Un algoritmo basado en Programación Lineal para el problema del cartero rural privatizado

Julián Aráoz

Elena Fernández

Departament d’Estadística i Investigació Operativa, UPC. España

Oscar Meza

Departamento de Computación y Tecnología de la Información, Universidad Simón Bolívar. Venezuela

1. El problema del Cartero Rural Privatizado (PRPP)

2. Un modelo para (PRPP)

2.1 Restricciones.

2.2 Algunas propiedades.

3. Separación de las restricciones.

4. Heurística para PRPP

5. Algoritmo.

6. Experiencia Computacional.

7. Comentarios. Trabajo futuro.

be: beneficio por servir e

ce : costo de recorrer e

d

E

D

C

B A9 6

7

3

9

6

42

7

0 9

9

9

0

0

90

9

d

E

D

C

B A9 - 7

9 - 3- 4- 2

- 79 - 4

9 - 7

Aristas con demanda

Problema del cartero Rural Privatizado (PRPP)

Problema del cartero Rural Privatizado (PRPP)

Dado un grafo G = ( V, E) con un vértice distinguido d (el depósito) y dos funciones:

Encontrar un recorrido cerrado C* que maximice el valor de

donde C es un recorrido cerrado que pasa por d, puede atravesar varias veces una misma arista, y te es el número de veces que la arista e se atraviesa en C.

Beneficio: b: Eℝ

Costo: c: Eℝ

- PRPP fue propuesto en:

Aráoz, J., E. Fernández, C. Zoltan. Privatized Rural Postman problems. Computers and Operations Research. En prensa.

- PRPP es NP-Hard

Ce

eee ctb

caso otroen 0

vezprimerapor recorre se arista si1 exe

vez.primera la de después atraviesa se que vecesde número : eye

e = be - ce

''' Ee

eeEe

ee ycxMax

• Todos los nodos tienen grado par:

• Conectividad de las aristas recorridas con el depósito.

• ye’’ 1

• ye’’ xe’

Relaciones de Dominancia

G’=(V, E’E’’)

Un modelo para PRPP........

x( ’ (v) \ F’ ) + y( ’’ (v) \ F’’ ) x( F’ ) + y( F’’ ) - | F’ F’’ | + 1

v

’’(v)\F’’

’(v)\F’

F’ F’’

vV, F ’ ‘(v), F ’’ ’’(v), | F ’ F ’’| impar.

• Implicadas por las desigualdades de cocircuito

x (’ (v)) + y (’’ (v)) 0 mod 2

v V

Los nodos tienen grado par

F. Barahona and M. Groeschel. On the cycle polytope of a binary matroid. J. Comb. Theory, 40:40–62, 1986.

• Usadas en el contexto del “Rural Postman Problem”:

G. Ghiani and G. Laporte. A branch-and-cut algorithm for the undirected rural postman problem.

Mathematical Programming, 87:467–481, 2000.

R = { e E : e 0 }e E e= be-2ceGR (V (R) {d }, R)

{ Ci}i=0,…,p, dC0 componentes de GR. Vi= V(Ci)(Vi) en G

R (Vi) en GR

Dado e C*, si V (e) Vk para alguna componente Ck de GR R(Vk) C*.

( ó bien todas las aristas de R (Vk ) están en C* ó ninguna de ellas)

Algunas propiedades

Sea Ck una componente conexa de GR . Si e (Vk) \ R en C*, e se recorre como mucho una vez. (ye=0)

,Rk

e R kex x e V k P

\ ,Rk

e k kex x e V V R k P

Sea C* una solución óptima...

0, \ ,e ky e V R k P

x(’ (S )) + y(’’ (S )) 2 xe S V \ {d } ; e (S)

Conectividad con el depósito de las aristas recorridas.

x(’ (S)) + y(’’ (S)) 2 xekR S V \{d} ; k0, Vk S

)

x(’ (S)) + y(’’ (S)) 2xe S V \{d}); e ’(S) ’(S) t.q. V(e) V(R) =

Belenguer, J., E. Benavent, The Capacitated Arc Routing Problem: valid inequalities and facets. Computational Optimization and Applications (10), 165-187, 1998.

''' Ee

eeEe

ee ycxMax

impar. ''''''','',

1''''''''\'''\'

FFvFvFVv

FFFyFxFvyFvx

' '' 2

\ , ' ' t.q.

ex S y S x

S V d e S S V e V R

,Rk

e R kex x e V k P

' '' 2

\ , 0,

Rk

k

ex S y S x

S V d k V S

'' 'e ey x e E

\ ,Rk

e k kex x e V V R k P

PkRVey ke ,\0

01 Vex Re

Eeyx ee 1,0, '''

Un modelo para PRPP

Grado par

Conexión con el depósito

Relaciones de dominancia

Problema de Separación para restricciones de grado

' ''

**

'''',''

111''\''*'\'*minFe Fe

ee

vFvF

v yxFvyFvxA

Sean F ’ = {e’(v) : x*e’ 0.5}; F’’ = {e’’(v) : y*e’’ 0.5}

Si F’ F’’ es de cardinalidad par entonces

Sean z*e_min = min{y*e : eF’’}, z*e_max = max{x*e : e (v)\F’}

Si z*e_min - 0.5 0.5 - z*e_max entonces

eliminar e_min de F’en otro caso

añadir e_max a F’

Si la correspondiente desigualdad de grado está violada por F’ F’’ , tenemos un corte.

x( ’ (v) \ F’ ) + y( ’’ (v) \ F’’ ) x( F’ ) + y( F’’ ) - | F’ F’’ | +1

El algoritmo anterior resuelve el problema de separación para las restricciones de grado de forma exacta y su orden es O(|E|).

Sea (x*, y*) solución del LP actual.....

Separación de las restricciones de conexión

Adaptamos el algoritmo exacto de Belenguer y Benavent (1998)

Para cada arista e = {u,v}, con u, v diferentes del depósito y x*e >0,

Obtener el corte mínimo ‘(S) ‘’(S) tal que e‘ ( S) ’’( S) a partir de árbol de cortes mínimos.

Si el valor del corte es menor que 2x*e la desigualdad x(’(S)) + y(‘’(S)) 2xe está violada.

Sea (x*, y*) solución del LP actual....

x(’(S)) + y(‘’(S)) 2xe

D. Gusfield. Very Simple Methods for All Pairs Network Flow Analysis. SIAM Journal of Computing 19, 143-155, 1990.

Belenguer, J., E. Benavent, The Capacitated Arc Routing Problem: valid inequalities and facets. Computational Optimization and Applications (10), 165-187, 1998.

1. Transformar PRPP en un RPP.

Aristas requeridas de RPP, ER, las que tienen x*e > y {d, d’}

(arista ficticia que garantiza que la solución pasa por el depósito)

2. Aplicar heurística 3T de Fernández, Meza, Garfinkel, Ortega (2002) para obtener una solución factible para RPP.

3. Eliminar aristas paralelas {d, d ’} .

a. Construir un árbol T de coste mínimo.

b. Añadir aristas a ET ER para que todos los nodos tengan grado par. (matching perfecto de costo mínimo

en el subgrafo inducido por nodos de grado impar: M)

c. Aplicar “atajos” para mejorar la solución ET ER EM .

E. Fernández, O. Meza, R. Garfinkel, and M. Ortega. On the undirected rural postman problem: Tight bounds based on a new formulation. Operations Research, 51:281–291, 2003.

T1: Aristas candidatas: Todas las del grafo original Costos: los del grafo original. (Frederikson, 1979)

T2: Aristas candidatas: { e’E’: x*e’ > 0} { e’’E’’: y*e’’ > 0}. Costos: 1- x*e , 1- y*e’’ .

T3: Aristas candidatas: { e’E’: x*e’ > 0} { e’’E’’: y*e’’ > 0}.. Costos: los del grafo original .

Heurística 3T

Heurística para PRPP

0. Sea LPR0 la relajación lineal de PRPP. k 0

1. optimo = falso, mejorxy= (0,0), fin = falso,

2. Mientras fin = falso hacer

Encontrar una solucion (x*, y*) de LPRk

Si entonces

Si ( x*, y*) es factible para PRPP entonces

mejorxy = (x*, y*), fin = cierto,

en otro caso

i) Identificar desigualdades de grado y de conectividad violadas por (x*, y*).

ii) Añadir las desigualdades identificadas a LPRk.

iii) Si no se ha identificado ninguna desigualdad violada entonces fin = cierto

en otro casoAplicar procedimiento de fijación de variables.k:= k + 1

4. Aplicar la heurística y obtener la correspondiente solución (xh, yh) y cota inferior zh = z (xh, yh).

Si entonces y mejorxy = ( xh, yh )

,z 0z

*, *z z x y *, *z z x y

zz

( , )h hz z x y

Algoritmo LP para PRPP

( , )h hz z x y

 

|V| 100* (RL-HEU)/RL

100 * (HEU-opt_RPP) /

opt_RPP# opt RPP

Tiempo RL (seg)

Tiempo Heur. (seg)

Num Iter. RL

Num. Rest.Con.

RL

Num. Rest. Par.

conjuntos RL

Num. Rest. Par.

vertices RL

Albaidas [90, 102] 0,0026 0,0000 2/2 6,33 3,05 6,00 176,50 22,50 38,00

P's [7, 50] 0,0047 0,6447 19/23 (1) 0,17 0,49 1,83 29,92 1,29 5,79

D's [16, 100] 0,0075 0,9708 16 / 33 (3) 39,13 1,95 13,86 684,86 109,42 16,31

G's [16, 100] 0,0056 0,7342 25/33 (3) 40,61 1,44 18,69 878,33 108,53 10,61

R's [20, 50] 0,0017 0,2190 15/20 3,73 0,05 25,30 474,20 104,15 3,15

Experiencia computacional

RPP’s be=1000*ce

Instancias de RPP transformadas a PRPP:

- ALBAIDA’s:obtained from the Albaida, Spain Graph (see Corberan and Sanchis [10]). - P’s contains the 24 instances of Christodes et al. [9].

- The last three groups contain instances from Hertz et al [15] - D´s: 36 instances with vertices of degree 4 and disconnected required edge sets - G’s: 36 grid instances (labeled GRID), and - R’s: 20 randomly generated instances

Algoritmo para un nuevo problema: Privatized Rural Postman Problem.

Incorporamos relaciones de dominancia al modelo.

Resolvemos el problema de separación de forma exacta.

Aplicamos una heurística a partir de la solución óptima del LP.

Resultados satisfactorios en experiencia computacional preliminar.

Trabajo Futuro: Estudio de otro tipo de problemas con beneficio.

Mejora del proceso de fijación de variables.

Problemas con capacidades.

…

Comentarios Finales