Un algoritmo interactivo basado en la distancia del maximo ponderado

TRABAJOS DE INVESTIGACION OPERATIVA Vol. 2. N0m. 1, 1987, pp. 81 a 92

U N A L G O R I T M O I N T E R A C T I V O B A S A D O EN LA D I S T A N C I A D E L M A X I M O

P O N D E R A D O

Carlos Gonzflez Martin Departamento de Estadistica e 1.0. Facultad de Matem6ticas Universidad de La La#una

RESUMEN

A partir de las preferencias locales del decisor, emitidas bajo la forma de ciertos niveles de satisfacci6n para los objetivos, construimos un algoritmo interactivo que genera puntos eficientes de equilibrio, en los que se minimiza la distancia del m/tximo ponderado entre la regi6n factible y el punto ideal. Para este algoritmo hemos probado la convergencia.

Palabras clave: programaci6n multiobjetivo; m6todos interactivos; niveles de satisfacci6n; distancia del mfiximo ponderado.

Clasificaci6n A.M.S. (1980): 90C99.

SUMMARY

Starting of the decision maker's local preferences, these emitted in the shape of certain satisfactory levels for the objectives, we build an interactive algorithm generating efficient balanced points, in which the weighed maximum distance between the feasible region and the ideal point is got to be minimized. For this algorithm we have proved the convergency.

Key woords: multiobjective programming; interactive methods; satisfactory levels; weighed maximum distance.

A.M.S. Classification (1980): 90C99.

Title: An interactive algorithm based on the weighed maximum distance

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TRABAJOS DE INVESTIGACION OPERATIVA. Vol. 2, N0m. 1, 1987

1. I N T R O D U C C I O N

Por lo general, una de las principales caracteristicas de los problemas de programacibn multiobjetivo es la de poseer un nfimero muy grande de soluciones eficientes sobre las cuales es dificil que el decisor pueda concretar, a priori y con precisi6n, la estructura de sus preferencias.

Los m6todos interactivos son, en muchos casos, una herramienta eficaz para salvar estas dificultades. E1 decisor establece sus preferencias locales sobre elementos del conjunto de puntos eficientes, que se gene- ran resolviendo problemas auxiliares uniobjetivo, dentro de un proceso iterativo en el que se alternan etapas de cfilculo y de ~di~logo~, con vistas a la incorporaci6n al modelo de la informacibn suministrada por el decisor. E1 proceso acaba cuando se obtenga una soluci6n eficiente en la cual 6ste se muestre satisfecho.

La ~proximidad~ de las soluciones eficientes al punto ideal, en el que se optimizan simult~ineamente todos los objetivos y que, por lo general, es no factible; sugiere la consideraci6n de problemas auxiliares uniobjetivo en los que se minimice una distancia entre la regi6n factible y el punto ideal. Para ello es necesario que la familia de distancias elegida sea capaz de asimilar la informaci6n nueva emitida por el decisor en cada etapa de dihlogo.

Estas peculiaridades esthn presentes, entre otros, en el m6todo S.T.E.M. (ver Hwang, 1979), en los m6todos del ideal desplazado (Zeleny, 1982) y el m6todo de intercambios satisfactorios (Sawaragi, 1985); en los que, en general, se manejan hip6tesis de linealidad, conve- xidad o diferenciabilidad para las funciones que intervienen en los problemas planteados.

En este trabajo, que toma como base resultados obtenidos por Gonzhlez Martin (1984b), utilizamos la familia de distancias del m~iximo ponderado para construir un algoritmo interactivo que precisa hipbtesis menos fuertes que las apuntadas con anterioridad; lo cual no es una dificultad insalvable a la hora de probar la convergencia.

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P R E L I M I N A R E S

Dados X ~ R", f/:[~"-~ ~, Vi~{1, ..., p}, definimos el problema de programaci6n multiobjetivo como el de

Maximizar y

sujeto a yef(X) (1)

siendo f(X) = {(fl(x), ..., fp(x))/x ~ X}. Si f * = mfix {fi(x)/x~X}, Vie{l, ..., p}, l lamamos punto ideal a f *

= (f*, ..., ~ ) . Obviamente si f*~f(X), este punto es la soluci6n 6ptima del problema (1). Sin embargo, en la gran mayoria de los casos, f*r y la no existencia de una soluci6n factible que optimice simultfinea- mente todos los objetivos, convierte en candidatos a ser soluci6n 6ptima del problema (1) a los elementos maximales de f(X): los puntos eficientes.

Notamos por S al conjunto de puntos eficientes de f(X) y por DS al conjunto de puntos d4bilmente eficientes, es decir aquellos que no son superados estrictamente en todas sus componentes dentro de fiX).

Como se ha dico m~ts arriba, cuando el decisor es incapaz de concretar, a priori y de forma explicita, su funci6n de utilidad, la generaci6n de puntos eficientes candidatos a resolver el problema (1) se puede realizar a trav4s de la resoluci6n de problemas auxiliares uniobjetivo que sean capaces de recoger la informaci6n local que suministra el decisor sobre sus deseos y necesidades.

Proponemos en este trabajo el siguiente problema auxiliar uniobjeti- VO;

min

s.a z (fl-f3

fef(X)

(2)

P

con rc i 1> O, Vi~{1, ..., p}, ~ 7r 1 = 1 en el que se minimiza la distancia del i = 1

mfiximo ponderado desde el punto ideal f * = ( f ~ ' , ..., f * ) a la regi6n factible f(X).

Supongamos en el resto del presente trabajo que f(X) es compacto.

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3. ALGUNOS RESULTADOS DE INTERES

Definici6n 1

p

a) VTt=(Ttt, ..., ~zp)~P- - { (~ , . . . . , 7 tp ) /~ 7t ,=1, 7~,~>0, V i e { 1 . . . . , p } } i =1

definimos:

S(n)= {fef(X)ff es soluci6n 6ptima de (2)}

b) VneP § = ( n e P / z , > 0, Vie{I, ..., p}}, diremos q u e f e f ( X ) es de r~-equilibrioc:.~i(f * - f 3 = cte. Vie {1, ..., p}.

Referidos al problema (2), se obtienen, entre otros, los siguientes resultados de inter6s.

Teorema 1

v~ee , si feS(rt) =~fe DS.

Teorema 2

W e P, 3fe S(~) tal que f~ S.

DEMOSTRACI6N

Sea f'eS(rc). Si f ' e S . ~ f ' =f. En otro caso seafsoluci6n 6ptima del problema de:

1 min ~. p(f~*-fj)

j = l

s.a f~>~f/, j = 1, ..., p

f W(x)

Es evidente que f~ S ('] S(z 0.

Teorema 3

Scan ~ e P + yfeS(rc)tales que Vje{1, ..., p}, fj<f~*. S i f n _ ~s de rc- equilibrio r ~ e P + tal que

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a)

b) f es de ~-equilibrio. c) 5~<a.

DEMOSTRACION

Sean

1 f * - f l 1, �9 f * - f j S~ f l - f ~ ' ffj = ~1 , j = 2 . . . . . p

Trivialmente, r~eP § Ademfis feS(~) ya que, en otro caso, fr en contradicci6n con el teorema 1.

Por otro lado, por cons t rucci6n, fes de r~-equilibrio y ~-~< 6, puesto que si suponemos que 5 > & entonces se verifica que si J = {j/ni(f~*-f~)= 6};

p

VjeJ, r r ~ < ~ = ~ q j o e { 1 , . . . , p } - J tal que rr~o>ff~o, ya que ~ n j = j = l

P

= ~ = 1 y rr~>~0, 3 j e {1, ..., p}. Luego ~>~n~o(fj*-~o)> j = l

>nio(fP-f~o) = 5 en contradicci6n con la hip6tesis anterior.

Teorema 4

< * { 1, p}. Entonces 3 ~ P § tal que S(r~) Sea] '~S tal q u e ~ f~ , Vie .... = { y } .

DEMOSTRACION

Inmedia ta si se construye ~ como en el teorema anterior.

Nota I

Los resultados de los teoremas 3 y 4 son v/didos aunque algfln rio =f/0*, si se realiza la correspondiente reducci6n de dimensi6n.

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TRABAJOS DE INVESTIGACION OPERATIVA. Vol. 2, NOm. 1, 1987

Teorema 5

SeanfeS, zteP +. S i f e s de rt-equilibrio, e n t o n c e s f e S(rt) y card S(rt) ~--1.

DEMOSTRACION

Supongamos q u e f # f * . Si fr ) tal que ztj(f*-f}) < rtj(f* - f j ) Vj~ {1 .. . . . p} ~ f ~ S. Luego f e S(n).

Si card S (~)> 1 ==>f~ S y, por tanto, card S(zt)= 1. Si f = f * la demostrac i6n es inmediata.

Corolario 1

Si Vf~R p, con fj < f * , Vj~{1 . . . . . p}, la semirrecta

y = f * + t ( f - f* ) , t >10

corta a S e n un punto , entonces W e P § se tiene que card S(rc)= 1 y que la finica soluci6n 6pt ima del problema (2) es de rt-equilibrio.

DEMOSTRACION

Sea i f < f * . Hal lamos

/'9 = r t . J~- =l(f~' - ~ ) J . ]

gj j -- 2, ..., p

Sea y0 = f , + to( fo_f , )eS. Sucede que yO es de n-equilibrio. La aplica- ci6n del teorema anterior indica que y~ y card S(rt)= 1.

Nota 2

En las condiciones del teorema 4 y del corolario 1 se establece una correspondencia biyectiva entre S<={f ~S/fj<ff~, Yje{1 . . . . , p}} y P+.

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Teorema 6

1 . . .~ ~> * _ _ Dados z 1, zp tales que zi f i , Vie{l, ..., p}, si 2 i - - y zq

zi - f * 21

- i= 1, p y e x i s t e f ~ f ( X ) tal q u e f e s de zr-equilibrio, e n t o n c e s [

j = l

se encuentra sobre la semirrecta:

zj - f * - - = t , j = l . . . . , p , t~>0

DEMOSTRACION

Trivial.

Nota 3

En las condiciones del teorema 6 y del corolario 1, la flnica soluci6n 6pt ima del problema (2) corresponde al punto de S donde corta la recta que pasa por z y f* .

4. A L G O R I T M O

T o m a n d o como base los resul tados anter iores cons t ru imos un algori tmo interactivo que concre tamos en los siguientes pasos:

Paso 0

Hallar f * . Si f * ~ f (X ) parar ya que f * es la soluci6n 6pt ima del problema (1). En otro caso, el decisor establece los niveles de satisfac-

P

ci6n y] .. . . . yp~ tales que Vie{l , ..., p} y~ > f * . Supongamos que ~ y~ i = 1

= T. Elegir 0c~(0, 1), hacer k = 1 e ir al paso 1.

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Paso 1

Vie{1 . . . . , p}, hacer:

1 21 Yl- - f~" lrl

Hallar S(n ~) e ir al paso 2.

P E xj j = l

Paso 2

Sea f a t S(rt*). Resolver el problema de

P

min ~, hi( f*- f l ) i = 1

f ~ > f l , i---1, ..., p

f~f(X)

Sea fk una soluci6n 6pt ima anterior. Resulta que fk~ S(n~)(']S. Ir al paso 3.

Paso 3

k = rCl, Vi~ { 1, ..., p} e ir al paso 5. Si Sif k es de rci-equilibrio, hacer rq fk no es de rcl-equilibrio, ir al paso 4.

Paso 4

Sean

I rck--Tt kf'~-fki j = 2 , ,., p

1 + ,~2)-y--~jk

Resulta que f t e SOrk}. Ir al paso 5.

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Paso 5

Calcular z k . . . . , ~ tales que

Ir al paso 6.

. H(zk) T - j ~ = l f * = i s +- - -~ ik s iendo H ( z k) = - - T - - l -

Paso 6

Presen ta r f k al decisor. Sean:

Ik = { i / f k es sat isfactorio pa ra el decisor si no se rebaja}.

Bk = { i / f k es supersa t is fac tor io pa ra el decisor}.

M k = { i / f k es infrasat isfactorio pa ra el decisor}.

Si k = 1, hacer:

a) V i e B k , [a~ +1, _,h.k+X-l~ = [z~, T]

b) V i e M k , [a~ +1, _,h k+l]~ = [0, z/k]

C) ViEI k , - k + l h . k + l - I [ . , , _ , T]

Si k > 1, hacer:

a) V i~Bk , tai'-i+a, b,k+~] = [z~', ~zi + ~ ( b ~ - a~)]

b) V i E I k _k+l h.k+X-i= k , [ z f - " , v , _, -~ bi - ai ), z k + ~ (b k - - ak)]

c) V i e M k , [a~ +l, b~ +l] [ z ~ - k k = ~(b i --ai) , z~]

Si Mk = 4, pa r a r c o n f k c o m o so luc i6n 6 p t i m a de (1). Si M k # 4, ir al paso 7.

Paso 7

-k+l b~+X] = V i e B k , elegir ~ + l ~ ( u ~ , �9

Vi e Ik , haeer ~. + 1 = zlk

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Vi ~ M k , hallar yk + 1 tal que:

verificando

, k , k f , - - f i _ _ f ~ - f ; V j e M k , jT~i

y k + ~ _ f , yk+~ f .

ieB~ iEM

[ - _ k + 1 k + Si existe algfin i o ~ M k tal que y/k+ 1 ~ ~U/o , b/o 1), rebajar la constante C _k + 1 ~ i e Mk, rebajando proporc ionalmente los niveles hasta que y~ + i ~> . i

y k + 1 i para i e B k. Hacer Vje{1 . . . . , p } , y 1 = y ~ +~, k = k + l e ir a l p a s o 1.

Nora 4

La actuaci6n racional del decisor le debe llevar necesariamente a considerar B k ~- r siempre que Mk r 4.

5. C O N V E R G E N C I A

Los resultados que permiten demostrar la convergencia del anterior algori tmo se analizan exhaustivamente en Gonz~ilez Mart in )1984b). Las

limitaciones de espacio de este articulo no permiten explicitarlos detalla- damente. Por ello expondremos, omit iendo las demostraciones, algunos de los aspectos de mayor inter6s.

Un primer resultado impor tante es el siguiente:

Teorema 7

m~tx G(z) f * - f~ i~{1 ..... p} zi - f ~ '

Si q(z)= min siendo f e f (X)

1 c , ( z ) -

P 1

E z - f * j = l j j

P

entonces r/ es cont inua en A = { z s l ~ P / z i > f *, Vie{l , ..., p}, ~ z , = T}. j = l

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E1 anfilisis de la convergencia se hace dist inguiendo en primer lugar los casos en que cualquier semirrecta que pasa p o r f * y p o t un pun to de A corta a la regi6n eficiente en un pun to y el caso en que S es finito.

En el pr imer caso se demuest ra que la sucesi6n {Zk}k c R ~' es de Cauchy, y, por tanto, convergente; lo cual, en uni6n del hecho de q u e f k = f ( z k) es cont inua en A, determina, en las hip6tesis establecidas, que ~fk}k es una sucesibn convergente.

En el segundo caso, la demost rac i6n es inmediata a partir de la forma de operar del algori tmo y de la cont inuidad de r/ sobre A.

La convergencia en el caso general se concibe bajo la siguiente condici6n operat iva pragmfitica:

~Los niveles de satisfaccibn que suministra el decisor dan lugar a unos pesos rri~[y o, 1-Y0], Vi~{1 ..... p}, siendo yo~(0, 1) suficientemente pequefio para realizar el siguiente razonamiento:

p

Si 3 io~{1, ..., p} tal que r c i 0 > l - 7 o ~ ~ zri<70 y, por tanto, f/o i = l

es el finico objetivo impor tante para el decisor; con 1o cual el problema (1) puede convertirse en uniobjetivo.

Si existe i o ~ {1 .... , p} tal que rqo < 7 O ~ f o no tiene impor tancia para el decisor y, en consecuencia, se puede quitar del modelo>~.

Luego es el conjunto A(7o)= { z ~ V / z ~ A , 70 <~ri(z)<~ 1 -7o , V i e { l , ..., p}} en el que el decisor elegir~i los niveles z.

Bajo esta consideraci6n, se demuestran, entre otros, resultados de inte/'es, los siguientes:

Teorema 8

V6 > 0, 3k o ~ ~ tal que Vk > ko, fk t'k + 1 .,i - , i < 6, Vi~ { 1, ..., p}.

Teorema 9

Vi~{1 . . . . . p}, n(z) es una funci6n uniformemente cont inua lineal- mente en A(7o).

Los resultados anteriores nos permiten demostrar el siguiente:

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Teorema 10

Si v e s una cant idad despreciable para el decisor en todos los objetivos, entonces 3 k o ~ N: V k > ko, fi k - f i k + m < V, V i e { 1 .... , p}, V m e N.

Podemos concluir entonces que 3k o tal que Vk > k o, k~[~, se tiene

que I k U Bk c I k + 1 U Bk + 1" Este hecho da consistencia a la actuacibn racional del decisor en el

sentido de que su consideraci6n de satisfactoriedad para los objetivos va a ser, cuando menos, una constante a part ir de una i teraci6n en adelante. Si tenemos presente ademfis la forma de operar del algoritmo, que, entre otras cosas, garantiza q u e e n cada iteraci6n fk+ l >_ k ~-fi, ViEMk, tendremos la convergencia del mismo.

Agradecimientos: al profesor Sfinchez Garcia por su ayuda inestima-

ble.

REFERENCIAS

GONZALEZ MARTIN, C., y SANCHEZ GARCIA, M. (1984a): t~Un m&odo interactivo basado en el Criterio Minimax>>, Actas de la X I V Reuni6n Nacional de Estadistica e lnvestigaci6n Operativa, tomo II, 510-516.

GONZALEZ MARTIN, C. (1984b): M~todos Interactivos en Programaci6n Multiobjetivo. Tesis Doctoral, Universidad de La Laguna.

HWANG, Ch. L., y MASUD, A. S. Md. (1979): ~Multiple Objective Decision Making. Methods and Applications>>, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 164, Springer Verlag.

SAWARAG1, Y; NAKAYAMA, H., y TANINO, T. (1985): Theory of Multiob- jetive Optimization, Academic Press.

ZELENY, M. (1982): Multiple Criteria Decision Making, McGraw-Hill.

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Un algoritmo interactivo basado en la distancia del maximo ponderado

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