Precursores Conductuales Infantiles de los Trastornos del Especto ...
Un especto fundamental en la teoría de kriging estudiada es la estacionaridad débil o de orden 2....
-
Upload
rufino-curiel -
Category
Documents
-
view
4 -
download
0
Transcript of Un especto fundamental en la teoría de kriging estudiada es la estacionaridad débil o de orden 2....
Un especto fundamental en la teoría de kriging estudiada es la estacionaridad débil o de orden 2.
A continuación estudiaremos algunas técnicas propuestas para obtener estimaciones cuando no se cumple la estacionaridad. Es decir, cuando
umuZE
Entre estas están:
Kriging Universal
Kriging con deriva externa (external drift)
UK
KRIGING UNIVERSAL
El kriging universal asume que la función aleatoria Z se puede descomponer en la forma:
umuRuZ
Donde R es una función aleatoria estacionaria de orden 2 con E(R(u))=0 y m es una función no aleatoria dependiente de la localización u.Bajo estas hipótesis se tiene que:
umuREuZE
um
UK
+ =
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6
Z
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6
m
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6
R
UK
Si se asume la descomposición anterior se presentan 2 casos:
1°) La función de tendencia m es conocida en cada punto u del mallado o espacio donde se quiere estimar la propiedad.
2°) La función de tendencia m no es conocida y hay que proceder a estimarla a partir de los datos.
Es importante observar que en cualesquiera de los casos se asume que
umuZuR
es una función aleatoria estacionaria de orden 2 con media cero y por lo tanto se pueden utilizar las técnicas de kriging estudiadas anteriormente. Los valores R(u) se denominan los valores residuales.
UK
Caso 1
Como la función de tendencia es conocida entonces se puede calcular
umuZuR
Luego, se pueden estimar los residuales utilizando kriging simple y obtener como estimación de la propiedad
umuRuZ sk **
Es importante observar que la estimación se realiza utilizando los residuales y no los valores originales de la propiedad. Así por ejemplo, el cálculo del variograma se debe hacer utilizando los residuales.
UK
Caso 1 Pasos para la estimación
1. Conocer la función de tendencia en cada uno de los puntos del mallado o espacio donde se quiere estimar
2. Calcular en cada punto donde se tiene informacion el valor de los residuales
NjumuZuR ,,2,1
3. Validar la hipótesis de estacionaridad de la función residual. Si esta se cumple, realizar la estimación de la función residual mediante kriging simple.
4. Obtener la estimación de la propiedad como:
umuRuZ sk **
UK
Presencia de una tendencia
Identificación de la función de tendencia
bayyxm ,
Obtención de los residuales
yxmyxTOPEyxR ,,,
Obtención de la estimación
yxmyxRyxTOPE sk ,,, **
UK
Caso 2
Cuando la función de tendencia es desconocida, es usual asumir que esta se puede escribir como:
100
fufaumL
jjj
Donde las funciones f son conocidas, llamadas funciones de base, y los parámetros a son desconocidos, lo cual hace que la función de tendencia sea desconocida.
Las funciones de base deben ser escogidas según la naturaleza del problema y no arbitrariamente.
La idea ahora es proceder como en el kriging ordinario. Es decir, imponer condiciones para filtrar el valor desconocido de la media.
UK
El estimador que se propone es
N
uZuZ1
*
y por lo tanto
N
j
L
jj
NufaumuZE
101
*
De esta forma, si se impone la condición
jufuf j
N
j 1
Se obtiene que el estimador es insesgado
uZEuZE *
UK
En cuanto a la varianza del error hay que observar primero que
umuRuZuZNN
11
*
Con lo cual,
N
uRuRuZuZ1
*
Y por lo tanto
N
iiiji
N
jiji uRuRCuRuRCuRuRCuZuZ
11,
* ,2,,var
UK
Para incluir las restricciones se consideran L+1 parámetros de Lagrange j
Y la función a minimizar es:
L
jj
N
jjLN ufufuZuZ0 1
*01 2var,,,
Para ello se deriva la función respecto a cada uno de los parámetros y se igualan a cero cada una de estas derivadas
N,10
Ljj
,00
Sistema de ecuaciones de N+L+1 incógnitas con N+L+1 ecuaciones
L
N
NLLL
N
N
NLNNNN
LN
LN
ufufuf
ufufuf
ufufuf
ufufufCCC
ufufufCCC
ufufufCCC
1
0
2
1
21
12111
02010
1021
22120221
11110112
000
000
000
0
0
0
uf
uf
uf
C
C
C
L
N
1
0
0
20
10
UK
0
0
0 F
C
F
Ft
La unicidad de la solución depende de la matriz F, la cual depende de la configuración de los puntos de observación.
UK
Cómo se obtienen los residuales para el cálculo de la covarianza si se desconoce la media ?
En general, la respuesta no es sencilla. Debido a este tipo de inconveniente, producto de la descomposición asumida, Matheron desarrolló la teoría de funciones aleatorias intrínsecas de orden k y covarianzas generalizadas.
Según las condiciones del problema pudieran existir regiones en las cuales la tendencia no influye. En este caso, se puede utilizar directamente la información de la variable Z para inferir la función de covarianza de los residuales.
ED
KRIGING CON DERIVA EXTERNA
Puede ocurrir que dos variables medidas en diferentes maneras aportan información sobre el mismo fenómeno. Por ejemplo, el tope medido en los pozos y el tiempo de tránsito en la sísmica.
Cuando una de las variables es precisa pero poco muestreada (tope medido en los pozos) y la otra es más imprecisa pero densamente muestreada (sísmica) es de interés poder utilizar ambas fuentes de información para el estudio del fenómeno en cuestión.
Como en ambas se encuentra información del fenómeno en estudio es razonable asumir que:
uSbauZE
Precisa y poco muestreada
Imprecisa y densamente muestreada
ED
Información directa: Información de pozos.
Alta resolución vertical
Baja resolución areal
Información indirecta: Información sísmica
Baja resolución vertical
Alta resolución areal
ED
uSbauZE
Para hallar los valores óptimos de los pesos basta observar que la condición
es un caso particular del sistema de ecuaciones del kriging universal al considerar tan solo dos términos en la expresión de la función de tendencia
uSufaa 10 ,
El estimador que se propone es
Lo importante a observar ahora es que el estimador de kriging con deriva externa no asume a priori la descomposición en un término de tendencia más uno aleatorio y estacionario.
N
uZuZ1
*
ED
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones a resolver es
uSuS
iuuCuSuuC
N
jjj
N
jj
N
jiiijj N
1
1
110
1
,,2,1
uS
C
C
C
uSuSuS
uSCCC
uSCCC
uSCCC
NN
N
NNN
N
N
1
00
00111
10
10
10
0
20
10
1
0
2
1
21
21
2212
1112
Sistema de ecuaciones de N+2 incógnitas con N+2 ecuaciones
ED
Es importante considerar que:
1) Si la función S no varía suave el sistema de ecuaciones puede ser inestable.
2) Las estimaciones realizadas utilizando kriging con deriva externa producen resultados que reflejan la tendencia dada por la función S. Esto es producto de la decisión de asumir que E(Z(u))=a+bS(u) y no demuestra que los datos siguen la tendencia obtenida.
3) Es necesario conocer el valor de S en todos los puntos donde se tiene información y en todos los puntos donde se requiere realizar la estimación.
4) Como generalmente el método se aplica utilizando una vecindad móvil, una notación mas adecuada de la relación entre la variable primaria y la variable secundaria sería:
uSubuauZE
ED
Esto permite estimar el parámetro b en cada punto u y medir la influencia de la variable de tendencia en dicho punto. Esto se logra resolviendo básicamente el mismo sistema de ecuaciones:
1
0
0
1
1
110 ,,2,1
N
jjj
N
jj
N
jiijj
uS
iuSuuC N
1
0
0
0
0
00
00111
10
10
10
1
0
2
1
21
21
2212
1112
N
N
NNN
N
N
uSuSuS
uSCCC
uSCCC
uSCCC
Se requiere entonces invertir la matriz sólo una vez para obtener la estimación de la propiedad y del parámetro b.
ED
En el caso general, es decir, cuando se asume que
uSbuSbuSbauZE kk 2211
Se procede como antes pero incorporando k+1 parámetros de Lagrange al sistema de ecuaciones. De esta forma, el sistema de ecuaciones sería
Ni
N
jjij
N
jj
N
ji
N
pippijj
iuSuS
iuuCuSuuC N
,,2,1
1
1
1 10
1
,,2,1
Y la forma matricial es idéntica a la obtenida para el kriging universal considerando las funciones S en lugar de las f
ED
La estimación de cada uno de los parámetros b en el punto u se obtiene también como antes.Por ejemplo, el sistema a resolver para estimar es:
Nii
N
jjij
N
jj
N
j
N
pippijj
iuS
iuSuuC N
,,2,1
1
1
1 10
0
0
0 ,,2,1
Donde
nosi
jisiji
0
1
ubi0
(Función Delta de Kronecker)