero representen el mateix q-nombre dual 〈z |

si i nomes si z = λz ′, per a un cert λ ∈ C.

1.1.1 Referencia projectiva i producte induıt

A priori, en un conjunt com es un espai projectiu no es pot donar sentit a expressions dela forma

|z 〉+ |w 〉 (1.3)

on z i w son arbitraris i distints de 0. El que farem, pero, sera escriure tot punt com acombinacio d’uns altres fixats previament.

Si el lector no es troba familiaritzat amb la construccio d’espais projectius, en pot trobaruna bona visio en [Xam97], on es tracta amb extensio aquest tema.

Aquı, en concret, es donara una visio de la manera de construir una referencia projectiva,que ens permetra parametritzar els distints q-nombres.


Introduım, per comencar una definicio ben general en el marc de la geometria projectiva:

Definicio 1.1.3 Fixada una base d’un espai vectorial E de dimensio r+1: R = e0, . . . , er,la referencia projectiva de PE associada a la base R es el conjunt de r + 2 punts⋃r

i=0|ei〉 ∪ |∑r

i=0 ei〉.

A mes a mes, a l’ultim punt |∑ri=0 ei〉 se l’anomena punt unitat, i acostumarem a

denotar-lo per U .

Havent introduıt aquesta referencia, ara sı que es poden donar sentit a certes sumes depunts, en concret a aquelles de la forma

r∑

i=0

λi |ei〉 (1.4)

En efecte, la expressio∑r

i=0 λi |ei〉 es un element de l’espai projectiu, i per tant s’had’escriure en concret com |v 〉 per a un cert v de E. Aleshores, l’assignacio seguent

r∑

i=0

λi |ei〉 ≡∣∣∣∣∣

r∑

i=0

λiei

⟩≡ |v 〉 (1.5)

esta ben definida si hem fixat el punt unitat.

Podem particularitzar tot aixo al nostre estudi: prenem l’espai vectorial base C2ni prenem

una base ortonormal e0, . . . , e2n−1 i els corresponents q-nombres |e0〉 , . . . , |e2n−1〉. Esclar que parelles d’aquestes classes son diferents perque parelles de vectors distints sonlinealment independents.

Havent fixat aquesta referencia, fixem a mes a mes (per tal que la suma estigui ben definida)la classe |e0 + e1 + · · ·+ e2n−1〉. Llavors, fixant aquests 2n + 1 q-nombres en tenim prouper a donar sentit a expressions de la forma

2n−1∑

i=0

λi |ei〉 =

∣∣∣∣∣2n−1∑

i=0

λiei

⟩= |z 〉 (1.6)

En concret, la independencia lineal dels ei ens assegura que la combinacio lineal∑2n−1

i=0 λiei

es distinta de 0 si algun dels λi es distint de 0. Tambe en deduım que per a qualsevol ei

es compleix que λ |ei〉 = |λei〉 = |ei〉.

Observacio 1.1.1 Es pot dir exactament el mateix amb els q-nombres duals, pero ambuna lleu modificacio: fixada la base e0, . . . , e2n−1 de l’espai de Hilbert, prendrem coma base del espai dual la corresponent base dual associada a aquesta, que denotarem pere∗0, . . . , e∗2n−1. Ara, per a poder-ho relacionar amb el producte escalar en l’espai vectorialbase, prendre’m el conveni


2n−1∑

i=0

λi 〈ei| =⟨

2n−1∑

i=0

λiei

∣∣∣∣∣ (1.7)

es a dir, enlloc de prendre els coeficients, prenem els corresponents valors conjugats (enC).

S’ha d’entendre que estem fixant tambe el corresponent punt unitat el el conjunt de q-nombres duals respecte a la base dual.

Fixant representants tant en els q-nombres i en els q-nombres duals, pot dotar-se el conjuntde q-nombres d’una nocio d’ortogonalitat (similar a la que apareix en l’espai de Hilbertbase) de la seguent manera: hem vist que per cada z ∈ C∗ existeix una forma αz ambles propietats exposades en la expressio 1.2. De fet, aquest operador pot descriure’s comαz (z ′) = 〈z |z ′〉.

Aquesta observacio indueix un producte de q-nombres duals sobre q-nombres de la seguentmanera: prenem una base ortonormal (igual que abans, la denotem per e0, . . . , e2n−1) i lacorresponent base dual, i considerem les referencies projectives associades. Aleshores, esclar que si i 6= j, llavors

〈ei|ej〉 = 0 (1.8)

i per tant una relacio de la forma 〈ei| |ej〉 ≡ 〈ei|ej〉 = 0 esta ben definida amb independenciade la tria dels representants de cadascuna de les classes.

El problema apareix quan volem donar sentit a una expressio de la forma 〈ei| |ei〉: enefecte, per valors de λ 6= λ′ distints es compleix que:

〈ei| |ei〉 = 〈λei|∣∣λ′ei

⟩= λλ′ 〈ei| |ei〉 (1.9)

per tant, si 〈ei| |ei〉 6= 0, llavors s’arriba de l’anterior a una contradiccio per la llibertat enla eleccio de λ.

El que si que podem definir, pero, (i ja ens dona la informacio que a nosaltres ens interessa)es si aquest “producte” es igual a 0 o be no ho es: prenem el conjunt C/C∗ = Z/2Z, ambZ/2Z = [0], [1], i ara si que podem definir el seguent:

(·, ·) : Q∗n ×Qn −→ Z/2Z

(〈z | , |z ′〉) 7→ (〈z | , |z ′〉) ≡ 〈z | |z ′〉 ≡ 〈z |z ′〉 (1.10)

de forma efectiva aquest calcul pot realitzar-se en coordenades o simplement prenent unrepresentant arbitrari per al q-nombre i un altre igualment arbitrari per al q-nombre duali realitzant el corresponent producte escalar. Si el valor que s’obte es igual a 0, llavorsamb independencia de la tria el producte escalar es 0. Altrament, no podem determinar


un valor exacte, pero sabem amb seguretat que aquest es diferent de 0, i per tant en Z/2Zla imatge es precisament [1].

I amb tot aixo, podem definir el concepte d’ortogonalitat (o com s’anomena en el contextde la geometria projectiva, conjugacio) en el conjunt de q-nombres segons:

Definicio 1.1.4 Donats dos q-nombres |z 〉 i |z ′〉 direm que son conjugats si

(〈z | , |z ′〉) = 0 (1.11)

En concret, dos vectors son ortogonals si i nomes si els q-nombres que s’indueixen sonconjugats.

Es precisara en el que segueix un estudi acurat del cas n = 1, que ens permetra construiramb tota generalitat la resta d’espais, i s’observara l’estructura complexa de l’estructuraque se’n deriva.

1.1.2 Exemple base: els q-nombres de 1 bit

Comencarem prenent el valor de n igual a 1. Equivalentment, podem parlar de H = C2.Fixat aquest espai de Hilbert, el que pretenem es realitzar una descripcio completa del’espai P(C2).

Aplicant la definicio de q-nombre (aquı, tal i com hem dit abans, diem simplement q-nombre perque el context ja ens diu que aquests ho son de 1 bit) dos vectors (ω, ω′) i(z, z′) ∈ C2 representen el mateix q-nombre si i nomes si (ω, ω′) = λ(z, z′), per algunλ ∈ C∗.

La relacio d’equivalencia projectiva indueix la seguent particio de C2:

C2 =⊔

z∈CAz tA∞ t (0, 0) (1.12)

on els conjunts que apareixen son els seguents:

Az =

(ω, ω′) ∈ C2 : (ω, ω′) = ω(1, z), ω ∈ C∗

A∞ =(0, ω) ∈ C2 : ω ∈ C∗ (1.13)

Es evident que Az ∩Az′ = ∅ si z 6= z′, i que Az ∩A∞ = ∅, per a qualsevol z ∈ C, i que totelement de C2 es d’alguna d’aquestes classes. Aixı, doncs, efectivament l’expressio 1.12reflexa la particio de l’espai de Hilbert en classes d’equivalencia disjuntes.


Per cada element z ∈ C fixat, tots els elements de Az representen el mateix q-nombre. Enconcret, podem prendre el representant |(1, z)〉 i denotar-lo, usant la notacio de Dirac, per|(1, z)〉 ≡ |z〉. Es clar, amb aquesta notacio, que |z〉 = |z′〉 si i nomes si z = z′.

En quant a A∞, es clar que tambe es una classe de P(C2). Prenent (0, 1) ∈ A∞ com arepresentant de la classe, i de forma similar al que hem fet abans, simplifiquem escrivintel q-nombre |(0, 1)〉 com |(0, 1)〉 ≡ |∞〉.

Resumint, la particio en classes C2 =⋃

z∈CAz tA∞ t (0, 0) indueix una descomposiciodel conjunt Q1 com

Q1 =⊔

z∈C|z〉 t |∞〉 (1.14)

aquest conjunt es la recta complexa “completada”: es a dir, es tracta de la recta complexaa la que li afegim el punt del infinit; d’aquı la notacio emprada per denotar la classe A∞.

En termes mes topologics, el que estem fent es compactificar l’espai topologic C, mitjancantla compactificacio d’Alexandroff. Per al lector interessat, es poden trobar en [PaRo04]mes detalls d’aquest concepte topologic, aixı com de la seva interpretacio en subvarietatstopologiques de Rn i Cn.

Un raonament equivalent pot realitzar-se en quant al conjunt de q-nombres duals de 1 bit,obtenint per tant que:

Q∗1 =

⊔

z∈C〈z| t 〈∞| (1.15)

Una vegada que ja hem introduıt i caracteritzat els dos conjunts de punts, existeix unamanera natural de representar qualsevol dels dos emprant la projeccio estereografica dela esfera de Riemann, que ens permetra representar tot q-nombre d’un bit com a elementd’una esfera en R3, pero amb estructura complexa.

Denotem per S2 al conjunt (x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 = 1, al que anomenem esfera oesfera de Riemann.

Definim en aquesta situacio la projeccio estereografica desde el pol nord ϕ comsegueix:

ϕ : C −→ S2 − (0, 0, 1) ⊆ R3

z = a + bi 7→ ( 2a‖z‖2+1

, 2b‖z‖2+1

, ‖z‖2−1

‖z‖2+1)

(1.16)

i la corresponent aplicacio inversa segons

ϕ−1 : S2 − (0, 0, 1) ⊆ R3 −→ C(x, y, z) 7→ a + bi = x

1−z + y1−z i

(1.17)


Aquesta projeccio estereografica ens dona una bijeccio entre els punts de l’esfera de Rie-mann llevat del pol nord i els punts de la recta complexa. Es, de fet, una aplicacio contınuaen el sentit de la topologia i diferenciable en el sentit de la geometria diferencial. En lafigura 1.1 es dona una visio geometrica de la aplicacio ϕ.

1

i

N

x

z

x'

z'

Figura 1.1: Projeccio estereografica de l’esfera de Riemann, S2, sobre C

La aplicacio ϕ es pot ampliar de manera natural a tot C (compactificacio de C, que segonshem vist coincideix amb Q1) i S2 segons la seguent extensio:

ϕ(|z〉) =

ϕ(z), z ∈ C(0, 0, 1), |z〉 = |∞〉 (1.18)

i la corresponent aplicacio inversa induıda. Aquestes son igualment aplicacions contınuesentre espais topologics amb la topologia que s’indueix (L’habitual en C i la induıda per lainclusio de S2 en R3). Aixı doncs, l’extensio realitzada de la projeccio estereografica ensmostra que podem caracteritzar C com S2. Es el que en topologia es diu que dos espaissiguin homeomorfs: existeix una aplicacio contınua i bijectiva entre ells amb inversacontınua. Aquesta propietat depen fortament de la topologia que es defineix sobre elsespais en questio. En el nostre cas, afortunadament, no tenim cap problema tecnic alrespecte.

Segons el que hem dit via l’aplicacio ϕ podem escriure novament els q-nombres segons|z〉 = |ϕ(z)〉 per a z ∈ C i |∞〉 = |(0, 0, 1)〉 adonant-nos que ara el que escrivim dins delket es un element de S2.

Ja tenim ara gairebe tots els ingredients que necessitem, pero ens falta un ultim pas perarribar al nostre proposit. Escrivint per abreujar (0, 0, 1) ≡ N i (0, 0,−1) ≡ S (N denota elpol nord geografic i S el corresponent pol sud), o de manera mes abreujada e0 = |N〉 = |0〉,e1 = |S〉 = |1〉.


Utilitzant els angles d’Euler, objecte classic en la parametritzacio d’objectes amb simetriaesferica, obtenim

ϕ−1 : S2 −→ C(sin(θ) cos(ϕ), sin(θ) sin(ϕ), cos(θ)) 7→ sin(θ) cos(ϕ)

1−cos(θ) + i sin(θ) sin(ϕ)1−cos(θ)

(1.19)

|0⟩

|1⟩

|ψ⟩

θ

ϕ

x

y

z

Figura 1.2: Esfera de Riemann i els corresponents angles d’Euler per a un punt d’aquesta.

De fet, aquest nombre complex que s’obte pot escriure’s de forma abreujada com eiϕ cot( θ2).

Equivalentment, el q-nombre que representa es, efectivament,∣∣eiϕ cot( θ

2)⟩.

Podem, escriure, llavors,

∣∣∣∣eiϕ cot(

θ

2

)⟩=

∣∣∣∣(

eiϕ cos(

θ

2

), sin

(θ

2

))⟩(1.20)

Usant una referencia projectiva adequada, podem escriure ara el q-nombre anterior com:

∣∣∣∣eiϕ cot(

θ

2

)⟩= eiϕ cos

(θ

2

)|0〉+ sin

(θ

2

)|1〉 (1.21)

que dona una parametritzacio dels q-nombres de 1 bit. Aquesta ultima expressio obtingudaresultara fonamental per a vincular-la amb la teoria de la computacio discreta.

Conjugacio i l’estructura complexa de S2

El fet que partim d’un espai de Hilbert complex per a la nostra construccio indueix sobre laesfera S2 una estructura distinta que la induıda per la immersio real (amb el corresponent


producte escalar simetric en R3). En concret, comprovarem que amb aquesta estructuracomplexa induıda, punts antipodals son conjugats (a diferencia del cas real, en que aquestsson linealment dependents).

En efecte, donat el q-nombre eiϕ cos(

θ2

) |0〉+sin(

θ2

) |1〉, el corresponent q-nombre antipodalen la esfera S2 es el q-nombre amb angles d’Euler (ϕ + π, θ + π), o equivalentment, el q-nombre

ei(ϕ+π) cos(

θ + π

2

)|0〉+ sin

(θ + π

2

)|1〉 = −eiϕ sin

(θ

2

)|0〉+ cos

(θ

2

)|1〉 (1.22)

Per a comprovar que, efectivament, aquests 2 q-nombres antipodals son conjugats, calconeixer, primer, el valor concret dels productes 〈0| |0〉,〈0| |1〉 i 〈1| |1〉, ja que s’ampliasegons la definicio de producte a la resta de q-nombres.

Per a realitzar aquests productes hem de tirar novament enrera, i tenir en compte que:

• 〈z| |z′〉 = ((1, z), (1, z′)) = [1 + z′z]; z, z′ ∈ C

• 〈z| |∞〉 = ((1, z), (0, 1)) = [z]; z ∈ C

• 〈∞| |z′〉 = ((0, 1), (1, z′)) = [z′]; z′ ∈ C

• 〈∞| |∞〉 = ((0, 1), (0, 1)) = [1]; z′ ∈ C

Es clar, aleshores, que es compleix que:

• 〈0| |0〉 = 〈(0, 0, 1)| |(0, 0, 1)〉 = 〈∞| |∞〉 = [1]

• 〈1| |1〉 = 〈(0, 0,−1)| |(0, 0,−1)〉 = ((1, 0), (1, 0)) = [1]

• 〈0| |1〉 = 〈(0, 0, 1)| |(0, 0,−1)〉 = 〈∞| |0〉 = [0] = 〈1| |0〉

en concret, el pol nord i el pol sud son punts antipodals i conjugats.

Amb aquests productes parcials calculats, podem fer el producte de q-nombres antipodalssegons la definicio, i obtenir:

− sin(

θ

2

)cos

(θ

2

)+ sin

(θ

2

)cos

(θ

2

)= 0 (1.23)

tal i com volıem veure.

Aixo mostra que s’ha dotat l’esfera d’una estructura distinta de la que se’n dedueix de laimmersio real d’aquesta en R3, ja que en aquest cas dos vectors antipodals son linealmentdependents i per tant tenen producte escalar no nul.


1.1.3 Construccio explıcita dels q-nombres de n bits; commutacio ambel producte tensorial

Una vegada introduıts els q-nombres de 1 bit, podem generalitzar a la resta de dimensionsde la seguent manera: el nostre objectiu es caracteritzar elements de l’espai Qn = P(C2n

).Per a fer-ho, fixarem una base ortogonal en C2 i l’“ampliarem” d’alguna manera a espaiscomplexos mes complicats.

En altres paraules, el que farem sera definir una referencia projectiva per totes les capesde q-nombres (i q-nombres duals) compatibles entre sı.

Tenint en compte ara l’isomorfisme entre espais vectorials C2n ' C2⊗C n). . . ⊗CC2 i prenenten C2 la base ortonormal e0, e1 emprada en la construccio explıcita dels q-nombres de 1bit, en resulta que una base de l’espai vectorial C2⊗C n). . . ⊗CC2 es simplement el conjuntde vectors de la forma ein−1 ⊗ ein−2 ⊗ · · · ⊗ ei0 ≡ ein−1in−2...i0 .

En concret, tot element de C2nel podem escriure com una combinacio lineal de la forma:

z =∑

ir∈0,1ain−1in−2...i0ein−1in−2...i0 (1.24)

Es evident que les classes∣∣ein−1in−2...i0

⟩i

∣∣ejn−1jn−2...j0

⟩son iguals si i nomes si ik = jk

per a tot k, perque, altrament, de no ser aixı, els dos vectors serien linealment dependents(formen part d’una base de l’espai vectorial global). La notacio de Dirac ens permetescriure cadascuna d’aquestes classes segons:

∣∣ein−1in−2...i0

⟩ ≡ |in−1in−2 . . . i0〉 (1.25)

Com ara tots els ik prenen valors en 0, 1, la sequencia in−1in−2 . . . i0 pot entendre’scom el desenvolupament en base 2 d’un cert natural j compres entre 0 i 2n − 1; resultadoncs tambe escaient escriure |inin−1 . . . i0〉 ≡ |j〉. De fet, en el que seguira utilitzaremindistintament aquestes dues notacions, i del context es deduira si els desenvolupamentsque estem emprant son en base 10 o be en base 2.

Finalment, es clar ara que un q-nombre de n-bits es un element de la forma:

|z 〉 =2n−1∑

j=0

aj |j〉 (1.26)

On es pot suposar sempre que∑2n−1

j=0 |aj |2 es igual a 1; de no ser aixı, podem prendre unrepresentant de la classe |z 〉 pel qual aixo sigui cert.


Basta agafar, per exemple:

∣∣z ′⟩ =1∑2n−1

j=0 |aj |22n−1∑

j=0

aj |j〉 = |z 〉 (1.27)

Finalment donarem una definicio per tal de fixar idees:

Definicio 1.1.5 La base de C2nconstruıda l’anomenarem base natural de C2n

i a la re-ferencia projectiva |j〉j=0,...,2n−1∪

∣∣∣∑2n−1j=0 ej

⟩l’anomenarem referencia projectiva

natural.

Molts cops al parlar de la base natural oblidarem el nomenament del punt unitat, ja queaquest ja ve implıcit en la base natural.

Observacio 1.1.2 En la majoria de textos de fısica no es posa emfasi en la construcciode l’espai d’estats, pero aquı s’ha cregut convenient donar una justificacio ab initio. Larao es que molts cops es tenen espais de Hilbert on hi han elements no normalitzables, ino resulta valid aleshores prendre un representant que tingui modul 1.

En el nostre estudi aixo no succeeix (ja que estem en espais vectorials de dimensio finita),pero resulta atractiu introduir unes nocions projectives suficientment generals per a tractarel formalisme de situacions mes generals.

Producte tensorial i commutacio amb la projectivitzacio

Es escaient notar que podem usar una nova notacio (molt practica pel que vindra mestard) en la que el producte tensorial pot ampliar-se fora del bracket. (Es a dir, la projec-tivitzacio i el producte tensorial commuten en ordre)

Tenint en compte que es compleix que (az )⊗ (bz ′) = abz ⊗ z ′ per a a, b escalars, podemdefinir

|z 〉 ⊗ ∣∣z ′⟩ ≡ |z 〉 ∣∣z ′⟩ ≡ ∣∣z ⊗ z ′⟩

(1.28)

i aquesta expressio esta sempre ben definida. En concret,

|inin−1 . . . i0〉 ≡ |in〉 ⊗ |in−1〉 ⊗ · · · ⊗ |i0〉 ≡ |in〉 . . . |i0〉 (1.29)

Tot q-nombre pot escriure’s, doncs, com

|z 〉 =∑

ik∈0,1ain−1...i0 |in−1〉 . . . |i0〉 (1.30)

1.2. COMPUTS QUANTICS I PORTES QUANTIQUES 15

Aquesta manera d’escriure un q-nombre permet el seguent: fixem un ik (per exemple, i0)i escrivim el q-nombre en 1.30 de la seguent manera:

|z 〉 =

∑

ik∈0,1,k 6=0

ain−1...i10 |in−1〉 . . . |i1〉 |0〉+

∑

ik∈0,1,k 6=0

ain−1...i11 |in−1〉 . . . |i1〉 |1〉

(1.31)

Aquesta expressio pot generalitzar-se de moltes formes. Mes endavant ho discutirem endetall.

Observacio 1.1.3 La construccio dels q-nombres duals de n bits a partir dels q-nombresduals de 1 bit es realitza exactament igual que la construccio dels q-nombres de n bits apartir dels q-nombres de 1 bit. En aquest cas, mutatis mutandis.

1.2 Computs quantics i portes quantiques

El pas seguent (i natural per altra banda) es definir operacions i transformacions d’aquestselements.

1.2.1 Grups algebraics i definicions generals

En el context de la geometria projectiva les aplicacions que ens interessa tractar sonles anomenades projectivitats, que no son mes que particularitzacions d’isomorfismesentre espais vectorials que s’indueixen en el quocient. Mes concretament si es tractend’automorfismes, s’acostumen a anomenar homografies. El lector interessat en una visiomes abstracta del tema, pot consultar novament [Xam97].

Malgrat que en un context ben general es treballen amb aquests conceptes, en el nostremarc concret ens interessa restringir-nos a un subconjunt mes reduıt. Per a tal d’introduir-ho, cal que realitzem unes quantes definicions d’uns quants grups algebraics classics:

Definicio 1.2.1 Donat l’espai vectorial Cr, definim:

1. El grup lineal de Cr, GL(Cr) ≡ GL(r) es el grup d’automorfismes de Cr.

2. El grup unitari de Cr, U(Cr) ≡ U(r) es el conjunt U ∈ GL(r) : UU † = Id dotatd’estructura de grup amb la composicio d’automorfismes induıda de GL(r).

3. El grup especial unitari de Cr, SU(Cr) ≡ SU(r) es el grup d’automorfismes ambla composicio U ∈ U(r) : detU = 1.

4. El grup projectiu unitari de Cr, PU(Cr) ≡ PU(r) es el grup U(r) /U(1) .


Anem a precisar els conceptes que apareixen en aquesta definicio. Per comencar el gruplineal es el grup mes general amb el que podem treballar. S’enten que la operacio definidaen aquest es la composicio d’automorfismes, que es tradueix de manera immediata en pro-ductes de matrius si s’expressen aquests automorfismes en la seva corresponent expressiomatricial en una determinada base. Aquesta operacio es, en general, no commutativa.

Com a cas particular, podem definir l’aplicacio determinant, que per cada automorfismes’indueix un nombre complex no negatiu. El determinant d’un automorfisme s’obte fent elcalcul del determinant de la matriu que la representa. Es un exercici basic d’algebra linealque aquest determinant no depen de la base que es triı per a escriure l’automorfisme, i pertant nomes depen d’aquesta d’una manera intrınseca, i no de la base en la que s’expressa.El seu calcul, pero, requereix del coneixement de la expressio matricial de l’automorfismeen alguna base.

L’operacio de composicio s’hereta en qualsevol subgrup, i aixı el conjunt de matrius unita-ries continua sent un grup sota la composicio (ja que el producte de dues matrius unitarieses una matriu unitaria).

Finalment, donat un automorfisme amb expressio matricial A en una determinada basefixada, considerem la matriu (AT )∗ = A†. Aquesta novament es matriu d’un determinatautomorfisme anomenat automorfisme adjunt de A.

Havent ja explicat correctament el que ens diu la definicio 1.2.1, podem passar a relacionar-los.

Per comencar, el grup ambient on ens mourem es precisament el grup lineal, que te el grupunitari com a subgrup. De fet, ens interessara relacionar el grup unitari, el grup especialunitari i el grup projectiu unitari entre ells, oblidant en certa manera el grup lineal onestan inclosos.

Es clar que el grup especial unitari es un subgrup del grup unitari: per definicio el productede matrius unitaries amb determinant 1 es, de fet, una matriu unitaria amb determinant1.

Per a relacionar el grup especial unitari i el grup projectiu unitari, el primer que observemes que de la condicio que tot element de SU(r) compleixi que UU † = Id, se’n dedueixque |detU |2 = 1, i que per tant el determinant de U pot escriure’s com eiα per a un certα ∈ [0, 2π).

Fixat aleshores un operador unitari U , amb determinant eiα, aleshores el nou operadorU ′ = 1

eiα/r U te determinant:

detU ′ = det(

1eiα/r

Id U

)= det

(1

eiα/rId

)det (U) =

1eiα

eiα = 1 (1.32)

Es clar, aleshores, que U ′ ∈ SU(r).

Amb aquesta idea in mente, podem considerar el seguent: prenem α = 2πr i un element


U ∈ SU(r). Aleshores les aplicacions:

U0 ≡ U ;U1 ≡ ei 2πr U ;U2 ≡ ei2 2π

r U ; . . . Ur−1 ≡ ei(r−1) 2πr U (1.33)

son diferents dues a dues i tenen determinant igual a 1.

Recıprocament, si U i λU son elements de SU(r) amb λ ∈ C, llavors es clar que λr = 1, iper tant λU es un dels elements dels de la llista escrita en 1.33.

Amb el que hem dit es clar que si [U ] es un element de PU(r), llavors de fet

[U ] = U0, U1, . . . , Ur−1 (1.34)

i per tant, es clar que es compleix la relacio

PU(r) ' SU(r) /µr (1.35)

on denotem per µr el subgrup d’arrels r-essimes de la unitat.

Amb el que hem vist, podem ja passar a definir els objectes que que seran d’interes per alnostre proposit:

Definicio 1.2.2 Una computacio quantica per a q-nombres de n bits o be un com-put quantic per a q-nombres de n bits es un element de PU(2n).

Mes centrats en el grup projectiu unitari, la operacio de composicio de computs quanticses la natural: donats dos elements [U ] i [U ′] (iguals o distints) definim [U ][U ′] com:

[U ][U ′] = [U ] [U ′] ≡ [U U ′] = [UU ′] (1.36)

Aquesta composicio esta ben definida i no depen dels representants escollits en cap de lesdues classes. Segons aixo, doncs, la definicio 1.2.2 pot entendre’s com una computacioquantica o be una successio d’aquestes, ja que la concatenacio de dos computs quantics esigualment un comput quantic.

Aquest fet suggereix que el que interessara sera descriure tota computacio quantica com aproducte de computacions quantiques parcials i que puguem extreure d’un conjunt cone-gut; aquestes seran anomenades portes quantiques.

Com sera necessari triar algun representant de la classe per a realitzar calculs explıcits,el que realment farem sera denotar una computacio quantica per un dels corresponentsrepresentants amb determinant igual a 1 (ja hem vist que n’hi han exactament igual a rd’aquests automorfismes).


1.2.2 Computacions quantiques i q-nombres

Es hora ja de relacionar els computs quantics amb els q-nombres corresponents.

Sigui aixı |z 〉 un q-nombre de n bits i [U ] un comput quantic. Llavors l’aplicacio de [U ]sobre el q-nombre |z 〉 dona lloc a un nou q-nombre |z ′〉 = [U ] |z 〉 ≡ |Uz 〉.

El primer que hem de notar es que el que hem dit no depen dels representants escollits:efectivament, si v i v ′ son elements en la mateixa classe |v 〉 i U i U ′ son automorfismesunitaris que representen el mateix comput quantic [U ], llavors v = av ′ i U = bU ′, percerts valors de a i b en C distints de 0. Aleshores, es clar que:

Uv = abU ′v ′ ⇒ |Uv 〉 =∣∣U ′v ′

⟩ ⇒ [U ] |v 〉 = [U ′]∣∣v ′⟩ (1.37)

L’anterior pot ampliar-se si el que s’esta emprant es la referencia projectiva associada ala base natural tal i com s’ha definit en 1.1.5. Escrivint un q-nombre arbitrari |z 〉 en lareferencia projectiva natural, |z 〉 =

∑2n−1j=0 aj |j〉, aleshores per la computacio quantica [U ]

es te que

[U ]2n−1∑

j=0

aj |j〉 ≡∣∣∣∣∣∣

2n−1∑

j=0

ajUej

⟩(1.38)

on es suposa que en l’espai d’arribada prenem igualment la base natural.

Amb aixo i havent fixat una base, podem escriure l’operador U en coordenades U ≡(uij)1≤i,j≤2n , i la corresponent classe igualment per [U ] ≡ [uij ]1≤i,j≤2n . En certa manera,els claudators “obliden” les constants globals en U .

Passem a veure alguns exemples d’operadors unitaris i de les corresponents computacionsquantiques que se’n indueixen:

Exemple 1.2.1 Fasors o portes de fase. Considerem la transformacio unitaria Ui,α

amb 0 ≤ i ≤ n, α ∈ (0, 2π) definida com segueix: considerem fixat un q-nombre |z 〉 escriten la base natural |z 〉 = |(z1, z2, . . . , zi, . . . , zn)〉. Llavors, l’aplicacio de la porta de fase[Ui,α] sobre |z 〉 es la seguent:

[Ui,α] |z 〉 =∣∣(z1, z2, . . . , e

iαzi, . . . , z2n)⟩

(1.39)

El conjunt de portes quantiques [Ui,α] : 1 ≤ i ≤ n; α ∈ (0, 2π), junt amb l’operadoridentitat l’anomenem conjunt complet de portes de fase, i es clar que es tracta d’unconjunt de generadors d’un subgrup abelia de PU(2n).

Exemple 1.2.2 Permutadors o portes de permutacio. Sigui S2n el grup simetric en2n elements, i σ una permutacio arbitraria. Aquesta permutacio σ indueix una aplicacio


en C2nde la seguent manera: donat un element de la base natural ej, definim Uσ com

aquell operador tal que Uσej = eσ(j).

Aquest operador es efectivament una operador unitari: donats dos vectors arbitraris z i z ′,aleshores es clar que (z , z ′) = (Uz , Uz ′), i per tant, amb arbitrarietat de la tria d’aquestses te que (U †Uz , z ′) = (z , z ′). Aixı, doncs, es necessari que UU † = Id.

Llavors, el conjunt de classes [Uσ], σ ∈ S2n l’anomenem conjunt de portes de per-mutacio.

De fet el que aquı hem estat dient es que en termes abstractes es que S2n es un subgrupde U(2n).

Sera habitual mes endavant que quan tractem permutacions enlloc de representar un ele-ment de S2n com una bijeccio entre 1, 2, . . . , 2n amb ell mateix, el que farem sera con-siderar S2n com el conjunt de bijeccions entre 0, 1, . . . , 2n − 1 i ell mateix.

Finalment, notar que el pas a l’espai projectiu continua sent compatible amb el productetensorial d’operadors: en efecte, considerem operadors unitaris U i U ′ i considerem elnou operador U ⊗ U ′ definit sobre el corresponent espai vectorial obtingut per productetensorial. Aleshores, no es gens complicat comprovar que:

[U ⊗ U ′]∣∣z ⊗ z ′

⟩= [U ] |z 〉 [U ′]

∣∣z ′⟩ = |Uz 〉 ∣∣U ′z ′⟩

(1.40)

1.2.3 Computs quantics per a q-nombres de 1 bit; portes quantiquesgeneradores

Comencem l’estudi pel cas mes basic: volem caracteritzar les possibles computacions quan-tiques en el cas de un unic bit, i finalitzar escrivint cada una d’aquestes nomes en funciod’unes poques portes quantiques elementals. Equivalentment, el que pretenem es caracte-ritzar U(2) com a grup donant un conjunt de generadors.

Donat un element U de U(2) i U la seva expressio en la base canonica (estem realitzantl’abus d’escriure amb la mateixa lletra l’endomorfisme i la matriu corresponent que s’endedueix), aleshores les seves columnes i les seves files son vectors que formen una baseortonormal, amb el producte hermıtic de C2. Uns calculs simples porten a que:

U = eiα

(ei(−a−b) cos (γ) −ei(−a+b) sin (γ)ei(a−b) sin (γ) ei(a+b) cos (γ)

)(1.41)

on els valors de a, b, α i γ poden prendre’s restringits a l’interval [0, 2π).

El que farem sera escriure aquesta matriu de manera canonica com a producte d’altresmatrius.


Per a tal cosa, introduım un conjunt especial de matrius que ens serviran per al nostreproposit:

Definicio 1.2.3 Els operadors exponencials dels operadors de Pauli venen donatsper les seguents expressions:

Rx(α) = e−i α2

σx =(

cos(

α2

) −i sin(

α2

)−i sin

(α2

)cos

(α2

))

Ry(α) = e−i α2

σy =(

cos(

α2

) − sin(

α2

)sin

(α2

)cos

(α2

))

Rz(α) = e−i α2

σz =(

e−i α2 0

0 ei α2

)(1.42)

I llavors, amb aquesta notacio es compleix la igualtat:

U = eiα

(ei(−a−b) cos (γ) −ei(−a+b) sin (γ)ei(a−b) sin (γ) ei(a+b) cos (γ)

)= eiαRz(2a)Ry(γ)Rz(2b) (1.43)

i en el conjunt de computs quantics, s’indueix la igualtat:

[U ] = [Rz(2a)][Ry(γ)][Rz(2b)] (1.44)

Aixo ens dona una descomposicio de qualsevol element de U(2) nomes en funcio de duesportes quantiques estandard (de fet, en funcio de 3 portes quantiques, dues de la famıliade les de la forma Rz(·) i una de la famılia de les de la forma Ry(·)). Donarem aquı unabreu interpretacio geometrica, i mostrarem una visio una mica mes general sense entraren molts detalls.

Un resultat ben conegut i aplicat en diversos camps de la geometria i de la fısica matematicaes el morfisme exhaustiu existent entre SU(2) i el grup SO(3,R) de les isometries directesde R3. Tota isometria directa pot escriure’s com un determinat gir d’angle θ al voltantd’un eix per l’origen, i per tant, tot element de SU(2) pot interpretar-se com una rotaciod’un cert angle θ dels elements de la esfera de Riemann al voltant d’un eix que passa perl’origen definit per un vector unitari n.

De fet, la eleccio dels eixos es arbitraria : efectivament, prenent dos vectors unitaris noparal·lels u i v el raonament que dona lloc a la descomposicio seria el mateix, i en concrettota porta quantica admet una descomposicio un tant mes general de la forma:

[U ] = [Ru(2a′)][Rv(γ′)][Ru(2b′)] (1.45)

No entrarem en els detalls, pero aquestes descomposicions tenen una ıntima relacio ambel que en geometria diferencial es coneixen com a grups de Lie: un grup topologic que potdotar-se d’estructura diferenciable s’anomena Grup de Lie.


El fet d’afegir a una varietat diferenciable les propietats de grup permeten enriquir la teoriai entre elles, permeten “passar” de forma simple de l’espai tangent en un punt al entorn delpunt. Aixo es el que estem fent al escriure les exponencials de les matrius de Pauli, queson les matrius que generen l’algebra de Lie de U(2). Per a mes detalls d’aquest amplimon, consultar, per exemple, [Ster94].

Citarem ara uns quants exemples concrets del que hem estat fent fins ara.

Exemple 1.2.3 Els operadors σx, σy i σz son tambe operadors unitaris, amb matriuscorresponents:

σx =(

0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

); σz =

(1 00 −1

)(1.46)

que poden expressar-se en virtut de 1.42 com:

σx = Rx(0); σy = ei π2 Ry(π); σz = ei π

2 Rz(π) (1.47)

i per tant, les corresponents portes quantiques poden escriure’s com:

[σx] =[

0 11 0

]; [σy] =

[0 −11 0

]; [σz] =

[1 00 −1

](1.48)

Aquestes portes quantiques (i en gran part, la primera d’elles) seran de gran importan-cia quan s’introdueixi el model de computacio classica com a cas particular del model decomputacio quantica que s’esta desenvolupant.

Exemple 1.2.4 La transformada de Hadamard [H] es defineix sobre Q1 de la seguentforma: [H] |0〉 = |0〉+ |1〉, [H] |1〉 = |0〉−|1〉, s’amplia per linealitat a la resta de q-nombresde 1 bit. En aquesta referencia, admet una expressio de la forma:

[H] =[

1 11 −1

](1.49)

Avancant-nos al que vindra, la transformacio de Hadamard sera utilitzada amb frequenciaper a la preparacio d’un estat: considerem el q-nombre de n bits |in−1in−2 . . . i1i0〉 = |0〉 =|0〉 |0〉 . . . |0〉, i considerem l’aplicacio sobre ell de la transformada de Hadamard:

[H ⊗H ⊗ · · · ⊗H] |0〉 |0〉 . . . |0〉 = |He0〉 |He0〉 . . . |He0〉 =2n−1∑

j=0

|j〉 (1.50)

Observar, doncs, que amb la transformacio de Hadamard podem construir a partir d’unestat base, un estat en el que apareix tot q-nombre en el marge [0, . . . , 2n − 1]. Aquestfet, en molts dels algorismes que s’utilitzaran posteriorment, s’anomenara preparacio del’estat quantic.


1.2.4 Computacions i portes controlades: primeres definicions i exem-ples

El que es preten al finalitzar aquesta seccio es arribar a definir un concepte similar al decost d’un algorisme classic, pero en el context quantic en el que ens movem. Per afer-ho, a grosso modo necessitarem dos eines: transformacions de q-nombres de 1 bit, ipermutacions de q-nombres de 2 bit.

La primera part ja l’hem tractat, i el que farem ara sera estudiar com es pot construir unconjunt de computacions i de portes quantiques amb unes certes propietats, que anome-narem computacions i portes quantiques controlades.

De forma generica el que tindrem sera el seguent: considerem un el conjunt de q-nombresde n-bits i una porta quantica [U ] per a q-nombres de r-bits, on r < n.

El que farem sera ampliar aquesta porta [U ] a una nova porta [CrU ] (de fet, el que volemdir es [ControlrU ], pero d’aquest manera resulta ser mes abreujat) sobre els q-nombres den-bits.

El subındex en la expressio [CrU ] moltes vegades sera obviat si del context se’n desprenel seu valor, i en molts casos escriurem [CU ] enlloc de [CrU ].

Sigui un q-nombre de n bits arbitrari |z 〉. Segons el que s’ha fet en la subseccio 1.1.3,podem escriure un q-nombre de n bits arbitrari de la manera seguent :

|z 〉 =∑

ir∈0,1ain−1in−2...irir−1...i0 |in−1in−2 . . . ir〉 |ir−1 . . . i0〉 (1.51)

Diem llavors que els termes |in−1in−2 . . . ir〉 son els q-bits de control i els termes |ir−1 . . . i0〉els q-bits de dades. Per regla general escriurem els bits de control sempre a la esquerradels bits de dades.

Ja tenim ara totes les eines per definir [CrU ] de la seguent manera sobre els elements dela referencia projectiva:

[CrU ] |in−1in−2 . . . ir〉 |ir−1 . . . i0〉 = |in−1in−2 . . . ir〉 [U ] |ir−1 . . . i0〉 , in−1 = · · · = ir = 1|in−1in−2 . . . ir〉 |ir−1 . . . i0〉 , altrament

(1.52)i extenent a la resta de q-nombres per linealitat.

Aquesta [CrU ] ≡ [CU ] es efectivament una computacio quantica ja que amb independenciadel representant triat de la classe, CrUCrU

† = I.


Una altra manera de veure-ho es simplement tenir en compte que la expressio matricialde [CrU ] en la base natural es

Id 0 · · · 00 Id · · · 0... · · · . . .

...0 0 · · · U

(1.53)

Observacio 1.2.1 El control pot generalitzar-se de la seguent manera: si ara enlloc deprendre els ultims r bits com aquells de control en el q-nombre de n bits corresponent,podem prendre simplement un subconjunt S = s0, s1, s2, . . . , sr−1 ⊆ 0, 1, . . . , r − 1, totel que s’ha fet fins ara continua sent correcte i generalitza la construccio realitzada.

Escriurem en aquesta situacio el control com CS enlloc de Cr per tal de diferenciar lesdues situacions.

Concretem el que hem vist amb dos exemples claus:

Exemple 1.2.5 La porta quantica Cnot. Considerem inicialment q-nombres de 2-bits,i definim la porta quantica Cnot com segueix: prenem l’operador unitari σx que indueixla computacio [σx] |0〉 = |1〉 i [σx] |1〉 = |0〉. Aleshores Cnot ≡ [C1σx] ≡ [Cσx]

La seva expressio matricial es, doncs:

Cnot =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

(1.54)

De manera equivalent, la accio d’una porta Cnot sobre el q-nombre de 2 bits |i1〉 |i0〉 queforma part de la referencia natural dona lloc a |i1〉 |i1 ⊕ i0〉, on la suma ⊕ es i0 ⊕ i1 ≡i1 + i0 (mod 2).

Amb aquesta motivacio, podem considerar portes quantiques Cnot un tant mes arbitrariesdefinides sobre dos dels bits que triem amb arbitrarietat dels n possibles en q-nombres den bits; prenent com a bit de control el bit j i com a bit de dades el bit k, definim la portaquantica Cnot(j,k) sobre cadascun dels elements de la referencia natural segons:

Cnot(j,k) |in−1in−2 . . . ij . . . ik . . . i1i0〉 = |in−1in−2 . . . ij . . . ik ⊕ ij . . . i1i0〉 (1.55)

Aquest conjunt de portes quantiques resultara ser de vital importancia pel que es discutiraposteriorment.


Exemple 1.2.6 La porta quantica Swap. Introduım aquı una porta que per la sevaimportancia posterior requereix un analisi acurat.

Considerem l’operador que actua de la seguent manera (que anomenarem operador swap):donat un element de la referencia natural |in−1in−2 . . . ij . . . ik . . . i1i0〉, definim Sw(j,k)

segons

Sw(j,k) |in−1in−2 . . . ij . . . ik . . . i1i0〉 = |in−1in−2 . . . ik . . . ij . . . i1i0〉 (1.56)

i s’amplia per linealitat a la resta de q-nombres. El que veurem ara es que aquest operadorpot implementar-se utilitzant 3 portes Cnot.

El primer que cal observar es que si aquesta descomposicio la sabem realitzar amb q-nombres de 2 bits, aleshores per a q-nombres de n bits basta emprar la mateixa descompo-sicio, pero ara amb portes Cnot(j,k) i Cnot(k,j) enlloc de Cnot.

Efectivament, si considerem la seguent sequencia d’operacions per a q-nombres de 2 bits(s’enten que ara j i k prenen valors 0 o be 1):

|i1〉 |i0〉 = |j〉 |k〉 → |j〉 |k ⊕ j〉 → |j ⊕ (k ⊕ j)〉 |k ⊕ j〉 → |j ⊕ (k ⊕ j)〉 |(k ⊕ j)⊕ j ⊕ (k ⊕ j)〉(1.57)

que es, simplificant, el q-nombre |k〉 |j〉. La sequencia de computacions quantiques re-sultant pot escriure’s, doncs, com Cnot(1,0)Cnot(0,1)Cnot(1,0). Per tant, tot swap es potimplementar amb nomes 3 portes quantiques Cnot.

Una de les propietats mes remarcables de l’operador control es el que segueix: consideremdos computs quantics [U1] i [U2], i el corresponent producte [U ] = [U2][U1]. Aleshores, perla definicio de C, es clar que

[CU ] = [C(U2U1)] = [CU2][CU1] (1.58)

Malgrat que aquest fet sigui molt simple sera vital en les descomposicions de computacionscontrolades que seguiran posteriorment.

1.2.5 Conjunt universal de portes; complexitat d’un comput quantic

El que ara es preten realitzar es introduir una nocio de complexitat per tal de podermesurar si un determinat comput quantic es costos d’implementar o be el contrari. Pera fer-ho, el que es fara sera escriure tota computacio quantica com a producte de portesquantiques conegudes, i en virtut d’aquesta descomposicio es decidira quant complex es elcomput realitzat.


La motivacio subjacent aquı es que tota funcio logica pot escriure’s simplement emprantportes XOR (com a concatenacio d’un conjunt d’aquestes, de fet). En el marc en el quenosaltres ens movem tambe podem realitzar una cosa semblant, encara que el ara el nostreconjunt de generadors sera un tant mes complicat.

Fixat un valor de n, considerem els seguents conjunts d’operadors unitaris:

1. Denotem per Ar, amb r = 0, 1, . . . , n − 1 el conjunt de Id2r ⊗ U ⊗ Id2n−r+1 , onU ∈ U(2). Per r igual a 0 i n− 1 prenem, respectivament, els conjunts d’operadorsde la forma U ⊗ Id2n−1 i Id2n−1 ⊗ U .

2. El conjunt P =Cnot(i,j) : i 6= j; i, j ∈ 0, 1, . . . , n− 1, com a elements de U(n).

Si prenem un element U de qualsevol d’aquests conjunts, llavors la computacio quantica[U ] l’anomenarem porta quantica elemental, o simplement porta elemental.

En [DiV95] es demostra el seguent resultat, que es fonamental per al nostre proposit:

Teorema 1.2.1 (Caracteritzacio d’una famılia universal de portes quantiques)Per a qualsevol valor de n es te la igualtat:

U(2n) = 〈n−1⋃

r=0

Ar ∪ P 〉 (1.59)

On 〈A〉 indica el grup generat pels elements de A.

Aquest teorema es tradueix en el que estem estudiant de la seguent manera: consideremuna computacio quantica [W ] arbitraria, i considerem un representant qualsevol d’aquestaclasse en U(n).

Aleshores el que ens diu aquest resultat es que existeix una successio (no necessariamentunica!) d’automorfismes U1, U2, . . . , Us en el conjunt

⋃n−1r=0 Ar∪P per les quals es compleix

la igualtat W = UsUs−1 . . . U1. Observar que a mes aquest nombre de portes elementalses finit.

Es clar, aleshores, que la computacio quantica [W ] podra escriure’s com a producte deportes quantiques elementals segons:

[W ] = [Us][Us−1] . . . [U1] (1.60)

El teorema no assegura unicitat, i per tant tota computacio quantica [W ] pot representar-se en general de multiples maneres com a producte de portes elementals.


Aquest fet suggereix la seguent definicio:

Definicio 1.2.4 Un algorisme quantic es una descomposicio efectiva d’una computacioquantica com producte de portes quantiques elementals.

Observar que diversos algorismes quantics poden implementar una mateixa computacioquantica.

Resulta interessant, doncs, trobar l’algorisme que implementa una determinada computa-cio quantica i que usa un menor nombre de portes quantiques.

Aquest aspecte pot formalitzar-se definint finalment el concepte de complexitat quantica:

Definicio 1.2.5 La complexitat quantica d’una computacio [U ] ∈ PU(n), Cmplx([U ])(o mes abreujadament, la complexitat de [U ]) es

Cmplx([U ]) = inf

s ∈ N : ∃U1, U2, . . . , Us ∈

n−1⋃

r=0

Ar ∪ P : [U ] = [Us][Us−1] . . . [U1]

(1.61)

Aquesta definicio ens lliga novament els conceptes d’algorisme i comput de la seguentmanera: donada una computacio quantica [U ] i una descomposicio efectiva d’aquestaen portes elementals, aleshores un algorisme quantic associat a la porta [U ] segons ladescomposicio donada es, de fet, la descomposicio en si.

Aleshores podem definir la complexitat d’un algorisme com el nombre de portes quantiqueselementals en les que descompon, i llavors la complexitat d’una computacio resulta ser elmınim de les complexitats dels algorismes quantics que implementen una determinadacomputacio quantica.

El concepte de complexitat quantica ens apropa novament les idees de computacio classicaamb les idees que aquı estem desenvolupant. De la mateixa manera, en aquest context, pertal d’adrecar-nos a la complexitat d’una determinada porta quantica, usarem la notacioO (O gran), que es habitual en l’analisi d’algorismes classics.

La definicio de complexitat indueix bones propietats en quant al comput: efectivament, escompleixen, entre moltes altres, les seguents propietats:

1. Cmplx([UV ]) ≤ Cmplx([U ]) + Cmplx([V ])

2. Cmplx([Ir ⊗ U ⊗ Is]) = Cmplx([U ])

En capıtols posteriors s’estudiaran altres propietats de la complexitat, com per exemplela relacio existent entre Cmplx([CsU ]) i Cmplx([U ]).


Exemple 1.2.7 En virtut de l’anterior, la complexitat d’una porta swap es O(1), ja queempra un conjunt constant de portes quantiques elementals.

1.2.6 Aproximacio de portes quantiques

En el que ara segueix estem interessats en el seguent problema: volem caracteritzar sub-conjunts de portes elementals que permetin una implementacio de qualsevol computacioquantica amb una certa fidelitat ; es a dir, volem trobar un subconjunt finit de portes quepermetin aproximar qualsevol computacio quantica donada.

Hem de precisar el que volem dir per aproximar una porta quantica per una altra, en unsentit molt mes general que en el cas que la corresponent aproximacio es doni mitjancantun conjunt finit de generadors: donada una computacio quantica [U ] sobre q-nombres den bits, i [V ] una porta quantica que aproxima [U ], el que volem es que per a qualsevolq-nombre de n bits |z 〉, el q-nombre [U ] |z 〉 sigui proper al q-nombre [V ] |z 〉.

Introduir una nocio de distancia en el conjunt de q-nombres pot resultar poc interessantdegut a que per a la realitzacio del calcul es necessitaria una eleccio de representants. Elque aquı farem sera una altra cosa.

Considerem els computs quantics [U ] i [V ]; com es tracten d’elements de PU(n), cadascunade les classes es constitueix d’elements de la forma

[U ] = ei 2πrn Ur=0,...,n−1; [V ] = ei 2πr

n V r=0,...,n−1 (1.62)

on U i V son certs representants de les respectives classes. Per altra banda, ara per a cadaq-nombre |z 〉 ∈ Qn prenem un representant z ∈ C2n

que compleixi que 〈z |z 〉 = 1 (aixosempre ho podem fer en un espai vectorial de dimensio finita).

Amb aquestes consideracions, podem donar una nocio d’aproximacio de la seguent manera:

Definicio 1.2.6 Diem que [V ] aproxima amb una tolerancia ε la porta [U ] si

minr∈1,...,n

sup

|z 〉∈Qn

1

〈z |z 〉d(Uz , ei 2πrn V z )

< ε (1.63)

En concret, si [V ] aproxima [U ] amb una tolerancia ε, llavors tambe ho fara amb unatolerancia ε′ > ε.

Observar que demanem que aixo sigui cert sobre el mınim dels valors de r, amb la qualcosa, si per a qualsevol valor de r trobem una fita ε per a la tolerancia, aleshores [V ]aproximara [U ] amb una tolerancia ε.

El que ens interessa es trobar el valor de ε mes petit pel qual es compleix la definicio si apriori fixem els computs.


Observacio 1.2.2 Seria atractiu poder realitzar un sımil amb el calcul de distancies indu-ıdes per un producte escalar de la seguent manera: definida una distancia d sobre un espaivectorial, i una parella d’operadors lineals U, V , el valor de d(U(f), V (f)) es equivalent alvalor de d((U − V )(f), 0).

Ara be, en el nostre cas, les computacions quantiques son operadors projectius sobre q-nombres. En general si prenem representants U, V ∈ U(n) la seva diferencia no es unoperador unitari i per tant en cap cas te sentit una expressio de la forma [U − V ].

Aproximacio de portes quantiques per q-nombres de 1 bit

El cas mes sencill (i que al seu moment podrem generalitzar a la resta de q-nombres ambmes de 1 bit) es el d’aproximar operadors de U(2). Tenint en compte que tota computacioquantica [U ] admet una descomposicio de la forma:

[U ] =[

ei(−a−b) cos (γ) −ei(−a+b) sin (γ)ei(a−b) sin (γ) ei(a+b) cos (γ)

]= [Rz(2a)][Ry(γ)][Rz(2b)] (1.64)

basta que estudiem dues coses:

1. Cadascuna de les portes [Rz] i [Ry] per separat.

2. La manera com es propaga l’error al realitzar el seu producte.

En el primer dels casos realitzarem un analisi en general i posteriorment ens restringiremal nostre cas. En el segon dels casos, utilitzarem directament la expressio general d’unelement de U(2) deduıda anteriorment.

Per tant, considerem un element A(α) ∈ U(2), que depen d’un parametre continu α ∈[0, 2π) (el cas de Rx, Ry i Rz en son un exemple), que a mes suposarem que compleix larelacio A(a)A(b) = A(a + b) (tecnicament, el que s’anomena grup uniparametric detransformacions).

El que primer fem es redefinir la variable per tal que α ∈ [0, 1). Per un valor de α fixat,escrivim α =

∑∞j=1

aα,j

2j , on aα,j pot prendre els valors 0 o be 1 segons el desenvolupamenten base 2 de α.

En general el desenvolupament de α en base 2 es infinit, pero per a les aproximacions querealitzarem el que farem sera prendre un truncament suficientment extens de la serie; enaltres paraules, el que farem sera aproximar el comput A(α) per la porta quantica A(α′),on α′ =

∑rj=1

aα,j

2j , amb r finit. Es evident, aleshores, que:

∣∣α− α′∣∣ =

∑

j>r

aα,j

2j<

∑

j>r

12j

=12r

(1.65)


i doncs, com veurem, si ens interessa tenir una tolerancia d’error inferior a ε, nomes caldraprendre un valor de r suficientment gran, i una bona aproximacio de A(α) sera el producte∏r

j=0 A(aα,j

2j ).

Aquesta es la idea, i ho aplicarem en les portes quantiques basiques [Ry] i [Rz].

Comencarem pel cas de Rz: la seva expressio d’un d’aquests elements es la donada per lesequacions en 1.42. Considerem aquest operador parametritzat per 2πα, i fixem-lo en unvalor en (0, 1]. Sigui α′ la seva aproximacio fins a r bits, o equivalentment, α′ =

∑rj=1

aα,j

2j

per α =∑∞

j=1aα,j

2j . Considerem les corresponents portes quantiques [Rz(α)] i [Rz(α′)] iles seves expressions matricials respectives.

Prenent un q-nombre de 1-bit arbitrari |z 〉 = eiϕ cos(

θ2

) |0〉 + sin(

θ2

) |1〉, podem llavorsprendre el representant z = (eiϕ cos

(θ2

), sin

(θ2

)), i aleshores la expressio de Rz(2πα)(z )

es

Rz(2πα)z =(

ei(ϕ− 2πα2

) cos(

θ

2

), ei 2πα

2 sin(

θ

2

))(1.66)

i per tant, d(Rz(2πα)z , Rz(2πα′)z ) es pot escriure com:

d(Rz(2πα)z , Rz(2πα′)z ) =

√∣∣∣e−i 2πα2 − e−i 2πα′

2

∣∣∣2cos2(

θ

2) +

∣∣∣ei 2πα2 − ei 2πα′

2

∣∣∣2sin2(

θ

2)

(1.67)Tenint en compte ara les relacions trigonometriques

sin(a)− sin(b) = 2 cos

(12(a + b)

)sin

(12(a− b)

)cos(a)− cos(b) = 2 sin

(12(a + b)

)sin

(12(b− a)

) (1.68)

en resulta que amb arbitrarietat de a, a′, desenvolupant els termes eia en la seva part reali la seva part imaginaria es te que

∣∣∣eia − eia′∣∣∣ = 2

∣∣∣∣sin(

12(a− a′)

)∣∣∣∣∣∣∣∣sin

(12(a + a′)

)− i cos

(12(a + a′)

)∣∣∣∣ (1.69)

que es equivalent a 2∣∣sin (

12(a− a′)

)∣∣. Per tant, la expressio de la distancia es simplifica a

d(Rz(2πα)z , Rz(2πα′)z ) = 2∣∣∣∣sin

(2π

4(α− α′)

)∣∣∣∣∣∣∣∣cos

(θ

2

)∣∣∣∣ ≤ 2∣∣∣∣sin

(2π

4(α− α′)

)∣∣∣∣(1.70)

de la equacio 1.70 se’n despren que podem donar fites globals amb independencia del q-nombre inicial triat, cosa que lliga amb el fet que el que estem fent es tractar rotacions alvoltant de l’eix Z.

Com ara el sinus es una funcio estrictament creixent al voltant de l’origen, en resulta queper a petits valors del parametre, (en concret si prenem α′ una aproximacio de α tal i comhem descrit previament) obtenim que:

2∣∣∣∣sin

(2π

4(α− α′)

)∣∣∣∣ < 2∣∣∣∣sin

(2π

4

(12r

))∣∣∣∣ = 2∣∣∣sin

( π

2r+1

)∣∣∣ ≈ π

2r(1.71)


per tant, la tolerancia en aquest cas es fitada pel valor π2r . Observar, a mes, que en la

definicio 1.2.6 ens caldria fer el mateix calcul per a −Rz(2πα′) enlloc de Rz(2πα′) i prendrealeshores la tolerancia mınima. Aixo aquı es innecessari ja que en aquest segon cas es clarque el valor mes petit de la tolerancia vindra donat pel calcul que s’ha realitzat.

Observar, doncs, que el que hem fet es trobar una fita general per a qualsevol porta[Rz], amb independencia de l’angle de gir. Per tant, fixat un ε necessitarem prendre unnombre de bits r > log2

(πε

)per tal que qualsevol porta [Rz(2πα)] pugui ser aproximada

pel producte∏r

j=0[Rz(2πaα,j

2j )] (sempre que el valor de r sigui suficientment gran per tald’acceptar l’aproximacio de sin(x) ≈ x).

Si ara es realitza el mateix analisi pero amb portes quantiques de la forma [Ry(2πα)] el ques’obte es el mateix resultat: obtenim que

∏rj=0[Ry(

2πaα,j

2j )] aproxima amb una toleranciaπ2r la porta quantica [Ry(2πα)], o recıprocament, si volem una tolerancia ε basta prendrer > 1 + log2

(πε

).

Finalment, ara el que cal es veure com podem trobar una fita de la tolerancia d’una porta[U ] arbitraria, i relacionar-ho amb els dos resultats que hem obtingut fins ara.

Escrivint ‖z ‖ per a denotar d(z , 0), aleshores la condicio definida en 1.2.6 es tradueix en:

minr∈1,...,n

sup

|z 〉∈Qn

1

〈z |z 〉‖(U − ei 2πrn V )z ‖

< ε (1.72)

L’unic que ens cal es la seguent propietat d’operadors lineals:

Proposicio 1.2.1 Donats dos operadors U , V definits arreu en un espai de Hilbert H,llavors es te que

supz∈H,‖z ‖=1

‖UV (z )‖ ≤ supz∈H,‖z ‖=1

‖U(z )‖ supz∈H,‖z ‖=1

‖V (z )‖ (1.73)

Demostracio:La demostracio es trivial. ¤

En concret, en el nostre cas, sempre estarem tractant operadors unitaris i vectors de norma1, amb la qual cosa sempre es complira que ‖UV z ‖ = 1.

El nostre problema es el seguent: donades les computacions quantiques [U ], [V ], ambaproximacions [U ], [V ] respectives, i amb fites per les tolerancies de ε, volem trobar fitesper les tolerancies de l’aproximacio de [UV ] per la computacio quantica [U V ].

Procedirem com es habitual en el context en el que ens movem (operadors unitaris):prenem un q-nombre |z 〉 i un representant de la classe normalitzat, amb la qual cosa


tindrem que:

‖(UV − ei2π(r+r′)

n U V )z ‖ = ‖(UV − ei 2πr′n UV + ei 2πr′

n UV − ei2π(r+r′)

n U V )z ‖ (1.74)

i usant la desigualtat triangular tenim la fita:

‖(UV − ei2π(r+r′)

n U V )z ‖ ≤ ‖U(V − ei 2πr′n V )z ‖+ ‖(U − ei

2π(r)n U)ei 2πr′

n V z ‖ (1.75)

Aplicant ara la proposicio 1.2.1 en resulta que es compleix que

‖U(V − ei 2πr′n V )z ‖ ≤ ‖Uz ‖‖(V − ei 2πr′

n V )z ‖ < ε (1.76)

amb arbitrarietat del valor de r triat, i de forma similar per al segon sumand.

Aixı doncs, ‖(UV −ei2π(r′+r)

n U V )z ‖ < 2ε, per a qualsevol tria dels valors r i r′. En concret,hi ha aproximacio amb una tolerancia de 2ε.

Lligant tot aixo amb el que estavem buscant, recordem que tota porta quantica de PU(2)pot escriure’s com a producte de 3 ports quantiques [Rz] i [Ry], amb la qual cosa el productede les respectives aproximacions donen lloc a una aproximacio del corresponent operadoramb una tolerancia de 3ε, on ε es la tolerancia en cadascuna de les portes quantiques.

Com la millor fita que hem obtingut ha estat prendre ε = π2r , en resulta que la tolerancia

per una computacio quantica de PU(2) es inferior a 3π2r .

D’una altra manera, podem enunciar tot el que hem fet en aquesta seccio amb una pro-posicio:

Proposicio 1.2.2 Donada una computacio quantica de 1 bit [U ], que pot escriure’s com

U =

[ei(−a

2− b

2) cos (γ) −ei(−a

2+ b

2) sin (γ)

ei(a2− b

2) sin (γ) ei(a

2+ b

2) cos (γ)

](1.77)

aleshores, la porta quantica∏r

j=0[Rz(2πaa,j

2j )]∏r

j=0[Ry(2πaγ,j

2j )]∏r

j=0[Rz(2πab,j

2j )] aproxima[U ] amb una tolerancia de 3π

2r , on s’enten que estem aproximant els parametres a, γ i bamb r bits.

Equivalentment, si fixem una tolerancia de valor ε per a qualsevol porta quantica, hauremde prendre un nombre de bits superior a r = log2(

3πε ).


Generalitzacio a q-nombres de n bits

Amb les aproximacions que hem realitzat per a computacions quantiques de 1 bit, podempassar ja a un tractament mes general per a computs de n bits, utilitzant la existenciade la descomposicio de qualsevol element de U(2n) en producte de elements de U(2) i deportes Cnot controlades per 1 bit.

Sigui [U ] una computacio quantica de n bits arbitraria, i Complx([U ]) la seva complexitat.

La primera observacio que realitzem es la seguent: si la complexitat de [U ] es Complx([U ]),aleshores existeix una successio de Complx([U ]) portes quantiques que implementen [U ]. Siara en aquesta successio de portes quantiques apareixen dos elements [U1] i [U2] consecutiusPU(2), aleshores l’operador [U2U1] es un element de PU(2), i per tant de fet, la complexitatreal de [U ] es Complx([U ])− 1.

Per tant, podem suposar que en la implementacio de [U ] es concatenen portes Cnot(i,j)

amb elements de PU(2), de tal manera que no existeixen dos computs de PU(2) consecutius.Per tant, tenim en el pitjor dels casos un nombre de portes de PU(2) igual a 1

2Complx([U ]).

Prenem ara una tolerancia ε > 0. Nomes cal que ens preocupem de les portes de PU(2),ja que les portes Cnot(i,j) no introdueixen pas error.

Segons hem vist abans, una computacio quantica [U ] ∈ PU(2) pot ser aproximada fins a rbits amb una tolerancia igual a 3π

2r . Com les tolerancies son additives, el conjunt total deportes quantiques podra ser implementat amb una tolerancia igual a 1

2Complx([U ])3π2r . Si

ara el que volem es que aquesta tolerancia global sigui inferior a ε, bastara que prenguemun nombre de bits igual a:

ε =12Complx([U ])

3π

2r−→ r = log2(Complx([U ])) + log2

(1ε

)+ log2(3π)− 1 (1.78)

Observar, doncs, que el nombre de bits depen de la mateixa manera en quant a la com-plexitat de la porta quantica com de la tolerancia que s’esta demanant.

Altres metodes d’aproximar portes quantiques

El metode d’aproximar un determinat comput quantic que hem presentat en detall esnomes una de les moltes maneres en les que es pot aproximar un determinat operadorunitari. El que aquı farem sera presentar-ne una altra manera, mes exotica, i que nopermet a priori calcular amb detall les corresponents tolerancies mınimes, tal i com s’hafet en l’estudi precedent.

L’aproximacio es basa en el seguent principi combinatori: donat un nombre irracionala ∈ (0, 1], aleshores per qualsevol b en [0, 1) i per qualsevol ε > 0 existeix un n ∈ N pelqual |na − b| < ε, on na denota la part decimal del nombre a. Efectivament, fixat a i


fixat el valor de ε, considerem el conjunt de nombres

A =

0, a, 2a, . . . ,⌈

1ε

⌉a

(1.79)

tenim, doncs,⌈

1ε

⌉+ 1 elements en (0, 1], i per tant ha d’haver 2 ra i sa pels quals

|ra − sa| < ε. En concret, |(r − s)a| < ε, i si prenem r > s, llavors directament(r − s)a < ε.

Els successius nombres (r−s)a, 2(r−s)a, . . . , k(r−s)a, . . . cobreixen l’interval (0, 1]amb distancia entre elements consecutius inferior a 1

ε , i per tant tot element b de (0, 1] estroba a distancia inferior a ε d’un d’aquests nombres k(r − s)a.

Aquest raonament continua sent valid si enlloc de prendre l’interval [0, 1) prenem l’interval[0, 2π), i l’element a el prenem de la forma 2πa, amb a ∈ [0, 1) irracional. En aquest cas,enlloc de prendre la part decimal dels nombres ra cal prendre els nombres ra (mod 2π).

Observar que, en qualsevol cas, aquesta observacio ens dona una prova d’existencia, perono ens diu quin son els nombres r i s: aquest fet ens provocara que no puguem tractar lestolerancies de la mateixa manera que hem estat fent fins ara.

La idea que usem es la seguent: el nostre objectiu es la construccio de portes quantiquesde la forma [Ru(α)], [Rv(β)], amb u,v vectors de R3, i α, β de la forma 2πa i 2πb,respectivament, amb a, b irracionals en (0, 1].

Segons la indicacio anterior, una aplicacio successiva de portes [Ru(α)] implementa ambuna tolerancia fixada qualsevol porta de la forma [Ru(x)], amb x arbitrari, i l’aplicaciosuccessiva de portes [Rv(β)] implementa amb una tolerancia fixada qualsevol porta de laforma [Rv(y)], sent tambe el valor de y a lliure albir.

Tenint en compte la descomposicio 1.45, llavors qualsevol computacio quantica pot escriu-re’s com:

[U ] = [Ru(r1)][Rv(r2)][Ru(r3)] (1.80)

El que hem aconseguit es, doncs, implementar [U ] amb una tolerancia inferior a 3ε. Arabe, a diferencia del cas anterior, ara no tenim a priori una fita global pel nombre de portesque en cal, ja en cap cas no coneixem en nombre de portes necessaries en la implementaciod’una porta [Ru(x)] arbitraria en funcio de portes [Ru(α)].

La construccio es realitza com segueix: considerem nomes el conjunt format per portes deHadamard [H] i per portes [Rz(π

4 )]. Escrivint la expressio de [H][Rz(π4 )][H], obtenim que:

[H][Rz

(π

4

)][H] =

[1 11 −1

] [e−i π

8 00 ei π

8

] [1 11 −1

]=

[cos

(π8

) −i sin(

π8

)−i sin

(π8

)cos

(π8

)]

(1.81)

que, segons les equacions 1.42 no es mes que [Rx(π4 )].

Considerem ara el comput [Rz(π4 )][Rx(π

4 )]. Uns calculs permeten escriure aquesta de la


forma [Rz(π4 )][Rx(π

4 )] = [Rn(θ)], on el vector unitari n s’escriu com

n =1

1 + cos2(

π8

)(cos

(π

8

), sin

(π

8

), cos

(π

8

))(1.82)

i l’angle θ verifica que cos( θ2) = cos2

(π8

).

Es pot demostrar que θ es de la forma 2πa, amb a irracional en (0, 1] (per exemple, unademostracio d’aquest fet pot trobar-se en [Parth06], on es requereix un cert bagatge enel marc dels anells de polinomis), i per tant, hem construıt una porta [Rn(θ)] que potgenerar qualsevol porta de la forma [Rn(x)], amb arbitrarietat de x (o, si mes no, tenimla possibilitat d’aproximar-la amb tanta cura com vulguem).

Finalment, basta prendre la porta [H][Rn(θ)][H] = [Rm(θ)], on ara el vector que obtenimes

m =1

1 + cos2(

π8

)(cos

(π

8

),− sin

(π

8

), cos

(π

8

))(1.83)

aixı doncs, tota porta de la forma [Rm(y)], amb y arbitrari, pot implementar-se de formaaproximada usant unicament una serie de portes [Rm(θ)]. Com els vectors n i m sonlinealment independents, hem construıt una parella de portes quantiques [Rn(θ)], [Rm(θ)],de tal forma que usant la descomposicio donada per la equacio 1.45 podem aproximar unaporta quantica arbitraria [U ] = [Rn(2a′)][Rm(γ′)][Rn(2b′)] segons:

[Rn(2a′)][Rm(γ′)][Rn(2b′)] ≈ [Rn(2a′′)][Rm(γ′′)][Rn(2b′′)] = [Rn(θ)]r1 [Rm(θ)]r2 [Rn(θ)]r3

(1.84)Amb aquesta implementacio no tenim una manera sistematica de tractar la toleranciaglobal, ja que els valors de r1, r2 i r3 depenen del operador [U ] que estiguem implementant,i poden ser per tant grans amb arbitrarietat si la tolerancia que demanem es petita.

Tanmateix, si oblidem els parametres r1, r2 i r3, de fet el que es te es que fixat un valorde ε, podem trobar un valor de ri pel qual es compleix

mins∈1,...,n

sup

|z 〉∈Qn

1

〈z |z 〉‖(Ru(θ)r1 − ei 2πsn Ru(α))z ‖

<

ε

3(1.85)

on el vector u pot ser m o be n, α l’angle que volem aproximar i el valor de r el corresponentvalor ri.

Amb aixo, efectivament, la computacio quantica [U ] s’aproxima per la porta quantica[Rn(θ)]r1 [Rm(θ)]r2 [Rn(θ)]r3 amb una tolerancia de ε, que era inicialment el nostre objectiu.

1.3. MODEL DE MESURA 35

1.3 Model de mesura

En aquest punt de la disquisicio ja s’han introduıt adequadament els elements amb els quees realitzaran computs, i els propis computs. Falta ara definir i estudiar el que es podriaanomenar informacio del q-nombre.

Comencarem partint de l’espai C2nper tal de donar una visio global. Considerem en ell

un subespai vectorial π qualsevol de dimensio 0 < m < 2n, i la corresponent projecciosobre aquest, Pπ. D’aquesta manera, l’operador Id pot escriure’s com:

Id = Pπ ⊕ Pπ⊥ (1.86)

on π⊥ es el subespai vectorial dels vectors que son ortogonals amb el subespai lineal π.

Aixı, doncs, per a qualsevol element z ∈ C2n, es te que z = Pπ(z ) + Pπ⊥(z ).

La nostra idea ara es d’induir un espai de probabilitat discret a partir d’un q-nombre i d’unprojector. Seguidament es fara el mateix per a un q-nombre, i per a un conjunt especialde projectors.

Comencem amb un q-nombre |z 〉 i un projector Pπ qualsevol. Considerem ara un repre-sentant qualsevol z de |z 〉, i els corresponents vectors Pπ(z ) i Pπ⊥(z ). Aleshores definimun espai de probabilitat (Ω,A, p) de la seguent manera:

1. L’espai mostral Ω esta format per dos elements z ∈ π ≡ zπ i z ∈ π⊥ ≡ zπ⊥ .

2. A es la σ-algebra mes petita associada a Ω; de fet, simplement A = ∅, zπ, zπ⊥ ,Ω =P(Ω).

3. Les probabilitats puntuals prenen valors:

p(zπ) = ‖Pπz ‖2〈z |z 〉

p(zπ⊥) = ‖Pπ⊥z ‖2〈z |z 〉

(1.87)

Es clar, aleshores, que p es una probabilitat. A mes a mes, aquest espai de probabilitat nodepen del representant z escollit en |z 〉 en el sentit seguent: si prenem un altre representantz ′, aleshores z ′ = λz , i per tant l’espai mostral associat Ω′ te dos elements, que podemidentificar canonicament amb Ω. El mateix podem dir per A′ i A. Finalment, en quant ap′, observar que els valors que apareixen en 1.87 no depenen del valor λ degut a la linealitatde la projeccio.

De manera natural en el calcul de probabilitats, el que es fa es el seguent: es parteixd’un experiment aleatori i es duu a terme una realitzacio d’aquest experiment. Cadarealitzacio dona lloc a un determinat resultat que a priori no es possible de predir. L’espaide probabilitat associat a l’experiment el que preten es predir (si mes no, de maneraasimptotica) el resultat d’una realitzacio.


Amb tot aixo el que podem passar a definir es el seguent:

Definicio 1.3.1 El model de mesura fonamental d’un q-nombre respecte a unprojector Pπ es l’espai de probabilitat (Ω = z π, z π⊥,A = P(Ω), p), on p es defineixsegons 1.87.

Observar que en aquesta definicio s’estan remarcant dos aspectes que ara es necessari decomentar.

Son els seguents:

1. Es un model: amb aixo el que volem dir es que a priori no prove de cap experimentaleatori real. Com veurem mes endavant (una vegada introduıts els postulats de lamecanica quantica), existeixen efectivament experiments aleatoris (que anomenarempropiament mesures) que son modelats per aquests espais de probabilitat.

2. Es fonamental, perque en breu el que es fara sera deduir-ne d’altres que dependrande famılies de projectors amb mes d’un element.

Veguem un exemple en aquest context:

Exemple 1.3.1 Model fonamental de mesura del primer bit. Considerem un q-nombre de n bits escrit en la base natural, i l’escrivim segons la expressio donada en 1.31segons

|z 〉 =

∑

ik∈0,1,k 6=0

ain−1...i10 |in−1〉 . . . |i1〉 |0〉+

∑

ik∈0,1,k 6=0

ain−1...i11 |in−1〉 . . . |i1〉 |1〉

(1.88)Considerem el subespai π generat pels vectors ein−1in−2...i10 (la seva ultima component esigual a 0). Aleshores el model de mesura associat a |z 〉 que se’n dedueix l’anomenaremmodel fonamental de mesura del primer bit de |z 〉.

Aquest model ens diu de manera sui generis la probabilitat que en “mesurar” l’ultim bitd’un q-nombre el que obtinguem sigui un 0 o be un 1.

Mes en general, si enlloc de prendre el subespai generat pels elements de la forma ein−1...i10,prenem el subespai generat pels elements de la forma ein−1...ir+10ir−1...i1i0, l’espai de proba-bilitat que s’obte es el que anomenem model fonamental de mesura del r + 1-essimbit de |z 〉.

Tornarem mes endavant sobre aquests models i la relacio existent entre ells.


1.3.1 Conjunt compatible de projectors i models generalitzats de mesura

Una vegada introduıts ja els models fonamentals de mesura, sembla natural combinar-losd’alguna manera per tal d’obtenir models mes generals i, a la vegada, mes rics.

D’una manera mes general que la introduıda anteriorment, podem considerar descompo-sicions de la identitat de la forma:

Id = Pπ1 ⊕ Pπ2 ⊕ · · · ⊕ Pπs (1.89)

on cadascun dels subespais πr te dimensio dim(πr). Es clar que si dos subespais πp i πq

son ortogonals, aleshores les projeccions Pπp i Pπq compleixen que PπqPπp = PπpPπq = 0.

Recıprocament, donada una famılia de subespais π1, π2, . . . , πr, el subespai 〈π1, π2, . . . , πr〉⊥es perpendicular a tots ells. Aixo ens permet definir el seguent:

Definicio 1.3.2 Un conjunt compatible de projectors, o una famılia compatiblede projectors es un conjunt de projectors π1, π2, . . . , πr tals que es verifica la relacio

Id = Pπ1 ⊕ Pπ2 ⊕ · · · ⊕ Pπr ⊕ P〈π1,π2,...,πr〉⊥ (1.90)

Generalitzant el que havıem fet en la seccio anterior per un unic projector, una famıliacompatible de projectors indueix igualment un espai de probabilitat d’una manera moltsimilar.

Efectivament, de la mateixa manera que hem procedit abans, considerem un q-nombrequalsevol |z 〉 i un representant z de la classe. Igual que abans, passem a definir l’espai deprobabilitat de la seguent manera:

1. L’espai mostral Ω es conforma dels elements z ∈ πs ≡ z πs .

2. La σ-algebra A la prenem igual a P(Ω).

3. Les probabilitat p(z πs) pren el valor:

p(z πs) =‖Pπsz ‖2

〈z |z 〉 (1.91)

De la mateixa manera que abans, com el valor de les distintes probabilitats depen nomesde |z 〉 i no del representant escollit, per a cada q-nombre i cada conjunt compatible deprojectors, tenim un espai de probabilitat.

Tenim, doncs, la seguent definicio generalitzacio de la definicio 1.3.1:

Definicio 1.3.3 El model generalitzat de mesura associat al q-nombre |z 〉 i a lafamılia compatible de projectors Pπss∈I es l’espai de probabilitat (Ω = zπs,A =P(Ω),p), on p es defineix sobre els successos fonamentals segons

p(z πs) =‖Pπsz ‖2

〈z |z 〉 (1.92)


Havent introduıt aquest marc ben general de treball, ara el que passarem sera centrar-nosen una famılia ben particular de projectors, deduir l’espai de probabilitat que en resultai comprovar que aquesta construccio pot realitzar-se de manera paral·lela obtenint elsmateixos resultats.

1.3.2 Un cas ben particular: l’us de la base natural

Prenem ara com a famılia compatible de projectors l’associada a la base natural de C2n,

que escrivim com es habitual ej0≤j≤2n−1. Escriurem per abreujar P〈ej〉 ≡ Pj .

Per altra banda, prenem un q-nombre arbitrari |z 〉 i l’escrivim en la referencia projectivanatural, |z 〉 =

∑2n−1j=0 aj |j〉. Per als computs, podem prendre com a representant de |z 〉

el vector∑2n−1

j=0 ajej .

Aleshores es clar que el model generalitzat de mesura associat a |z 〉 i a la famılia deprojectors Pj0≤j≤2n−1 es (Ω,A, p), amb les seguents propietats:

1. L’espai mostral es Ω = z 〈ej〉0≤j≤2n−1. Cadascun d’aquests l’escriurem mes abreu-jadament per z 〈ej〉 ≡ j. Per tant, l’espai mostral pot descriure’s com el conjuntΩ = 0, 1, . . . , 2n − 1.

2. La σ-algebra A la prenem, igual que sempre, igual a P(Ω).

3. El calcul de les probabilitats sobre els successos fonamentals sorgeix directament dela definicio:

p(j) =‖Pjz ‖2

〈z |z 〉 =|aj |2∑2n−1

i=0 |ai|2(1.93)

Aixo generalitza d’una manera ben natural els models de mesura fonamentals introduıtspreviament.

De fet, aquests seran el model de mesura que s’emprara en les aplicacions. Per motiuspractics, ens interessa realitzar la construccio pero des de un punt de vista un tant distinta.

Es la que segueix a continuacio.

Aplicacio de projeccions successives; equivalencia

La construccio realitzada de l’espai vectorial C2npartint de la construccio de C2 mitjancant

productes tensorials successius permet una construccio alternativa de l’espai generalitzatde mesura associat a la famılia de projeccions associada a la base natural.

El fet fonamental es que per a qualsevol n, es te que C2n ' C2 ⊗ C2n−1, i llavors tot

projector P en C2n−1dona lloc a un projector Id ⊗ P en C2n

. La construccio adient


es la seguent: considerem l’espai C2, amb base natural e0, e1, i considerem tambe elprojector P〈e0〉 ≡ P0. El seu ortogonal el denotarem per P1. Aquests projectors, segonsla construccio anterior, indueixen uns projectors en la resta de capes tensorials

⊗nC2

realitzant productes tensorials amb el operador identitat. En concret, definim la serie deprojectors:

Pi,n−1 ≡ Pi ⊗ Id⊗ · · · ⊗ Id⊗ IdPi,n−2 ≡ Pi ⊗ Id⊗ · · · ⊗ Id. . .Pi,0 ≡ Pi

(1.94)

que ens defineixen una serie encaixada de projeccions de la forma

C2n Pin−1,n−1−→ C2n−1 Pin−2,n−2−→ · · · Pi1,1−→ C21 Pi0,0−→ C (1.95)

on els valors de les diverses ir son 1 o be 0.

Per a cada conjunt enumerat P0,n−1, P0,n−2, . . . , P0,r (en particular, per a tot el conjuntde projectors, si fem r = 0) podem definir un espai de probabilitat com segueix: considereml’espai de probabilitat (Ω,A,p), on Ω = 0, 1, . . . , 2n−r i A = P(Ω). Falta, doncs,relacionar els projectors amb el diversos valors de la funcio de probabilitat.

En efecte, per prenem un element n ∈ Ω i l’escrivim en base 2 segons n = jn−r−1 . . . j1j0.Fixat el q-nombre inicial, definim p(n) com:

p(n) =‖Pjn−1,n−1z ‖2

〈z |z 〉‖Pjn−2,n−2Pjn−1,n−1z ‖2

‖Pjn−1,n−1z ‖2. . .

‖Pjr,r . . . Pjn−2,n−2Pjn−1,n−1z ‖2

‖Pjr+1,r+1 . . . Pjn−2,n−2Pjn−1,n−1z ‖2

(1.96)

que es pot simplificar obtenint que:

p(n) =‖Pjr,r . . . Pjn−2,n−2Pjn−1,n−1z ‖2

〈z |z 〉 (1.97)

es un exercici trivial comprovar que si fem r = 0, l’espai de probabilitat es efectivament elmateix que s’ha construıt abans.

Aleshores . . . , perque es necessaria aquesta construccio alternativa? La rao no es genscomplicada i pot ser quedara mes clara quan donem la idea fısica del problema: quanpartim d’un q-nombre i vulguem procedir a una realitzacio concreta del q-nombre que se’ndedueix segons els projectors associats a la base natural, es natural considerar el proces demesurar com un proces esgraonat en el que en cada pas el que es realitzacio un experimentque te com a resultat un unic bit.

En virtut dels bits obtinguts en les etapes precedents, el pas que es realitza en la etapaen la que ens trobem de l’experiment sera un o be un altre: aixo es tradueix en l’apariciod’un condicionament (o d’una probabilitat condicionada a les dades previes) en quant alexperiment actual.

Es per aixo, que definim un conjunt esgraonat de projectors enlloc d’una famılia global.


1.3.3 Dualitat entre q-nombres i espais de probabilitat finits: p-nombres

En els dos casos presentats en la seccio anterior, el que hem aconseguit construir usant lesprojeccions associades a la base natural es un espai de probabilitat finit on l’espai mostrales pot associar al conjunt Ω = 0, 1, . . . , 2n − 1.

El que es preten aquı es, efectivament, comprovar la relacio existent entre q-nombres iespais de probabilitat discrets.

Ja hem vist, doncs, que donat un q-nombre escrit en base natural |z 〉 =∑2n−1

j=0 aj |j〉i el conjunt de projectors associats a la base natural Pi0≤i≤2n−1, existeix una aplica-cio Θ(Pi0≤i≤2n−1) ≡ Θ que envia cadascun dels q-nombres a un espai de probabilitat(Ω,A, p) on Ω i A son sempre els mateixos i el que varia es, de fet, la funcio probabilitatp.

Es evident que l’aplicacio Θ es exhaustiva: efectivament, donat un espai de probabilitat(Ω,A, p) i un element i1, i2, . . . , ik ∈ A, aleshores,

p(i1, i2, . . . , ik) =k∑

j=1

p(ij) (1.98)

i doncs, la probabilitat ve caracteritzada per les probabilitats puntuals p(i), amb 0 ≤i ≤ 2n − 1.

Aleshores es clar que el q-nombre:

|z 〉 =2n−1∑

i=0

√p(i)eiωi |i〉 (1.99)

compleix que Θ(|z 〉) = (Ω,A, p), amb independencia de les fases ωi. En concret la aplicacioΘ no es injectiva, perque q-nombres que difereixin en diverses fases en els seus coeficientsindueixen mateixos espais de probabilitat.

Sembla natural, doncs, introduir aquesta dualitat mitjancant una definicio:

Definicio 1.3.4 Definim el p-nombre de n bits associat al q-nombre |z 〉 es l’espaide probabilitat Θ(|z 〉).

A grosso modo, un p-nombre es un vector de 2n nombres on cadascun te una determinadaprobabilitat. Sembla natural, doncs, que si algun d’aquests nombres te probabilitat 1, i laresta te probabilitat 0, el p-nombre que en resulta te el seu equivalent “classic”.

De manera paral·lela, per a cada nombre natural i en 0, 1, 2, . . . , 2n−1 podem construirun espai de probabilitat pel qual p(i) = 1 i 0 per la resta.

1.4. COMPUTACIO QUANTICA VS COMPUTACIO CLASSICA 41

Aixı, tambe introduım la seguent definicio:

Definicio 1.3.5 Un p-nombre de n bits es classic si en Ω existeix un element i pel qualp (i) = 1, on s’enten que p es la probabilitat definida en el p-nombre corresponent.

El concepte que un p-nombre sigui classic sorgira de manera natural en la computacioclassica i es el que voldrıem obtenir a la practica en tot comput efectiu. Aquest tema eltractarem en detall mes tard.

Finalment, i per tal d’acabar amb el concepte de model de mesura, introduir el que entenemper mesura propiament:

Definicio 1.3.6 Una mesura sobre un p-nombre es un resultat que s’obte com a unarealitzacio d’aquest p-nombre.

Aixo ens lliga el model de mesura amb la propia mesura, entesa com a una realitzacio delmodel.

1.4 Computacio quantica vs computacio classica

Una vegada introduıts els principals elements que ens seran d’interes, es natural realitzarun sımil entre un model classic de computacio. En el que segueix s’introdueix el queentenem per model classic de computacio i comprovem, efectivament, que es tracta d’uncas ben particular del que hem estat estudiant fins ara.

1.4.1 Un model molt abreujat de computacio classica

De manera generica, podrıem dir que un model de computacio classica simplement consis-teix en la manipulacio de vectors binaris. Mes en concret, considerem el cos base V = Z/2Zi el corresponent producte de grups V n = Z/2Z× n. . . ×Z/2Z. Un element d’aquest espaivectorial l’escriurem a = (an−1, an−2 . . . , a0) ≡ an−1an−2 . . . a0 i l’anomenarem nombrede n bits, en consonancia amb els q-nombres de n bits introduıts fins ara.

Es clar que en aquest espai vectorial pot definir-se una suma heretada de Z/2Z de la seguentmanera: si prenem dos nombres de n bits a = an−1an−2 . . . a0 i b = bn−1bn−2 . . . b0, podemdefinir la seva suma c com:

c = cn−1cn−2 . . . c0 = (an−1 + bn−1)(an−2 + bn−2) . . . (a0 + b0) (1.100)

on la suma a cada terme s’enten que es realitza segons modul 2.

Una vegada introduıts els elements a manipular, es natural (tal i com hem fet) introduircom es poden manipular aquests termes. En aquesta situacio el que tenim son les funcions


booleanes, o equivalentment, funcions f : Z/2Z× n. . . ×Z/2Z → Z/2Z× m. . . ×Z/2Z quefuncionen a nivell de bit. Anomenarem, doncs, computacio classica a una determinadafuncio booleana f .

En concret, es ben sabut que tota funcio booleana pot escriure’s unicament utilitzant, perexemple, portes NOT i portes OR, que es defineixen a nivell de bit com:

NOT (x) = x + 1OR(x, y) = x · y (1.101)

on novament la suma s’enten que es pren modul 2. Una tal descomposicio d’una deter-minada funcio booleana en portes logiques elementals indueix novament una definicio decomplexitat d’un comput classic.

Per als nostres proposits, que son ben generals, en tenim prou amb aquest model prouabreujat.

1.4.2 Reduccio de la computacio classica a un cas ben particular de lacomputacio quantica

Introduıt de manera molt breu el model classic de computacio classica (amb un fil ar-gumental molt similar al que havıem emprat pel model de computacio quantica), el quepretenem ara es realitzar una “immersio” d’aquest model en el model quantic introduıtfins ara.

Per a tal cosa, partim del subconjunt de q-nombres de n bits de la forma |j〉 |0〉, on0 ≤ j ≤ 2n − 1. Es clar que existeix una bijeccio trivial entre el conjunt de nombres de nbits i aquest conjunt de q-nombres de n bits.

El segon dels aspectes a tractar aquı es el tema dels computs: segons el que hem ditabans, tot comput classic pot implementar-se nomes amb l’us de portes NOT i OR. Pertant, si aconseguim realitzar una implementacio amb les portes quantiques elementalsd’aquestes primeres, aleshores tota funcio booleana (i per tant, tota computacio classica)sera implementable.

Observar, pero, que en la hipotesi de computs quantics no es pot implementar directamentl’operador OR, ja que aquest en particular no es invertible. Es per aquesta rao que elconjunt de q-nombres que prenem es el format per aquells de la forma |j〉 |0〉 i no peraquells que son simplement |j〉: necessitem un conjunt de bits auxiliars on emmagatzemarels resultats corresponents del comput sense que es perdi la reversibilitat del sistema.

Passem, doncs, a donar una implementacio de cadascuna d’aquestes portes:

1. La porta NOT : el que farem sera definir la porta NOT per al k-essim bit com se-gueix: considerem un q-nombre del conjunt anterior |j〉 |0〉 = |jn−1 . . . jk . . . j1j0〉 |0〉.Aleshores, definim la porta NOT que actua sobre el k-essim bit com:

[NOTk] |jn−1jn−2 . . . jk . . . j1j0〉 |0〉 = |jn−1jn−2 . . . (jk + 1) . . . j1j0〉 |0〉 (1.102)

1.4. COMPUTACIO QUANTICA VS COMPUTACIO CLASSICA 43

Aleshores, es clar, que una implementacio d’aquesta porta simplement es:

[NOTk] = [Id]⊗ [Id]⊗ · · · ⊗ [σx]⊗ · · · ⊗ [Id]⊗ [Id] (1.103)

En aquesta situacio, no cal dir res mes.

2. La porta OR: El desenvolupament sera similar al realitzat per la porta [NOTk]:considerem la porta quantica [ORr,s] definida segons:

[ORr,s] |jn−1jn−2 . . . jr . . . js . . . j1j0〉 |0〉 = |jn−1jn−2 . . . (jk + 1) . . . j1j0〉 |jr · js〉(1.104)

Per a raonar, podem suposar que els q-nombres son de 2 bits, i que per tant la porta[OR] es defineix segons:

[OR] |i1i0〉 |0〉 = |i1i0〉 |i1 · i0〉 (1.105)

on s’obliden els ındexs de la porta perque el context ja els dona per entesos.

Amb aquesta formulacio, es evident aleshores que la porta [OR] pot descriure’ssimplement com una porta [C1,2σx]: es a dir, si algun dels i1, i0 es igual a 0, elbit de menor pes es queda en el mateix estat (|0〉), i la porta [σx] nomes es activadaquan aquests dos valen 1.

Quan el nombre de bits es superior a 2, la construccio de la porta [ORr,s] es realitzade manera equivalent a la presentada aquı.

Observacio 1.4.1 La porta [OR] descrita es una porta ben usada: es la coneguda comporta de Toffoli. En el seguent capıtol s’introduira i s’aplicara en la descomposicio deportes controlades mes generals.

Aixı, doncs, si el que tenim es una funcio booleana classica i la volem traduir a un algorismequantic, el que cal fer simplement es reescriure-la com a concatenacio de portes OR i portesNOT i traduir aquestes segons els models quantics corresponents. Sera necessari, aixo si,utilitzar un nombre de registres com a maxim igual al nombre de portes OR i NOTemprades en la implementacio de la funcio booleana.

Per finalitzar amb la part de computs, notar que un analisi similar s’hauria pogut realitzarsi enlloc de prendre portes OR i portes NOT haguessim considerat portes XOR. Aquestanalisi es realitza en el capıtol seguent per tal d’il·lustrar la circuiteria quantica que serviraper a descriure graficament diversos aspectes de la teoria que s’esta tractant.

El tema de la mesura en aquest cas resulta trivial ja que el conjunt de projectors associata la base natural en qualsevol dels casos indueixen un p-nombre de n bits classic, i pertant tota computacio classica es determinista. El problema del model de mesura (i de laposterior inferencia a partir de les dades reals) resulta evident en aquest cas tan simplificat.

Per a finalitzar, el que ens esta permetent comprovar amb aquestes observacions es que elmodel classic de computacio no es mes que un model molt simplificat (i molt simple) d’unmodel molt mes ric. En particular, en aquest nou model, es poden arribar a calculs queamb ulls classics no tindrien explicacio.


Exemple 1.4.1 (Producte de nombres) Considerem dos nombres n1 i n2 escrits ambn bits. Pretenem calcular el seu producte i analitzar la seva complexitat de manera classica,amb la qual cosa en virtut de la discussio precedent tindrem una fita per a la complexitatd’aquesta operacio en el marc quantic: |n1〉 |n2〉 |0〉 → |n1〉 |n2〉 |n1 · n2〉. Observar que ara,a diferencia dels raonaments realitzats en la construccio dels models per a portes OR, elsvalors de nj son naturals, i no bits.

L’algorisme classic mes sencill funciona com segueix: escrivim tant n1 com n2 en binarii realitzem el producte en binari. Finalment fem la suma en binari. La primera part del’algorisme (el producte) te cost O(n2), ja que per cada parella de bits a i b (tantes comO(n2)) hem de calcular el valor de a · b, que te cost O(1) ja que la porta classica AND potimplementar-se amb un nombre constant de portes XOR.

En quant a la segona part (la suma dels corresponents bits) caldra un nombre O(n2) deportes AND, ja que despres de realitzar el producte hem generat un nombre O(n2) de bitsque cal sumar. En definitiva, obtenim que el producte de dos nombres te una complexitatde O(n2) i que la sortida requereix d’un nombre O(n) de bits.

Amb tot aixo, traduint segons el que hem dit anteriorment, cadascuna de les portes ANDi OR emprades en l’algorisme pel corresponent equivalent quantic, en resulta que la portaquantica que implementa |n1〉 |n2〉 |0〉 → |n1〉 |n2〉 |n1 · n2〉 te una complexitat O(n2).

1.5 Proces general de computacio

Fins ara hem introduıt les eines necessaries per tal de poder fer computs de forma quan-tica. Pero encara ens falta lligar d’una certa manera els tres conceptes que hem estatdesenvolupant fins ara: q-nombres, computs quantics i models de mesura, per a realitzaraccions amb resultats d’interes.

La idea basica sera la seguent: partir d’un q-nombre, aplicar sobre ell un determinatcomput quantic i induir-ne posteriorment el p-nombre corresponent. Mes en concret,tenim la seguent definicio:

Definicio 1.5.1 Una maquina quantica (en sentit abstracte) es una terna d’elements(|z 〉 , [U ], Pπii∈I), on |z 〉 es un q-nombre de n bits, [U ] es un comput quantic i Pπii∈I

es un conjunt compatible de projectors.

Moltes vegades ens interessara combinar maquines quantiques amb ordinadors classics pera la realitzacio un determinat comput.

Degut a que el resultat final que s’obte a partir d’una maquina quantica es precisamentun espai de probabilitat (un p-nombre), es clar que per cadascuna de les realitzacions quees realitzin, el que s’obtindra sera un resultat distint de l’experiment associat a l’espai deprobabilitat.

1.5. PROCES GENERAL DE COMPUTACIO 45

Per tant, ens agradaria que l’espai de probabilitat que se’n deduıs fos el mes simple possibleen el seguent sentit:

Definicio 1.5.2 Una maquina quantica s’anomena categorica si el p-nombre associat a[U ] |z 〉 es un p-nombre classic, per a qualsevol q-nombre |z 〉 de la maquina.

Es a dir, una maquina quantica categorica treballa igual que un algorisme classic noprobabilistic en el seguent sentit: donat un input i una serie de rutines intermedies, elresultat que s’obte al final (per a qualsevol realitzacio de l’algorisme) sempre es el mateix.En el nostre cas, si el p-nombre que s’obte no es classic, no podem aspirar a coneixer ambcertesa el resultat correcte de la computacio (correcte, en el sentit classic de la paraula),ans el valor correcte amb una certa probabilitat.

En aquesta situacio, el que es pot fer es, partint de distintes realitzacions de l’experiment,deduir o predir (mitjancant metodes de la inferencia estadıstica) el resultat mes possiblede ser el cert. Aquest aspecte (el de com fer-ho per tal que el valor que ens interessaque sigui el mes probable sigui, de fet, el mes probable, es veura clarament en el capıtold’algorısmica).

Moltes vegades, pero, seria necessari que la maquina quantica sigui categorica: com aexemple podem citar [AKN02]: es presenta un algorisme classic deterministic per tal dedeterminar si un nombre donat es primer o be no ho es. Es clar que una implementaciod’aquest algorisme de forma classica hauria de ser categorica, ja que altrament a partirdel resultat de l’algorisme no es pot decidir si el que s’obte es correcte o no. Ben diferentes el cas de la factoritzacio, tal i com es descriu en el treball de Shor en [Shor94]: pertal de factoritzar, un algorisme quantic no cal que sigui categoric, ja que un resultat ques’obtingui pot ser verificat amb facilitat si efectivament es tracta d’un divisor del nombrede partida o be si no ho es.

Tornant una altra vegada a temes practics, cal fer esment tambe de la seguent observa-cio: podem suposar en qualsevol dels casos que l’estat inicial |z 〉 es l’estat |in−1 . . . i0〉 =|0 . . . 0〉 = |0〉. Efectivament, si en una maquina quantica l’estat inicial es |z 〉 6= |0〉, bastaconsiderar una transformacio unitaria [V ] de tal forma que [V ] |0〉 = |z 〉. En aquesta situa-cio, les computacions quantiques (|0〉 , [UV ], Pπii∈I) i (|z 〉 , [U ], Pπii∈I) son equivalents,en el sentit que el p-nombre associat a U |z 〉 es el mateix que l’associat a [UV ] |0〉.

En qualsevol cas, tota maquina quantica exigira del seguent analisi:

1. Preparacio de l’estat inicial: aquest pas es equivalent a la construccio de lacomputacio quantica [V ] que transformi l’estat |0〉, aixı com l’analisi de la sevacomplexitat.

2. Construccio de la computacio quantica: necessita que la transformacio siguiefectivament una transformacio unitaria, i requereix tanmateix del calcul de la sevacomplexitat. Caldra tambe fer un analisi de la fidelitat de les possibles aproxima-


cions (amb el sistema universal de portes) emprades al implementar la computacioquantica.

3. Analisi del p-nombre resultant: en la majoria de casos s’haura d’adequar al haverobtingut un espai de probabilitat on la mesura estigui molt concentrada al voltantdel valor correcte. En qualsevol dels casos, es requerira d’una inferencia estadıstica(per exemple, un proces d’inferencia Bayesiana a partir de les dades obtingudes)

En un capıtol posterior introduirem els metodes algorısmics que es coneixen en computacioquantica, i que permeten resoldre problemes difıcils (des de un punt de vista classic, jaque son costosos) de forma molt eficient.

Capıtol 2

Circuits quantics i aplicacions

Fins ara el que s’ha introduıt ha estat un model matematic de la computacio quantica. Enaquest capıtol el que es preten es introduir una notacio grafica pels conceptes introduıtsen el precedent capıtol que ens permetin fer-ne un maneig mes sistematic i intuıtiu.

El lector observara amb claredat l’analogia que existeix entre aquests diagrames i elscorresponents diagrames que s’acostumen a emprar en el marc de la electronica digital.De fet, tal i com hem vist, l’una n’es (si mes no parlant en abstracte) un cas ben particularde l’altra.

El llenguatge que aquı s’introduira no nomes simplificara l’analisi dels computs controlatsconsiderats en el capıtol anterior, sino que ens permetra estendre els resultats a d’altresmes generals.

2.1 Representacio de q-nombres

Considerem com es habitual el conjunt de q-nombres de n bits Qn i un element |z 〉 ∈ Qn

arbitrari, que s’escriu en la base natural com |z 〉 =∑2n−1

j=0 aj |j〉.

Per al nostre objectiu, emprem la notacio binaria, en la que cadascun dels j s’escriu enbase 2 segons la expressio |z 〉 =

∑ir∈0,1 ain−1...i0 |in−1〉 . . . |i0〉.

En aquesta situacio, representarem el q-nombre com n connexions tal i com es mostra enla figura 2.1.

La figura 2.1 s’ha d’entendre en consonancia amb els diagrames circuitals classics de lamanera seguent: un q-nombre es representa (encara que aquesta es una idea il·lustrativasimplement) com un senyal que es desplaca d’esquerra a dreta a traves d’una circuiteriaquantica, i es pot pensar que en un instant donat, en la circuiteria mostrada es dona unasuperposicio (en el sentit classic) de 2n vectors.

47

48 CAPITOL 2. CIRCUITS QUANTICS I APLICACIONS

in-1

i0

i1

in-2

Figura 2.1: Diagrama circuital per a denotar un q-nombre de n bits

En aquesta situacio, es possible que la representacio sembli tenir bastant poc interes, perocom es veura en el que seguira, resultara la manera mes adequada per al nostre proposit.

2.2 Representacio de computs quantics

Una vegada introduıt el conveni per tal de representar un determinat q-nombre de n bits,ara el que cal es representar un determinat comput quantic.

El fet fonamental per tal que una representacio d’aquesta mena tingui sentit es la linealitatdels operadors de U(n). En efecte, l’equacio 1.38 ens diu que l’aplicacio d’un computquantic sobre un q-nombre escrit en la base natural es realitza prenent un representant dela classe, aplicant un representant del corresponent comput i projectivitzant posteriorment.

Per a simplificar, suposarem que el comput quantic [U ] nomes actua sobre els primers rq-bits. En tal situacio, un comput quantic arbitrari es representara de la manera seguent:

in-1

ir

ir-1

i0

i1 U

ir-2

in-2

Figura 2.2: Comput quantic amb representant U segons el diagrama circuital

Aquest diagrama ve a dir el seguent: inicialment partim d’un q-nombre |z 〉 arbitrari. Elcomput quantic [U ] nomes actua sobre els primers r bits i deixa la resta invariants. A

2.2. REPRESENTACIO DE COMPUTS QUANTICS 49

la dreta del diagrama obtenim el nou q-nombre |z ′〉 com aplicacio del comput quantic[Id2n−r−1 ⊗ U ] |z 〉 .

El millor en aquesta situacio sera introduir una serie d’exemples que aclareixin aquestesidees i ens les relacionin amb portes quantiques introduıdes en el capıtol precedent:

Exemple 2.2.1 Portes de Pauli. Ja hem vist previament la definicio de les portesquantiques de Pauli(Pauli-x, Pauli-y i Pauli-z, que designavem segons [σx], [σy] i [σz]respectivament). Els corresponents diagrames circuitals son els seguents:

X Y Z

Figura 2.3: Diagrames circuitals per les portes Pauli-x, Pauli-y i Pauli-z, respectivament.

Exemple 2.2.2 Porta de Hadamard. Ja hem vist en el capıtol anterior la porta quan-tica de Hadamard, que actua sobre un bit i que te per expressio matricial

[H] =[

1 11 −1

](2.1)

El diagrama que representa aquesta porta quantica per a q-nombres de 1 bit es el ques’inclou a continuacio

H

Figura 2.4: Diagrama que representa la porta quantica de Hadamard per a q-nombres de1 bit

2.2.1 Computs controlats

Ja que gran part dels computs introduıts depenen en certa manera de la descomposicioen portes elementals, i una d’aquestes es la porta Cnot, sembla raonable introduir tambeuns diagrames que denotin en concret els diversos computs controlats.

Sigui [U ] un comput quantic per a q-nombres de r bits i considerem la corresponent portaquantica [CSU ]. Per abreujar, suposarem que el conjunt d’ındexs S es correspon amb elconjunt r, r + 1, . . . , n− 1.


En aquesta situacio, el diagrama circuital que emprarem per a representar [CSU ] es el quees mostra en la figura 2.5.

in-1

ir

ir-1

i0

i1 U

ir-2

in-2

Figura 2.5: Computacio U-Controlada. Es tracta d’una computacio controlada generica.En aquest diagrama es mostren els bits que son susceptibles a ser modificats segons latransformacio [U ], i els bits de control que governen el comportament de de la porta[CSU ].

Es clar que cal fer esment, en primer lloc, a la porta Cnot per a q-nombres de 2 bits: el seudiagrama circuital s’adjunta a la figura 2.6, i sera bastament emprat en el decurs d’aquesttreball.

| ⟩i1

| ⟩i0

Figura 2.6: Diagrama circuital d’una porta Cnot generica

Exemple 2.2.3 La porta Swap. Hem vist la definicio de la porta swap, i la descomposi-cio d’aquesta emprant unicament portes Cnot. En la figura 2.7 es descriu tant el diagramacircuital per a aquesta porta com la descomposicio com a concatenacio de portes Cnot.


=

| ⟩j| ⟩k

| ⟩k| ⟩j

| ⟩j| ⟩j| ⟩k

| ⟩k

Figura 2.7: Diagrama circuital d’una porta Swap i la implementacio amb portes Cnot

Complexitat classica vs complexitat quantica en funcions booleanes: transfe-rencia

Tal i com ja s’ha comentat en la seccio 1.4, hem trobat una manera de considerar el modelclassic de computacio com un cas particular del model que estem tractant, en concretreduint tota funcio booleana mitjancant la seva descomposicio mitjancant portes NOT iOR, que han estat construıdes segons esquemes quantics.

El que aquı farem sera establir el mateix resultat, pero ara la descomposicio que es realit-zara sera emprant portes XOR, que tambe constitueixen un sistema generador de porteslogiques. Amb aixo, veurem l’us dels diagrames que fins aquı s’han introduıt.

El que volem fer es trobar una implementacio de la porta quantica |a〉 |b〉 |0〉 → |a〉 |b〉 ∣∣ab⊕ ab⟩,

(on |a〉 i |b〉 son iguals a |0〉 o be |1〉), on s’enten que la operacio ⊕ es la suma modul 2.

Una implementacio es la que es presenta en la figura 2.8:

| ⟩a

| ⟩b

| ⟩0

| ⟩a

| ⟩b

| ⟩ | ⟩ab ab

Figura 2.8: Descomposicio d’una porta quantica XOR classica com a producte de portesquantiques

Efectivament, la porta Pauli-x nomes canvia el bit si el bit de control es 1. Aixı, si a = b,o be no s’activa cap de les portes o be s’activen les dues, amb la qual cosa la sortida esigual que a la entrada, que en aquest cas es 0. Altrament, si a 6= b s’activa una i nomesuna de les portes Pauli-x, amb la qual cosa es canvia el bit 0 en 1, que es precisament elque pretenıem fer.


Aixı doncs donat un algoritme implementat de forma classica del que coneixem la sevacomplexitat (entenent la complexitat a nivell classica com el nombre de portes XORnecessaries per a la seva implementacio), aleshores podem traduir de manera directa aquestalgoritme a la manera quantic canviant cadascuna de les portes XOR pel corresponentcircuit.

En particular, amb aquest esquema el nombre de bits auxiliars que cal usar sera de l’ordredel nombre de portes XOR que ens fara falta (en el sentit quantic construıt), ja que percadascuna d’aquestes portes es genera un bit nou d’informacio que cal emmagatzemar.

En molts dels punts que seguiran necessitarem traduir algoritmes classics a algoritmesquantics. En aquesta situacio bastara realitzar l’analisi de forma classica i traduir demanera adequada al marc quantic, emprant el nombre de bits auxiliars que siguin adients.

2.2.2 Descomposicions canoniques de computs controlats; analisi

En el que seguira, i per tal de motivar l’us d’aquesta mena de diagrames, es realitza-ra un estudi acurat de les descomposicions de portes quantiques controlades, proposantdescomposicions efectives i les corresponents complexitats que s’en deriven.

El pas clau resulta ser el que ja s’ha introduıt en el capıtol anterior: donats dos computsquantics [U1] i [U2], i un control per a aquests [CSU1U2], aleshores es clar que es compleixla relacio [CSU1U2] = [CSU1][CSU2].

Aixo precisament es el que ens diu la figura 2.9, on es mostra la equivalencia de diagramescircuitals.

U 1

U 2

U 1U

2U

1

Figura 2.9: Descomposicio d’una computacio quantica U en producte d’altres computs.

Passarem a emprar aquesta senzilla idea per tal de realitzar descomposicions efectives.


Construccio explıcita de computacions controlades; diagrames associats

Una vegada introduıt el que entenem per comput controlat i la porta quantica Cnot,sembla natural preguntar-se si es poden construir computacions quantiques controladesarbitrariament complexes. En altres paraules, ens preguntem si tota computacio quanticacontrolada pot escriure’s nomes emprant portes Cnot i transformacions de q-nombres de1 bit. El que seguira segueix un desenvolupament paral·lel al que es realitza en [Bare95].

Una generalitzacio natural de la porta Cnot es aquella en la que tenim un comput quantic[U ] per a q-nombres de 1 bit, pero ara arbitraria, i volem construir el comput [CU ] per aq-nombres de 2 bits.

A tal fi, recordem del que hem vist en 1.2.3 que donada una computacio quantica [U ] pera q-nombres de 1 bit, aleshores pot escriure’s segons una certa descomposicio

[U ] = [Rz(α)][Ry(θ)][Rz(β)] (2.2)

Definim llavors [A] = [Rz(α)][Ry( θ2)], [B] = [Ry(− θ

2)][Rz(−α+β2 )] i [C] = [Rz(β−α

2 )].

Calculs trivials mostren que es verifica que

[A][Id][B][Id][C] = [Id] (2.3)

i per altra banda que

[A][σx][B][σx][C] = [U ] (2.4)

D’aquestes dues relacions ja podem dir que hem aconseguit el que volıem: si prenem unaporta Cnot, aleshores el que realment estem dient es que [CU ] = [A]Cnot[B]Cnot[C],entenent com sempre que el bit de control de la porta Cnot es el primer.

Efectivament, quan el q-nombre de control es |0〉, el q-nombre de dades es veu transformatper la computacio quantica [A][B][C] = [Id], mentre que si el q-nombre de control es |1〉,el q-nombre de dades es veu transformat per la computacio [A][σx][B][σx][C] = [U ]. Aixıdoncs, la computacio anterior actua com el comput [CU ].

La descomposicio que aquı s’ha emprat es la que es dibuixa en la figura 2.10.

En aquest desenvolupament el pas seguent es el que segueix: ara tenim una computacioquantica [U ] de 1 bit, i el control ara es correspon amb un de 2 bits. El nostre objectiues construir novament aquesta porta [C1,2U ] en funcio de portes elementals (entenentara per elementals portes quantiques d’un bit, portes Cnot controlades per un unic bit iportes quantiques d’un bit controlades per un q-nombre de un bit)

Fixada, doncs, la computacio [U ], considerem un dels seus representants U , i consideremun element de V ∈ U(2) tal que V 2 = U . Es tracta d’un unic element llevat de signe. La


U A=

B C

Figura 2.10: Descomposicio d’una computacio quantica controlada per un unic bit.

seva existencia esta garantida degut a que U diagonalitza sobre C, ja que es tracta d’unendomorfisme unitari.

Aleshores el que tenim es que l’operador [C1,2U ] s’escriu com

[C1,2U ] = [C1V ]Cnot⊗ [Id][C1V †]Cnot⊗ [Id][C2V ] (2.5)

Si q-nombre de control es |00〉, cap de les portes [CV ] es activada, i per tant el circuit esequivalent a la identitat. De manera similar, si el q-nombre de control es |01〉, nomes sonactivats les dues primeres portes controlades, donant novament a que el circuit actua comla identitat. De forma similar per |10〉.

Finalment, si el q-nombre de control es |11〉, nomes son activades la primera i la ultimaporta, donant lloc a que el circuit es equivalent a V 2 = U , tal i com volıem construir.

La figura 2.11 resumeix el que hem estat dient.

U V V

=

V

Figura 2.11: Descomposicio d’una computacio quantica doblement controlada segons unamatriu V per la qual V 2 = U .

Exemple 2.2.4 Resulta convenient introduir la que s’acostuma a anomenar porta deToffoli, aixı com la seva implementacio emprant portes quantiques elementals. El seudiagrama circuital es el que es mostra en la figura 2.12.

El que es important d’aquesta es que generalitza la porta Cnot segons ja havıem comentatabans: la porta de Toffoli no es mes que una porta Cnot on ara hi ha un control de 2 bitsenlloc d’un control d’un bit.

Usant la disquisicio anterior amb la porta σx, el que obtenim es que l’operador V es el


Figura 2.12: Diagrama circuital de la porta de Toffoli

seguent:

V =12(1− i)(Id + iσx) (2.6)

verifica que V 2 = σx. En concret, necessitem doncs nomes 2 portes Cnot i 3 computsquantics d’un q-bit controlats per 1 bit.

Es important remarcar aquı que si substituım la porta Cnot amb control d’un bit per laporta Toffoli en un conjunt universal de portes quantiques, aleshores el conjunt resultantcontinua sent universal.

Finalment, utilitzant la idea que hem utilitzat quan el control que s’utilitza es mitjancantq-nombres de 2 bits, podem generalitzar al cas en el que el control ve donat per q-nombresde mes de 2 bits.

Sigui doncs com abans [U ] una computacio quantica de 1 bit, i proposem-nos construir laporta [CU ] controlada per un q-nombre de r bits. Considerem igual que abans un operadorV pel qual V 2 = U .

Sera suficient per a il·lustrar el procediment considerar el cas r = 8 (tal i com es mostraen la figura 2.13).

Distingim entre els 7 primers q-nombres de 1 bit de control i el vuite q-nombre de control. Siqualsevol dels primers es el q-nombre |0〉, les portes Cnot i la tercera porta [CV ] (s’ometenels subındexs que indiquen el control, ja que a partir del diagrama se’n dedueixen) no sonactivades, i per tant, amb independencia del q-nombre en el vuite bit de control, la portaactua com la identitat.

Si ara els 7 primers q-nombres de 1 bit de control son el q-nombre 1, les portes Cnot i laultima [CV ] son igualment activades. Ara be, si el vuite q-nombre de control es |0〉, nomeses activat la porta [CV †], i el sistema actua sobre el q-nombre de dades com [V †V ] = [Id].

Altrament, si el vuite bit de control es |1〉, son activades les dues portes [CV ], i per tantsobre el q-nombre de dades s’aplica l’operador [V 2] = [U ], que es el que volıem construir.

Observacio 2.2.1 En aquest ultim cas, existeixen arquitectures mes simples que les pro-posades, pero necessiten de l’us de q-nombres auxiliars per a tal comput. Ho introduirem


U V V

=

V

Figura 2.13: Descomposicio d’una computacio quantica controlada per un q-nombre de 8bits en computs que son controlats en, com a molt, q-nombres de 7 bits

en el que seguira i, d’aquesta manera, podrem comparar la “complexitat” de les dues ar-quitectures.

Analisi de portes controlades; complexitats proposades

Hem introduıt en la subseccio 1.2.4 la manera de construir computs quantics d’un bit ambun control per a q-nombres d’un nombre arbitrari de bits. El que aquı farem sera estudiar lacomplexitat d’aquesta mena de portes quantiques, i introduir un metode d’implementacio,que resulta mes eficient (en el sentit de la complexitat), pero que utilitza q-nombres d’unbit com a registres.

Realitzarem l’analisi per computs quantics [U ] d’un bit controlats per un q-nombre de rbits, on r es arbitrari.

La descomposicio dona lloc a que la complexitat de l’algorisme quantic que implementala computacio [CU ] es fitada per la suma de complexitats de dues portes quantiques d’unbit controlades per un q-nombre d’un bit (amb complexitat O(1)) i tres portes quantiques(dues Cnot i una altra) controlades per un q-nombre de r−1 bits. Aixı, doncs, si escrivimAr per a denotar la complexitat d’una porta quantica d’un bit controlada per r bits, llavorses verifica la relacio de recurrencia:

Ar+1 = 3Ar + 10; A1 = 5 (2.7)

Estem prenent A1 = 5 ja que aquesta es la complexitat d’una porta quantica d’un bitcontrolada per un q-nombre de 1 bit, que no sigui la porta Cnot. La recurrencia plantejadapot resoldre’s explıcitament i dona lloc a que Ar = 10 · 3r−1 − 5. Es a dir, la complexitat


d’aquest algorisme associat a un comput quantic d’un bit controlada per un q-nombre der bits es O(3r).

En particular, la complexitat d’una porta Cnot controlada per r bits es O(3r).

Tant en un cas com en l’altre, aquest valor resulta ser excesivament elevat, i pot reduir-semitjancant l’us d’un q-nombre auxiliar.

Efectivament, donada una porta Cnot controlada per un q-nombre de r bits, prenguemun q-nombre de r − 2 bits. Llavors, proposem la equivalencia de circuits de la figura 2.14(en aquest cas el valor de r es 6)

=

Figura 2.14: Porta Cnot controlada i la seva porta quantica equivalent, emprant unicamentportes de Toffoli.

En el segon circuit tenim 2 submoduls: el primer es l’encarregat de realitzar propiament laporta Cnot, mentre que el segon modul parcial retorna el valor inicial al q-nombre auxiliar.(La demostracio unicament es basa en comprovar els possibles casos que poden donar-se.)

Observar que el valor corresponent al q-nombre auxiliar es mante despres d’aquesta portaquantica.

Com cadascuna de les portes Toffoli necessita de 5 portes quantiques elementals i per aun control d’un q-nombre de r bits necessitem 4r − 8 portes de Toffoli, en resulta queuna porta Cnot controlada per un q-nombre de r bits necessita 20r − 32 = O(r) porteselementals per tal de ser implementada.

Retornem al nostre problema i a la descomposicio proposada abans. Ara la nostra recur-rencia passa a ser:

Ar+1 = Ar + 40r − 64 + 10; A1 = 5 (2.8)


on les dues portes Cnot controlades necessiten en total de 40r − 64 portes quantiqueselementals, les dues portes quantiques controlades per 1 bit necessiten cadascuna 5 portesquantiques elementals, i el terme corresponent a Ar es correspon a la porta quanticacontrolada per un q-nombre de r bits.

La solucio en aquest cas ve donada per l’expressio Ar = 5+40(1+2+· · ·+r−1)−54(r−1) =20r2 − 74r + 59 = O(r2).

En definitiva, hem aconseguit reduir la complexitat des de O(3r) fins O(r2) emprant unq-nombre auxiliar.

Una vegada hem deduıt totes aquestes complexitats, resulta trivial trobar una fita per a lacomplexitat d’una porta quantica de s bits controlada per un q-nombre de r bits. Efectiva-ment, sigui [U ] aquest comput i Complx([U]) la seva corresponent complexitat. Aleshoresexisteix una descomposicio de la forma [U ] = [UComplx([U ])][UComplx([U ])−1] . . . [U1], amb[Ui] portes elementals.

L’observacio 1.2.4 ens diu que una descomposicio de la porta quantica [CU ] ve donadasimplement per [CUComplx(U)][CUComplx(U)−1] . . . [CU1]. Com cadascuna d’aquestes es unaporta quantica elemental, la seva complexitat es O(3r) (o be O(r2), si estem emprant unq-nombre auxiliar).

Aixı, doncs, per un mateix comput quantic, el que hem fet es trobar diversos algorismesquantics amb distintes complexitats.

Com a conclusio del que hem fet, la complexitat global sera com a molt O(3rComplx([U])),o be O(r2Complx([U])), segons l’algorisme quantic que es prengui per a implementar lacomputacio corresponent.

Portes quantiques de permutacio

El que es fara en el que segueix es una construccio alternativa a la que es pot trobar en[TsaKu01]: en aquest article es donen unes fites globals una mica mes bones que les quees descriuen aquı, pero creiem il·lustratiu el metode emprat i l’us dels diagrames circuitalsper tal d’explicar el que esta succeint.

Ja hem vist previament que per a tota permutacio de σ ∈ S2n tenim un operador unitari[Uσ] pel qual [Uσ] |j〉 = |σ(j)〉. El que volem ara es trobar una implementacio efectivautilitzant portes quantiques conegudes, i extreure d’aquı la seva complexitat.

Una primera observacio es la seguent: com tota permutacio pot escriure’s com a productede transposicions, basta que sapiguem implementar amb portes quantiques basiques unatransposicio τ . En tot el que seguira de fet estudiarem la representacio d’una transpo-sicio com a producte de portes quantiques simples, ja que aleshores una computacio queimplementi una permutacio qualsevol podra escriure’s com producte de computacions queimplementin les transposicions en les que es descompon aquesta.


Considerem, doncs, una transposicio τ que verifica que τ(j) = k, τ(k) = j i deixa invariantla resta d’elements. Escrivint aquests nombres en base 2 (el desenvolupament de j esjn−1jn−2 . . . j1j0 i el de k el corresponent kn−1kn−2 . . . k1k0).

Volem construir una computacio quantica que transformi el q-nombre |jn−1jn−2 . . . j1j0〉en el q-nombre |kn−1kn−2 . . . k1k0〉 i viceversa, i deixi invariant la resta d’elements de lareferencia associada a la base natural. Per a fer-ho, prendrem la seguent idea: volem queel circuit que construım sigui la transposicio si i nomes si l’entrada es |j〉 o be |k〉.

Per a fer-ho utilitzarem un q-nombre d’un bit en forma de control, que ens indiqui si hem“detectat” |j〉, |k〉, o be n’es un altre. El prendrem inicialitzat amb el q-nombre de 1 bit|0〉.

Amb aquesta idea, la porta quantica en questio presentara 4 submoduls:

1. El primer realitza les seguents transformacions:

[U1] |0〉 |l〉 = |1〉 |k〉 , l = j|0〉 |l〉 , altrament

(2.9)

2. El segon realitza les seguents transformacions:

[U2] |m〉 |l〉 =

|1〉 |j〉 , |m〉 |l〉 = |0〉 |k〉|0〉 |k〉 , |m〉 |l〉 = |1〉 |k〉|m〉 |l〉 , altrament

(2.10)

Es a dir, el segon submodul decideix, en funcio del bit de registre, si realitzem o nola permutacio (ja que el q-nombre |k〉 pot ser obtingut com a resultat del primermodul o be pot ser el q-nombre inicial)

3. El tercer s’encarrega de retornar el registre a |0〉, tenint en compte que en els unicscasos en que aquest es |1〉 son aquells en els que el segon registre es |k〉.

La millor manera per il·lustrar aquests moduls es prendre un exemple i fer tots els detalls:per a tal objectiu prenem la transposicio τ ∈ S16 definida segons τ = (1, 2). El que faremsera implementar la porta quantica [Uτ ] que actua de la seguent manera:

[Uτ ] |i3i2i1i0〉 =

|0010〉 , si |i3i2i1i0〉 = |0001〉|0001〉 , si |i3i2i1i0〉 = |0010〉|i3i2i1i0〉 , altrament

(2.11)

En la figura 2.15 s’indica aquesta porta quantica segons la descomposicio indicada. Veuremla evolucio des possibles inputs.


| ⟩i2

| ⟩i1

| ⟩i3

| ⟩i0

| ⟩0

XX

X

X

X

X

X

X

X

X

XX

X

X

X X

X X X X

Figura 2.15: Diagrama circuital per la computacio quantica [Uτ ]

Les possibles entrades seran de la forma |0〉 |i3i2i1i0〉, on cal distingir en el q-nombre dedades:

1. Considerem l’entrada |0〉 |0001〉. Despres del primer submodul s’obte el q-nombre|1〉 |0010〉, ja que la porta Cnot relativa al control es activada (passa a ser |1〉), ihavent canviat aquest q-nombre, activem al seu moment la sequencia de Cnot.

Seguidament en el segon submodul el q-nombre de control passa a ser |0〉, amb laqual cosa a la sortida del segon modul passa a ser |0〉 |0010〉. A la sortida del circuitobtenim igualment |0〉 |0010〉.

2. Considerem la entrada |0〉 |0010〉. Despres del primer modul s’obte el q-nombre|0〉 |0010〉, ja que aquest modul actua com la porta quantica identicament igual a laidentitat.

El segon modul activa el bit de control, transformant el q-nombre inicial en |1〉 |0001〉(Al activar el bit de control, activem tambe al seu moment les portes Cnot). Final-ment el tercer modul s’encarrega de transformar el bit de control a |0〉.

3. En la resta de casos, cadascun dels moduls actua com la identitat, i per tant elpermutador deixa invariant la resta de q-nombres.

En qualsevol dels casos, si l’input es un q-nombre de de la forma |z 〉 =∑2n−1

j=0 aj |j〉,podem prendre el q-nombre amb un bit mes |z ′〉 = |0〉∑2n−1

j=0 aj |j〉. Aleshores el que hemacabat veient es, doncs, que:


[Uτ ] |0〉2n−1∑

j=0

aj |j〉 = |0〉2n−1∑

j=0

aj |τ(j)〉 (2.12)

D’aquı s’amplia de forma natural a la resta de permutacions degut a la descomposicio detota permutacio en producte de transposicions.

Finalment, el que ens falta aquı es analitzar la complexitat d’aquesta porta quantica.

A la vista de l’exemple que hem esmentat, la complexitat de cadascun dels moduls es laseguent:

1. Per a cadascun dels dos primers submoduls es necessari un nombre lineal de portes[σx], una porta Cnot controlada per un q-nombre de n − 1 bits i un nombre linealde portes Cnot.

2. A efectes de calcul de la complexitat, el tercer submodul es pot ometre ates queequival a una part del primer.

Per tant, el pes de la complexitat d’una transposicio es, de fet, les dues portes Cnotcontrolades per un q-nombre de n bits. Aixı, si no estem emprant q-nombres auxiliars, lacomplexitat total es O(3n), mentre que si n’estem utilitzant la complexitat es redueix aO(n2).

Finalment, una permutacio arbitraria tindra complexitat O(2n3n) = O(6n) sense utilitzarq-nombres auxiliars o be O(n22n) utilitzant registres auxiliars. Aquesta ultima fita redueixconsiderablement el valor que es descriu en [Alb01], on es dona una cota global de O(n4n).

Portes quantiques de permutacio revisited

En l’exemple anterior hem estudiat una representacio generica d’una permutacio arbitraria,i hem trobat la seva complexitat. El que aquı pretenem es estudiar un subconjunt depermutacions que permeten una implementacio mes sencilla.

Considerem per a tal efecte q-nombres de n-bits i una permutacio σ ∈ Sn (ara estemconsiderant el grup simetric en n elements, i no en 2n elements). Novament, ara aquest σdona lloc a un nou comput [Vσ] definit sobre els elements de la base natural segons:

[Vσ] |in−1in−2 . . . i1i0〉 =∣∣iσ(n−1)iσ(n−2) . . . iσ(1)iσ(0)

⟩(2.13)

Es clar, doncs, que cadascun dels [Vσ] es de fet una porta de permutacio [Uσ′ ] com lestractades anteriorment, per a un cert σ′ ∈ Sn, pero el recıproc no es cert (en abstracte,simplement estem dient que existeix una injeccio no exhaustiva ι : Sn → S2n)


De la mateixa manera que abans, podem realitzar una descomposicio de σ com a productede transposicions, i una transposicio d’aquesta mena no es mes que una porta swap.

Aixı la complexitat d’una transposicio es simplement O(1) (ja hem vist que un swap potconstruir-se amb 3 portes Cnot), i com tota permutacio admet com a molt una descompo-sicio en n transposicions, en resulta que la complexitat d’una permutacio d’aquesta menaes redueix a O(n).

En la figura 2.16 s’il·lustra la permutacio (1, 2, 0, 3) = (1, 2)(2, 0)(0, 3) vista com a elementde S4. Com a element de S16 es pot escriure segons

(0)(15)(1, 4, 2, 8)(3, 12)(5, 6, 10, 9)(7, 14, 11, 13) (2.14)

| ⟩

| ⟩

i3

i2

i1

i0

| ⟩

| ⟩

Figura 2.16: Diagrama circuital per la computacio quantica relativa a la permutacio indi-cada.

Capıtol 3

Computacio quantica i fısicaquantica

Fins ara s’ha estat discutint un model essencialment matematic. Ara veurem que aquestmodel es correspon, llevat d’un canvi de llenguatge, amb un cas particular de sistemaquantic.

La presentacio d’aquest capıtol sera com segueix: s’introduiran els diversos postulats d’unsistema regit per la mecanica quantica. Posteriorment es passara a introduir el conceptede l’espın, que ens permetra la traduccio del model matematic al model fısic. Finalment,el que es fara sera propiament la traduccio.

Ho hem cregut convenient d’aquesta manera per tal que el text sigui autocontingut. Enqualsevol dels casos, el lector pot acudir a [Mess99], que es un dels tractats classics en lamateria.

3.1 Els postulats de la mecanica quantica

3.1.1 Postulat 1: possibles estats del sistema fısic

Donat un sistema fısic Σ, necessitem en primer lloc caracteritzar el conjunt dels estats Sen que aquest sistema pot trobar-se.

En el marc de la mecanica classica el mes usual es que el conjunt d’estats S associat alsistema fısic Σ sigui una determinada varietat diferenciable. En el cas de sistemes quanticses similar pero una mica diferent.

63

64 CAPITOL 3. COMPUTACIO QUANTICA I FISICA QUANTICA

En el cas de sistemes quantics el primer postulat es el seguent:

Postulat 1 (Caracteritzacio de l’espai d’estats) Tot sistema fısic Σ te associat unespai de Hilbert H complet sobre C, i qualsevol estat d’aquest sistema ve donat per unelement de PH, i recıprocament, tot element de S = PH representa un estat del sistema.

Dit d’una altra manera, el conjunt d’estats de Σ es correspon amb el conjunt de subespaislineals de dimensio 1 de H, i recıprocament, tot element de PH representa un possibleestat del sistema fısic.

En el que seguira, serem consistents amb la notacio classica de Dirac: denotarem und’aquests estats amb la notacio ket: |ψ〉 ∈ PH, amb ψ ∈ H.

Amb aquesta notacio dos vectors ψ, φ ∈ H representen un mateix estat si i nomes siψ = λφ, λ ∈ C∗, i aquest estat el podrem escriure indistintament com |ψ〉 = |φ〉.

Donat un estat s ∈ S, podem prendre un element ψ ∈ H pel qual s = |ψ〉: direm queψ es un representant de s. En particular, veiem que el vector φ = ψ/‖ψ‖ es tambe unrepresentant de s, pero ara te norma 1.

3.1.2 Postulat 2: composicio de sistemes quantics

Donats dos sistemes fısics Σ1 i Σ2, amb corresponents espais d’estat S1 i S2, sembla naturalpreguntar-se com sera el sistema fısic resultant de la composicio dels dos primers.

El postulat que ens descriu aquest fet es el seguent:

Postulat 2 (Composicio de sistemes quantics) Si Σ es un sistema fısic resultant dela composicio dels sistemes fısics Σ1 i Σ2, aleshores es te que l’espai de Hilbert associat aΣ es H1 ⊗H2, on Hi es l’espai de Hilbert associat al sistema fısic Σi.

3.1.3 Postulat 3: observables d’un sistema fısic

Introduıts formalment els possibles estats del sistema quantic, passem a definir el quepodrıem anomenar una propietat d’un sistema quantic: tot sistema quantic te unes cer-tes propietats (energia, impuls, moment angular, . . . ) que donen informacio sobre l’estatintrınsec d’aquest en un determinat instant de temps.

En el marc de la mecanica classica, fixant l’espai d’estats S corresponent a una determi-nada varietat diferenciable, es natural associar a cada observable una determinada funciodiferenciable f : S → R, amb el que es te que el conjunt d’observables es una determinadaalgebra de funcions diferenciables de S.

3.1. ELS POSTULATS DE LA MECANICA QUANTICA 65

De manera paral·lela a aquesta observacio, el seguent postulat ens diu com caracteritzarun determinat observable dins d’un espai de Hilbert:

Postulat 3 (Caracteritzacio dels observables) Donat un sistema fısic qualsevol Σ iH l’espai de Hilbert associat, aleshores tot observable A d’aquest sistema fısic es representamitjancant un operador lineal hermıtic A definit sobre H.

En tot el que farem no distingirem entre l’observable i el corresponent operador; aixıdoncs, escriurem indistintament A i A per denotar l’operador lineal corresponent. S’had’entendre que en tota la disquisicio estem realitzant aquest abus en el llenguatge.

3.1.4 Postulat 4: la mesura d’observables

El conjunt de valors propis de l’observable A (el que s’anomena l’espectre de A) indueixuna particio de la identitat de la manera seguent: es un sencill exercici de calcul comprovarque si ψ1 i ψ2 son vectors propis amb distint valor propi (diguem que el primer te valorpropi λ1 i el segon λ2), aleshores es te que 〈ψ1|ψ2〉 = 0. Son, per tant, vectors ortonormals.

Denotant per πi al subespai lineal generat pels vectors propis amb valor propi λi, i perπ⊥1,2 el subespai lineal ortogonal (i els corresponents projectors Pi i P⊥

1,2), el que resulta esque podem escriure la seguent descomposicio de la identitat:

Id = P1 ⊕ P2 ⊕ P⊥1,2 (3.1)

Mes generalment, si el nombre de valors propis es finit i cada subespai de vectors propises no degenerat, el que tenim es:

Id =m⊕

r=1

Pr (3.2)

En definitiva, un determinat observable ens indueix un conjunt compatible de projectors,cosa que s’adiu amb el que s’ha dit fins ara.

Fixat, doncs, el nostre observable, i per tant el conjunt de projectors associat, hem depassar a la realitzacio d’un proces (que anomenem mesura, i que te interaccio amb l’exteriordel sistema fısic) per tal d’obtenir informacio del nostre sistema fısic.

El com i els possibles resultats que es poden induir d’aquest proces son restringits i ensvenen donats pel seguent postulat:

Postulat 4 (Mesures sobre un sistema fısic) Donat un observable A representat pelseu operador hermıtic associat A i un estat |ψ〉, es te que:

1. Al realitzar una mesura de l’observable A en l’estat quantic |ψ〉, els unics resultatspossibles son valors propis de A.


2. La probabilitat d’obtenir en aquesta mesura el valor λ ve donada pel valor

‖Pπλψ‖2

〈ψ|ψ〉 (3.3)

on l’operador Pπλdenota la projeccio ortogonal sobre el subespai de vectors propis

de valor propi λ.

3. (Col·lapse quantic) Si la mesura de |ψ〉 dona lloc al valor λ, aleshores immedia-tament despres de la mesura, el sistema quantic passa a trobar-se en l’estat |ψλ〉, onψλ es un vector propi amb valor propi λ.

No ens estendrem molt mes amb el tema de la mesura, ni tampoc amb el concepte precısdel que entenem per mesura. Cal fer notar, pero, que aquest postulat es delicat en moltssentits.

Recordar, sense anar mes lluny, la paradoxa del gat d’Schrodinger, que tradueix propietatsmicroscopiques i de natura quantica a propietats de sistemes macroscopics com es l’estatde vida o mort del corresponent animal. Tota la paradoxa sorgeix de l’observacio delsistema, que es equivalent a una mesura sobre aquest.

3.1.5 Postulat 5: evolucio del sistema quantic

Per cada instant de temps, ja sabem que l’estat del nostre sistema quantic Σ ve donat perun element |ψ〉 ≡ |ψt〉. Per tant, si considerem l’evolucio temporal d’aquest ve donat peruna corba en el conjunt PH.

El que ens diu el postulat 5 es precisament quina es la forma d’aquesta corba. Mesrigorosament,

Postulat 5 (Evolucio temporal d’un sistema quantic) En tot sistema fısic tancatΣ existeix un operador lineal hermıtic H amb les propietats seguents:

1. L’observable energia te associat H com operador: els valors propis de H son elspossibles valors fonamentals de l’energia de Σ.

2. L’evolucio temporal lliure ve donada per la equacio de Schrodinger depenentdel temps:

i~∂

∂t|ψt〉 = |Hψt〉 (3.4)

on es pren ~ = h2π , amb h la constant de Planck.

En aquest punt cal realitzar un parell de remarques: per una banda, demanem que elsistema sigui isolat, o equivalentment que no realitzi intercanvis de cap mena amb l’exte-rior del sistema. Altrament, factors externs podrien influenciar la evolucio de l’estat delsistema fısic, no adient-se a la expressio presentada.

3.2. UN EXEMPLE CLAU: L’ESPIN 67

L’important de l’equacio 3.4 es pot deduir un operador que directament dona lloc a laevolucio temporal: ja que H es un operador lineal i hermıtic, existeix un operador unitariUH(t) pel qual es compleix formalment la igualtat:

UH(t) =∞∑

j=0

1j!

(− it

~

)j

Hj = e−it~H (3.5)

Aquest operador unitari UH(t) es el que anomenem operador d’evolucio temporalassociat a H, i es compleix que:

[UH(t′)] |ψt〉 = |ψt+t′〉 (3.6)

En concret, fixat l’estat inicial del sistema, es compleix que

[UH(t)] |ψ0〉 = |ψt〉 (3.7)

Aixı, doncs, el coneixement de l’estat inicial del sistema Σ i l’operador d’evolucio temporalens permet saber, en tot moment, l’estat del sistema.

3.2 Un exemple clau: l’espın

Tota la discussio que vindra posteriorment relacionada amb la traduccio de llenguatgematematic a fenomenologia fısica es basara en el concepte de l’espın d’una partıcula. Esnecessari, per tant, introduir aquest concepte, aixı com l’espai de Hilbert que se li potassociar.

Es podria dir a grans trets que l’espın es la propietat mes simple que pot tenir una partıculai que alhora es intrınsecament quantica: es una propietat ampliament verificada experi-mentalment que tota partıcula te un moment angular i un moment magnetic intrınsecassociat.

En el que segueix centrarem tota la discussio en el cas de l’electro. En la resta de partıculessimilars (de la mateixa famılia) es poden dir coses ben similars.

Es parteix del concepte de moment magnetic, que s’obte com a suma de dos contribu-cions: la primera es deguda a una carrega electrica (l’electro, en aquest cas) que descriuuna determinada orbita; i una segona contribucio deguda a un moment magnetic intrınsec,amb expressio

µe = −geµB

~S (3.8)

on ge es un factor adimensional anomenat factor giromagnetic del electro y µB = e~2mec .

Per tant es proporcional a un vector S = (sx, sy, sz) que l’anomenarem moment angularintrınsec o espın de l’electro.


Si ara un feix lineal d’electrons es fa passar per un dispositiu en el que existeix un campmagnetic no uniforme orientat en una direccio (que per simplificar el prendrem que siguil’eix z), llavors l’energia d’interaccio de l’electro amb el camp sera:

E = −µe ·B =geµB

~szB(z) (3.9)

Experimentalment es comprova que el valor que pren sz nomes pot ser ±~2 (fent variar,per exemple, el camp magnetic al llarg de la direccio z).

A la vista d’aquest resultat empıric, l’experiment pot analitzar-se com segueix: al fer passarun feix d’electrons a traves del dispositiu el que fem es mesurar una de les componentsde l’espın. Aixı doncs, en funcio del resultat que s’obte l’electro es desvia d’una forma od’altra.

Consequentment, si sz es l’operador associat a l’observable sz, aquest nomes pot tenir dosvalors propis: ±~2 .

Tot aixo suggereix que l’espai de Hilbert associat a aquest sistema fısic es C2, on es potconsiderar que prenem com a base les funcions propies de sz, que denotarem per φ+ y φ−.En concret, es compleix que:

szφ+ = ~2φ+

szφ− = −~2φ−(3.10)

Aixı doncs, en aquesta base, l’operador sz pot escriure’s com:

sz =~2

(1 00 −1

)(3.11)

De forma empırica es comprova tambe que per aquesta base, els observables sx i sy com-pleixen que: 〈φ+|sxφ+〉 = 〈φ−|sxφ−〉 = 0

〈φ+|syφ+〉 = 〈φ−|syφ−〉 = 0(3.12)

De fet, es pot demostrar que l’expressio matricial d’aquests observables ha de ser per forca:

sx = ~2

(0 11 0

); sy = ~

2

(0 −ii 0

)

i per tant, es torna a observar la rellevancia de les matrius de Pauli en aquest camp de lafısica.

Ara el que ens cal es introduir el concepte de l’espın al nostre espai d’estats. Suposem queens trobavem inicialment en un espai de Hilbert H en la hipotesi de no considerar l’espın.

Tenint en compte l’espın, el postulat 2 de la mecanica quantica ens diu que ara el nostreespai es H⊗ C2, i per tant, qualsevol estat podra descriure’s segons:

|f1 ⊗ φ+ + f2 ⊗ φ−〉 (3.13)

Aquesta expressio es l’anomenada funcio espinorial o espinor del sistema amb espın.

3.3. TRADUCCIO 69

3.3 Traduccio

Finalment passem a la traduccio del model matematic, usant el concepte d’espın.

A tal efecte, anirem recorrent la teoria desenvolupada i relacionar-la amb les lleis fısiquesintroduıdes en aquest capıtol.

3.3.1 Construccio dels q-nombres

El nostre conjunt de q-nombres es compatible amb el primer postulat, ja que estem prenentcom a espai de Hilbert l’espai C2n

i el corresponent projectivitzat Qn com a conjuntd’estats.

Mes encara, la existencia de sistemes fısics amb espın (tal i com s’ha descrit en l’apartatanterior) ens garantitza que una tal construccio fısica es realitzable.

Cal fer esment tambe que a mes, el primer postulat ens diu que l’estat de l’hipoteticsistema quantic pot trobar-se en qualsevol dels elements de Qn. Aixo es important ja queen la realitzacio de computs no caldra que ens preocupem per comprovar que tot q-nombreque es pugui obtenir es, de fet, un possible estat del sistema quantic. Aquest fet es donade manera immediata.

En quant a la construccio del conjunt de q-nombres de n bits a partir de productes tenso-rials successius de l’espai de Hilbert base C2 es precisament la construccio que es descriuen el segon postulat, i igualment es pot realitzar com a productes tensorials successius defuncions espinorials.

3.3.2 Computs quantics

Tot comput quantic [U ] dona lloc a una evolucio del q-nombre que es considerada segonsla llei |z ′〉 = [U ] |z 〉, i per tant, tot comput quantic ve induıt per un determinat hamiltoniade l’energia d’un sistema quantic.

De fet, el que estem fent es concatenar computs quantics, amb les corresponents evolucionstemporals concatenades.

Es pot realitzar un sımil un sımil (que resulta prou aclaridor) amb les funcions booleanesi la teoria classica de computacio per tal d’explicar mes clarament el fenomen.

Suposem que tenim una porta funcio booleana conformada per la concatenacio de diversesportes classiques (portes XOR, per exemple). Es clar que des de un punt de vista classic,no es possible la realitzacio del comput corresponent instantaniament, ja que cadascunade les portes elementals exigeix d’un temps de computacio.


En concret, el temps de computacio dependra dels diversos retards en les computacionsparcials de les diverses portes XOR.

A mes a mes dels retards existents entre computacions parcials, cal fer esment que elsdiversos operadors d’evolucio donen el valor correcte per a valors grans de t, pero com estreballa amb nivells discrets (0 o be 1) a partir d’un temps t0 es pot prendre que el sistemaha arribat a un nivell permanent, i que per tant ha assolit el valor final.

Aquesta disquisicio s’aplica de manera equivalent al mon quantic. Per tant, l’evolucio deq-nombres sota l’accio de computs quantics es compatible amb el que s’ha estat fent finsara de la seguent forma: el model presentat no es preocupa de la evolucio temporal.

3.3.3 Model de mesura

A grans trets, la construccio realitzada en el model matematic es com segueix: partimd’un conjunt compatible de projectors i d’un q-nombre donat i el que fem es construir undeterminat espai de probabilitat, on l’espai mostral Ω (que es el conjunt on tenim tots elspossibles resultats d’una mesura) es precisament el conjunt de subespais sobre els que esprojecta.

En quant a la probabilitat de cadascun dels successos elementals, es clar que la expressiodonada en el postulat referent a la mesura es la mateixa que la que es presenta en 1.87

A mes a mes, el postulat ens diu que despres d’un proces de mesura apart d’obtenir unresultat de l’experiment aleatori el que s’obte es un nou q-nombre resultat del col·lapse.

En el nostre plantejament fins al moment no hem parlat d’observables, si no directamentde conjunt de projectors. Es clar que tot observable indueix un conjunt compatible deprojectors. Ara be, el que no es clar es si tot conjunt compatible de projectors doni lloc aun observable, en el sentit que els possibles resultats tinguin un cert significat fısic.

En el que segueix es realitzara un estudi acurat corresponent a l’espın. Mitjancant elpostulat 2 es deduiran observables a la resta de les capes tensorials, i finalment veuremque la famılia de projectors associats son precisament els projectors associats a la basenatural introduıts en el capıtol 1.

D’aquesta manera, haurem comprovat que la famılia de projectors que emprem provenend’un observable real, i que per tant, tenen una component fısica rellevant.

Cas base: la mesura en q-nombres de 1 bit

Havent introduıt el concepte d’espın, i tenint en compte que l’espai de Hilbert associat aun q-nombre de 1 bit es precisament C2, sembla natural una associacio directa dels dosconceptes d’alguna manera.

3.3. TRADUCCIO 71

En efecte, la associacio que cal fer es la evident: amb la notacio introduıda en 1.1.3, nomescal considerar e0 ≡ φ+ i e1 ≡ φ−.

Es clar llavors que es te la descomposicio de la identitat segons

Id = P〈e0〉 ⊕ P〈e1〉 (3.14)

que son precisament els projectors associats a la base natural. La construccio dels p-nombre corresponent per a cadascun dels q-nombres en Q1 es dedueix a partir del que jas’ha dit en 1.3.

Observacio 3.3.1 La construccio que aquı hem fet emprant l’espai d’estats associat al’espın d’una partıcula dona lloc a que l’espai mostral sigui sempre Ω = −~2 , ~2. Esclar que podem prendre com a espai mostral Ω′ = 0, 1, enlloc de Ω, adaptant d’aquestamanera encara mes fidelment aquest model fısic amb el model matematic que hem construıtpreviament.

Generalitzacio dels observables per a q-nombres de 1 bit a q-nombres de n bits

L’observable de l’espın en la direccio z pot ampliar-se a la resta de capes tensorials demanera natural. Del postulat 2 es dedueix inmediatament que si A1 es un observablepel sistema fısic quantic Σ1 i A2 ho es pel sistema fısic quantic Σ2, aleshores l’operadorhermıtic A1 ⊗A2 es un observable pel sistema fısic quantic Σ = Σ1 ⊗ Σ2.

La construccio natural ara consisteix en prendre l’espai que s’obte com a producte tensorialde l’espai base (tal i com s’ha fet en en el capıtol 1). Es clar, aleshores, que l’operador

Γk = Id⊗ Id⊗ · · · ⊗ σz⊗ k). . . ⊗Id (3.15)

determina un observable del sistema resultant.

Estudiem-ho amb mes detall: tenint en compte que (A⊗B)(u⊗v) = A(u)⊗B(v), en resultaque els valors propis de l’operador Γk son de la forma |φn−1〉 ⊗ |φn−1〉 ⊗ |0〉⊗ k). . . ⊗ |φ0〉(amb valor propi +1) o be de la forma |φn−1〉 ⊗ |φn−1〉 ⊗ |1〉⊗ k). . . ⊗ |φ0〉, amb valor propi−1, on en els dos casos els vectors φr son arbitraris per qualsevol valor de r.

Per simplicitat suposarem que k = n − 1, i que el nostre operador a partir d’ara esΓn−1 = σz ⊗ Id⊗ · · · ⊗ Id.

Considerem el proces de mesura sobre un q-nombre de n bits arbitrari |z 〉 =∑2n−1

j=0 aj |j〉.Escrivint aquest q-nombre amb notacio binaria,

|z 〉 =2n−1∑

j=0

aj |j〉 =∑

ir∈0,1ain−1in−2...i1i0 |in−1in−2 . . . ir〉 |ir−1 . . . i0〉 (3.16)


o be:

|z 〉 = |0〉∑

ir∈0,1a0in−2...i0 |in−2 . . . i0〉+ |1〉

∑

ir∈0,1a1in−2...i0 |in−2 . . . i0〉 (3.17)

que ho podem escriure com |z 〉 = |0〉 |z 0〉+ |1〉 |z 1〉, on tant |z 0〉 com |z 1〉 son q-nombresde n− 1 bits.

Denotant per π0 el subespai de vectors de la forma e0in−2...i0 i π1 de forma analoga, esevident la descomposicio Id = Pπ0 ⊕ Pπ1 .

Amb aquesta descomposicio, i emprant els postulats de la mecanica quantica, l’aplicaciode l’observable Γn−1 sobre |z 〉 podra donar lloc a dos q-nombres:

1. Amb una probabilitat ‖z 0‖2‖z 0‖2+‖z 1‖2 la projeccio es donara sobre el subespai π0, obte-

nint el nou q-nombre |0〉 |z 0〉.El resultat de la mesura seria el valor propi +1, que ens indica el subespai sobre elque ha projectat el q-nombre inicial.

2. Amb una probabilitat ‖z 1‖2‖z 0‖2+‖z 1‖2 la projeccio es donara sobre el subespai π1, obtenint-

se una reduccio al q-nombre |1〉 |z 1〉.El resultat de la mesura seria el valor propi −1, que ens indica el subespai sobre elque ha projectat el q-nombre inicial.

En qualsevol cas, despres del col·lapse quantic ocasionat per Γn−1 coneixem el valor delprimer bit del q-nombre resultant.

Exemple 3.3.1 En l’apartat 2.2.2 hem introduıt la manera d’implementar una permuta-cio arbitraria, i hem vist que necessitavem utilitzar un bit de control per a tal objectiu.

Observar, pero, que aquest bit pot ser omes, ja que una mesura sobre el primer bit sempredona lloc al q-nombre |0〉; equivalentment, per la permutacio σ ∈ S2n l’estat inicial i finalson respectivament:

|z 〉 =2n−1∑

j=0

|0〉 |j〉 ; ∣∣z ′⟩ =2n−1∑

j=0

aj |0〉 |σ(j)〉 = |0〉2n−1∑

j=0

aj |σ(j)〉 (3.18)

Aixı doncs, l’observable Γn−1 dona lloc a resultats “parcialment” deterministes (parcial-ment, en el sentit que el primer bit el mesura de manera determinista, pero la resta no).

Amb aquest raonament hem pogut inferir el valor del primer bit del q-nombre, pero el quea nosaltres ens interessa es realitzar mesures successives de la resta de bits que s’indueixendel col·lapse quantic.

3.4. DICCIONARI DE TRADUCCIO 73

Podem anar mes enlla de la seguent manera: si definim el q-nombre de n − r bits∣∣z in−1in−2...ir

⟩per

∣∣z in−1in−2...ir

⟩= |0〉 ∣∣z in−1in−2...ir0

⟩+ |1〉 ∣∣z in−1in−2...ir1

⟩(3.19)

i amb les condicions “inicial” i “final”:

|z 〉 = |0〉 |z 0〉+ |1〉 |z 1〉∣∣z in−1in−2...i1

⟩= ain−1in−2...0 |0〉+ ain−1in−2...1 |1〉 (3.20)

Aleshores la aplicacio reiterada dels corresponents observables Γn−1, Γn−2, . . . , Γ0 donalloc a un nombre (classic) de n bits. Com hem vist en el cas de Γn−1, en cadascuna de lesmesures obtenim o be |0〉 o be |1〉 amb una certa probabilitat donada per les amplituds deprobabilitat donades per z 0 i per z 1.

En definitiva, el que hem obtingut es que la probabilitat d’obtenir l’estat |in−1in−2 . . . i0〉despres de realitzar les n mesures corresponents als observables Γn−1, Γn−2, . . . ,Γ0 es:

p(in−1in−2 . . . i0) = p(in−1)p(in−2|in−1)p(in−3|in−1in−2) . . . p(i0|in−1in−2 . . . i1) (3.21)

i, segons el que hem vist, aquesta expressio es pot escriure com:

p(in−1in−2 . . . i0) = ‖z in−1‖2 ‖z in−1in−2‖2

‖z in−1‖2. . .

|ain−1in−2...i1i0 |2‖z in−1in−2...i0‖2

= |ain−1in−2...i1i0 |2 (3.22)

Aquesta disquisicio ens explica des de la visio de la probabilitat condicionada la construccioalternativa dels p-nombres realitzada en el capıtol 1. En qualsevol dels casos, s’obte elmateix espai de probabilitat. En conclusio aquests distints plantejament son de fet visionsdel mateix fenomen.

3.4 Diccionari de traduccio

S’inclou per a finalitzar aquest capıtol una taula de traduccio dels conceptes matematicsdel capıtol 1 en els corresponents termes fısics que s’han introduıt aquı.

Model matematic Model fısicq-nombre |z 〉 Estat del sistema |ψ〉

Esfera de Riemann Espai d’estats de l’espınProducte tensorial de q-nombres Acoblament de sistemes amb espın

Comput quantic Operador d’evolucio temporalConjunt compatible de projectors Descomposicio en vectors propis d’un observable

Model de mesura Mesura de l’espınModel generalitzat de mesura Mesura de l’espın d’un sistema amb acoblament

p-nombre Resultat d’una mesura (per inferencia Bayesiana)

Part II

Algorismes

75

Capıtol 4

Metodes algorısmics encomputacio quantica

En el primer capıtol s’han introduıt la definicio de maquina quantica com una ter-na (|z 〉 , [U ], Pπii∈I), i s’han estudiat cadascun dels elements d’aquesta terna en rigor.Sembla natural ara introduir tecniques generals per tal de aconseguir construir maquinesquantiques que realitzin accions interessants.

En aquest capıtol s’introduiran basicament dues tecniques amb diverses aplicacions: peruna banda les tecniques espectrals basades en la estimacio de fase, que permeten, entrealtres, la resolucio eficient de problemes de tipus espectral (cerca de perıodes) i per altrabanda l’amplificacio d’amplitud, que permet realitzar cerques desestructurades de maneraeficient.

En els dos casos s’introduiran algorismes mes eficients que els algorismes classics conegutsi en altres algorismes mes ineficients. En qualsevol dels casos, el que es preten mostraraquı es un ventall de metodes generals que permeten realitzar calculs un tant diferents decom es podrien implementar de manera classica.

La idea clau de l’algorısmica en computacio quantica es basa fortament en el que s’ano-menara paral·lelisme quantic, i que tambe introduirem en aquest capıtol motivant-hoamb un problema de facil solucio, pero que concentra en part la essencia de la computacioquantica: realitzar calculs de manera paral·lela, de tal forma que posteriorment puguemrealitzar alguna transformacio unitaria que doni lloc a que el resultat que nosaltres volemmesurar sigui altament probable de ser mesurat.

Aquesta ultima frase s’anira aclarint en el decurs d’aquest capıtol.

77

78 CAPITOL 4. METODES ALGORISMICS EN COMPUTACIO QUANTICA

4.1 Introduccio i motivacio: el problema de Deutsch

Comencarem introduint un problema que des de el punt de vista classic te una soluciotrivial, ja que es requereix d’un nombre constant d’operacions, pero que per altra bandamostra la gran potencia de calcul que permet la computacio quantica.

Considerem totes les funcions del conjunt A = 0, 1 en ell mateix. En total en tenim 4de diferents: dues aplicacions constants i altres dues bijectives. Donada una d’aquestesfuncions, el problema rau en decidir si es constant o be si es bijectiva.

De forma classica es pot decidir de forma trivial en dues iteracions avaluant la nostra funcioen 0 i en 1. El que veurem es que amb el model introduıt per a la computacio quanticaaquesta decisio la podem realitzar nomes amb una unica avaluacio de f , i a mes es aquestadecisicio es categorica (ja veurem que entenem per unica al introduir l’algorisme).

L’algorisme es el seguent: considerem els q-nombres de 1 bit |0〉 i |1〉, i sobre ells apliquemla transformacio de Hadamard [H], obtenint respectivament els nous q-nombres |0〉 + |1〉i |0〉 − |1〉.

Equivalentment, el que hem fet es prendre el q-nombre de 2 bits |01〉 i aplicar sobre ell laporta quantica [H ⊗H], obtenint com a resultat el nou estat quantic:

|z 1〉 = |00〉 − |01〉+ |10〉 − |11〉 (4.1)

Fins aquı el que hem fet es la corresponent preparacio de l’estat quantic inicial de la queparlavem ja al final del capıtol 1; per a ser coherents amb el que ja s’ha dit abans, la nostrapreparacio de l’estat quantic inicial requeriria una etapa a priori que ens transformes elq-nombre |00〉 en el corresponent q-nombre |01〉, i a partir d’aquı continuar com abans.Una tal computacio es trivial de construir i la obviem.

En el seguent pas apliquem la aplicacio f usant la porta quantica que es mostra en lafigura 4.1, on en el terme y ⊕ f(x) la suma s’enten que es pren en Z/2Z:

| ⟩1

| ⟩0 H

H

Hx

y

x

y f(x)

Figura 4.1: Diagrama circuital per l’algorisme de Deutsch

observar que no prenem directament l’operador f de la mateixa forma que es faria en elcas classic, ans el que calculem es y⊕f(x); d’aquesta manera tenim assegurat que existeixun operador unitari que implementa la computacio corresponent.

4.1. INTRODUCCIO I MOTIVACIO: EL PROBLEMA DE DEUTSCH 79

La aplicacio d’aquesta porta sobre el q-nombre obtingut anteriorment |z 1〉 dona com aresultat el nou q-nombre de 2 bits:

|z 2〉 = |0〉 |f(0)〉 − |0〉 |f(1)〉+ |1〉 |1⊕ f(0)〉 − |1〉 |1⊕ f(1)〉 (4.2)

La clau de l’algorisme rau en la seguent observacio: si ara f(0) = f(1), llavors el q-nombreque s’obte es

|z 2〉f(0)=f(1) = |00〉 − |01〉+ |10〉 − |11〉 = (|0〉+ |1〉)⊗ (|0〉 − |1〉) (4.3)

mentre que si f(0) 6= f(1) el que s’obte es

|z 2〉f(0)6=f(1) = |00〉 − |01〉 − |10〉+ |11〉 = (|0〉 − |1〉)⊗ (|0〉 − |1〉) (4.4)

Aplicant, doncs, la porta quantica [H ⊗ Id] (o equivalentment, una porta de Hadamardnomes sobre el primer bit del q-nombre), el que obtenim es el seguent q-nombre de 2 bits:

[H ⊗ Id] |z 2〉 = |0〉 (|0〉 − |1〉), f(0) = f(1)|1〉 (|0〉 − |1〉), f(0) 6= f(1)

(4.5)

Observar, doncs, que el que s’obte en el primer bit del q-nombre resultant es precisamentel valor de f(0)⊕ f(1).

Com, en qualsevol cas, el que obtenim es un q-nombre de la forma |0〉 |u〉 o be |1〉 |u〉 pera un u fixat i conegut. Els dos casos, a mes a mes, son disjunts. Finalment, ara com amodel de mesura basta prendre el projector P0 ⊗ Id associat a la projeccio en C2 sobre elsubespai π0 = 〈e0〉. En els dos casos, el p-nombre que s’indueix es un p-nombre classic, iper tant la maquina quantica resultant es una maquina categorica.

Hem aconseguit resoldre, doncs, el problema que se’ns plantejava, emprant com a estatinicial |z 〉 = |01〉, com a porta quantica les 4 portes mencionades, i com a model de mesural’associat al q-nombre |z 2〉 i al projector P0 ⊗ Id.

En definitiva, en una sola iteracio de l’algorisme aconseguim resoldre el problema de decisio,mentre que de forma classica el que necessitem es realitzar les dues verificacions abansesmentades.

Es clar que les uniques comparacions entre l’algorisme quantic i l’algorisme classic nomespoden ser de tipus qualitatiu, ja que no tenim regles generals que ens tradueixin costsde complexitat en el domini classic (nombre d’operacions) en costs en el domini quantic(nombre de portes quantiques elementals emprades), pero en aquest exemple el que veiemes que de forma quantica en una sola iteracio i amb una sola “consulta” de la computacioque realitza f (enlloc de dues “consultes” necessaries de forma classica) podem resoldre elproblema.

Pot quedar mes clar el que s’esta dient amb una generalitzacio d’aquest problema: siguiAn = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1 i f una aplicacio f : An → 0, 1, de la que sabem que esconstant o be que |f−1(0)| = |f−1(1)| (en aquest cas diem que f es balancejada).


El problema consisteix en decidir si f es constant o be balancejada.

De forma classica es evident que en el pitjor dels casos necessitarem realitzar 2n−1 + 1avaluacions de la funcio f . Ara be, en l’algorisme que proposem necessitarem nomes una“avaluacio quantica” de f , entenent per avaluacio quantica de f a una computacio de laporta quantica que realitza f .

Com ja hem comentat no podem comparar directament les complexitats dels dos casos,pero podem suposar que la funcio f es realitzada de forma classica per una serie de roperadors logics (per exemple, en termes booleans, portes XOR, o be portes NOT i OR).

Llavors el comput f de forma quantica tambe s’implementa amb un nombre Cr de portesquantiques elementals. Per tant d’aquesta manera es pot veure un sımil entre els dosesquemes que estem emprant.

El procediment que utilitzarem sera el mateix que hem fet fins ara, pero generalitzant dela seguent manera: partim d’un q-nombre inicial de n + 1 bits |v 1〉 =

⊗n |0〉 |1〉 = |0〉 n). . .|0〉 |1〉; construım l’estat |v 2〉 = [

⊗n+1 H] |v 1〉, que pot escriure’s com:

|v 2〉 =2n−1∑

j=0

|j〉 (|0〉 − |1〉) (4.6)

Aplicant novament la mateixa porta quantica que hem pres en el cas en que es tenia quen = 1, (pero ara amb la f corresponent!) obtenim el nou q-nombre:

|v 3〉 =2n−1∑

j=0

|j〉 (|f(j)〉 − |1⊕ f(j)〉) (4.7)

que pot escriure’s de manera mes compacta com

|v 3〉 =2n−1∑

j=0

(−1)f(j) |j〉 (|0〉 − |1〉) =∑

ji∈0,1(−1)f(jn−1...j0) |jn−1 . . . j0〉 (|0〉 − |1〉) (4.8)

Finalment, si ara apliquem la porta quantica [⊗n H ⊗ Id] sobre |v 3〉, el que obtindrem es

|v 4〉 =∑

zi∈0,1

∑

ji∈0,1(−1)jn−1zn−1+jn−2zn−2+···+j0z0+f(jn−1...j0) |zn−1 . . . z0〉 (|0〉−|1〉) (4.9)

que pot escriure’s de manera mes compacta com∑

z

∑j(−1)j∗z+f(j) |z〉 (|0〉 − |1〉), on el

producte ∗ entre nombres naturals es el producte escalar dels vectors resultants d’escriure’lsen base 2, i prendre’ls com a vectors en (Z/2Z)n.

Ara ja es el moment de distingir entre el cas en que f es constant i el cas en que esbalancejada, i per a tal cosa l’unic que cal fer es fixar-se en el terme |0〉 (|0〉− |1〉) dins delq-nombre |v 4〉.


Efectivament, si f es una funcio constant, el valor de f(x) es constant. Aleshores, elcoeficient del terme |0〉 (|0〉 − |1〉) dins del q-nombre |0〉 n). . . |0〉 (|0〉 − |1〉) sera:

2n−1∑

j=0

(−1)j∗0+f(j) = (−1)f(0)2n−1∑

j=0

1 = (−1)f(0)2n (4.10)

mentre que qualsevol altre terme |0〉 n). . . |0〉 (|0〉 − |1〉), el seu coeficient sera identicamentigual a 0, ja que la suma en j per aquells z distints de 0, es identicament nul·la.

Es a dir, pel cas en que f es una funcio constant, el q-nombre |v 4〉 que s’obte es exactament|0〉 (|0〉 − |1〉).

Ara be, si ara la funcio f es balancejada, novament calculem el coeficient del terme |0〉 n). . .|0〉 (|0〉 − |1〉) dins el q-nombre |v 4〉: ara la meitat dels valors de Xn fan f(x) = 1 i l’altrameitat fan f(x) = 0; per tant, el coeficient d’aquest terme en el q-nombre total sera, enaquest cas:

2n−1∑

j=0

(−1)j∗0+f(j) =

∑

j:f(j)=1

(−1) +∑

j:f(j)=0

1

= 0 (4.11)

es a dir, |v 4〉 pot escriure’s com:

|v 4〉 =

|0〉 n). . . |0〉 (|0〉 − |1〉) = |0〉 |u〉 , f constant∑

z, z 6=0

∑j(−1)j∗z+f(j) |z〉 (|0〉 − |1〉) =

∑z 6=0 az |z〉 |u〉 , f balancejada

(4.12)

on en particular, alguns dels az son distints de 0; per al nostre proposit no necessitemsaber-ne mes.

De la mateixa manera que abans, ara el que cal prendre com a projector per a definirel model de mesura es precisament el projector sobre el subespai π = 〈e0...00, e0...01〉,corresponent a projectar sobre els primers n − 1 bits. Els p-nombres que se’n dedueixenson els seguents:

1. Funcio constant: el p-nombre induıt es un nombre classic amb espai mostral Ω =0, 1, . . . , 2n − 1, i en el que la probabilitat es concentra en 0: p(0) = 1.

2. Funcio balancejada: el p-nombre induıt no es un nombre classic. Ara be, escompleix que p(0) = 0.

D’aquesta manera tenim dos espais de probabilitat diferents, i que podem distingir sim-plement amb una realitzacio: si el resultat d’un experiment sobre l’espai de probabilitatdona com a resultat 0, es que ens trobem en el primer dels casos, mentre que si pel contrariobtenim un altre resultat qualsevol, ens trobarem en el cas d’una funcio balancejada.


En definitiva, un valor igual a 0 en una mesura vol dir que estem emprant una funcioconstant, mentre que qualsevol altre valor dona lloc a saber que la funcio de la que espartia era una funcio balancejada.

El algorisme es resumeix esquematicament en la taula adjunta.

Algorisme de Deutsch

Input: Una porta quantica per q-nombres de n + 1 bits, que implementa una aplicacioclassica f : An = 0, 1, . . . , 2n − 1 → 0, 1 segons |x〉 |y〉 7→ |x〉 |y ⊕ f(x)〉 , x ∈ Xn,de tal forma que f es constant o be balancejada.

Output: 0 si i nomes si la aplicacio f es constant.

Algorisme

1. Estat quantic inicial: |z 1〉 =⊗n |0〉 |1〉

2. Preparacio de l’estat quantic: |z 2〉 = [⊗n+1 H] |z 1〉 =

∑2n−1j=0 |j〉 (|0〉 − |1〉)

3. Aplicacio sobre |z 2〉 de f : |z 3〉 =∑2n−1

j=0 (−1)f(j) |j〉 (|0〉 − |1〉)4. Aplicacio de [

⊗n H ⊗ Id]: |z 4〉 =∑

z

∑j(−1)j∗z+f(j) |z〉 (|0〉 − |1〉)

5. Mesura del p-nombre associat a |z 4〉 i al projector Pπ, π = 〈e0...00, e0...01〉: 0 sila funcio es constant o be un altre valor si la funcio es balancejada.

Complexitat: n + 2 portes quantiques de Hadamard i una porta que implementa f . Lacomplexitat del algorisme depen de la complexitat de f . Es una maquina quanticacategorica perque l’algorisme es determinista.

Observacio 4.1.1 Aquest problema pot generalitzar-se encara una mica mes: si enllocde suposar que la funcio f es constant o be balancejada, el que podem suposar es quela funcio f es o be constant o be |f(1)−1| es parell. En aquesta situacio, el raonamentque hem fet seguiria servint i obtindrıem resultats analegs despres de realitzar les mesurescorresponents.

4.1.1 El paral·lelisme quantic

L’exemple anterior deixa veure de quina manera poden aprofitar-se les caracterıstiquesdel model de computacio introduıt: decidir si f era constant o balancejada es basavabasicament en avaluar de manera astuta la funcio f .

Mes en general, suposem que tenim una funcio f de la que necessitem dir alguna cosa:si es periodica, si es bijectiva, si val un determinat valor per a una certa entrada, . . . .Tots aquests problemes requereixen de manera classica una inspeccio sobre el conjunt desortida dels possibles valors corresponents d’entrada.


Ara be, la computacio quantica el que permet es la realitzacio d’aquestes comprovacions demanera totalment paral·lela, de la manera com segueix: considerem que sabem implemen-tar mitjancant una porta quantica una funcio f definida de N en N, que a efectes del quea nosaltres ens interessa podem suposar restringida a un conjunt An = 0, 1, . . . , 2n − 1com a conjunt de sortida i Am = 0, 1, . . . , 2m − 1 com a conjunt d’arribada. En generalf no te perque tenir cap propietat especial (es a dir, pot tractar-se d’una funcio booleanatriada a l’atzar).

Considerem aleshores l’operador [Uf ] que s’aplica sobre un q-nombre de la forma |x〉 |0〉 is’obte el q-nombre |x〉 |0⊕ f(x)〉 = |x〉 |f(x)〉, o equivalentment, [Uf ] |x〉 |0〉 = |x〉 |f(x)〉.De moment no estem interessats per la complexitat de [Uf ], ni tan sols de la relaciod’aquesta amb la de f .

Podem aprofitar la linealitat de [Uf ] de la seguent manera: suposem que partim de l’estat

inicial∣∣∣0 n). . . 0

⟩= |0〉 |0〉 i preparem l’estat quantic [

⊗n H ⊗ Id] |0〉 |0〉, que es igual a:

[n⊗

H ⊗ Id

]|0〉 |0〉 =

2n−1∑

j=0

|j〉 |0〉 (4.13)

i per linealitat, aplicant sobre aquest estat l’operador [Uf ] el que obtenim es l’estat:

|z 〉 = |j〉 |f(j)〉 (4.14)

Realitzem ara un sımil entre el cas classic i el cas quantic (novament es clar que lescomparacions son nomes de tipus qualitatiu).

Suposem que de forma classica la implementacio de f requereix d’un nombre de porteslogiques r, i que per tant la seva complexitat classica es O(r) (tenint en compte que araper complexitat classica entenem el nombre de portes classiques XOR necessaries perimplementar f).

Es clar, aleshores, que el calcul del conjunt f(j) : j ∈ 0, 1, . . . , 2n − 1 requereix en elpitjor del casos d’un nombre d’operacions igual a O(2nr).

En quant al cas quantic, la complexitat ara continua sent O(r) (ja que tota porta XORclassica requereix un nombre constant de portes quantiques per ser realitzada), pero aranomes requerim d’una avaluacio de [Uf ] per tal d’aconseguir tot l’espectre de valors de f .Per tant, requerim d’un nombre O(r) d’avaluacions de les portes quantiques que tenim, adiferencia del terme O(2nr) que tenıem en el cas classic.

Sembla, doncs, que podem reduir de manera exponencial la complexitat d’alguns problemesemprant aquesta tecnica, que s’anomena paral·lelisme quantic.

Ara be, el paral·lelisme quantic tambe introdueix algunes dificultats que cal esmentar:malgrat que el calcul d’una determinada funcio f per a un espectre gran de valors potrealitzar-se usant un paral·lelisme real, una vegada realitzat el comput existeix el problemade l’acces a les dades.


Efectivament, la tria d’un sistema compatible de projectors adequats moltes vegades vecondicionada al coneixement del resultat que estem buscant, i per tant, a priori, una elecciopot no resultar la bona. De fet, es molt possible que no puguem definir un conjunt deprojectors que faci la maquina quantica categorica, ja que es possible que fixant el computi una famılia compatible de projectors, al variar el q-nombre inicial, el que s’obtinguinfinalment siguin p-nombres no classics.

Es doncs un problema saber utilitzar amb certa gracia aquest paral·lelisme quantic i poderextreure despres les dades per les quals estiguem interessats. Com es podra comprovar enel que seguira, aquest aspecte donara lloc a molts problemes, aixı com a algunes solucionsforca enginyoses.

4.2 Tecniques espectrals

Es ben sabut que la transformacio en frequencia es un metode que pot aplicar-se en exit ensituacions diverses: resulta ser una eina fonamental en la teoria del senyal (de fet, treballaren el domini transformat es sovint molt mes satisfactori que treballar en el domini temporaldel senyal), te importancia cabdal en distintes branques de l’analisi funcional i de l’analisiharmonica i es basic en diferents dominis de la fısica matematica.

La idea general d’aquestes tecniques es que en tots aquells problemes en que apareix unfenomen periodic, l’us d’una transformacio de la variable (una transformacio en frequencia)permet la deteccio i analisi d’aquestes regularitats periodiques.

En les aplicacions (com per exemple, en les diverses aplicacions en la teoria discreta delsenyal), el que s’utilitza es la DFT. Una implementacio recursiva eficient d’aquest algorismees pot realitzar quan el nombre de punts es una potencia de 2, donant lloc a la ben conegudaFFT. En tot cas, l’algorisme mes eficient que realitza aquesta transformada (el conegutcom l’algorisme de la papallona) te cost O(m2m)1.

El que es preten introduir aquı es un algorisme “similar” al de la DFT , en el sentit queens trobem en situacions completament distintes, pero que en ambdos casos la essencia esla mateixa.

La simplicitat en la seva implementacio (es a dir, una complexitat reduıda, en comparacioamb el cas classic) donara lloc a una serie de solucions molt eficients a una colla deproblemes que de forma classica resultarien tenir un cost exponencial (en el nostre cas elque trobarem es que la seva complexitat es, de fet, polinomial).

1Per al lector que vulgui aprofundir en aquesta teoria, consultar l’apendix “Analisi funcional i con-ceptes relacionats”

4.2. TECNIQUES ESPECTRALS 85

4.2.1 La transformada quantica de Fourier

Considerem tal i com hem fet fins ara l’espai vectorial C2n, i una arrel primitiva 2n-essima

de la unitat ξ, que compleix d’aquesta manera la igualtat ξ2n= 1, i per la qual no existeix

cap exponent r inferior a 2n que faci ξr = 1.

Podem considerar llavors la matriu UFn ∈M2n(C) definida segons:

UF =1

2n2

1 1 1 · · · 11 ξ ξ2 · · · ξ2n

1 ξ2 ξ4 · · · ξ2n+1

......

.... . .

...1 ξ2n−1 ξ2n−2 · · · ξ

(4.15)

que indueix un endomorfisme en C2nfixant en aquest la base canonica, que escriurem

simplement per Fn, o simplement per F si el context permet ometre l’ındex.

Per tal que aquest operador tingui sentit en l’ambit en el que estem treballant, el quenecessitem primer es comprovar dues coses:

1. Que es tracti d’un operador unitari.

2. Que sigui eficientment implementable mitjancant portes quantiques elementals, oequivalentment, que tingui una baixa complexitat.

A mes a mes de trobar-li alguna aplicacio suficientment enginyosa.

De fet, veient que el segon punt es verifica ens assegurem ja que l’operador es unitari, iaixo precisament es el que passarem a demostrar en el que seguira; el que veurem es quel’operador unitari F es pot escriure com una concatenacio d’operadors de U(2), d’on esdeduira immediatament un algorisme quantic que realitzi el corresponent comput quantic[F].

Anem a concretar:

Teorema 4.2.1 L’operador F es un operador unitari.

Demostracio:Considerem la base canonica de C2n

, ei0≤i≤2n−1. La aplicacio del operador F sobre er

dona lloc al element

F(er) =1√2n

2n−1∑

j=0

ξrjej =1√2n

2n−1∑

j=0

e2πi rj2n ej (4.16)


segons hem vist en el capıtol anterior, la base canonica l’hem construıt prenent exactamentla base canonica induıda pel producte tensorial

⊗Cn C2 i per l’isomorfisme corresponent⊗C

n C2 ' C2n. D’aquesta manera, per cada 0 ≤ r ≤ 2n − 1, considerem la seva represen-

tacio binaria rn−1rn−2 . . . r1r0. En concret, er = ern−1 ⊗ ern−2 ⊗ · · · ⊗ er0 .

Amb aquesta representacio, es te que r =∑n−1

j=0 rj2j , i, per tant podem escriure el seguent:

r

2n=

rn−1

2+

rn−2

22+ · · ·+ r0

2n(4.17)

Finalment, sigui sk, k = 1, . . . , n la suma parcial rk−1

2 + · · ·+ r0

2k . Evidentment, sn = r.

En aquesta situacio, es un lleu exercici de calcul comprovar que

F(er) =1√2n

(e0 + e2πis1e1)⊗ (e0 + e2πis2e1)⊗ n). . . ⊗(e0 + e2πisne1) (4.18)

Ara el que farem sera particionar cadascun dels termes en funcio de generadors elementalsi ja haurem acabat.

Sigui Uk = ei π

2k Rz( π2k−1 ) l’operador amb expressio matricial

Uk =

(1 0

0 ei 2π

2k

)(4.19)

i el corresponent operador unitari controlat per un bit CUk, amb la notacio que s’haintroduıt en 1.2.4.

Comencem considerant el comput quantic per a q-nombres de 2 bits CnUk.

Amb el que tenim podem escriure es el seguent:

CnUk(em) =

e0, n = 0,m = 0e2πi n

2k e1, n = 0,m = 11 · e0 = e0, n = 1,m = 0

e2πi n

2k e1 = e2πi 1

2k e1, n = 1,m = 1

(4.20)

Amb aquesta afirmacio, basta desenvolupar una mica el terme de la esquerra per convencerque es verifica el seguent:

(e0 + e2πiske1) = (Cr0Uk) . . .(Crk−4

U3

) (Crk−2

U2

)H(erk−1

) (4.21)

En qualsevol dels casos, aquesta descomposicio es certa per a qualsevol sk, i es pot construir


el producte tensorial:

1√2n

(e0 + e2πisn−1e1)⊗ (e0 + e2πisn−2e1)⊗ n). . . ⊗(e0 + e2πis0e1) (4.22)

El producte tensorial que obtenim es l’invers en ordre d’escriptura del que ens agrada-ria, ja que les portes necessiten ser controlades pels bits inicials i no pels possibles bitstransformats per alguna de les portes.

Finalment basta aplicar una serie d’operadors swaps de la forma Sw(i,n−1−i) sobre el vectorque s’obte per tal d’obtenir el producte tensorial en l’ordre correcte.

¤

Realment, el teorema acabaria dient que tot el que s’ha dit continuaria sent cert si a totarreu es pren la projectivitacio corresponent.

En resum, ja podem definir amb precisio la Transformada quantica de Fourier :

Definicio 4.2.1 Donat un q-nombre de n bits |v 〉 =∑2n−1

i=0 ai |i〉, la transformadaquantica de Fourier de |v 〉 (o mes abreujadament, la QFT de |v 〉) es z |v 〉 ≡ |Fv 〉.

En general aquı ometrem el nombre de bits en el operador z, que el suposarem coneguten tot el context.

Se’n dedueix immediatament de la discussio que hem fet en el teorema 4.2.1 el seguentcorol·lari d’extrema rellevancia:

Corol·lari 4.2.1 La complexitat de z es Complx(z) = O(n2).

Demostracio:La descomposicio oferida en el teorema 4.2.1 de l’operador F indueix una descomposiciode z = [F]: la descomposicio de F utilitza n(n+1)

2 portes de canvis de fase controlades(cadascuna amb una complexitat constant), n portes de Hadamard i bn

2 c flips. ¤

En concret, com l’operador F es lineal, en resulta que tambe ho es z, i per tant, podemcalcular-ho usant la expressio d’un q-nombre qualsevol en funcio de la referencia projectivaassociada a la base natural:

z |k〉 =2n−1∑

j=0

ξjk |j〉 (4.23)


H R2 R3 R4 R5

H R2 R3 R4

H R2 R3

H R2

H

| ⟩i3

| ⟩i4

| ⟩i2

| ⟩i1

| ⟩i0

Figura 4.2: Diagrama circuital per la transformada quantica de Fourier per a q-nombresde 5 bits

En la figura 4.2 es mostra el diagrama circuital per la QFT en el cas de q-nombres de 5bits, adjuntant la descomposicio en portes de canvis de fase i flips, tal i com hem indicatpreviament.

Observar, doncs, que aquesta transformacio pot implementar d’una forma exponencial-ment mes rapida l’algorisme de la FFT , que te cost O(n2n), ja que ara estem emprant elparal·lelisme quantic inherent en una computacio quantica.

Observacio 4.2.1 L’operador F es un operador unitari, i per tant el seu operador inversexisteix i s’escriu com F−1 = F†. Com aquest es igualment unitari, defineix una certacomputacio quantica, que tambe te complexitat O(n2) perque s’obte simplement de girar elcircuit que s’ha construıt.

A aquest comput el denotarem indistintament per z−1 o be z†. L’us d’aquest operadorinvers sera cabdal en el que seguira.

4.2.2 El problema de l’estimacio de fase

En la majoria d’algorismes quantics que ja podem catalogar com a “classics” (en el sentithistoric del terme) el que es preten es realitzar una “estimacio de fase”, i aixo es el queintroduirem aquı.

Considerem el seguent problema, que es ben general: partim de la hipotesi que tenimdonat un “oracle”, o equivalentment un operador unitari del que desconeixem les sevescaracterıstiques, pero del que coneixem un vector propi u.

Llavors es clar que es te la igualtat:

Uu = e2πiϕu (4.24)

ja que tot valor propi d’un operador unitari te modul 1.


El nostre objectiu consisteix en determinar el valor de ϕ, si mes no amb una precisiotan alta com nosaltres vulguem. En la situacio que ens trobem, “les regles del joc” enspermeten accedir nomes al comput quantic [U ] associat a U i al q-nombre |u〉 associat au.

Com a objectiu ens fixem el trobar el valor de la fita o, a no ser possible, una bonaestimacio d’aquesta.

L’algorisme que es proposa consta de 2 passos:

1. El primer modul es mostra a la figura 4.3: emprem un q-nombre de t bits que actuaracom a registre inicialitzat en l’estat |0〉 |0〉 . . . |0〉 i un altre q-nombre inicialitzat enl’estat |u〉. Per tant, el nostre estat inicial es |0〉 |0〉 . . . |0〉 |u〉.

| ⟩0

| ⟩u

| ⟩0

| ⟩0

| ⟩0

U

H

2

U4

Ut-1

H

H

H

2

U

Figura 4.3: Esquema circuital de l’estimacio de fase abans de realitzar la transformadaquantica inversa de Fourier

Les diverses transformacions de Hadamard transformen aquest estat inicial en el nouestat

|z 1〉 = (|0〉+ |1〉)(|0〉+ |1〉) t). . . (|0〉+ |1〉) |u〉 (4.25)

La primera porta controlada transforma aquest q-nombre en el nou q-nombre:

|z 2〉 = (|0〉+ |1〉)(|0〉+ |1〉) t). . . (|0〉+ e2πiϕ |1〉) |u〉 (4.26)

i aixı de forma successiva. El que al final s’acaba obtenint es el q-nombre

|z 〉 = (|0〉+ e2πi2t−1ϕ |1〉)(|0〉+ e2πi2t−2ϕ |1〉) t). . . (|0〉+ e2πi21ϕ |1〉)(|0〉+ e2πi20ϕ |1〉) |u〉(4.27)


2. Aplicacio de z† ⊗ [Id]: l’estat 4.27 pot escriure’s de manera mes compacta com

2t−1∑

j=0

e2πiϕj |j〉 |u〉 (4.28)

expressio que recorda molt a la expressio de la QFT , amb la diferencia que ara elterme ϕ es real i arbitrari (arbitrari en l’interval (0, 1)).

Recordar que en cas de la QFT el valor que s’obtenia sempre per a ϕ tenia undesenvolupament finit en base 2 , pero ara, com el nostre operador unitari U esarbitrari, no podem assegura que el valor de ϕ admeti un desenvolupament en base2 d’aquesta mena.

Es a dir, pot succeir que prengui un desenvolupament en base 2 infinit.

En aquesta situacio poden donar-se dues situacions: pot ser que ϕ es pugui expressar ambt bits o be el contrari. En el primer dels casos, 2tϕ es un natural, i la expressio 4.29 potescriure’s com

2t−1∑

j=0

e2πi ϕ′2t j |j〉 |u〉 (4.29)

comparant-ho amb la equacio generica 4.16 de la transformada per elements de la base,en concloem que el que hem obtingut no es mes que z ⊗ [Id] |ϕ′〉 |u〉 (on Id es la portaquantica identitat amb tants bits com sigui necessari).

Per tant, aplicant sobre el q-nombre 4.29 la porta quantica z† ⊗ [Id] obtenim finalmentl’estat |ϕ′〉 |u〉.

Si en el cas contrari, 2tϕ no es enter, llavors ϕ no pot escriure’s amb t bits, i per tant laaplicacio de z† ⊗ [Id] no dona en cap cas el valor exacte de ϕ tal i com passava en el casanterior, i obtindrem en general una superposicio de la forma:

z† ⊗ [Id]2t−1∑

j=0

e2πi ϕ′2t j |j〉 |u〉 =

t∑

j=0

aj |j〉 |u〉 (4.30)

Ja podem passar ara a la definicio del conjunt de projectors compatibles adients, i a lacorresponent definicio del p-nombre sobre el que es realitzara l’experiment de mesura.

Ara be, seria interessant que si ϕ es el racional que s’escriu amb t bits mes proper a ϕ,aleshores el q-nombre

∑tj=0 aj |j〉 junt amb el conjunt de projectors associats a la base

natural indueix un espai de probabilitat on les probabilitats es concentren al voltant delsucces fonamental associat a ϕ.


Efectivament, uns calculs (que poden trobar-se en [NiCh00]) demostren amb tot detall elseguent fet:

Teorema 4.2.2 (Nombre de bits en l’estimacio de fase) Donat un valor ε > 0 i unvalor 0 < ϕ = 1

2t ϕ′ < 1, el nombre de bits t necessaris per tal que, amb una probabilitat

d’exit superior a 1 − ε, en una mesura del q-nombre resultant despres de l’aplicacio delcomput z† ⊗ [Id] s’obtingui un valor ϕ de t bits que compleixi |ϕ− ϕ| < 2−n es

t = n +⌈log

(2 +

12ε

)⌉(4.31)

Es a dir, en general, si la fase que volem estimar no pot expressar-se en t bits, la transfor-macio z†⊗ [Id] no ens pot donar un estat |j〉 |u〉, amb j natural, si no que el que obtindremes, tal com hem dit, un q-nombre de la forma

∑2t−1j=0 aj |j〉 |u〉.

Ara be, la porta quantica z† ⊗ [Id] envia q-nombres a q-nombres propers (en particularprove de projectivitzar un operador continu i diferenciable), i per tant si prenem un valornatural proper a ϕ, els q-nombres que s’obtenen segons la porta quantica z† ⊗ [Id] seranpropers: el que ens diu aleshores el teorema es que si volem que el valor mes proper aϕ estigui a una distancia inferior a 2−n i volem mesurar-lo en

∑2t−1j=0 aj |j〉 |u〉 amb exit

superior a 1− ε, basta que agafem un valor de t donat pel teorema.

En qualsevol dels casos, el sistema de projectors que es prendran pel model de mesura seral’associat a la base natural: aquesta eleccio es bastant clara perque volem diferenciar entrecadascun dels possibles termes en la superposicio del q-nombre que en resulta del comput.

Un exemple d’estimacio de fase

Passem en el que segueix a fer un exemple explıcit del proces d’estimacio de fase per unafase ben concreta, i observar realment els resultats que s’obtenen en aquesta situacio.

Prendrem en el nostre cas, seguint amb la notacio introduıda, una fase de valor ϕ = 0.74.Com es costum agafarem un valor de ε = 0.01, amb la qual cosa ens assegurem que enmesures posteriors (si triem el nombre de bits segons el teorema ) la probabilitat d’obteniruna “bona” aproximacio de ϕ sigui superior a 0.99.

En el que ara seguira es prendran distints valors de t, amb els corresponents valors de nque s’en dedueixen, i analitzarem els resultats que s’obtenen.

En particular, analitzarem mitjancant el software dissenyat el que succeeix pels valors det = 7, t = 10 i t = 13.


1. Valor de t = 7. Es correspon a un valor de n igual a 3, i per tant, la tolerancia queens assegura el teorema es de 0.125. La millor aproximacio del valor 0.74 emprant 7bits es el nombre 0.734375.

Aleshores, la aplicacio de la transformacio inversa dona lloc a la seguent parella de p-nombres; el primer d’ells es correspon a la transformacio del p-nombre corresponent alparametre 0.74, mentre que el segon grafic es correspon al corresponent al p-nombreque en resulta de prendre l’aproximacio 0.734375. Els grafics mostren evidentmentl’amplitud de probabilitat per cadascun dels successos elementals.

Figura 4.4: Comparacio dels p-nombres que s’obtenen al prendre t = 7.

Comprovem que, efectivament, els valors que s’obtenen son compatibles amb el re-sultat que ens ha donat al teorema.

Per a tal cosa, comprovem els resultats per als diversos q-nombres amb amplitudelevada:

Num. Den. Quocient Diferencia ( 12n ) Compleix requeriments?

91 27 0.7578125 0.0234375 Sı92 27 0.71875 0.015625 Sı93 27 0.7265625 0.0078125 Sı94 27 0.734375 0.0 Sı95 27 0.7421875 0.0078125 Sı96 27 0.75 0.015625 Sı97 27 0.7578125 0.0234375 Sı

Una mesura de qualsevol d’aquests valors dona un resultat satisfactori, en compati-bilitat amb el teorema 4.2.2.


En la resta de valors de t, no realitzarem aquest ultim calcul, per ser equivalent alque s’ha fet aquı.

2. Valor de t = 10. Es correspon a un valor de n igual a 6, i per tant, la toleranciaque ens assegura el teorema es de 0.015625. La millor aproximacio del valor 0.74emprant 10 bits es el nombre 0.73828125.

De la mateixa manera que abans, realitzant la transformacio inversa corresponentals dos parametres el que obtenim es la seguent figura:


Observar ara que de forma qualitativa, el p-nombre resultat es troba molt mes con-centrat al voltant de la posicio central, i els valors secundaris son un tant inferiorsque els corresponents en el proces per un nombre de bits igual a t = 7.

3. Valor de t = 13. Es correspon a un valor de n igual a 9, i per tant, la toleranciaque ens assegura el teorema es de 0.001953125. La millor aproximacio del valor 0.74emprant 13 bits es el nombre 0.739990234375. La figura que s’obte es la seguent:

i en aquesta tercera, encara s’observa amb mes claredat que els valors secundaris estroben molt mes atenuats. De fet, la distancia entre els dos q-nombres es disminueixa mesura que apropem els valors (en aquest ultim cas, la distancia es de 0.288354).Aixo es clar perque la transformacio inversa de Fourier es una transformacio unitaria,i en concret contınua.



L’algorisme d’estimacio de fase pot resumir-se en el que segueix:

Algorisme d’estimacio de fase

Input: Un operador unitari U , un vector propi u de U , amb valor propi e2πiϕ; un valorε > 0 i un natural n.

Output: Una aproximacio ϕ de t bits del valor ϕ de tal forma que |ϕ− ϕ| < 12n .

Algorisme

1. Estat quantic inicial: |z 1〉 = |0〉 |u〉2. Preparacio de l’estat quantic: |z 2〉 =

[⊗t H ⊗ Id] |z 1〉 =

∑2t−1j=0 |j〉 |u〉

3. Aplicacio successiva de [CkUj ]: |z 3〉 =

∑2t−1j=0 e2πijϕ |j〉 |u〉

4. Aplicacio de z† ⊗ [Id]: |z 4〉5. Mesura sobre el p-nombre associat |z 4〉 i el conjunt de projectors associat a la

base natural: ϕ

Observacions: El primer q-nombre utilitza t = n+⌈log

(2 + 1

2ε

)⌉per tal d’assegurar que

amb probabilitat 1− ε obtinguem una mesura ϕ que compleixi que |ϕ− ϕ| < 12n .

Complexitat: El pas crıtic es el 4 corresponent a la aplicacio d’una transformacio quan-tica de Fourier. Aquest es el que dona la complexitat global de l’algorisme.


4.2.3 Aplicacio 1: calcul de l’ordre d’un element

Considerem ara el problema aritmetic seguent: donada una parella de nombres a i nrelativament primers, volem calcular l’ordre de a en (Z/nZ)∗; equivalentment, volem cercarel menor r pel qual ar ≡ 1 (modn). En el que segueix denotarem aquest ordre per ordn(a),o simplement per ord(a) si del context se’n deriva el modul amb el que estem treballant.

El que farem aquı sera resoldre aquest problema utilitzant les tecniques d’estimacio defase, i veurem que la solucio que s’obte resulta ser mes eficient que els algorismes classics.

Per a tal cosa, considerem fixats i coneguts els valors tant de a com de n (els inputsdel nostre problema), i considerem el comput quantic [Ua,n] definit sobre la referenciaprojectiva natural de q-nombres de dlog2(n)e bits segons:

[Ua,n] |j〉 = |ja (modn)〉 (4.32)

Es clar que aquest comput quantic prove d’un determinat operador unitari, ja que el que esrealitza en aquest comput es una permutacio dels elements de la base natural. Anomenena un dels representants d’aquest comput Ua,n.

Per a comencar amb l’analisi, el que fem es construir primer un vector propi d’aquestoperador; definint

z s =ord(a)−1∑

k=0

e−2πi sk

ord(a) eak (mod n) (4.33)

on el valor de s es fix pero arbitrari en 0, 1, . . . , ord(a)− 1.

L’aplicacio del comput sobre aquest Ua,n sobre aquest, dona lloc a:

Ua,nz s =ord(a)−1∑

k=0

e−2πi sk

ord(a) eak+1 (mod n) = e2πi s

ord(a) z s (4.34)

i, doncs, z s es efectivament un vector propi de Ua,n de valor propi e2πi s

ord(a) .

En definitiva, si podem aplicar d’alguna manera astuta el proces d’estimacio de fase, elque podrem fer sera calcular el valor de s

ord(a) , i d’aquı calcular el valor de l’ordre que anosaltres ens interessa.

El que ara farem sera concretar cadascun dels aspectes parcials necessaris per a la imple-mentacio de l’algorisme.


Implementacio eficient del comput [Ua,n] i de les potencies successives

Per tal que l’estimacio de fase sigui eficient, cal que l’aplicacio de les successives [Ua,n]tingui una complexitat reduıda (si mes no, de l’ordre que introdueix la transformadaquantica inversa).

Cal, doncs, estudiar dos aspectes:

1. Implementacio de la computacio quantica [Ua,n].

2. Implementacio de la transformacio |j〉 |1〉 → |j〉 ∣∣aj (modn)⟩.

aixı com trobar fites per les complexitats respectives.

Comencem doncs pel primer punt: volem implementar la computacio quantica que actuasegons [Ua,n] |y〉 = |ay (modn)〉. El primer que s’observa es que l’operador es unitari:efectivament de la definicio es dedueix que conserva la norma, i que es injectiu, ja quesi [Ua,n] |u〉 = [Ua,n] |v〉, aleshores |au (modn)〉 = |av (modn)〉, i com a es un elementinvertible necessariament |u (modn)〉 = |v (modn)〉, i doncs |u〉 = |v〉.

A mes a mes, en quant a la seva complexitat,tenint en compte el corresponent algorismeclassic que ho computa, podem dir que es O(dlog2(n)e2), ja que aquesta es la complexitatde realitzar el producte ay i extreure posteriorment el modul.

Per a donar llum al segon punt d’aquesta discussio, cal recordar el que de forma classicas’anomena exponenciacio modular, que resulta ser un metode per a trobar exponenci-acions de una manera mes eficient que el que resultaria de realitzar les exponenciacions demanera recursiva com az = a · az−1.

Considerem que volem calcular el nombre az. Escrivim primer el nombre z en base 2 comz = zm2m + · · ·+ z020, on cadascun dels zi val 0 o be 1.

D’aquesta manera es te que az = azm2m+···+z020, que pot escriure’s com:

az =(a2m)zm

. . .(a4

)z2(a2

)z1 az0 (4.35)

Aixı, doncs, per a calcular az basta que calculem les potencies successives a2, a4, . . . , a2ni

multiplicar-les posteriorment segons el corresponent valor de zi sigui 1 o be 0.

El que es mes, cadascuna de les potencies a2ies calcula a partir de l’anterior a2i−1

elevant-la a 2. Com tota l’estona l’aritmetica es pren modul n, podem prendre a i z amb coma maxim un nombre O(dlog2(n)e) de bits, amb la qual cosa el calcul de cadascun delsnombres a2i

a partir del corresponent a2i−1te cost O(dlog2(n)e2) (veure l’exemple 1.4.1

del capıtol 1).


Com aixo ho fem tant com O(dlog2(n)e) cops, es dedueix que el calcul d’elements del con-junt de distintes potencies a0, a2, a22

, . . . , a2m (mod n) te una complexitat O(dlog2(n)e3).

Finalment, el producte(a2m)zm . . .

(a4

)z2(a2

)z1 az0 requereix com a molt d’un nombre dem + 1 = O(dlog2(n)e) productes de termes ja calculats. Aixı, hem de fer O(dlog2(n)e)productes on cadascun d’ells te complexitat O(dlog2(n)e2).

En definitiva, aquesta segona part de l’algorisme te complexitat O(dlog2(n)e3).

En resulta que el proces global de calcul requereix d’un total de O(dlog2(n)e3) operacions.

Havent explicat amb detall l’algorisme de forma classica, es pot traduir aquesta comple-xitat obtinguda a la complexitat quantica corresponent, i tenint en compte el nombre debits necessaris per a tal implementacio.

En definitiva, la complexitat d’aquest pas de l’algorisme sera O(dlog2(n)e3) i, de fet, serael pas mes costos de tot l’algorisme.

Preparacio del q-nombre inicial

El primer problema que s’observa en l’algorisme proposat es la preparacio de qualsevoldels q-nombres |z s〉: en ells hi ha el terme explıcit de ord(a), que es precisament el quenosaltres volem calcular.

Ara be, en el nostre cas el que farem sera treballar amb la seguent idea: si el conjunt deq-nombres |z s〉s=1,...,ord(a)−1 compleixen que:

[Un,a] |z s〉 = e2πi s

ord(a) |z s〉 (4.36)

aleshores una superposicio de la forma |v 〉 =∑ord(a)−1

s=0 as |z s〉 verifica que:

[Un,a] |v 〉 =ord(a)−1∑

s=0

ase2πi s

ord(a) |z s〉 (4.37)

aquesta afirmacio es evident per la linealitat dels operadors.

La questio es que puguem coneixer |v 〉 (o millor, el puguem construir), sense necessitatde coneixer el valor de ord(a).

En el nostre cas som afortunats i es compleix la seguent proposicio:

Proposicio 4.2.1 Pels q-nombres definits en 4.33 i per a un valor w es compleix la igual-tat:

ord(a)−1∑

s=0

e2πiw s

ord(a) |z s〉 = |aw (modn)〉 (4.38)


Demostracio:Cal tenir en compte la seguent igualtat de nombres complexos:

r−1∑

s=0

e−2πiw sr =

r, w = 00, w 6= 0

(4.39)

que es dedueix a partir de la suma dels primers r termes en una progressio geometrica.

Aplicant aquesta relacio al nostre cas concret (fent r = ord(a)), el que obtenim es:

ord(a)−1∑

s=0

e2πiw s

ord(a) |z s〉 =ord(a)−1∑

s=0

e2πiw s

ord(a)

ord(a)−1∑

k=0

e−2πik s

ord(a)

∣∣∣ak (modn)⟩

(4.40)

que pot escriure‘s de forma mes abreujada com:

ord(a)−1∑

k=0

∣∣∣ak (modn)⟩ ord(a)−1∑

s=0

e2πi s

ord(a)(w−k) (4.41)

Tenint en compte que el sumatori de la dreta es precisament la suma d’exponencials quehem calculat abans, se’n dedueix de forma instantania el que nosaltres volıem veure. ¤

Amb aquesta bona propietat que compleixen els q-nombres que queden invariants perl’accio de [Un,a], el que ara podem fer es el seguent: partim de l’estat inicial |0〉 |1〉, onel primer es un q-nombre de k bits (mes tard veurem quin ha de ser el valor de k pertal que es compleixin les especificacions de l’algorisme, tal i com passava amb l’algorismed’estimacio de fase), i el segon q-nombre en te tants com t, valor que encara no hem definit.

Aplicant portes de Hadamard sobre el primer q-nombre i deixant fix el segon q-nombre (oen altres paraules, aplicant l’operador [H⊗· · ·⊗H⊗Id]) obtenim el q-nombre

∑2t−1

j=0 |j〉 |1〉.

Sobre aquest estat apliquem ara paral·lelisme quantic amb el comput [Un,a], obtenint coma resultat el q-nombre

2t−1∑

j=0

|j〉 ∣∣aj (modn)⟩

(4.42)

Ara el que podem fer es aplicar la proposicio 4.2.1 i escriure cadascun dels termes∣∣aj (modn)

⟩com a suma dels q-nombres |z s〉, amb el que obtenim:

2t−1∑

j=0

ord(a)−1∑

s=0

e2πij s

ord(a) |j〉 |z s〉 =ord(a)−1∑

s=0

2t−1∑

j=0

e2πij s

ord(a) |j〉 |z s〉 (4.43)

on ara el terme de l’interior del parentesi es el terme que ens apareixia quan volıem estimarla fase. Aplicant, doncs, z† ⊗ [Id] obtindrem un q-nombre de la forma:

ord(a)−1∑

s=0

∣∣∣∣s

ord(a)

⟩|z s〉 (4.44)


En qualsevol dels casos mesurant nomes el primer q-nombre (reescrivint cadascun delsq-nombres propis |z s〉 en funcio dels elements de la referencia projectiva natural) nomespodem obtenir un valor s

ord(a) , per a un cert valor desconegut de s, entre 0 i ord(a)− 1.

El que cal ara es saber com fer-ho per tal que a partir d’aquesta estimacio sord(a) puguem

recuperar el valor sord(a) real: en aquesta situacio entrem en el terreny de les fraccions

contınues.

Extraccio del perıode a partir de l’estimacio de fase

Suposem que ens trobem ja en el pas de l’algorisme en el que hem calculat z† ⊗ [Id],obtenint un valor s

ord(a) i el que pretenem es realitzar una estimacio de la fase adequada,en el sentit que pretenem obtenir el valor correcte de s

ord(a) .

En aquest punt hem d’emprar dos teoremes:

1. El teorema 4.2.2, que ens diu el nombre de bits necessaris per al segon q-nombreper tal que amb una probabilitat d’exit igual a 1− ε el resultat mesurat difereixi delresultat real com a molt 1

2m .

2. El teorema de caracteritzacio de convergents per a fraccions contınues2, que enspermet reconstruir l’ordre del element que busquem sense obtenir-lo exactament.

Utilitzarem aquests dos teoremes com segueix: per construccio, prenent un valor de t (queencara no hem definit) es compleix que amb una probabilitat 1 − ε s’obte un valor enl’estimacio de fase s

ord(a) que compleix que

∣∣∣∣s

ord(a)− s

ord(a)

∣∣∣∣ <1

2m(4.45)

per a un cert valor de m i un cert valor de s. Aquest segon el desconeixem.

Denotem per sord(a) = s′

r′ . Si ara L = dlog2(n)e, aleshores es clar que ord(a) ≤ n ≤ 2L.

Si ara prenem m = 2L + 1, llavors es compleix que:

122L+1

=12

122L

≤ 12ord(a)2

(4.46)

per tant, prenent m = 2L + 1, ens assegurem que en la desigualtat de la equacio 4.45,el terme mes gran sigui 1

2ord(a)2, i que per tant el valor de s

ord(a) es un convergent en el

desenvolupament en fraccio contınua del valor obtingut sord(a) .

2Consultar els detalls en el teorema B.3.1, que es troba en l’apendix B


En resum, prenent un valor de t = 2dlog2(n)e+ 1 + dlog(2 + 12ε)e ens assegurem que, amb

una probabilitat igual a 1 − ε, el valor estimat que obtenim tingui com a convergent elvalor real s

ord(a) . Aixo es una bona notıcia, la informacio continguda en el valor real de fettambe esta continguda en l’estimacio que s’obte.

Partint del fet que hem obtingut un valor correcte de sord(a) , amb l’algorisme de la frac-

cio contınua podem calcular en temps O(dlog2(n)e3) els diversos convergents de sord(a) i

comprovar per cadascun d’aquests, si el corresponent denominador es l’ordre de a.

Pot succeir, pero que la reconstruccio del valor sord(a) no sigui la correcta per la seguent

rao: el que pot succeir es que el valor de s i de ord(a) no siguin primers relatius, i aleshoresel algorisme de la fraccio contınua ens donara en algun moment la fraccio s

ord(a) = s′r′ , amb

s′ i r′ primers entre si. L’algorisme de la fraccio contınua dona lloc a r′ enlloc de ord(a).Es clar que r′ es un divisor de ord(a).

Podem procedir ara al calcul de l’ordre de l’element ar′ i aixı de forma successiva. Unarepeticio de O(dlog2(n)e) vegades l’algorisme d’estimacio de l’ordre ens dona finalmentl’ordre correcte de a, que era precisament el que al principi volıem.

Observacio 4.2.2 Pot reduir-se encara una mica el cost de l’algorisme realitzant nomes2 cops l’estimacio de l’ordre enlloc d’emprar O(dlog2(n)e) vegades aquest procediment. Aefectes, pero simplement estem reduint el cost total d’ordre una quarta potencia a ordrecubic.

Un exemple explıcit: calcul de l’ordre de 5 en Z/18Z

En aquesta ultima part de la mostra de com treballa l’algorisme de cerca d’ordre d’ele-ments, passarem a un exemple concret per tal d’il·lustrar-lo.

Prenem l’element 5 i volem calcular el seu ordre en el grup Z/18Z, seguint els passosesmentats en l’algorisme.

Per a tal cosa, el nombre 18 pot escriure‘s emprant 5 bits i d’aquesta manera, si fixem unatolerancia de ε = 0.01, el nombre de bits per t haura de ser igual a:

t =⌈2L + 1 +

⌈log

(2 +

12ε

)⌉⌉= d11 + 1.716e = 13 (4.47)

per tal que l’algorisme de la fraccio contınua sempre ens doni un convergent correcte ambuna probabilitat d’exit de 0.99. Es a dir, amb una probabilitat d’exit igual a 0.99 l’algo-risme d’estimacio de fase ens dona una aproximacio racional que compleix les condicionsde convergent del nombre que estem buscant.

Per tant, despres d’inicialitzar el sistema a |0〉 |1〉 i de construir l’estat de superposiciomitjancant multiples operadors de Hadamard, apliquem la serie d’operadors [U5,18], amb


el que obtenim:

|z 1〉 =8192∑

j=0

|j〉 ∣∣5j (mod 18)⟩

= |0〉 |1〉+ |1〉 |5〉+ |2〉 |7〉+ |3〉 |17〉+ · · ·+ |8191〉 |5〉 (4.48)

D’aquesta manera, el segon q-nombre en la superposicio anterior nomes pot prendre elsvalors |1〉 , |5〉 , |7〉 , |11〉 , |13〉 o be |17〉.

Si ara realitzem una mesura del segon q-nombre, suposem que obtenim el valor 17, i elq-nombre corresponent al que col·lapsa sera

|z 2〉 = (|3〉+ |8〉+ · · ·+ |8188〉) |7〉 (4.49)

Aplicant ara la transformacio quantica inversa de Fourier z†⊗ [Id] sobre aquest q-nombre,obtenim una distribucio com la que es mostra en la figura :

Figura 4.7: Aspecte d’una iteracio per al calcul que s’esta realitzant.

Suposem que la mesura que es realitza dona com a resultat el q-nombre 1364.

La fraccio corresponent es 13648192 = 341

2048 . L’algorisme de la fraccio contınua dona lloc alsseguents convergents:

01,

16,

1701021

,3412048

(4.50)

Prenent el convergent 16 , i provant per un ordre de valor igual a 6, obtenim que efectivament

aquest valor es el corresponent al de l’ordre de 5.

Si enlloc d’haver obtingut el valor 16 en el desenvolupament haguessim obtingut ∗

3 (corres-ponent a haver mesurat una aproximacio de 2

6 o be 46), aleshores haurıem de realitzar una

estimacio de l’ordre de 52 en Z/18Z. En aquest cas, el nombre d’iteracions de l’algorismeseria de 2 enlloc de 1.

En tot moment hem suposat que en les mesures hem realitzat mesures correctes, dins delmarge d’error que el valor de ε fixat ens tolera.


Tots els passos d’aquest algorisme poden resumir-se en la figura 4.8

Figura 4.8: Aspecte d’una iteracio de la cerca d’ordres d’elements amb el programa desen-volupat amb llenguatge LabView.

Resum de l’algorisme de cerca de l’ordre d’un element

En el que segueix es realitza un resum del algorisme de cerca de l’ordre d’un element.

Algorisme de cerca de l’ordre d’un element

Input: Un enter n i un nombre a primer amb n.

Output: L’ordre de a en Z/nZ: ord(a).

Algorisme

1. Estat quantic inicial: |z 1〉 = |0〉 |1〉2. Preparacio de l’estat quantic: |z 2〉 =

[⊗t H ⊗ Id] |z 1〉 =

∑2t−1j=0 |j〉 |1〉

3. Aplicacio successiva de [U jn,a]: |z 3〉 =

∑2t−1j=0 |j〉

∣∣aj (modn)⟩

=

∑ord(a)−1s=0

∑2t−1j=0 e

2πij sord(a) |j〉 |z s〉

4. Aplicacio de z† ⊗ [Id]: |z 4〉 = z† ⊗ [Id] |z 3〉 =∑ord(a)−1

s=0

∣∣∣ sord(a)

⟩|z s〉

5. Mesura del primer q-nombre: sord(a)


6. Aplicacio de l’algorisme de la fraccio contınua: ord(a)

Observacions: El primer q-nombre utilitza t = 2L + 1 +⌈log

(2 + 1

2ε

)⌉bits per tal d’as-

segurar que l’algorisme de la fraccio contınua sigui correcte.

Complexitat: Per la preparacio de l’estat quantic necessitem O(t) portes de Hadamard,que es equivalent a O(log(n)). A mes, tenim un total de t computs [CU ], i unatransformacio inversa de Fourier de cost O(log(n)2).

En general, la complexitat global dependra de la de [U ], pero generalment si [U ] esfacil d’implementar, el cost d’algorisme vindra donat pel cost de z† ⊗ [Id], que esO(t2) = O(log(n)2). L’algorisme te exit amb probabilitat 1− ε.

4.2.4 Aplicacio 2: factoritzacio

Sense lloc a dubtes, l’algorisme de factoritzacio de nombres enters de Peter Shor de l’any1992 es el treball que ha donat mes empenta a aquesta disciplina. L’algorisme que aquı espresenta i altres (com el del logaritme discret) es poden trobar en [Shor94].

Des de el punt de vista de les aplicacions, la impossibilitat de factoritzar nombres entersgrans es utilitzada en molts dels criptosistemes actuals, com per exemple el famos RSA(en vigencia des de l’any 1978).

Aquests sistemes criptografics es basen no en la impossibilitat de trobar la clau privada,si no que es basen en el fet que trobar la clau privada es equivalent a resoldre, de formaefectiva, problemes matematics dels que no es coneixen algorismes que els resolguin deforma eficient; problemes similars son els de la cerca de logaritmes discrets, la cerca d’arrelsquadrades sobre els anells Z/nZ, . . . .

Aquest panorama es trenca amb l’arribada de la computacio quantica que, com veurem,resol de forma eficient el nostre problema de factoritzacio. El nostre objectiu es factoritzarde forma eficient l’enter N , problema que es equivalent a trobar de forma eficient un factorpropi de N . Podem, a mes, permetre’ns el luxe de prendre N senar, ja que altrament 2 jaes un divisor de N .

Considerem l’anell Z/NZ i el seu grup multiplicatiu d’unitats (Z/NZ)∗. Segons es detallaen l’apendix B tot element de x ∈ (Z/NZ)∗ compleix que (x,N) = 1, i pel teorema d’Euleres te que:

xϕ(N) ≡ 1 (mod N) (4.51)

encara que aquesta potencia no te perque ser la mınima que compleix aquesta propietat.

Per a valors de N arbitraris no podem aspirar a que el grup d’unitats sigui cıclic, i pertant en general, fixat un element x invertible, aleshores el seu ordre sempre sera un divisorde ϕ(N).


D’aquesta forma, si x es una unitat diferent del neutre pel producte, i definim

expx : Z → Z/NZt 7→ xt (modN)

(4.52)

llavors es necessari que la funcio aritmetica expx sigui periodica i de perıode l’ordre de xen Z/NZ: ord(x).

Per al nostre proposit nomes estem interessats en aquells x els quals tenen ordre parell, jaque d’aquesta forma, la igualtat

xord(x) ≡ 1 (modN) (4.53)

s’escriu com:(x

ord(x)2 − 1)(x

ord(x)2 + 1) ≡ 0 (mod N) (4.54)

i per tant, es necessari que el terme xord(x)

2 − 1 sigui un divisor de 0, ja que altramentl’ordre de x no seria ord(x), i per tant x

ord(N)2 + 1 tambe seria divisor de 0.

En concret, si xord(N)

2 + 1 no es multiple de N , llavors

(xord(N)

2 + 1, N) 6= 1 (4.55)

i per tant, amb l’algorisme d’Euclides podem trobar de forma eficient un divisor propi deN .

Observem, doncs, tot el que hem necessitat:

1. Trobar una unitat de l’anell Z/NZ.

2. Calcular el seu ordre, i comprovar que aquest es parell.

3. Si x es aquesta unitat, comprovar que xord(N)

2 + 1 no es multiple del nombre quevolem factoritzar.

De fet, el gruix de l’algorisme es troba en el punt 2, que es equivalent al de trobar ordresd’elements, que es precisament el problema hem resolt abans.

El primer punt pot fer-se de manera eficient, ja que l’algorisme d’Euclides pot realitzar-sede manera eficient, i el pas 3 es una comprovacio.

Analisi de l’algorisme

L’analisi de la validesa d’aquest algorisme es basen en 2 teoremes, la demostracio delsquals no incloem, i que es poden trobar en [NiCh00].


Teorema 4.2.3 Sigui N un nombre no primer de L bits, i x una solucio no trivial (x 6=±1) de la congruencia x2 ≡ 1 (modN), amb x positiu i inferior a N . Aleshores (x− 1, N)o be (x + 1, N) es un factor no trivial de N .

Aquest teorema el podem aplicar de la seguent manera: suposem que hem estat capacosde trobar, per una unitat donada x, el seu ordre ord(x), i que a mes aquest ordre es parell.Aleshores es clar que si denotem per a = x

ord(x)2 , aleshores a2 ≡ 1 (modN), i a mes, a 6= 1.

El teorema ens assegura aleshores que o be (a − 1, N) es distint de 1 o altrament ho es(a + 1, N) ho es. Amb aixo es conclou la cerca.

El problema, pero, rau en trobar precisament una unitat que tingui ordre parell, ja quela eleccio la fem de manera uniforme en el subconjunt d’elements en 1, 2, . . . , N − 1primers amb N . A mes a mes, la eleccio podria ser erronia si es tries un valor de x pelqual x

ord(x)2 ≡ −1 (mod N).

El seguent teorema ens diu que una tria d’aquesta mena es bastant poc probable, i queper tant, la probabilitat de triar un element al que li puguem aplicar el teorema 4.2.3 eselevada:

Teorema 4.2.4 Si N s’escriu com N = pα11 . . . pαm

m , i sigui x un enter primer amb Nescollit aleatoriament amb probabilitat uniforme en el conjunt 1, 2, . . . , N − 1. Sigui r elseu ordre. Aleshores es compleix que:

p(r parell, x

r2 6= −1 (mod N)

)≥ 1− 1

2m(4.56)

Ja tenim totes les eines per enunciar amb precisio l’algorisme; suposem en tot momentque N s’escriu amb L bits:

1. Si N es parell, retornem 2, i ja hem acabat.

2. Determinem si N s’escriu de la forma ab, per certs enters a, b. Aquesta comprovacioes pot realitzar de manera eficient amb un algorisme classic amb temps O(L3). Si esaixı, retornem a, i ja hem acabat.

3. Prenem un element de manera aleatoria en 1, 2, . . . , N − 1. Calculem (x, N). Siaquest es major que 1, retornem el valor (x,N), i ja hem acabat.

4. x es una unitat, i calculem l’ordre de x modul N amb l’algorisme quantic de cercade perıodes. Sigui r el seu ordre.

5. Si x es senar o be xr2 ≡ −1 (mod N), retornem a 3. Aixo passara amb probabilitat

baixa si el nombre N te molts factors primers.

6. Calculem (xr2 − 1, N) i (x

r2 + 1, N), i retornem aquell distint de 1.

L’analisi de cadascuna de les parts dona lloc a que el cost total de l’algorisme es O(log(N)3),que es efectivament polinomial en el nombre de bits de N .


Un exemple explıcit: trobar un factor propi de 21

Farem de la mateixa manera que hem fet en el cas de la cerca d’elements, el plantejamentde tots els passos per un cas de factoritzacio d’un nombre. Prendrem ja com sabut lamanera quantica d’estimar ordres d’elements, segons l’algorisme proposat previament.

Treballarem tota l’estona sobre el nombre 21 (exemple de joguina), del que pretenem cercaralgun dels seus factors propis. En concret, els unics valors valids per l’algorisme son:

1. Els elements primers amb 21.

2. Dels anteriors, aquells que tinguin ordre parell.

En concret, el grup de les unitats de Z/21Z es Z/2Z× Z/6Z.

Si agrupem tots aquests elements en una taula, el que obtenim es el seguent:

Element Ordre Es parell? Valor de ax2 − 1( (mod 21)) a

x2 + 1( (mod 21))

2 6 Sı 7 94 3 No - -5 6 Sı 19 08 2 Sı 7 910 6 Sı 12 1411 6 Sı 7 913 2 Sı 12 1416 3 No - -17 6 Sı 19 019 6 Sı 12 1420 2 Sı 19 0

Per tant, d’aquesta llista els unics valors que no ens donarien en cap cas un factor propide 21 serien:

1. El nombre 4 i el nombre 16, per tenir ordre senar.

2. Els nombres 5, 17 i 20, perque les corresponents potencies ax2 − 1( (mod 21)) i a

x2 +

1( (mod 21)) o be son 0 o be son un nombre primer amb el modul.

En la resta de casos, pero obtenim o be factors propis de 21 o en el pitjor dels casos,nombres no primers amb 21. En aquest cas, basta aplicar l’algorisme d’Euclides per atrobar un factor propi.

4.3. ALGUNS COMENTARIS SOBRE LES TECNIQUES ESPECTRALS 107

4.3 Alguns comentaris sobre les tecniques espectrals

Un dels primers problemes que la computacio quantica va permetre resoldre d’una formames eficient que el plantejament classic es l’anomenat problema de Simons, que diu elseguent: supossem un natural n fixat, i amb aquest, l’espai vectorial Z/2Z×Z/2Z× . . .n×Z/2Z = (Z/2Z)n sobre el cos finit Z/2Z. Sigui en aquest marc, sigui f : (Z/2Z)n →(Z/2Z)n. En aquesta situacio, tenim les seguents definicions:

Definicio 4.3.1 La funcio f es diu que es una funcio periodica de perıode T si pera qualsevol x ∈ (Z/2Z)n es te que f(x + T ) = f(x)

Observar, doncs, que en principi una funcio periodica pot tenir mes d’un perıode. A mes,com ens trobem en un conjunt sense ordre, no podem parlar d’un ordre mınim.

Considerem ara f funcio periodica i amb la propietat que l’antiimatge de qualsevol element,f−1(x), es el conjunt buit o te 2 elements. En aquest context ens interessa trobar unaforma per tal de trobar un perıode de f amb el menor nombre d’operacions possibles.

Aquest problema es de fet, un problema ben particular d’una serie de problemes un tantmes generals que les tecniques espectrals en computacio quantica intenten resoldre. Unamanera natural de generalitzar d’aquest problema es la cerca de perıodes de funcionsarbitraries pero ara definides sobre grups arbitraris.

El problema del logaritme discret, de gran rellevancia en les aplicacions, tambe rep unasolucio molt eficient usant tecniques espectrals degut a una reduccio a un calcul de perıodesde funcions. Aixı es com es demostra en el famos article [Shor94].

Tots aquests problemes son, de fet, un cas ben particular d’un mes general anomenatproblema del subgrup amagat (per a mes detalls i referencies, consultar [NiCh00]):considerem un grup finitament generat G i altre grup G′. Considerem una funcio f constanten les classes laterals d’un subgrup H de G, i un comput quantic que ens permet calculsde la forma:

[U ] |g〉 ∣∣g′⟩ = |g〉 ∣∣g′ · f(g)⟩

(4.57)

on l’operacio · es la definida en G′. El problema rau en trobar un conjunt de generadorsdel subgrup H.

Si ens restringim a grups abelians finits, el problema es ben conegut i la solucio es sap quepot trobar-se en temps O(log |G|), pero per a grups mes generals (no commutatius, perexemple) el problema es ben complicat.

En concret, i per finalitzar, nomes dir que els problemes que hem estat considerant fins araes poden integrar dins de la classe del problema del subgrup amagat per grups abeliansfinits.


4.4 Algorismes de cerca i l’amplificacio de modul

Sigui X = x1, . . . , xn ⊂ R un conjunt no ordenat en el que es vol decidir si un elementy es o no del conjunt. Com el conjunt es no ordenat, de forma classica no podem aspirara resoldre aquest problema de decisio en o(n): en el pitjor dels casos haurem de comparartots els elements de X amb el nostre element y.

A diferencia de la teoria classica, la computacio quantica permet realitzar decisions enllistes no ordenades amb un cost de o(n). La decisio, pero, pren un cert caire probabilistic,tal i com es veura en el que seguira.

Aquest problema pot emmarcar-se dins d’un conjunt de problemes un tant mes general:donat un conjunt d’elements (de grafs, d’estructures de dades, de morfismes, . . . ), decidirsi algun d’aquests compleix una certa propietat P . En el cas que el coneixement delvalor de P sobre algun dels seus punts (diguem P (x1)) no aporti coneixement sobre lapropietat en altres elements del conjunt direm que el problema es un problema de cercadesestructurada. Aquest es el cas que tractarem aquı. El problema de cerca d’unelement donat en un conjunt no ordenat es, doncs, un problema de cerca desestructurada.

L’algorisme que permet fer aquesta cerca de la forma mes eficient possible es l’algorismede Grover, que es el que tractarem ara, i que porta implıcit el metode d’amplificacio demodul. Aquest segon metode es mes general que el de la cerca i pot aplicar-se, tal i comes veura posteriorment, a altres destins un tant mes generals.

4.4.1 L’amplificacio de modul

Normalment aquest metode s’introdueix com el pas clau en l’algorisme de cerca de Grover(mes tard tractat amb tot detall), pero degut a d’altres aplicacions que li donarem, hemcregut convenient tractar-lo de forma privilegiada.

El proces consisteix en el seguent: considerem el q-nombre |z 〉 =∑2n−1

j=0 aj |j〉 |f(j)〉, onf(j) nomes pot prendre els valors 0 o be 1. Per comoditat, prendrem els aj reals i tots iguals(que es, de fet, de la manera com ho utilitzarem en les aplicacions), i considerarem queel comput quantic [Uf ] que realitza f actua sobre els elements de la referencia projectivanatural segons

[Uf ] |j〉 |i〉 = |j〉 |i⊕ f(j)〉 (4.58)

amb |i〉 sent un q-nombre de 1 bit.

El nostre objectiu amb l’amplificacio de modul es amplificar les amplituds dels q-nombres|j〉 |f(j)〉 pels quals f(j) = 1 (els corresponents a tenir la propietat), i reduir consequent-ment l’amplitud d’aquells q-nombres pels quals f(j) = 0.

Observar que el raonament que s’emprara es totalment general, en el seguent sentit: pera un estat generic |z 〉 =

∑2n−1j=0 aj |j〉 |f(j)〉 no tenim un metode general per eliminar

4.4. ALGORISMES DE CERCA I L’AMPLIFICACIO DE MODUL 109

completament els q-nombres pels quals f(j) = 0, ja que aixo no seria unitari en general(per a qualsevol input).

Ara be, com veurem, la repeticio d’aquest algorisme un nombre suficient de vegades (jaes precisara el nombre de repeticions que cal realitzar) porta a amplituds suficientmentelevades pels q-nombres amb f(j) = 1 i suficientment petites pels q-nombres amb f(j) = 0.

L’algorisme d’amplificacio de fase es basa en dos passos, que passarem a analitzar. Sonels seguents:

1. Marcacio dels q-nombres amb f(j) = 1: aquest proces es realitza amb un canvide signe.

2. Inversio respecte al valor mitja, o equivalentment inversio respecte a la mitjana.

Comencem per la marcacio: per a tal cosa, considerem l’estat inicial |z 0〉 =∑2m−1

j=0 |j〉 |1〉,i apliquem el comput [Id]⊗ [Id]⊗ m). . . [Id]⊗ [H], obtenint el q-nombre:

|z 1〉 =2m∑

j=0

|j〉 (|0〉 − |1〉) (4.59)

Cal ara introduir una notacio que fara mes facil el raonament: escrivim el conjunt X =0, 1, . . . , 2m − 1 = X0 ∪ X1, denotant X0 = j ∈ X : f(x) = 0 i de forma similar X1.Per tant, el q-nombre |z 1〉 pot escriure’s com:

|z 1〉 =

∑

j∈X0

|j〉 |0〉+∑

j∈X1

|j〉 |0〉 −∑

j∈X0

|j〉 |1〉 −∑

j∈X1

|j〉 |1〉 (4.60)

Podem aplicar ara el comput [Uf ] per tal d’obtenir el seguent q-nombre:

[Uf ] |z 1〉 =

∑

j∈X0

|j〉 |0⊕ f(j)〉+∑

j∈X1

|j〉 |0⊕ f(j)〉 −∑

j∈X0

|j〉 |1⊕ f(j)〉 −∑

j∈X1

|j〉 |1⊕ f(j)〉

(4.61)

Que, segons les consideracions previes, es equivalent al q-nombre:

|z 2〉 = [Uf ] |z 1〉 =

∑

j∈X0

|j〉 |0〉+∑

j∈X1

|j〉 |1〉 −∑

j∈X0

|j〉 |1〉 −∑

j∈X1

|j〉 |0〉 (4.62)

i que, per tant, pot escriure’s com ∑

j∈X0

|j〉 −∑

j∈X1

|j〉 (|0〉 − |1〉) (4.63)


Aplicant novament l’operador [Id]⊗ [Id]⊗ m). . . [Id]⊗ [H] obtenim l’estat marcat que prete-nıem, que pot escriure’s com:

|z 3〉 =

∑

j∈X0

|j〉 −∑

j∈X1

|j〉 |1〉 (4.64)

i, doncs, hem construıt un nou estat pel qual s’ha introduıt una fase eiπ als coeficients delsq-nombres pels quals f(j) = 1 i s’ha deixat fix per la resta.

Observar que, sense perdre generalitat, si haguessim pres les amplituds positives peroarbitraries, el resultat que haguessim obtingut seria el mateix: s’hauria canviat el signedels coeficients d’uns i s’hauria deixat invariant la resta.

Passem ara ja a la segona part, la denominada inversio respecte al valor mitja: deno-tem per Az ≡ A = 1

2m

∑2m−1j=0 aj , per a un q-nombre |z 〉 =

∑2m−1j=0 aj |j〉.

Considerem la matriu seguent, de dimensions m×m:

Inv =

22m − 1 2

2m · · · 22m

22m

22m − 1 · · · 2

2m

......

. . ....

22m

22m · · · 2

2m − 1

(4.65)

Son dues comprovacions molt evidents que:

1. La matriu Inv compleix que InvInvT = λId, i per tant existeix una computacioquantica que actua segons aquesta matriu.

2. L’accio de la computacio quantica associada a Inv sobre el q-nombre∑2m−1

j=0 aj |j〉dona lloca al q-nombre

∑2m−1j=0 (2A− aj) |j〉.

Amb tot aixo, ja hem introduıt els dos passos de l’algorisme d’amplificacio de fase, i podempassar a estudiar el seu efecte conjunt.

Considerem que partim d’un estat inicial 1√2m

∑2m−1j=0 |j〉 |1〉, que prenem normalitzat per

tal que la explicacio sigui mes sencilla (observar, pero, que no estem par perdent genera-litat).

Per simplicitat, prendrem totes les amplituds iguals i positives, pero el mateix raonamentes podria realitzar per a amplituds positives arbitraries). L’aplicacio de la marcacio intro-dueix una fase negativa als q-nombres que compleixen que f(j) = 1, i deixa inalterat laresta de q-nombres.

La observacio clau es la seguent: el valor de A per aquest nou estat es inferior al valorde la mitjana aritmetica dels coeficients del q-nombre inicial, ja que inicialment tots elsvalors eren positius i ara n’hi han de positius i de negatius.


Distingim 3 casos, segons el signe de la mitjana aritmetica (o si aquesta es 0):

1. Si el valor mitja es positiu, la inversio respecte al valor mitja fa creixer els correspo-nents els coeficients negatius i disminuir els valors positius, obtenint al final tots elscoeficients positius. Aquesta situacio es dona si |X0| > |X1|.

2. Si el valor mitja es negatiu, el comportament es tot el contrari del cas anterior, i elsvalors que son amplificats son els positius, enlloc dels negatius. En aquesta situacioara els coeficients resultants son negatius. Aquesta situacio es dona si |X0| < |X1|.

3. Finalment, si el valor mitja es 0, simplement es canvia el signe dels coeficients.Aquesta situacio es dona si |X0| = |X1|.

L’ultim dels casos (en el que |X0| = |X1|) es l’unic en que l’algorisme no funciona correc-tament, i per tant caldra suposar que en qualsevol cas |X0| 6= |X1|. En quant al segondels casos, pot transformar-se en el primer dels casos usant una porta Cnot sobre el ultimq-nombre. Cal, pero, saber a priori que, efectivament, |X0| < |X1|. En qualsevol delscasos, i prohibint la singularitat en que |X0| = |X1|, podem sempre restringir-nos al cas 1dels diversos exposats, i aixı ho farem en tot el que seguira.

En la figura 4.9 es pot veure de manera esquematica 1 iteracio d’aquest algorisme.

Figura 4.9: Una iteracio de l’amplificacio del modul: en vermell tenim els estats quecompleixen la propietat. En la segona figura, en blau s’indica el valor mig inicial, i ennegre el que s’obte despres d’haver invertit els estats vermells.

Complexitat de l’amplificacio de modul

A partir de les consideracions realitzades previament, l’analisi de la complexitat de l’am-plificacio de modul resulta molt evident. Com es habitual, Complx(Uf ) denotara la com-plexitat del comput quantic [Uf ].

El algorisme d’amplificacio del modul te 3 passos basics:

1. El marcatge, amb la aplicacio de [Uf ] previ.


2. La aplicacio de la porta quantica associada a Inv.

La complexitat de la subrutina 1 ja esta analitzada (la marcacio te complexitat constant,ja que nomes hem emprat 2 portes de Hadamard per a q-nombres de 1 bit, i la complexitatde [Uf ] es Complx([Uf ])), i basta calcular la complexitat de la porta quantica associada aInv per acabar l’analisis.

Si denotem per ⊗nH = H ⊗H⊗ m). . . ⊗H i definim R com la matriu:

R =

1 0 · · · 00 −1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · −1

(4.66)

aleshores el que es te es que ⊗nHR⊗n H = Inv: efectivament, el que demostrarem de fetes que ⊗nH(R + Id)⊗n H = Inv + Id.

La expressio de R + Id es evidentment:

R + Id =

2 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . . 0

0 0 · · · 0

(4.67)

i per tant, la realitzacio del producte es mes clara. Aplicant induccio sobre m i tenint encompte el producte tensorial de matrius3, se’n dedueix que:

⊗nH(R + Id)⊗n H =

2N

2N · · · 2

N2N

2N · · · 2

N...

.... . . 2

N2N

2N · · · 2

N

(4.68)

d’on es dedueix immediatament que el que hem obtingut es efectivament Inv − Id.

Aixı doncs, la implementacio de la porta quantica Inv requereix de 2m portes de Hadamardi de m−1 portes de canvi de fase per la implementacio de R. En total, doncs, la complexitatde Inv es O(m).

En definitiva, es pot afirmar que l’algorisme d’amplificacio de modul te una complexitattotal igual a Complx([Uf ]) + O(m). En la majoria dels casos la complexitat global vindradonada pel terme Complx([Uf ]), que frequentment es el que introdueix un cost mes alt.

3Pels detalls, consultar l’apartat referent al producte tensorial en l’apendix “Producte tensorial d’es-pais de Hilbert”, de l’apendix ”Analisi funcional i conceptes relacionats”


Repeticio de l’algorisme d’amplificacio del modul

Hem vist que l’algorisme d’amplificacio del modul ens permet amplificar el modul delsq-nombres que compleixen una determinada propietat, de tal manera que en una mesuraposterior la probabilitat de mesurar un d’aquests nombres augmenta.

Es natural, doncs, preguntar-se si reiterant aquest algorisme un nombre suficient de ve-gades l’amplitud dels q-nombres que no compleixen la propietat es veu disminuıda fins avalors que donin lloc a amplituds molt reduıdes.

De fet, en el que seguira, el que veurem es que existeix un nombre d’iteracions optim, enel seguent sentit: una vegada s’arriba a aquest nombre d’iteracions, en la seguent iteraciode l’algorisme d’amplificacio de modul, es deixa d’amplificar aquests valors, ja que comveurem aquest algorisme te una certa component periodica.

Comprovem-ho amb detall: si denotem per ak l’amplitud de qualsevol dels elements quecompleixen la propietat (prendrem que n’hi han r d’un total de 2m) i bk l’amplitud dequalsevol dels elements que no compleixen la propietat, llavors suposant que prenem elscoeficients normalitzats a 1, te que:

ra2k + (2m − r)b2

k = 1 (4.69)

Aquesta equacio ens dona la relacio, en valor absolut, entre les amplituds entre els dostipus d’elements del conjunt. (Recordar que estem prenent les amplituds reals i positives)

Per tal de trobar el valor de ak+1, el que hem de fer es invertir els valors dels ak, calcularla mitjana aritmetica de les amplituds i restar.

El valor de la mitjana aritmetica en la iteracio k dels valors ak ja invertits es, amb lanotacio introduıda abans:

A =(2m − r)bk − rak

2m

i per tant el valor de ak+1 sera:

ak+1 = 2A− ak =(2m − r)bk − rak

2m− ak = ±2

√2m − r

2m

√1− ra2

k + (1− 2r

2m)ak (4.70)

on el signe del primer sumand, a priori, es desconegut per la arrel quadrada, i el valor dea0 es 1√

2m .

La resolucio sistematica de la recurrencia anterior no es trivial, pero testejant amb el termegeneral seguent:

ak = sin

(2k + 1

2arcsin

(2

√r(2m − r)

2m

))(4.71)

s’obte una identitat.


La rao d’aquest fet, pot explicar-se de manera geometrica com segueix: considerem fixadala funcio f i considerem, de la mateixa manera que abans, els conjunts X0 i X1. Definimels q-nombres seguents:

|a〉 = 1√

|X1|∑

x∈X1|x〉

|b〉 = 1√|X0|

∑x∈X0

|x〉 (4.72)

es clar aleshores que podem escriure el q-nombre:

|z 〉 =

√|X1|

|X0|+ |X1| |a〉+

√|X0|

|X0|+ |X1| |b〉 (4.73)

Per donar una visio geometrica al proces, considerem ara el vector

v ≡ v 0 =

√|X1|

|X0|+ |X1|ea +

√|X0|

|X0|+ |X1|eb (4.74)

on ea, eb constitueix una base ortonormal per a un espai de Hilbert complex de dimensio2. Mes en concret, aquest vector pot denotar-se per v = cos

(θ2

)ea + sin

(θ2

)eb, per a un

cert valor de θ.

Si ara traduım geometricament que es el que realitza l’algorisme, el que obtenim es preci-sament el seguent:

1. La primera part de l’algorisme converteix el vector v en v ′ = cos(

θ2

)ea − sin

(θ2

)eb.

Realitza, per tant, una reflexio de v respecte a la recta y = 0.

2. La segona part de l’algorisme converteix el vector v ′ en v 1 = cos(

3θ2

)ea+sin

(3θ2

)eb.

Es correspon doncs a una reflexio de v ′ respecte a l’eix que passa per l’origen i tecom a vector director v .

Per tant, la iteracio successiva d’aquest algorisme dona lloc a un vector de la forma:

v k = cos(

(2k + 1)θ

2

)ea + sin

((2k + 1)

θ

2

)eb (4.75)

i al corresponent q-nombre que se’n dedueix.

Es clar que d’aquesta expressio es dedueix el nombre k optim d’iteracions: cal que el valorde (2k+1) θ

2 sigui el mes proper possible a π2 per tal que l’amplitud sigui el menor possible.

Per tant,π

2= (2k + 1)

θ

2→ k ≈

[ π

2θ

](4.76)

si a mes es compleix que si θ es proper a 0, llavors θ ≈ sin(θ) ≈ 2√

|X1||X| , d’on es dedueix

que el nombre optim d’iteracions es precisament

k =

[π

4

√|X||X1|

](4.77)


Observar, pero, que aquest resultat nomes es cert quan el nombre d’elements en el conjuntes petit comparat amb el nombre total d’elements.

4.4.2 Aplicacio 1: algorisme de cerca de Grover

La idea fonamental en la realitzacio d’aquest algorisme es aconseguir que l’element delconjunt que compleixi la propietat que ens interessa sigui susceptible de ser detectat enuna mesura.

Partirem, doncs, d’un conjunt X = x1, . . . , xn ⊂ R, i el que volem es trobar en X algunelement que faci que una certa propietat f sigui certa. El que pretenem es decidir siexisteix un tal x ∈ X i si n’hi ha un o mes d’un, trobar-ne un.

Per tal de tractar aquest problema realitzarem un parell de reduccions que no faran perdregeneralitat sobre el problema.

Les reduccions son les seguents:

1. Podem substituir l’element xi pel seu ındex i, traduint la condicio f definida sobrexi als seu ındex.

2. Podem suposar que |X| = 2m. Basta afegir al conjunt inicial elements fins que elcardinal del conjunt sigui una potencia de 2, i estenent la funcio f definida en X aun conjunt X ′ ⊇ X amb cardinal 2m.

Aixı, doncs, el nostre conjunt X ara es X = 0, 1, 2, . . . , 2m − 1.

El problema que se’ns plantejava queda traduıt en el seguent: donat el conjunt X =0, 1, . . . , 2m−1, i una aplicacio f : X −→ 0, 1 exhaustiva, trobar un a ∈ X : f(a) = 1.

De forma classica calen, en el pitjor dels casos, un recorregut de tots els elements de X, iper tant qualsevol algorisme que resolgui el problema de forma classica sera lineal amb lamida de X.

L’algorisme que es proposa aquı de forma quantica es el seguent:

Algorisme de Grover

Input: una funcio f : 0, 1, . . . , 2m − 1 → 0, 1 exhaustiva.

Output: un element a ∈ 0, 1, . . . , 2m − 1 pel qual f(a) = 1.

Algorisme

1. Estat inicial: |z 0〉 = |0〉 |0〉2. Creacio de la superposicio: |z 1〉 = [H]⊗ [H] m). . . [H]⊗ [Id] |z 0〉 =

∑2m−1j=0 |j〉 |0〉


3. Avaluacio de [Uf ]: |z 2〉 = [Uf ] |z 1〉 = 1√2m

∑2m−1j=0 |j〉 |f(j)〉

4. Aplicacio de l’algorisme d’amplificacio de fase[

π4

√|X||X1|

]cops

5. Realitzacio del p-nombre associat a |z 2〉 i al conjunt de projectors associats ala base natural: j.

Observacions: El nombre d’iteracions necessaries depen del nombre d’elements j pelsquals f(j) = 1. Si aquest nombre es elevat respecte a 2n, el nombre d’iteracionshaura de ser modificat.

Complexitat: Sense tenir en compte la implementacio de [Uf ], l’algorisme necessita d’unnombre O(

√|X|) d’operacions per tal de realitzar l’algorisme d’amplificacio de fase.

4.4.3 Aplicacio 2: cerca de maxims i mınims.

La idea d’intentar privilegiar les probabilitats dels elements amb la propietat desitjada potaplicar-se en diversos dels algorismes que podem trobar en diversos camps.

Una primera aplicacio que en trobarem en l’amplificacio de fase consisteix en dotar l’espaiC2n

d’un cert ordre, en el seguent sentit: es possible que havent preparat l’estat quantic∑2n−1j=0 |j〉 |0〉 (aquı prendrem que el segon q-nombre es de 1 bit) i aplicant sobre aquest

q-nombre un comput quantic [Uf ] per tal d’obtenir el nou q-nombre∑2n−1

j=0 |j〉 |f(j)〉, esmolt possible que en moltes aplicacions ens interessi coneixer el valor mınim (o be el valormaxim; en tota la disquisicio es prendra el valor mınim i el mateix raonament sera validpel valor maxim) de j pel qual el valor de f(j) es igual a 1.

Com en l’espai C2nno tenim una manera “geometrica” d’ordenar els elements de la base,

resulta no trivial extreure aquesta informacio directament de l’estat∑2n−1

j=0 |j〉 |f(j)〉, peromitjancant una amplificacio de modul, aixo pot fer-se amb un exit notori.

No direm massa cosa mes al respecte. Nomes dir que el proces per a la realitzacio d’aquestacerca es fa prenent com a marca el bit de major pes, i amplificant aquells amb un 1 (siens interessa cercar el maxim). Despres de mesurar el primer bit, i del col·lapse quanticcorresponent, continuem amb el segon bit del q-nombre, i aixı de manera successiva.

Part III

Implementacions

117

Capıtol 5

Implementacions d’algorismesquantics

Despres d’haver introduıt de forma teorica els algorismes quantics mes rellevants, es na-tural ara passar a una part d’implementacio d’aquests per tal d’experimentar amb el seufuncionament.

Es clar que la seva implementacio no sera eficient, ja que aquesta necessitaria de l’usd’ordinadors quantics, pero per altra banda mostren amb tot detall cadascun dels passosd’execucio de les diverses rutines, i aquestes implementacions poden ajudar en bona mesuraa entendre el funcionament dels algorismes.

El llenguatge de programacio emprat per a tal objectiu ha estat LabView, enlloc d’altresconvencionals com podrien ser C++, Pascal o be Java, per diverses raons:

1. Esquema d’experimentacio molt simple, a l’estil d’aparells d’instrumentacio electro-nica virtual. Permet implementar grafics i animacions per la comprensio dels diversosprogrames, i permet la modularitat, a mes de la utilitzacio de moduls ja previamentdissenyats.

2. Disseny modular i visual, a la manera de circuits electronica. Com estem de fet trac-tant amb circuiteria quantica, la visualitzacio dels programes mitjancant l’esquemacircuital dona ja una bona idea de com seria una implementacio del algorisme en lapractica.

3. La extensa experiencia de l’autor en l’us d’aquest llenguatge de programacio.

Per al lector no introduıt en aquest llenguatge, cal esmentar varies observacions: el llen-guatge de programacio LabView basicament inclou dos modes: per una banda el quadre decontrol, on es mostren totes les dades, grafics i resultats obtinguts, siguin parcials o totals.Aquest es el mode al que l’usuari accedeix de manera natural. En la figura 5.1 s’inclou

118

119

un modul programat per l’autor en el marc del projecte OSIRIS pel Gran Telescopi deCanaries.

Figura 5.1: Un modul implementat en LabView per al tractament espectral d’una targetad’adquisicio de dades pel Gran Telescopi de Canaries.

Per altra banda hi ha el mode de programacio, que es aquell sobre el que el programadortreballa. La seva filosofia procedeix del mon de la electronica, i es segueix fidelment en lamanera de treballar, tal i com es mostra en la figura 5.2.

Figura 5.2: Fragment del mode de programacio del programa de factoritzacio de nombresenters. Es pot observar la filosofia circuital del programa.

En el que seguira es presentaran els diversos algorismes programats, aixı com una breuexplicacio dels parametres que s’obtenen durant la seva execucio.

Si s’escau (degut a que l’algorisme teoric no ho deixa suficientment clar) es donara algun

120 CAPITOL 5. IMPLEMENTACIONS D’ALGORISMES QUANTICS

detall auxiliar de la programacio de cadascun dels moduls.

5.1 Alguns comentaris generals

Degut a la impossibilitat d’implementacions efectives de maquines quantiques reals, l’u-nic al que podem aspirar es a la programacio dels algorismes quantics emprant rutinesclassiques.

Aixo es el que s’ha emprat aquı, i molt en particular en l’estructura de dades que imple-menta un q-nombre donat. La manera natural de fer-ho ha estat usant arrays de longitud2n per a q-nombres de n bits. Aquest es el fet fonamental per tal d’entendre que tota laresta de subrutines s’adapten a aquesta estructura de dades.

Tambe cal remarcar que en les aplicacions (calculs efectius) s’han optat tambe per imple-mentacions que ja venen de serie amb el programa LabView: malgrat que programes comla transformacio quantica de Fourier i altres s’han implementat tal i com s’ha comentaten la part teorica, la seva execucio resultava mes costosa (temporalment parlant) que lescorresponents implementacions ja internes en el context de programacio.

5.1.1 Subrutines programades

A mes a mes dels programes principals que aquı s’han introduıt, cal fer esment de laimplementacio d’un conjunt de subrutines que s’han estat emprant de manera repetida enaquests programes. Els anem a anomenar en el que segueix:

1. Conjunt de portes quantiques: s’han implementat un conjunt ben general deportes quantiques, tal i com s’ha descrit en els primers capıtols: portes de Hadamard,portes Pauli, portes Swap, . . .

2. Producte tensorial de q-nombres i altres: igualment s’han implementat diversosoperadors basics per tal de poder treballar a nivell d’espai de Hilbert: producteescalar, productes tensorials, normalitzacio de vectors.

Totes les anteriors s’han de prendre com rutines de molt baix nivell (rutines primitives), ques’han emprat per tal d’implementar alguns algorismes ja complexos. En el que segueix esdescriu alguns submoduls implementats, i emprats posteriorment per als nostres proposits:

1. Algorisme d’Euclides: la subrutina rep com a inputs dos nombres enters i calculade manera eficient el mınim comu multiple dels dos.

2. Calcul de ax (modn): consisteix en el calcul de l’exponent indicat, per un moduldonat. L’algorisme usa la corresponent exponenciacio modular, que resulta ser lamanera mes eficient de calcul.

5.2. ALGORISME D’ESTIMACIO DE FASE 121

3. Algorisme de la transformacio quantica de Fourier: realitza sobre un arrayde longitud 2m la transformacio indicada. En les aplicacions s’ha optat per a prendrela implementada en el programa LabView per consideracions d’eficiencia.

5.2 Algorisme d’estimacio de fase

El primer modul que s’ha implementat es el corresponent al pas de l’estimacio de fase,degut a la seva vital importancia en la resta d’algorismes. El tauler de control presenta elseguent aspecte:

Figura 5.3: Aspecte del modul de l’algorisme d’estimacio de fase, pel cas de l’estimaciod’una fase de valor 2π · 0.743.

El funcionament d’aquest modul es el que seguira en el seguent:

1. INPUTS: les dades d’entrada son els que es mostren en DADES D’ENTRADA:per una banda, el valor de la fase (valor entre 0 i 1) i el nombre de bits que l’usuari volemprar per aproximar-lo (equivalentment, el nombre de bits amb el que es realitzarala transformacio inversa de Fourier).

2. FUNCIONAMENT: amb les dades de l’INPUT introduıdes, prement el polsadorINICIAR L’ESTIMACIO es realitza una aproximacio del parametre emprant elnombre de bits utilitzats (generant el valor d’aproximacio corresponent).

Coneguts aquests dos valors, es passa al proces d’estimacio de fase, observant el


resultat del valor real en el grafic superior, i el valor del resultat de la transformaciode la aproximacio en el grafic inferior.

En general el que s’observa es que en el primer dels casos, com no podem realitzar unaaproximacio exacta del nombre de bits introduıts per l’usuari, aleshores el q-nombreresultant es de fet una superposicio de q-nombres, molt concentrats al voltant delq-nombre resultant de la transformacio inversa de Fourier de la aproximacio, queutilitza efectivament el nombre de bits que l’usuari a fixat. Tot aixo pot veure’sclarament en la figura .

Aixo va en consonancia amb el que havıem dit, observant que els espais de probabi-litat que s’indueixen son propers en el sentit de la concentracio de la probabilitat.

3. OUTPUTS: a mes a mes de la caracteritzacio dels espais de probabilitat que s’obte-nen, el programa dona la distancia entre els q-nombres que es generen (els q-nombresque es representen al grafic), aixı com les estimacions tant en un cas com en l’altre,del valor que s’estima a partir de la mesura del q-nombre resultant de la transfor-macio inversa de Fourier.

L’usuari pot demanar realitzar una nova iteracio de l’algorisme amb altres valors, o besortir del programa.

En quant a termes de programacio, en trets generals (i no entrant en el control d’errorsi altres) el nucli d’aquest algorisme es precisament la implementacio de la transformacioinversa de Fourier.

S’inclou un fragment del codi a la figura , on es mostra la part mes costosa de l’algorisme,corresponent al calcul de 2 transformacions inverses de Fourier.

5.3 Algorisme de cerca de l’ordre d’elements

Aquest algorisme es basa en la idea d’estimacio de fase amb la qual ja s’ha pogut experi-mentar en el modul que implementa l’algorisme d’estimacio de fase.

L’aspecte que presenta es el que es presenta en la figura 5.5.

S’explicara en el que seguira el funcionament d’aquest modul.

1. INPUTS: inicialment el programa espera els valors de INPUT: el del modul ambel que es vol treballar (MODUL (n)), el valor del que es vol trobar l’ordre (UNITAT(a)), i el valor de la tolerancia ε de l’algorisme per a la estimacio de fase (toleranciade l’algorisme). Aquest ultim valor es pren per defecte igual a 0.01. Una vegadaintroduıts aquests valors, es procedeix polsant sobre el polsador INICIAR L’AL-GORISME. En el cas que el valor a no sigui una unitat de l’anell, el programaretorna error demanant que s’introdueixi una veritable unitat de l’anell (o equiva-lentment, un valor primer amb el modul)

5.3. ALGORISME DE CERCA DE L’ORDRE D’ELEMENTS 123

Figura 5.4: Fragment del codi corresponent al modul d’estimacio de fase. Per la brancasuperior es realitza la estimacio exacta, i per la de sota la estimacio aproximada. Observarl’us de dos moduls corresponents a la transformada quantica inversa de Fourier.

2. FUNCIONAMENT : en INFORMACIO ADDICIONAL, una vegada intro-duıdes les dades basiques per iniciar l’algorisme, es mostra el nombre de bits del mo-dul (nombre de bits del modul), el nombre de bits que emprara l’algorisme per a larealitzacio dels calculs (nombre de bits t) i es dona directament (a forma il·lustrativa)l’ordre que l’algorisme ens ha de donar com a resultat (ordre real).

En aquest punt, comenca propiament l’algorisme, mostrant-se en tot moment l’estatd’aquest en ESTAT DE L’ALGORISME. Per comencar, es mostra les possiblespotencies modul n de la unitat a, i la corresponent mesura, que es mostra en valormesurat de la mateixa taula.

Es passa a la segona taula inferior, on es mostra el resultat de la aplicacio de latransformacio quantica inversa de Fourier, amb les estimacions dels possibles nume-radors. Novament es realitza una mesura i el resultat que s’obte es mostra en valormesurat.

Despres es passa a la taula RESULTATS DE L’ALGORISME DE LA FRAC-CIO CONTINUA, on es calculen els diversos convergents del nombre r

2t , on r esel valor que s’ha obtingut en la mesura del segon grafic inferior.

Si l’algorisme no acaba aquı (ha estimat un divisor de l’ordre real), s’actualitza lanova unitat i es contınua procedint, fins que l’algorisme acaba. En aquest moment,el programa demana si es vol realitzar una nova iteracio de l’algorisme per a valorsdistints, o be si es vol sortir del programa.


Figura 5.5: Aspecte del modul de cerca de l’ordre d’elements, despres d’una iteracio de lacerca de l’ordre de 4 en Z/37Z.

3. OUTPUTS: En el modul de OUTPUTS I ESTADISTIQUES es mostra l’ordreparcial estimat, el nombre d’iteracions que han calgut per tal de trobar l’ordre (jaque en iteracions parcials podem haver trobat un divisor de l’order enlloc del mateixordre) i el temps d’execucio del programa (temps d’execucio (en s)). Aquesta ultimadada no dona massa informacio del algorisme quantic corresponent, ja que la sevaimplementacio s’ha realitzat de forma totalment classica.

Cal fer esment que degut a la implementacio classica d’un algorisme quantic, el tempsd’execucio per a valors grans del modul resulta impracticable: ja per un valor del moduligual a 37, una iteracio de l’algorisme (trobant un divisor de l’ordre), te una duradaaproximada de 3 minuts.

5.4 Algorisme de factoritzacio

L’algorisme de factoritzacio es basa fortament en el modul programat anteriorment quepermet la cerca d’ordres de elements.

De fet, el seu aspecte i funcionament es particularment sencill; es el que es mostra en lafigura 5.6.

No cal realitzar massa explicacions al respecte: introduım un nombre (NOMBRE A FAC-TORITZAR (N)) i es prem INICIAR FACTORITZACIO. L’output es un factor propi

5.5. ALGORISME DE GROVER 125

Figura 5.6: Aspecte del modul de factoritzacio, despres d’haver trobat un factor propi de21.

de l’input (en FACTOR PROPI DE N).

En aquest cas, novament la part costosa de l’algorisme resulta ser l’estimacio d’ordresd’elements.

S’inclou en la figura 5.7 el punt mes important de l’algorisme, en el que cal realitzar elcalcul de l’ordre d’un element, comprovar que el que s’obte es un nombre parell i realitzarel calcul dels corresponents mınim comuns multiples amb el nombre que es vol factoritzar.

Figura 5.7: Detall del punt clau en la cerca d’un factor propi de l’algorisme de factoritzacio.

5.5 Algorisme de Grover

Aquest modul simula l’algorisme de cerca de Grover, i mostra totes les iteracions necessa-ries del proces d’amplificacio d’amplitud.


El modul principal es el que s’inclou a la figura :

Figura 5.8: Aspecte del modul de cerca de cerca de Grover, durant una iteracio parcial

L’algorisme funciona com segueix:

1. INPUTS: en el submodul de INPUT, el programa espera a que l’usuari introdueixiel nombre d’elements amb la propietat (ELEMENTS AMB LA PROPIETAT) i elnombre d’elements total (LONGITUD DE L’ARRAY).

Per la realitzacio de l’algorisme necessitem que el nombre de q-nombres en la super-posicio sigui una potencia de 2, i aixo es el que pren el programa a partir del valorde LONGITUD DE L’ARRAY: triar la potencia de 2 mes petita superior a LON-GITUD DE L’ARRAY. En qualsevol dels casos, els elements que tenen la propietats’escullen de manera aleatoria sobre el conjunt total.

2. FUNCIONAMENT: introduıts aquests valors, en VALORS es mostren el nom-bre d’iteracions optim de l’algorisme (en l’indicador NOMBRE NECESSARI D’I-TERACIONS), aixı com la probabilitat que al realitzar una mesura obtinguem unelement amb la propietat (indicat en PROBABILITAT MESURA ELEMENT AMBLA PROPIETAT). Aquests valors es poden visualitzar abans d’iniciar l’algorisme, ivarien si varien els valors introduıts en INPUT.

Una vegada que fixem els valors de INPUT, passem a inicialitzar l’algorisme pre-ment el polsador COMENCAR. Es mostra, aleshores, la evolucio de les amplitudsen el grafic AMPLITUD PER CADA q-NOMBRE, i en l’indicador denotatper ITERACIO QUE ES MOSTRA, es pot verificar en quin punt de l’algorismeens trobem.

3. OUTPUTS: acabat l’algorisme, es pot comprovar en RESULTATS DESPRESDE L’ALGORISME els resultats i estadıstiques obtingudes: la nova probabili-tat de mesurar un element amb la propietat (en l’indicador PROB. MESURA UN

5.5. ALGORISME DE GROVER 127

ELEMENT AMB LA PROPIETAT DESPRES DE L’ALGORISME), aixı com unasimulacio de mesura, que dona com a resultat el valor que s’indica en Q-NOMBREMESURAT. Finalment, en l’indicador L’ELEMENT MESURAT TE LA PROPIE-TAT indica si l’element que s’ha obtingut te la propietat desitjada.

En qualsevol moment, l’usuari pot consultar les diverses amplituds del q-nombre a estudien AMPLITUDS PER q-NOMBRE.

Una vegada finalitzat l’algorisme, l’usuari pot triar de realitzar una nova simulacio (mit-jancant el polsador INICIAR L’ALGORISME) o be sortir del programa (mitjancantel polsador SORTIR).

Conclusions

En aquest estudi d’introduccio a la computacio quantica s’han intentat tractar tres temesfonamentals, tal com el tıtol del projecte indica: fonaments, algorismes i implementacions.

Fonaments. En la part de fonamentacio s’ha introduıt un model de computacio quanticaen termes purament matematics (algebra i geometria lineal principalment, amb pinzelladesde geometria projectiva) que ens ha permes extreure el contingut matematic de la discussiofısica. D’aquesta manera s’introdueixen els elements d’estudi (q-nombres), les aplicacionsentre ells (computs) i els resultats que en deriven (p-nombres). Aixı mateix, es defineixel concepte de maquina categorica, concepte que a la practica seria de gran interes ja quedona resultats absolutament deterministes.

Seguint amb els fonaments, s’ha continuat amb una especificacio d’aquest llenguatge visualamb l’us d’una circuiteria que hem anomenat quantica, en contraposicio de la circuiteriaclassica. Amb l’us d’aquests diagrames hem aconseguit una major sistematitzacio de laprogramacio “quantica”. Aixı mateix, l’us d’aquest llenguatge abreujat ens ha permescalculs de complexitats i d’equivalencies circuitals de manera forca senzilla.

Finalment, s’ha traduıt aquest model matematic a un model fısic mitjancant els postulatsde la mecanica quantica, i s’ha comprovat que aquest model matematic consisteix, de fet,en una traduccio de llenguatge. Com a exemple d’aquesta traduccio, notem novament larelacio entre el concepte d’espın i la corresponent traduccio en l’esfera de Riemann.

Algorismes. La segona part es correspon amb l’us d’aquest model matematic per arealitzar computs utils. Per a tal objectiu, s’han introduıt les dues tecniques algorısmi-ques mes potents que avui en dia es coneixen: la transformacio quantica de Fourier il’amplificacio d’amplitud.

El primer d’ells permet la resolucio del problema d’estimacio de fase, que resulta ser elpas crucial en l’estimacio de l’ordre d’un element. La resolucio rapida d’aquest problemadona lloc a una solucio rapida del problema classic de factoritzacio de nombres enters.

L’amplificacio d’amplitud dona lloc a un proces que preten que els resultats que s’obte apartir d’una realitzacio del p-nombre resultant sigui el mes proper possible a un resultat

129


cert (o un resultat que compleixi afirmativament una proposicio). Com a cas particulard’aplicacio es mostra l’algorisme de Grover, consistent en cerca d’un element en un conjuntamb una determinada propietat.

Implementacions. Finalment, i com a part d’aplicacions practiques d’aquests algoris-mes s’han realitzat implementacions efectives (que no eficients!) d’alguns dels algorismespresentats previament amb llenguatge de programacio LabView. L’us d’aquest llenguatgeha permes la visualitzacio i comprensio del fenomen de manera mes profunda.

Queda, pero, molt per fer en aquest camp. Si nomes parlem d’aspectes teorics, es clar queinteressa una cerca d’altres algorismes que els presentats i que permetin, si es possible, laresolucio de problemes classificats com a difıcils des de un punt de vista classic.

No ens estendrem aquı mes del que toca, pero alguns dels problemes que han sorgit de ma-nera natural en el desenvolupament d’aquest estudi i que no s’han resolt satisfactoriamentson els seguents:

1. Donar cotes optimes per a les descomposicions de computacions quantiques, tantquan s’usen q-nombres auxiliars com s’usen.

2. Donar criteris generals per tal de saber si existeixen implementacions categoriquesd’un cert algorisme.

3. Traduccio d’estructures mes complexes com son les memories en el marc del modelmatematic de la computacio quantica. Pel principi de no clonacio de la mecanicaquantica la solucio d’aquest problema no pot ser en cap dels casos similar al casclassic.

4. Donar tecniques algorısmiques per a problemes que no tinguin caire aritmetic ni decerca, com podrien ser problemes relatius a grafs: cerca de camins hamiltonians,cerca de rutes optimes, cerca del grup d’automorfismes d’un graf, . . .

Part IV

Apendixs

131

Apendix A

Analisi funcional i conceptesrelacionats

A.1 Espais de Hilbert i conceptes relacionats

Per tal que el desenvolupament de la teoria de la computacio quantica resulti satisfactoria(tant des de un punt de vista matematic com des de un punt de vista fısic), cal comencarintroduint un lloc de treball.

Aquest locus haura de ser un espai de Hilbert, i per tant cal coneixer el que es, les sevespropietats i conceptes relacionats.

Malgrat que la teoria d’espais de Hilbert que cal en el nostre cas particular sera benrestringida (espais vectorials de dimensio finita), creiem convenient introduir un petitscomentaris referents a una teoria un tant mes general.

A.1.1 Espais normats, espais complets i espais de Hilbert

Sigui V un C-espai vectorial (de dimensio finita o arbitraria), i sigui ‖ · ‖ una aplicacio deV en R que compleix les tres propietats seguents:

1. ‖u‖ ≥ 0 i val 0 si i nomes si u = 0.

2. ‖au‖ = |a|‖u‖ per a qualsevol a ∈ C.

3. ‖u + v‖ ≥ ‖u‖+ ‖v‖ i es dona amb igualtat si i nomes si u = av per a ∈ C

En aquesta situacio podem definir el seguent:

Definicio A.1.1 Una aplicacio com l’anterior es diu que es una norma de V .

133

134 APENDIX A. ANALISI FUNCIONAL I CONCEPTES RELACIONATS

Definicio A.1.2 El conjunt (V, ‖ · ‖) se l’anomena espai normat.

Havent definit una norma sobre un espai vectorial, ja tenim en ell la nocio de convergencia.

Mes en concret:

Definicio A.1.3 Sigui unn≥1 una successio d’elements de l’espai (V, ‖ · ‖). Diem quela successio es convergent en (V, ‖ · ‖) vers un element u si es compleix que

limn→∞ ‖un − u‖ = 0 (A.1)

Una altra forma de pensar la convergencia d’una successio es imaginant que els termesd’aquesta cada vegada estan mes propers els uns dels altres (mes propers en el sentit de lanorma definida sobre l’espai vectorial corresponent). Aixo deriva en la seguent definicio:

Definicio A.1.4 Sigui unn≥1 una successio d’elements de l’espai (V, ‖ · ‖). Diem quela successio anterior es una successio de Cauchy fixat un ε > 0, hi ha un n0 ∈ N pelqual per a qualsevol n,m > n0 es compleix que

‖un − um‖ < ε (A.2)

Es facil comprovar que tota successio convergent es de Cauchy pero en general tota succes-sio de Cauchy no es convergent. Els casos en que aixo si que es cert es en el que nosaltresprendrem:

Definicio A.1.5 L’espai (V, ‖·‖) es complet o es un espai de Banach si tota successiode Cauchy es convergent.

Fins aquı hem vist les definicions elementals del que seria un espai normat. Ara el quefarem sera prendre un conjunt d’espais encara una mica mes particulars. De fet, tenim laseguent definicio:

Definicio A.1.6 Donat un espai vectorial V sobre C, una aplicacio (·, ·) : V × V −→ Ces diu que es un producte escalar si es bilineal, hermıtic i definit positiu.

La aplicacio (·, ·) tambe sol escriure’s com 〈·|·〉. Si unim aquesta aplicacio amb l’espaiambient, el que tenim es una nova estructura:

Definicio A.1.7 Si (·, ·) es un producte escalar definit sobre V × V , llavors es diu que(V, (·, ·)) es un espai pre-hilbertia.

A.1. ESPAIS DE HILBERT I CONCEPTES RELACIONATS 135

Observar que, en concret, tot espai pre-hilbertia es un espai normat prenent la norma ‖ · ‖definida segons ‖u‖ = (u, u). Agrupant ara totes aquestes definicions, arribem finalmenta la definicio del marc de treball en el que ens trobarem:

Definicio A.1.8 Un espai (V, (·, ·)) es diu que es un espai de Hilbert si es pre-hilbertiai la norma induıda per (·, ·) fa que l’espai normat (V, ‖ · ‖) sigui un espai complet.

En el cas d’espais de Hilbert de dimensio finita, es pot escriure tot element com a combi-nacio lineal d’un conjunt finit d’elements. Aixo no sempre resulta cert en el cas d’espaisde dimensio arbitraria. Mes en concret:

Definicio A.1.9 Un conjunt fii∈I es diu que es base de Fourier de H, si per totelement u ∈ H existeix una successio de vectors vn ≡

∑ni=1 anfn amb lımit u.

Fixar una base de Fourier en un determinat espai de Hilbert H indueix representacionsmatricials (potser infinites) tant pels elements de l’espai com pels operadors que es podendefinir en aquest.

En el nostre cas, la determinacio d’una base de Fourier sera trivial perque estarem tractantamb espais vectorials de dimensio finita, i com a consequencia totes les expressions que enresultin (expressions en coordenades) seran finites.

A.1.2 Formes lineals en un espai de Hilbert

Com l’espai H es de Hilbert, tota 1-forma lineal fitada Φ : H → C pot definir-se, per uncert element φ ∈ H, com:

Φ : H → Cϕ 7→ Φ(ϕ) = (φ, ϕ)

(A.3)

denotant aquest conjunt per H′, tenim que la injeccio

RF : H → H∗φ 7→ Φ = (φ, ·) (A.4)

es, de fet, un isomorfisme. Aquest resultat es el que es coneix com teorema de repre-sentacio de Riesz-Frechet.

Aquest resultat es cert per a qualsevol espai de Hilbert; en el nostre cas es pot deduir demanera immediata per l’isomorfisme no canonic entre l’espai de Hilbert i el seu dual.

A.1.3 Operadors hermıtics, operadors unitaris i projectors

Sembla natural ara estudiar aplicacions lineals que tinguin com a espai de sortida el nos-tre espai de Hilbert H i com a espai d’arribada el mateix espai, pero que a mes siguin


“compatibles” amb el producte escalar que es defineix sobre l’espai.

Per comencar la discussio, el que tenim es la seguent definicio:

Definicio A.1.10 Donat un operador lineal A en l’espai de Hilbert H, diem que A† es elseu operador adjunt si per a qualsevol parella de vectors u, v ∈ H es verifica que

(u,Av) = (A†u, v) (A.5)

es pot demostrar que un tal operador sempre existeix sota certes condicions. En concret,estem interessats en aquells que coincideixen amb el seu adjunt:

Definicio A.1.11 Un operador A en un espai de Hilbert H es diu que es hermıtic si esautoadjunt (A = A† en el domini de definicio de A).

Com a consequencia d’aquest fet, es sencill demostrar que els valors propis de A nomespoden ser reals (no poden ser complexos amb part imaginaria distinta de 0). De fetrealment el que es te es que el conjunt de vectors propis amb distints valors propis d’unoperador hermıtic formen una base de Fourier de l’espai de Hilbert corresponent.

Un conjunt important d’operadors hermıtics son els anomenats projectors:

Definicio A.1.12 Un operador lineal P es diu que es un projector si es un operadorhermıtic i verifica que P 2 = P .

En particular, qualsevol subespai vectorial W de H indueix un projector PW .

Mes en general, una base de Fourier fii∈I indueix una particio del operador identitatsegons

Id =⊕

i∈I

P〈fi〉 (A.6)

on 〈fi〉 denota el subespai vectorial generat per fi.

Uns altres operadors que per la seva importancia caldra mencionar aquı son els operadorsunitaris:

Definicio A.1.13 Un operador U es diu unitari si es compleix que UU † = U †U = Id.

En concret, els operadors unitaris conserven la norma dels vectors:

(Uv,Uv) = (U †Uv, v) = (Idv, v) = (v, v) (A.7)

A.1. ESPAIS DE HILBERT I CONCEPTES RELACIONATS 137

A.1.4 Producte tensorial d’espais de Hilbert

Es comencara amb un desenvolupament del tema similar al que es realitza, per exemple,en [AtiMac69].

Considerem ara U i V dos espais vectorials definits sobre C. El que pretenem es construirun nou espai vectorial, tambe sobre C, que tingui tant la informacio que ens dona l’espaiU com V , aixı com introduir una certa “interaccio” entre ells.

En concret, definim un nou conjunt U⊗V definit pel conjunt de parelles u⊗v, amb u ∈ U ,v ∈ V , de tal forma que el producte ⊗ te les seguents propietats:

(u1 + u2)⊗ v = u1 ⊗ v + u2 ⊗ vu⊗ (v1 + v2) = u⊗ v1 + u⊗ v2

(cu)⊗ v = u⊗ (cv) = c(u⊗ v), c ∈ C(A.8)

on s’enten que ui ∈ U , vi ∈ V . Aquestes propietats demostren que la nova estructuraU ⊗ V es de fet un espai vectorial sobre C, i que anomenem producte tensorial de U ide V .

A mes a mes, si els dos espais vectorials U i V ho son de dimensio finita, aleshores U ⊗ Vtambe ho es i de dimensio

dim(U ⊗ V ) = dim(U) dim(V ) (A.9)

En concret, si el conjunt aii=1,...,n es una base de U i bjj=1,...,m n’es una de V , llavorsel conjunt

ai ⊗ bji=1,...,n; j=1,...,m (A.10)

es una base de U ⊗ V .

Tot element de U ⊗ V pot escriure’s de la forman∑

i=1

m∑

j=1

rijai ⊗ bj (A.11)

on rij es un nombre complex per a qualsevol i, j dins del rang fixat.

En tot el que vindra suposarem que tant U com V son de dimensio finita, ja que estareminteressats en les expressions en coordenades dels diversos objectes que es poden definiren aquest nou espai vectorial.

Si els espais U i V eren espais de Hilbert amb un producte escalar ·, · per U i [·, ·] perV . Podem definir de manera natural un producte escalar en U ⊗ V , que denotarem comes habitual per (·, ·), que es defineix sobre els elements de la base (les respectives bases enU i en V les podem suposar ortonormals, ja que tant U com V son de dimensio finita, ipodem aplicar per tant el proces de Gram-Schimdt) segons:

(ai ⊗ bj , ai′ ⊗ bj′) = ai, ai′[bj , bj′ ] = δii′δjj′ (A.12)


on les deltes de Kronecker valen 1 si i nomes si i = i′ i j = j′.

Una vegada hem vist com construim els elements de U ⊗V partint dels elements de U i deV , sembla natural ara intentar construir aplicacions lineals en U ⊗V partint d’aplicacionslineals definides en U i en V .

Sigui doncs A : U → U ′ i B : V → V ′ dues aplicacions lineals entre C-espais vectorialsde dimensio finita. Ja sabem construir els espais tensorials U ⊗ V i U ′ ⊗ V ′ segons hemcomentat. Definim, aleshores, un nou operador A⊗B segons:

A⊗B : U ⊗ V −→ U ′ ⊗ V ′∑n

i=1

∑mj=1 rijai ⊗ bj 7→ ∑n

i=1

∑mj=1 rij(Aai)⊗ (Bbj)

(A.13)

en concret, la imatge d’un element de la base ai ⊗ bj es (Aai)⊗ (Bbj).

Si ara l’aplicacio lineal A s’escriu en la base aii=1,...,n com A = (Ars)r=1,...,n; s=1,...,n′ ,i B s’escriu en la base bjj=1,...,m com B = (Apq)r=1,...,m; s=1,...,m′ , interessa coneixer laexpressio matricial de A⊗B en la base ai ⊗ bji=1,...,n; j=1,...,m.

Observacio A.1.1 Existeix una teoria algebraica molt mes general que la exposada aquı,en el que U i V son en general moduls sobre un anell. Igualment, la construccio del modulU ⊗ V no es realitza definint els corresponents generadors, ans el que es fa es definiruna certa relacio d’equivalencia sobre el conjunt U × V . Per als nostres proposits, podemprescindir d’aquesta abstraccio i continuar amb les hipotesis que s’han introduıt al principid’aquesta seccio.

A.2 Transformacions de Fourier

Es ben reconegut per tothom que un dels algorismes mes importants en l’ambit de lestelecomunicacions es la transformada de Fourier en el context analogic i la corresponenttransformada discreta de Fourier en el context digital (amb la celebre implementacio FFTo transformada rapida de Fourier).

En el context de la computacio quantica resulta ser igualment una eina molt potent pera tractar problemes relacionats amb la cerca de perıodes de funcions (cosa que es moltmes facil de detectar en el domini de la frequencia que en el domini temporal). L’einaper a la realitzacio d’aquest calcul sera la transformada quantica de Fourier, que recull elcomportament de la transformada de Fourier en els ambits abans indicats.

Resulta, doncs, indispensable, coneixer aquesta mena de transformades per tal de poder-lestraduir de manera satisfactoria al marc que a nosaltres ens interessa.

A.2. TRANSFORMACIONS DE FOURIER 139

A.2.1 Transformada contınua de Fourier

Considerem el conjunt de funcions complexes de variable real de modul integrable (quedenotarem per L(R)).

Definicio A.2.1 Donada h ∈ L(R), la transformada contınua de Fourier de h esuna funcio H(f) definida segons

H(f) =∫

Rf(x)e−i2πfxdx (A.14)

De forma similar, se’n dedueix la transformacio inversa segons:

h(x) =∫

RH(f)ei2πfxdf (A.15)

En aquesta situacio, H(f) en general no pertany a L(R). A mes a mes, s’ha d’entendreque la segona expressio es certa llevat, potser, en un conjunt de mesura nul·la.

Una interpretacio d’aquesta transformacio es un pas al lımit del desenvolupament en seriede Fourier mitjancant funcions trigonometriques en l’interval [−L

2 , L2 ] quan L → ∞. En

aquest cas, el que fem (en un sentit ”fısic”) es escriure la funcio f(x) com una superposicioinfinita d’ones planes (es com s’anomena en el context fısic a les exponencials d’exponentimaginari pur).

En el context de la fısica quantica, que compren la traduccio fısica de la computacioquantica, ens interessa treballar amb operadors unitaris. En general, la transformacio deFourier no ho es. Ara be, si ens restringim al conjunt de les funcions de quadrat integrableL2(R) llavors efectivament la transformacio de Fourier es una isometria.

En concret: ∫

R|h(x)|2dx =

∫

R|H(f)|2df (A.16)

Aquesta igualtat es la ben coneguda identitat de Parseval.

A.2.2 Transformacions discretes de Fourier

En la majoria d’aplicacions de tractament de dades no tenim funcions contınues; el quetenim son mostres d’aquestes. Podem tanmateix realitzar transformacions similars a lestransformacions de Fourier contınues, pero ara en un marc discret.

Sigui an el terme general d’una serie absolutament convergent; es a dir, una serie quecompleix la propietat

∞∑

n=0

|an| < ∞ (A.17)


Podem definir, en aquest marc, la funcio A : R −→ C definida segons:

A(f) =∞∑

n=0

ane−i2πnf (A.18)

que defineix un funcio complexa de variable real ja que en cadascun dels punts f , la funcioA(f) esta ben definida. De fet, la successio de funcions:

AN (f) =N∑

n=0

ane−i2πnf (A.19)

convergeix uniformement cap a A(f) i, aixı doncs, A(f) es de fet tambe una funcio contı-nua.

Definicio A.2.2 La funcio A(f) anterior es la transformada de Fourier de la seriedefinida pel terme general an.

Observacio A.2.1 Tota sequencia finita admet una transformada discreta de Fourier dela seguent forma: sigui a1, a2, . . . , aM aquesta sequencia. Llavors prenent la serie definidaper la successio de terme general

bn =

an, 1 ≤ n ≤ M0, n > M

(A.20)

en resulta que es absolutament convergent, i per tant podem aplicar tot l’anterior.

Observar aixı que donada una serie, li estem associant una funcio 1-periodica definidasobre tot R. Podem, llavors, invertir la transformacio segons:

an =12π

∫ π

−πA(ω)eiωndω (A.21)

On ara prenem la variable ω = 2πf . Respecte a aquesta variable la transformada deFourier ara es 2π-periodica.

En moltes situacions la condicio de convergencia uniforme, que ens assegura que la trans-formada de Fourier sera una funcio contınua, resulta massa estricta. Podem demanar,llavors que es compleixi la convergencia quadratica segons:

limN→∞

∫ π

−π

∣∣∣∣∣A(ω)−N∑

n=0

ane−iωn

∣∣∣∣∣

2

dω = 0 (A.22)

Sobre series de quadrat sumable. (Es a dir, que∑∞

n=0 |an|2 < ∞). En aquest cas es teque A(ω) pot tenir un nombre de finit de discontinuıtats de salt en [−π, π].

A.2. TRANSFORMACIONS DE FOURIER 141

A.2.3 Transformada discreta de Fourier

Fins ara hem vist transformacions de funcions en funcions i transformacions de series enfuncions. Finalment, passem ja a tractar les transformacions de sequencies en sequencies,que en les aplicacions es realment el que es realitza.

Mes en concret:

Definicio A.2.3 Donada la avaluacio d’una funcio f en un conjunt de Q punts a mateixadistancia, la transformada discreta de Fourier (o de manera mes abreujada, DFT )de (f0, . . . , fQ−1) es DFT (f0, . . . , fQ−1) = (f0, . . . , fQ−1), amb

fk =Q−1∑

j=0

fje−i 2π

Qkj (A.23)

De fet, la transformada discreta de Fourier no es mes que un mostreig de la transformaciode Fourier de la serie definida per la successio f0, . . . , fQ−1, 0, 0, . . . amb separacio entremostres 2π

Q .

Amb aquesta definicio es te que la transformacio es invertible, segons:

fn =1Q

Q−1∑

k=0

fkei 2π

Qkn (A.24)

Un cas ben interessant es aquell en el que el valor de Q es una potencia de 2: Q = 2m.En aquesta situacio, existeix una implementacio molt eficient de l’algoritme, anomenadaFFT (de Fast Fourier Transformation) que permet reduir notablement el nombre decomputacions necessaries.

La idea fonamental es la seguent: hem vist que de la definicio de DFT es tenia que

fk =Q−1∑

j=0

fje−i 2π

Qkj (A.25)

Si ara ens restringim al cas de Q = 2m, podem escriure l’anterior suma com

2m−1∑

j=0

fje−i 2π

2m kj =2m−1∑

j=0, parell

fje−i 2π

2m kj +2m−1∑

j=0, senar

fje−i 2π

2m kj (A.26)

i escrivint j = 2r per j parell (i doncs, r = 0, 1, . . . , 2m−1 − 1) i j = 2r′ + 1 per j senar (ir′ = 0, 1, . . . , 2m−1 − 1) se’n deriva que l’anterior ho podem escriure com:

2m−1∑

j=0

fje−i 2π

2m kj =2m−1−1∑

r=0

f2re−i 2π

2m−1 kr + e−i 2π2m k

2m−1−1∑

r′=0

f2r′+1e−i 2π

2m−1 kr′ (A.27)


Observar ara que el que s’ha obtingut son precisament la suma de dos DFT , una de lesquals es troba multiplicada per una fase.

Aquest esquema dota el calcul de la DFT d’una estructura recursiva natural: per al calculde la DFT de 2m punts, basta realitzar dos FTS de 2m−1 punts i sumar.

Si denotem per T (m) el nombre d’operacions necessaries per tal de calcular la DFT de2m punts segons aquest metode, aleshores es te que:

T (2m) = 2T (2m−1) + O(1) (A.28)

on el terme O(1) sorgeix del producte per la exponencial en el segon terme i la posteriorsuma. D’aquı es despren que T (2m) = O(log m). Ara be, aquesta operacio s’ha de realitzarun nombre O(2m), i per tant, aquest algorisme pel calcul eficient de la DFT te costO(m2m).

En la resta de situacions (en les que la longitud de les dades no es una potencia de 2) nopodem aplicar aquest metode, i podem nomes aspirar a realitzar el calcul en O(22m).

L’esquema mes habitual per a la implementacio d’aquest algorisme (de forma efectiva)es emprant el diagrama de la papallona. Es un metode ben conegut en el mon de lestelecomunicacions i que pot trobar-se en qualsevol introduccio a la teoria del senyal enfrequencia.

Apendix B

Resultats diversos en teoria denombres

En diverses parts d’aquest estudi apareix de forma natural l’anell d’enters modul n. Resul-ta necessari, doncs, introduir la notacio necessaria per a tal de poder comprendre el modusoperandi en aquest entorn, aixı com resultats relacionats que necessitarem per arribar alnostre proposits.

Per al lector avid de referencies, pot trobar una bona visio de la aritmetica modular i deles seves aplicacions en teoria analıtica de nombres en [Apos76], i en quant a la teoria defraccions contınues, [HarWri78] es un text classic del tema.

B.1 Terminologia i primers resultats

Siga G un grup cıclic d’ordre n, que podem identificar amb Z/nZ.

El primer resultat fonamental es el seguent:

Lema B.1.1 Siguin p i q dos primers distints. Llavors es compleix que Z/paqbZ 'Z/paZ× Z/qbZ.

Demostracio:Basta establir la seguent aplicacio de reduccio:

f : Z/paqbZ → Z/paZ× Z/qbZx 7→ (x (mod pa), x (mod qb))

(B.1)

es trivial demostrar que esta ben definit i que conserva les operacions, i que per tant estracta d’un morfisme de grups. A mes a mes, es bijectiu, amb la qual cosa es tracta d’unisomorfisme. ¤

143

144 APENDIX B. RESULTATS DIVERSOS EN TEORIA DE NOMBRES

I finalment la seva generalitzacio:

Proposicio B.1.1 Siguin n = pα11 . . . pαr

r la descomposicio del natural n en producte deprimers. Llavors es compleix que Z/nZ ' Z/pα1

1 Z× Z/pα22 Z× · · · × Z/pαr

r Z

Demostracio:Es una simple generalitzacio del lema anterior. El procediment es analeg. ¤

Fixat un grup finit G, es natural definir per cada element x ∈ G el subgrup 〈x〉, consistenten els elements de G que poden escriure’s de la forma xr, amb r ∈ Z.

Com el grup es finit, ha d’existir un cert r pel qual xr = 1. Aquest valor de r depen dex i l’anomenarem ordre de x en G, i ho escriurem mes abreujadament per ord(x), on jaes dona per entes que el grup es G.

Si ens restringim al cas de grups abelians finits cıclics, G ' Z/nZ, aleshores podem definirel seguent:

Definicio B.1.1 Un conjunt reduıt de residus es un subconjunt de Z, akk∈K ambles propietats seguents:

1. Dos elements qualsevol ai, aj ∈ akk∈K no son congruents modul n.

2. Tot element de akk∈K es primer amb n.

En concret, podem prendre un conjunt reduıt de residus akk∈K ⊂ 1, 2, . . . , n − 1.L’anomenarem conjunt reduıt de residus fonamental.

Aquest estara format pels elements positius mes petits que n primers amb n: per tant, lacardinalitat de qualsevol conjunt reduıt de residus es precisament ϕ(n).

Una observacio clau es la seguent: si akk∈K es un sistema reduıt de residus, i a esun nombre primer amb n, aleshores el conjunt aakk∈K es tambe un conjunt reduıt deresidus.

Aquesta observacio ens permet escriure el seguent teorema, de gran importancia:

Teorema B.1.1 (Teorema d’Euler) Sigui G = Z/nZ i x un enter primer amb n. Ales-hores es compleix que :

xϕ(n) ≡ 1 (modn) (B.2)

B.2. UNITATS DE Z/NZ 145

Demostracio:Considerem el conjunt de residus fonamental akk=1,...,ϕ(n) i el corresponent sistema reduıtde residus xakk=1,...,ϕ(n).

Com es tracta de dos sistemes reduıts de residus distints, en concret per a cada i, existeixun j pel qual xai ≡ aj (modn).

Multiplicant en cadascuna de les bandes, el que obtenim es:

xϕ(n)

ϕ(n)∏

i=1

ai ≡ϕ(n)∏

j=1

aj (modn) (B.3)

simplificant s’indueix el que volıem demostrar, ja que els productes∏ϕ(n)

i=1 ai tenen inversaen Z/nZ, i per tant es poden eliminar. ¤

D’aquı es dedueix en concret que ord(x) divideix a ϕ(n) per a tot x.

Una particularitzacio del teorema d’Euler es dona quan n es primer, amb el que es te elteorema de Fermat:

Teorema B.1.2 (Teorema de Fermat) Sigui G = Z/pZ amb p primer, i x enter pri-mer amb p. Aleshores es compleix que:

xp−1 ≡ 1 (mod p) (B.4)

Demostracio:Trivial a partir del teorema d’Euler, ja que ϕ(p) = p− 1 per a p primer. ¤

Si ara enlloc de prendre un element primer amb p, el prenem multiple de p, es clar queap ≡ a (mod p). Per tant, per a qualsevol nombre a ∈ Z/pZ el que es compleix es queap ≡ a (mod p).

B.2 Unitats de Z/nZ

Donat el grup G = Z/nZ es trivial demostrar que G te estructura de cos si i nomes si n esun nombre primer i, si aixo es compleix, tot element diferent de 0 es invertible. En aquestcas el conjunt d’elements invertibles es precisament Z/nZ− 0.

En general per a un n qualsevol, el conjunt d’elements invertibles formen un grup de ϕ(n)elements.


Mes en concret:

Definicio B.2.1 El grup de les unitats de Z/nZ, que denotarem per Z/nZ∗ es el grupformat pels elements invertibles de Z/nZ.

De fet, el conjunt reduıt de residus modul n es un conjunt maximal d’elements invertibles,i per tant pot dotar-se d’estructura de grup amb el producte.

En el que seguira es donara la idea de l’estructura d’aquest grup. Observar que si n s’escriucom pα1

1 pα22 . . . pαr

r , a partir de l’isomorfisme

Z/nZ ' Z/pα11 Z× Z/pα2

2 Z× · · · × Z/pαrr Z (B.5)

se’n despren immediatament que

Z/nZ∗ ' Z/pα11 Z

∗ × Z/pα22 Z

∗ × · · · × Z/pαrr Z∗ (B.6)

D’aquesta manera nomes cal que ens restringim al estudi de grups de la forma Z/paZ∗,amb p primer.

El resultat fonamental tambe es de sencilla demostracio i pot trobar-se en [Apos76]

Teorema B.2.1 (Caracteritzacio dels grups d’unitats cıclics) Donat un enter po-sitiu n, llavors (Z/nZ)∗ es un grup cıclic si i nomes si n = 1, 2, 4 o be n = pa, 2pa, on pes primer i a es arbitrari

Ometem aquı la demostracio perque es extensa degut als diversos casos a tractar. Enqualsevol cas, el lector pot trobar la demostracio completa en la referencia esmentada.

En general, doncs, en problemes de factoritzacio com el que es tracta aquı, els possiblesque es trobaran seran divisors propis del corresponent ϕ(n).

B.3 Fraccions contınues

En l’extraccio de la fase en els algoritmes basats en la estimacio de fase es requereix d’unalgoritme relacionat amb el que anomenem fraccions contınues, aixı com la validesade la estimacio que estem realitzant. Es escaient, doncs, incloure unes breus notes sobreaquesta teoria.

B.3. FRACCIONS CONTINUES 147

B.3.1 Definicions i consequencies

Definirem directament el que es una fraccio contınua simple i els seus convergents:

Definicio B.3.1 Sigui ann≥0 una successio de nombres naturals.

1. La fraccio contınua simple associada a la serie ann≥0 es el nombre:

[a0, a1, a2, . . . ] = a0 +1

a1 + 1a2+ 1

...

(B.7)

2. El k-essim convergent de [a0, a1, a2, . . . ] es la fraccio contınua [a0, . . . , ak, 0, 0, . . . ],que escriurem sense els punts suspensius [a0, a1, . . . , ak] .

Per simplificar, direm fraccio contınua enlloc de fraccio contınua simple i convergent enllocde k-essim convergent. Observar que tot nombre real te associada una fraccio contınuasimple, que en general no es unica: efectivament, les fraccions contınues [a0, a1, . . . , ak] i[a0, a1, . . . , ak−1, 1] representen el mateix nombre real (de fet el mateix nombre racional);es pot suposar sempre que un nombre racional pot representar-se com una fraccio contınua[a0, a1, . . . , ak], on k es sempre parell.

En concret, es tenen algunes propietats immediates:

• Qualsevol convergent d’una fraccio contınua es un nombre racional, ja que pot es-criure’s com un element de la forma p

q , amb p, q ∈ N.

• La fraccio contınua associada a un nombre racional es finita, o equivalentment, lasuccessio ann≥0 es 0 d’un lloc en endavant. Aixo es clar perque tot racional potescriure’s de la forma p

q . Si p > q, escrivim

p

q= a0 +

1q

p (mod q)

(B.8)

i doncs, hem reduıt el problema de trobar la fraccio contınua associada a pq a trobar

la fraccio contınua associada al racional qp (mod q) .

Observar que s’han reduıt tant el numerador com el denominador, i com aquestssempre en resulten ser naturals, el proces ha d’acabar en algun moment.

B.3.2 Fraccions contınues per nombres racionals

Per als nostres objectius basta que estudiem nomes els desenvolupaments en fraccio con-tınua de nombres racionals, aixı com les seves propietats mes remarcables.


Sigui pq un nombre racional, amb desenvolupament per fraccio contınua igual a [a0, a1, . . . , az],

i sigui pn

qn= [a0, a1, . . . , an] el n-essim convergent de p

q , per n < z. En aquesta situaciotenim el seguent resultat:

Proposicio B.3.1

1. pn compleix la relacio de recurrencia seguent:

p0 = a0; p1 = 1 + a0a1

pn = anpn−1 + pn−2, n ≥ 2(B.9)

2. pn compleix la relacio de recurrencia seguent:

q0 = 1; q1 = a1

qn = anqn−1 + qn−2, n ≥ 2(B.10)

Demostracio:Les condicions inicials s’obtenen directament d’escriure els dos primers convergents de p

q .La resta de casos ho farem per induccio sobre n. De la identitat formal (observar quel’ultim terme no es un nombre natural)

[a0, a1, . . . , an] = [a0, a1, . . . , an−2, an−1 +1an

] (B.11)

com en el terme de la dreta apareix un terme menys (es un n−1-essim convergent d’un certnombre racional) i els convergents anteriors dels dos nombres coincideixen (pr = pr; qr = qr

per r < n− 1) podem aplicar induccio i escriure:

pn

qn=

pn−1

qn−1= [a0, a1, . . . , an−2, an−1 +

1an

] =

(an−1 + 1

an

)pn−2 + pn−3(

an−1 + 1an

)qn−2 + qn−3

=pn−1 + pn−2

an

qn−1 + qn−2

an

(B.12)Basta multiplicar ara per an a dalt i a baix per obtenir el que volıem.

¤

De fet, es te a mes el seguent resultat:

Proposicio B.3.2 Es compleix que qnpn−1 − pnqn−1 = (−1)n.

Demostracio:Es cert per n = 0 i per n = 1, i basta llavors aplicar induccio sobre n. ¤

D’aquesta segona proposicio es dedueix que (pn, qn) = 1.

Amb totes aquestes eines ja podem passar a enunciar a demostrar el resultat clau en elpas d’estimacio fase:

B.3. FRACCIONS CONTINUES 149

Teorema B.3.1 (Caracteritzacio de convergents) Sigui pq un nombre racional que

compleix que∣∣∣pq − x

∣∣∣ ≤ 12r2 , per a x racional. Aleshores, p

q es un convergent de x.

Demostracio:Sigui p

q = [a0, a1, . . . , an]; amb la notacio de la proposicio B.3.1 es te que pn

qn= p

q . Definimla seguent parella de parametres:

x = pn

qn+ δ

2q2n

λ = 2(

qnpn−1−pnqn−1

δ

)− qn−1

qn

(B.13)

D’aquestes dues definicions es despren que tant δ com λ son nombres racionals, i a mesque:

1. Com per hipotesis |pq − x| < 12q2 , se’n dedueix que |δ| < 1: basta agafar la equacio

que defineix δ i aıllar-la.

2. λ verifica que

x =λpn + pn−1

λqn + qn−1(B.14)

per tant, podem escriure x = [a0, a1, an, λ]. Com podem suposar que el desenvolu-pament de p

q te un nombre senar d’elements (i per tant, n sera parell), en virtut dela proposicio B.3.2 la expressio de λ es:

λ =2δ− qn−1

qn(B.15)

i com qn = anqn−1 + qn−2 > qn−1, ja que tots els termes son positius, en resultaque λ > 1. Per tant, λ es un nombre racional mes gran que 1, i per tant admetdesenvolupament finit en fraccio contınua: λ = [b0, b1, . . . , bm], i per tant el desen-volupament en fraccio contınua de x es [a0, a1, . . . , an, b0, b1, . . . , bm], i aixı doncspq = [a0, a1, a2, . . . , an] es un convergent de x.

¤

B.3.3 Algoritme de la fraccio contınua

El metode de calcul de la fraccio contınua (o equivalentment, dels termes ar coneguts elsvalors de p i q en la fraccio p

q ) sera tambe de vital importancia en l’estimacio de la fase enel cas de la cerca de l’ordre d’elements i en la seva aplicacio mes immediata corresponenta la factoritzacio.

Per aquesta rao introduirem aquı un analisi detallat d’aquest algoritme, aixı com el nombreaproximat d’operacions necessaries per a realitzar-lo.


L’algoritme de fet ja l’hem presentat al principi d’aquesta seccio, i no es basa mes queen realitzar una serie d’inversions i de divisions del nombre p

q inicial. Mostrar-ho amb unexemple sera millor que allargar-se mes del necessari:

Exemple B.3.1 Suposem que volem trobar el desenvolupament en fraccio contınua delnombre 28

17 , emprant l’algoritme de la fraccio contınua. Els passos a seguir son els ques’esquematitzen:

2817

= 1+1117

= 1+11711

= 1+1

1 + 611

= 1+1

1 + 1116

= 1+1

1 + 11+ 5

6

= 1+1

1 + 11+ 1

65

= 1+1

1 + 11+ 1

1+15

(B.16)per tant, el desenvolupament en fraccio contınua de 28

17 es [1, 1, 1, 1, 5].

L’algoritme es sencill, pero ens interessa saber una fita per la seva complexitat, i per a talcosa, cal preguntar-se el seguent: donat p

q i el seu desenvolupament en fraccio contınua[a0, a1, . . . , ar], quin es el valor de r en termes de p i de q.

Hem vist abans que pr = p i qr = q, i que aquests s’obtenen de les relacions de recurrenciadonades per B.3.1.

Fixem un valor de r. Com es te que ps = asps−1 + ps−2 i qs = asqs−1 + qs−2, i as ≥ 1, elsvalors de pr i qr mes petits per un valor de r donats s’assoleixen quan prenem as = 1, ∀s,que es correspon amb els termes de la successio de Fibonacci, fnn≥0, successio que creix

com O((

1+√

52

)n)=O(φn), on φ es el ben conegut nombre d’or o seccio auria.

Per tant, si f1,n es el nombre de la successio de Fibonacci immediatament mes gran que pr

i equivalentment amb f2,n i qr, aleshores es clar que si pq = [a0, . . . , ar] i f1,n

f2,n= [a0, . . . , an],

aleshores:r ¹ logφ (maxf1,n, f2,n) (B.17)

per tant, prenent fn = maxf1,n, f2,n, aleshores una fita pel nombre r es el nombre determes en el desenvolupament de fn

fn−1, que es exactament el valor n.

Finalment, si el maxim de p i q s’escriu amb L bits, aleshores fn = maxf1,n, f2,n s’es-criu amb O(L) bits, i per tant en concloem que el nombre r que estavem buscant seraefectivament O(L).

Aquest resultat que hem deduıt ens dona el nombre d’iteracions que caldra realitzar enaquesta algoritme. Caldra traduir de manera adient on s’escaigui aquest algoritme alllenguatge de les portes quantiques, ja que cada iteracio tindra un cost determinat.

Bibliografia

[AKN02] M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena: PRIMES is in P. 43th IEEE Symposiumon Foundations of Computer Science, pagines 302− 309, any 2002

[Alb01] G. Alber, T. Beth et al.: Quantum Information: an Introduction to BasicTheoretical Concepts and Experiments. Springer Tracts in Modern Physics,numero 173, any 2001

[Apos76] T. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Textsin Mathematics, Springer-Verlag, any 1976

[AtiMac69] M. Atiyah, i. Macdonald: Introduction to Commutative Algegra. Addison-Wesley Publishing Company, any 1969

[Bare95] A. Barenco et al.: Elementary gates for quantum computation. Phys. Rev.Letters, volum 52, pagines 3457− 3467, any 1995

[BDMT98] G.Berman et al.:Introduction to Quantum Computers. World Scientific, any1998

[CRSS97] A.R. Calderblank, E.M.Rains, P.W. Shor, J.A. Sloane; Quantum Error Cor-rection and Orthogonal Geometry. Phys. Rev. Letters, volum 78, pagines405− 409, any 1997

[CRSS98] A.R. Calderblank, E.M.Rains, P.W. Shor, J.A. Sloane; Quantum Error Cor-rection Via Codes Over GF (4). IEEE Trans. Inform. Theory, volum 44,pagines 1369− 1387, any 1998

[CiDuZo04] J.I. Cirac, L.Duan, P. Zoller: Quantum optical implementation of quantuminformation processing. Arxiv: quant-ph/0405030 v1, any 2004

[DiV95] D.P. DiVicenzo: Two-bit gates are universal for quantum computation.Phys. Rev. A, 51(2), pagines 1015− 1022, any 1995

[GRTZ01] N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden: Quantum cryptography. Arxiv:quant-ph/0101098 v2, any 2001

[HarWri78] G.H. Hardy, E.M.Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. OxfordScience Publications, any 1978

151

152 BIBLIOGRAFIA

[Mess99] A. Messiah: Quantum mechanics. Editorial Dover, any 1999

[MuFr05] R.Muradian, D. Frıas: Generators and Roots of the Quantum logic Gates.Arxiv: quant-ph/0511250 v1, any 2005

[NiCh00] M.A. Nielsen, I.L.Chuang: Quantum computation and quantum informati-on. Cambrigde University Press, any 2000

[Parth06] Parthasarathy, K.R.: Lectures on Quantum Computation, Quantum ErrorCorrecting Codes and Information Theory. Tata Institute of FundamentalResearch, any 2006

[PaRo04] P. Pascual, A. Roig: Topologia. Edicions UPC, any 2004

[RHSS97] Eric. M. Rains, R.H. Hardin, Peter W. Shor, N.J.A. Sloane: A NonadditiveQuantum Code. Phys. Rev. Lett., volum 79, pagines 953− 954, any 1997

[Shor94] P.Shor: Algorithms for quantum computation: Discrete log and Factoring.Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science,pagines 124–134, any 1994

[Stea96] A.M. Steane: Quantum Reed-Muller Codes. Arxiv: quant-ph/9608026 v2,any 1996

[Stea97] A.M. Steane: Quantum Computing. Arxiv: quant-ph/9708022 v2, any 1997

[Ster94] S.Sternberg: Group Theory and Physics. Cambridge University Press, any1994

[TsaKu01] I.M.Tsai, S.Y.Kuo : An algorithm for quantum Boolean Construction. Arxiv:quant-ph/0104037 v2, any 2001

[Xam97] S.Xambo: Geometria. Politext, Area de Matematiques i Estadıstica, any1997

Un model matematic per a la computacio quantica: …...de processadors, i en concret un augment...

Documents

Transcript of Un model matematic per a la computacio quantica: …...de processadors, i en concret un augment...