UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Elaborado por: José David Zaldívar Rojas

Asesor: M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa

Examen profesional para obtener el título de:

Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

Modalidad: Tesis individual

Mérida, Yucatán, México Diciembre 2006

Un estudio sobre elementos para el diseño de actividades didácticas

en Cálculo

AGRADECIMIENTOS

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca que me

otorgaron durante el desarrollo de este trabajo, a través del financiamiento del proyecto de

investigación titulado: “Un estudio sobre factores que obstaculizan la permanencia, logro

educativo y eficiencia terminal en las áreas de matemáticas del nivel superior: el caso de la

Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán”.

Agradezco a mi asesor, el M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa, por su comprensión,

paciencia, tiempo y sabias palabras en aquellos momentos de tribulación; por valorar cada

ocurrencia y por su apoyo incondicional.

Agradezco a todos mis profesores, que a lo largo de estos cuatro años, han influido en mi

formación académica, profesional y humana. En especial a: Eddie, Landy, Lupita, Martha y

Pilar.

Agradezco de una manera especial a mis compañeros de grupo: Lucero, Isabel, Glendy,

Andrés, Heyler, Manuel y Luis; por estar, por ser y por lo que vendrá. A todos los que no

pudieron estar con nosotros al final, Andrés, Carlos, Sarai, Eunice, Nery, Rocío, Víctor,

Alonso, Miguel, Geysler, Cristy, Luis, Efraín y Efrén; por su amistad y hacer de la facultad

un segundo hogar.

Por último a Eddie y a Luis, por estar siempre al pie del cañón y sus apreciables

comentarios durante el desarrollo de este trabajo de tesis.

AGRADECIMIENTOS

Primeramente a Dios, por concederme el

regalo de la vida…

A Raúl y a Silvia; Excelentes seres humanos y

fenomenales padres; ¡Gracias por existir!

A mis hermanos: Roger y Raúl; por su paciencia y grandes muestras de apoyo

A toda mi familia; por sus apreciables muestras de afecto

CAPÍTULO 1 MARCO DE REFERENCIA Y PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1 Un marco de referencia sobre el Cálculo Escolar 1 1.2 Filiaciones entre Investigación en Didáctica del Cálculo y la Docencia 4 1.3 La importancia de la Innovación 7 1.4 Problema de Investigación 11 1.5 Objetivos del trabajo de investigación 12

CAPÍTULO 2 ANTECEDENTES

2.1 Investigación y Docencia 15 2.2 La docencia en el Cálculo Universitario 16 2.3 Sobre la Investigación en Didáctica del Cálculo 21 CAPÍTULO 3 ELEMENTOS PARA EL DISEÑO DE PROPUESTAS DIDÁCTICAS

3.1 Sobre los elementos para el diseño de propuestas didácticas en cálculo diferencial 24

3.1.1 La noción de visualización matemática 27 3.1.2 La noción de Obstáculo Epistemológico 30 3.1.3 Cambio y coordinación entre Registros de Representación Semiótica 31 3.1.4 Desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional 33 3.1.5 La cualidad dual de los conceptos. Objeto-Proceso. Operacional-

Estructural 36

3.1.6 Concepto-Imagen y Concepto-Definición 38 3.1.7 La noción de Infinito. Infinito Potencial e Infinito Actual 40 3.1.8 Procesos y situaciones límite 42 3.1.9 Aspecto Puntual y Global de los conceptos 44

3.2 Recomendaciones para el diseño de propuestas didácticas

46

CAPÍTULO 4 PROPUESTA DIDÁCTICA

4.1 La propuesta didáctica 4.1.1 Actividad 1 49

4.1.1.1 Actividad de institucionalización No. 1 50 4.1.2 Actividad 2 51

4.1.2.1 Actividad 2.1 52 4.1.2.2 Actividad de institucionalización No. 2 53

4.1.3 Actividad 3 54 4.1.3.1 Actividad de institucionalización No. 3 55

4.1.4 Actividad 4 56 4.2 Características de la Propuesta Didáctica

4.2.1 Sobre la propuesta didáctica 59 4.2.2 Justificación de la propuesta didáctica 60

4.3 Características y recomendaciones al lector-profesor sobre las actividades 4.3.1 Sobre la actividad 1 62

4.3.1.1 Objetivo y características de la actividad 1 62 4.3.1.2 Metodología de trabajo para la actividad 1 63 4.3.1.3 Actividades del lector-profesor 64 4.3.1.4 Sobre la actividad de institucionalización No. 1 65

4.3.2 Sobre la actividad 2 4.3.2.1 Características de la actividad 2

67

4.3.2.2 Metodología de trabajo para la actividad 2 69 4.3.2.3 Sobre la actividad 2.1 69 4.3.2.4 Actividades del lector-profesor para la actividad 2 70 4.3.2.5 Sobre la actividad de institucionalización No. 2 71

4.3.3 Sobre la actividad 3 4.3.3.1 Objetivos y características de la actividad 3 72 4.3.3.2 Actividades del profesor-lector 75 4.3.3.3 Sobre la actividad de institucionalización No. 3 79

4.3.4 Sobre la actividad 4 80 4.3.4.1 Objetivos y características de la actividad 4 80 4.3.4.2 Actividades para el lector-profesor 82

4.4 Modelo Teórico Experimental 4.4.1 Sobre la Teoría de las Situaciones Didácticas 86 4.4.2 Fase experimental de la propuesta didáctica (puesta en escena) 93

4.5 Metodología de trabajo de la propuesta didáctica. Fase de experimentación de la propuesta didáctica 94

CAPÍTULO 5 REFERENCIAS TEÓRICAS DE LA INVESTIGACIÓN

99

CAPÍTULO 6 ASPECTOS METODOLÓGICOS

6.1 La Investigación Documental 1076.2 Metodología de trabajo 108 CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES

112

ANEXOS 115

Introducción

INTRODUCCIÓN

Uno de los principales objetivos de la escuela es la de proporcionar herramientas y

procurar la preparación necesaria para que las personas puedan desempeñarse

satisfactoriamente de acuerdo a objetivos de carácter social. Particularmente, el

estudio de la matemática en las instituciones de educación pretende que las

personas sean capaces de desenvolverse en una sociedad tecnológicamente

avanzada, lo cual incluye, entre otras cosas, la capacidad para razonar lógicamente,

resolver problemas no rutinarios y comunicarse por medio de ideas

fundamentadas en las matemáticas (Sánchez, 2005). Tales objetivos serían los

fundamentos para la elaboración de los currículos y los planes de estudio, tratando

de adaptar las ciencias a las demandas de la sociedad. No obstante, los currículos

aun no logran desarrollar el tan ansiado espíritu científico en las personas. Una de

las razones es la poca relación que guarda el estudio de las ciencias con la realidad

de los estudiantes; aunado con el empleo de una metodología de enseñanza

tradicional, basada principalmente en la impartición de “cátedra”, por parte de los

profesores, y que incluye, generalmente, la presentación de definiciones y la

resolución de ejercicios sin aparente aplicación en la vida cotidiana. Tales

problemáticas se ven potenciadas cuando se habla del currículo y la enseñanza del

Cálculo en las instituciones de educación superior. Hoy día, seguimos contando

i

Introducción

con las prácticas docentes de antaño; los avances científicos, tecnológicos parecen

tener poco eco en las prácticas de los profesores.

Por ello, en las últimas décadas, la innovación en didáctica del cálculo y el estudio

de su complejidad en relación a los problemas que de ella derivan, especialmente

en el nivel superior, es quizá uno de los temas con mayor documentación en la

literatura especializada; incluso se sabe que un buen número de dificultades en la

vida escolar preuniversitaria o universitaria de los estudiantes, están asociados al

entendimiento y manejo de los conceptos básicos y no tan básicos del cálculo. Se ha

documentado que aun aquellos estudiantes de carreras en ciencias exactas e

ingenierías y que ya han llevado uno o dos cursos de cálculo, muestran serias

deficiencias a la hora de trabajar con los conceptos inmersos en esta materia

(Aparicio, Ávila, 2006). Tales dificultades, aunados a la utilización de los métodos

convencionales en la enseñanza de las matemáticas, llevan a los profesores a teñir

de algoritmos y demostraciones formales los cursos de cálculo con poca ganancia

cognitiva (Cantoral, 1993; Moreno, 2005) ocasionando la casi nula generación de las

ideas matemáticas que permitan encarar los problemas que plantea el campo de las

ciencias experimentales (Marcolini, 2005).

Sin embargo, el arduo trabajo desarrollado en didáctica del cálculo, así como los

proyectos de innovación1 en su enseñanza, puede decirse que poco han logrado

1 Entenderemos por innovación en la enseñanza a todas aquellas propuestas que tratan de mermar las deficiencias del método “tradicional” de enseñanza.

ii

Introducción

incidir al seno de las prácticas institucionales y prácticas de aula. Preexiste una

gran brecha entre la innovación (realidad de aula) y las investigaciones científicas

(Moreno, 2005).

Por ejemplo, al interior de la Facultad de Matemáticas (FMAT) de la Universidad

Autónoma de Yucatán (UADY), se llevó a cabo un trabajo de investigación donde

se evidencia que las acciones y esfuerzos2 para reducir los índices de reprobación

y rezago escolar3 al interior de dicha dependencia educativa, no tienen como

sustento un estudio formal en donde se analice de manera sistemática y científica

los factores que inciden en el problema, sino más bien son basadas en creencias y

en los buenos deseos de profesores y directivos (García, 2006).

En nuestra opinión, los resultados de la investigación deben, en primera instancia,

ser un referente para los innovadores y diseñadores de currículo y por otra, una

línea de trabajo de los Matemáticos Educativos para realizar trabajos sobre el

currículo, de suerte que se pongan los resultados al alcance de los verdaderos

usuarios: los profesores; para que éstos conozcan y reconozcan la integración de

una componente didáctica “diferente” a la que emplean en las aulas de cálculo.

2 Los esfuerzos que se comentan se refieren, principalmente, a la creación de talleres de cálculo, tutorías, empleo de exámenes colegiados, entre otros. 3 Cabe hacer notar que estos esfuerzos, solamente tratan de mermar la reprobación y el rezago escolar observado principalmente en los primeros años, sin embargo no se hacen reflexiones sobre el aprendizaje de los estudiantes. Notamos claramente que aprobar un curso es razón suficiente para considerar que un alumno ha aprendido.

iii

Introducción

Ahora bien, a lo largo de nuestro trabajo de investigación se discute sobre los

beneficios que tendría el poner al alcance del profesorado universitario, ciertos

elementos de corte didáctico, epistemológico y cognitivo que se encuentran

presentes en las investigaciones relacionadas con la didáctica del cálculo superior.

Particularmente, nuestro trabajo sugiere una forma de aproximar el conocimiento

científico producido en torno a la didáctica del cálculo con el ejercicio docente. La

investigación realizada es de tipo documental y establece un posible eje rector para

el empleo de las investigaciones como potenciales herramientas para el

profesorado en la generación de alternativas de enseñanza y aprendizaje al interior

y exterior de sus aulas.

Además de dicha caracterización de elementos, en nuestro trabajo desarrollamos

una propuesta didáctica que basa su lógica operacional en tales elementos y utiliza

como modelo teórico experimental a la Teoría de las Situaciones.

A continuación presentamos un breve panorama del contenido de los capítulos

incluidos en este trabajo de investigación:

El capítulo 1 proporciona un panorama general sobre el estado actual que guarda

la enseñanza del cálculo. De igual forma se describe el problema de investigación y

se plantean las hipótesis de trabajo así como los objetivos que se persiguen con este

trabajo.

iv

Introducción

El capítulo 2 plantea los antecedentes entre los aspectos principales de nuestro

estudio: la investigación y la docencia.

El capítulo 3 describe la manera en que se utilizó la información contenida en las

propuestas didácticas; también se presenta el listado y la caracterización de cada

uno de los elementos que se pudieron rescatar del análisis de las propuestas. Se

hacen por último una serie de recomendaciones al profesor.

En el capítulo 4 se presenta la propuesta didáctica para el tema de derivadas, la

cual se diseñó tomando en consideración los elementos, las recomendaciones, así

como algunas de las ideas contenidas en las actividades que los artículos de

investigación reportan. En este mismo capítulo se presentan características y

comentarios sobre cada una de las actividades; se presenta también el modelo

teórico experimental de la propuesta didáctica y la metodología de trabajo de la

misma.

El capítulo 5 se refiere a las referencias teóricas de la investigación. En este capítulo

se reflexiona sobre la práctica actual de los profesores y de la importancia de un

rediseño de los cursos de cálculo.

El capítulo 6 presenta los aspectos metodológicos del trabajo, siendo esta

principalmente la investigación documental y mixta.

v

Introducción

Por último, en el capítulo 7 se hacen una serie de reflexiones sobre el trabajo, la

importancia de éste y se exteriorizan comentarios sobre la importancia de la

investigación en la práctica docente de los profesores de matemáticas.

vi

Marco de referencia y problema de investigación

CAPÍTULO 1

MARCO DE REFERENCIA Y PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Un marco de referencia sobre el cálculo escolar

Bien es sabido que un buen número de dificultades en la vida escolar preuniversitaria o

universitaria de los estudiantes están asociadas al entendimiento y manejo de los conceptos

básicos y no tan básicos del Cálculo. Se ha probado inclusive que aun aquellos estudiantes

de ciencias e ingenierías que ya han llevado uno o dos cursos de Cálculo muestran serias

deficiencias a la hora de trabajar con los conceptos inmersos en esta materia (Aparicio,

Ávila, 2006); investigaciones en matemática educativa revelan y sustentan lo antes dicho

(Tall, 1991; Artigue, Ervynck, 1992; Farfán, 1993) en Artigue (2000). Cabe mencionar que

las dificultades en la materia no son sólo debidas a las características del profesor y de los

estudiantes, sino también de la propia asignatura, la cual es cada vez más abstracta y formal

conforme los temas se avanza en su estudio, además, se tienen que considerar las

características de las instituciones, la cual condiciona y determina los límites de actuación

en ella (Moreno, 2005). Tenemos pues, que los problemas que se presentan en la enseñanza

y por ende, en el aprendizaje de Cálculo, no son solo por la complejidad teórica de los

conceptos, sino por el cúmulo de conocimientos previos (conocimientos de álgebra

elemental, geometría, geometría analítica, entre otras) que los estudiantes requieren conocer

y manejar para llevar a cabo satisfactoriamente las competencias que esta asignatura

demanda (Cantoral, Farfán, 2000). El desarrollo de tales competencias ha originado que en

1

Marco de referencia y problema de investigación

los currículos actuales, donde se aborda el estudio del cálculo, éste ocupe un lugar

privilegiado por sobre el resto de las asignaturas (García, 2006).

El Cálculo, así como el estudio del mismo, constituye un “parteaguas” en el sentido de que

antes de él se encuentra la matemática elemental y después inicia la matemática llamada

avanzada; pues, a diferencia de la matemática escolar previa al Cálculo, es decir, la

matemática preuniversitaria, el Cálculo incorpora ideas y concepciones nuevas, tales como

la noción de cambio, la de variación, la variación instantánea, los procesos infinitos y las

situaciones límite. Se extiende desde luego, la matemática a la realidad, convirtiéndose el

Cálculo una poderosa herramienta de modelado (Cantoral, 1993). Al mismo tiempo, estos

nuevos conceptos necesitan la introducción de nueva simbología y de modificaciones

conceptuales en muchos de los símbolos que se manejaban, modificándose así, el campo

semántico primario de los conocimientos previos; tómese como ejemplo, el caso de la

igualdad.

Por tanto, nótese que el estudiante se encuentra ante una materia que requiere la

introducción de nuevas ideas que, a su vez, requieren de símbolos, estrategias y modos de

razonamiento distintos a los comúnmente acostumbrados y de técnicas de trabajo delicadas;

por ejemplo, el pasar de razonamientos por equivalencias sucesivas a razonamientos por

condiciones suficientes (Cantoral, 1993; Artigue, 1995). Si a estas dificultades inherentes a

la materia le incorporamos serias deficiencias en la manera en la que actualmente se

encuentra la enseñanza del Cálculo, obtendremos, sin duda, serias dificultades en el

aprendizaje de los estudiantes desde el inicio de sus estudios en esta asignatura.

2

Marco de referencia y problema de investigación

La enseñanza del Cálculo y su aprendizaje parece ubicarse ante un claro dilema: numerosas

investigaciones muestran con gran similitud, que si bien se puede enseñar a los estudiantes

a realizar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y primitivas,

además de resolver problemas tipo, existen dificultades para hacer que los estudiantes

realmente formen parte del campo del Cálculo y hacerlos alcanzar una comprensión

satisfactoria de los conceptos y formas de pensamiento que son el eje central de tal campo

(Artigue, 1995). Lo cómodo de los métodos convencionales empleados en la enseñanza de

las matemáticas y las dificultades ya referidas, dispone a los profesores a teñir de

algoritmos los cursos de Cálculo con poca ganancia cognitiva (Cantoral, 1993). Por

ejemplo, en una investigación sobre la didáctica de la derivada, Dolores (2000) indica que

muchos estudiantes sólo pueden obtener derivadas de funciones algebraicas mediante

fórmulas, pero difícilmente comprenden el para qué de esos algoritmos que realizan y el

significado de los conceptos. Para este autor, el estudio del cálculo diferencial en las aulas

de matemáticas sacrifica el desarrollo de ideas y significados de los conceptos básicos de

éste, imponiendo el predominio del trabajo algorítmico. Como ejemplo de lo anterior, se

exhibe la idea de que el tratamiento dado a la derivada como la ecuación de la pendiente de

la recta tangente a la curva de una función en cualquier punto, ha desplazado el sentido de

variación, eje principal de la derivada. Se discute también sobre el papel que le es conferido

a la interpretación geométrica de la derivada, la cual es abordada como complemento, y

muchas veces como una aplicación del tema. Este tipo de tratamiento, poco revela acerca

de la naturaleza ligada a los fenómenos de cuantificación de la rapidez de la variación,

aspecto pocas veces tomado en consideración por el currículo de cálculo en las

instituciones.

3

Marco de referencia y problema de investigación

A nivel universitario, contrario a lo que se podría pensar, la enseñanza del Cálculo se

continúa centrando en una práctica algorítmica; basándose ésta en una formalidad excesiva,

principalmente, en la aplicación de los tradicionales métodos rigurosos de demostración

matemática (Yusof, Tall, 1999 en Moreno, 2005).

Para ir cerrando esta sección, citaremos que desde el punto de vista del currículo

matemático, tradicionalmente los cursos de Cálculo se conforman por un repertorio de

procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del álgebra elemental y de la

geometría analítica, descuidando en mayor o menor medida, el estudio del concepto per se;

es decir, la práctica escolar matemática y su principal adepto, el currículo, le confieren más

importancia a las prácticas algorítmicas que a la comprensión de los conceptos y al estudio

de sus relaciones (Cantoral, Farfán, 2000). Luego entonces, resulta plausible pensar, que lo

que los alumnos aprenden en su aula de Cálculo, con mucha frecuencia se quede allí

mismo. En otras palabras, se corre el riesgo de estar formando profesionales de aula; de

suerte que el conocimiento allí generado no traspase los límites de la temática escolar. Lo

enseñado en las aulas no logra la generación de las ideas matemáticas que permitan encarar

los problemas que plantea el campo de las ciencias experimentales (Marcolini, 2005).

1.2. Filiaciones entre Investigación en Didáctica del Cálculo y Docencia

Numerosas investigaciones destacan que no es tarea fácil lograr que los estudiantes entren

en el campo conceptual del Cálculo. No obstante, es en éstas mismas investigaciones, que

se puede comprender mejor la naturaleza de las dificultades y el tipo de obstáculos que se

presentan, así como las razones de fracaso en las estrategias usuales de enseñanza, tanto las

que reducen el Cálculo a prácticas algorítmicas, como las aproximaciones teóricas y

4

Marco de referencia y problema de investigación

formales desarrolladas en el contexto de la reforma de las matemáticas modernas (Artigue,

2000).

Ciertamente, los problemas reportados en la enseñanza del Cálculo y la insatisfacción

existente, tanto de profesores como de estudiantes, ha traído consigo dos consecuencias:

• Un potente desarrollo de las investigaciones didácticas de la enseñanza superior

centradas principalmente en el área de Cálculo.

• Surgimiento de numerosos proyectos de innovación para la enseñanza. Como

ejemplos de esto, se encuentra la renovación global del currículo en Francia y

Australia, así como las innovaciones y experimentaciones en Estados Unidos y

España (Ver Artigue, 1995).

No obstante, y ante lo que se podría suponer, la enseñanza del Cálculo en las aulas sigue

inamovible. Preexiste una gran brecha entre la innovación4 (realidad de aula) y lo que las

investigaciones científicas proponen. Los resultados que se obtienen en los proyectos de

investigación aunque valiosos experimentalmente, muy poco aportan a lo que se realiza

dentro de las aulas de matemáticas. Por ejemplo, en Estados Unidos de Norteamérica la

mayoría de los proyectos en el área de innovación de Cálculo se han aplicado de manera

independiente de los trabajos de investigación existentes (Moreno, 2005). Aun cuando las

investigaciones reportan que la enseñanza actual del Cálculo es problemática y proponen

ciertas medidas para remediar tal problema; las reformas, los currículos e inclusive los

propios profesores no se preocupan por averiguar tales resultados.

4 A lo largo de este trabajo estaremos entendiendo por innovación a aquellas propuestas que tratan de mermar las deficiencias del método “tradicional” de enseñanza.

5

Marco de referencia y problema de investigación

Empero, ¿cuáles son algunas de las razones por las cuales ésta relación no ha podido

llevarse satisfactoriamente? Al respecto, tomamos las siguientes consideraciones: por un

lado, los enfoques asumidos por las investigaciones que se desarrollan en el terreno de lo

didáctico, difieren, no sólo por el peso asignado a cada una de las tres dimensiones

esenciales: la epistemológica, la cognitiva y la didáctica, sino también, por los marcos

teóricos que las sustentan; se observa que no existe un paradigma dominante que haga

viable la comunicación entre los propios investigadores, de modo que cada quien toma para

si, su propia corriente de investigación. Por otro lado, la innovación, además de problemas

de diversidad y de difícil comparación, muestra problemas respecto a la poca seguridad en

la obtención de hechos confiables aplicables directamente en el sistema educativo,

principalmente, al ser resultados obtenidos bajo variables controladas y realidades bastante

diferentes a las que un profesor encuentra en su práctica de aula. Al fin y al cabo,

innovación sólo es innovación. Además, la necesidad de convencer hace que se deje a un

lado la importancia de un análisis riguroso del funcionamiento de la innovación y de sus

efectos, sobrestimando las potencialidades y virtudes (Artigue, 1995; Moreno, 2005). En

esta dirección, Artigue (1995) citada en Moreno (2005), advierte de la peligrosidad de caer

en un discurso ingenuo, donde se toma como análisis cognitivo y didáctico el hecho de que

las herramientas (tecnologías informáticas y calculadoras) se constituyan como un buen

catalizador para forzar la evolución de las prácticas pedagógicas de los profesores y para

comprometerlas en un enfoque más constructivista de aprendizaje.

Nos situamos entonces, en la posibilidad de mencionar que la investigación en didáctica del

Cálculo es rica, empero, si miramos y analizamos la enseñanza del Cálculo en las aulas,

podremos distinguir que las investigaciones que se hacen al respecto, poco efecto tienen en

6

Marco de referencia y problema de investigación

el sistema educativo; es decir, las investigaciones y propuestas didácticas que se hacen

sobre algunos de los conceptos de Cálculo no son consideradas y adaptadas para ser puestas

en práctica por los profesores responsables de tal o tales asignaturas, más aun, es ignorado

por los diseñadores de currículo. Parece ser entonces que, aun cuando hay evidencia acerca

de las problemáticas que la enseñanza tradicional del Cálculo presenta, poco pudiera

hacerse en pro de un sistema didáctico que sea funcional, y aun cuando las distintas

reformas a los programas y currículos de Cálculo parecieran ser interesantes, no han

acabado con los problemas y las dificultades de los estudiantes (Moreno, 2005).

1.3. La importancia de la Innovación

Sin duda, uno de los problemas que se ha detectado que acarrea, la mayoría de las veces, la

enseñanza “tradicional” de los conceptos básicos del Cálculo es el hecho de que, si bien el

conocimiento adquirido por los estudiantes les puede ser útil para resolver ejercicios y

problemas rutinarios (enmarcados en el dominio de la matemática misma), al momento en

el que se les enfrenta a contextos y situaciones que requieren mayor conocimiento

conceptual y operacional de los temas, la mayoría de los estudiantes falla y no saben cómo

abordar la situación (Selden, Mason, 1994 en Moreno, 2005). Refiriéndose a la situación

anterior, Skemp (1980) citado en Moreno (2005) menciona: los estudiantes aprenden el

“producto del pensamiento matemático” en vez de su “proceso”. En pocas palabras, el

tratamiento tradicional-formal (axiomático) que le ha sido conferido a la enseñanza de

ciertos temas del Cálculo, incide en los problemas que presentan los alumnos en su

aprendizaje y en el dominio de lo que supuestamente conocen. Sin embargo y al parecer, en

7

Marco de referencia y problema de investigación

más de un profesor persiste la idea que ésta es la mejor manera para que los estudiantes

obtengan aprendizajes significativos y duraderos.

El empleo de una metodología tradicional-formal en los profesores es, en la gran mayoría

de las veces, resultado de su propia experiencia como estudiante y, en el mejor de los casos,

de su juicio sobre cómo las personas aprenden y se apropian de los conocimientos; y en el

peor de los casos, cómo él aprendió. Ejemplificaremos estos últimos aspectos: en el trabajo

desarrollado por García (2006), se muestra cómo el tratamiento que dan profesores

universitarios, al interior de una facultad de matemáticas, a ciertos contenidos de Cálculo a

lo largo de sus clases, está asociado a una limitada visión del sentido dado a la enseñanza y

aprendizaje de los mismos. En efecto, se hace notar cómo las concepciones personales del

profesorado, sus creencias, el tipo de formación profesional y sus experiencias, resultan ser

la base del proyecto educativo a desarrollar en las aulas (García, 2006; Moreno, 2005). Las

creencias juegan un papel crucial en todo lo relacionado con las prácticas del profesor y la

toma de decisiones en su ámbito profesional, impidiéndole, de alguna manera, una crítica

reflexiva sobre su práctica profesional.

Continuando en esta línea de reflexiones, pensemos en la siguiente situación: en la

enseñanza “tradicional” del Cálculo, el profesor informa a los estudiantes sobre los saberes

de que dispone, intentando que aquél los haga suyos mediante la imitación. En este marco

didáctico, como se menciona en Cantoral (1993), el profesor enuncia las verdades en el aula

esperando que el estudiante se apropie de ellas, las tome como suyas; se cree que el alumno

“graba” lo que se le comunica por medio de la instrucción, tal vez con algunas pérdidas de

información. La investigación contemporánea ha demostrado lo inexacto de este punto de

8

Marco de referencia y problema de investigación

vista, haciendo evidente que los alumnos construyen regularmente conocimientos que no

forman parte del discurso de la enseñanza y resultan con frecuencia inadecuados e incluso

erróneos desde un punto de vista matemático (Cantoral, 2000). El estudiante para conocer

necesita primero construir sus propios instrumentos de conocimiento; es decir, uno no solo

observa y aprende, sino más bien, observa a través de esquemas teóricos; “no porque toque

estudiar Cálculo habrá que aprender Cálculo”.

En nuestros días, la enseñanza clásica de la matemática superior que va de la definición al

teorema, del teorema a la demostración y de ésta a la aplicación (Esquema instruccional-

secuencial), sólo atiende a la matemática como un producto del pensamiento, pero no

respeta a la matemática como una forma especial de pensar, como una actividad humana,

en otras palabras, la estructura lógica con la que se presenta la matemática escolar en

nuestros días, no resulta ser la manera más propicia para permitir el desarrollo y la

aparición del pensamiento matemático5.

Los resultados anteriores no deben conducirnos a la reducción de los contenidos a enseñar,

sino más bien, al diseño de situaciones, escenarios, ambientes o propuestas didácticas que

den sentido a su tratamiento (Cantoral, 1993). Los resultados obtenidos deben conducirnos

a preguntarnos más a fondo ¿qué es lo que está pasando en la enseñanza del Cálculo? Pues

en efecto, aunque las propuestas parecen ser buenas y nuestros métodos de enseñanza poco

eficaces y además, no demasiado propios para enseñar a una población estudiantil que en su

mayoría no serán matemáticos y, sin embargo, tendrán que utilizar las matemáticas en sus

profesiones; tenemos que reconocer el hecho de que aprender matemáticas es construir 5 Pensamiento matemático: se refiere a las formas en que piensan las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas (Cantoral, 2000).

9

Marco de referencia y problema de investigación

matemáticas, siendo su objetivo garantizar el éxito de nuestra actuación ante una cierta

situación (Cantoral, 2000), reconociendo que una presentación lógica de contenidos no se

corresponde con una presentación cognitiva del contenido (Cantoral, 1993). Bajo este

último aspecto, en el trabajo desarrollado por Aparicio y Cantoral (2004), sobre la noción

matemática de continuidad puntual, se ofrece una explicación de cómo las formas

discursivas, y en especial el aspecto gesticulativo de las acciones puestas en

funcionamiento por algunos estudiantes universitarios al momento de discutir sobre la

noción de continuidad puntual de una función real de variable real, permite acceder a la

construcción del concepto matemático «continuidad puntual» en contraposición de lo que

se desarrolla con el tratamiento clásico de enseñanza dado a dicho concepto. Tal trabajo

como es de entenderse, no sigue la lógica o la estructura típicamente presentada en el

discurso matemático escolar6.

Todas estas reflexiones en cuanto al estado actual de la enseñanza del Cálculo y de la

necesidad de un cambio, nos ha hecho volver la mirada hacia los resultados de la

investigación, esto con el fin de analizar las propuestas que realmente nos podrían ser útiles

como docentes de matemáticas. Sostenemos que en la investigación existen propuestas y

resultados realmente valiosos, sin embargo, no existen las condiciones para lograr acercar

dichos resultados a las manos de los profesores.

6 Entendemos por discurso matemático escolar al discurso que marca el inicio de una enseñanza. No se reduce naturalmente a la organización temática de los contenidos ni a la profundidad expositiva, sino que se preocupa de la formación de consensos entre aquellos que forman parte de la noosfera: editores, autores, profesores, científicos, estudiantes, etc. (Marcolini, Perales, 2005)

10

Marco de referencia y problema de investigación

1.4. Problema de Investigación

De acuerdo a lo que se ha venido comentando desde el inicio de este capítulo, tenemos que

el tipo de enseñanza tradicional-formal que utilizan los profesores de ciencias matemáticas

y computacionales (particularmente los de la Facultad de Matemáticas de la Universidad

Autónoma de Yucatán) en sus clases de Cálculo, parece seguir arrojando los mismos

resultados que siempre; el tipo de aprendizaje que vive en los estudiantes resulta poco

funcional y operativo.

La poca o nula vinculación entre las investigaciones en Didáctica del Cálculo y la Práctica

Docente en Cálculo, así como el desconocimiento muchas veces inconciente (otras tantas

no) de los profesores sobre la existencia de resultados empíricos relacionados con los

conceptos básicos del Cálculo; resultados que comprenden explicaciones y análisis

epistemológicos, cognitivos y didácticos que encierra el problema de la enseñanza-

aprendizaje del cálculo, hasta propuestas didácticas relacionadas con la enseñanza del

mismo fue factor de motivación para el desarrollo del presente trabajo, en donde hemos

considerado la posibilidad de tender un puente entre estos dos aspectos de la educación del

Cálculo, la investigación didáctica y su implementación en la docencia.

Precisamos entonces como nuestro tema de estudio, la investigación didáctica como base

científica de planeación y orientación de la práctica docente en Cálculo. En este

sentido, tomamos como principal problema de investigación, la búsqueda de una manera

de engranar estos dos aspectos. Para lograr tal fin, nos propusimos indagar y delimitar el

tipo de elementos inmersos en las investigaciones, que aunque obedecen a paradigmas

teóricos y metodológicos distintos, comparten perspectivas específicas, por ejemplo, la

11

Marco de referencia y problema de investigación

crítica hacia lo deficiente de la enseñanza tradicional y la necesidad de enfatizar aspectos

más centrados en los procesos de aprendizaje de los estudiantes.

1.5. Objetivos del trabajo de investigación

Es claro que la práctica docente tradicional no ha arrojado los resultados que se esperarían,

pensamos que una de las razones de lo anterior es que en la actualidad no existe una buena

relación o conexión entre lo que se ha venido realizando en el campo de la investigación y

las prácticas educativas institucionales (v.g., diseños de currículo, elección de materiales y

práctica de aula); las propuestas que se plantean aún no logran incidir lo suficiente en las

prácticas de los profesores o en el desarrollo y renovación del currículo.

Nuestro trabajo entonces, parte de la premisa de que la práctica docente en las clases de

cálculo universitario es problemática; que el modelo de enseñanza tradicional-formal que se

utiliza poco favorece la promoción de aprendizajes significativos y duraderos. Para tratar de

subsanar tales dificultades, suponemos que el ofrecer y poner al alcance de los profesores

universitarios un modelo teórico-experimental, sustentado en evidencia empírica sobre el

funcionamiento del sistema didáctico y sobre el cual pueda sustentar su quehacer dentro y

fuera del aula de Cálculo, estarán en posibilidades de lograr cambios, sin duda paulatinos,

pero concretos y eficaces.

Fijamos nuestra atención a las dificultades que se presentan específicamente dentro de

nuestra institución: la Facultad de Matemáticas (FMAT) de la Universidad Autónoma de

Yucatán. Sus altos índices de reprobación y rezago en la materia de Cálculo, especialmente

en los primeros semestres de las licenciaturas se traducen en factores de deserción, bajo

12

Marco de referencia y problema de investigación

logro educativo y poca eficiencia terminal. También, se ha identificado que los profesores

de la materia de Cálculo utilizan un “formalismo” excesivo, un abuso del método

expositivo, además de un escaso o nulo empleo de recursos didácticos y tecnológicos

(calculadoras, programas de cómputo) para desarrollar los temas dentro del aula. Cabe

mencionar que la mayoría de estos profesores se caracterizan además, por contar con una

sólida formación matemática y, algunos de ellos, con un basto tiempo de ejercicio docente.

Sin embargo, y para los retos que la educación matemática moderna plantea, tales

profesores carecen de una capacitación didáctica en matemáticas, hecho ampliamente

reportado en García (2006).

Así, nos fijamos como objetivo principal caracterizar una serie de elementos de corte

didáctico que puedan ser considerados, a la luz de las investigaciones e innovaciones, la

base de una enseñanza centrada en los aprendizajes y en los procesos de construcción. Para

lograr este cometido, nos dimos a la tarea de realizar una revisión de artículos de

investigación que la literatura especializada reporta, mirando con especial interés, la

manera en cómo las propuestas experimentales abordan los temas de cálculo, así como

también el tipo de estrategias y actividades planteadas. Específicamente, nos centramos en

propuestas referentes a temas de funciones, límites, continuidad y derivadas; temas

considerados básicos en el estudio del cálculo y el análisis.

En síntesis, buscamos conformar a manera de catálogo, una serie de elementos que,

derivados de la evidencia empírica, se constituyan como un “hilo conductor” del quehacer

docente en la materia de cálculo. Como hemos insistido, este esfuerzo responde a la nula

articulación que existe entre lo que se hace en las aulas y lo que las investigaciones

13

Marco de referencia y problema de investigación

reportan, sin dejar de lado el tratar de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje del

cálculo.

Por tanto, los objetivos específicos que se persiguieron son:

• Análisis de propuestas didácticas (experimentales) en los temas antes mencionados,

reportadas en la literatura especializada.

• Establecer el tipo de elementos inmersos en las propuestas experimentales a través

de un meticuloso análisis de sus actividades.

• Diseñar, siguiendo la orientación marcada por esos elementos y las actividades que

se recuperen de los reportes de investigación, una propuesta didáctica para un tema

particular de cálculo diferencial. Tal propuesta debería reflejar los elementos

sugeridos, así como ideas contenidas en los diseños de las actividades planteadas.

Sostenemos que la importancia de este estudio radica en la incidencia que pueda llegar a

tener en la práctica docente. Cabe decir, que muchas de las propuestas estudiadas han sido

llevadas a las aulas y a la práctica con estudiantes, obteniendo resultados alentadores en

cuanto a los aprendizajes de los mismos. De igual manera, hemos elegido propuestas que

consideran aspectos didácticos, cognitivos y epistemológicos de los conceptos matemáticos

del Cálculo.

14

Antecedentes

CAPITULO 2

ANTECEDENTES

2.1. Investigación y Docencia

En el capítulo anterior se trató de presentar un panorama general de la enseñanza del

Cálculo en nuestros días; así como resaltar el hecho de que pese a la cantidad de

información generada en las últimas décadas sobre la didáctica y educación matemática,

preexiste una baja incidencia e implementación de tal información en el diseño de

programas institucionales, de currículos, en los programas de formación y capacitación del

profesorado de matemáticas en el nivel medio superior (Aparicio, 2006).

Consideramos necesario proponer alternativas al profesor universitario en lo que a su

práctica docente se refiere. Cabe decir que no se trata de coartar su libertad de pensamiento

y mucho menos su derecho a libertad de cátedra, más bien intentamos generar discusión

crítica sobre el tipo de práctica que preside actualmente en muchas dependencias de

educación superior, particularmente en la nuestra; pues la enseñanza tradicional parece no

cambiar el estatus problemático del aprendizaje del Cálculo en los estudiantes.

Entre las comunidades académicas, sobre todo en la educación superior, prevalece un

debate al momento de hablar sobre formación y práctica de los profesores de matemáticas,

dicho debate se arraiga en el dominio disciplinar. Por ejemplo, existe la convicción

generalizada de que si el profesorado de matemáticas cuenta con un dominio amplio de

ésta, entonces se está en condiciones suficientes para enseñar matemáticas. Convicción a la

15

Antecedentes

que nos sumamos en tanto condición necesaria empero no suficiente, pues desde esta

visión, pareciera que lo más importante es la matemática misma y no su enseñanza, o como

se dice actualmente, su aprendizaje.

Cabe aclarar que no estamos poniendo en tela de juicio que los profesores que van a

impartir cursos de matemáticas tienen que saber matemáticas, sino más bien, tratamos de

resaltar lo que las Investigaciones en Matemática Educativa han manifestado; que junto con

un conocimiento de las mismas, que incluye conceptos y procedimientos matemáticos,

múltiples representaciones de esos conceptos, etc., se añade un conocimiento de y sobre la

actividad matemática, de la historia y epistemología de la disciplina y del currículum

matemático escolar (Sánchez, 2005). Existe una creencia generalizada de que el

conocimiento y el desarrollo de ciertas componentes didácticas, son elementos que la

práctica y la experiencia de aula proporciona de manera directa. Pensamos que en cierta

medida lo anterior es verdadero, pero entonces ¿tendremos que esperar hasta que un

profesor tenga práctica docente para poder impartir sus clases de una manera apropiada?;

durante la formación matemática de las personas, ¿es correcto pensar que ¡Echando a

perder se aprende!? Creemos que no podemos darnos el lujo de tener tales concepciones en

cuanto a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

2.2. La Docencia en el Cálculo Universitario

Generalmente, se concibe a la enseñanza de las matemáticas como una suerte de arte que

libremente queda bajo el virtuosismo y capacidad solamente del profesor; bajo esta

concepción, el efecto de esa enseñanza sobre el aprendizaje del alumno suele ser

16

Antecedentes

“evaluada” en relación con la aprobación o reprobación del curso7, quedando el aprendizaje

del estudiante como algo que se da de manera natural, siendo responsabilidad directa de

éste. El aprendizaje de los estudiantes estará ligado, por tanto, al grado de atención que

presten y del seguimiento que hagan de la exposición del profesor; quedando condicionado

por el dominio y conocimientos que el profesor tenga de su asignatura, así como en su

capacidad de buen orador.

Ahora bien, la enseñanza de las matemáticas, y en particular la enseñanza del cálculo, ha

reducido el aprendizaje de un concepto o tema, a la ejercitación del procedimiento

subyacente del algoritmo (Artigue, 1995; Moreno, 2005). Se cree que poniendo al

estudiante a interactuar con un procedimiento preestablecido en tanto objeto de

conocimiento, por simple condicionamiento y a través de la experiencia de realizar

ejercicios repetitivos de los procedimientos, el estudiante hará una copia pasiva de la

realidad externa; logrando, de esta forma, que el estudiante vincule, de manera “natural”, lo

algorítmico con lo conceptual (Muñoz, 2003). Sin embargo, se ha comprobado que enseñar

a los estudiantes a resolver problemas estándar de forma más o menos mecánica, o realizar

algunas derivadas o integrales, no supone una verdadera comprensión de los conceptos y

métodos de pensamiento del cálculo (Moreno, 2005); siendo muy común toparnos con

estudiantes que en el mejor de los casos, conocen matemáticas pero que difícilmente

pueden hacer matemáticas (Bonacina et al, 2004).

La situación anterior se repite constantemente al interior de las instituciones donde se

imparte la asignatura de cálculo. Al interior de nuestra dependencia y en algunas 4 Se observa que para algunos profesores acreditar es sinónimo de aprendizaje; y aprobar un curso es muestra de que se aprendió durante el mismo.

17

Antecedentes

instituciones de educación superior, es común que los cursos de cálculo se desarrollen,

principalmente, a base de abstracciones, pareciendo los primeros cursos de cálculo una

introducción al Análisis Matemático, debido a la formalidad exigida. El desarrollo de las

clases de cálculo sigue una estructura común: se comienza proporcionando al estudiante

definiciones o teoremas relacionados con un cierto tópico; como paso siguiente, el profesor

realiza las demostraciones que considera pertinentes, para luego pasar a la presentación de

ejercicios donde tengan cabida las definiciones o las propiedades de los teoremas. Por

último, se favorece la ejercitación de los resultados y definiciones en la resolución de

“problemas”, que consisten básicamente en la demostración de otros resultados utilizando

como base los teoremas que hayan sido abordados en sesiones previas. Durante el

desarrollo de las clases no se pone en juego la comprensión y el análisis de las conjeturas

que los estudiantes podrían aportar, de las ideas y de las concepciones previas, tampoco

existe un consenso de las mismas y en general, se enfrenta a los estudiantes a situaciones

problemáticas ficticias y sin relación con otras ciencias (Cantoral, 2000; García, 2006). Tal

metodología produce en los estudiantes un profundo desinterés por los temas escolares, y

una insatisfacción de los profesores en cuanto al aprendizaje de los primeros.

Las respuestas a tales problemáticas no se han hecho esperar. Se ha tenido, en las últimas

décadas, un incremento en las reformas que tratan de incidir directamente en el currículum

de los programas de cálculo, y de hecho, algunos profesores intentan acomodar dichos

programas a las realidades de los estudiantes, tómese como ejemplo el paradigma de las

matemáticas en contexto o el de resolución de problemas desarrollado en Norteamérica en

las últimas décadas. En este tipo de paradigmas, la figura del profesor pasa a ser la de un

guía; tratando de mostrar a los estudiantes que la matemática es un mundo de exploración y

18

Antecedentes

de resolución de problemas. Las ideas que manejan los autores de estás orientaciones

teóricas, se basan en la tesis de que los objetos mentales preceden a los objetos formales, y

que éstos pueden servir al momento de organizar campos de experiencia. Otro ejemplo de

reforma curricular la podemos encontrar en países como Australia y Francia, donde se han

avocado hacia una reforma que use a la tecnología como motor del conocimiento

matemático (Moreno, 2005).

Sin duda, voluntad por parte de los investigadores, de los profesores y de las instituciones

no falta, sin embargo, estos esfuerzos poco han logrado desligar el aspecto problemático de

la enseñanza-aprendizaje de los conceptos del cálculo, y nos encontramos profesores que

prefieren mantenerse en una postura tradicional de potenciar la enseñanza de los métodos

de resolución algebraica por sobre los procesos de construcción matemática y cognitivos.

Esto nos refiere de una resistencia por tomar en cuenta una componente didáctica diferente

a la tradicionalmente empleada en el aula.

Los profesores en ejercicio no reconocen fácilmente el interés que pueda tener una

formación en Didáctica de las Matemáticas (Artigue, 1995). Inclusive, dentro de las

instituciones de enseñanza, existe una falta de interés y credibilidad en la teoría didáctica

como una forma de explicar, interpretar e incidir en las problemáticas que se desarrollan en

la práctica docente (Espinoza, 2000). Lo anterior podría deberse a que los problemas que

los profesores de matemáticas enfrentan, no pertenecen, en su gran mayoría, al campo de la

didáctica, y si así fuera, la didáctica no ofrece un aporte inmediato de solución. Artigue

(1995) menciona que existen debates en cuanto a la integración de la componente didáctica

en la formación inicial de los profesores. La didáctica es percibida como una falsa ciencia

19

Antecedentes

que desea imponer su dogma en la enseñanza; o el temor de que la formación didáctica se

haga en detrimento de la formación matemática de los profesores. Sin embargo, aun con la

presencia de estos argumentos detractores de la importancia de una formación en didáctica,

pensamos que es preciso generar vínculos entre ésta y la práctica docente (Sánchez, 2005;

Aparicio, 2006). El rechazo a la didáctica de las matemáticas, ocasiona en los profesores,

como ya se mencionó, el empleo excesivo de la técnica expositiva para abordar los

conceptos, clases sin una utilización racional y efectiva de recursos didácticos8, diferentes

a la pizarra y mecanismos poco eficaces de evaluación.

Por otra parte, a los profesores de matemáticas, en términos pragmáticos, les resulta más

económico (en cuestión de tiempos), abordar los temas mediante una metodología

expositiva, distinguible por el seguimiento de un patrón: definición del concepto a estudiar,

ejemplos rutinarios donde se aplique el concepto específico, y por último ejercicios de

reforzamiento. Ver el siguiente esquema:

Definición del concepto

Aprendizaje

Ejemplos tipo

Reforzamiento

5Para el caso de matemáticas, un recurso didáctico lo consideramos desde una perspectiva amplia, como

cualquier hecho, lugar, objeto, persona, proceso o instrumento del que se vale el profesor para ver alcanzado

los objetivos de aprendizaje.

20

Antecedentes

En este tipo de tratamiento de contenidos, los tiempos de exposición suelen acortarse, lo

cual favorece abordar más temas en menor tiempo. Motivados por los tiempos

institucionales, los profesores se ocupan por desarrollar por completo una programación

temática muy extensa, reduciendo de alguna manera, los tiempos de exploración y de

debate en la clase de cálculo (Cantoral, 2000). De esta manera, se piensa que los estudiantes

podrán “construir” aprendizajes, los cuales podrán ser utilizados en situaciones no

rutinarias; hecho que, generalmente no ocurre.

2.3. Sobre la Investigación en Didáctica del Cálculo

Luego de una revisión de las investigaciones en didáctica del cálculo, Harel y Trgalová

(1996) citados por Moreno (2005), señalan que las investigaciones en tal rubro están

enmarcándose en tres enfoques para la enseñanza del cálculo:

• “Proyecto de Cálculo en Contexto”, donde la idea principal es que el Cálculo es un

lenguaje (el lenguaje de la ciencia), una red de conceptos y técnicas útiles. El

objetivo principal es que los estudiantes construyan las matemáticas a través de sus

aplicaciones y comprendan las relaciones entre los elementos que forman al

Cálculo.

• “Proyecto de Debate Científico”, donde el objetivo principal es conseguir que los

estudiantes trabajen como si fueran matemáticos mediante la introducción de

diferentes conceptos del Cálculo en el contexto de problemas científicos. Los

estudiantes formulan, conjeturan, proponen, dibujan sus conclusiones, validan,

discuten y argumentan con sus demás compañeros de clase.

21

Antecedentes

• El tercer enfoque es el que proponen Artigue y colaboradores, que desarrollan un

modelo teórico y de enseñanza denominado Ingeniería Didáctica. Se propone un

enfoque de enseñanza que intente desde el principio, coordinar los enfoques

algebraico, numérico y gráfico. Se plantea una investigación en tres fases: análisis e

interpretación de la enseñanza; análisis de las restricciones en la enseñanza; diseño

de una Ingeniería didáctica.

En la actualidad existen varias investigaciones en didáctica de las matemáticas que ponen a

la tecnología como motor de conocimiento, teniendo interesantes repercusiones en la

enseñanza del Cálculo. En ellas se sugiere que el uso de la tecnología en el aula de

matemáticas no debe quedar excluido porque “evitan que el alumno piense”, sino más bien,

mirar a la tecnología como la herramienta que brinda la posibilidad a los estudiantes de

involucrarse en la construcción de su conocimiento matemático. Se propone entonces la

creación de propuestas en las que se desarrolle un uso inteligente de los medios

tecnológicos (Buendía et al, 2006). Los investigadores que tienen a su cargo la ejecución de

este tipo de proyectos, comparten una visión sobre los instrumentos tecnológicos:

facilitadores de cálculos y operaciones en general, cuyo uso inteligente no puede quedar

relegado al pragmatismo de ahorrador de tiempo. De ahí que, en el aula de matemáticas de

este siglo, tiene que darse necesariamente una reorganización del discurso matemático

escolar que favorezca un estudio, representación y exploración del saber matemático

matizado por el uso de instrumentos tecnológicos (Buendía et al, 2006).

Sin embargo, ante tales resultados y propuestas, poco se ha podido hacer a favor de una

mejoría en los aprendizajes del cálculo, pues se continúa igual y padeciendo dificultades

22

Antecedentes

conocidas. Las principales críticas por parte de los profesores hacia los resultados de las

investigaciones, son sin duda, los tiempos empleados en desarrollar un tema y el número de

estudiantes a manejar en las aulas. En cuanto a la primera, si bien es cierto que las

investigaciones invierten más tiempo para desarrollar y trabajar con los conceptos que

cuando se abordan en las clases convencionales, las ventajas en cuanto a la comprensión y

aprendizaje de los estudiantes, en muchos casos, son evidentes. Creemos que si se pretende

que los estudiantes logren comprender y manejar las ideas y los tipos de razonamientos que

el cálculo desarrolla; es decir, si queremos que nuestros estudiantes al estudiar la derivada

piensen y se comuniquen en códigos variacionales, habilidad necesaria para el estudio y

entendimiento del cálculo diferencial, sería conveniente rediseñar nuestra práctica docente

y orientarla hacia propiciar la aparición de las ideas que la matemática involucra y

desarrolla.

Por otro lado, en esta época de crecimiento y de globalización de la enseñanza, es preciso

que las instituciones acerquen los recursos educativos a más estudiantes, así como

proporcionar la infraestructura requerida. Sin duda, tal situación repercute directamente en

el número y tamaño de los grupos que deben ser manejados por los profesores; pues al

incrementarse, el profesor tiene más problemas cuando pretende abordar los temas de una

manera diferente a la tradicional. De nueva cuenta, pretextando por el tiempo que se debe

emplear para abordar los temas.

23

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

CAPÍTULO 3

ELEMENTOS PARA EL DISEÑO DE PROPUESTAS DIDÁCTICAS

3.1. Sobre los Elementos para el diseño de propuestas didácticas en cálculo

diferencial

En esta sección se presentarán los elementos que consideramos importantes para el diseño

de propuestas didácticas en Cálculo Diferencial. Tales elementos derivaron del análisis de

artículos de investigación relacionados con el diseño de propuestas didácticas en la

enseñanza de algunos conceptos del cálculo diferencial. Los temas de búsqueda fueron:

funciones reales, límites de funciones reales, continuidad de funciones y derivadas. Se

examinaron artículos de investigación que desarrollaran, mediante actividades y propuestas,

alguno de estos temas.

Nos interesamos en analizar la manifestación de partes esenciales en las actividades o

secuencias de éstas, utilizadas por investigadores en sus proyectos de investigación e

innovación en didáctica del cálculo, a tales características hemos convenido en referirlas

como elementos para el diseño de secuencias didácticas en cálculo. Estos elementos que

presentaremos en lo sucesivo, son producto de un meticuloso análisis de propuestas y

actividades presentes en el conjunto de investigaciones abordadas. El análisis que se llevó a

cabo fue buscando las diferencias y semejanzas entre las propuestas así como también el

tratamiento dado a los conceptos. Es importante recalcar el alcance de nuestra

investigación, pues los elementos que se proponen y caracterizan no son, de ninguna

24

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

manera, únicos; así como tampoco son impositivos para el diseño de actividades en las

propuestas didácticas. Más bien se trata de patrones que a juzgar por los resultados se deben

considerar, pues luego del análisis de las propuestas que los reportes de investigación

presentaban, se pudo observar su presencia e importancia de manera universal, no

importando el tipo de población, lugar, ideología o paradigma teórico.

Los elementos que se presentan pueden ser agrupados como inherentes al objeto

matemático, o propios de la persona; de igual manera pueden ser categorizados como

elementos del tipo: epistemológicos, cognitivos y didácticos. La primera distinción atiende

a que los conceptos matemáticos muchas veces son complicados en sí mismos, las

problemáticas relacionadas a su aprendizaje son debidas a su propia naturaleza y a su

epistemología de desarrollo (propios del objeto); otras veces, las dificultades de los

conceptos matemáticos están relacionadas a consecuencias del lenguaje, motivaciones

personales o a las concepciones previas de los estudiantes (propios de la persona). La

segunda distinción se realiza atendiendo a las tres dimensiones centrales en el análisis y

funcionamiento del sistema didáctico9. Básicamente estas tres dimensiones atienden a

diferentes preguntas que las rigen; la dimensión epistemológica es guiada por la pregunta:

¿cómo se constituye el objeto de conocimiento?; la dimensión cognitiva responde a la

pregunta: ¿cómo el estudiante aprende el objeto?, por último, la dimensión didáctica

responde a la pregunta: ¿cómo se enseña el objeto? (Arrieta, 2003).

La dimensión epistemológica se refiere a las distintas evoluciones de los conceptos que en

la historia se han presentado a través de su ubicación en la enseñanza. Las evoluciones 6Entenderemos por Sistema Didáctico al conjunto de relaciones que en general se establecen entre profesor y los alumnos con la intencionalidad explícita de desarrollar enseñanza para producir aprendizajes específicos.

25

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

forman parte de la aproximación del saber hacia un estadio científico propio de la época en

estudio. En esta dimensión es importante reconocer aquellos obstáculos para el aprendizaje

a través de un desarrollo histórico de las ideas y su devenir en la enseñanza actual.

La dimensión cognitiva tiene que ver con los diferentes puntos de vista, las concepciones,

representaciones y modos en que los involucrados abordan e interpretan el concepto,

objeto, noción, etc., que profesores, estudiantes y en general, la comunidad académica

tienen o se forman al respecto.

La dimensión didáctica se relaciona con las características de la labor docente dentro del

sistema educativo en el estudio de las nociones de la enseñanza a través de los libros de

texto, en la manera en que se enseña el concepto por parte de los profesores, así como de

las exigencias que estos hacen.

Presentamos a continuación los elementos que se obtuvieron de las investigaciones en

didáctica del cálculo:

Elementos para el diseño de propuestas didácticas:

1. La noción de visualización matemática (de la persona; cognitivo, didáctico)

2. La noción de obstáculo epistemológico (de la persona; epistemológico, didáctico)

3. Cambio y coordinación entre registros de representación semiótica (de la persona;

didáctico)

4. Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional (de la persona; cognitivo)

5. La cualidad dual de los conceptos. Objeto-Proceso. Operacional-Estructural (del

objeto; epistemológico)

26

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

6. Concepto-Imagen y Concepto-Definición (de la persona; didáctico)

7. La noción de infinito. Infinito Potencial e Infinito Actual (del objeto; cognitivo,

epistemológico)

8. Procesos y situaciones límites (del objeto, de la persona; epistemológico, cognitivo,

didáctico)

9. Aspectos Puntual y Global de los conceptos (del objeto; didáctico)

3.1.1. La noción de visualización matemática

Consideramos, en primera instancia, al concepto de Visualización en el sentido de

Zimmerman y Cunningham (1991) citados en Peralta (2004) como:

“… el término visualización se utiliza para describir los procesos de producción o uso de

representaciones geométricas o gráficas de conceptos matemáticos, principios o

problemas, ya sea dibujados a mano o generados por computadora”.

Adicionalmente, Hitt (1995) en Peralta (2004), menciona que: “La visualización de los

conceptos matemáticos no es una actividad cognitiva trivial: visualizar no es lo mismo que

ver. Visualizar es la habilidad para crear ricas imágenes mentales que el individuo pueda

manipular en su mente, ensayando diferentes representaciones del concepto y, si es

necesario, usar el papel o la computadora para expresar la idea matemática en cuestión”.

En el mismo orden de ideas, también menciona que “La visualización matemática requiere

de la habilidad para convertir un problema de un sistema semiótico de representación a

otro” y que “investigaciones recientes sobre los sistemas semióticos de representación han

27

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

puesto de manifiesto la importancia de la articulación entre diferentes representaciones de

conceptos matemáticos para el aprendizaje de la matemática”.

Tenemos entonces que Visualizar requiere de habilidades propias del pensamiento

matemático, por ejemplo: representar, transformar, generar, comunicar, documentar y

reflejar información visual en el pensamiento y en el lenguaje del que aprende cierto

concepto matemático (Montiel, 2003). La visualización requiere el empleo de nociones

matemáticas asociadas a los ámbitos numéricos, gráficos, algebraicos y verbales, lo cual

implica que los estudiantes sean capaces de explicar fenómenos y describir sus

experiencias. Trata pues, del funcionamiento de las estructuras cognitivas que son

empleadas para resolver problemas o con las relaciones abstractas que se formulan con las

diversas representaciones de un concepto matemático, todo ello con la finalidad de poder

operar con ellas y obtener resultados.

Como se mencionó, la visualización es una actividad cognitiva mucho más compleja que el

simple acto de ver u observar una representación de algún concepto matemático. Por

ejemplo, visualizar una función no significa solamente verla, mirar o contemplar su gráfica,

de hecho como menciona Montiel (2003) es posible visualizar la función sin siquiera verla

con el sentido de la vista. Con lo anterior podríamos decir que lo realmente importa, es la

transformación que podemos hacer de esa representación a otra, lo cual implica llevar a

cabo un acto de visualización.

Ahora bien, la visualización en nuestros días es un aspecto que está ganando terreno en el

ámbito de la educación matemática a nivel internacional. Las investigaciones que se

refieren a la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas cada vez son más proclives a

28

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

utilizar la visualización como parte medular del trabajo de los estudiantes. En estas

investigaciones se resalta la importancia de la visualización matemática como herramienta

de construcción de ideas matemáticas, pero no como una herramienta de la matemática

formal. Esto último es debido, principalmente, a que las imágenes, los diagramas y dibujos

han sido desestimados como herramientas, debido a lo subjetivo que pueden resultar y su

falibilidad a la hora de asegurar la verdad (Carrasco, 2005).

Nuestra postura con respecto a la visualización es que debe tomar parte cuando se estén

diseñando actividades para temas de Cálculo, pues como ya se ha dicho, la visualización

implica más que solo poder observar alguna representación, interesa el uso que se le pueda

dar a esa representación; la información que se pueda obtener de esa representación o la

explicación que pueda dar alguien sobre ella. En este sentido, no basta que el profesor en el

aula represente un objeto, idea o concepto matemático, en donde el significado que se le

otorgue a la representación sea la de una forma alternativa de mostrar una información, sino

que, se utilice a la representación como una forma de estimular los procesos mentales.

Sin embargo, la visualización no es un acto directo o que todas las personas puedan realizar

sin alguna dificultad; no es una visión inmediata de las relaciones, sino una interpretación

de lo que se presenta a nuestra contemplación que solamente podemos realizar eficazmente

si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de comunicación que la sustenta (Montiel,

2003).

29

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

3.1.2. La noción de Obstáculo Epistemológico

Para comenzar con el desarrollo de esta sección mencionaremos que el concepto de

Obstáculo Epistemológico no se refiere a las dificultades desorganizadas o derivadas de la

ausencia de conocimiento, sino a las dificultades directamente vinculadas con las formas de

considerar el conocimiento o los conocimientos mismos. Lo anterior implica por ejemplo, a

los nuevos conocimientos que “chocan” con las concepciones previas de los estudiantes,

decimos entonces que estamos ante un obstáculo epistemológico.

En Malisani (1999) se presenta una serie de condiciones que debe satisfacer un obstáculo

para que sea considerado de tipo epistemológico:

• Un obstáculo es un conocimiento, una concepción, no una dificultad o falta de

conocimiento.

• Este conocimiento produce respuestas correctas en un determinado contexto que el

alumno encuentra a menudo; pero genera respuestas falsas fuera del contexto; es

decir, un conocimiento es válido en cierto dominio y para ciertas actividades y

tareas.

• Este conocimiento se manifiesta resistente a las contradicciones (a las cuales se

confronta) y a la sistematización de un conocimiento mejor.

• Después de la toma de conciencia de la falta de precisión del conocimiento “viejo”,

éste continúa manifestándose de manera tenaz y frecuente.

30

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

Bachelard en Malisani (1999) se refiere a los obstáculos epistemológicos:

“Un obstáculo epistemológico se incrusta en el conocimiento no formulado. Costumbres

intelectuales que fueron útiles y sanas, pueden después de un tiempo obstaculizar la

investigación".

Por otra parte, si se logra ayudar a los estudiantes a superar los obstáculos epistemológicos

que se presentan, habrá posibilidades reales de que el nuevo conocimiento será

significativo. Según Brousseau (1986) en Malisani (1999), la noción de obstáculo está

relacionada con la idea de aprendizaje por adaptación. Ciertos conocimientos del alumno

están ligados a otros conocimientos anteriores que a menudo son provisorios, imprecisos y

poco correctos. Es importante mencionar que los obstáculos epistemológicos toman en

cuenta el hecho de que el conocimiento científico no es el resultado de un proceso

continuo, sino que necesita de algunos momentos de ruptura con los conocimientos

anteriores (Artigue, 1995). Ahora bien, estas rupturas no deben considerarse como “malas”,

más bien nos indican la manera en que el “saber” evoluciona, por ejemplo, a lo largo de la

historia.

3.1.3. Cambio y coordinación entre Registros de Representación Semiótica

Actualmente, muchas investigaciones en didáctica de las matemáticas (o Matemática

Educativa) han reportado el creciente interés por el estudio de las representaciones como

generadoras de pensamiento matemático, el uso de varios registros de representación así

como en la articulación y transferencia entre los mismos; para que de esta forma los

estudiantes sean capaces de acceder a los conceptos matemáticos, es decir, se tenga una

31

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

comprensión más rica y amplia de algún concepto matemático. Los resultados de

investigaciones relativas al uso de los registros de representación semiótica han fortalecido

la postura de que el aprendizaje se ve favorecido cuando se incorporan en su enseñanza

actividades didácticas que utilicen y articulen registros de representación (Ibarra et al,

2000).

Para efectos de la presente investigación vamos a entender como Registro a aquello

constituido por signos, en el más amplio sentido de la palabra: trazos, símbolos, íconos,

figuras, etc. Estos signos están asociados de manera interna de acuerdo a los lazos de

pertenencia a una misma red semántica y, de manera externa, según las reglas de

combinación de signos en expresiones o configuraciones; estas reglas son propias de la red

semántica considerada. Un registro se caracteriza por un sistema semiótico, es decir, por

sus signos propios y la manera en que estos se organizan (Duval, 1988 en García et al,

2004).

Para el caso de las matemáticas, un registro de representación será un sistema de signos

utilizados para representar una idea u objeto matemático. Ahora bien, la importancia de los

registros de representación en matemáticas radica en que los objetos matemáticos no son

directamente accesibles por medio de la percepción o por una experiencia intuitiva

inmediata como son los objetos comúnmente llamados físicos; de ahí la importancia en los

procesos de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas (Duval, 1998 citado por García et

al, 2004).

Por otro lado, los registros de representación deben contar con ciertas características, por

ejemplo: deben ser identificables, deben permitir su tratamiento, esto es, la manipulación y

32

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

transformación dentro del mismo registro y; por último, debe permitir la conversión,

consistente en la transformación total o parcial a otro registro de representación. La

coordinación o conversión entre registros se refiere a la confrontación de dos

representaciones de un mismo objeto; a la conversión congruente entre registros de

representación. El último aspecto es uno de los más importantes, pues como menciona

Duval (1993) citado por (Ibarra et al, 2000):

“La comprensión (integradora) de un contenido conceptual reposa en la coordinación de

al menos dos registros de representación, y esta coordinación se manifiesta por la rapidez

y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión”.

3.1.4. Desarrollo del Pensamiento y Lenguaje Variacional

El cálculo es la matemática del cambio, de la variación; fue así como se piensa que fue

concebido por Newton en sus principios; el movimiento y el cambio eran el motor de todas

sus preguntas y lo que daba sentido a sus estudios. Actualmente el cálculo es una poderosa

herramienta que estudia el movimiento o mejor dicho modela el movimiento y que se

emplea como herramienta fundamental en todas las ciencias, por ejemplo, en la medicina y

biología. Sin embargo, el cálculo en los sistemas educativos ha perdido este enfoque y se

han priorizado sus aspectos algorítmicos y procesos de construcción y validación formales

sobre la parte vivida y funcional de tan importante rama.

Cuando se aborda el estudio del Cálculo Diferencial o Integral en el bachillerato,

aparentemente éste es percibido como un tedioso y engorroso conjunto de reglas y fórmulas

sin aparente uso y aplicación en situaciones de la vida cotidiana. En el nivel universitario se

33

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

le percibe como un conjunto de teoremas, definiciones, demostraciones y problemas

abstractos, que solamente adquieren sentido dentro de las aulas de matemáticas. Las

competencias en las clases de Cálculo se reducen entonces a resolver límites, obtener

algunas derivadas de funciones, si acaso resolver algunos problemas de optimización y en

un nivel más avanzado, demostrar una gran cantidad de teoremas. Las prácticas algebraicas

son las que predominan en los cursos de Cálculo, pues es en este aspecto en el cual se

enfocan las clases y las “evaluaciones” de los aprendizajes.

Ahora bien, si se parte del hecho de mirar y considerar el Cálculo como la rama de la

matemática que permite modelar, explicar, predecir y cuantificar fenómenos de variación y

cambio, tiene cabida entonces hacerse preguntas tales como: ¿por qué en las clases de

matemáticas se ha perdido ese status o se ignora en gran medida? Las clases de Cálculo,

desde nuestro punto de vista, deben ser dirigidas primordialmente a que los estudiantes

trabajen con ideas variacionales, se estudien y modelen fenómenos de cambio, para lo cual

debemos desarrollar en nuestros estudiantes el pensamiento y lenguaje variacional; pues no

es suficiente que los estudiantes piensen en términos variacionales, sino también es

importante que los estudiantes puedan comunicar esas ideas. Pues como se menciona en

Cantoral (1993), no porque es momento de estudiar Cálculo tendremos la predisposición

hacia las ideas variacionales.

Sostenemos que la comprensión de los conceptos involucrados en el Cálculo es más

importante que desarrollar en los estudiantes prácticas algorítmicas.

Actualmente, el Pensamiento y Lenguaje Variacional es una línea de investigación

desarrollada por un grupo de Matemáticos Educativos, sistemáticamente desarrollada desde

34

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

hace poco más de una década por el grupo de investigación del Área de Educación Superior

del Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y Estudios

Avanzados del IPN-México (Cantoral, Reséndiz, 2003).

El Pensamiento y Lenguaje Variacional en tanto espacio de conocimiento, estudia los

fenómenos de enseñanza-aprendizaje y comunicación de saberes matemáticos propios de la

variación y el cambio en el sistema educativo y medio social. Además, se interesa en la

manera con que las personas asignan y comparten sentidos y significados utilizando

estructuras y lenguajes variacionales (Dolores et al, 2002). En él se ha sostenido, que el

actual discurso matemático escolar, parece inhibir el desarrollo de ideas variacionales entre

los estudiantes. Lo anterior debido a que la enseñanza del Cálculo ha sido entendida como

el desarrollo de habilidades algorítmicas, de naturaleza algebraica, para derivar, integrar y

optimizar variables, de ahí que su enseñanza entonces, no requiera diseñar escenarios para

la significación de la variación, ya sea a un nivel global o local.

Cabe mencionar, sin embargo, que el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional

entre los estudiantes precisa de procesos temporalmente prolongados a juzgar por los

tiempos escolares. Supone, por ejemplo, del dominio de la matemática básica y de los

procesos del pensamiento asociados, pero exige simultáneamente de diversas rupturas con

estilos del pensamiento prevariacional, como el caso del pensamiento algebraico. Además,

el conocimiento de la recta y de la parábola no son suficientes para acceder al lenguaje y

pensamiento variacional o para desarrollarse en los estudiantes, es necesario el manejo de

un universo de formas gráficas rico y profundo en significados por parte del estudiante

(Cantoral, Farfán; 2000).

35

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

3.1.5. La cualidad dual de los conceptos. Objeto-Proceso. Operacional-

Estructural

La dualidad objeto-proceso de los conceptos matemáticos se ha destinado para explicar lo

que ocurre con los conceptos matemáticos en la mente del estudiante como una extensión

del principio de abstracción reflexiva construida por Piaget (García, 1982 en Cantoral,

1993).

Una de las razones de la complejidad del conocimiento matemático superior es que, en su

mayoría, los conceptos del pensamiento matemático avanzado pueden jugar el papel de

procesos y de objetos, según la situación planteada o el nivel de conceptualización del

estudiante (Azcárate, Camacho, 2003), debido a las abstracciones con las que tiene que

trabajar la matemática.

Para ejemplificar este aspecto dual de los conceptos en matemáticas tomemos el siguiente

ejemplo: 2 + 7 se puede mirar como la acción de sumar el número 2 con el número 7, lo

cual se refiere a un proceso; mientras que si los miramos como la suma estaríamos

refiriéndonos a su aspecto de objeto (Cantoral, 1993). La expresión

representa simultáneamente el proceso de cómo calcular el valor de la función para

un valor particular de

9)( 2 −= xxf

)(xf

x y el objeto, es decir el concepto de función para un valor general

de x (Azcárate, Camacho, 2003); o bien la entidad se puede interpretar como la

acción de derivar (proceso) o bien como la derivada (objeto), inclusive sobre la cual se

podría efectuar otro proceso, por ejemplo integrar (Cantoral, 1993).

)(xDf

36

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

Como podemos observar, los objetos se conectan, interactúan mediante relaciones y los

procesos se componen de operaciones sobre dichos objetos. Sfard (1991) en Azcárate et al

(2003) menciona dos tipos de concepciones de un mismo concepto matemático: las

concepciones operacionales, cuando se tratan las nociones matemáticas como procesos

dinámicos, algoritmos y acciones, y las concepciones estructurales, cuando se consideran

los conceptos matemáticos como objetos abstractos estáticos. Este autor afirma que estas

concepciones son complementarias pues: “la habilidad para ver una función o un número, a

la vez como un proceso y como un objeto es indispensable para una comprensión profunda

de las matemáticas”. Considera que en la comprensión de un concepto matemático,

primeramente se da la concepción como proceso y después como objeto. Por nuestra parte,

indicaremos que si bien es muy posible que la concepción de proceso preceda a la de

objeto, su interconexión no es espontánea e incluso, la concepción de proceso que habita en

un estudiante llega a convertirse en obstáculo. Ilustramos lo dicho de la manera siguiente:

Es posible que al plantearle la pregunta, ¿qué es el límite de una función? a un estudiante

pre o universitario, nos encontremos respuestas del tipo: “…es el proceso de aproximarse

tanto como se quiera a un determinado valor pero sin llegar a tomar ese valor…”, Dicho

de otro modo, recurren a la idea “intuitiva” que bien el profesor ha mencionado o bien, han

leído en un libro; empero, en nuestra opinión, esta concepción procesal se convierte en un

obstáculo que induce errores de entendimiento, pues tal proceso no representa el objeto

como tal, sino el medio por el cual se ha de llegar a éste. Es decir, es un medio de

búsqueda.

37

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

La complejidad de los conceptos matemáticos radica importantemente en esta dualidad

proceso-objeto, pues muchas veces los estudiantes solo pueden reconocer uno de los

aspectos de esta dualidad. Un estudiante puede aprender a derivar y sin embargo, ser

incapaz de poder realizar la gráfica de la derivada e incluso no reconocerla como una nueva

función (Cantoral, 1993).

3.1.6. Concepto-Imagen y Concepto-Definición

Tall y Vinner (1981) con el propósito de clarificar las ideas y el lenguaje, establecen una

importante distinción entre los conceptos matemáticos definidos formalmente y los

procesos cognitivos que sirven para concebirlos, es decir, entre los resultados del proceso

de adquisición y representación de un concepto matemático en la mente de cada individuo y

la definición formal del mismo.

Ellos llamaron concepto-imagen a todas las imágenes mentales (incluye cualquier

representación del concepto: gráfica, numérica, simbólica, etc.) propiedades y procesos

asociados al concepto; lo anterior se va construyendo en los aprendices a lo largo de los

años a través de las experiencias y va cambiando según el aprendiz madura y se encuentra

ante nuevos estímulos. Sin embargo, muchas veces, estas imágenes, propiedades y procesos

no son globalmente consistentes en la comunidad científica de los matemáticos

profesionales y podría incluso, ser bastante diferente con el concepto-definición, secuencia

de palabras o símbolos que son usados por la comunidad científica de los matemáticos para

especificar o definir a ese concepto, lo cual podría ser fruto de su evolución histórica (estas

definiciones suelen aparecer escritas en los libros).

38

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

El concepto-imagen es algo no siempre verbal que asociamos mentalmente al nombre del

concepto; puede ser una representación visual del concepto, pero incluye también las

experiencias y las sensaciones vividas en relación al mismo (Azcárate et al, 2003).

Cabe mencionar que, para cada aprendiz, un mismo concepto o el concepto-definición

genera su propio concepto-imagen. Tomemos como ejemplo, el concepto de función. En

los libros de texto aparece comúnmente como: “una regla de correspondencia, en la cual a

un elemento de un conjunto A se le asigna un único elemento de otro conjunto B”; sin

embargo, los estudiantes que se han enfrentado al tema de funciones, podrían no recordar

la definición tal y cual aparece en los libros de texto y su concepto-imagen podría incluir

aspectos tales como: la idea de que una función es una ecuación analítica (fórmula,

representación algebraica), una gráfica o simplemente una tabla de valores (representación

numérica); y podría suceder incluso que ninguna de estas representaciones forme parte del

concepto-imagen del estudiante (traducción propia de Aspinwall, Millar; 2001).

Ahora bien, si un profesor presenta o proporciona la definición formal, por ejemplo, la del

concepto de función, y trabaja con ella un corto periodo de tiempo antes de pasar periodos

prolongados en los cuales todos los ejemplos son proporcionados como fórmulas, entonces,

cada concepto-imagen de los estudiantes podría desarrollarse más en la concepción de una

función como fórmula, mientras que la definición formal se vuelve inactiva en la estructura

cognitiva de los estudiantes. Los estudiantes podrían desenvolverse en un contexto limitado

con su noción restringida de función, incluso podría ser que respondan con la definición

formal correctamente, mientras operan con un inapropiado concepto-imagen de la noción

enseñada (Aspinwall, Millar, 2001).

39

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

3.1.7. La noción de Infinito. Infinito Potencial e Infinito Actual

Actualmente es indudable el papel esencial y primordial que guarda el concepto del Infinito

en las matemáticas de nivel superior. Para los matemáticos profesionales de nuestros

tiempos, el infinito es un objeto más de la matemática, pues, actualmente goza de

definiciones bien estructuradas, además, es un elemento contenido en la estructura

axiomática-deductiva, cuyas operaciones se encuentran bien estructuradas así como sus

relaciones con otros objetos matemáticos. Sin embargo, el matemático puede trabajar con el

infinito de manera tan natural, gracias a que al “matematizarlo” se ha renunciado a debates

milenarios sobre sus múltiples interpretaciones, contradicciones y paradojas que le son

asociados. Los procesos de reconstrucción conceptual durante un proceso de aprendizaje no

han quedado exentos de los problemas que el concepto de infinito acarrea, además es uno

de los obstáculos más difíciles de superar en la enseñanza de las matemáticas avanzadas, lo

cual hace crítico el aprendizaje del Cálculo (Waldegg, 1996). El infinito está asociado a las

concepciones más importantes del Cálculo, por ejemplo: límites, derivas e integrales.

Hoy día, la visión del infinito en las matemáticas distingue dos acepciones: el Infinito

Potencial y el Infinito Actual.

Bajo la primera perspectiva (infinito potencial), el concepto de infinito está asociado a la

ausencia de límites o de fronteras, a la falta de conclusión o de término de un proceso que

se repite o que progresa indefinidamente. Bajo este aspecto, el infinito es, literalmente lo

que no tiene fin, lo que siempre se puede continuar. Un ejemplo de infinito en su aspecto de

infinito potencial, sería la serie de los números naturales (Ν), en donde siempre es posible

hallar el sucesor de un número dado, no importa que tan grande sea este, aunque siempre el

40

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

número y su sucesor son finitos; también dividir siempre a la mitad una línea que se

prolonga en ambos sentidos pertenecería al aspecto de infinito potencial. El infinito

potencial bajo manifestaciones diversas aparece muy temprano, tanto en la evolución

histórica, como en el desarrollo intelectual del individuo. Por ejemplo, los niños desde edad

temprana, son capaces de advertir eventos cíclicos, como la sucesión del día y la noche, que

se repiten indefinidamente sin que parezcan tener fin. Cabe mencionar que este infinito no

parece crear problemas en el desarrollo conceptual, pues no crea conflictos graves con la

intuición y permanece largo tiempo sin evolucionar (Waldegg, 1996).

La segunda acepción del infinito, el Infinito Actual, está asociado a la idea de totalidad, de

completez y de unidad. Un proceso infinito, bajo este aspecto, se considera ahora acabado y

los límites alcanzados. Esta es la manera en que un matemático piensa actualmente y

trabaja con el concepto. La idea de infinito actual ha jugado un papel esencial e

incuestionable en el desarrollo y construcción de la matemática moderna. Sin embargo, el

desarrollo conceptual del infinito actual es diferente al desarrollo del infinito potencial,

pues a diferencia de este último, se desarrolla tardíamente y aparece siempre inmerso en

situaciones conflictivas. No obstante, se podría pensar en una anterioridad lógica del

infinito actual sobre el potencial, lo que tiene como consecuencia que su aparición sea

inevitable en los procesos de creación y re-creación de las matemáticas en donde está

presente el infinito potencial (Waldegg, 1996).

Desde la realidad psicológica, el infinito es un concepto difícil de aceptar y, muchas veces,

contradictorio. Si hacemos un breve recorrido histórico del concepto de infinito nos

daremos cuenta que las intuiciones que actualmente se presentan son similares a aquellas

41

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

experimentadas por los matemáticos durantes el desarrollo del concepto. Por ejemplo, en

(Garbin, 2005), se menciona que los estudiantes entre 16 y 20 años, a los cuales no se les ha

formalizado el concepto de infinito cantoriano (infinito actual) y aun teniendo

conocimientos de Cálculo diferencial e integral, no necesariamente perciben al infinito en

algunas situaciones como acabado y los límites alcanzados, sin embargo en otras

situaciones si es aceptada la completes del proceso.

Creemos que todos los aspectos que involucren el trabajar con el infinito, primero deberían

ser antecedidas por el estudio de las consecuencias de los dos aspectos del infinito:

potencial y actual. Es importante como menciona Garbin (2005) no favorecer a lo largo de

la escolaridad posturas cerradas y erradicadas en situaciones que no permiten dar paso a lo

infinito a partir de la finito, extrema insistencia de lo concreto y finito, y trabajar con

frecuencia con una matemática o demostraciones que “ocultan” o no muestran con claridad

los procesos infinitos involucrados y el papel que éste juega.

Circunstancias escolares mediocres e intuiciones equívocas, favorecen a que los aspectos

relacionados con el infinito sea uno de los obstáculos conceptuales más difíciles de superar.

3.1.8. Procesos y situaciones límite

El límite es un concepto muy importante para el desarrollo de las matemáticas modernas,

en especial del cálculo. Lo anterior responde a que varios de los conceptos más importantes

del cálculo basan sus definiciones en tal concepto, por ejemplo, la derivación e integración.

En las investigaciones sobre la didáctica del cálculo, el concepto tiene un lugar esencial, lo

cual era de esperarse debido a la importancia del concepto en el campo de las matemáticas

42

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

(Artigue, 1995). La historia de la matemática nos muestra que este concepto es muy

complejo y que muchas veces los obstáculos que tuvieron algunos matemáticos se

presentan de nueva cuenta en el aula de matemáticas. Cabe mencionar que existieron varios

pensadores que no lograron sobrepasar el obstáculo generado por las concepciones del

infinito potencial y el infinito actual; por lo que es de suponerse que algunos profesores de

matemáticas de nivel medio superior e incluso superior, pudieran tener problemas en el

aprendizaje del mismo.

En (Hitt, Páez, 2004) se menciona que existe una gran cantidad de dificultades de

aprendizaje entorno al concepto de límite; por ejemplo: responder la pregunta ¿qué es el

límite?, el significado de las diferentes notaciones, los significados del signo “=” en las

diferentes representaciones, conflictos que causa la creencia de que los límites son una

simple “sustitución”, conflictos con las creencias de que las funciones no continuas no

poseen límites, entre otras. Además, puesto que el Cálculo tiene que ver directamente con

los procesos infinitos, y es uno de los primeros conceptos en los que aparece, los conflictos

de aprendizaje se hacen presentes de inmediato.

Otro problema que se presenta cuando se aborda el tema de límites, es que el sentido

común del término de límite favorece una concepción del límite como una barrera

intraspasable y no alcanzable, como una barrera o como el último término de un proceso

(Artigue, 1995).

43

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

3.1.9. Aspectos Puntual y Global de los conceptos

Los conceptos matemáticos son complejos en sí mismos; muchas nociones matemáticas

guardan una doble naturaleza: una puntual y otra global, por lo que referirse a tales

nociones es necesario hacerse a dos niveles.

Las nociones matemáticas tienen en un principio, un significado puntual, y por lo tanto

local y estático. Para ejemplificar esta idea tomemos el caso de la noción de derivada.

La definición clásica de derivada de una función de variable real )(xf x en un punto de

abcisa está dada por: 0x

x

xfxxfxf

xdxfd

xxx Δ

−Δ+=′=

→Δ=

)()(lim)()( 00

00

0

, donde fDx ∈0

La definición anterior se puede interpretar como la razón de cambio instantánea de la

función en el punto de abcisa . También como la pendiente de la recta tangente a

la gráfica de la función en dicho punto. Tales consideraciones tienen un significado físico y

geométrico local, lo cual se refiere a un algoritmo local.

)(xf 0x

Sin embargo, podemos referirnos a la siguiente definición para la derivada:

x

xfxxfxfxdxfd

x Δ−Δ+

=′=→Δ

)()(lim)()(0

, donde fDx ∈

En este caso, el algoritmo es global, lo cual implica que su significado ya no depende del

punto elegido. Tal definición se referiría a una razón de cambio para cualquier valor

44

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

permitido de la variable independiente, o es la pendiente de la recta tangente a cualquier

punto que pertenece a la gráfica de la función. Se trata por lo tanto de un significado global

y dinámico.

Estas dos definiciones son, en esencia, equivalentes, ya que la segunda se podría considerar

como la generalización de la primera; es decir, podemos “leer” la primera definición de la

misma manera como leemos la segunda: como la derivada en cualquier punto. Sin

embargo, cognitivamente hablando, existe una cuestión que los profesores, generalmente,

pasan por alto: para los estudiantes, estas dos definiciones podrían ser “totalmente”

diferentes y podrían, incluso, referirse a dos conceptos no relacionados; ya que la notación

involucrada en ellas así lo hacen ver.

Existen en la literatura diferentes posturas con respecto a cual de los dos niveles de esta

dialéctica entre los puntual y lo global, debería dársele prioridad en la enseñanza de los

conceptos10; sin embargo nosotros no estamos interesados en definir una postura ante tal

situación, más bien, queremos recalcar la complejidad que revisten los conceptos en cálculo

en sí mismos a la hora que se pretenden realizar propuestas didácticas. Coincidimos, junto

con Jiménez (2004), en que el diseño de las actividades de enseñanza de los conceptos

matemáticos debe incorporar, desde su misma concepción, esta doble relación dialéctica

que se manifiesta en el proceso de gestación y evolución de dichos conceptos, por un lado,

como tensión entre lo puntual y lo global, y por el otro, entre las interpretaciones estática y

dinámica de tales conceptos. Esta doble relación dialéctica queda naturalmente anclada en

7 Cabe mencionar que no hay evidencia empírica suficientemente sólida de que el hecho de asimilar una concepción puntual sea el prerrequisito o la condición necesaria para construir sobre ella una concepción global (Heugl, 1999) en Jiménez (2004).

45

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

la expresión analítica (o algoritmo) que refleja la naturaleza de tal concepto, y que en la

ciencia matemática se presenta como la definición formal del concepto.

Por otra parte, no se encontró en la literatura especializada más información referente a esta

dualidad, por lo que pensamos conveniente estudiar a fondo tales consideraciones.

3.2. Recomendaciones para el diseño de propuestas didácticas

Además de los elementos presentados hasta el momento, a continuación realizamos algunas

recomendaciones que consideramos pertinentes tener en cuenta cuando se realicen

propuestas didácticas. Estas recomendaciones son más bien del tipo estructural y no son

aplicables a todas las secuencias, más bien, el profesor será el encargado de decidir si son

aplicables a las propuestas que plantea.

• Para el diseño y desarrollo de propuestas de aprendizaje es conveniente que primero

se decidan las competencias matemáticas que queremos desarrollar en los

estudiantes.

• Tomar en consideración el uso del Aprendizaje Cooperativo como técnicas de

trabajo de los estudiantes dentro del aula.

• Es conveniente que los profesores tengan en consideración los diferentes Estilos de

Aprendizaje y Estilos Cognitivos que sus estudiantes manejan y prefieren (Cantoral,

1993).

• Atender, en todo lo que sea posible a los aspectos funcionales de los conceptos. Se

podría interpretar también como el surgimiento del concepto o del tema a partir de

necesidades, o como herramientas para resolver situaciones problemáticas.

46

Elementos para el diseño de propuestas didácticas en Cálculo

• Tratar de emplear situaciones concretas y cotidianas a los estudiantes, cuanto sea

posible. Los conceptos básicos deben procurarse de esta manera.

• Es muy importante considerar cual será la actividad de los estudiantes a lo largo de

las actividades de las propuestas. Es conveniente definir si la actividad del

estudiante será activa o pasiva.

47

La propuesta didáctica

CAPÍTULO 4

“UN TRATAMIENTO HACIA LA

DERIVADA EN TÉRMINOS DE LA

VARIACIÓN”

4.1 PROPUESTA DIDÁCTICA

48

La propuesta didáctica

4.1.1 ACTIVIDAD 1

A continuación se presentan tres tablas numéricas

a) Determina cuál de estas tablas corresponde a una función lineal, cuál a una función

cuadrática y cuál a una función cúbica. Explica ampliamente tu solución.

X y x y X y −3 −78 −3 624 −3 −29.25 −2 −57.75 −2 404.25 −2 96 −1 −40.5 −1 243 −1 221.25 0 −26.25 0 131.25 0 346.5 1 −15 1 60 1 471.75 2 −6.75 2 20.25 2 597 3 −1.5 3 3 3 722.25

b) La siguiente gráfica muestra el comportamiento de la función f que depende de x.

Con base a la gráfica, plantea una situación que se pueda modelar con ella, es decir,

describe un fenómeno cuya gráfica sea igual o bastante parecida a la que se te presenta.

Explica ampliamente.

49

La propuesta didáctica

4.1.1.1 ACTIVIDAD DE INSTITUCIONALIZACIÓN No. 1

1. La posición s en la que se encuentra un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba en el

tiempo t está descrita por la fórmula , donde s está dada en metros y t en

segundos.

2520)( ttts −=

a) Obtén una fórmula general que permita cuantificar la variación en la posición del

cuerpo para cualquier tiempo t y para cualquier incremento tΔ ,

b) Con base a lo hallado, completa:

it ft tΔ ¿Cuánto cambia? 0 0.25 =Δs

0.25 .05 0.5 0.75 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5

50

La propuesta didáctica

4.1.2 ACTIVIDAD 2

1. Completa las siguientes tablas:

a)

Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 Valor 5 9 13

b)

Posición 1 6 11 16 21 26 31 36 Valor 9 19 29

c)

Posición 5 7 17 20 21 35 51 60 Valor 9 33 69

d)

Posición 1 5 16 28 35 39 53 56 Valor 3 78

e)

Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 Valor 1 9 64

2. Halla las ecuaciones que correspondan a los valores presentados en las tablas anteriores.

Explica ampliamente el comportamiento de las gráficas y por qué las ecuaciones resultantes

necesariamente tienen que ser así.

51

La propuesta didáctica

4.1.2.1 ACTIVIDAD 2. 1. La Razón de Cambio como Pendiente de Rectas

En las tiendas departamentales ¡Surfing with the Alien! se obtuvieron los siguientes datos

para los precios de los pantalones marca Patito Jeans de temporada.

Mes Precio en

pesos

Enero $500

Febrero $550

Marzo $600

Abril $600

Mayo $600

Junio $800

Julio $840

Agosto $900

Septiembre $600

Octubre $580

Noviembre $430

Diciembre $430

1. Grafica los puntos en un sistema de coordenadas y explica el comportamiento de los

precios por cada mes que transcurre con ayuda de esta gráfica. Elabora una tabla donde

expliques el comportamiento de los precios por cada mes transcurrido. ¿A qué se refiere

esta tabla?

52

La propuesta didáctica

2. ¿Durante el transcurso de qué mes (es) te convendría acudir a comprar la tienda ¡Surfing

with the Alien!? ¿Por qué?

3. Halla las pendientes de cada una de las parejas de puntos.

4. Con base en la tabla de las razones de cambio, ¿cómo definirías a las pendientes de las

Rectas?

4.1.2.2 ACTIVIDAD DE INSTITUCIONALIZACIÓN No. 2

1. Cae agua dentro de un tanque cúbico de 2.5 metros de arista, a razón de 1 litro por

segundo;

a) Obtén una fórmula para el volumen V en función de la altura h.

b) Deduce la fórmula para la altura h en función del tiempo t.

c) Encuentra la fórmula que mida los cambios de Volumen si cmh 1=Δ

2. Dibuja las familias de rectas cuyas pendientes 12

12

xxyym

−−

= cumplan con las siguientes

condiciones:

• Δy > Δx

• Δy < Δx

• Δy = Δx

• Δy = 2Δx

53

La propuesta didáctica

4.1.3 ACTIVIDAD 3

I. Al lanzar un pequeño cohete para observaciones meteorológicas se observa la siguiente

trayectoria. Se tomaron las siguientes mediciones de la posición del cohete con respecto al

tiempo, desde que se lanzó hasta ocho segundos después. Los datos recabados se presentan

en la siguiente tabla:

Tiempo (t) (segundos) Posición (s) (Metros)

0 0 1 5.3125 2 6 3 4.1875 4 2 5 1.5625 6 5 7 14.4375 8 32

1. Obtén la ecuación que representa la posición del cuete con respecto al tiempo y

grafícala.

2. Realiza la tabla correspondiente a las razones de cambio del fenómeno descrito, con

=1. Una de ellas tomando los valores absolutos y otra sin tomar los valores

absolutos de los resultados. ¿Qué concepto físico representaría la tabla anterior, con

respecto al fenómeno?

tΔ

3. Dibuja, sobre la gráfica que realizaste, la gráfica de las razones de cambio.

54

La propuesta didáctica

4. Explica ampliamente, con base en las gráficas, el comportamiento del proyectil

(cuete).

5. ¿Qué ocurriría si halláramos la tabla de las razones de cambio pero con = 5?, ¿y

si fuera con =0.25? explica ampliamente tus respuestas.

tΔ

tΔ

4.1.3.1 ACTIVIDAD DE INSTITUCIONALIZACIÓN No. 3

I. Supongamos que cada una de las tablas que se presentaron en la actividad 1 representan

la posición de un móvil durante el tiempo, realiza lo siguiente:

a) Halla las ecuaciones para cada una de las tablas.

b) Obténgase la rapidez y la velocidad medias a intervalos de 0.5 y de 0.25 y analiza

cómo cambia la rapidez y la velocidad.

c) ¿Cuál es la velocidad media del móvil entre los tiempos t y tt Δ+ ?

d) Grafica la tabla de las razones de cambio como se hizo en el inciso 3 de la actividad

anterior.

e) ¿Qué pasaría si hiciéramos cada vez más pequeños los intervalos de referencia, es

decir, si hacemos que sea cada vez más pequeño? Explica ampliamente. tΔ

55

La propuesta didáctica

4.1.4 ACTIVIDAD 4

1. Con base en la ecuación que encontraste en la actividad 3 para la posición del cohete con

respecto al tiempo, a saber: tttxs325

827

4817)( 23 +−=

a) Halla la velocidad del cohete en el tiempo t = 2.

2. Completa las siguientes tablas, en la cual nos acercamos a 2=t . En una de ellas realiza

un acercamiento por la derecha y en la otra un acercamiento por la izquierda. Emplea los

valores y la cantidad de ellos que consideres pertinentes.

Intervalos tΔ →0 t

tststsmediavelocidad

Δ−Δ+

=ΔΔ

=)()2(

≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ …

Intervalos tΔ →0 t

tststsmediavelocidad

Δ−Δ+

=ΔΔ

=)()2(

≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ ≤ t ≤ …

56

La propuesta didáctica

a) De acuerdo a este acercamiento, ¿qué puedes concluir sobre la velocidad del móvil

en t = 2?; ¿y si es infinitamente pequeño, se continuará cumpliendo tu

conjetura?

tΔ

3. Halla la velocidad instantánea en el tiempo at = con sDa ∈ . ¿Qué ocurre con la

velocidad media cuando ? 0→Δt

4. Grafica la función derivada junto con la función original en un mismo sistema de

coordenadas. Explica el comportamiento de la función original. Puedes usar un programa

computacional o la calculadora con capacidad gráfica.

5. La siguiente gráfica muestra las velocidades al lanzar un pequeño cohete para

observaciones meteorológicas.

57

La propuesta didáctica

a) ¿Por qué se encuentra la gráfica de las velocidades, después de 24 segundos por

debajo del eje t?

b) Con base en la gráfica de la función velocidad (función razón de cambio

instantánea) del fenómeno en cuestión, explica ampliamente el comportamiento de

tal móvil.

c) Dibuja la gráfica de la función posición, a partir de la gráfica anterior.

58

La propuesta didáctica

4.2 Características de la Propuesta Didáctica

4.2.1 Sobre la Propuesta Didáctica

La propuesta que se presenta trata sobre una introducción al estudio de la derivada de una

función en un punto. Para ello, se estudiará este concepto como la función razón de cambio

instantánea. Ahora bien, el eje central de nuestra propuesta se encuentra en la

cuantificación de la Variación; éste concepto será el motor de conocimiento que dará

sentido al desarrollo y estudio de la Derivada; además, a partir de él se desprenderán las

ideas, conceptos, propiedades y procedimientos esenciales de esta parte de la matemática.

El diseño de nuestra propuesta didáctica estuvo fuertemente influenciado por las

actividades que conforman nuestra base de datos, principalmente las que se refieren de

alguna manera al concepto de derivada; así como también de algunos de los elementos

referidos en los capítulos pasados. Como mencionamos en la sección que hace referencia de

los elementos, la presencia de éstos no es explícita.

Las actividades que se diseñaron no son necesariamente para ser desarrolladas por medio

de hojas de trabajo (a manera de secuencia), más bien se podría diversificar la manera de

trabajar con los estudiantes, es decir, se podrían hacer algunas actividades por hojas de

trabajo, por medio de trabajo cooperativo, de manera individual o incluso ser el mismo

profesor que presente la situación y por medio de interrogatorios y con ayuda de los

estudiantes se resuelvan las mismas. Es importante hacer notar que las actividades no son

de ninguna manera impositivas, más bien son guías de las que el profesor puede echar

mano para desarrollar otras actividades incluso. Al inicio de cada una de las actividades es

importante tener momentos de motivación hacia la tarea que se pretende ejecutar.

59

La propuesta didáctica

4.2.2 Justificación de la propuesta

El concepto de derivada, generalmente, se estudia en los últimos años del bachillerato y

continúa en los primeros años de estudios en las carreras, principalmente, de Ciencias.

Tanto en las clases como en los textos, el concepto de derivada es introducido mediante la

versión de D’Alembert, donde la derivada tiene el status de ecuación de la recta tangente en

cualquier punto para una curva dada; lo anterior implica reconocer a la derivada como el

límite de las pendientes de las rectas secantes. El contexto anterior pretende lograr una

interpretación geométrica del concepto. El discurso del profesor durante la introducción del

concepto se basa, principalmente, en la siguiente estrategia: imaginar una curva y dos

puntos sobre ella; uno de los cuales permanece fijo y el otro, tenderá hacia el primero. Es

entonces cuando se dibuja la recta secante que pasa por los dos puntos; a partir de aquí se

abstrae enseguida el proceso de construcción de una infinidad de rectas secantes, siguiendo

el discurso con que la recta límite se llama tangente a la curva en el punto fijo. La

presentación anterior acarrea “serios” problemas en las concepciones de los estudiantes,

principalmente debido al concepto de límite, pues los estudiantes no consideran, por

ejemplo, que al final del proceso ¡sólo existirá un punto y no dos como se mencionó al

principio del discurso!; otra dificultad que se refleja con esta presentación es que la

derivada, en ese momento escolar, es un número, y no una magnitud geométrica, luego

entonces no se ve en el dibujo que se está usando (Dolores, 1989; Sierpinska, 1985;

Ocampo, 1989; en Cantoral, 1993). Con este tipo de acercamiento al concepto no se revela

claramente la naturaleza variacional que posee la derivada, ni tampoco es notorio el aspecto

de la matemática del cambio.

60

La propuesta didáctica

Aunado a lo anterior, en el ambiente escolar, el concepto de derivada es considerado como

un conjunto de reglas sin aparente aplicación a situaciones reales. Por ejemplo, los

estudiantes de bachillerato perciben a la derivada como un algoritmo (la regla de los cuatro

pasos), como una fórmula o en el mejor de los casos, como relacionado con las pendientes

de las rectas tangentes a gráficas de ecuaciones. Sin embargo, la derivada es mucho más

que lo anterior; la derivada fue concebida para medir los cambios relativos en un instante,

en un punto (Dolores, 1999).

Ahora bien, continuando con las características de nuestra propuesta, es necesario que

caractericemos al motor de nuestra propuesta: la Variación, entendiéndola como una

cuantificación del cambio. El concepto de variación tiene una importancia fundamental, ya

que el estudio de la variación de diferentes situaciones, en particular aquellas ligadas a

cuerpos en movimiento, generó las ideas fundamentales que dieron origen al Cálculo. Cabe

mencionar que el concepto que sirvió como herramienta para cuantificar la variación entre

dos estados consecutivos y de un sistema dado, es el de diferencia (Sánchez,

Molina, 2006); es por ello que desde el inicio de las actividades de nuestra propuesta se

busca provocar la emergencia de este concepto (diferencia), tratando de recuperar el

aspecto variacional descuidado en la enseñanza media superior e incluso en la superior.

1E 2E

4.3 Características y recomendaciones al lector-profesor sobre las actividades

Nuestra propuesta consta de 4 actividades con varios incisos en cada una. Las primeras tres

actividades cuentan con una actividad llamada “de institucionalización”, donde el profesor

explicará y formalizará todo lo que se haya obtenido del trabajo de los estudiantes.

61

La propuesta didáctica

4.3.1 Sobre la actividad 1

La actividad 1 consiste en el estudio de las diferencias o de los incrementos que una

variable experimenta. El concepto clave de la actividad es el de variación, al cual

consideramos, en el sentido de Cantoral (2005), como una cuantificación del cambio, es

decir, estudiar la variación de un sistema o cuerpo, significa ejercer nuestro entendimiento

para conocer cómo y cuánto cambia el sistema o cuerpo dado. La actividad 1 está dividida

en dos incisos y en dos momentos de resolución, un momento para cada uno de los

respectivos incisos.

4.3.1.1 Objetivo y características de la actividad 1

El objetivo de la actividad 1 es que los estudiantes encuentren una herramienta que les

permita cuantificar los cambios; por lo que la pregunta central de la actividad sería: ¿Cómo

se puede medir la variación?, ella se encuentra estrechamente ligada al proceso de

medición. Los incisos que conforman la actividad pretenden que los estudiantes reconozcan

a la diferencia como la operación principal para medir los cambios en fenómenos o

situaciones que varían.

Desde el inicio de la actividad tratamos de resaltar el aspecto variacional del concepto de

derivada, lo cual se observa en el inciso a; el inciso b, por su parte, busca que los

estudiantes empiecen a comunicarse por medio de un lenguaje variacional. De acuerdo a lo

anterior, con esta actividad tratamos de incluir el elemento relacionado con el desarrollo del

pensamiento y lenguaje variacional. Cebe mencionar que el uso de la visualización forma

parte de este diseño, al hacer que el estudiante obtenga información relevante y explique

62

La propuesta didáctica

sus conjeturas por medio de las gráficas que se obtienen de los incisos. Durante la actividad

de institucionalización, se relaciona al estudiante con los aspectos algebraicos y numéricos

que el concepto requiere para su desarrollo ulterior.

El inciso a) de la actividad se tomó de una actividad propuesta en Cantoral (2005), la cual

está diseñada para obstaculizar la estrategia de solución gráfica; lo anterior para que se

favorezca la emergencia de los argumentos de tipo numérico que involucren la idea de

diferencia. La actividad propuesta en Cantoral (2005) está compuesta por dos incisos, sin

embargo nosotros sólo tomamos el primero de ellos, debido al objetivo perseguido. Es

importante mencionar la relación de las diferencias con los grados de los polinomios, lo

cual será de utilidad para posteriores actividades.

El inciso b) de la actividad pretende asentar las ideas que el inciso a) maneja y desarrolla.

Para el diseño de este inciso se tomó únicamente la gráfica que aparece en Dolores (1999,

p. 38), siendo la situación planteada totalmente diferente y de autoría propia. Es importante

que antes de comenzar con este inciso el profesor explique los correspondientes

incrementos tanto en la variable dependiente como en la independiente, así como sus

respectivas notaciones ( ). xy ΔΔ ,

4.3.1.2 Metodología de trabajo para la actividad 1

Para la resolución de la actividad 1 por parte de los estudiantes, se propone una

metodología de trabajo por medio de equipos de tres personas. De esta forma, los

estudiantes tendrán más oportunidad de comentar sus resultados y conjeturas que sobre la

actividad vayan surgiendo. Es muy importante que el profesor resalte a lo largo de la

63

La propuesta didáctica

resolución de la actividad, la importancia de cuantificar cambios, así como los términos de

variación y cambio.

Primeramente se pedirá que los estudiantes contesten el inciso a) de la actividad, para ello,

el profesor dejará que los estudiantes trabajen con sus respectivos equipos por un lapso

razonable de tiempo. Una vez concluido este periodo se pedirá a los equipos las estrategias

de solución que emplearon. En esta parte se establecerá la solución al inciso de acuerdo a

las estrategias que los estudiantes realizaron. En caso de que no surjan las estrategias

esperadas, el profesor deberá indicar la estrategia.

Luego se pedirá el inciso b) de la actividad 1. El tiempo que se empleará para la resolución

de este inciso será entre 5 y 10 minutos para luego escuchar y corregir las respuestas de los

equipos.

Cabe mencionar que los tiempos que se manejen dependerán del profesor y de sus

observaciones del trabajo en los equipos. Pensamos que el tiempo de resolución de la

actividad 1 no debe rebasar los 40 minutos.

4.3.1.3 Actividades del lector-profesor

En esta actividad el profesor propondrá la notación para las diferencias que se manejará a lo

largo de toda la propuesta: el operador Δ ( yx ΔΔ , ), que representará la cuantificación de

aquello que está cambiando. La introducción de las notaciones para los incrementos en x o

en y se realizarán una vez completado el inciso a), para que de esta forma no se tengan

problemas en el inciso b). El profesor debe procurar resaltar a lo largo de la resolución de

64

La propuesta didáctica

los incisos los siguientes aspectos: la variación, la operación básica para medir los cambios

y los incrementos.

Durante el periodo de la presentación de las estrategias y conjeturas de los equipos sobre la

solución de este inciso (a), el profesor debe obtener una conclusión sobre la resolución del

mismo (institucionalización). Si por alguna razón la estrategia que se quería desarrollar

(incrementos, diferencias) desde el principio para la resolución de este inciso no surge por

parte de los estudiantes, el profesor debe proponerla y explicarla. Se debe poner especial

atención a los significados de las diferencias, sobre qué ocurre con la función cuando su

primera diferencia es constante, y así para cada uno de las tablas en términos variacionales.

Los aspectos variacionales deben estar presentes en el discurso del profesor, pues es la base

de la actividad. Se espera que los estudiantes grafiquen los puntos de las tablas, sin

embargo esta estrategia no funciona debido a la gran similitud que se encontrará en las

tablas que corresponden a los polinomios de 2º y 3er grado.

Las actividades del profesor durante el inciso b) de la actividad, serán muy similares a las

manejadas en el inciso a), poniendo atención al surgimiento de problemas con la notación

que se emplea en este inciso.

4.3.1.4 Sobre la actividad de institucionalización No. 1

Lo importante a resaltar durante este periodo de institucionalización se resume en la

siguiente frase: “el cambio se produce cuando se pasa de un estado a otro; es pasar de un

estado inicial a un estado final”. Para calcular los cambios es suficiente con hallar la

diferencia entre el estado final de la variable y el estado inicial de la misma. A lo anterior

65

La propuesta didáctica

se le conoce como diferencia o incremento que se dio en el estado inicial de la variable. La

notación con la que se estará trabajando a lo largo de las actividades será:

inicialfinal EEE −=Δ

Consideramos conveniente hacer un gráfico que represente las situaciones anteriormente

estudiadas y desarrolladas. Proponemos un ejemplo general como el siguiente:

Estado inicial Estado final Cambio Diferencia

Variable Independiente ix ⇒ xxi Δ+ xΔ Variable Dependiente )( ixf ⇒ )( xxf i Δ+ )( xxf i Δ+ − )( ixf

De igual manera es importante representar en el plano los objetos con los que se trabajó a lo

largo de la actividad, para que de esta forma se favorezca la visualización sobre el cómo

cambian las variables relacionadas por medio de la fórmula f(x).

x

)( ixf

)()( ii xfxxff −Δ+=Δ

)( xxf i Δ+

ix

xxi Δ+

xΔ

)(xf

66

La propuesta didáctica

4.3.2 Sobre la actividad 2

Esta actividad tiene como propósito que el estudiante se relacione con el concepto de razón

de cambio, así como que reconozca a la pendiente de una recta como la razón de cambio

entre la variable dependiente y la variable independiente de un fenómeno. Para tal propósito

se consideró un diseño presentado en Cortés et al (2004). En tal diseño se realiza un

acercamiento al concepto de razón de cambio empleando el concepto de progresión

aritmética. Para trabajar con las relaciones entre las pendientes de rectas con la razón de

cambio, se hace un acercamiento numérico, sin descuidar los aspectos variacionales.

4.3.2.1 Características de la actividad 2

Para el diseño de esta actividad se puso especial interés en que el alumno comprenda el

concepto de razón de cambio, debido a la poca importancia que se le da al concepto en

algunas propuestas. Tratamos de que la idea que los estudiantes se hagan sobre el concepto

sea lo más cercano a la definición, sin causar ideas confusas del concepto razón de cambio.

De esta forma estamos atendiendo de manera importante el concepto-imagen que los

estudiantes se pueden crear luego de la actividad, pues la razón de cambio es una de las

herramientas más importantes para comprender la derivada. Por otro lado, nuestro interés es

hacer que el alumno utilice dos registros para el desarrollo de las actividades.

En los primeros 4 incisos del ejercicio 1, se trabajará con dos progresiones aritméticas que

se relacionan; llamaremos a la primera progresión POSICIÓN, ya que corresponde a la

posición del elemento y a la segunda le denominaremos VALOR que corresponderá

justamente al valor del elemento.

67

La propuesta didáctica

Es importante hacer notar que la simplicidad de los primeros incisos permite a los

estudiantes entender de una manera clara, la tarea a resolver, así como también, obtener

confianza. Los primeros incisos permiten al estudiante construir la definición de lo que es

una progresión aritmética. Se pretende también que reconozcan la utilidad de una tabla de

valores y la importancia de nueva cuenta de la diferencia como herramienta para cuantificar

cambios.

En el inciso (a), el incremento en las posiciones varia de unidad en unidad, lo cual no

influye en los incremento de los valores, pues es suficiente con encontrar la diferencia en

dos valores consecutivos para obtener el patrón de la progresión. Para el inciso (b) la

estrategia anterior continua funcionando debido a que no influyen los incrementos en las

posiciones, pues son constantes. Los incisos a y b, en la práctica son iguales.

Ahora bien, la dificultad aumenta cuando se pasa a los siguientes incisos. Para los incisos c

y d es necesario hacer explícita la estrategia de los primeros casos de las progresiones; para

resolver estos incisos (c y d) se hace conveniente el empleo de razones de cambio, es decir,

obtener cómo se incrementa el valor cuando se incrementa de manera constante la posición.

Como se menciona en Cortés et al (2004), estos incisos no son triviales y presentan a los

estudiantes un verdadero reto. La principal dificultad según los autores, radica en que en

estos incisos aparentemente falta información, pero lo que en realidad sucede es que ésta no

se presenta explícitamente.

En el último inciso de la actividad se presenta una tabla correspondiente a valores que no

pertenecen a una función lineal como en los casos anteriores, sino a la función cuadrática

68

La propuesta didáctica

2xy = . Lo anterior responde a que se pretende reforzar el aspecto que se persigue con el

inciso a) de la actividad 1, a saber, en las ecuaciones lineales; la razón de cambio es

constante, mientras que en las ecuaciones no lineales, las razones de cambio varían según

los intervalos que se manejen.

El ejercicio 2 pretende que los alumnos recuerden cómo obtener las pendientes de rectas así

como también que evidencien que la inclinación de en una recta no es otra cosa que la

misma razón de cambio.

4.3.2.2 Metodología de trabajo para la actividad 2

Esta actividad podría ser abordada por medio de equipos de trabajo o de manera individual

según considere el profesor. El tiempo de resolución de esta actividad dependerá del

profesor y de las condiciones del grupo durante la resolución de la misma.

4.3.2.3 Sobre la actividad 2.1

Esta actividad está relacionada con el ejercicio 2 de la actividad 2, pues en esta actividad se

pedían las ecuaciones de las tablas, por lo que era necesario obtener la pendiente de las

rectas. En esta actividad 2.1 se pretende continuar trabajando con la idea de pendiente de

una recta como la razón de cambio entre la variable dependiente y la variable

independiente. Esta actividad podría considerarse como opcional, y la metodología de

trabajo en el aula depende del profesor, así como también la asignación de los tiempos.

En esta actividad empezamos a relacionar al estudiante con las tablas de la función razón de

cambio, esto responde a que en las actividades posteriores se empezará con la graficación

69

La propuesta didáctica

de la función razón de cambio, que darán las pautas para explicar comportamientos de

fenómenos que cambian.

4.3.2.4 Actividades del lector-profesor para la actividad 2

A manera de institucionalización para la actividad 2, se debe comentar las características de

los primeros cuatro incisos, en cuanto a que los números de las tablas están dispuestos

como progresiones aritméticas, pues cada valor se obtiene al sumar una cantidad constante

al correspondiente número anterior. Sería conveniente comentar que para “descubrir” éste

valor constante basta con encontrar el incremento entre dos valores consecutivos, lo cual

implica obtener la diferencia entre ellos.

La ayuda para estos incisos, principalmente los últimos, sería mostrando cómo se dan los

incrementos, por medio de la estrategia del inciso a). Al final también se podrían mostrar

algunas gráficas que involucren los incrementos en la posición y en los valores, para cada

uno de los incisos.

Conviene recalcar a los estudiantes sobre la importancia del empleo de las razones de

cambio para explicar comportamientos. Una forma sería mencionando que: las razones de

cambio son útiles cuando necesitamos explicar comportamientos de cierta variable

dependiente con respecto a los cambios de la variable independiente. Los aspectos más

importantes de las tablas podrían representarse utilizando la siguiente notación:

)()(

)()(

VIVD

posiciónvalorrazón

ΔΔ

=Δ

Δ=

70

La propuesta didáctica

También, proponemos algunas preguntas que podrían ser claves durante el momento de

dirigir el curso de la revisión de las respuestas de los estudiantes cuando se compartan las

soluciones a los incisos:

• ¿Qué observaste en cuanto a los incrementos en la posición y en los valores?, es

decir ¿cómo se comportan los Δ(posición) y los Δ(valor)?

• ¿Existe alguna diferencia en la estrategia de los primeros incisos y los últimos? ¿Por

qué?

• ¿Qué estrategia utilizaste para completar la tabla de los últimos incisos? ¿Por qué?

Para cerrar con esta parte sería conveniente hacerles preguntas a los estudiantes referentes a

situaciones donde podrían aplicar el concepto de razón de cambio.

Tal vez ocurra que para el último inciso, la solución sea muy obvia y los estudiantes no

ejecuten las estrategias de los incisos anteriores, sin embargo, el profesor debe recalcar el

objetivo de este inciso, que no solo las funciones lineales cuentan con razones de cambio,

mencionando incluso que para las funciones no lineales, la razón de cambio no es

constante.

4.3.2.5 Sobre la actividad de institucionalización No. 2

En esta actividad lo que se pretende es que los estudiantes recapitulen el concepto de razón

de cambio, pues los ejercicios propuestos trabajan con el concepto en sí, además se observa

su importancia en la resolución de problemas. De nueva cuenta la visualización tuvo una

importancia relevante para este diseño, principalmente en el inciso 2; pues se necesita que

71

La propuesta didáctica

los estudiantes utilicen las relaciones entre los incrementos, las razones y las pendientes de

rectas.

4.3.3 Sobre la actividad 3

Para el diseño de esta actividad se tomo la situación que un problema que se planteaba en

Wenselburger (1993), sin embargo, la tabla y las actividades son completamente de diseño

propio.

4.3.3.1 Objetivo y características de la actividad 3

El objetivo de esta actividad es que los alumnos trabajen con el concepto de rapidez media

así como el de velocidad media, a partir de la obtención de las diferencias (incrementos) y

del uso de razones de cambio; las cuales se proporcionaran por medio de tablas. Se

pretende que los estudiantes representen de una manera geométrica el concepto de rapidez

y velocidad medias, utilizando gráficas.

Para inducir el tema de velocidad y rapidez media se propone hacer uso de situaciones

cotidianas donde sea posible e importante calcular la rapidez o la velocidad media.

72

La propuesta didáctica

Proponemos la siguiente situación para llamar la atención de los estudiantes hacia el

estudio del tema:

La Velocidad Media

¿Cómo funcionan los radares de pistola que utiliza la policía para medir las velocidades de

los conductores que están viajando en alguna carretera? o ¿Cómo funcionan los

velocímetros de los automóviles?

Con las siguientes actividades que se proponen, podremos dar una explicación plausible y

bastante cercana a la realidad sobre el funcionamiento de los artefactos anteriormente

mencionados; por lo que es necesario que hagamos un estudio de fenómenos significativos,

que involucren los conceptos que podrían explicar las situaciones anteriormente

mencionadas.

Los incisos que se proponen para el desarrollo de esta actividad persiguen que los

estudiantes trabajen con el concepto de razón de cambio como la velocidad media o

rapidez media, de hecho, un inciso se refiere a los resultados de una tabla, construida por

los estudiantes, en la cual se pide calcular las razones de cambio del fenómeno descrito.

Lo que se ha querido resaltar con el diseño de esta actividad es la importancia de las

razones de cambio y de los incrementos, ya que la velocidad media entre dos instantes del

recorrido de un móvil es la razón entre la distancia de éstos y el tiempo que le llevó al

móvil recorrer esa distancia. Tenemos entonces que:

73

La propuesta didáctica

ttstts

tttsts

ts

tiempociaDismediavelocidad ii

if

if

Δ−Δ+

=−

−=

ΔΔ

==)()()()(tan

Además, es importante resaltar el aspecto gráfico de la función razón de cambio. Hacer

notar que la velocidad y rapidez no son los únicos fenómenos que se estudian como razones

de cambio.

Otro aspecto a señalar es el de la longitud de los subintervalos; destacar el hecho de que

mientras más pequeño sea la longitud de estos, más información sobre el móvil se puede

obtener.

Para el diseño de esta actividad se consideró importante el trabajo que los estudiantes

realicen dentro de un registro, así como el cambio a otro. Para esta actividad se trabaja en

primera instancia con el registro numérico y a partir de allí se lleva al registro algebraico,

para luego relacionar los conceptos que se desarrollan bajo un registro gráfico. Por otro

lado, la actividad continúa rescatando los aspectos variacionales durante los incisos que

requieran explicación de comportamientos por parte de los estudiantes. Además se espera

que los estudiantes reconozcan a la función razón de cambio como tal, una nueva función

que se obtiene luego de un proceso. Se atendió, por tanto, el carácter dual que se presenta

en el concepto de razón de cambio como rapidez media o velocidad media. Tratamos

también de hacer que el estudiante comience a trabajar y a mirar “localmente”, lo cual es

crucial cuando se enfrenten al concepto de derivada.

Para la resolución de esta actividad se emplearán algunos de los resultados de las

actividades anteriores, por ejemplo, para responder el inciso 1, el cual se refiere a la

74

La propuesta didáctica

obtención de la ecuación del fenómeno. Se necesita, primero que nada, el grado del

polinomio, lo cual se obtiene con las ideas generadas gracias a la actividad 1. Se espera que

los estudiantes empleen la estrategia de la actividad 1 así como el uso de sistemas de

ecuaciones para hallar los coeficientes del polinomio que se espera que propongan.

El inciso 2, pretende que los alumnos relacionen la tabla de las razones de cambio del

fenómeno con el concepto de velocidad media y de rapidez media. El inciso 3 muestra

gráficamente, indicios de que la razón de cambio es una nueva función, además de que con

ayuda de ella se puede explicar de una manera más precisa el comportamiento del

fenómeno. Por su parte, el inciso 4 trata de de conjuntar los incisos anteriores, al pedir una

explicación amplia de lo que se ha venido realizando. El inciso 5 busca que los estudiantes

reflexionen sobre la longitud de los intervalos (sobre la longitud de los incrementos), de

modo que se espera que conjeturen cosas como: que el fenómeno en cuestión se puede

explicar de una manera más exacta cuando la longitud de los intervalos que se toman son

pequeños, es decir, se procura comenzar a generar la idea de intervalos “infinitamente

pequeños”, además de la notación de tΔ →0.

4.3.3.2 Actividades del lector-profesor

Los primeros dos incisos de la actividad pueden ser resueltos por los estudiantes de manera

individual o por equipos de trabajo. Se recomienda poner especial interés y cuidado con el

inciso 2, pues puede acarrear confusiones con los términos así como en la manera de

construir la tabla de las razones de cambio. Después de un tiempo razonable de solución, el

profesor pedirá las respuestas y conjeturas de cada uno de los estudiantes o de los equipos

de los primeros dos incisos.

75

La propuesta didáctica

Presentamos a continuación una manera en que se podrían abordar los primeros dos incisos,

así como la tabla de las razones de cambio que se espera que los estudiantes obtengan.

∆t 1 1 1 1 1 1 1 1 Tiempo (t) en

segundos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Posición (s) en metros

0 5.3125 6 4.1875 2 1.5625 5 14.4375 32

∆s 5.3125 0.6875 -1.8125 -2.187 - 0.4375 3.4375 9.4375 17.5625

Tabla de las Razones de Cambio (Velocidad Media):

T 0 1 3 4 5 6 7 8 Razón

de Cambio

5.3125 0.6825 -1.8125 -2.1875 -0.4375 3.4375 9.4375 17.5625

Inclusive la estrategia que se puede emplear sería la de utilizar la ecuación que se obtenga

en el inciso 1 de la siguiente manera, siempre resaltando un trabajo numérico:

tΔ Distancia )()( tsttss + Δ −=Δ Razón de cambio ts

ΔΔ

0 < t < 1 1 < t < 2 2 < t < 3 3 < t < 4

…

Las tablas construidas en los incisos anteriores se refieren a las tablas de la velocidad y

rapidez medias con intervalos de tiempo de una unidad. En caso de que los estudiantes no

se percaten en esta tabla de los valores de la velocidad y rapidez medias, se puede recordar

la fórmula de velocidad de los temas de física, a saber: tiempo

ciadisvelocidad tan= , lo cual las

76

La propuesta didáctica

razones de cambio calculan, pues al realizar la diferencia entre dos posiciones, lo que en

realidad se está hallando es la distancia que recorrió el móvil en el intervalo de tiempo

tomado y se divide entre el tiempo entre estas dos posiciones. Resumiendo:

ttstts

tttsts

ts

tiempociaDismediavelocidad ii

if

if

Δ−Δ+

=−

−=

ΔΔ

==)()()()(tan

Ahora bien, es conveniente que se grafiquen las dos tablas de las razones de cambio, las

correspondientes a la rapidez media y a la velocidad media; es decir, una de las tablas será

tomando los valores absolutos (rapidez media) y la otra sin tomarlos (velocidad media). La

velocidad es muy semejante a la rapidez, solamente que no se toma el valor absoluto de la

razón. La velocidad entonces es una magnitud vectorial, pues involucra signos, lo cual

implica tomar en cuenta el sentido de la trayectoria. Tal diferencia debe hacerse evidente

durante la revisión de los incisos por parte del profesor a fin de evitar confusiones de

conceptualización. Se puede comentar también que estás tablas nos darán información

sobre el comportamiento del cohete a lo largo de su recorrido.

Una vez revisado los incisos 1 y 2, se pasaría a la resolución del inciso 3 y 4,

respectivamente. Para el tercer inciso de la actividad 3, se pide a los estudiantes que

grafiquen la tabla de las razones de cambio; la manera de obtener las gráficas se les

expondrá a los estudiantes antes de que inicien la resolución de los incisos, los aspectos a

considerar para esta exposición serían los siguientes:

El intervalo de tiempo correspondiente al tiempo de vuelo del cohete será dividido en

intervalos iguales de longitud = 1 (así están dispuestos en la tabla). En cada uno de estos tΔ

77

La propuesta didáctica

subintervalos ya se ha calculado la rapidez y la velocidad media de la función dada (tablas

de las razones de cambio), enseguida se procederá a graficar este valor constante

promedio en el intervalo de referencia. Es conveniente que éstas gráficas de las razones

de cambio sean graficadas sobre la gráfica de la trayectoria del cohete o por parejas para

evitar confusiones y visualizar de una manera más fácil el comportamiento del fenómeno

en cuestión.

A manera de ejemplo, mostraremos el tipo de gráficas que se espera elaborar.

Original y Rapidez media Original y Velocidad media

78

La propuesta didáctica

Velocidad Media y Rapidez Media

4.3.3.3 Sobre la actividad de institucionalización No. 3

En esta actividad se continúa trabajando con los conceptos de velocidad y de rapidez

media; de nueva cuenta se procura fijar la idea de contar con intervalos cada vez más

pequeños, o de realizar mediciones cada vez más “finas”. Una vez más se pide que se

trabaje con las gráficas de la velocidad y rapidez media (razones de cambio), dejando ver el

tipo de razones de cambio que generan polinomios de diferentes grados. Este último

aspecto se debe hacer notar a los estudiantes en caso de que éstos no se percaten, además es

importante hacerles notar que las tablas sobre la rapidez y la velocidad media se refieren a

nuevas funciones, estrictamente hablando, a la función razón de cambio. Cabe mencionar

79

La propuesta didáctica

que la actividad podría considerarse como “larga”, lo cual podría compensarse dejando

como tarea aquello que el profesor considere pertinente.

4.3.4 Sobre la actividad 4

Esta actividad es de tipo integradora, pues recupera todas las intuiciones, conjeturas y

hallazgos que las actividades anteriores pretendieron desarrollar en los estudiantes, pues

incluye los aspectos más relevantes de todo nuestro estudio sobre la derivada con un

enfoque variacional y como la función razón de cambio instantánea.

4.3.4.1 Objetivos y características de la actividad 4

La actividad pretende que los estudiantes trabajen con la razón de cambio instantánea

involucrada en los fenómenos que involucran variación; además, que reconozcan la

necesidad de emplear intervalos cada vez más pequeños para hallar las razones de cambio

instantáneas. Esta actividad bien podría considerarse como una introducción al tema de

Límites, pues la idea intuitiva de este concepto es la que dominará en nuestro diseño,

debido a que ¡el concepto de límite ni siquiera será mencionado como tal! De igual manera,

la actividad refiere de manera intuitiva, los procesos infinitos, estando estos presentes

durante el discurso y desarrollo de los incisos de la actividad. La estrategia central que se

manejará consiste en explorar qué ocurre con la sucesión de velocidades medias muy cerca

del punto en cuestión, acercándose a éste tanto por la derecha como por la izquierda. Con

base a lo anterior, tendremos que la velocidad instantánea se obtiene cuando el cambio de

tiempo es infinitamente pequeño. Tendremos entonces que si la sucesión de cocientes

80

La propuesta didáctica

cada vez más pequeños de distancia y de tiempo tiende a un número, éste será su Límite.

Tal número será la velocidad instantánea buscada.

El trabajo del estudiante, durante la resolución de las actividades, está enmarcado en la

utilización de varios registros de representación, pues al principio se trabaja de manera

algebraica, luego se pasa a un tratamiento numérico del concepto y por último se atiende la

parte gráfica de la función razón de cambio instantánea. Los procesos infinitos y los

procesos límites fueron importantes guante el diseño, y su compresión se vuelve crucial

durante el trabajo de los estudiantes. De nueva cuenta, se procura que el estudiante

incorpore en su trabajo, hacia el concepto de derivada, los aspectos de la dualidad objeto-

proceso de este concepto. El aspecto puntual es el que sale a relucir durante el desarrollo

de las actividades, considerando, en la última actividad, el aspecto global de la función

razón de cambio instantánea (derivada).

El primer inciso que se propone se refiere a la “imposibilidad” de usar las estrategias que

se han venido desarrollando en las actividades pasadas; principalmente la estrategia para

hallar la velocidad media como la razón de cambio entre dos instantes, pues en el inciso

propuesto no se dan dos instantes. La fórmula que se ha manejado desde un principio en la

actividad 3 es:

ttstts

tttsts

ts

tiempociaDismediavelocidad ii

if

if

Δ−Δ+

=−

−=

ΔΔ

==)()()()(tan

Ahora la situación es diferente: no contamos con dos instantes, sino más bien con uno;

¡Necesitamos encontrar la velocidad en un instante, en un punto; en un momento!

81

La propuesta didáctica

El problema principal que se plantea consiste en la imposibilidad de calcular la velocidad

en un instante o en un punto de acuerdo a las estrategias que se desarrollaron en las

actividades pasadas.

4.3.4.2 Actividades para el lector-profesor

La actividad empezará con la pregunta que se refiere a la imposibilidad de hallar, por las

estrategias que se han desarrollado, la velocidad instantánea en un punto del recorrido del

móvil en cuestión. Es importante tomar en cuenta las conjeturas que los estudiantes

formulen, así como también mostrar algebraicamente la situación anterior utilizando la

fórmula que se empleaba. La nueva situación entonces quedaría de la siguiente manera:

ttstts

tttsts

ts

tiempociaDismediavelocidad ii

if

if

Δ−Δ+

=−

−=

ΔΔ

==)()()()(tan

?00)()(

==−−

=ti

ii

tttsts

El profesor en este momento debe preguntar sobre el por qué esta ocurriendo esta situación,

así como otras posibles soluciones a la situación planteada. Una vez escuchadas las

respuestas de los estudiantes el profesor podría hacer un consenso y con base en el obtener

alguna estrategia de resolución.

El discurso del profesor en estos momentos podría estar encaminado a situaciones y

comentarios como las siguientes: mostrar la evidencia de las actividades pasadas cuando se

empezó a trabajar con la rapidez y velocidad media, pues uno de los incisos buscaba

reflexionar sobre la longitud de los intervalos, es en esta sección entonces cuando se

82

La propuesta didáctica

requiere que el profesor retome las ideas a las que llegaron en esa actividad, a saber, para

intervalos de tiempo relativamente grandes se obtuvo una información muy burda; mayor

precisión para explicar el comportamiento se logra cuando se utilizan variaciones de tiempo

más pequeñas.

Otro comentario pertinente para explicar el comportamiento en un punto, sería averiguar

qué pasa antes o después del momento en cuestión, en cuanto a las velocidades medias muy

cercanas al tiempo en el que se requiere hallar la velocidad instantánea. Cabe mencionar,

que tratamos de que el profesor cuente con un diseño sólido, lo cual acarrea tener varias

recomendaciones sobre el desarrollo de las actividades, sin embargo, no es conveniente que

el profesor vislumbre todo lo importante, pues en gran medida tendrá que abstenerse de

hacerlo y sólo recurrir a ello cuando los estudiantes no logren el cometido.

Una vez concluida esta sección se pasa al inciso 2. En este inciso se realizarán las

aproximaciones hacia las velocidades instantáneas por la derecha y por la izquierda (por

valores muy cercanos al punto en cuestión). El trabajo será de tipo numérico, utilizando

para ello la razón de cambio, la cual en este caso sería la siguiente:

t

ttttttttt

ts

Δ

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=ΔΔ

)(325)(

427)(

1617)(

827)(

1617)(

4817 2223

Para este inciso se presentan un tipo de tablas, sin embargo podrían ser modificadas.

Presentamos otro modelo de tabla para hacer las aproximaciones a la velocidad instantánea,

ya sea por la derecha o por la izquierda.

83

La propuesta didáctica

tΔ t

tsttsmediavelocidad ii

Δ−Δ+

=)()(

1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

it = 2

0.0000…0001

Para resumir los resultados obtenidos de las tablas se puede presentar una tabla como la

siguiente:

Acercamiento por la izquierda Velocidad instantánea Acercamiento por la derecha

→ ? ←

El inciso 3 de la actividad pretende que los estudiantes hallen la velocidad instantánea para

cualquier punto del dominio de la función; el trabajo de los estudiantes será numérico y

algebraico. Es importante hacer notorio esta restricción a los estudiantes o también es

posible agregar un apartado donde se discuta con ejemplos y contraejemplos esta última

condición.

84

La propuesta didáctica

Una vez terminada la discusión sobre la resolución del inciso por parte de los estudiantes, el

profesor debe obtener las siguientes conclusiones de la actividad en general:

1. Para cualquier valor se tendrá que: tΔ

→mediavelocidad )(827

1617)(

4817

325

427

1617 2 tttaa Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++Δ++−

2. Y si , es decir si es un cambio infinitamente pequeño, entonces: 0→Δt tΔ

→mediavelocidad325

427

1617 2 +− aa

En esta sección el profesor debe mencionar que ésta última ecuación que se obtuvo cuando

, será una “nueva” función, la cual tendrá por nombre función razón de cambio

instantánea, o dado que ésta función razón de cambio con respecto a la variable

independiente original se derivó de los valores de la función que se estudia, se conocerá

como la función derivada o la derivada.

0→Δt

Una vez concluido el inciso 3 se pasará a la resolución del inciso 4, el cual contempla un

acercamiento gráfico a las funciones original y la derivada. Estas dos funciones se

graficarán en un mismo plano para poder visualizar de una manera directa el

comportamiento de la función original a través de la función derivada. Como ultima

actividad, se pedirá que, con base a la gráfica de las razones de cambio de una función, se

explique el comportamiento del fenómeno que produjo tal gráfica.

85

La propuesta didáctica

Luego de la conclusión de la actividad podría dejarse como tarea complementaria que los

estudiantes expliquen la situación que se planteó desde el inicio de la actividad 3, la cual se

refería a explicar el funcionamiento de los radares de la policía. La solución de esta

situación se plantearía en términos de los métodos que se desarrollaron durante las

actividades. Se podría incluso, una vez resuelta la situación, investigar la manera en que

realmente funcionan los radares y corroborar las conjeturas e hipótesis que los estudiantes

plantearon para explicar el fenómeno.

4.4 Modelo Teórico Experimental

4.4.1 Sobre la Teoría de las Situaciones Didácticas

En esta sección describiremos brevemente la Teoría de las Situaciones Didácticas, la cual

fue desarrollada por la escuela francesa de Didáctica de las Matemáticas y toma en cuenta

los fenómenos didácticos asociados a la actividad matemática, así como en los dispositivos

didácticos que tienen como finalidad que el alumno se apropie de cierto conocimiento

matemático. La tesis fundamental de la Teoría de Situaciones se apoya en que el sujeto

necesita construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo similar

al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiere enseñar. Se

pretende que los alumnos aprendan haciendo funcionar el saber; de que el saber aparezca

para el alumno como un medio de seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias

que aplica a la resolución del problema planteado por la situación didáctica (Montiel,

2002).

El diseño de las actividades de nuestra propuesta didáctica se basó en los elementos y

etapas fundamentales que postula la teoría de las situaciones. Uno de los objetivos durante

86

La propuesta didáctica

el diseño de nuestra ingeniería era que el trabajo a realizar durante el desarrollo de la

propuesta, sea básicamente por parte de los estudiantes, logrando así que éste tome la

responsabilidad de su aprendizaje; dejando de ser central la figura del profesor. Este a su

vez debe diseñar secuencias donde la intencionalidad sea implícita y sus intervenciones

mínimas, dejando la responsabilidad11 al estudiante.

En la concepción más general de la enseñanza, el saber es una asociación entre buenas

preguntas y buenas respuestas. El enseñante plantea un problema que el alumno debe

resolver, si el alumno responde, muestra así, que sabe; si no, se manifiesta una necesidad de

saber, y pide una información, una enseñanza. Ahora bien, se considera que el alumno

aprende mirando al mundo (hipótesis empírico-sensualista) o haciendo hipótesis entre las

que su experiencia le permite elegir (hipótesis a-priorista) o también, en una interacción

más compleja hecha de asimilaciones y de acomodaciones tales como las que Piaget

describió (Teoría de la Equilibración); bajo estas circunstancias podemos decir que el

alumno aprende, adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades,

de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la

adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del

aprendizaje (Brousseau, 1986).

Los trabajos de Piaget en la teoría de la Equilibración tienen influencia en la teoría de las

situaciones debido a que éste presentó una teoría coherente de la evolución del

conocimiento: "el conocimiento pasaría de un estado a otro de equilibrio a través de un

desequilibrio de transición, en el curso del cual las relaciones consideradas por el sujeto

8 Cabe mencionar que nos referimos a responsabilidad de su aprendizaje y no culpabilidad de éste.

87

La propuesta didáctica

en el estado anterior estarían en contradicción, ya sea por la consideración de relaciones

nuevas o por la tentativa, nueva también, de coordinarlas. Esta fase de conflicto sería

superada durante una fase de reorganización y de coordinación que llevaría a un nuevo

estado de equilibrio” (ver García, 2006). Sin embargo, la teoría de Piaget corre el riesgo de

descargar al maestro de toda responsabilidad didáctica; pues como menciona Brousseau

(1986): un medio sin intenciones didácticas es claramente insuficiente para inducir al

alumno en todos los conocimientos culturales que se desea que él adquiera. Por lo anterior,

la concepción de Brousseau sobre la enseñanza se basa en que ésta reclama al maestro que

provoque en el alumno las adaptaciones deseadas, lo cual se llevará a cabo por medio de

una adecuada elección de “problemas”. Estos problemas deben hacerle actuar, hablar,

conjeturar, reflexionar, evolucionar por motivación propia. La idea básica de Brousseau es

que el proceso para adquirir un conocimiento matemático consiste de diversas facetas y se

basa en “juegos” específicos, donde el actor interactúa con un ambiente a distintos niveles,

evolucionando sus nociones y su lenguaje. Se pretende que las situaciones en que son

puestos los estudiantes, con objetos de enseñanza específicos, provoquen en éste una

génesis artificial de los conceptos. Para provocar tal efecto es necesario conocer la génesis

real, a fin de que los saberes adquieran nuevos significados o recuperen sus significantes

iniciales, desde la visión en la cual se les adopta como entes culturalmente aceptados. Esto

es, estudiar la naturaleza epistemológica de los saberes en juego (Brousseau, 2000 en

Montiel, 2002).

Ahora bien, entre el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquél en el

que produce su respuesta, el maestro rehúsa intervenir proponiendo los conocimientos que

quiere ver aparecer. El alumno habrá adquirido el conocimiento realmente cuando él mismo

88

La propuesta didáctica

sea capaz de ponerlo en acción o en situaciones que encontrará fuera del contexto escolar y

sin alguna intención. Tal situación es llamada a-didáctica. Durante la resolución del

problema, el maestro busca devolver al alumno una situación a-didáctica que provoque en

él una interacción lo más independiente y lo más fecunda posible. Para ello, comunica o se

abstiene de comunicar, según el caso, informaciones, preguntas, métodos de aprendizaje,

heurísticas, etc. Como resultado, el maestro está implicado en un juego con el sistema de

interacciones del alumno con los problemas que él le ha planteado. Este juego o esta

situación más amplia es la situación Didáctica (Brousseau, 1986).

Tendremos por tanto que una Situación Didáctica es un conjunto de relaciones establecidas

explícita o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio y un

sistema educativo con la finalidad de que estos alumnos se apropien de un saber

constituido. El medio estaría comprendido eventualmente por instrumentos y objetos

mientras que el sistema educativo se apoya en la figura del profesor (Brousseau, 1982 en

García, 2006). Así pues, la situación didáctica está constituida por una situación-problema

(que vincula al alumno con el saber en tanto sujeto epistémico) y un contrato didáctico

(que lo vincula con la intención de enseñanza en tanto sujeto didáctico). El contrato

didáctico se puede entender como las reglas del juego y la estrategia de la situación

didáctica. Es el medio que tiene el maestro de ponerla en escena (Brousseau, 1986), en

otras palabras, la noción de contrato didáctico se entiende como el conjunto de

comportamientos (específicos de los conocimientos enseñados) del profesor que son

esperados por el alumno y el conjunto de comportamientos del alumno que son esperados

por el profesor. El contrato generalmente es implícito entre el estudiante y el profesor

(García, 2006).

89

La propuesta didáctica

En García (2006) se ejemplifica una situación didáctica como sigue:

En un primer momento (M1) el profesor (P1) prepara una clase considerando al alumno

(A1). En este momento, (P1) piensa en el aprendizaje con el que va a poner en contacto a

(A1) en el aula e imagina un segundo momento, (M2), que representa el momento de la

clase. El momento de la clase (M2) es una situación de enseñanza. El profesor es el mismo

aunque en un momento diferente, además, existe una interacción entre él y el alumno (A2)

y se establecen las relaciones y condiciones de la interacción, por lo que media en ello el

contrato didáctico. (P2) cede a (A2) la responsabilidad de su aprendizaje ubicándolo en un

tercer momento (M3), en el que (A2) está en una situación de aprendizaje (situación a-

didáctica). Para que (A2) se sitúe en este momento debe aceptar la responsabilidad del

aprendizaje: la devolución. La situación didáctica entonces vendría siendo la articulación de

los momentos M1, M2 y M3.

M1 P1 A1

A2

A3

P2 Situación de Enseñanza M2

M3 Situación de Aprendizaje

Situación Didáctica

90

La propuesta didáctica

Hay tres tipos de interacciones de los alumnos con su medio, las cuales serán las

situaciones del tipo a-didácticas (Montiel, 2002; García, 2006):

Situación a-didáctica de Acción: El alumno actúa sobre un problema y su medio físico,

juzga el resultado de sus acciones y las ajusta sin la intervención del profesor, solamente se

vale de la retroalimentación que obtiene del medio. En esta parte el alumno es capaz de

tener modelos implícitos, no racionalizados, construidos de nociones cuyas propiedades son

utilizadas en la misma práctica para resolver ciertos problemas, pero de forma que la

noción misma no es reconocida ni como objeto de estudio ni siquiera como instrumento útil

para el estudio de otros objetos.

Situación a-didáctica de Formulación: El alumno comunica las formulaciones resultado

de las acciones realizadas sobre el medio. Al intercambiar mensajes con uno o más alumnos

se crea un modelo explícito formulado con la ayuda de símbolos y reglas conocidas en

lenguaje matemático, según las posibilidades de los alumnos en comunicación.

Situación a-didáctica de Validación: El alumno expone su modelo explícito con el

objetivo de probar su exactitud y pertinencia. En esta parte se trata de convencer a uno o

varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen, en este caso, los

alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la

comprobación empírica de que lo que los estudiantes dicen es correcto; tienen que explicar

que necesariamente debe ser así.

Hasta este momento se puede decir que el alumno ha jugado el papel de aquel que descubre

un nuevo conocimiento a través de intervenciones, pruebas, formulaciones, construcción de

91

La propuesta didáctica

modelos, lenguajes, conceptos, teorías, su interacción con otros, reconocimiento de la

veracidad de sus conjeturas y razonamientos, etc., esto es a través de una actividad

matemática en un amplio sentido de la palabra. Sin embargo, a este nivel el alumno no

reconoce el conocimiento que ha adquirido, por lo que debe identificar el nuevo

conocimiento como un objeto matemático cuya funcionalidad es independiente del contexto

que le dio origen. Es este momento en que la actividad del profesor se vuelve crucial, pues

es éste el que interviene en una situación cuyo fin es que el conjunto de alumnos asuma la

significación socialmente establecida de un saber que ha sido construido por ellos en

situaciones de acción, de formulación y de validación. Esta situación destinada a establecer

convenciones sociales recibe el nombre de Situación Didáctica de Institucionalización.

En Cantoral (2000) se discute el desarrollo del pensamiento matemático y se propone para

ello, diseñar situaciones didácticas en las que:

• Los alumnos se responsabilicen de la organización de su actividad al tratar de

resolver el problema planteado; lo más importante es que formulen sus propios

proyectos.

• La actividad de los alumnos esté orientada hacia la obtención de un resultado

preciso, previamente hecho explícito por el profesor y que pueda ser identificado

por los alumnos. Los alumnos deben anticipar y luego verificar los resultados de su

actividad.

• La resolución del problema planteado implica la toma de múltiples decisiones por

parte de los alumnos, y la posibilidad de conocer directamente las consecuencias de

sus decisiones a fin de modificarlas para adecuarlas al logro del objetivo

92

La propuesta didáctica

perseguido. Lo anterior implica dejar a los alumnos trabajar a su ritmo y que

intenten resolver el problema varias veces.

• Los alumnos pueden recurrir a diferentes estrategias para resolver el problema

planteado, estrategias que corresponden a diversos puntos de vista sobre el

problema. Es indispensable que, en el momento de plantear el problema, los

alumnos dispongan de al menos de una estrategia (conocimientos previos

necesarios) para que puedan comprender la consigna y comenzar su actividad de

búsqueda de solución.

4.4.2 Fase experimental de la propuesta didáctica (puesta en escena)

Nuestro diseño de la propuesta didáctica espera rescatar el aspecto variacional de la

derivada que las prácticas tradicionales-formales en los niveles superiores han relegado a

segundo plano. Queremos en primera instancia hacer “vivir” al estudiante el cálculo;

ponerlo en situaciones donde éste sea quien descubra y conjeture sobre sus propias

acciones, que tome la responsabilidad de su aprendizaje; para ello debemos poner nuestra

atención en nociones variacionales tales como: predecir, estimar, aproximar, etc., es decir,

mostrar y trabajar con los aspectos variacionales del cálculo.

Justamente la teoría de las situaciones nos permite hacer diseños como los que se

comentaban anteriormente; pues el profesor al diseñar situaciones donde el estudiante

pueda actuar sobre el objeto matemático y pueda conjeturar ciertas propiedades del objeto y

además, con bases formales de matemáticas, sea capaz de sostener sus hipótesis, dejará al

estudiante la responsabilidad de la devolución de aprendizajes. Queremos, sin embargo,

93

La propuesta didáctica

hacer notar que el diseño de verdaderas situaciones didácticas en cálculo es difícil de

lograr, no obstante estamos convencidos que un diseño basado en las ideas fundamentales

de la teoría de las situaciones hará que el estudiante comprenda las ideas matemáticas que

les queremos transmitir. Es importante hacer notar que cuando hacemos pasar al estudiante

por las situaciones a-didácticas de acción, formulación y validación, es re-crear la manera

en que las comunidades científicas generan conocimientos, lo cual es lo que en las aulas de

matemáticas está ganando cada vez más aceptación. Las ideas anteriores son las que

consideramos importantes y fue por ello que se decidió encaminar nuestra propuesta bajo el

enfoque de la teoría de las situaciones, sin pretender realizar una situación didáctica en el

amplio sentido que manejaba Brousseau.

Nuestra propuesta está basada en un diseño donde la variación tiene un lugar relevante

durante todas las actividades, por lo que nuestro interés estuvo fundamentalmente ligado a

desarrollar ideas variacionales en los estudiantes tratando que éste sea capaz de identificar

la variación en un fenómeno; ¿Qué es lo que varía?, ¿Cuánto varia?; ¿Con respecto a quién

varía? y por último que sea capaz de mostrar y justificar aquello que está variando.

4.5 Metodología de trabajo de la propuesta didáctica. Fase de experimentación de

la propuesta didáctica

Proponemos para las realizaciones didácticas en el aula, es decir, para llevar al aula de

matemáticas las propuestas que el profesor-lector diseñe (experimentación de la propuesta),

a la Ingeniería Didáctica, la cual fue desarrollada por la escuela francesa.

94

La propuesta didáctica

Se denomina Ingeniería Didáctica a una forma de trabajo didáctico equiparable al trabajo

de un ingeniero quien, para realizar un proyecto determinado se basa en los conocimientos

científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al

mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos que los

depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los

medios disponibles, problemas de los que la ciencia no puede hacerse cargo (Artigue, 1989

en Priemer, 2006). La comparación que se hace de la ingeniería didáctica con el trabajo de

un ingeniero es bastante atinada a lo que se espera que un profesor realice dentro de las

aulas de matemáticas; debido a que un ingeniero cuando pretende llevar a cabo una

“construcción” primeramente debe estudiar las condiciones en las que se encuentra el

terreno donde quiere llevar a cabo la edificación (análisis preliminar); este estudio le

permitirá elegir los mejores materiales que cumplan con los requerimientos del lugar y sus

condiciones (análisis a-priori); lo siguiente entonces será llevar a cabo la construcción

(experimentación), utilizando todas las suposiciones que el ingeniero se formuló; una vez

concluida la estructura, el ingeniero tiene que corroborar todo lo que inicialmente supuso

con la funcionalidad y la resistencia de la construcción concluida (análisis a-posteriori), en

caso de que haya ciertas variables que no fueron tomadas en consideración, el ingeniero

puede hacer nuevas conjeturas para construcciones con las mismas condiciones que la que

realizó y, tal vez, no cometer los mismos errores. Ahora bien, un profesor cuando quiere

llevar a cabo una propuesta debe actuar semejante a un ingeniero; primero, evaluar y

observar las condiciones en las que se encuentra el terreno donde edificará, es decir, en qué

condiciones están sus estudiantes, cuáles son sus conocimientos previos al tema que

abordará, etc. Una vez realizado lo anterior, puede ser capaz de diseñar una propuesta que

95

La propuesta didáctica

se adapte a las condiciones de sus estudiantes, eligiendo los mejores recursos para

“llegarles” a sus estudiantes; una vez realizado esto aplica su diseño y comprueba sus

conjeturas sobre el desempeño de sus alumnos (qué funcionó y qué no, ¿por qué no

funcionó?), para que de esta forma se hagan las adecuaciones necesarias a la propuesta.

Es importante hacer notar que el término de ingeniería didáctica puede utilizarse bajo dos

aspectos: como metodología de investigación y como producción de situaciones de

enseñanza-aprendizaje. Para efectos de este trabajo de investigación, tomaremos este último

aspecto de la Ingeniería Didáctica, es decir, la concebimos de la misma manera como lo

hace Douady (1996) quien comenta en (Priemer, 2006) que concibe a la ingeniería

didáctica como el conjunto de secuencias de clases concebidas, organizadas y articuladas

en el tiempo por un profesor-ingeniero, con el fin de realizar un proceso de proyecto de

aprendizaje para una población determinada de alumnos. En el transcurso de las

interacciones entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de

los alumnos y en función de las selecciones y decisiones del profesor. Tenemos entonces

que la Ingeniería Didáctica se caracteriza por un esquema experimental basado en

“realizaciones didácticas” en clase, esto es sobre la concepción, realización, observación y

análisis de secuencias de enseñanza. Cabe destacar que a diferencia de otras metodologías, se

basa en la experimentación en clase y está ubicada en el registro de los estudios de caso,

cuya validación es en esencia interna, basada en la confrontación entre un análisis a priori

y a posteriori.

96

La propuesta didáctica

En la metodología de la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1995 en Aparicio, 2003; Cabañas et

al, 2004) se distinguen cuatro fases:

• La fase de Análisis Preliminar. Se considera el examen de la componente

epistemológica del contenido matemático tratado, el examen del sistema didáctico,

el examen de los procesos cognoscitivos de los participantes y el examen de las

restricciones para llevar a cabo la realización didáctica.

• La fase de Concepción y Análisis A-priori de situaciones didácticas. En esta fase

se consideran las elecciones de las variables didácticas y se realiza un análisis de

restricciones que le permiten al investigador controlar los por menores que se

presenten. Así, el investigador debe formularse una serie de supuestos al respecto,

es decir, el análisis a priori está basado en un conjunto de hipótesis

• La fase de Experimentación. En esta fase ha de llevarse a cabo la puesta en escena

y la implementación de la ingeniería elaborada.

• La fase de Análisis A-posteriori y evaluación. En esta fase se contempla la

recolección de los datos recogidos en el proceso de experimentación, de las

observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, así como de las

producciones de los estudiantes. Es importante, en esta fase, la confrontación entre

los respectivos análisis y resultados de la secuencia o de la situación con los del

análisis a priori, que es en esencia la validación de las hipótesis formuladas en la

investigación.

97

La propuesta didáctica

La Ingeniería Didáctica y sus fases (tomado de Anido, 2004, pp. 235, 236):

Restricciones.

Concepciones de los estudiantes.

Enseñanza tradicional en el tema.

Análisis epistemológico.

Conocimientos didácticos

previamente adquiridos.

Ubicación en el cuadro teórico.

LOS ANÁLISIS PREVIOS:

Selecciones principales.

Selecciones locales.

LA CONCEPCIÓN Y EL

ANÁLISIS A PRIORI:

Selecciones metodológicas y

conceptuales.

DESARROLLO DE UNA EXPERIENCIA ANÁLISIS A POSTERIORI

Dada que la validación de las propuestas que se realizan de acuerdo a la metodología de la

Ingeniería Didáctica es interna, pensamos que será una importante herramienta para los

profesores, pues los resultados que obtengan de la experimentación de sus propuestas, serán

la base para el rediseño de las mismas.

98

Referencias teóricas de la investigación

CAPÍTULO 5

REFERENCIAS TEÓRICAS DE LA INVESTIGACIÓN

A lo largo de este capítulo se presentará el fundamento teórico de nuestra investigación. De

igual manera se comentará la necesidad y urgencia de un rediseño de los cursos de cálculo,

poniendo especial atención a no solamente el uso de nuevas técnicas de enseñanza ni el

estudio exhaustivo de teorías de aprendizaje, sino también a las preguntas centrales del

diseño curricular: ¿qué enseñar?, ¿por qué enseñarlo?, ¿cómo enseñarlo?.

Nuestra propuesta didáctica considera las ideas fundamentales que la Teoría de las

Situaciones Didácticas propone en cuanto a la actividad de los estudiantes y la del trabajo

en el aula; así como una experimentación regida por la Ingeniería Didáctica. Reconocemos

sin embargo, que diseñar e implementar situaciones para cada uno de los temas de cálculo

sería bastante complicado y demandaría un trabajo especializado por parte del profesor,

además de una inversión de tiempos prolongados a decir por los manejados por las

instituciones actuales; además de que nuestro interés y objetivo no está dirigido hacia el

diseño de situaciones didácticas. Quisimos más bien, con el diseño de la propuesta, exponer

al profesor que, tomando como base una teoría, una metodología de trabajo y los elementos

propuestos, es posible diseñar estrategias “diferentes” a las que comúnmente son utilizadas

en el aula, y que la actual manera de presentación y el peso que se le atribuye al aspecto

conceptual del cálculo se encuentra bastante descuidado con respecto a las prácticas

actuales; pues como menciona Alanís (2000): los contenidos actuales a enseñar, así como el

discurso didáctico actual del cálculo, no son una base propicia para la comunicación de las

99

Referencias teóricas de la investigación

ideas fundamentales de esta rama. Este autor mencionaba que si se quiere que los

estudiantes se apropien de las ideas fundamentales de algún concepto, lo importante no es

cómo hacerle para que se apropie del discurso didáctico del profesor, sino lo que realmente

importa es poder cambiar o rediseñar por completo tal discurso.

Coincidimos con este último supuesto, pues la manera actual en que los cursos de cálculo

se desarrollan no parece llenar las expectativas de los profesores en cuanto al aprendizaje

de sus estudiantes, ni mucho menos de las instituciones en cuanto al aprovechamiento de

los mismos durante los cursos de cálculo. Creemos imprescindible que los profesores lleven

a cabo una reflexión intrínseca sobre su práctica, en cuanto a los recursos que utiliza dentro

del aula, su discurso, sus técnicas, los métodos de evaluación que emplea y que reconozca

la necesidad de una componente didáctica dentro de su formación profesional como

docente de las matemáticas. Un cambio real en el currículo, y primordialmente en el

currículo universitario, debería empezar desde las aulas mismas y con el profesor, pues si

realmente se quiere cambiar algo se necesitan profesores que dejen de ser meros

transmisores de conocimientos, de información, y que sean capaces de seleccionar tareas

matemáticas, establecer conexiones entre diferentes partes o conceptos de las matemáticas

y organizar adecuadamente sus clases; por otro lado, se requiere asumir que el trabajo del

profesor y del alumno no puede continuar de la misma manera en que actualmente se da, se

requiere de una nueva definición del trabajo del profesor y del estudiante en el aula

(Sánchez, 2005).

Ahora bien, la concepción de un rediseño de un curso de matemáticas y de cálculo en

particular, hace emerger dos interrogantes muy importantes: ¿qué del conocimiento

100

Referencias teóricas de la investigación

matemático es conveniente enseñar? y ¿cómo estructurar dicha selección? Los intentos de

la reforma de la enseñanza del cálculo en diferentes países han sido muchos y distintos y

tratan principalmente de responder a las preguntas anteriormente planteadas. Por ejemplo,

la mayoría de los programas de renovación creen que los cambios deben afectar a los

currículos vigentes, al desarrollo profesional de la universidad, a la utilización sistemática

de la tecnología y de otros materiales, a la formación didáctica y científica de los futuros y

actuales profesores (Moreno, 2005). En muchos países, se ha puesto especial interés en el

rediseño basados en el uso de las tecnologías informáticas como herramientas de

visualización y como organizador de la mente de los estudiantes, estos enfoques emplean al

ordenador o a las calculadoras con capacidad gráfica y manipulación simbólica, como pieza

fundamental en el trabajo de los estudiantes y para enriquecer en forma significativa el

proceso de adquisición del conocimiento matemático (Peralta, 2004); otros movimientos,

en vez de reformas al discurso como en el caso anterior, se enfocan a reformas del currículo

en cuanto a que ponen de manifiesto la necesidad de adaptar las matemáticas escolares a

demandas de la sociedad en las que están inmersas u objetivos de carácter instrumental; por

ejemplo proporcionar los recursos matemáticos necesarios para desenvolverse en una

sociedad tecnológicamente avanzada, capacidad para razonar lógicamente, resolver

problemas no rutinarios y comunicar ideas matemáticas. Como ejemplo del caso anterior en

(Marcolini, Perales, 2005) se considera que las dificultades en el proceso de aprendizaje de

las matemáticas entre los estudiantes universitarios, lejos de obedecer a causas y carencias

de orden pedagógico o técnico al momento de transmitir conocimientos, son más bien

producidas, en gran medida, a la manera en que se selecciona, articula y organiza el saber

matemático con fines didácticos. Estos autores creen que es posible reconstruir el

101

Referencias teóricas de la investigación

currículum y el discurso didáctico en torno a aquello que fue indispensable en la génesis

del conocimiento, para ello, toman como idea central a la noción de predicción en sus

vínculos con la serie de Taylor. La propuesta de estos investigadores se apoya en la

recuperación de los significados inherentes al concepto y las intuiciones primarias del

sujeto que le permitan acceder al concepto; para ello utilizan la aproximación teórica

denominada socioepistemologia.

Es muy común escuchar de profesores universitarios que si las matemáticas no son

introducidas de manera que atiendan a los aspectos tradicionalmente formales, junto con

demostraciones axiomáticas, se pondrá en tela de juicio la formación y la capacidad

matemática del profesor; además de que las matemáticas no serán vistas como “fuertes”,

perdiendo así su status dentro de la comunidad, lo anterior hace que se marginen la

intuición y los aspectos heurísticos que, en conjunto, generan la construcción del

conocimiento (Tall y Vinner, 1981 en Marcolini, Perales, 2005). Lo anterior origina en

nosotros la siguiente reflexión: ¿Por qué, no son comunes el uso de ideas intuitivas, de

analogías, de recursos visuales y computacionales; en vez de una demostración formal y

axiomática para la presentación de un concepto?; ¿realmente nuestros estudiantes serán

usuarios de una matemática “transmitida” de esta manera?; ¿por qué existe una

resistencia al cambio? Creemos que el empleo de algunas de las estrategias mencionadas

no pondrá en duda la formalidad y exigencia de las matemáticas. Además, la gran mayoría

de los estudiantes que llevan cursos de matemáticas universitarias no serán matemáticos

profesionales, sino más bien usuarios de la matemática y de las ideas que la escuela les

logre transmitir. Pensamos que lo menos que podemos hacer, como docentes de

matemáticas, es que nuestros estudiantes se conviertan en usuarios consientes y reflexivos;

102

Referencias teóricas de la investigación

por lo que creemos que el “abuso” de la formalidad en matemáticas debe ponerse en la

balanza y pensar en una reforma para la manera de presentación de los temas y conceptos.

Por ejemplo, durante la resolución de un problema, debería disminuir la importancia del

resultado frente al proceso de razonamiento que llevó al planteamiento del problema; en

otras palabras, en la actualidad, gracias a los resultados de la investigación en matemática

educativa y didáctica de las matemáticas, se cree que saber matemáticas pasa a entenderse

no como una acumulación de hechos y procedimientos, sino como la capacidad de hacer

matemáticas, recomendándose el uso de calculadoras como herramientas que se pueden

incorporar a ese quehacer matemático; se asume que los alumnos deberían crear el

conocimiento matemático a través de una actividad desarrollada con un fin, entendiendo el

aprendizaje como un proceso activo y constructivo (Sánchez, 2005). Sin embargo, esta

nueva Cultura Matemática Escolar mencionada anteriormente es más un ideal al que se

pretende aspirar, que una realidad que se esté llevando a cabo, o en vías de consolidación,

al menos en nuestro país; sin embargo no se debe de perder de vista que el principal

objetivo de la enseñanza superior es formar profesionales que sean capaces de utilizar el

conocimiento matemático en pos del avance científico de las comunidades, lo cual hace que

valga la pena los cambios persiguiendo este ideal.

Ahora bien, en pos de no solamente criticar y siendo coherentes con el marco experimental

de nuestra propuesta didáctica, presentamos lo que se podría considerase dentro de una

propuesta de reorganización de los programas o cursos de cálculo.

103

Referencias teóricas de la investigación

La reorganización de los programas de cálculo se sugiere debe buscar establecer un balance

entre lo Conceptual y Operacional de suerte que se encamine hacia lo Formal. El siguiente

diagrama ejemplifica tales consideraciones:

FORMAL TEORIA

FORMAL AXIOMATIZAR

OPERACIONAL

CÁLCULO-MANIPULACIÓN SIMBÓLICA

CONCEPTUAL

SENSORIAL-EXPERIMENTAL

En nuestra opinión, la supuesta necesidad de los estudiantes por recurrir a aspectos

memorísticos, procesos algorítmicos y empleo de recursos nemotécnicos obedece por un

lado, a que la abstracción (formas de pensamiento formal-axiomático) no es algo que se

pueda lograr en los cortos tiempos establecidos en los programas, por el otro lado, a la poca

funcionalidad (en términos personales) de los conceptos mostrados.

104

Referencias teóricas de la investigación

Esta propuesta de reorganización puede pensarse desde la esencia de origen y actual del

cálculo, por ejemplo, que los programas respondan a interrogantes legítimas del

estudiantado: ¿por qué se enseña cálculo?, ¿cuáles son las contribuciones específicas del

cálculo?, ¿cuál es la funcionalidad del cálculo?, ¿qué se resuelve con el cálculo?, ¿qué

elementos o tipo de cálculo requieren para su buen desempeño profesional?, ¿qué

habilidades personales se potencian o desarrollan en el alumno?, etc. La idea subyacente en

esta perspectiva refiere a un curso de cálculo en donde el énfasis esté en aspectos de una

vivencia del cálculo (experimentación) como punto de partida, se pase por lo conceptual y

culmine con la formalización (rigor matemático), tal como se quiso mostrar con el

diagrama anterior. Cabe mencionar que esto debe ser en una forma integral o sistémica y de

ninguna manera como secuencia o separada.

105

Aspectos Metodológicos

CAPÍTULO 6

ASPECTOS METODOLÓGICOS

Como se mencionó desde los primeros capítulos de este trabajo de investigación, nuestro

objetivo a perseguir es el de servir de puente entre los reportes (artículos) de investigación

que sobre la Didáctica del Cálculo se hayan realizado, y la práctica docente de los

profesores. Para ello concebimos prioritario encontrar qué de común guardaban los diversos

reportes de investigación, sus características individuales, el tratamiento dado al concepto,

las actividades planteadas. De esta forma podremos ser capaces de describir las

características, y a partir de ellas, proponer los elementos que consideramos pertinentes

tomar en consideración cuando los profesores en ejercicio requieran diseñar secuencias

didácticas para algunos tópicos de Cálculo. Presentaremos, de igual forma, el cómo se

podrían utilizar estos elementos, a partir de la elaboración de una propuesta didáctica para

algún tema específico de Cálculo Diferencial.

En el objetivo de nuestra investigación se plantea la necesidad de establecer un puente entre

investigación y docencia, o entre innovación y aplicación; por lo que nos dimos a la tarea

de recabar la suficiente información de manera sistemática y ordenada, de manera que

podamos percibir los elementos inmersos en los reportes; a partir de lo anterior se realizará

una caracterización y con base a ellos, diseñar una propuesta didáctica. Es por ello que

decidimos realizar una investigación de tipo Documental, pues la importancia que tienen

los reportes de investigación en nuestra investigación es crucial. Además nuestra

106

Aspectos Metodológicos

investigación, de acuerdo a la finalidad que persigue se denomina como Mixta, debido a

que involucra problemas tanto teóricos como aplicados.

6. 1. La Investigación Documental

La Investigación Documental tiene por objetivo fundamental el análisis de diferentes

fenómenos (de orden histórico, psicológico, sociológico, etc.); para lo cual utiliza técnicas

muy precisas, por ejemplo, de revisión de la documentación existente, que directa o

indirectamente aporte información. La Investigación de tipo Documental es una parte

esencial de un proceso de investigación científica, constituyéndose en una estrategia donde

se observa y reflexiona sistemáticamente sobre realidades (teóricas o no) usando para ello

diferentes tipos de documentos. Indaga, interpreta, presenta datos e informaciones sobre un

tema determinado de cualquier ciencia. Para llevar a cabo las tareas anteriormente

mencionadas utiliza una metódica de análisis; teniendo como finalidad obtener resultados

que pudiesen ser base para el desarrollo de la creación científica.

La Investigación Documental posee ciertas características, tales como:

Se caracteriza por la utilización de documentos; para ello, recolecta, selecciona,

analiza y presenta resultados coherentes con lo que en los documentos se presenta.

Utiliza los procedimientos lógicos para recabar información, tales como: análisis,

síntesis, deducción, inducción, etc.

107

Aspectos Metodológicos

Realiza una recopilación adecuada de datos que permiten redescubrir hechos, sugerir

problemas, orientar hacia otras fuentes de investigación, orientar formas para elaborar

instrumentos de investigación y elaborar hipótesis.

Se basa en la utilización de diferentes técnicas de: localización y fijación de datos,

análisis de documentos y de contenidos.

De manera particular, consideramos a la Investigación Documental como un proceso de

búsqueda que se realiza en fuentes impresas, por ejemplo en documentos escritos, etc. Para

este tipo de investigación se realiza una investigación bibliográfica especializada para

producir nuevos asientos bibliográficos sobre el particular. Todo esto permite precisar sobre

el estado o evolución del problema o tema que nos interesa, de modo que se puede hacer

supuestos y orientaciones teórico-metodológicos encaminados hacia el estudio, tratamiento

o solución de un problema.

6. 2. Metodología de Trabajo

Para este trabajo de investigación se realizó una revisión de diferentes fuentes de

información relativas a investigación en Didáctica de las Matemáticas. Para la revisión

documental nos enfocamos en artículos de investigación que se reportaban en la literatura.

Una de las principales fuentes documentales con las que contamos fueron las Actas

Latinoamericanas de Matemática Educativa de diferentes años. Fueron de gran ayuda

también los números y volúmenes de la Revista Latinoamericana de Matemática Educativa

“Relime” las cuales se hallaron en la página de Internet del Clame (http://clame.org.mx);

también se realizó una búsqueda de artículos en la red. Recordemos que no estábamos

108

Aspectos Metodológicos

interesados en hacer un “Estado del Arte” que sobre investigaciones en didáctica del

Cálculo se hayan realizado a lo largo de un periodo de tiempo, ni tampoco en una búsqueda

exhaustiva sobre reportes de investigación en didáctica del cálculo; más bien pretendíamos

mostrar con esta revisión documental, es que con el análisis de los artículos que la

investigación reporta se puede contar con un referendo importante cuando se pretenden

diseños “innovadores”. Se priorizó la búsqueda en las Actas ya que en ellas se encapsulan

los reportes que en Latinoamérica se llevan a cabo, lo cual muestra los avances en nuestra

región.

Una vez realizada la búsqueda de los posibles artículos que podrían ser útiles para nuestra

investigación se pasó a un análisis sistemático de los mismos para comprobar la pertinencia

de éstos. Es importante mencionar que nuestra investigación contempló artículos realizados

para algunas de las siguientes temáticas de Cálculo Diferencial: Funciones reales de

variable real, Límites de funciones, Continuidad de funciones y Derivadas.

Para los artículos que formarían parte de nuestra “base de datos” se pretendía que

presentarán una propuesta para abordar alguna de las anteriores temáticas mencionadas;

además, se procuró que estos utilizaran, preferentemente, a la Ingeniería Didáctica como

metodología de trabajo; lo anterior responde a que nuestro trabajo prioriza el uso de esta

metodología para el desarrollo y la posible experimentación de la propuesta que se realizó.

Sin embargo, el uso o no de la ingeniería didáctica no fue determinante para la selección de

los artículos, pues hubo trabajos que presentaban actividades con particular énfasis en

aspectos tales como: visualización, carácter dual, entre otras.

109

Aspectos Metodológicos

Una vez seleccionados los artículos que cumplían con las características anteriormente

descritas, se pasó nuevamente al análisis de cada uno de ellos. Muchas de las

investigaciones que se mencionan presentan actividades algunas veces para investigar sobre

el aprendizaje de los estudiantes más que para generar aprendizaje; no obstante se

consideran como propuestas en tanto la metodología o diseño utilizado.

El análisis sistemático de los artículos se basó principalmente en los siguientes parámetros:

Tipo de actividades que planteaban para el manejo del concepto que se estudiaba.

Tratamiento que se le daba al concepto a lo largo del desarrollo de las actividades.

Público a quien se dirigían las propuestas.

Marco teórico que utilizaron las investigaciones.

Luego de recabar la información anterior para cada uno de los artículos seleccionados, se

pasó a la comparación de los artículos, por tema, y entre sí. Lo anterior para observar las

coincidencias, las diferencias, los marcos teóricos más referidos, la manera en que se

proponían las actividades, etc.

Por último, se realizó un análisis más a detalle de los artículos, poniendo más énfasis e

interés en el tipo de actividades que se proponían; lo anterior repercutió en una disminución

del número de artículos que se considerarían en nuestra base de datos (ver Anexo de

reportes de investigación).

Luego de la revisión de los artículos de investigación y de recabar la información que nos

interesaba de cada una de ellas, el siguiente paso de nuestra investigación consistió en el

diseño, con ayuda de toda la información que se recabó, de una propuesta didáctica sobre

110

Aspectos Metodológicos

Cálculo Diferencial. El tema específico sobre el que se trabajó en la propuesta fue el de

derivadas, debido a motivaciones personales.

A partir del diseño de nuestra propuesta para el tema de Derivadas y con el análisis de los

reportes de investigación que conformaban nuestra base de datos, se encontraron los

Elementos que servirían de base para el diseño de propuestas. Estos elementos se

consideran presentes en todas las propuestas, aunque, no de una manera explícita.

111

Conclusiones y comentarios finales

CAPÍTULO 7

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES

Con este trabajo de investigación no pretendemos remediar la situación actual en la que se

encuentra la enseñanza del cálculo, ni reportar ampliamente todos los resultados que la

investigación en didáctica del cálculo ha llevado a cabo, a manera de un estado del arte;

más bien este trabajo es un esfuerzo para hacer más accesible a los profesores los

principales resultados de la investigación en didáctica del cálculo, de manera que se puedan

aprovechar al máximo tales resultados e innovaciones que la investigación reporta.

La motivación a la realización de este trabajo se encuentra en lo que se mencionó

anteriormente, lo cual podría traducirse en la creación de un puente entre investigación y

docencia; para lo cual creímos conveniente primero, encontrar información pertinente en

los variados reportes de investigación referidos a la didáctica de algunos tópicos de cálculo;

segundo, sistematizar y analizar la información para luego extraer aquellos ejes rectores de

las investigaciones, aquellas partes medulares que en su momento fueron consideradas por

investigadores e innovadores en didáctica del cálculo y a su vez, para nosotros son el pilar

de acción cuando se pretendan diseñar propuestas o secuencias didácticas; y por último

mostrar cómo se puede echar mano de estos elementos, diseñando con base a ellos, una

propuesta didáctica para algún tema particular de cálculo.

Principalmente, nuestra meta es mostrar que, con la ayuda de los reportes de investigación,

es posible elaborar diseños de ingeniería que tomen en cuenta, algunos de los resultados

más importantes que la investigación reporta; sin embargo hallar la manera de articular la

112

Conclusiones y comentarios finales

investigación y la docencia no es tarea fácil, sobre todo si se considera la diversidad de los

paradigmas teóricos usados en la investigación y los sistemas educativos. Tanto la

investigación en didáctica del cálculo y la práctica docente tienen sus propios problemas y

dificultades, que quizás, hoy día, tienen muy pocos puntos en común. Lo anterior es debido

principalmente a que el conocimiento basado en la investigación no se transforma

fácilmente en estrategias educativas efectivas aunado con la poca accesibilidad e interés de

lo profesores hacia los resultados de la investigación o por el poco interés de los profesores

en ejercicio hacia los problemas propios del proceso enseñanza-aprendizaje del cálculo.

Cabe mencionar que en varios casos, la investigación ha conducido a la producción de

diseños de instrucción que han mostrado ser efectivos, al menos en entornos

experimentales. Sin embargo, también debemos reconocer que la investigación no nos da

una forma general de mejorar fácilmente los procesos de enseñanza y aprendizaje (Artigue,

2003).

Por nuestra parte, creemos que el florecimiento de investigaciones cuyo fin sea crear

“puentes” entre la investigación y la práctica docente, serán las bases para poder aspirar a

un cambio, aunque no radical, si muy valioso en la práctica docente actual, pero ello

significa encontrar formas de hacer que el conocimiento basado en la investigación sea útil

fuera de las comunidades y los entornos experimentales donde se desarrolla, no pudiendo

ser esto sólo responsabilidad de los investigadores. Los aportes de la investigación en

Matemática Educativa pueden ayudarnos considerablemente si llegamos a hacer posible

que sus resultados perneen a un gran número de profesores. Lo anterior implicaría también

cambiar, en gran medida, los roles del profesor y del estudiante, haciendo que el del último

sea cada vez más activo, mientras que para el primero implicaría un conocimiento personal,

113

Conclusiones y comentarios finales

una buena formación didáctica y una reflexión crítica sobre sus prácticas. Lo que tiene que

reorganizarse no es solamente el contenido de la enseñanza (no es suficiente con escribir o

adoptar nuevos libros de texto), sino cuestiones mas globales, tales como las formas del

trabajo de los alumnos, los modos de interacción entre alumnos y profesores, y las formas y

contenidos de la evaluación. En síntesis, se requiere en nuestra opinión, desarrollar trabajos

sobre el currículo matemático y los programas de Formación de Profesores. Trabajos

específicos que atiendan en un sentido amplio, las necesidades reales y las limitaciones que

plantean tanto el sistema educativo como el sistema didáctico. Nuestro trabajo nos permite

señalar la posibilidad de incidir en la matemática escolar a través de currículo y el ejercicio

docente a través de proyectos orientados por la praxis disciplinar.

Por nuestra parte creemos, tal y como menciona Artigue (2003), que la investigación

desarrollada en el nivel universitario nos ayuda a entender mejor las dificultades de

aprendizaje que nuestros estudiantes tienen que afrontar, la resistencia sorprendente de

algunas, y las limitaciones y disfunciones de algunas prácticas de enseñanza.

114

Anexos

ANEXOS

115

Anexos

A.1 Algunas contribuciones en Didáctica del Cálculo

A.1.1 FUNCIONES

A.1.1.1 Funciones Embotelladas

Edison de Faria Campos. Universidad de Costa Rica.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

• La propuesta consta de actividades relacionadas con la representación gráfica de

ciertas funciones y su vinculación con una representación en un contexto físico o

icónico, en este caso coincide con el dibujo o forma de un recipiente (Ver Anexo de

actividades A.2.1.1). Se pide bosquejar gráficas a partir de la forma de un recipiente

y viceversa.

• Público: Las actividades pueden ser aplicadas a estudiantes de nivel medio y

superior.

• Ventajas de las actividades según el autor: permite visualizar el comportamiento

global de la gráfica de una función dado su modelo físico o icónico, modelo del

recipiente, dado la representación gráfica de elementos del mismo.

• Las actividades se aplicaron a 25 estudiantes de Enseñanza de la Matemática de la

Universidad de Costa Rica, las sesiones fueron videograbadas y analizadas con todo

el grupo.

• Marco teórico: Teoría de las Representaciones Semióticas de Duval.

116

Anexos

• Tratamiento: Gráfico. Se muestra un recipiente y se pide realizar una gráfica que

corresponda al llenado del recipiente y viceversa.

• Se utilizan materiales concretos para que los alumnos exterioricen las

representaciones mentales que poseen de un concepto mediante diagramas, curvas,

símbolos, frases.

A.1.1.2 Las Funciones en la resolución de problemas

M. Bonacina, A. Haidar, M. Quiroga, E. Sombas, C. Teti, G. Pavan. Universidad del

Rosario, Argentina.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

• Reflexiones y propuesta didáctica acerca de la enseñanza por resolución de

problemas, siendo el eje de esta última la aplicación y discusión del concepto de

FUNCIÓN.

• La propuesta consiste en el planteamiento de una situación problemática familiar al

estudiante (situaciones concretas), para proceder, bajo la guía del profesor, a su

discusión, planteo de conjeturas e hipótesis, resolución y verificación. Los

problemas requieren el uso del concepto de función (Ver anexo de actividades

A.2.1.2).

• Tratamiento: gráfico, numérico, algebraico. La modelación matemática por

resolución de problemas; este es, según los autores, un poderoso instrumento de

cambio metodológico.

117

Anexos

• Metodología: por resolución de problemas. Se planificó la enseñanza del tema,

tratando integralmente las tres instancias que abarca el acto educativo: Formación

del concepto, ejercitación y aplicación, evaluación. Los autores pretenden enseñar

por medio de cómo un científico trabaja o bien, cómo el conocimiento científico

surge. Quieren acercar al estudiante al verdadero quehacer científico.

• Para el desarrollo de las actividades se utiliza la modelación matemática para

resolver los problemas. Se le proporcionan al alumnos datos, los cuales se tabulan,

se grafican y se trata de encontrar alguna función que describa el comportamiento

de la gráfica. (Ver cuadro en anexo de actividades A.2.1.2)

• Objetivos: desarrollar en los estudiantes la capacidad para resolver problemas, sin

caer en la manipulación rutinaria de datos, fórmulas. Lograr que el estudiante pase

del “razonamiento basado en evidencias” al “razonamiento en términos de

hipótesis”.

• Marco teórico: Aprendizaje Significativo, Modelo de cambio conceptual y

metodológico (Ausubel, Novak, Hanesian, 1983; Posner et al, 1982).

A.1.1.3 Construcción visual de las funciones lineales, cuadráticas y cúbicas

Gisela Montiel Espinosa. Casio Académico/CICATA – IPN

Fuente: Mosaicos Matemáticos No. 11, 2003.

La propuesta está basada en la visualización y en el desarrollo del pensamiento matemático

del concepto de función. En esta propuesta se maneja la construcción de las funciones

118

Anexos

lineales, cuadráticas y cúbicas tomando como base la construcción del polinomio de

interpolación de Lagrange mediante estrategias de visualización.

• Para la autora la visualización es la habilidad para representar, transformar, generar,

comunicar, documentar y reflejar información visual en el pensamiento y el

lenguaje del que aprende. La actividad de visualización requiere la utilización de

nociones matemáticas asociadas a los ámbitos numéricos, gráficos, algebraicos,

verbales y gestuales (Montiel, 2003). Además, a la visualización se le ubica como

componente de los procesos mentales que tienen lugar en la actividad matemática.

La propuesta

• La propuesta usara a la visualización como vehículo para construir inductivamente,

una curva de grado conocido que pase por un conjunto dado de puntos en el plano,

apoyándose principalmente en las posibilidades que ofrecen las gesticulaciones de

giros, flexiones, desplazamientos, elongaciones, contracciones, traslaciones,

evaluaciones a partir de gráficas elementales conocidas por los alumnos.

• Tratamiento: gráfico, numérico, algebraico, gestual. La propuesta contempla la

utilización de calculadoras con capacidades gráficas de manera dinámica; en este

caso se utiliza la Casio modelo Algebra FX 2.0 (Plus).

• Marco teórico o marco de referencia: Visualización.

La Secuencia (se trabaja con el caso particular de la función lineal)

• Se proponen las siguientes situaciones problemáticas:

119

Anexos

1. ¿Cómo podremos tener una recta que pase por el punto (4, 0) a partir de la gráfica

de f(x)=x?;

2. ¿Cómo obtendríamos la recta que pase por los puntos (4, 0) y (6, 4)?;

3. ¿Cómo obtendríamos ahora la ecuación de la recta que pase por los puntos (4, 8) y

(6, 4)?

• Todas estas situaciones se pueden resolver aplicando la ecuación de la recta a partir

de dos puntos dados, sin embargo, el diseño de la propuesta tiene la intención de

utilizar solamente estrategias visuales.

• Por medio de afectar a los parámetros de la función lineal se llega a la construcción

de las funciones lineales pedidas en cada caso. Para el problema 2, por ejemplo, se

utilizan estrategias que permitan rotar la recta que pasa por el punto (4, 0) de

manera que pase también por el punto (6, 4). En palabras de la autora: “debemos

imaginar que tomamos a la recta con las manos y la giramos, apoyada en el punto

(4, 0), hasta que toque al punto (6, 4). (Ver anexo de actividades A.2.1.3)

• Una vez que los alumnos han utilizado estrategias visuales para responder que sí es

posible encontrar la recta, se trabaja algebraicamente. Una vez realizado lo anterior

se pasa al trabajo algebraico; se sabe que la familia de rectas que pasa por el punto

(4, 0) son de la forma )4(1 −= xAY , por lo que si se quiere que pase por el punto

(6, 4) con lo cual se obtiene que A=2, con lo cual la recta pedida es . )4(21 −= xY

120

Anexos

• Utilizando estas mismas estrategias se puede responder la pregunta 3. Además la

misma lógica que se utilizó se utiliza para construir las funciones cuadráticas y

cúbicas.

• La aproximación de una curva de n puntos es la construcción del polinomio de

interpolación de Lagrange.

A.1.2 LÍMITES

A.1.2.1 Estrategia para la enseñanza de Límite de una función

Nélida Priemer; Graciela Lazarte. Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Jujuy,

Argentina.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 19, 2006.

• Público: nivel superior. La propuesta se aplicó a estudiantes del primer año de la

Facultad de Ingeniería (Universidad de Jujuy, Argentina).

• Problema didáctico: la enseñanza de la definición épsilon-delta de límites. Ésta

resulta poco significativa para los estudiantes, de manera que se pierde valor en su

aprendizaje cuando se deben realizar las conexiones entre las representaciones

gráficas, numéricas y algebraicas.

• La presencia de prácticas sociales de la actividad humana como aproximar, buscar

tendencias y otras, permiten la reconstrucción de significados en el área de cálculo.

Esta significación se consideró en el diseño de la estrategia.

• Marco teórico: concepción del proceso enseñanza-aprendizaje de Vigotsky y

Piaget; la didáctica de la matemática de Guy Brousseau, quien considera a las

121

Anexos

estrategias áulicas como mediadoras del proceso de enseñanza-aprendizaje; y el

juego de marcos de Regine Douady.

• La metodología de investigación que se utilizó para el diseño de las estrategias se

basó en la Ingeniería Didáctica.

• Lineamientos de la secuencia didáctica: la actividad del alumno es la base del

aprendizaje; el docente busca la actividad cognoscitiva del estudiante; la

organización de las actividades de manera grupal; el aprendizaje debe ser

significativo y autónomo.

• Las actividades se implementaron en un seminario de tres encuentros de 2 horas

cada uno. Los alumnos, a quienes se les aplicó las actividades estaban cursando la

materia de análisis matemático. Los alumnos pertenecían a de diferentes carreras de

la facultad; participaron 37 alumnos.

• Primer encuentro: se familiarizó a los alumnos en el empleo de: entorno, entorno

reducido, intervalo, inecuación, inecuación con valor absoluto y las relaciones de

equivalencia entre ellos. (ver anexo de actividades A.2.2.1)

• Segundo encuentro: se trabajó sobre la definición intuitiva de límite, las actividades

transitaron del marco numérico al gráfico. Se procuró que los alumnos pudieran

expresar con palabras los resultados obtenidos. (ver anexo de actividades A.2.2.1)

• Tercer encuentro: se plantearon actividades tendientes a encontrar un δ dado un ε

determinado. En estas actividades se trabajó gráficamente sobre ejemplos donde

pudieron encontrar el δ para cualquier ε, y otros donde sólo pudieron hacerlo para

algunos ε. (ver anexo de actividades A.2.2.1)

122

Anexos

• Tratamiento: el tema se desarrolla utilizando en las secuencias diferentes

registros: gráfico, numérico, algebraico y verbal.

A.1.2.2 El concepto de Límite en la educación secundaria

Sonsoles Blázquez, Tomas Ortega. Universidad de Valladolid, España.

Fuente: El Futuro del Cálculo Infinitesimal. ICME-8, 2000.

• Los autores proponen una definición “alternativa” para el concepto de límite, la

cual, según los autores, no abusa de formalismo de la notación que comúnmente la

definición formal propone. La definición es:

Sea f una función y a un número real, el número L es el límite de la función f en el

punto a, y se escribe LxfLimax

=→

)( , si cuando x se acerca al número a, sus imágenes

f(x) se acercan a L más que cualquier otro número.

• Marco teórico: La Teoría de las Imágenes Conceptuales (Tall, Vinner), y la de los

Obstáculos Epistemológicos de Brousseau.

• La metodología que se utiliza para abordar la secuencia didáctica que se diseñó se

basa en la exposición del profesor de los conceptos principales, apoyado por una

guía que de trabajo que también posee el alumno. Se complementan con tareas para

la casa, que son corregidas por el profesor, así como también por evaluaciones. Se

recogen con cintas de audio las sesiones para complementar las producciones

escritas de los alumnos.

123

Anexos

• Se trabajó con un grupo de 2º de bachillerato de ciencias sociales (17-18 años) y con

un grupo de 4o de ESO (Escuela Secundaria Obligatoria) (15-16 años).

Metodología de las actividades

• Las actividades inician con un estudio de sucesiones y tendencias de sucesiones (sin

definir el límite secuencias) se trabaja con una idea que será coherente con la

definición que los autores proponen del concepto del límite. Después se repasa el

concepto de función, en esta parte se insiste en los distintos sistemas de

representación funcional. Se introducen luego los conceptos de tendencia infinita y

de asíntotas, lo cual se considera fundamental para definir el concepto de límite más

tarde. Luego de trabajar con situaciones en las cuales el límite es visto como una

necesidad, se da entonces la definición que los autores proponen. Se trabaja de

forma gráfica y numérica y se calculan límites sencillos (unificando la notación).

Luego se deja ciertas actividades de tarea de forma individual. Las respuestas a los

ejercicios así como los comentarios de los alumnos sirven para elaborar un sistema

de categorías, las cuales se utilizan para evaluar el grado de comprensión de los

alumnos. (ver anexo de actividades A.2.2.2)

• La propuesta presenta las siguientes etapas: Test inicial, Sobre Sucesiones y

Tendencias, Sobre Funciones, Sobre Límites y Tareas de Evaluación.

• Los investigadores consideran que el alumno domina el concepto de límite si

entiende el aspecto explicativo-conceptual (son capaces de definir el concepto y

explicar la definición ilustrándola numérica y gráficamente), el gráfico y el

numérico (su imagen conceptual debe incluir los aspectos gráficos y numéricos de

124

Anexos

las diferentes concepciones de límite) y es capaz de intuir algunas propiedades en

las que aparece el concepto (el teorema de la caracterización, el de la existencia,

unicidad y el teorema de intercalación).

• Tratamiento: gráfico, numérico, algebraico.

A.1.3 CONTINUIDAD

A.1.3.1 Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de continuidad

puntual

Eddie Aparicio, Ricardo Cantoral. Facultad de Matemáticas-UADY; DME-Cinvestav IPN

y Cimate-UAG.

Fuente: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 9(1), 2006.

• Se analizan las formas discursivas (descripción, exposición, narración y

argumentación) y la gesticulación al momento de discurrir sobre la noción de

continuidad puntual de una función real.

• Para el diseño experimental usado en la investigación, se supone la noción de

continuidad puntual como una consecuencia de la discontinuidad puntual, no de

la noción global de continuidad. Es decir, se considera que la noción de continuidad

puntual se estabiliza entre los estudiantes sólo hasta que aparece como un medio

para evitar las discontinuidades de orden puntual. La tesis que se maneja es: aceptar

que la noción de discontinuidad puntual y la percepción global de la continuidad

global deban anteceder al tratamiento de la continuidad puntual.

125

Anexos

• Marco teórico: Socioepistemologia, es decir la construcción social del

conocimiento bajo un enfoque sistémico. Lo anterior indica que se consideran las

componentes cognitivas, didácticas, epistemológicas y sociales del concepto en

cuestión.

• Se diseño una secuencia de actividades didácticas que supusiera a la percepción de

la continuidad global y a los usos de la discontinuidad puntual como precedentes a

la definición formal de la continuidad puntual.

• Para la realización e implementación del diseño experimental se trabajó con

estudiantes universitarios que hubieran tenido contacto previo con el concepto de

continuidad. Se eligieron 8 estudiantes (4 hombres y 4 mujeres) de ingeniería en

Mecatrónica, Telemática y Biónica. Las edades de los estudiantes oscilaba entre los

19 y 21 años.

• Se utilizó como materiales papel, pizarrón y computadora con una serie de

actividades diseñadas en Sketchpad 4.0, las cuales se proyectaron de acuerdo a tres

fases. Éstas fueron: preparación para la lectura de las actividades, desarrollo de la

secuencia e institucionalización de los saberes.

• Primera Fase: buscaba desarrollar las competencias necesarias en los estudiantes

para la adecuada lectura de las actividades planteadas.

• Segunda Fase: se planeo de manera que los estudiantes pudieran discutir sobre la

noción de continuidad puntual a partir de la percepción global de la continuidad y la

idea de discontinuidad puntual.

• La secuencia didáctica estuvo formada por cuatro actividades en la pantalla de la

computadora. Las dos primeras iban destinadas al estudio de la noción de

126

Anexos

continuidad global, mediado por las representaciones que involucran movimientos y

la exploración de expresiones funcionales asociadas a tales movimientos; las dos

restantes, al estudio de la noción de discontinuidad y continuidad puntual, mediado

por la percepción visual de los “rompimientos” de las curvas. (Ver anexo de

actividades A.2.3.1)

• Tratamiento: gráfico, algebraico, numérico y verbal. Se tomaron en consideración

los comportamientos de los estudiantes, los tipos de discurso empleados (gestual) y

los razonamientos.

• El análisis de la dimensión gestual favorece el aprendizaje a partir de las

interacciones establecidas entre los miembros de un grupo y un saber compartido.

127

Anexos

A.1.4 DERIVADAS

A.1.4.1 Situación Didáctica del Concepto de Derivada

Bertha Ivonne Sánchez Lujan, Alberto Camacho Ríos. Instituto Tecnológico de Ciudad

Jiménez e Instituto Tecnológico de Chihuahua.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

• Se introduce el concepto de derivada mediante una aplicación de la velocidad

media utilizando un simulador y el desarrollo en serie de funciones.

• Objetivo: introducir el concepto de derivada en el curso de Matemáticas 1,

mediante situaciones didácticas donde se utilice la noción de velocidad media, para

lograr una concepción real vía la construcción del concepto.

• Marco Teórico: Teoría de las Situaciones de Aprendizaje.

• La secuencia está diseñada de manera que los estudiantes logren dar una definición

propia del concepto de derivada.

• Metodología: como primer acercamiento es necesario que los estudiantes realicen

ejercicios sobre el binomio de Newton (ver anexo de actividades 7). De lo anterior

se quiere llegar a concluir que ., se pretende

que comparar el segundo término del desarrollo (primera variación) con el valor

obtenido en la velocidad en la velocidad media cuando Δt tiende a cero los alumnos

perciban que es el mismo valor y además es el que cumple la relación:

...)()()( 2 +Δ+Δ+=Δ+ xCxBxfxxf

velocidadx

xfxxfxLim

=Δ

−Δ+→Δ

)()(0

. (ver anexo de actividades A.2.4.1)

128

Anexos

• Tratamiento: el concepto se presenta de manera numérica, de forma verbal, y

luego se traduce a un lenguaje matemático logrando así una transposición didáctica

entre el objeto del saber y el objeto del conocimiento. Las actividades inician con el

planteamiento de un problema (Ver anexo de actividades A.2.4.1), donde se les

pide que completen una tabla de velocidad para los diversos intervalos de tiempo.

A continuación se les presentan una serie de preguntas, las cuales giran en torno al

comportamiento de los valores obtenidos.

• Se trabajó con alumnos pertenecientes a dos grupos de la carrera de Ingeniería

Industrial en el Instituto Tecnológico de Chihuahua II, por el mismo profesor.

Materia: Matemáticas I, (Cálculo Diferencial y Cálculo Integral). Las edades varían

entre los 17 y 22 años.

• Los alumnos contaban con calculadoras, se les proporcionaron hojas de trabajo. Se

utilizó un proyector de acetatos para las tablas y se llenaron con la participación de

los estudiantes. Se grabó en video la sesión y además se contó con la participación

de observadores.

• Por medio del binomio de Newton se familiarizó a los estudiantes con los

incrementos. Se concluyó que la inclusión del binomio como una parte del proceso

para la obtención del concepto de derivada, es una alternativa didáctica que se

relaciona con el concepto de velocidad promedio, es una forma fácil de “ver” la

correspondencia entre los dos términos comparativos.

129

Anexos

A.1.4.2 ¿Cómo entender La Regla de La Cadena?: Un acercamiento

Socioepistemológico

Ramón Flores Hernández. Universidad Autónoma de Coahuila-Instituto Tecnológico de

Saltillo, México.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

• Este trabajo presenta la fase de concepción y análisis a priori de las situaciones

didácticas correspondientes a una Ingeniería Didáctica sobre la regla de la cadena.

• Marco teórico: Aproximación Socioepistemológica.

• Objetivo: favorecer la construcción de la regla de la cadena bajo la actividad de

encontrar elementos de orden epistemológico que expliquen las dificultades vividas

en su apropiación, utilizando las prácticas humanas para provocar la relación

epistemología-generación de conocimiento.

• Se diseñaron 7 situaciones problema (actividades), compuestas por 27 tareas. Las

primeras 3 actividades, se refieren a la reconstrucción de significados de la función

compuesta y las restantes a la reconstrucción de la regla de la cadena bajo la noción

de predicción utilizada como actividad humana. La secuencia se estructuró sobre las

situaciones didácticas de: acción, formulación, validación e institucionalización.

(ver anexo de actividades A.2.4.2)

• Objetivos de la situación didáctica: proporcionar contextos sociales que permitan

introducir la transición de variables y así ver aparecer la función compuesta.

Permitir aparecer la regla de la cadena ligada a la función compuesta. Confrontar la

130

Anexos

presentación de la regla de la cadena como un cociente de cambios instantáneos,

con la del producto de cambios instantáneos. Que el estudiante transite en tres

registros de representación, gráfico, numérico algebraico; bajo la predicción y la

construcción de consensos.

• Tratamiento: gráfico, numérico, y algebraico.

A.1.4.3 Reconstrucción de significados de la primitiva y derivada en ambientes

gráficos, la argumentación como parte esencial de la actividad humana

María Antonieta Aguilar Víquez. Instituto Tecnológico de Pachuca, CICATA, IPN,

México.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

• El estudio se centra en la relación entre la función primitiva y su derivada, cuya

forma analítica está dada por: ∫ = )()(' xfdxxf

• Escenarios: hallar f(x) a través de la gráfica de f’(x); considerando a la función

primitiva f(x) como el área bajo la curva, donde la curva representa la derivada

f’(x).

• Marco teórico: Teoría de las Situaciones Didácticas. La investigación se enmarca

en la línea de investigación socioepistemológica.

• Metodología: Ingeniería Didáctica.

• Se plantea como hipótesis que la actividad es la fuente de reorganización de la obra

matemática y del rediseño del discurso escolar. La aproximación

131

Anexos

socioepistemológica considera epistemologías modelizadas a través de la actividad

matemática y busca hacerlo a través de la actividad humana.

• El trabajo de investigación presenta dos secuencias de la situación didáctica que se

diseñó. Cada una de las secuencias contiene cuatro momentos (M1, M2, M3, M4).

Los primeros tres son llamados momentos de interacción y reflexión; el momento

cuatro se denomina momento de integración.

• Secuencia 1: en M1 y M2 se les pide a los estudiantes que dibujaran la curva de la

función primitiva, representada por el área sombreada. En M3 se pidió a los

estudiantes dibujar el área bajo la curva representada por la gráfica de la función

primitiva dada. En M4 los estudiantes discuten acerca de funciones crecientes y

decrecientes y sus relaciones con las gráficas de las derivadas. (ver anexo de

actividades A.2.4.3)

• Secuencia 2: en M1 y M2 se pide a los estudiantes que dibujen la curva de la

función primitiva, representada por el área sombreada. En M3 se les pide dibujar el

área bajo la curva representada por la gráfica de la función primitiva dada. En M4 se

les pidió a los estudiantes que dibujaran las áreas de las funciones primitivas dadas

(ver anexo de actividades A.2.4.3). En esta parte se observó que los estudiantes eran

capaces de reconocer a una función primitiva lineal con un área rectangular y a una

primitiva cuadrática con un área triangular. Además se resignificó la función cero.

• Tratamiento: gráfico.

• Público: estudiantes de ingeniería.

132

Anexos

A.1.4.4 Una propuesta didáctica para la enseñanza de la derivada

Crisólogo Dolores. Facultad de Matemáticas. Universidad Autónoma de Guerrero, México.

Fuente: El Futuro del Cálculo Infinitesimal. ICME-8, 2000.

• Objetivo: elaborar una propuesta didáctica que contribuya a la comprensión del

concepto de derivada a través de la formación de ideas variacionales,

particularmente a través de la noción de rapidez de variación.

• Según el autor, la introducción de la derivada por medio de la variación se

fundamenta en su origen histórico, por la necesidad de resolver problemas de

movimiento, es como surge la noción de la variación instantánea como forma

germinal del concepto de derivada. La propuesta pretende ser estructurada

siguiendo el enfoque variacional, considerando al estudio de la variación como una

especie de eje rector del que se desprende el contenido matemático a tratar.

• La propuesta pretende que en el Cálculo Diferencial se desarrollen métodos

matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar cambios, se asume a la razón

de cambio como el concepto fundamental. Además, recuperar la idea de que la

derivada permite determinar cuánto cambia una variable respecto a otra en un

instante, en un punto.

• Para el autor las siguientes actividades y habilidades se consideran como indicativos

de la comprensión del concepto de derivada: identificar ejemplos del medio

circundante con el concepto de derivada; conocer y utilizar correctamente la

simbología; conocer las propiedades invariantes del concepto; reconocer el

133

Anexos

concepto en diversos contextos; dar ejemplos y contraejemplos y fundamentar por

qué estos pertenecen o no a la extensión del concepto; distinguir entre razones de

cambio promedio e instantáneas; calcular razones de cambio instantáneas por

medios numéricos y algebraicos; utilizar definiciones equivalentes obre el concepto;

ser capaz de aplicar el concepto de derivada en la solución de problemas,

principalmente los relacionados con la variación física.

• Tres nociones físicas son las fundamentalmente tratadas: la variación, la rapidez

promedio de la variación y la rapidez instantánea de la variación; siguiendo la línea

indicada por Wenzelburger E. (1993). De lo anterior, la propuesta está estructurada

en tres fases: la fase preparatoria, la fase de formación del concepto y la fase de

fijación.

• En la fase preparatoria se pretender crear las condiciones mínimas del nivel de

partida para acceder al proceso de formación del concepto en cuestión. Se parte de

la modelación de problemas sencillos de la física donde se abstraen las nociones de

variable y de función.

• La fase de formación del concepto se inicia a través de la rapidez de la variación,

particularmente de la velocidad y de la aceleración promedio. Luego se arriba a la

rapidez instantánea mediante un manejo intuitivo del límite y la utilización de los

infinitesimales.

• La fase de fijación se amplía la extensión del concepto a funciones que no

necesariamente dependen del tiempo introduciendo la definición de derivada, se

introduce la noción de función derivada, se deducen (por medio de diferenciales) y

134

Anexos

utilizan las fórmulas y reglas básicas de derivación, y se resuelven problemas

tendientes a fijar el concepto en los estudiantes.

• Tratamiento: gráfico, analítico, algebraico.

• Metodología: la propuesta por la Enseñanza de las Matemáticas (MEM). La

propuesta se ajusta a la situación típica: Tratamiento de Conceptos y sus

Definiciones.

Nota: el artículo de investigación reportado no presenta actividades o ejemplos del tipo de

problemas que los investigadores aplican.

A.1.4.5 Propuesta alternativa para la Enseñanza del Concepto de Derivada desde

una perspectiva histórico-epistemológica de su desarrollo

Ma. Eugenia Andreu Ibarra, Jesús Alfonso Riestra.

Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004

• Históricamente la derivada fue primero utilizada, después descubierta, luego

desarrollada y finalmente definida (Grabiner).

• Se propone una síntesis histórica del establecimiento del concepto de derivada,

posible gracias a los recursos computacionales. Lo anterior permite convertir entre

varios registros de representación (tabular, gráfico, algebraico). Como táctica se

introduce la derivada significativamente, partiendo de problemas de máximos y

mínimos, iniciando con un acercamiento tabular (Kepler) y culminando con un

135

Anexos

planteamiento puramente algebraico del Método de Fermat, con lo cual se obtiene la

función derivada de un polinomio.

• El conocer el desarrollo histórico-epistemológico de conceptos en matemáticas,

puede ser de mucha ayuda tanto para entender las dificultades en el aprendizaje de

conceptos fundamentales como para sugerirnos pautas para su enseñanza.

• La etapa en que la derivada fue utilizada se refiere al Método de Fermat para

máximos y mínimos. La etapa en que fue descubierta se refiere a la invención del

Cálculo por Newton y Leibniz. La etapa del desarrollo se centra en las

contribuciones de Euler y Lagrange. La etapa de definición corresponde a la dada

por Cauchy y Weierstrass (Grabiner, 1983).

Plan de las experiencias de aprendizaje:

• 1ª etapa: Método de Fermat para la determinación de máximos y mínimos. En

esta parte se evade el concepto de límite y es sustituido por álgebra, obteniendo

la función derivada para funciones polinomiales y extendiéndola para funciones

algebraicas.

• 2ª etapa: se interpreta como la etapa de descubrimiento; la derivada como

pendiente y la derivada como razón de cambio. Se siguen algunos aspectos de

Euler, sin embargo no se manejan los infinitesimales como Euler lo hacia. Se

opta por utilizar software con capacidad gráfica y de “lente de acercamiento”

(ZOOM), lo cual se considera como un sustituto de los límites y las ideas de

infinitésimos.

136

Anexos

• En el artículo se presentan algunos ejemplos que se pretenden realizar para la

primera etapa de la propuesta, ésta contiene problemas de máximos y mínimos, en

los cuales se usa un acercamiento tabular, a la Kepler, con algunas referencias

gráficas. Lo anterior les permite acceder al planteamiento de Fermat, el cual es

fundamentalmente algebraico y con ello a la derivada de un polinomio. (ver anexo

de actividades A.2.4.5)

• Marco teórico: Filogenia, teoría de Los Obstáculos Epistemológicos.

• Tratamiento: numérico, gráfico y algebraico.

A.1.4.6 Por una visión dinámica y global de los conceptos del cálculo y su enseñanza:

el caso de la derivada

José Ramón Jiménez Rodríguez. Universidad de Sonora

Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004

• Los autores proponen que para estudiar un concepto matemático es necesario

atender los aspectos operacionales y estructurales.

• Las nociones matemáticas poseen dos aspectos: uno puntual (local) y otro global.

Para los investigadores el referirse al significado de tales nociones requiere que se

haga en dos niveles. En un primer nivel, debería ser de manera puntual y por lo

tanto estático y local; en un nivel menos elemental debería manejarse un significado

global y dinámico. Los autores ponen como ejemplo el caso de la derivada:

Significado puntual y estático del concepto de derivada:

137

Anexos

x

xfxxfxfxdxfd

xxx Δ

−Δ+=′=

→Δ=

)()(lim)()( 00

00

0

, donde fDx ∈0

Significado global y dinámico del concepto de derivada:

x

xfxxfxfxdxfd

x Δ−Δ+

=′=→Δ

)()(lim)()(0

, donde fDx ∈

• Los autores asumen la siguiente postura: el diseño de las actividades de enseñanza

de los conceptos matemáticos debe incorporar, desde su misma concepción, la

doble relación dialéctica que se manifiesta en el proceso de gestación y evolución

de dichos conceptos, por un lado, como tensión entre lo puntual y lo global, y por

otro, entre las interpretaciones estática y dinámica de los conceptos.

• Para los autores, algunas secuencias didácticas relativas al la definición del

concepto de derivada adolecen de un tratamiento basado en un proceso dinámico

pero puntual. Además, tienen un enfoque claramente inductivo y privilegia a la

secuencia de números de la forma 1/10n para los incrementos Δx.

• La propuesta de los autores descansa en una concepción dinámica y global; pues los

autores proponen que la visualización de la función derivada debe darse

simultáneamente en todos los planos posibles. Proponen que la visualización de la

derivada debe darse en tantos puntos como sea posible y necesario, inclusive en

todo el dominio de la función.

• Tratamiento: se propone que el acercamiento a la derivada debe darse de una

manera global y dinámica. Por tal motivo se utilizan calculadoras graficadoras (TI-

138

Anexos

92) en las cuales se corren programas que muestran diferentes facetas de la derivada

y de la función.

• Se diseñaron tres programas: en el primero se muestran los acercamientos de la

recta secante a la recta tangente a una curva cuando los incrementos se van haciendo

cada vez más pequeños. En el segundo programa hace posible la visualización de la

derivada como el límite de las razones promedio de cambio de la función cuando los

incrementos se hacen cada vez más pequeños. El tercer programa permite visualizar

la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a

la gráfica de la función en cualquier punto. (Ver figuras en Anexo de actividades

A.2.4.6)

• Según los autores, su propuesta incluye el tratamiento de la noción de derivada a

partir de las tres variantes de la definición, es decir, promueve el uso de la

definición de derivada derecha, izquierda y simétrica.

• Consideraciones teóricas: aspecto puntual y global de los conceptos, aspecto

operacional y estructural de los objetos matemáticos.

• Observaciones: este trabajo de investigación no se ha sometido a una prueba

experimental, solo se presenta la propuesta de las calculadoras para abordar el tema.

A.1.4.7 Software para la enseñanza de la derivada

José Carlos Cortés Zavala, Jesús Roberto García Pérez, Graciela Eréndira Núñez

Palenius. Matemática Educativa UMSNH.

Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004

139

Anexos

• Se pretende abordar el concepto de derivada a través del manejo de tablas y

gráficas, las cuales permiten trabajar con la función derivada. Para ello, se analizará

la razón de cambio que se obtiene al tomar dos puntos de una función dada.

• Marco teórico: La Teoría de los Registros Semióticos de Representación propuesta

por Duval.

• Tratamiento: numérico al concepto de razón de cambio, tabular y gráfico. Se

construyó un software educativo en el que se presentan diferentes registros de

representación. Primeramente, se da un tratamiento numérico, a través de introducir

ideas relacionadas con progresiones aritméticas y luego se relaciona con

representaciones gráficas. (ver anexo de actividades A.2.4.7)

La propuesta está diseñada en tres bloques utilizando un software educativo. Las

características de los bloques son las siguientes:

• Bloque 1: consiste en poner de manifiesto las ideas de incremento de una variable y

la razón de cambio o razón de incrementos, para ello se utilizan progresiones

aritméticas. Se utilizan diferentes niveles de complejidad en el manejo de las

progresiones. Para ayudar a solucionar los últimos niveles de complejidad se

utilizan tablas que muestran los incrementos entre las posiciones así como también

los incrementos de los valores. Para representar la información que muestran las

tablas con los incrementos, se utilizan gráficas. Con ayuda de esta gráfica se

pretende explicar la relación entre la razón de cambio y lo que es la pendiente de la

recta que une dos puntos. (ver anexo de actividades A.2.4.7)

140

Anexos

• Bloque 2: en esta parte se trabaja con funciones continuas (lineales, cuadráticas,

cúbicas, trascendentes). A partir de conocer cómo se obtiene la razón de cambio (la

cual se obtiene por medio de tablas), se construye una función, denominada función

razón de cambio, la cual se grafica y se manipula con la finalidad de encontrar

relaciones entre ésta nueva función y la derivada de la función original. En este

mismo bloque, se propone un análisis de las funciones, sobre todo polinomiales, a

través de revisar las diferencias de diferentes grados, es decir primeras, segundas y

terceras diferencias. El propósito de este acercamiento es el de visualizar como cada

una de las diferencias representa una nueva función. En el caso de las polinomiales

cada diferencia va reduciendo el grado del polinomio. Otra actividad que se maneja

es la de visualizar cómo varía la pendiente de la línea secante y el signo de la recta

tangente al recorrer la función. Se presenta otra actividad donde se puede apreciar la

línea secante que se convierte en tangente.(ver anexo de actividades A.2.4.7)

• Bloque 3: aquí se propone obtener la expresión algebraica a partir de la información

numérica dada a través de tablas de valores. A partir de la información resultante de

las primeras, segundas y terceras diferencias de las correspondientes funciones se

obtienen las expresiones algebraicas correspondientes de las aproximaciones a la

primera, segunda y tercera derivada de la función original. Se trabaja del registro

numérico al algebraico. Por medio de las aproximaciones numéricas a la función

razón de cambio, se van obteniendo aproximaciones a la gráfica de la función

derivada. En este bloque, una vez obtenidas las primeras, segundas y terceras

diferencias, es posible mostrar que cuando 0→Δx las funciones que se obtienen

141

Anexos

son mejores aproximaciones para la primera, segunda y tercera derivada de la

función original. (ver anexo de actividades A.2.4.7).

A.2 Actividades incluidas en las propuestas

A.2.1 FUNCIONES

A.2.1.1 Funciones Embotelladas

Edison de Faria Campos. Universidad de Costa Rica.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

Actividades propuestas:

142

Anexos

A.2.1.2 Las Funciones en la resolución de problemas

M. Bonacina, A. Haidar, M. Quiroga, E. Sombas, C. Teti, G. Pavan. Universidad del

Rosario, Argentina.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

Actividades propuestas:

143

Anexos

Cuadro 1

144

Anexos

A.2.1.3 Construcción visual de las funciones lineales, cuadráticas y cúbicas

Gisela Montiel Espinosa. Casio Académico/CICATA – IPN

Fuente: Mosaicos Matemáticos No. 11, 2003.

Actividades propuestas (Situación 2):

145

Anexos

A.2.2 LÍMITES

A.2.2.1 Estrategia para la enseñanza de Límite de una función

Nélida Priemer; Graciela Lazarte. Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Jujuy,

Argentina.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 19. 2006

Actividades propuestas:

146

Anexos

A.2.2.2 El concepto de Límite en la educación secundaria

Sonsoles Blázquez, Tomas Ortega. Universidad de Valladolid, España.

Fuente: El Futuro del Cálculo Infinitesimal. ICME-8, 2000.

Actividades propuestas (Tomadas textualmente):

Para motivar la introducción del límite, se presenta la siguiente situación:

“La función dada por la ecuación ( ) ( ))1( xxay −−= definida en [0,1], representa un

crecimiento hipotético de la población española por años, desde 1900 (que corresponde a

147

Anexos

x=0). ¿Cómo evoluciona la población después de un millón de años?” (Se presentan tablas

y la gráfica de la función).

Una vez dada la definición, para concretar un poco más la idea de límite, a la vista de la

tabla de valores, se les pregunta:

¿A qué valores se aproxima x?...

¿Y sus imágenes, f(x)?....

Como ejemplo de las tareas de evaluación, presentamos lo siguiente:

1. Escribe dos funciones distintas que tengan el mismo límite en x = 2.

2. Escribe una función que tenga límite 3 en dos puntos diferentes.

3. Escribe dos funciones que en x = -2 tengan distinto límite.

148

Anexos

A.2.3 CONTINUIDAD

A.2.3.1 Aspectos discursivos y gestuales asociados a la noción de continuidad

puntual

Eddie Aparicio, Ricardo Cantoral. Facultad de Matemáticas-UADY; DME-Cinvestav IPN

y Cimate-UAG.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

Actividades propuestas:

FASE 1: creación de las competencias y familiarización con la manera de trabajar.

149

Anexos

FASE 2:

150

Anexos

A.2.4 DERIVADAS

A.2.4.1 Situación didáctica del concepto de derivada

Bertha Ivonne Sánche z Lujan, Alberto Camacho Ríos. Instituto Tecnológico de Ciudad

Jiménez e Instituto Tecnológico de Chihuahua.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

Actividades propuestas:

151

Anexos

A.2.4.2 ¿Cómo entender La Regla de La Cadena?: Un acercamiento

Socioepistemológico

Ramón Flores Hernández. Universidad Autónoma de Coahuila-Instituto Tecnológico de

Saltillo, México.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

Algunas actividades propuestas:

152

Anexos

153

Anexos

A.2.4.3 Reconstrucción de significados de la primitiva y derivada en ambientes

gráficos, la argumentación como parte esencial de la actividad humana

María Antonieta Aguilar Víquez. Instituto Tecnológico de Pachuca, CICATA, IPN,

México.

Fuente: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa- Vol. 17, 2004.

Secuencia #1: en M1 y M2 (momentos de interacción) se les pidió a los estudiantes que

dibujaran la curva de la función primitiva, representada por el área sombreada. En M3 se

les pidió a los estudiantes dibujar el área bajo la curva representada por la gráfica de la

función primitiva dada. M4 es llamado momento de integración y es donde los estudiantes

discuten sobre sus resultados.

Secuencia #2: las actividades son las mismas que en la secuencia #1.

154

Anexos

A.2.4.5 Propuesta alternativa para la Enseñanza del Concepto de Derivada desde

una perspectiva histórico-epistemológica de su desarrollo.

Ma. Eugenia Andreu Ibarra, Jesús Alfonso Riestra.

Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004

Actividades propuestas:

1. Un granjero tiene 14 m de malla de alambre y desea cercar una zona rectangular para

reproducir un cierto tipo de semilla. ¿Qué dimensiones debe tener esa zona rectangular para

que sea la mayor posible?

155

Anexos

2. ¿Qué dimensiones deberá tener un envase cilíndrico (cilindro circular recto) cuya

diagonal mide 5 dm, para que su volumen sea el más grande posible?

A.2.4.6 Por una visión dinámica y global de los conceptos del cálculo y su enseñanza:

el caso de la derivada

José Ramón Jiménez Rodríguez. Universidad de Sonora

Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004

Imágenes de los programas:

Programa 1:

156

Anexos

Programa 2:

157

Anexos

A.2.4.7 Software para la enseñanza de la derivada

José Carlos Cortés Zavala, Jesús Roberto García Pérez, Graciela Eréndira Núñez

Palenius. Matemática Educativa UMSNH.

Fuente: http://www.fismat.umich.mx/mateduca/carlos/art_sem_nal.htm, 2004

Bloque 1:

Primeramente se generan algunos valores, preguntando por los valores siguientes (progresión).

Figura 3.

Nivel II - Se presentan términos en cuya posición la diferencia sea distinta de 1 pero constante (figura 4), tal que sus valores tengan una diferencia entre 1 y 10. La estrategia empleada en este nivel es similar a la empleada en el nivel II.

Figura 4.

158

Anexos

Nivel III - Se presenta la posición de forma que la diferencia sea distinta de 1 y que no sea constante, el valor tendrá una diferencia entre 1 y 10 (figura 5). La estrategia empleada en este nivel es similar a la empleada en el nivel II, agregando posiciones grandes con la finalidad de que se deduzca una fórmula que emplee para calcular estos valores.

Figura 5. Nivel IV - Se presenta la posición de forma que la diferencia sea distinta de 1 y que no sea constante (figura 6). Los datos correspondientes al valor aparecen en diferentes posiciones. La estrategia empleada en este nivel es similar a la empleada en el nivel III, agregando lugares vacíos entre valores con la finalidad de que se deduzca una fórmula que emplee para calcular estos valores.

Figura 6.

Figura 8.

Figura 9. Figura 10

159

Anexos

Bloque 2:

Figura 11.

Figura 12.

Figura 13. Figura 14.

Figura 15.

Figura 16.

160

Anexos

Sobre la diferencia de funciones:

Sobre la visualización de la recta tangente y la secante que se convierte en tangente:

Bloque 3:

I. Incremento de x igual a 1 (Δx= 1).

Dada la función , que es una función cúbica, los

parámetros a, b , c y d se obtienen de la siguiente manera tomando la información que se

presenta en la tabla 1.

dcxbxaxxf +++= 23)(

Tabla 1.

Para obtener la expresión algebraica asociada a estos valores tomamos cuatro puntos de la

función y se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:

161

Anexos

P1(0,-3): P2(1,-6): P3(2,-15): P4(3,-42):

d=− 33

6−=++

+++=−cba

dcba

6241224824815

−=++−=++

− = + + +

cbacba

dcba

1339393927392742

−=++−=++

− ++= +

cbacba

dcba

Resolviendo el sistema simultáneo por reducción tenemos

333624

3

=−−=−−−

−=++

bacba

cba

10281339

3

=−−=−−−

−=++

bacba

cba

421028626

=−=−−−=+

aba

ba

por lo que ; ; 2−=a 3=b 4−=c y 3= −d

Por lo tanto la función es 3432)( 23 −−+−= xxxxf

II. Sea la primera diferencia una función cbxaxxf ++= 2)(

P1(0,-3): P2(1,-9): P3(2,-27):

33−==−

cc

6

9−=+

++=−ba

cba

1222427

−=−++=−

bacba

Resolviendo el sistema simultáneo por reducción tenemos

66122

−==−−−=+

ababa

por lo que 6−=a ; 0=b y 3−=c

Por lo tanto la función es 36)( 2 −−= xxf

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